Теңдеулер. Бірдей түрлендірулер Өрнектерді түрлендіру. қорытынды және негізгі формулалар

«Тұлғалар. Өрнектерді бірдей түрлендіру».

Сабақтың мақсаттары

Тәрбиелік:

«бірдей тең өрнектер», «тұлға», «бірдей түрлендірулер» ұғымдарымен танысу және біріншіден бекіту;

жеке басын дәлелдеу жолдарын қарастыру, жеке басын дәлелдеу дағдыларын дамытуға ықпал ету;

өтілген материалды оқушылардың меңгеруін тексеру, алған білімдерін жаңаны қабылдау үшін қолдана білу дағдыларын қалыптастыру.

Даму : оқушылардың ой-өрісін, сөйлеуін дамыту.

Тәрбиелік : ұқыптылыққа, ұқыптылыққа, жаттығулардың шешімін дұрыс жазуға тәрбиелеу.

Сабақтың түрі: жаңа материалды меңгерту

Жабдық : Мультимедиялық тақта, тақта, оқулық, жұмыс дәптері.

П Лан сабақ

Ұйымдастыру кезеңі (оқушылардың назарын сабаққа аудару)

Үй тапсырмасын тексеру (қателерді түзету)

Ауызша жаттығулар

Жаңа материалды меңгеру («Тұлға», «бірдей түрлендірулер» ұғымдарымен танысу және алғашқы бекіту).

Жаттығу жаттығулары(«Тұлға», «бірдей түрлендірулер» ұғымдарын қалыптастыру).

Сабақты қорытындылау (Сабақта алынған теориялық ақпаратты қорытындылау).

Үй тапсырмасы туралы хабарлама (Үй тапсырмасының мазмұнын түсіндіру)

Сабақтар кезінде

I. Ұйымдастыру кезеңі.

Үй тапсырмасын тексеру.

Үй тапсырмасын сұрау.

Тақтада шешімді талдау.

Математика керек
Сен онсыз өмір сүре алмайсың
Біз үйретеміз, үйретеміз, достар,
Таңертеңгілік біздің есімізде не қалды?

II ... Ауызша жаттығулар.

Қызу жаттығуларын жасайық.

Қосу нәтижесі. (сома)

Сіз қанша сандарды білесіз? (он)

Санның жүзден бір бөлігі. (пайыз)

Бөлім нәтижесі? (Жеке)

Ең кіші натурал сан? (бір)

Бөлу кезінде мүмкін бе натурал сандарнөл алу? (Жоқ)

-200-ден 200-ге дейінгі сандардың қосындысы неге тең? (0)

Ең үлкен теріс бүтін сан дегеніміз не. (-бір)

Қандай санға бөлуге болмайды? (0)

Көбейтудің нәтижесі? (жұмыс)

Ең үлкен екі таңбалы сан? (99)

-200-ден 200-ге дейінгі өнім қандай? (0)

Алу нәтижесі. (Айырмашылық)

Бір килограммда қанша грамм бар? (1000)

Қосудың орын ауыстыру қасиеті. (Терминдердің орындарын қайта орналастырудан қосынды өзгермейді)

Көбейтудің саяхат қасиеті. (Көбейткіштердің ауыстыруынан көбейтінді өзгермейді)

Қосудың құрама қасиеті. (Екі санның қосындысына санды қосу үшін бірінші санға екінші және үшінші санның қосындысын қосуға болады)

Көбейтудің құрама қасиеті. (екі санның көбейтіндісін үшінші санға көбейту үшін бірінші санды екінші және үшінші санның көбейтіндісіне көбейтуге болады)

Бөлу қасиеті. (Санды екі санның қосындысына көбейту үшін сол санды әр мүшеге көбейтіп, нәтижелерді қосуға болады)

III ... Жаңа материалды меңгерту .

Мұғалім. х = 5 және у = 4 өрнектерінің мәнін табыңыз

3 (x + y) = 3 (5 + 4) = 3 * 9 = 27

3x + 3y = 3 * 5 + 3 * 4 = 27

Біз бірдей нәтижеге қол жеткіздік. Бөлу қасиетінен жалпы айнымалылардың кез келген мәндері үшін 3 (x + y) және 3x + 3y өрнектерінің мәндері тең болатыны шығады.

Енді 2x + y және 2xy өрнектерін қарастырайық. x = 1 және y = 2 үшін олар тең мәндерді қабылдайды:

2x + y = 2 * 1 + 2 = 4

2xy = 2 * 1 * 2 = 4

Дегенмен, x және y үшін мәндерді осы өрнектердің мәндері тең болмайтындай етіп көрсетуге болады. Мысалы, х = 3, у = 4 болса, онда

2x + y = 2 * 3 + 4 = 10

2xy = 2 * 3 * 4 = 24

Анықтама: Мәндері айнымалылардың кез келген мәндері үшін тең болатын екі өрнек бірдей тең деп аталады.

3 (x + y) және 3x + 3y өрнектері бірдей тең, бірақ 2x + y және 2xy өрнектері бірдей тең емес.

3 (x + y) және 3x + 3y теңдігі x және y кез келген мәндері үшін дұрыс. Мұндай теңдіктер сәйкестіктер деп аталады.

Анықтама: Айнымалылардың кез келген мәндері үшін ақиқат теңдік сәйкестік деп аталады.

Нағыз сандық теңдіктер де сәйкестіктер болып саналады. Біз қазірдің өзінде жеке тұлғалармен кездестік. Сәйкестіктер – бұл сандардағы әрекеттердің негізгі қасиеттерін білдіретін теңдіктер (Оқушылар әрбір қасиетке түсініктеме береді, оны айтады).

a + b = b + a ab = ba (a + b) + c = a + (b + c) (ab) c = a (bc) a (b + c) = ab + ac

Сәйкестендірудің басқа мысалдары (Оқушылар сөйлей отырып, әр мүлікке түсініктеме береді.)

a + 0 = a

a * 1 = a

a + (-a) = 0

а * (- б ) = - аб

а - б = а + (- б )

(- а ) * (- б ) = аб

Анықтама: Бір өрнекті басқа, бірдей тең өрнекпен ауыстыру сәйкестікті түрлендіру немесе жай өрнек түрлендіру деп аталады.

