Шаршы ур. Квадрат теңдеулер. Толық квадрат теңдеулерді шешу. Кішірейтілген және төмендетілмеген квадрат теңдеулер

Осы мақаланы оқығаннан кейін сіз толық квадрат теңдеудің түбірін қалай табуға болатындығын білесіз деп үміттенемін.

Дискриминанттың көмегімен тек толық квадрат теңдеулер шешіледі, толық емес квадрат теңдеулерді шешуде басқа әдістер қолданылады, оларды «Толымсыз квадрат теңдеулерді шешу» мақаласынан табасыз.

Қандай квадрат теңдеулер толық деп аталады? бұл ax 2 + b x + c \u003d 0 түріндегі теңдеулермұндағы a, b және c коэффициенттері нөлге тең емес. Сонымен, толық квадрат теңдеуді шешу үшін D дискриминантын есептеу керек.

D \u003d b 2 - 4ac.

Дискриминант қандай құндылыққа ие болғанына байланысты, біз оның жауабын жазамыз.

Егер дискриминант теріс болса (Д.< 0),то корней нет.

Егер дискриминант нөлге тең болса, онда x \u003d (-b) / 2a. Дискриминант оң сан болған кезде (D\u003e 0),

онда x 1 \u003d (-b - √D) / 2a, және x 2 \u003d (-b + √D) / 2a.

Мысалға. Теңдеуді шешіңіз x 2 - 4x + 4 \u003d 0.

D \u003d 4 2 - 4 4 \u003d 0

x \u003d (- (-4)) / 2 \u003d 2

Жауап: 2.

2-теңдеуді шешіңіз x 2 + x + 3 \u003d 0.

D \u003d 1 2 - 4 2 3 \u003d - 23

Жауап: тамыр жоқ.

2-теңдеуді шешіңіз x 2 + 5х - 7 \u003d 0.

D \u003d 5 2 - 4 · 2 · (–7) \u003d 81

x 1 \u003d (-5 - -81) / (2 2) \u003d (-5 - 9) / 4 \u003d - 3.5

x 2 \u003d (-5 + -81) / (2 2) \u003d (-5 + 9) / 4 \u003d 1

Жауап: - 3,5; 1.

Сонымен, толық квадрат теңдеулердің шешімін 1 суреттегі схема бойынша ұсынамыз.

Кез-келген толық квадрат теңдеуді осы формулалар көмегімен шешуге болады. Мұны қамтамасыз ету үшін сізге абай болу керек теңдеу стандартты көпмүшелік түрінде жазылды

және x 2 + bx + c, әйтпесе, сіз қате жібере аласыз. Мысалы, x + 3 + 2x 2 \u003d 0 теңдеуін жазуда қате шешім қабылдауға болады

a \u003d 1, b \u003d 3 және c \u003d 2. Сонда

D \u003d 3 2 - 4 · 1 · 2 \u003d 1, содан кейін теңдеудің екі түбірі болады. Бұл дұрыс емес. (Жоғарыдағы 2-мысалдың шешімін қараңыз).

Сондықтан, егер теңдеу стандартты түрдегі көпмүше түрінде жазылмаса, онда алдымен толық квадрат теңдеуді стандартты түрдегі көпмүше түрінде жазу керек (бірінші кезекте ең үлкен көрсеткіші бар мономальды болу керек, яғни және x 2 , содан кейін аз – bxсодан кейін еркін мүше бастап.

Төмендетілген квадрат теңдеуді және екінші мүшеде жұп коэффициентті квадрат теңдеуді шешкен кезде басқа формулаларды да қолдануға болады. Осы формулалармен де танысайық. Егер екінші мүшесі бар толық квадрат теңдеуде коэффициент жұп болса (b \u003d 2k), онда теңдеуді 2-суреттегі диаграммада көрсетілген формулалар көмегімен шешуге болады.

Толық квадрат теңдеуді at коэффициенті келтірілген деп атайды x 2 біреуіне тең және теңдеу форманы алады x 2 + px + q \u003d 0... Мұндай теңдеуді шешім үшін беруге болады немесе ол теңдеудің барлық коэффициенттерін коэффициентке бөлу арқылы алынады жәнетұру x 2 .

3 суретте келтірілген квадратты шешудің сызбасы көрсетілген
теңдеулер. Осы мақалада талқыланған формулаларды қолдану мысалын қарастырайық.

Мысал. Теңдеуді шешіңіз

3x 2 + 6х - 6 \u003d 0.

Осы теңдеуді 1-суреттегі диаграммада көрсетілген формулалар арқылы шешейік.

D \u003d 6 2 - 4 3 (- 6) \u003d 36 + 72 \u003d 108

√D \u003d -108 \u003d √ (363) \u003d 6√3

x 1 \u003d (-6 - 6√3) / (2 3) \u003d (6 (-1- √ (3))) / 6 \u003d –1 - √3

x 2 \u003d (-6 + 6√3) / (2 3) \u003d (6 (-1+ √ (3))) / 6 \u003d –1 + √3

Жауап: -1 - √3; –1 + √3

Осы теңдеудегі х коэффициенті жұп сан, яғни b \u003d 6 немесе b \u003d 2k, мұндағы k \u003d 3. деп белгілеуге болады, сонда біз D 1 \u003d 3 2 - 3 · (- 6 суретінің диаграммасында көрсетілген формулалар бойынша теңдеуді шешуге тырысамыз. ) \u003d 9 + 18 \u003d 27

√ (D 1) \u003d √27 \u003d √ (9 3) \u003d 3√3

x 1 \u003d (-3 - 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 - √ (3))) / 3 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 + √ (3))) / 3 \u003d - 1 + √3

Жауап: -1 - √3; –1 + √3... Осы квадрат теңдеудегі барлық коэффициенттердің 3-ке бөлінетінін байқап, бөлуді орындай отырып, келтірілген квадрат теңдеуді аламыз x 2 + 2x - 2 \u003d 0 Квадраттың келтірілген формулаларын пайдаланып, осы теңдеуді шешеміз
теңдеу сурет 3.

D 2 \u003d 2 2 - 4 (- 2) \u003d 4 + 8 \u003d 12

√ (D 2) \u003d -12 \u003d √ (4 3) \u003d 2√3

x 1 \u003d (-2 - 2√3) / 2 \u003d (2 (-1 - √ (3))) / 2 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-2 + 2√3) / 2 \u003d (2 (-1+ √ (3))) / 2 \u003d - 1 + √3

Жауап: -1 - √3; –1 + √3.

