20. Предикат логикасының эквивалентті формулалары

21. Предикат логикасының эквивалентті формулалары

22. Предикат логикасының эквивалентті формулалары

23. Логикалық амалдардың заңдылықтары (предикат логикасының жалпы жарамды формулалары)

24. Жаттығу

25. Жаттығу

26.

27.

Логика және дәлелдеу: Оқулық. университеттерге арналған нұсқаулық. Рузавин Георгий Иванович

4.2. Кванторлар

4.2. Кванторлар

Предикат логикасы мен болжамдық логика арасындағы елеулі айырмашылық сонымен қатар біріншісі мәлімдемелердің сандық сипаттамасын енгізеді немесе олар логикада айтқандай, оларды сандық түрде көрсетеді. Дәстүрлі логикада пайымдаулар тек сапасы бойынша ғана емес, сонымен қатар саны бойынша да жіктелді, яғни. жалпы пайымдаулар жеке және жеке шешімдерден ерекшеленді. Бірақ олардың арасындағы байланыс туралы ешқандай теория болған жоқ. Қазіргі логика мәлімдемелердің сандық сипаттамаларын предикаттық есептеудің құрамдас бөлігі болып табылатын сандық анықтаудың арнайы теориясында қарастырады.

Мәлімдемелердің квантификациясы (сандық сипаттамалары) үшін бұл теория екі негізгі кванторды енгізеді: біз (х) таңбасымен белгілейтін жалпы квантор және (Ex) таңбасымен белгіленген экзистенциалды квантор. Олар өздері сілтеме жасайтын мәлімдемелердің немесе формулалардың алдында бірден орналастырылады. Кванторлардың ауқымы кеңірек болған жағдайда, сәйкес формуланың алдына жақшалар қойылады.

Жалпы квантор белгілі бір таңбамен белгіленген предикаттың берілген класстың немесе пайымдау ғаламының барлық объектілеріне жататынын көрсетеді.

Сонымен, «Барлық материалдық денелердің массасы бар» деген тұжырымды символдық тілге былайша аударуға болады:

мұндағы х - материалдық денені білдіреді:

М - массасы;

(x) – жалпы квантор.

Сол сияқты экстрасенсорлық құбылыстардың бар екендігі туралы мәлімдемені болмыс кванфикаторы арқылы көрсетуге болады:

Мұндағы х құбылыстарды білдіреді:

Е – мұндай құбылыстарға тән экстрасенсорлық қабылдау қасиеті;

(Мыс) – экзистенциалды квантор.

Жалпылық кванторын пайдалана отырып, эмпирикалық және теориялық заңдарды, құбылыстар арасындағы байланыс туралы жалпылауларды, әмбебап гипотезаларды және басқа да жалпы тұжырымдарды білдіруге болады. Мысалы, денелердің жылулық кеңею заңын символдық түрде мына формуламен көрсетуге болады:

(x) (T(x) ? P(x)),

мұндағы (х) – жалпы квантор;

Т(х) – дене температурасы;

P(x) – оның жалғасы;

Импликация белгісі.

Экзистенциалды кванфикатор берілген пайымдау әлеміндегі объектілердің белгілі бір бөлігін ғана білдіреді. Сондықтан, мысалы, қасиет немесе қатынас зерттелетін объектілердің белгілі бір бөлігін сипаттау үшін ғана қолданылатынын көрсететін статистикалық заңдарды символдық түрде жазу үшін қолданылады.

Кванторларды енгізу, ең алдымен, предикаттарды белгілі сөйлемдерге айналдыруға мүмкіндік береді. Предикаттардың өзі ақиқат та, жалған да емес. Нақты мәлімдемелер айнымалылардың орнына қойылса немесе кванторлар арқылы қосылса, олар сандық түрде анықталса, олар осындай болады. Осы негізде айнымалыларды шектелген және еркін деп бөлу енгізілген.

Жалпылық немесе бар болу сандық анықтауыштарының белгілерінің әсерінен түсетін айнымалылар байланыстырушы деп аталады. Мысалы, (x) A (x) және (x) (P (x) ? Q (x)) формулаларында x айнымалысы бар. Бірінші формулада жалпы квантор А(х) предикатының алдында тұрса, екіншісінде квантор өз әрекетін импликацияның алдыңғы және кейінгі мүшелеріне кіретін айнымалыларға кеңейтеді. Сол сияқты экзистенциалды кванфикатор жеке предикатты да, терістеу, конъюнкция, дизъюнкция т.б логикалық операцияларды қолдану арқылы жасалған олардың комбинациясын да білдіре алады.

Еркін айнымалы кванторлық белгілерге бағынбайды, сондықтан ол сөйлемді емес, предикатты немесе болжамды функцияны сипаттайды.