Мұғалім:

Бірдей түрлендірулерайнымалылары бар өрнектер сандардағы әрекеттердің қасиеттері негізінде орындалады.

Өрнектерді бірдей түрлендірулер өрнектердің мәндерін есептеуде және басқа есептерді шешуде кеңінен қолданылады. Сіз бірнеше бірдей түрлендірулерді орындадыңыз, мысалы, ұқсас терминдерді шығару, жақшаларды кеңейту. Осы түрлендірулердің ережелерін еске түсірейік:

Оқушылар:

Мұндай шарттарды беру үшін олардың коэффициенттерін қосып, нәтижені жалпы әріп бөлігіне көбейту керек;

Егер жақшалардың алдында плюс белгісі болса, онда әрбір терминнің таңбасын жақшаның ішінде сақтай отырып, жақшаларды алып тастауға болады;

Егер жақшалардың алдында минус белгісі болса, онда жақшаға алынған әрбір терминнің таңбасын өзгерту арқылы жақшаларды алып тастауға болады.

Мұғалім:

Мысал 1. Ұқсас терминдерді көрсетейік

5x + 2x-3x = x (5 + 2-3) = 4x

Қандай ережені қолдандық?

Оқушы:

Біз мұндай терминдерді қысқарту үшін ережені қолдандық. Бұл түрлендіру көбейтудің таралу қасиетіне негізделген.

Мұғалім:

Мысал 2. 2a + ( өрнекіндегі жақшаларды кеңейтейік.б-3 в) = 2 а + б – 3 в

Алдында қосу белгісі бар жақшаларды кеңейту ережесі қолданылды.

Оқушы:

Орындалған түрлендіру қосудың комбинациялық қасиетіне негізделген.

Мұғалім:

Мысал 3. a - (4.) өрнегіндегі жақшаларды кеңейтейікб- s) =а – 4 б + в

Біз жақшалардың алдында минус белгісін ашу ережесін қолдандық.

Бұл түрлендіру қандай қасиетке негізделген?

Оқушы:

Орындалатын түрлендіру көбейтудің таралу қасиетіне және қосудың біріктіру қасиетіне негізделген.

IV ... Жаттығу жаттығулары

(Бастау алдында біз дене шынықтыру сабағын өткіземіз

Тез тұрып күлдік.

Олар жоғары және жоғары созылды.

Ал, иығыңызды түзетіңіз,

Көтеру, түсіру.

Оңға, солға бұрыл,

Олар отырды, тұрды. Олар отырды, тұрды.

Және олар оқиға орнына жүгірді.

(Жарайсыңдар, отырыңдар).

Шағын жүгірейік өзіндік жұмыс- сәйкестік, Ал тақырыпты жақсы түсінді деп санайтындар - онлайн шешеді - тестілеу.

1) 5 (3х -2) - (4х + 9) А) 5-10: х

2) 5х-4 (2х-5) +5 Б) 11х -19

3) (5х-10): x B) 3x + 25

4) 11x-4 (x - 3) + 5x D) -3x + 25

D) 12x +12

В ... Сабақты қорытындылау .

Мұғалім сұрақтар қояды, ал оқушылар өз қалаулары бойынша жауап береді.

Қандай екі өрнек бірдей тең деп аталады? Мысалдар келтіріңіз.

Қандай теңдік сәйкестік деп аталады? Мысал келтіріңіз.

Қандай ұқсас түрлендірулерді білесіз?

VI . Үй тапсырмасы ... 5 б., Интернетті пайдаланып ескі бірдей өрнектерді табу

Сәйкестікті түрлендірулер сандық және әріптік өрнектермен, сондай-ақ айнымалы мәндері бар өрнектермен орындалатын жұмысымызды білдіреді. Біз осы түрлендірулердің барлығын бастапқы өрнекті есепті шешуге ыңғайлы пішінге келтіру үшін жүргіземіз. Біз осы тақырыпта бірдей түрлендірулердің негізгі түрлерін қарастырамыз.

Өрнектің бірдей түрлендіруі. Бұл не?

Біз 7-сыныпта алгебра сабағында бірдей түрлендірілген ұғыммен алғаш рет кездесіп отырмыз. Бұл ретте біз алдымен бірдей тең өрнектер ұғымымен танысамыз. Тақырыпты түсінуді жеңілдету үшін ұғымдар мен анықтамаларды түсінейік.

Анықтама 1

Өрнектің бірдей түрлендіруі- бұл бастапқы өрнекті түпнұсқаға бірдей тең болатын өрнекпен ауыстыру мақсатында орындалатын әрекеттер.

Көбінесе бұл анықтама қысқартылған түрде қолданылады, онда «бірдей» сөзі алынып тасталады. Кез келген жағдайда біз өрнекті түрлендіруді түпнұсқаға ұқсас өрнекті алатындай етіп жүзеге асырамыз деп болжанады және мұны бөлек атап өтудің қажеті жоқ.

Суреттеп көрейік бұл анықтамамысалдар.

1-мысал

Өрнекті ауыстырсақ x + 3 - 2бірдей өрнекке x + 1, содан кейін өрнекті бірдей түрлендіруді орындаймыз x + 3 - 2.

2-мысал

2 a 6 өрнегін өрнекпен ауыстыру а 3Өрнекті ауыстыру кезінде бірдей түрлендіру болып табылады xөрнек бойынша x 2өрнектер болғандықтан, бірдей түрлендіру емес xжәне x 2бірдей тең емес.

Бірдей түрлендірулерді жүзеге асыру кезінде өрнектерді жазу формасына назар аударамыз. Әдетте, бастапқы өрнек пен алынған өрнекті теңдік деп жазамыз. Сонымен, x + 1 + 2 = x + 3 деп жазу x + 1 + 2 өрнегі x + 3 түріне келтірілгенін білдіреді.