Көріп отырғаныңыздай, бұл теңдеуді әр түрлі формулалар арқылы шешкен кезде біз бірдей жауап алдық. Сондықтан 1-суреттегі диаграммада көрсетілген формулаларды жақсы меңгеріп, сіз кез-келген толық квадрат теңдеуді шеше аласыз.

сайт, материалдың толық немесе ішінара көшірмесімен, дереккөзге сілтеме қажет.

Біз «тақырыпты зерттеуді жалғастырамыз теңдеулерді шешу«. Біз сызықтық теңдеулермен кездесіп, танысуға көштік квадрат теңдеулер.

Алдымен біз квадрат теңдеу дегеніміз не, ол жалпы түрде қалай жазылатындығын талдап, соған байланысты анықтамалар береміз. Осыдан кейін мысалдарды қолданып, толық емес квадрат теңдеулер қалай шешілетінін егжей-тегжейлі талдаймыз. Содан кейін біз толық теңдеулерді шешуге көшеміз, түбірлердің формуласын аламыз, квадрат теңдеудің дискриминантымен танысамыз және типтік мысалдардың шешімдерін қарастырамыз. Соңында түбірлер мен коэффициенттер арасындағы байланысты анықтайық.

Бетті шарлау.

Квадрат теңдеу дегеніміз не? Олардың түрлері

Алдымен сізге квадрат теңдеу дегеннің не екенін түсінуіңіз керек. Сондықтан квадрат теңдеу туралы, онымен байланысты анықтамалармен қатар, квадрат теңдеулер туралы айтуды бастау қисынды. Осыдан кейін квадрат теңдеулердің негізгі түрлерін қарастыруға болады: кішірейтілген және кішірейтілген емес, сонымен қатар толық және толық емес теңдеулер.

Квадрат теңдеудің анықтамасы және мысалдары

Анықтама.

Квадрат теңдеу Бұл форманың теңдеуі a x 2 + b x + c \u003d 0 , мұндағы х - айнымалы, а, b және с - кейбір сандар, ал а - нөл емес.

Квадрат теңдеулерді көбінесе екінші дәрежелі теңдеулер деп атайды делік. Квадрат теңдеуі мынаған байланысты алгебралық теңдеу екінші дәреже.

Дыбыстық анықтама квадрат теңдеулерге мысалдар келтіруге мүмкіндік береді. Сонымен 2 x 2 + 6 x + 1 \u003d 0, 0,2 x 2 + 2,5 x + 0,03 \u003d 0 және т.б. Квадрат теңдеулер ме?

Анықтама.

Сандар а, в және с деп аталады квадрат теңдеу коэффициенттері a x 2 + b x + c \u003d 0, ал а коэффициенті бірінші, немесе ең үлкен, немесе х 2 кезіндегі коэффициент деп аталады, b екінші коэффициент, немесе х-дағы коэффициент, ал с - бос мүше.

Мысалы, 5 x 2 −2 x - 3 \u003d 0 түріндегі квадрат теңдеуді алайық, мұндағы жетекші коэффициент 5, екінші коэффициент −2, ал кесінді −3. B және / немесе с коэффициенттері жаңа келтірілген мысалдағыдай теріс болған кезде, квадрат теңдеудің қысқа формасы 5 x 2 + (- 2 емес, 5 x 2 −2 x - 3 \u003d 0) болатынына назар аударыңыз. ) X + (- 3) \u003d 0.

А және / немесе b коэффициенттері 1 немесе −1-ге тең болғанда, олар көбінесе квадрат теңдеуде анық көрінбейтінін ескеру керек, бұл осындай жазудың ерекшеліктеріне байланысты. Мысалы, y 2 −y + 3 \u003d 0 квадрат теңдеуінде жетекші коэффициент бір, ал у кезіндегі коэффициент −1 болады.

Кішірейтілген және төмендетілмеген квадрат теңдеулер

Кішірейтілген және төмендетілмеген квадрат теңдеулер жетекші коэффициенттің мәніне байланысты ажыратылады. Тиісті анықтамаларды келтірейік.

Анықтама.

Жетекші коэффициенті 1 болатын квадрат теңдеу деп аталады келтірілген квадрат теңдеу... Олай болмаған жағдайда, квадрат теңдеу болады төмендетілмеген.

Сәйкес бұл анықтама, квадрат теңдеулер x 2 −3 x + 1 \u003d 0, x 2 −x - 2/3 \u003d 0 және т.б. - берілген, олардың әрқайсысында бірінші коэффициент біреуіне тең. Ал 5 x 2 −x - 1 \u003d 0 және т.б. - төмендетілмеген квадрат теңдеулер, олардың жетекші коэффициенттері 1-ден өзгеше.

Кез-келген төмендетілмеген квадрат теңдеудің екі бөлігін де жетекші коэффициентке бөлу арқылы сіз кішірейтілгенге бара аласыз. Бұл әрекет эквивалентті түрлендіру болып табылады, яғни осы жолмен алынған кішірейтілген квадрат теңдеудің түпнұсқасы азайтылмаған квадрат теңдеу сияқты түбірлері бар немесе ол сияқты түбірлер жоқ.

Төмендетілмеген квадрат теңдеуден кішірейтілгенге өту қалай жүзеге асатынын мысалмен талдап көрейік.

Мысал.

3 x 2 + 12 x - 7 \u003d 0 теңдеуінен сәйкес келтірілген квадрат теңдеуге өтіңіз.

Шешім.

Бізге бастапқы теңдеудің екі жағын да жетекші 3 коэффициенті бойынша бөлуді орындау жеткілікті, бұл нөлдік емес, сондықтан біз бұл әрекетті орындай аламыз. Бізде (3 x 2 + 12 x - 7): 3 \u003d 0: 3, ол бірдей, (3 x 2): 3+ (12 x): 3−7: 3 \u003d 0, және одан да көп (3: 3) x 2 + (12: 3) x - 7: 3 \u003d 0, қайдан. Сонымен, біз бастапқыға балама келтірілген қысқартылған квадрат теңдеуді алдық.

Жауап:

Толық және толық емес квадрат теңдеулер

Квадрат теңдеудің анықтамасында a ≠ 0 шарты бар. Бұл шарт a x 2 + b x + c \u003d 0 теңдеуі дәл квадраттық болу үшін қажет, өйткені a \u003d 0 кезінде ол шын мәнінде b x + c \u003d 0 түріндегі сызықтық теңдеуге айналады.

