Биссектрисаның анықтамасы дегеніміз не. Үшбұрыштың биссектрисасы - бұл не? Биссектрисаның кейбір қасиеттері

Бұрыштың қабырғаларынан бірдей қашықтықта орналасқан бұрыштың ішінде.

Мнемоникалық ереже

Бисектриса - бұрыштарды айналып жүгіретін және бұрышты екіге бөлетін егеуқұйрық.

Мәтінді есте сақтауды жеңілдетеді. Көбінесе балалар пайдаланады.

Викимедиа қоры. 2010.

Синонимдер:

• Планиметрия терминдерінің глоссарийі
• Жазылған шеңбер

Басқа сөздіктерде «Биссектриса» деген не екенін қараңыз:

биссектриса- ж, ж. екі жақты f. математика. Бұрыштың төбесінен өтетін және оны екіге бөлетін түзу. BAS 2. биссектриса сызыңыз. Васюкова 1999. Бисектриса – бұрыштарды айналып жүгіріп, бұрышты екіге бөлетін егеуқұйрық. 1994. Белянин. Лекс. Brokg...... Орыс тілінің галлицизмдерінің тарихи сөздігі

биссектриса- математика, сызық, тікелей Орыс синонимдерінің сөздігі. биссектриса зат есім, синонимдер саны: 3-жол (182) ... Синонимдік сөздік

БИСЕКТОР- (латын тілінен екі рет bis және seco кесемін) бұрыш - бұрыштың төбесінен шығатын және оны екіге бөлетін жартылай түзу сызық (сәуле... Үлкен энциклопедиялық сөздік

БИСЕКТОР- [ise], биссектрисалар, аналық. (лат. bissectrix секант көлденеңінен) (мат.). 1. Бұрышта бұрышты екіге бөлетін түзу бар. 2. Үшбұрышта қандай да бір бұрыштан қарама-қарсы қабырғаға жүргізілген және осы қабырғаны бөліктерге бөлетін түзу түзу ... ... болады. Ушаковтың түсіндірме сөздігі

БИСЕКТОР- BISEXECTRISE, s, әйел. Математикада: бұрыштың төбесінен шығатын және оны екіге бөлетін сәуле (3 цифрмен). Ожеговтың түсіндірме сөздігі. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992… Ожеговтың түсіндірме сөздігі

биссектриса- BISEXTER, s, f. Мектепте математика пәнінің мұғалімі. Мектептен... Орыс арго сөздігі

биссектриса- - [А.С.Голдберг. Ағылшынша-орысша энергетикалық сөздік. 2006] Жалпы энергетикалық тақырыптар EN орташа сызық ... Техникалық аудармашыға арналған нұсқаулық

БИСЕКТОР- бұрыштың төбесінен шығатын және оны екіге бөлетін сәуле; кез келген B нүктесі бұрыштың қабырғаларынан бірдей қашықтықта орналасқан. Үшбұрыштың үш B. бұрышы үшбұрышқа іштей сызылған шеңбердің центрінде бір нүктеде қиылысады... Үлкен политехникалық энциклопедия

биссектриса- (француз. bissectrice лат. bis sectrix (bissectricis) екіге кесу) геом. бұрыштың төбесінен өтетін және оны екіге бөлетін сәуле. Шетел сөздерінің жаңа сөздігі. EdwART, 2009. биссектриса [ise], биссектрисалар, w. [латын тілінен. биссектрикс –…… Орыс тілінің шетел сөздерінің сөздігі

биссектриса- s; және. [француз лат тілінен алынған биссекрид. bis екі рет және secare dissect] Mat. Бұрыштың жоғарғы жағынан шығып, оны екіге бөлетін сәуле. * * * бұрыштың биссектрисасы (латын тілінен bis екі рет және seco мен кесемін) бұрыштың төбесінен шығатын және оны бөлетін жарты сызық (сәуле)... энциклопедиялық сөздік

Кітаптар

• Биссектриса - осындай егеуқұйрық..., Наталья Цитронова. Жазушының алғашқы кітабы – тоқсаныншы жылдар туралы әңгімелер мен очерктер... Оңай, әзілмен, қанды, сексуалды көріністерсіз жазылған...