Әрекеттердің дәйекті орындалуы бізді теңдіктер тізбегіне әкеледі, бұл қатарда орналасқан бірнеше бірдей түрлендірулер. Сонымен, біз x + 1 + 2 = x + 3 = 3 + x белгілеуін екі түрлендірудің дәйекті түрде жүзеге асырылуын түсінеміз: біріншіден, x + 1 + 2 өрнегі x + 3 түріне келтірілді, ал ол - - 3 + х пішіні.

Бірдей түрлендірулер және ODU

Біз 8-сыныпта үйрене бастайтын бірқатар өрнектер айнымалылардың барлық мәндері үшін мағынасы жоқ. Бұл жағдайларда бірдей түрлендірулерді жүргізу айнымалылардың рұқсат етілген мәндерінің диапазонына (ADV) назар аударуды талап етеді. Бірдей түрлендірулерді орындау ODZ өзгеріссіз қалдыруы немесе оны тарылтуы мүмкін.

3-мысал

Өрнектен секіргенде a + (- b)өрнекке а - байнымалы диапазон ажәне бсол күйінде қалады.

4-мысал

x өрнектен өрнекке көшу x 2 xх айнымалысының рұқсат етілген мәндерінің диапазонының барлық нақты сандар жиынынан нөл алынып тасталған барлық нақты сандар жиынына дейін тарылуына әкеледі.

5-мысал

Өрнектің бірдей түрлендіруі x 2 x x өрнегі х айнымалысының рұқсат етілген мәндерінің диапазонының нөлден басқа барлық нақты сандар жиынынан барлық нақты сандар жиынына дейін кеңеюіне әкеледі.

Бірдей түрлендірулер жүргізу кезінде айнымалылардың рұқсат етілген мәндерінің ауқымын тарылту немесе кеңейту есептерді шешуде маңызды, өйткені ол есептеулердің дәлдігіне әсер етіп, қателіктерге әкелуі мүмкін.

Негізгі сәйкестендіру түрлендірулері

Енді ұқсас түрлендірулердің не екенін және олардың қалай орындалатынын көрейік. Біз негізгі топқа жиі кездесетін ұқсас түрлендірулердің түрлерін бөліп көрейік.

Негізгі бірдей түрлендірулерден басқа, белгілі бір түрдегі өрнектерге қатысты бірнеше түрлендірулер бар. Бөлшектер үшін бұл азайту және жаңа бөлгішке келтіру әдістері. Түбірлері мен дәрежелері бар өрнектер үшін түбірлер мен дәрежелердің қасиеттеріне негізделген орындалатын барлық әрекеттер. Логарифмдік өрнектер үшін логарифмдердің қасиеттеріне негізделген орындалатын әрекеттер. Үшін тригонометриялық өрнектерқолданатын барлық әрекеттер тригонометриялық формулалар... Барлық осы жеке түрлендірулер біздің ресурста табуға болатын бөлек тақырыптарда егжей-тегжейлі берілген. Осыған байланысты біз бұл мақалада оларға тоқталмаймыз.

Негізгі бірдей түрлендірулерді қарастыруға көшейік.

Терминдерді, факторларды ауыстыру

Шарттарды қайта реттеуден бастайық. Біз бұл бірдей трансформациямен жиі айналысамыз. Ал мына тұжырымды мұнда негізгі ереже деп санауға болады: кез келген қосындыда терминдерді орындарда ауыстыру нәтижеге әсер етпейді.

Бұл ереже қосудың орын ауыстыру және біріктіру қасиеттеріне негізделген. Бұл қасиеттер терминдерді орындарда қайта реттеуге және осылайша бастапқыға бірдей тең өрнектерді алуға мүмкіндік береді. Сол себепті қосындыдағы орындардағы терминдердің орын ауыстыруы сәйкестікті түрлендіру болып табылады.

6-мысал

Бізде 3 + 5 + 7 үш мүшесінің қосындысы бар. Егер 3 және 5 мүшелерін ауыстырсақ, онда өрнек 5 + 3 + 7 пішінін алады. Бұл жағдайда терминдердің шарттарын қайта реттеудің бірнеше нұсқасы бар. Олардың барлығы түпнұсқаға ұқсас өрнектерді алуға әкеледі.

Қосындыда тек сандар ғана емес, өрнектер де мүшелер қызметін атқара алады. Оларды сандар сияқты, есептеулердің түпкілікті нәтижесіне әсер етпестен қайта орналастыруға болады.

7-мысал

Үш мүшесінің қосындысында 1 a + b, a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 және - 12 a түріндегі 1 a + b + a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 + ( -) 12) · терминдерді, мысалы, келесідей өзгертуге болады (- 12) Өз кезегінде 1 a + b бөлігінің бөлгішіндегі мүшелерді қайта орналастыруға болады, ал бөлшек 1 b + a пішінін алады. Ал түбір белгісінің астындағы өрнек a 2 + 2 a + 5сонымен қатар шарттарды ауыстыруға болатын сома.

Терминдер сияқты, бастапқы өрнектерде де көбейткіштердің орындарын өзгертіп, бірдей дұрыс теңдеулерді алуға болады. Бұл әрекет келесі ережемен реттеледі:

Анықтама 2

Өнімде көбейткіштерді орындарда қайта реттеу есептеу нәтижесіне әсер етпейді.

Бұл ереже бірдей түрлендірудің дұрыстығын растайтын көбейтудің орын ауыстыру және біріктіру қасиеттеріне негізделген.

8-мысал

Жұмыс 3 5 7факторлардың орнын ауыстыру келесі формалардың бірінде көрсетілуі мүмкін: 5 3 7, 5 7 3, 7 3 5, 7 5 3 немесе 3 7 5.

9-мысал

x + 1 x 2 - x + 1 x көбейтіндісіндегі көбейткіштерді қайта реттегенде x 2 - x + 1 x x + 1 шығады.

Жақшаларды кеңейту

Жақшада сандық және айнымалы өрнектер болуы мүмкін. Бұл өрнектерді бірдей тең өрнектерге айналдыруға болады, оларда жақша мүлде болмайды немесе бастапқы өрнектерге қарағанда олардың саны аз болады. Өрнектерді түрлендірудің бұл жолы жақшаны кеңейту деп аталады.