B және c коэффициенттеріне келетін болсақ, олар бөлек те, бірге де нөлге тең болуы мүмкін. Бұл жағдайларда квадрат теңдеу толық емес деп аталады.

Анықтама.

A x 2 + b x + c \u003d 0 квадрат теңдеуі деп аталады толық емесегер b коэффициенттерінің кем дегенде біреуі нөлге тең болса.

Өз кезегінде

Анықтама.

Толық квадрат теңдеу Барлық коэффициенттер нөлге тең емес теңдеу болып табылады.

Бұл атаулар кездейсоқ қойылмайды. Бұл келесі ойлардан айқын болады.

Егер b коэффициенті нөлге тең болса, онда квадрат теңдеу a x 2 + 0 x + c \u003d 0 түрін алады және ол a x 2 + c \u003d 0 теңдеуіне тең болады. Егер c \u003d 0, яғни квадрат теңдеу a x 2 + b x + 0 \u003d 0 түріне ие болса, онда оны x 2 + b x \u003d 0 түрінде қайта жазуға болады. Ал b \u003d 0 және c \u003d 0 арқылы a · x 2 \u003d 0 квадрат теңдеуін аламыз. Алынған теңдеулердің толық квадрат теңдеуден айырмашылығы, олардың сол жағында х айнымалысы бар мүше де, бос мүшесі де, екеуі де болмайды. Демек олардың атауы - толық емес квадрат теңдеулер.

Демек x 2 + x + 1 \u003d 0 және −2 x 2 −5 x + 0.2 \u003d 0 теңдеулері толық квадрат теңдеулердің мысалдары, ал x 2 \u003d 0, −2 x 2 \u003d 0,5 x 2 + 3 \u003d 0, −x 2 −5 · x \u003d 0 - толық емес квадрат теңдеулер.

Толымсыз квадрат теңдеулерді шешу

Алдыңғы параграфтағы мәліметтерден мыналар шығады толық емес квадрат теңдеулердің үш түрі:

• a x 2 \u003d 0, b \u003d 0 және c \u003d 0 коэффициенттері оған сәйкес келеді;
• b \u003d 0 болған кезде a x 2 + c \u003d 0;
• және с \u003d 0 болған кезде a x 2 + b x \u003d 0.

Осы типтердің әрқайсысының толық емес квадрат теңдеулерінің қалай шешілетіндігін ретімен талдап көрейік.

a x 2 \u003d 0

B және c коэффициенттері нөлге тең болатын, яғни a · x 2 \u003d 0 түріндегі теңдеулерден тұратын толық емес квадрат теңдеулерді шешуден бастайық. A · x 2 \u003d 0 теңдеуі x 2 \u003d 0 теңдеуіне тең, ол түпнұсқадан оның екі бөлігін тең емес а санына бөлу арқылы алынады. 0 2 \u003d 0 болғандықтан, x 2 \u003d 0 теңдеуінің түбірі нөлге тең екені анық. Бұл теңдеуде басқа түбірлер жоқ, ол түсіндіріледі, кез келген нөлдік емес сан үшін p 2\u003e 0 теңсіздігі орындалады, бұдан p p 0 үшін p 2 \u003d 0 теңдігі ешқашан болмайды.

Сонымен, a · x 2 \u003d 0 толық емес квадрат теңдеуінің жалғыз түбірі x \u003d 0 болады.

Мысал ретінде толық емес квадрат теңдеудің шешімін шығарайық −4 · x 2 \u003d 0. X 2 \u003d 0 теңдеуі оған эквивалентті, оның жалғыз түбірі x \u003d 0, сондықтан бастапқы теңдеудің нөлге тең түбірі де бар.

Бұл жағдайда қысқа шешім келесідей тұжырымдалуы мүмкін:
−4 x 2 \u003d 0,
x 2 \u003d 0,
x \u003d 0.

a x 2 + c \u003d 0

Енді b коэффициенті нөлге, ал с ≠ 0, яғни a · x 2 + c \u003d 0 түріндегі теңдеулер болатын толық емес квадрат теңдеулер қалай шешілетінін қарастырамыз. Термені теңдеудің екінші жағынан екінші жағына қарама-қарсы таңбамен беру, сондай-ақ теңдеудің екі жағын да нөлдік санға бөлу эквивалентті теңдеу беретінін білеміз. Сондықтан a x 2 + c \u003d 0 толық емес квадрат теңдеуінің келесі эквивалентті түрлендірулерін жүргізе аламыз:

• с-ны оңға қарай жылжытыңыз, ол 2 \u003d −c теңдеуін береді,
• және екі бөлікті де а-ға бөліңіз, аламыз.

Алынған теңдеу оның түбірлері туралы қорытынды жасауға мүмкіндік береді. A және c мәндеріне байланысты өрнектің мәні теріс (мысалы, a \u003d 1 және c \u003d 2 болса, онда) немесе оң, (мысалы, a \u003d -2 және c \u003d 6 болса), ол нөлге тең болмайды. , өйткені c ≠ 0 шарты бойынша. Істерді бөлек қарастырайық.

Егер болса, онда теңдеудің түбірі жоқ. Бұл тұжырым кез-келген санның квадраты теріс емес сан болатынынан шығады. Бұдан шығатыны, кез келген р саны үшін теңдік шындыққа айнала алмайды.

Егер болса, онда теңдеу түбірлерінің жағдайы басқаша болады. Бұл жағдайда, егер сіз есіңізде болса, онда теңдеудің түбірі бірден айқын болады, бұл сан, өйткені. Бұл санның теңдеудің түбірі екенін де болжау қиын емес. Бұл теңдеудің басқа түбірлері жоқ, оны мысалы, қайшылық арқылы көрсетуге болады. Қанекей мынаны істейік.

Тек теңдеудің түбірлерін x 1 және −x 1 деп белгілейік. Теңдеудің x 1 және −x 1 көрсетілген түбірлерден өзгеше тағы бір x 2 түбірі бар делік. Оның түбірлерін теңдеуде х орнына алмастыру теңдеуді нақты сандық теңдікке айналдыратыны белгілі. X 1 және −x 1 үшін бізде, ал x 2 үшін бізде бар. Сандық теңдіктердің қасиеттері нақты сандық теңдіктерді мерзімді түрде азайтуды жүзеге асыруға мүмкіндік береді, сондықтан теңдіктердің сәйкес бөліктерін алып тастағанда x 1 2 - x 2 2 \u003d 0 шығады. Сандармен әрекеттің қасиеттері алынған теңдікті (x 1 - x 2) · (x 1 + x 2) \u003d 0 түрінде қайта жазуға мүмкіндік береді. Екі санның көбейтіндісі нөлге тең болатынын, егер олардың ең болмағанда біреуі нөлге тең болса ғана білеміз. Демек, алынған теңдіктен x 1 - x 2 \u003d 0 және / немесе x 1 + x 2 \u003d 0, яғни бірдей, x 2 \u003d x 1 және / немесе x 2 \u003d −x 1 болатындығы шығады. Осылайша біз қайшылыққа жеттік, өйткені біз басында x 2 теңдеуінің түбірі х 1 мен −х 1-ден өзгеше деп айттық. Бұл теңдеудің және-ден басқа түбірі жоқ екенін дәлелдейді.