Үшбұрыштың биссектрисасы деп үшбұрыштың бұрышын тең екі бұрышқа бөлетін кесіндіні айтады. Мысалы, үшбұрыштың бұрышы 120 0 болса, биссектрисасын салу арқылы әрқайсысы 60 0 болатын екі бұрышты саламыз.

Ал үшбұрышта үш бұрыш болғандықтан, үш биссектрисасын салуға болады. Олардың барлығында бір кесу нүктесі бар. Бұл нүкте үшбұрышқа іштей сызылған шеңбердің центрі. Басқаша айтқанда, бұл қиылысу нүктесі үшбұрыштың центрі деп аталады.

Ішкі және сыртқы бұрыштың екі биссектрисасы қиылысқан кезде 90 0 бұрыш алынады. Үшбұрыштың сыртқы бұрышы - үшбұрыштың ішкі бұрышына іргелес бұрыш.

Күріш. 1. Құрамында 3 биссектрисасы бар үшбұрыш

Биссектриса қарама-қарсы қабырғаны екі жақтарымен байланысқан екі кесіндіге бөледі:

$$(CL\over(LB)) = (AC\over(AB))$$

Биссектриса нүктелері бұрыштың қабырғаларынан бірдей қашықтықта орналасқан, бұл олардың бұрыштың қабырғаларынан бірдей қашықтықта екенін білдіреді. Яғни, биссектрисаның кез келген нүктесінен үшбұрыштың бұрышының әр қабырғасына перпендикуляр түсірсек, онда бұл перпендикулярлар тең болады.

Егер бір төбеден медиана, биссектриса және биіктік сызса, онда медиана ең ұзын кесінді, ал биіктік ең қысқа болады.

Биссектрисаның кейбір қасиеттері

Үшбұрыштардың белгілі бір түрлерінде биссектриса ерекше қасиеттерге ие. Бұл ең алдымен тең қабырғалы үшбұрышқа қатысты. Бұл фигураның екі бірдей жағы бар, ал үшіншісі негіз деп аталады.

Тең қабырғалы үшбұрыштың бұрышының төбесінен табанына қарай биссектриса сызса, онда ол биіктіктің де, медиананың да қасиеттеріне ие болады. Сәйкесінше биссектрисаның ұзындығы медиана мен биіктіктің ұзындығына сәйкес келеді.

Анықтамалар:

• Биіктігі- үшбұрыштың төбесінен қарама-қарсы қабырғасына жүргізілген перпендикуляр.
• Медиана– үшбұрыштың төбесін және қарама-қарсы қабырғасының ортасын қосатын кесінді.

Күріш. 2. Тең қабырғалы үшбұрыштағы биссектриса

Бұл тең бүйірлі үшбұрышқа, яғни үш қабырғасы тең болатын үшбұрышқа да қатысты.

Тапсырманың мысалы

АВС үшбұрышында: BR биссектрисасы, АВ = 6 см, ВС = 4 см және RC = 2 см. Үшінші қабырғасының ұзындығын алып тастаңыз.

Күріш. 3. Үшбұрыштағы биссектриса

Шешімі:

Биссектриса үшбұрыштың қабырғасын белгілі бір пропорцияда бөледі. Осы пропорцияны қолданып, AR мәнін көрсетейік. Содан кейін үшінші қабырғасының ұзындығын осы қабырға биссектрисаға бөлінген кесінділердің қосындысы ретінде табамыз.

• $(AB\over(BC)) = (AR\over(RC))$
• $RC=(6\арт(4))*2=3 см$

Сонда бүкіл сегмент AC = RC+ AR

AC = 3+2=5 см.

Тең қабырғалы үшбұрышта табанына жүргізілген биссектриса үшбұрышты екі тең тікбұрышты үшбұрышқа бөледі.

Біз не үйрендік?

Биссектриса тақырыбын өткеннен кейін оның бұрышты екі тең бұрышқа бөлетінін білдік. Ал егер оны табанына тең қабырғалы немесе тең бүйірлі үшбұрышқа салсаңыз, онда ол бір уақытта медианалардың да, биіктіктердің де қасиеттеріне ие болады.