10-мысал

Пішін өрнегінде жақша арқылы әрекеттерді орындайық 3 + x - 1 xбірдей дұрыс өрнекті алу үшін 3 + x - 1 x.

3 x - 1 + - 1 + x 1 - x өрнегін 3 x - 3 - 1 + x 1 - x жақшасыз бірдей тең өрнекке түрлендіруге болады.

Біз ресурста жарияланған «Жақшаларды кеңейту» тақырыбында жақшалармен өрнектерді түрлендіру ережелерін егжей-тегжейлі қарастырдық.

Терминдерді, факторларды топтастыру

Біз үш немесе одан да көп терминдермен айналысатын жағдайларда терминдерді топтастыру сияқты бірдей түрлендірулердің түріне жүгіне аламыз. Бұл түрлендіру әдісі бірнеше терминдерді қайта реттеу және жақшаға алу арқылы топқа біріктіруді білдіреді.

Топтастыру кезінде терминдер өрнекте топтастырылатын терминдер қатар көрінетіндей етіп ауыстырылады. Содан кейін оларды жақшаға алуға болады.

11-мысал

Өрнекті алайық 5 + 7 + 1 ... Бірінші мүшені үшіншімен топтастырсақ, аламыз (5 + 1) + 7 .

Факторларды топтастыру терминдерді топтастыру сияқты жүзеге асырылады.

12-мысал

Жұмыста 2 3 4 5бірінші көбейткішті үшінші, ал екіншісін төртіншісімен топтастыруға болады және өрнекке келеміз (2 4) (3 5)... Ал бірінші, екінші және төртінші көбейткіштерді топтастырсақ, өрнекті алар едік (2 3 5) 4.

Топтастырылған терминдер мен факторлар жай сандармен де, өрнектермен де ұсынылуы мүмкін. Топтастыру ережелері «Терминдер мен факторларды топтастыру» тақырыбында жан-жақты талқыланды.

Айырмаларды қосындылармен, жартылай көбейтіндімен және керісінше ауыстыру

Айырмаларды қосындылармен ауыстыру қарама-қарсы сандармен танысуымыздың арқасында мүмкін болды. Енді саннан азайту асандар бсанға қосымша ретінде қарастыруға болады асандар - б... Теңдік a - b = a + (- b)әділ деп санауға және оның негізінде айырмашылықтарды сомалармен ауыстыруға болады.

13-мысал

Өрнекті алайық 4 + 3 − 2 , онда сандардың айырмашылығы 3 − 2 қосынды ретінде жаза аламыз 3 + (− 2) ... Біз алып жатырмыз 4 + 3 + (− 2) .

14-мысал

Экспрессиядағы барлық айырмашылықтар 5 + 2 x - x 2 - 3 x 3 - 0, 2сияқты сомалармен алмастыруға болады 5 + 2 x + (- x 2) + (- 3 x 3) + (- 0, 2).

Біз кез келген айырмашылықтардан сомаға шыға аламыз. Сол сияқты, біз кері ауыстыруды жасай аламыз.

Бөлуді көбейтіндіні бөлгіштің кері санына ауыстыру өзара кері сандар ұғымы арқылы мүмкін болады. Бұл түрлендіруді теңдік арқылы жазуға болады a: b = a (b - 1).

Бұл ереже жай бөлшектерді бөлу ережесіне негіз болды.

15-мысал

Жеке 1 2: 3 5 пішіннің туындысымен ауыстырылуы мүмкін 1 2 5 3.

Сол сияқты, ұқсастық бойынша бөлуді көбейтумен ауыстыруға болады.

16-мысал

Өрнек болған жағдайда 1 + 5: x: (x + 3)бөлімін ауыстырыңыз xкөбейтуге болады 1 x... бойынша бөлу x + 3көбейту арқылы ауыстыра аламыз 1 x + 3... Трансформация түпнұсқаға ұқсас өрнекті алуға мүмкіндік береді: 1 + 5 · 1 x · 1 x + 3.

Көбейтуді бөлуге ауыстыру схема бойынша жүзеге асырылады a b = a: (b - 1).

17-мысал

5 x x 2 + 1 - 3 өрнегінде көбейтуді 5 ретінде бөлуге ауыстыруға болады: x 2 + 1 x - 3.

Сандар бойынша әрекеттерді орындау

Сандармен қимылдарды орындау әрекеттер реті ережесіне бағынады. Біріншіден, әрекеттер сандардың дәрежелерімен және сандардың түбірлерімен орындалады. Осыдан кейін логарифмдерді, тригонометриялық және басқа функцияларды олардың мәндерімен ауыстырамыз. Содан кейін жақшадағы әрекеттер орындалады. Содан кейін барлық басқа әрекеттерді солдан оңға қарай орындауға болады. Көбейту мен бөлу қосу мен азайтудан бұрын орындалатынын есте ұстаған жөн.

Сандармен амалдар бастапқы өрнекті оған тең бірдей өрнекке түрлендіруге мүмкіндік береді.

18-мысал

Сандармен барлық мүмкін әрекеттерді орындай отырып, 3 · 2 3 - 1 · a + 4 · x 2 + 5 · x өрнегін қайта жазыңыз.

Шешім

Ең алдымен, дәрежеге назар аударайық 2 3 және түбір 4 және олардың мәндерін есептеңіз: 2 3 = 8 және 4 = 2 2 = 2.

Алынған мәндерді бастапқы өрнекке ауыстырыңыз және мынаны алыңыз: 3 · (8 - 1) · a + 2 · (x 2 + 5 · x).

Енді жақшадағы әрекеттерді орындайық: 8 − 1 = 7 ... Ал 3 7 a + 2 (x 2 + 5 x) өрнегіне көшеміз.

Бізге сандарды көбейтуді орындау қалады 3 және 7 ... Біз аламыз: 21 a + 2 (x 2 + 5 x).

Жауап: 3 2 3 - 1 a + 4 x 2 + 5 x = 21 a + 2 (x 2 + 5 x)

Сандардағы әрекеттердің алдында сандарды топтау немесе жақшаларды кеңейту сияқты бірдей түрлендірулердің басқа түрлері болуы мүмкін.