Осы тармақтың ақпаратын қорытындылайық. Толымсыз квадрат теңдеу a x 2 + c \u003d 0 теңдеуге тең

• егер тамыр жоқ болса,
• екі тамыры бар және, егер.

A · x 2 + c \u003d 0 түріндегі толық емес квадрат теңдеулерді шешудің мысалдарын қарастырайық.

9 x 2 + 7 \u003d 0 квадрат теңдеуінен бастайық. Еркін мүшені теңдеудің оң жағына өткізгеннен кейін ол 9 · x 2 \u003d -7 формасын алады. Алынған теңдеудің екі жағын да 9-ға бөлсек, жетеміз. Теріс сан оң жағында алынғандықтан, бұл теңдеудің түбірлері жоқ, сондықтан 9 · x 2 + 7 \u003d 0 бастапқы толық емес квадрат теңдеуінің түбірлері жоқ.

Anotherx 2 + 9 \u003d 0 басқа толық емес квадрат теңдеуді шешіңіз. Тоғызды оңға қарай жылжытыңыз: −x 2 \u003d −9. Енді екі жағын −1-ге бөлеміз, x 2 \u003d 9 аламыз. Оң жағында оң сан бар, одан біз немесе деп қорытынды жасаймыз. Содан кейін соңғы жауабын жазамыз: толық емес квадрат теңдеу 2x 2 + 9 \u003d 0 екі түбір x \u003d 3 немесе x \u003d −3.

a x 2 + b x \u003d 0

Толық емес квадрат теңдеулердің соңғы түрін с \u003d 0 үшін шешумен айналысуға тура келеді. A x 2 + b x \u003d 0 түріндегі толық емес квадрат теңдеулер шешуге мүмкіндік береді факторизация әдісі... Әрине, біз теңдеудің сол жағында орналасқан бола аламыз, ол үшін жалпы х факторын шығару жеткілікті. Бұл бізге бастапқы толық емес квадрат теңдеуден x · (a · x + b) \u003d 0 түріндегі эквивалентті теңдеуге өтуге мүмкіндік береді. Және бұл теңдеу x \u003d 0 және a x + b \u003d 0 екі теңдеудің тіркесіміне эквивалентті, олардың соңғысы сызықтық және түбірі x \u003d −b / a болады.

Сонымен, толық емес квадрат теңдеудің a x 2 + b x \u003d 0 екі түбірі x \u003d 0 және x \u003d −b / a болады.

Материалды бекіту үшін біз нақты мысалдың шешімін талдаймыз.

Мысал.

Теңдеуді шешіңіз.

Шешім.

Жақшаның ішінен х-ны жылжытқанда теңдеу шығады. Бұл x \u003d 0 және екі теңдеуге тең. Алынғандарды шешеміз сызықтық теңдеу:, ал аралас санды жай бөлшекке бөлгеннен кейін табамыз. Демек, бастапқы теңдеудің түбірлері х \u003d 0 және.

Қажетті тәжірибені алғаннан кейін мұндай теңдеулердің шешімдерін қысқаша жазуға болады:

Жауап:

x \u003d 0 ,.

Дискриминант, квадрат теңдеу түбірлерінің формуласы

Квадрат теңдеулерді шешудің түбірлік формуласы бар. Жазайық квадрат формула:, қайда D \u003d b 2 −4 a c - деп аталады квадраттық дискриминант... Белгілеу мәні бойынша оны білдіреді.

Түбірлік формула қалай алынғанын және оны квадрат теңдеудің түбірлерін табуда қалай қолданылатынын білу пайдалы. Осыны анықтайық.

Квадрат теңдеудің түбірлерінің формуласын шығару

A x 2 + b x + c \u003d 0 квадрат теңдеуін шешу керек делік. Эквивалентті түрлендірулер жүргізейік:

• Осы теңдеудің екі жағын да нөлдік емес а санына бөле аламыз, нәтижесінде кішірейтілген квадрат теңдеу аламыз.
• Қазір толық квадратты таңдаңыз оның сол жағында:. Осыдан кейін теңдеу формада болады.
• Осы кезеңде қарама-қарсы белгісімен оң жаққа соңғы екі терминнің ауысуын жүзеге асыруға болады, бізде бар.
• Сондай-ақ, өрнекті оң жағына өзгертеміз:.

Нәтижесінде біз бастапқы x квадрат теңдеуге тең болатын теңдеуге келеміз a x 2 + b x + c \u003d 0.

Біз бұған дейінгі абзацтарда формасына ұқсас теңдеулерді талдаған кезде шештік. Бұл теңдеудің түбірлеріне қатысты келесі тұжырымдар жасауға мүмкіндік береді:

• егер, онда теңдеудің нақты шешімдері жоқ болса;
• егер, онда теңдеудің формасы болады, демек, оның жалғыз түбірі қайдан көрінеді;
• егер, онда немесе, ол бірдей болса, немесе теңдеудің екі түбірі болса.

Сонымен, теңдеу түбірлерінің, демек, бастапқы квадрат теңдеудің болуы немесе болмауы оң жақтағы өрнектің белгісіне байланысты. Өз кезегінде, бұл өрнектің таңбасы бөлгіштің белгісімен анықталады, өйткені 4 · a 2 бөлгіш әрқашан оң болады, яғни b 2 −4 · a · c өрнектің таңбасы. Бұл өрнек b 2 −4 a c деп аталды квадрат теңдеудің дискриминанты және әріппен белгіленген Д.... Осыдан дискриминанттың мәні түсінікті - оның мәні мен белгісіне сәйкес квадрат теңдеудің нақты түбірлері бар ма, жоқ болса, олардың саны қандай - бір немесе екі.