Тақырып бойынша тест

Мақаланың рейтингі

Орташа рейтинг: 4.2. Алынған жалпы рейтингтер: 157.

Үшбұрыштың бұрышының биссектрисасы неге тең? Бұл сұраққа белгілі егеуқұйрық бұрыштарды айналып жүгіріп, бұрышты екіге бөлетін біреулердің аузынан шығады." Егер жауап "әзіл" болуы керек болса, бұл дұрыс шығар. Бірақ ғылыми тұрғыдан алғанда. Бұл сұрақтың жауабы келесідей болуы керек: бұрыштың жоғарғы жағынан басталып, соңғысын екі тең бөлікке бөлу». Геометрияда бұл фигура үшбұрыштың қарама-қарсы жағымен қиылысқанша биссектрисаның кесіндісі ретінде де қабылданады. Бұл қате түсінік емес. Бұрыштың биссектрисасы туралы оның анықтамасынан басқа тағы не белгілі?

Кез келген геометриялық нүктелер локусы сияқты, оның да өзіндік сипаттамалары бар. Олардың біріншісі, дәлірек айтсақ, тіпті белгі емес, теорема болып табылады, оны қысқаша түрде былайша өрнектеуге болады: «Егер оған қарама-қарсы қабырға биссектриса арқылы екі бөлікке бөлінсе, онда олардың қатынасы қатынасына сәйкес болады. үлкен үшбұрыштың қабырғалары».

Оның екінші қасиеті: барлық бұрыштардың биссектрисаларының қиылысу нүктесі центр деп аталады.

Үшінші белгі: үшбұрыштың бір ішкі және екі сыртқы бұрыштарының биссектрисалары іштей сызылған үш шеңбердің біреуінің центрінде қиылысады.

Үшбұрыштың бұрыш биссектрисасының төртінші қасиеті, егер олардың әрқайсысы тең болса, онда соңғысы тең қабырғалы болады.

Бесінші белгі тең қабырғалы үшбұрышқа да қатысты және оны биссектрисалар бойынша сызбада тану үшін негізгі нұсқаулық болып табылады, атап айтқанда: тең қабырғалы үшбұрышта ол бір уақытта медиана мен биіктік қызметін атқарады.

Бұрыш биссектрисасын циркуль мен сызғыштың көмегімен салуға болады:

Алтыншы ережеде тек бар биссектрисалардың көмегімен соңғысын пайдаланып үшбұрыш салу мүмкін емес, дәл осылайша текшенің екі еселенуін, шеңбердің квадратын және бұрыштың үшбұрышын салу мүмкін еместігін айтады. Нақтырақ айтқанда, бұлардың барлығы үшбұрыштың бұрыш биссектрисасының қасиеттері.

Егер сіз алдыңғы абзацты мұқият оқып шықсаңыз, сізді бір сөз тіркесі қызықтырған шығар. «Бұрыштың трисекциясы дегеніміз не?» – деп сұрайтын шығарсыз. Трисектриса биссектрисаға сәл ұқсайды, бірақ соңғысын сызсаңыз, бұрыш екі тең бөлікке бөлінеді, ал трисектрисаны салғанда ол үшке бөлінеді. Әрине, бұрыштың биссектрисасын есте сақтау оңайырақ, өйткені трисектриса мектепте оқытылмайды. Бірақ толық болу үшін мен сізге бұл туралы да айтып беремін.

Трисектриса, мен жоғарыда айтқанымдай, тек циркуль мен сызғышпен ғана тұрғызыла алмайды, бірақ оны Фудзита ережелері мен кейбір қисық сызықтар арқылы жасауға болады: Паскаль ұлулары, квадраттрикстері, Никомед конкоидтары, конус қималары,

Бұрыштың трисекциясы бойынша есептер невсис көмегімен оңай шешіледі.

Геометрияда бұрыш трисектрисалары туралы теорема бар. Ол Морли теоремасы деп аталады. Ол ортасында орналасқан әрбір бұрыштың трисектрисаларының қиылысу нүктелері шыңдар болатынын айтады.