19-мысал

Өрнекті алайық 3 + 2 (6: 3) x (y 3 4) - 2 + 11.

Шешім

Ең алдымен, жақшадағы үлесті ауыстырамыз 6: 3 оның құны бойынша 2 ... Біз аламыз: 3 + 2 2 x (y 3 4) - 2 + 11.

Жақшаларды кеңейтейік: 3 + 2 2 x (y 3 4) - 2 + 11 = 3 + 2 2 x y 3 4 - 2 + 11.

Өнімдегі сандық факторларды, сондай-ақ сандар болып табылатын терминдерді топтастырайық: (3 - 2 + 11) + (2 2 4) x y 3.

Жақшадағы әрекеттерді орындайық: (3 - 2 + 11) + (2 2 4) x y 3 = 12 + 16 x y 3

Жауап:3 + 2 (6: 3) x (y 3 4) - 2 + 11 = 12 + 16 x y 3

Егер біз санды өрнектермен жұмыс жасайтын болсақ, онда біздің жұмысымыздың мақсаты өрнектің мағынасын табу болады. Егер біз айнымалылары бар өрнектерді түрлендірсек, онда біздің әрекеттеріміздің мақсаты өрнекті жеңілдету болады.

Ортақ факторды көрсетіңіз

Өрнектегі терминдердің көбейткіштері бірдей болған жағдайда, біз бұл ортақ көбейткішті жақшадан алып тастай аламыз. Ол үшін алдымен бастапқы өрнекті ортақ көбейткіштің туындысы және ортақ көбейткішсіз бастапқы мүшелерден тұратын жақшадағы өрнек ретінде көрсету керек.

20-мысал

Сандық түрде 2 7 + 2 3ортақ факторды алып тастай аламыз 2 жақшаларды алып, пішіннің бірдей дұрыс өрнегін алыңыз 2 (7 + 3).

Ресурсымыздың сәйкес бөлімінде жақшаның сыртына ортақ факторды қою ережелері туралы жадыңызды жаңартуға болады. Материалда жалпы көбейткішті жақшаның сыртына қою ережелері егжей-тегжейлі қарастырылады және көптеген мысалдар келтірілген.

Ұқсас терминдерді қысқарту

Енді ұқсас терминдерден тұратын қосындыларға көшейік. Екі мүмкін нұсқа бар: бірдей мүшелері бар қосындылар және шарттары сандық коэффициентпен ерекшеленетін қосындылар. Осындай терминдерді қамтитын қосындылары бар әрекеттер мұндай терминдерді азайту деп аталады. Ол келесідей жүзеге асырылады: жақшаның сыртындағы жалпы әріп бөлігін шығарып, жақшадағы сандық коэффициенттердің қосындысын есептейміз.

21-мысал

Өрнекті қарастырыңыз 1 + 4 x - 2 x... Біз х-тің әріптік бөлігін жақшаның сыртына қойып, өрнекті аламыз 1 + x (4 - 2)... Жақшадағы өрнектің мәнін есептеп, 1 + x · 2 түрінің қосындысын алайық.

Сандар мен өрнектерді бірдей тең өрнектермен ауыстыру

Бастапқы өрнек құрастырылған сандар мен өрнектерді бірдей тең өрнектермен ауыстыруға болады. Бастапқы өрнектің мұндай түрленуі оған бірдей тең өрнекке әкеледі.

22-мысал 23-мысал

Өрнекті қарастырыңыз 1 + a 5, онда біз 5 дәрежесін бірдей тең көбейтіндімен алмастыра аламыз, мысалы, пішіннің а а 4... Бұл бізге өрнек береді 1 + a a 4.

Орындалған түрлендіру жасанды. Бұл басқа түрлендірулерге дайындық кезінде ғана мағынасы бар.

24-мысал

Қосындыны түрлендіруді қарастырайық 4 x 3 + 2 x 2... Мұнда термин 4 x 3шығарма ретінде елестете аламыз 2 x 2 2 x... Нәтижесінде бастапқы өрнек пішінді алады 2 x 2 2 x + 2 x 2... Енді біз ортақ факторды таңдай аламыз 2 x 2және оны жақшалардың сыртына қойыңыз: 2 x 2 (2 x + 1).

Бірдей санды қосу және азайту

Бір уақытта бірдей санды немесе өрнекті қосу және азайту өрнектерді түрлендірудің жасанды әдісі болып табылады.

25-мысал

Өрнекті қарастырыңыз x 2 + 2 x... Біз одан біреуін қосуға немесе азайтуға болады, бұл бізге болашақта тағы бір бірдей түрлендіруді жүзеге асыруға мүмкіндік береді - биномның квадратын таңдау: x 2 + 2 x = x 2 + 2 x + 1 - 1 = (x + 1) 2 - 1.

Мәтінде қатені байқасаңыз, оны таңдап, Ctrl + Enter пернелерін басыңыз

Екі алгебралық өрнек берілсін:

Х әрпінің әртүрлі сандық мәндері үшін осы өрнектердің әрқайсысының мәндерінің кестесін құрастырайық.

Біз x әрпіне берілген барлық мәндер үшін екі өрнектің де мәндері бірдей болғанын көреміз. Бұл х-тің кез келген басқа мәніне қатысты болады.

Мұны тексеру үшін бірінші өрнекті түрлендіреміз. Бөлу заңына сүйене отырып, біз жазамыз:

Сандар бойынша көрсетілген әрекеттерді орындай отырып, біз аламыз:

Сонымен, бірінші өрнек жеңілдетілгеннен кейін екінші өрнекпен бірдей болып шықты.

Енді х-тің кез келген мәні үшін екі өрнектің де мәндері бірдей екені анық.

Мәндері құрамындағы әріптердің кез келген мәндері үшін тең болатын өрнектер бірдей тең немесе бірдей деп аталады.

Демек, олар бірдей өрнектер.