Теңдеуге оралсақ, оны дискриминантты белгіні қолданып қайта жазамыз:. Біз қорытынды жасаймыз:

• егер D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• егер D \u003d 0 болса, онда бұл теңдеудің бір түбірі болады;
• ақырында, егер D\u003e 0 болса, онда теңдеудің екі түбірі бар немесе оны оның көмегімен немесе түрінде қайта жазуға болады, ал бөлшектерді кеңейткеннен және ортақ бөлгішке келтіргеннен кейін аламыз.

Сонымен, біз квадрат теңдеудің түбірлері үшін формулалар шығардық, олардың формасы бар, мұнда D дискриминанты D \u003d b 2 −4 · a · c формуласымен есептеледі.

Олардың көмегімен оң дискриминант көмегімен сіз квадрат теңдеудің екі нақты түбірін де есептей аласыз. Дискриминант нөлге тең болған кезде, екі формула да квадрат теңдеудің ерекше шешіміне сәйкес түбірлік мән береді. Теріс дискриминантпен, квадрат теңдеудің түбірлерінің формуласын қолдануға тырысқанда, біз экстракцияға тап боламыз шаршы түбір теріс саннан, бұл бізді және мектеп бағдарламасы... Теріс дискриминантпен квадрат теңдеудің нақты түбірлері жоқ, бірақ жұбы бар күрделі конъюгат біз алған түбірлік формулалардың көмегімен табуға болатын тамырлар.

Квадрат теңдеулерді түбірлік формулалар көмегімен шешу алгоритмі

Іс жүзінде квадрат теңдеулерді шешкен кезде бірден олардың түбірлік формуласын қолдануға болады, оның көмегімен олардың мәндерін есептеуге болады. Бірақ бұл күрделі тамырларды табу туралы.

Алайда, мектеп алгебра курсында әңгіме әдетте күрделі емес, квадрат теңдеудің нақты түбірлері туралы болады. Бұл жағдайда алдымен квадрат теңдеудің түбірлерінің формулаларын қолданар алдында дискриминантты тауып, оның теріс емес екендігіне көз жеткізіп алған жөн (әйтпесе, теңдеудің нақты түбірлері жоқ деген қорытынды жасауға болады), содан кейін ғана түбірлердің мәндерін есептеген жөн.

Жоғарыда келтірілген пайымдау жазуға мүмкіндік береді квадрат теңдеуді шешуші... A x 2 + b x + c \u003d 0 квадрат теңдеуін шешу үшін сізге қажет:

• дискриминантты формула бойынша D \u003d b 2 −4 · a · c оның мәнін есептеңіз;
• егер дискриминант теріс болса, квадрат теңдеудің нақты түбірлері жоқ деген қорытындыға келу;
• теңдеудің жалғыз түбірін формула бойынша есептеңіз, егер D \u003d 0;
• егер дискриминант оң болса, түбірлік формуланы пайдаланып квадрат теңдеудің екі нақты түбірін табыңыз.

Мұнда біз тек егер дискриминант нөлге тең болса, формуланы да қолдануға болатындығын ескертеміз, ол сол мәнді береді.

Квадрат теңдеулерді шешу алгоритмін қолдану мысалдарына өтуге болады.

Квадрат теңдеулерді шешудің мысалдары

Оң, теріс және нөлдік дискриминанттары бар үш квадрат теңдеудің шешімдерін қарастырайық. Олардың шешімдерін қарастыра отырып, аналогия бойынша кез-келген басқа квадрат теңдеуді шешуге болады. Бастайық.

Мысал.

X 2 + 2 x - 6 \u003d 0 теңдеуінің түбірлерін табыңыз.

Шешім.

Бұл жағдайда бізде квадрат теңдеудің келесі коэффициенттері болады: a \u003d 1, b \u003d 2 және c \u003d -6. Алгоритм бойынша, алдымен сіз дискриминантты есептеуіңіз керек, бұл үшін біз көрсетілген а, b және с-ны дискриминанттық формулаға ауыстырамыз, бізде D \u003d b 2 -4 a c \u003d 2 2 -4 1 (-6) \u003d 4 + 24 \u003d 28... 28\u003e 0 болғандықтан, яғни дискриминант нөлден үлкен болғандықтан, квадрат теңдеудің екі нақты түбірі бар. Оларды түбір формуласы бойынша табамыз, аламыз, осында алынған өрнектерді жеңілдетуге болады түбір белгісін факторинг арқылы шығару бөлшектің төмендеуімен:

Жауап:

Келесі типтік мысалға көшейік.

Мысал.

−4x2 + 28x - 49 \u003d 0 квадрат теңдеуін шешіңіз.

Шешім.

Біз дискриминантты табудан бастаймыз: D \u003d 28 2 −4 (-4) (-49) \u003d 784−784 \u003d 0... Демек, бұл квадрат теңдеудің бір түбірі бар, оны біз, яғни,

Жауап:

x \u003d 3.5.

Квадрат теңдеулерді теріс дискриминантымен шешуді қарастыру керек.

Мысал.

5 y 2 + 6 y + 2 \u003d 0 теңдеуін шешіңіз.

Шешім.

Квадрат теңдеудің коэффициенттері: a \u003d 5, b \u003d 6 және c \u003d 2. Бұл мәндерді дискриминанттық формулаға ауыстыру бізде бар D \u003d b 2 −4 a c \u003d 6 2 −4 5 2 \u003d 36−40 \u003d -4... Дискриминант теріс, сондықтан бұл квадрат теңдеудің нақты түбірлері жоқ.

Егер сізге күрделі түбірлерді көрсету керек болса, онда біз квадрат теңдеудің түбірлеріне белгілі формуланы қолданамыз және орындаймыз күрделі сандық амалдар:

Жауап:

нақты тамырлар жоқ, күрделі тамырлар келесідей:.

Тағы бір айта кететін жайт, егер квадрат теңдеудің дискриминанты теріс болса, онда мектепте олар әдетте бірден жауап жазады, онда нақты түбірлер жоқ, ал күрделі түбірлер табылмайды.

Жұп екінші коэффициенттің түбірлік формуласы

Квадрат теңдеудің түбірлерінің формуласы, мұндағы D \u003d b 2 −4 a c, квадрат теңдеулерді біркелкі х коэффициентімен x (немесе жай 2 n формасына ие коэффициентпен шешуге мүмкіндік беретін неғұрлым ықшам форманың формуласын алуға мүмкіндік береді, мысалы, немесе 14 ln5 \u003d 2 7 ln5). Шығарайық.