Үлкен үшбұрыштың ішіндегі кішкентай қара үшбұрыш әрқашан тең қабырғалы болады. Бұл теореманы 1904 жылы ағылшын ғалымы Фрэнк Морли ашты.

Бұрыштың бөлінуі туралы қанша білуге ​​болады: Бұрыштың трисектрисасы мен биссектрисасы әрқашан егжей-тегжейлі түсініктемелерді қажет етеді. Бірақ бұл жерде мен әлі ашпаған көптеген анықтамалар берілді: Паскаль ұлуы, Никомед конкоиды және т.б. Сенімді болыңыз, олар туралы жазатын нәрсе көп.

Бүгін өте оңай сабақ болмақ. Біз тек бір ғана нысанды - бұрыш биссектрисасын қарастырамыз және оның болашақта бізге өте пайдалы болатын ең маңызды қасиетін дәлелдейміз.

Жай ғана тыныштық бермеңіз: кейде бір мемлекеттік емтиханнан немесе Бірыңғай мемлекеттік емтиханнан жоғары балл алғысы келетін студенттер бірінші сабақта биссектриса анықтамасын дәл тұжырымдай алмайды.

Ал біз шынымен қызықты тапсырмаларды орындаудың орнына, біз осындай қарапайым нәрселерге уақытымызды жоғалтамыз. Сондықтан оны оқыңыз, қараңыз және қабылдаңыз. :)

Алдымен, сәл оғаш сұрақ: бұрыш дегеніміз не? Бұл дұрыс: бұрыш дегеніміз бір нүктеден шығатын екі сәуле. Мысалы:

Бұрыштардың мысалдары: сүйір, доғал және тік

Суреттен көріп отырғаныңыздай, бұрыштар сүйір, доғал, түзу болуы мүмкін - бұл қазір маңызды емес. Көбінесе ыңғайлы болу үшін әрбір сәуледе қосымша нүкте белгіленеді және олар біздің алдымызда $AOB$ бұрышы ($\angle AOB$ деп жазылған) екенін айтады.

Captain Obviousness $OA$ және $OB$ сәулелерінен басқа, әрқашан $O$ нүктесінен көбірек сәулелер шоғырын салуға болатынын меңзеп тұрған сияқты. Бірақ олардың арасында бір ерекше болады - ол биссектриса деп аталады.

Анықтама. Бұрыштың биссектрисасы деп сол бұрыштың төбесінен шығатын және бұрышты екіге бөлетін сәулені айтады.

Жоғарыда келтірілген бұрыштар үшін биссектрисалар келесідей болады:

Сүйір, доғал және тік бұрыштар үшін биссектрисалардың мысалдары

Нақты сызбаларда белгілі бір сәуленің (біздің жағдайда бұл $OM$ сәулесі) бастапқы бұрышты екі теңге бөлетіні әрқашан анық бола бермейтіндіктен, геометрияда бірдей бұрыштарды доғалардың санымен белгілеу әдеттегідей ( Біздің суретімізде бұл сүйір бұрыш үшін 1 доға, доғал бұрыш үшін екі, түзу үшін үш).

Жарайды, біз анықтаманы сұрыптадық. Енді биссектрисаның қандай қасиеттері бар екенін түсіну керек.

Бұрыш биссектрисасының негізгі қасиеті

Шындығында биссектрисаның көптеген қасиеттері бар. Ал біз оларды келесі сабақта міндетті түрде қарастырамыз. Бірақ дәл қазір түсіну керек бір трюк бар:

Теорема. Бұрыштың биссектрисасы – берілген бұрыштың қабырғаларынан бірдей қашықтықта орналасқан нүктелердің локусы.

Математикадан орыс тіліне аударғанда бұл бірден екі фактіні білдіреді:

1. Белгілі бір бұрыштың биссектрисасында жатқан кез келген нүкте осы бұрыштың қабырғаларынан бірдей қашықтықта болады.
2. Және керісінше: егер нүкте берілген бұрыштың қабырғаларынан бірдей қашықтықта жатса, онда бұл бұрыштың биссектрисасында жатуға кепілдік беріледі.