Бір маңызды ескерту жасайық. Өрнектерді алайық:

Алдыңғы кестеге ұқсас кестені құрастырып, х-тің кез келген мәнінен басқа екі өрнектің де сандық мәндері бірдей екеніне көз жеткізіңіз. Екінші өрнек 6-ға тең болғанда ғана, ал біріншісі мағынасын жоғалтады, өйткені бөлгіш нөлге айналады. (Нөлге бөлуге болмайтынын есте сақтаңыз.) Бұл өрнектерді бірдей деп айта аламыз ба?

Біз әр өрнек тек әріптердің жарамды мәндері үшін, яғни өрнек мағынасын жоғалтпайтын мәндер үшін ғана қарастырылатыны туралы бұрын келістік. Демек, бұл жерде екі өрнекті салыстыру кезінде екі өрнек үшін де рұқсат етілген әріптік мағыналарды ғана ескереміз. Сондықтан біз мағынаны алып тастауымыз керек. Ал x-тің барлық басқа мәндері үшін екі өрнектің де сандық мәні бірдей болғандықтан, оларды бірдей деп санауға құқығымыз бар.

Айтылғандарға сүйене отырып, ұқсас өрнектерге мынадай анықтама береміз:

1. Өрнектер құрамындағы әріптердің барлық рұқсат етілген мәндері үшін бірдей сандық мәндерге ие болса, олар бірдей деп аталады.

Теңдік белгісі бар екі бірдей өрнекті қоссақ, сәйкестік шығады. білдіреді:

2. Сәйкестік - оған енгізілген әріптердің барлық рұқсат етілген мәндері үшін дұрыс болатын теңдік.

Біз жеке тұлғаларды бұрын да кездестірдік. Сонымен, мысалы, сәйкестіктер - бұл біз қосу мен көбейтудің негізгі заңдарын білдіретін барлық теңдіктер.

Мысалы, қосудың орын ауыстыру заңын өрнектейтін теңдіктер

және көбейтудің тіркес заңы

әріптердің кез келген мағынасы үшін жарамды. Демек, бұл теңдіктер сәйкестік болып табылады.

Барлық дұрыс арифметикалық теңдіктер де сәйкестіктер болып саналады, мысалы:

Алгебрада жиі кез келген өрнекті оған ұқсас басқа өрнекпен ауыстыру қажет. Мысалы, өрнектің мәнін табу қажет болсын

Берілген өрнекті оған ұқсас өрнекпен ауыстырсақ, есептеулерді айтарлықтай жеңілдетеміз. Бөлу заңына сүйене отырып, біз жаза аламыз:

Бірақ жақшадағы сандар 100-ге жетеді. Сонымен, бізде сәйкестік бар:

Оның оң жағындағы а орнына 6,53-ті қойып, бірден (ойымызда) бұл өрнектің сандық мәнін (653) табамыз.

Бір өрнекті оған ұқсас басқа өрнекпен ауыстыру осы өрнектің бірдей түрленуі деп аталады.

Әріптердің рұқсат етілген мәндері үшін кез келген алгебралық өрнек кейбір екенін еске түсіріңіз

саны. Бұдан алдыңғы тарауда берілген арифметикалық амалдардың барлық заңдары мен қасиеттері алгебралық өрнектерге жарамды екендігі шығады. Сонымен, арифметикалық амалдардың заңдары мен қасиеттерін қолдану берілген алгебралық өрнекті оған ұқсас өрнекке түрлендіреді.

Алгебрада амалдар мен олардың қасиеттерін зерттеумен қатар, сияқты ұғымдар өрнек, теңдеу, теңсіздік ... Олармен алғашқы танысу математиканың бастауыш курсында болады. Олар, әдетте, қатаң анықтамаларсыз, көбінесе экстенсивті түрде енгізіледі, бұл мұғалімнен осы ұғымдарды білдіретін терминдерді қолдануда өте мұқият болуды ғана емес, сонымен қатар олардың бірқатар қасиеттерін білуді талап етеді. Сондықтан осы бөлімнің материалын меңгере отырып, біздің алға қойған басты міндетіміз өрнектер (сандық және айнымалысы бар), сандық теңдіктер мен сандық теңсіздіктер, теңдеулер мен теңсіздіктер туралы білімдерді нақтылау және тереңдету болып табылады.

Бұл ұғымдарды зерттеу математикалық тілді қолданумен байланысты, ол сол немесе басқа ғылыммен бірге жасалған және дамытылатын жасанды тілдерге жатады. Кез келген басқа математикалық тіл сияқты оның да өз алфавиті бар. Курсымызда алгебра мен арифметиканың арақатынасына көбірек көңіл бөлу қажеттілігіне байланысты ол ішінара ұсынылатын болады. Бұл алфавит мыналарды қамтиды:

1) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 сандары; олардың көмегімен сандар арнайы ережелер бойынша жазылады;

2) операция белгілері +, -,,:;

3) қатынас белгілері<, >, =, M;

4) латын әліпбиінің кіші әріптері, олар сандардың мағынасын белгілеу үшін қолданылады;

5) жақшалар (дөңгелек, бұйра және т.б.), олар техникалық белгілер деп аталады.

Осы алфавит арқылы алгебрада сөздер құрастырылып, оларды өрнек деп атайды, ал сөздерден – сандық теңдіктер, сандық теңсіздіктер, теңеулер, айнымалылары бар теңсіздіктер сөйлемдер алынады.

Өздеріңіз білетіндей, 3 + 7, 24: 8, 3 жазбалары × 2 - 4, (25 + 3)× 2-17 деп аталады сандық өрнектер. Олар сандардан, қимыл белгілерінен, жақшалардан құралады. Өрнекте көрсетілген барлық қадамдарды орындасақ, шақырылатын санды аламыз сандық өрнектің мәні . Сонымен, сандық өрнектің мәні 3-ке тең × 2 - 4 тең 2.

Мәндерін табу мүмкін емес сандық өрнектер бар. Мұндай өрнектер деп айтылады мағынасы жоқ .

мысалы, 8 өрнек: (4 - 4) мағынасы жоқ, өйткені оның мәнін табу мүмкін емес: 4 - 4 = 0 және нөлге бөлу мүмкін емес. 7-9 өрнегі, егер оны натурал сандар жиынында қарастыратын болсақ, мағынасы болмайды, өйткені 7-9 өрнектің мәндерін бұл жиында табу мүмкін емес.