A x 2 + 2 n x + c \u003d 0 түріндегі квадрат теңдеуді шешу керек делік. Өзіміз білетін формуланы пайдаланып, оның тамырларын табайық. Ол үшін дискриминантты есептеңіз D \u003d (2 n) 2 −4 a c \u003d 4 n 2 -4 a c \u003d 4 (n 2 −a c), содан кейін түбір формуласын қолданыңыз:

N 2 −a · c өрнегін D 1 деп белгілейік (кейде оны D «деп белгілейміз). Сонда қарастырылған квадрат теңдеудің екінші коэффициенті 2 n болатын түбірлерінің формуласы форманы алады , мұндағы D 1 \u003d n 2 - a · c.

D \u003d 4 · D 1, немесе D 1 \u003d D / 4 екенін байқау қиын емес. Басқаша айтқанда, D 1 - дискриминанттың төртінші бөлігі. D 1 таңбасы D таңбасымен бірдей екендігі түсінікті. Яғни, D 1 белгісі де квадрат теңдеудің түбірлерінің бар немесе жоқтығының индикаторы болып табылады.

Сонымен, 2 n екінші коэффициентімен квадрат теңдеуді шешу үшін сізге керек

• D 1 \u003d n 2 −a · c есептеңіз;
• Егер D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Егер D 1 \u003d 0 болса, онда теңдеудің жалғыз түбірін формула бойынша есептеңіз;
• Егер D 1\u003e 0 болса, онда формула бойынша екі нақты түбірді табыңыз.

Осы абзацта алынған түбірлік формуланы пайдаланып, мысалдың шешімін қарастырайық.

Мысал.

5x2 −6x - 32 \u003d 0 квадрат теңдеуін шешіңіз.

Шешім.

Осы теңдеудің екінші коэффициентін 2 · (−3) түрінде көрсетуге болады. Яғни, бастапқы квадрат теңдеуді 5 x 2 + 2 (-3) x - 32 \u003d 0 түрінде қайта жазуға болады, мұнда a \u003d 5, n \u003d −3 және c \u003d -32, және дискриминанттың төртінші бөлігін есептеуге болады: D 1 \u003d n 2 −a c \u003d (- 3) 2 −5 (-32) \u003d 9 + 160 \u003d 169... Оның мәні оң болғандықтан, теңдеудің екі нақты түбірі бар. Оларды сәйкес түбір формуласы арқылы табайық:

Квадрат теңдеудің түбірлері үшін әдеттегі формуланы қолдануға болатындығын ескеріңіз, бірақ бұл жағдайда көбірек есептеу жұмыстары жасалуы керек еді.

Жауап:

Квадрат теңдеулерді жеңілдету

Кейде, квадрат теңдеудің түбірлерін формулалармен есептеуге кіріспес бұрын, «осы теңдеудің формасын жеңілдетуге бола ма?» Деген сұрақ қою зиян емес пе? Есептеу тұрғысынан 1100 x 2 −400 x - 600 \u003d 0 қарағанда 11 x 2 −4 x - 6 \u003d 0 квадрат теңдеуін шешу оңайырақ болатындығына келісіңіз.

Әдетте, квадрат теңдеу формасын оңайлатуға оның екі бөлігін қандай да бір санға көбейту немесе бөлу арқылы қол жеткізіледі. Мысалы, алдыңғы параграфта біз екі жағын да 100-ге бөлу арқылы 1100x2 −400x - 600 \u003d 0 теңдеуін оңайлаттық.

Осыған ұқсас түрлендіру коэффициенттері тең емес квадрат теңдеулермен жүзеге асырылады. Бұл жағдайда теңдеудің екі жағы да әдетте бөлінеді абсолютті мәндер оның коэффициенттері. Мысалы, 12 x 2 −42 x + 48 \u003d 0 квадрат теңдеуін алайық. оның коэффициенттерінің абсолюттік мәні: GCD (12, 42, 48) \u003d GCD (GCD (12, 42), 48) \u003d GCD (6, 48) \u003d 6. Бастапқы квадрат теңдеудің екі жағын да 6-ға бөліп, біз 2 x 2 −7 x + 8 \u003d 0 эквивалентті квадрат теңдеуге келеміз.

Квадрат теңдеудің екі жағын көбейту көбінесе бөлшек коэффициенттерінен құтылу үшін жасалады. Бұл жағдайда көбейтуді оның коэффициенттерінің бөлгіштері жүзеге асырады. Мысалы, егер квадрат теңдеудің екі жағы да LCM (6, 3, 1) \u003d 6-ға көбейтілсе, онда ол x 2 + 4 x - 18 \u003d 0 қарапайым формасын алады.

Осы тармақты қорытындылай келе, біз әрдайым дерлік барлық минимумдардың белгілерін өзгерте отырып, квадрат теңдеудің жетекші коэффициентінде минустан құтылатындығын ескертеміз, бұл екі бөлікті де −1-ге көбейтуге (немесе бөлуге) сәйкес келеді. Мысалы, −2x2 −3x + 7 \u003d 0 квадрат теңдеуінен 2х2 + 3х - 7 \u003d 0 шешіміне ауысады.

Квадрат теңдеудің түбірлері мен коэффициенттері арасындағы байланыс

Квадрат теңдеудің түбірлерінің формуласы теңдеудің түбірлерін оның коэффициенттері арқылы өрнектейді. Түбір формуласының негізінде тамырлар мен коэффициенттер арасындағы басқа тәуелділіктерді алуға болады.

Ең танымал және қолданылатын формулалар - форманың Вьетнамдағы теоремасынан және. Атап айтқанда, берілген квадрат теңдеу үшін түбірлердің қосындысы қарама-қарсы таңбасы бар екінші коэффициентке, ал түбірлердің көбейтіндісі бос мүшеге тең. Мысалы, 3 x 2 −7 x + 22 \u003d 0 квадрат теңдеу формасы бойынша бірден оның түбірлерінің қосындысы 7/3, ал түбірлерінің көбейтіндісі 22/3 құрайды деп айтуға болады.

Қазірдің өзінде жазылған формулаларды қолдана отырып, квадрат теңдеудің түбірлері мен коэффициенттері арасындағы бірқатар басқа қатынастарды алуға болады. Мысалы, квадрат теңдеудің түбірлерінің квадраттарының қосындысын оның коэффициенттері арқылы өрнектеуге болады:.

Әдебиеттер тізімі.