Бұл тұжырымдарды дәлелдемес бұрын, бір нүктені анықтап алайық: нүктеден бұрыштың қабырғасына дейінгі қашықтық дәл не деп аталады? Мұнда нүктеден сызыққа дейінгі қашықтықты жақсы ескі анықтау бізге көмектеседі:

Анықтама. Нүктеден түзуге дейінгі қашықтық - берілген нүктеден осы түзуге жүргізілген перпендикулярдың ұзындығы.

Мысалы, $l$ түзуін және осы түзуде жатпайтын $A$ нүктесін қарастырайық. $AH$ перпендикулярын салайық, мұндағы $H\ in l$. Сонда бұл перпендикулярдың ұзындығы $A$ нүктесінен $l$ түзуіне дейінгі қашықтық болады.

Нүктеден түзуге дейінгі қашықтықтың графикалық көрінісі

Бұрыш жай екі сәуле және әрбір сәуле түзудің бір бөлігі болғандықтан, нүктеден бұрыштың қабырғаларына дейінгі қашықтықты анықтау оңай. Бұл тек екі перпендикуляр:

Нүктеден бұрыштың қабырғаларына дейінгі қашықтықты анықтаңыз

Осымен болды! Енді біз қашықтықтың не екенін және биссектрисаның не екенін білеміз. Сондықтан біз негізгі сипатты дәлелдей аламыз.

Уәде етілгендей, біз дәлелді екі бөлікке бөлеміз:

1. Биссектрисадағы нүктеден бұрыштың қабырғаларына дейінгі қашықтықтар бірдей

$O$ төбесі және $OM$ биссектрисасы бар ерікті бұрышты қарастырайық:

Дәл осы $M$ нүктесі бұрыштың қабырғаларынан бірдей қашықтықта екенін дәлелдеейік.

Дәлелдеу. $M$ нүктесінен бұрыштың қабырғаларына перпендикуляр жүргізейік. Оларды $M((H)_(1))$ және $M((H)_(2))$ деп атаймыз:

Бұрыштың қабырғаларына перпендикулярлар салыңыз

Біз екі тікбұрышты үшбұрыш алдық: $\vartriangle OM((H)_(1))$ және $\vartriangle OM((H)_(2))$. Олардың ортақ гипотенузасы $OM$ және бұрыштары тең:

1. $\бұрыш MO((H)_(1))=\бұрыш MO((H)_(2))$ шарт бойынша (өйткені $OM$ биссектриса болып табылады);
2. $\angle M((H)_(1))O=\бұрыш M((H)_(2))O=90()^\circ $ құрылысы бойынша;
3. $\бұрыш OM((H)_(1))=\бұрыш OM((H)_(2))=90()^\circ -\бұрыш MO((H)_(1))$, өйткені қосындысы Тікбұрышты үшбұрыштың сүйір бұрыштары әрқашан 90 градусқа тең.

Демек, үшбұрыштар бүйірлері мен көршілес екі бұрыштары бойынша тең (үшбұрыштардың теңдік белгілерін қараңыз). Сондықтан, атап айтқанда, $M((H)_(2))=M((H)_(1))$, яғни. $O$ нүктесінен бұрыштың қабырғаларына дейінгі қашықтық шын мәнінде тең. Q.E.D. :)

2. Егер арақашықтықтары тең болса, онда нүкте биссектрисада жатыр

Қазір жағдай керісінше. $O$ бұрышы және осы бұрыштың қабырғаларынан бірдей қашықтықта $M$ нүктесі берілсін:

$OM$ сәулесінің биссектриса екенін дәлелдейік, яғни. $\бұрыш MO((H)_(1))=\бұрыш MO((H)_(2))$.