2а + 3 белгісін қарастырайық. Ол сандардан, әрекет белгілерінен және а әрпінен жасалған. Егер сіз a орнына сандарды қойсаңыз, сіз әртүрлі сандық өрнектерді аласыз:

а = 7 болса, онда 2 × 7 + 3;

а = 0 болса, онда 2 × 0 + 3;

a = - 4 болса, онда 2 × (- 4) + 3.

2a + 3 жазбасында мұндай а әрпі аталады айнымалы , және 2a + 3 жазбасының өзі айнымалысы бар өрнек.

Математикадағы айнымалы әдетте латын әліпбиінің кез келген кіші әріпімен белгіленеді. В бастауыш мектепайнымалыны белгілеу үшін әріптерден басқа белгілер қолданылады, мысалы -. Сонда айнымалысы бар өрнек былай жазылады: 2 × - + 3.

Әрбір айнымалы өрнек сандар жиынына сәйкес келеді, ауыстырылған кезде мағынасы бар сандық өрнек алынады. Бұл жиын деп аталады білдіру аясы .

Мысалы, 5: (x - 7) өрнегі 7 санынан басқа барлық нақты сандардан тұрады, өйткені x = 7 кезінде 5: (7 - 7) өрнегі мағынасы жоқ.

Математикада бір, екі немесе одан да көп айнымалысы бар өрнектер қарастырылады.

Мысалы, 2a + 3 - бір айнымалысы бар өрнек және (3x + 8y) × 2 - үш айнымалысы бар өрнек. Үш айнымалысы бар өрнектен сандық өрнек алу үшін әрбір айнымалының орнына өрнектің ауқымына жататын сандарды ауыстырыңыз.

Сонымен, біз математикалық тілдің алфавитінен сандық өрнектер мен айнымалылары бар өрнектердің қалай жасалатынын анықтадық. Егер орыс тіліне ұқсастық жасасақ, онда өрнектер математикалық тілдің сөздері болып табылады.

Бірақ, математикалық тілдің алфавитін пайдалана отырып, мысалы, жазбаларды қалыптастыруға болады: (3 + 2)) - × 12 немесе 3x - y: +) 8, оны сандық өрнек немесе айнымалы өрнек деп атауға болмайды. Бұл мысалдар математикалық тілдің әліпбиінің таңбаларынан сандық және айнымалы өрнектер жасалған сипаттама бұл ұғымдардың анықтамасы емес екенін көрсетеді. Санды өрнекке анықтама берейік (айнымалылары бар өрнек дәл осылай анықталады).

Анықтама.Егер f және q сандық өрнектер болса, онда (f) + (q), (f) - (q), (f) × (q), (f) (q) - сандық өрнектер. Әрбір сан сандық өрнек болып саналады.

Егер сіз осы анықтаманы дәл орындасаңыз, сізге тым көп жақша жазуға тура келеді, мысалы, (7) + (5) немесе (6): (2). Белгілеуді қысқарту үшін, егер бірнеше өрнек қосылса немесе алынып тасталса және бұл амалдар солдан оңға қарай орындалса, жақша жазбауға келістік. Сол сияқты бірнеше санды көбейткенде немесе бөлгенде де жақша жазылмайды және бұл амалдар солдан оңға қарай ретімен орындалады.

мысалы, былай жазыңыз: 37 - 12 + 62 - 17 + 13 немесе 120: 15-7: 12.

Сонымен қатар, алдымен екінші кезеңнің (көбейту және бөлу), содан кейін бірінші кезеңнің (қосу және азайту) әрекеттерін орындауға келістік. Сондықтан (12-4: 3) + (5-8: 2-7) өрнегі былай жазылады: 12 - 4: 3 + 5 - 8: 2 - 7.

Тапсырма. 3x (x - 2) + 4 (x - 2) өрнегінің x = 6 кезіндегі мәнін табыңыз.

Шешім

1 жол. Осы өрнектегі айнымалының орнына 6 санын қойыңыз: 3 × 6- (6 - 2) + 4 × (6 - 2). Алынған сандық өрнектің мәнін табу үшін барлық көрсетілген әрекеттерді орындаңыз: 3 × 6 × (6 - 2) + 4 × (6-2) = 18 × 4 + 4 × 4 = 72 + 16 = 88. Сондықтан, үшін X= 6 Zx (x- 2) + 4 (x-2) өрнегінің мәні 88-ге тең.

2-әдіс. Бұл өрнекке 6 санын қоймас бұрын, оны ықшамдап алайық: Zx (x - 2) + 4 (x - 2) = (X - 2) (3x + 4). Содан кейін, орнына алынған өрнекте ауыстырыңыз Xсаны 6, келесіні орындаймыз: (6 - 2) × (3 × 6 + 4) = 4 × (18 + 4) = 4 × 22 = 88.

Мыналарға назар аударайық: бірінші есеп шығару әдісінде, ал екіншісінде бір өрнекті екіншісімен ауыстырдық.

мысалы, 18 × 4 + 4 × 4 өрнегі 72 + 16 өрнегімен, ал Зх (х - 2) + 4 (х - 2) - өрнегі ауыстырылды. (X - 2) (3x + 4) және бұл өзгерістер бірдей нәтижеге әкелді. Математикада берілген есептің шешімін сипаттай отырып, біз орындадық дейді бірдей түрлендірулер өрнектер.

Анықтама.Екі өрнек бірдей тең деп аталады, егер өрнектердің облысындағы айнымалылардың кез келген мәндері үшін олардың сәйкес мәндері тең болса.

Бірдей тең өрнектердің мысалы ретінде 5 (x + 2) және өрнектері табылады 5x+ 10, өйткені кез келген нақты мәндер үшін Xолардың мәндері бірдей.

Егер қандай да бір жиында екі бірдей тең өрнекті тең таңбасымен қосатын болсақ, онда шақырылатын сөйлем шығады жеке басын куәландыратын осы жиынтықта.