• Алгебра: оқу. 8 кл. жалпы білім беру. мекемелер / [Ю. Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова]; ред. Теляковский. - 16-шы басылым - М .: Білім, 2008 .– 271 б. : ауру. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Мордкович Алгебра. 8 сынып. 14.00-де 1-бөлім. Оқу орындарының студенттеріне арналған оқулық / А. Г. Мордкович. - 11-ші басылым, өшірілді. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 б.: Ауру. ISBN 978-5-346-01155-2.

Жай. Формулалар бойынша және түсінікті, қарапайым ережелер. Бірінші кезеңде

берілген теңдеуді -ге азайту керек стандартты көрініс, яғни қарау:

Егер сізге теңдеу осы формада берілген болса, сізге бірінші қадамды жасаудың қажеті жоқ. Ең бастысы дұрыс

барлық коэффициенттерді анықтаңыз, және, б және c.

Квадрат теңдеудің түбірлерін табудың формуласы.

Түбір белгісінің астындағы өрнек деп аталады дискриминантты ... Көріп отырғаныңыздай, х табу үшін біз

пайдалану тек a, b және c. Анау. коэффициенттері квадрат теңдеу... Тек мұқият ауыстырыңыз

мағынасы a, b және c осы формулаға енгізіп, санау керек. Ауыстыру олардың белгілер!

Мысалға, теңдеуде:

және =1; б = 3; c = -4.

Мәндерді ауыстырыңыз және жазыңыз:

Мысал дерлік шешілді:

Бұл жауап.

Көбінесе қателіктер - мағыналық белгілермен шатасу. а, бжәне бастап... Керісінше, ауыстырумен

түбірлерді есептеу формуласына теріс мәндер. Мұнда егжей-тегжейлі тұжырымдау үнемделеді

нақты сандармен. Егер сізде есептеулер бар болса, жасаңыз!

Сізге осы мысалды шешу керек делік:

Мұнда а = -6; б = -5; c = -1

Біз бәрін егжей-тегжейлі, мұқият, барлық белгілер мен жақшалармен ештеңе жібермей бояймыз:

Квадрат теңдеулер көбінесе басқаша болып көрінеді. Мысалы, келесідей:

Енді қателіктерді күрт азайтуға мүмкіндік беретін ең жақсы тәжірибелерге назар аударыңыз.

Бірінші қабылдау... Бұрын ерінбеңіз квадрат теңдеудің шешімі оны стандартты түрге келтіріңіз.

Бұл нені білдіреді?

Айталық, кез-келген түрлендірулерден кейін сіз келесі теңдеуді алдыңыз:

Түбірлік формуланы жазуға асықпаңыз! Сіз, әрине, коэффициентті араластырасыз. a, b және c.

Мысалды дұрыс құрыңыз. Біріншіден, Х квадратына, содан кейін квадратсыз, содан кейін бос мүше шығады. Бұл сияқты:

Минусты алып тастаңыз. Қалай? Барлық теңдеуді -1-ге көбейту керек. Біз алып жатырмыз:

Енді сіз тамырлардың формуласын қауіпсіз түрде жазып, дискриминантты есептеп, мысалды аяқтай аласыз.

Өзің жаса. Сізде 2 және -1 тамырлары болуы керек.

Қабылдау екінші. Тамырларды тексеріңіз! Авторы вьетнам теоремасы.

Берілген квадрат теңдеулерді шешу үшін, яғни. егер коэффициент

x 2 + bx + c \u003d 0,

содан кейін x 1 x 2 \u003d c

x 1 + x 2 \u003d -б

Ондағы толық квадрат теңдеу үшін a ≠ 1:

x 2 +бx +c=0,

барлық теңдеуді бөлу және:

→ →

Қайда x 1 және х 2 - теңдеудің түбірлері.

Үшінші қабылдау... Егер сіздің теңдеуіңізде бөлшек коэффициенттері болса, бөлшектерден арылыңыз! Көбейту

ортақ бөлгіш теңдеу.

Шығу. Тәжірибелік кеңес:

1. Шешуден бұрын біз квадрат теңдеуді стандартты түрге келтіреміз, оны құрамыз дұрыс.

2. Егер квадратта х-тің алдында теріс коэффициент болса, оны жалпыға көбейту арқылы жоямыз

-1-ге теңдеу.

3. Егер коэффициенттер бөлшек болса, онда біз барлық теңдеуді сәйкесінше көбейту арқылы бөлшектерді шығарамыз

фактор.

4. Егер x квадраты таза болса, ондағы коэффициент бірге тең, шешімді оңай тексеруге болады

Квадрат теңдеулер... Жалпы ақпарат.

IN квадраттық х квадратта болуы керек (сондықтан ол осылай аталады)

«Шаршы»). Оған қоса, теңдеу тек x (бірінші дәрежеде) және болуы мүмкін (немесе болмауы да мүмкін!)

жай сан (тегін мүше). Екіден жоғары дәрежеде х болмауы керек.

Жалпы алгебралық теңдеу.

Қайда х - еркін айнымалы, а, б, c - коэффициенттер, және а≠0 .

Мысалға:

Өрнек деп аталады квадрат триномиалды.

Квадрат теңдеу элементтерінің өз атаулары бар:

Бірінші немесе ең жоғары коэффициент деп аталады,

Екінші немесе коэффициент деп аталады,

· Тегін мүше деп атады.

Толық квадрат теңдеу.

Бұл квадрат теңдеулерде сол жақта толық терминдер жиынтығы бар. X шаршы

коэффициент және, х коэффициенті бар бірінші қуатқа дейін б және тегін мүше бастап. INбарлық мүмкіндіктер

нөлдік емес болуы керек.

Аяқталмаған қоспағанда, коэффициенттердің ең болмағанда біреуі болатын квадрат теңдеу деп аталады

ең жоғарысы (екінші коэффициент немесе еркін мүше) нөлге тең.

Енді солай етейік б \u003d 0, - х бірінші дәрежеде жоғалады. Бұл, мысалы:

2х 2 -6х \u003d 0,

Және т.б. Егер екі коэффициент болса, б және c нөлге тең, содан кейін бәрі қарапайым, мысалы:

2х 2 \u003d 0,

Х квадраты барлық теңдеулерде бар екенін ескеріңіз.

Неге және нөлге тең бола алмайсыз ба? Сонда х квадраты жоғалады және теңдеу болады сызықтық .

Бұл мүлдем басқаша шешіледі ...

Толымсыз квадрат теңдеудің классикалық (толық) теңдеулерден айырмашылығы оның факторлары немесе кесіндісі нөлге тең. Мұндай функциялардың графигі - параболалар. Жалпы көріністеріне байланысты олар 3 топқа бөлінеді. Теңдеулердің барлық түрлерін шешудің принциптері бірдей.