Дәлелдеу. Алдымен мына $OM$ сәулесін салайық, әйтпесе дәлелдейтін ештеңе болмайды:

Бұрыштың ішіне $OM$ сәулесі жүргізілді

Тағы да екі тікбұрышты үшбұрыш аламыз: $\vartriangle OM((H)_(1))$ және $\vartriangle OM((H)_(2))$. Әлбетте, олар тең, себебі:

1. Гипотенуз $OM$ - жалпы;
2. Аяқтары $M((H)_(1))=M((H)_(2))$ шарты бойынша (әйтеуір $M$ нүктесі бұрыштың бүйірлерінен бірдей қашықтықта орналасқан);
3. Қалған аяқтар да тең, өйткені Пифагор теоремасы бойынша $OH_(1)^(2)=OH_(2)^(2)=O((M)^(2))-MH_(1)^(2)$.

Демек, үш жақтағы $\vartriangle OM((H)_(1))$ және $\vartriangle OM((H)_(2))$ үшбұрыштары. Атап айтқанда, олардың бұрыштары тең: $\бұрыш MO((H)_(1))=\бұрыш MO((H)_(2))$. Бұл $OM$ биссектриса екенін білдіреді.

Дәлелдеуді аяқтау үшін алынған тең бұрыштарды қызыл доғалармен белгілейміз:

Биссектриса $\angle ((H)_(1))O((H)_(2))$ бұрышын тең екіге бөледі.

Көріп отырғаныңыздай, күрделі ештеңе жоқ. Біз бұрыштың биссектрисасы осы бұрыштың қабырғаларына бірдей қашықтықта орналасқан нүктелердің локусы екенін дәлелдедік. :)

Енді біз терминология туралы азды-көпті шешім қабылдадық, келесі деңгейге өту уақыты келді. Келесі сабақта биссектрисаның күрделі қасиеттерін қарастырамыз және оларды нақты есептерді шығару үшін қолдануды үйренеміз.

«Биссектриса» сөзі француз тілінен «екіге кесу» деп аударылған. Бұрыштың биссектрисасы «тең бөлетін» бұрыш, яғни. бұрышты екіге бөлу.

Бұрыш биссектрисасы - оның қабырғалары арасындағы бұрыштың төбесінен түсірілген және бұрышты екіге бөлетін сәуле.

Бұрыштың биссектрисасын бұрыштың градустық өлшемін транспортир көмегімен салуға болады. Ол үшін берілген бұрыштың градустық өлшемі екіге бөлінеді және жарты бұрыштың градустық өлшемі шыңның бір жағына қойылады. Мұндай бұрыштың екінші қабырғасы берілген бұрыштың биссектрисасы болады.

Егер берілген бұрыштың градустық өлшемі 60° болса, онда биссектриса арқылы салынған екі бұрыштың әрқайсысы 30° болады, өйткені 60°:2 = 30°.

Түзу бұрышты биссектриса екі тік бұрышқа (180°:2=90°) бөледі, кез келген доғал бұрыш биссектриса арқылы екі сүйір бұрышқа бөлінеді.

Циркуль мен сызғышты пайдаланып бұрыш биссектрисасын салу

Тек циркуль мен сызғышты пайдаланып, транспортирсіз бұрыштың биссектрисасын салу үшін келесі әрекеттерді орындау керек (жоғарыдағы суретті қараңыз).

• Кез келген радиустық бұрыштың төбесінен бұрыштың қабырғаларын қиып өтетіндей шеңбер доғасын салу керек.
• Доға мен бұрыштың қиылысуының әрбір нүктесінен (екі бар) қайтадан шеңбердің жанын (радиусы басқа) сызыңыз.
• Қосымша салынған шеңберлер доғаларының кез келген қиылысу нүктелері арқылы бұрыштың төбесінен осы бұрыштың биссектрисасы болатын сәулені сызыңыз.

Үшбұрыштың бұрышының биссектрисасы

Үшбұрыштың бұрышының биссектрисасыбұрыштың төбесінен оның қарама-қарсы қабырғасымен қиылысына дейін жүргізілген бұрыштың биссектрисасының кесіндісі.

Үшбұрыштың үш биссектрисасы бар, оның әрбір төбесінен сызылған.

Үшбұрыштың бұрышының биссектрисасы жеке мақалада сипатталған көптеген ерекше қасиеттерге ие.