мысалы, 5 (x + 2) = 5x + 10 - нақты сандар жиынындағы сәйкестік, өйткені барлық нақты сандар үшін 5 (x + 2) және 5x + 10 өрнегінің мәндері бірдей. Жалпы квантордың жазылуын пайдаланып, бұл сәйкестікті былай жазуға болады: ("x Î R) 5 (x + 2) = 5x + 10. Нағыз сандық теңдіктер де сәйкестіктер болып саналады.

Қандай да бір жиында өрнекті оған бірдей тең басқасымен ауыстыру деп аталады берілген өрнектің осы жиынға бірдей түрлендіруі.

Сонымен, 5 (х + 2) өрнегін оған бірдей тең 5х + 10 өрнегімен ауыстырып, бірінші өрнекті бірдей түрлендіруді орындадық. Бірақ екі өрнек болған кезде олардың бірдей немесе тең еместігін қалай білуге ​​болады? Айнымалылардың орнына арнайы сандарды қою арқылы өрнектердің сәйкес мәндерін табу керек пе? Ұзақ уақыт бойы және әрқашан мүмкін емес. Бірақ өрнектерді бірдей түрлендіруді орындау кезінде қандай ережелерді сақтау керек? Бұл ережелердің көпшілігі бар, олардың арасында алгебралық амалдардың қасиеттері бар.

Тапсырма. ax - bx + ab - b 2 өрнегін көбейткіштер.

Шешім.Осы өрнектің мүшелерін екіге топтастырайық (біріншісі екіншісімен, үшіншісі төртіншісімен): ax - bx + ab - b 2 = (ax-bx) + (ab-b 2). Бұл түрлендіру нақты сандарды қосудың ассоциативті қасиетіне негізделген мүмкін.

Әрбір жақшадан алынған өрнектегі ортақ көбейткішті шығарайық: (ax - bx) + (ab - b 2) = x (a -b) + b (a - b) - бұл түрлендіру дистрибутивтік қасиет негізінде мүмкін нақты сандарды азайтуға қатысты көбейту.

Алынған өрнекте терминдердің ортақ көбейткіші бар, оны жақшаның сыртына аламыз: x (a - b) + b (a - b) = (a - b) (x -b). Орындалған түрлендіру қосуға қатысты көбейтудің үлестіргіш қасиетіне негізделген.

Сонымен, ax - bx + ab - b 2 = (a - b) (x -b).

Бастапқы курста математиктер, әдетте, тек сандық өрнектердің бірдей түрлендірулерін орындайды. Теориялық негізімұндай түрлендірулер қосу мен көбейтудің қасиеттері, әртүрлі ережелері: санға қосындыны, қосындыға санды қосу, қосындыдан санды азайту т.б.

мысалы 35 × 4 көбейтіндісін табу үшін түрлендірулерді орындау керек: 35 × 4 = (30 + 5) × 4 = 30 × 4 + 5 × 4 = 120 + 20 = 140. Орындалатын түрлендірулер мыналарға негізделеді: көбейтіндінің қосуға қатысты үлестірімділік қасиеті; ондық санау жүйесінде сандарды жазу принципі (35 = 30 + 5); натурал сандарды көбейту және қосу ережелері.

Бастапқы өрнек құрастырылған сандар мен өрнектерді бірдей тең өрнектермен ауыстыруға болады. Бастапқы өрнектің мұндай түрленуі оған бірдей тең өрнекке әкеледі.

Мысалы, 3 + x өрнегінде 3 санын 1 + 2 қосындысымен ауыстыруға болады және бастапқы өрнекке бірдей тең (1 + 2) + х өрнегі алынады. Тағы бір мысал: 1 + a 5 өрнегінде 5 дәрежесін бірдей тең көбейтіндімен ауыстыруға болады, мысалы, a · a 4 түріндегі. Бұл бізге 1 + a · a 4 өрнегін береді.

Бұл түрлендіру, сөзсіз, жасанды және әдетте кейбір одан әрі трансформацияға дайындалады. Мысалы, 4 · x 3 + 2 · x 2 қосындысында дәреженің қасиеттерін ескере отырып, 4 · x 3 мүшесін 2 · x 2 · 2 · x көбейтіндісі ретінде көрсетуге болады. Бұл түрлендіруден кейін бастапқы өрнек 2 · x 2 · 2 · x + 2 · x 2 пішінін алады. Алынған қосындыдағы мүшелердің ортақ көбейткіші 2 х 2 болатыны анық, сондықтан келесі түрлендіруді – жақшаларды орындай аламыз. Осыдан кейін біз өрнекке келеміз: 2 x 2 (2 x + 1).

Бірдей санды қосу және азайту

Басқалар жасанды түрлендіруөрнек - бірдей санды немесе өрнекті қосу және бір уақытта азайту. Бұл түрлендіру бірдей, себебі ол нөлді қосуға тең және нөлді қосу мәнді өзгертпейді.

Мысал қарастырайық. x 2 + 2 x өрнегін алыңыз. Егер біз оған біреуін қосып, біреуін шегерсек, бұл болашақта тағы бір бірдей түрлендіруді орындауға мүмкіндік береді - биномның квадратын таңдаңыз: x 2 + 2 x = x 2 + 2 x + 1−1 = (x + 1) 2 −1.

Әдебиеттер тізімі.

• Алгебра:оқу. 7 кл. жалпы білім беру. мекемелер / [Ю. Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова]; ред. С.А.Теляковский. - 17-ші басылым. - М.: Білім, 2008 .-- 240 б. : науқас. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Алгебра:оқу. 8 кл. жалпы білім беру. мекемелер / [Ю. Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова]; ред. С.А.Теляковский. - 16-шы басылым. - М.: Білім, 2008 .-- 271 б. : науқас. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Мордкович А.ГАлгебра. 7 сынып. 14.00 1-бөлім. Оқу орындарының студенттеріне арналған оқулық / А.Г.Мордкович. - 17-ші басылым, толықтыру. - М .: Мнемозина, 2013 .-- 175 б.: ауру. ISBN 978-5-346-02432-3.