Толымсыз көпмүшенің түрін анықтауда қиын ештеңе жоқ. Көрнекілік мысалдарды қолданып, негізгі айырмашылықтарды қарастырған жөн:

1. Егер b \u003d 0 болса, онда теңдеу ax 2 + c \u003d 0 болады.
2. Егер c \u003d 0 болса, онда ax 2 + bx \u003d 0 өрнегін шешу керек.
3. Егер b \u003d 0 және c \u003d 0 болса, онда көпмүшелік ax 2 \u003d 0 түріндегі теңдікке айналады.

Соңғы жағдай теориялық мүмкіндік болып табылады және білімді тексеру тапсырмаларында ешқашан болмайды, өйткені өрнектегі x айнымалысының жалғыз дұрыс мәні нөлге тең. Болашақта 1) және 2) типтерінің толық емес квадрат теңдеулерін шешудің әдістері мен мысалдары қарастырылатын болады.

Шешімі бар айнымалылар мен мысалдарды табудың жалпы алгоритмі

Теңдеу түріне қарамастан, шешім алгоритмі келесі қадамдарға ауысады:

1. Өрнекті түбір табуға ыңғайлы формаға келтір.
2. Есептеулерді орындаңыз.
3. Жауабыңызды жазыңыз.

Толымсыз теңдеулерді шешудің ең оңай әдісі - сол жағын факторизациялау және оң жағында нөл қалдыру. Сонымен, түбірлерді табудың толық емес квадрат теңдеуінің формуласы х-тің әрқайсысы үшін мәнін есептеуге дейін азаяды.

Сіз оны практикада қалай шешуге болатындығын біле аласыз, сондықтан толық емес теңдеудің түбірін табудың нақты мысалын қарастырайық:

Көріп отырғаныңыздай, бұл жағдайда b \u003d 0. Біз сол жағын көбейтіп, өрнек аламыз:

4 (x - 0,5) ⋅ (x + 0,5) \u003d 0.

Факторлардың ең болмағанда біреуі нөлге тең болғанда көбейтінді нөлге тең болатыны анық. X1 \u003d 0,5 және (немесе) x2 \u003d -0,5 айнымалысының мәндері осы талаптарға сәйкес келеді.

Квадрат триномияны факторларға бөлу мәселесін оңай және тез шешу үшін келесі формуланы есте ұстаған жөн:

Егер өрнекте бос термин болмаса, тапсырма айтарлықтай жеңілдетілген. Тек ортақ бөлгішті табу және шығару жеткілікті болады. Анық болу үшін ax2 + bx \u003d 0 түріндегі толық емес квадрат теңдеулерді шешудің мысалын қарастырайық.

Жақшаның ішінен x айнымалысын алып, келесі өрнекті алайық:

x ⋅ (x + 3) \u003d 0.

Логиканы басшылыққа ала отырып, x1 \u003d 0, және x2 \u003d -3 деген қорытындыға келеміз.

Дәстүрлі шешім және толық емес квадрат теңдеулер

Егер сіз дискриминанттық формуланы қолданып, коэффициенттері нөлге тең болса, көпмүшенің түбірлерін табуға тырыссаңыз не болады? 2017 жылы математикадан емтиханға арналған типтік тапсырмалар жинағынан мысал алайық, оны стандартты формулалар мен факторинг әдісі арқылы шешіңіз.

7х 2 - 3x \u003d 0.

Дискриминанттың мәнін есептейік: D \u003d (-3) 2 - 4 ⋅ (-7) ⋅ 0 \u003d 9. Көпмүшенің екі түбірі бар екен:

Енді теңдеуді факторинг арқылы шешіп, нәтижелерін салыстырайық.

X ⋅ (7x + 3) \u003d 0,

2) 7х + 3 \u003d 0,
7х \u003d -3,
x \u003d -.

Көріп отырғаныңыздай, екі әдіс те бірдей нәтиже береді, бірақ теңдеуді екінші әдіспен шешу әлдеқайда жеңіл және жылдам болып шықты.

Вьетнам теоремасы

Сүйікті Вьетнам теоремасымен не істеу керек? Бұл әдісті толық емес триномиальмен қолдануға бола ма? Толық емес теңдеулерді ax2 + bx + c \u003d 0 классикалық түріне келтірудің аспектілерін түсінуге тырысайық.

Шындығында, бұл жағдайда Вьетнама теоремасын қолдануға болады. Тек жетіспейтін мүшелерді нөлге ауыстырып, өрнекті жалпы формаға келтіру керек.

Мысалы, b \u003d 0 және a \u003d 1 мәндерімен шатасу ықтималдығын жою үшін тапсырманы келесі түрде жазу керек: ax2 + 0 + c \u003d 0. Содан кейін көпмүшенің түбірлері мен көбейткіштерінің қосындысы мен көбейтіндісінің қатынасын келесі түрде көрсетуге болады:

Теориялық есептеулер мәселенің мәнімен танысуға көмектеседі және әрқашан нақты мәселелерді шешуге машықтануды қажет етеді. Емтиханға арналған типтік тапсырмалар анықтамалығына қайта оралып, қолайлы мысал табайық:

Өрнекті Вьетнам теоремасын қолдануға ыңғайлы түрде жазайық:

x 2 + 0 - 16 \u003d 0.

Келесі қадам - \u200b\u200bшарттар жүйесін құру:

Квадрат көпмүшенің түбірлері x 1 \u003d 4 және x 2 \u003d -4 болатыны анық.

Енді теңдеуді жалпы түрге келтіруге машықтанайық. Келесі мысалды алыңыз: 1/4 × x 2 - 1 \u003d 0

Виета теоремасын өрнекке қолдану үшін бөлшектен арылу керек. Сол және оң жақтарын 4-ке көбейтіп, нәтижеге қараңыз: x2– 4 \u003d 0. Алынған теңдікті Вьетнам теоремасы шешуге дайын, бірақ с \u003d 4 теңдеудің оң жағына ауыстыру арқылы жауап алу әлдеқайда оңай және жылдам: x2 \u003d 4.

Қорытындылай келе, толық емес теңдеулерді шешудің оңтайлы әдісі - бұл қарапайым және жылдам әдіс болып табылатын факторизация деп айту керек. Егер сіз тамырларды іздеу барысында қиындықтарға тап болсаңыз, сіз дискриминант арқылы тамыр табудың дәстүрлі әдісіне жүгіне аласыз.