Кванторлардың тіркесімін қолдана отырып, логиканың символдық тілінде айтарлықтай күрделі табиғи тілдегі сөйлемдерді білдіруге болады. Бұл жағдайда белгілі бір шартты қанағаттандыратын объектілердің бар екендігі туралы айтатын мәлімдемелер бар болу кванторы арқылы енгізіледі. Мысалы, радиоактивті элементтердің бар екендігі туралы мәлімдеме мына формула арқылы жазылады:

мұндағы R радиоактивтілік қасиетін білдіреді.

Темекі шегетін адамның қатерлі ісікке шалдығу қаупі бар екендігі туралы мәлімдемені келесідей көрсетуге болады: (Ex) (K(x) ? P(x)), мұндағы K «шылым шегу» қасиетін білдіреді, ал P - « қатерлі ісікке шалдығады». Белгілі бір ескертпелермен бірдей нәрсені жалпы кванфикатордың көмегімен көрсетуге болады: (x) (K(x) ? P(x)). Бірақ темекі шегетін кез келген адам қатерлі ісікке шалдығуы мүмкін деген мәлімдеме қате болар еді, сондықтан оны жалпы сандық көрсеткішті емес, бар болу кванторын пайдаланып жазған дұрыс.

Жалпы кванфикатор белгілі бір А предикатын оның мәндер ауқымындағы кез келген объектімен қанағаттандыратынын көрсететін мәлімдемелер үшін қолданылады. Ғылымда, жоғарыда айтылғандай, жалпы сандық анықтауыш әмбебап сипаттағы мәлімдемелерді білдіру үшін қолданылады, олар ауызша түрде «барлығы үшін», «әрқайсысы», «кез келген», «кез келген» және т.б. Жалпылықтың кванфикаторын жоққа шығару арқылы табиғи тілде «ешбір», «бір емес», «ешкім» және т.б. сөздермен енгізілген жалпы теріс пікірлерді білдіруге болады.

Әрине, табиғи тілдегі мәлімдемелерді символдық тілге аудару кезінде белгілі бір қиындықтар туындайды, бірақ ойдың қажетті дәлдігі мен бір мәнді көрінісіне қол жеткізіледі. Дегенмен, формальды тіл тек мағына ғана емес, оның әртүрлі реңктері де бейнеленетін табиғи тілге қарағанда бай деп ойлауға болмайды. Сондықтан табиғи тілдік өрнектерді ойды білдірудің және қарым-қатынас процесінде алмасудың әмбебап құралы ретінде дәлірек көрсету туралы ғана айтуға болады.

Көбінесе жалпылық пен болмыс кванторлары бірге пайда болады. Мысалы: «Әрбір нақты х саны үшін х у-дан кіші болатын у саны бар» деген тұжырымды символдық түрде көрсету үшін біз «кіші болу» предикатын символмен белгілейміз.<, известным из математики, и тогда утверждение можно представить формулой: (х) (Еу) < (х, у). Или в более привычной форме: (х) (Еу) (х < у). Это утверждение является истинным высказыванием, поскольку для любого действительного числа х всегда существует другое действительное число, которое будет больше него. Но если мы переставим в нем кванторы, т.е. запишем его в форме: (Еу) (х) (х < у), тогда высказывание станет ложным, ибо в переводе на обычный язык оно означает, что существует число у, которое будет больше любого действительного числа, т.е. существует наибольшее действительное число.

Жалпылық пен болмыстың кванторларының анықтамасының өзінен-ақ олардың арасында белгілі бір байланыс бар екені бірден шығады, ол әдетте келесі заңдылықтар арқылы өрнектеледі.

1. Кванторлардың орын ауыстыру заңдары:

(x) (y) A ~ (y) (x) A;

(Ex) (Ey) A ~ (Ey) (Ex) A;

(Ex) (y) A ~ (y) (Ex) A;

2. Кванторларды теріске шығару заңдары:

¬ (x) A ~ (Ex) ¬ A;

¬ (Ex) A ~ (x) ¬ A;

3. Кванторлардың өзара өрнектелу заңдылықтары:

(x) A ~ ¬ (Ex) ¬ A;

(Мыс) A ~ ¬ (x) ¬ A.

Мұнда A объектінің (субъектінің) тілінің кез келген формуласын білдіреді. Кванторларды теріске шығарудың мағынасы анық: егер кез келген х үшін А орындалады деген дұрыс болмаса, онда А орындамайтын х бар. Сондай-ақ, егер: кез келген х-та А болса, онда өзара өрнектелудің бірінші заңында символдық түрде бейнеленетін-А-ға ие емес х жоқ.

Предикаттың функционалдық сипаты басқа ұғымды енгізуді талап етеді - квантор. (квант – латын тілінен «қанша») Кванторлық амалдарды конъюнкция мен дизъюнкция операцияларының шекті және шексіз аймақтар жағдайындағы жалпылауы ретінде қарастыруға болады.

Жалпы квантор (барлығы, барлығы, барлығы, кез келген (барлығы – «бәрі»)). Сәйкес ауызша өрнек келесідей естіледі:

«Әрбір x P(x) үшін ақиқат.» Формуладағы айнымалының пайда болуы, егер айнымалы шама бірден квантор белгісінен кейін немесе айнымалы пайда болған квантордың аумағында орналасса, байланыстырылуы мүмкін. Қалған барлық құбылыстар еркін, P(x)-тен x(Px) немесе (Px)-ге өту х айнымалысын байланыстыру немесе х айнымалысына (немесе Р предикатына) кванторды қосу немесе х айнымалысының сандық анықтауы деп аталады. Квантор жалғанатын айнымалы деп аталады байланысты, байланыссыз кванттау айнымалысы деп аталады Тегін.

Мысалы, P(x) предикатындағы х айнымалысы бос деп аталады (х М-нің кез келгені), P(x) операторында х айнымалысы шектелген айнымалы деп аталады.

Эквиваленттілік дұрыс: P(x 1)P(x 2)…P(x n),

P(x) – M=(x 1,x 2 ...x 4) жиынында анықталған предикат

Болмыс кванторы(бар – «бар болу»). Сәйкес вербальды өрнек: «Р(х) ақиқат болатын x бар». xP(x) операторы енді х-ке тәуелді емес, х айнымалысы квантор арқылы қосылады.

Балама әділетті:

xP(x) = P(x 1)P(x 2)...P(x n), мұндағы

P(x) – M=(x 1 ,x 2 …x n ) жиынында анықталған предикат.

Жалпы квантор мен экзистенциалды квантор қос деп аталады, кейде кванторлық белгі қолданылады! - «бар, оның үстіне біреу ғана».

xP(x) тұжырымы P(x) бірдей ақиқат предикат болған бірегей жағдайда ғана ақиқат, ал P(x) бірдей жалған предикат болғанда ғана мәлімдеме жалған болатыны анық.

Кванторлық амалдар көп орындық предикаттарға да қолданылады. Х айнымалысына қатысты P(x,y) предикатына квантор операциясын қолдану екі орынды предикат P(x,y) бір орындық xP(x,y) немесе xP( предикатына сәйкес келеді. x,y), у-ға байланысты және х-ке тәуелсіз.

Екі орындық предикатқа екі айнымалыға да квантор амалдарын қолдануға болады. Содан кейін біз сегіз мәлімдеме аламыз:

1. P(x,y); 2. P(x,y);

3. P(x,y); 4. P(x,y);

5. P(x,y); 6. P(x,y);

7. P(x,y); 8. P(x,y)

3-мысал.Предикатқа кванторларды қосудың мүмкін нұсқаларын қарастырыңыз P(x,y) – “xбөлінген ж”, натурал сандар жиынында анықталған (нөлсіз) Н. Алынған мәлімдемелердің ауызша тұжырымдарын келтіріп, олардың шындығын анықтаңыз.

Кванторларды қосу әрекеті келесі формулаларға әкеледі:

«Кез келген екі натурал сан үшін бірі екіншісіне бөлінеді» мәлімдемелері (немесе 1) барлық натурал сандар кез келген натурал санға бөлінеді; 2) кез келген натурал сан кез келген натурал санға бөлгіш болады) жалған;

«Бірінші екіншіге бөлінетіндей екі натурал сан бар» (1. «кейбір у санына бөлінетін х натурал саны бар»; 2. «бөлгіш болатын у натурал саны бар» мәлімдемелері кейбір натурал сандар x") ақиқат;

«Кез келген натурал санға бөлінетін натурал сан бар» деген пікір жалған;

«Әрбір натурал сан үшін біріншіге бөлінетін натурал сан бар» (немесе әрбір натурал сан үшін дивиденд бар) дұрыс;

«Әрбір х натурал саны үшін ол бөлінетін у натурал саны бар» (немесе «әрбір натурал сан үшін бөлгіш бар») тұжырымы дұрыс;

«Әр натурал санның бөлгіші болатын натурал сан бар» деген тұжырым дұрыс (мұндай бөлгіш бір).

Жалпы жағдайда кванторлардың ретін өзгерту мәлімдеменің мағынасын және оның логикалық мағынасын өзгертеді, яғни. мысалы, P(x,y) және P(x,y) мәлімдемелері әртүрлі.

Р(х,у) предикаты х у-ның анасы екенін білдірсе, Р(х,у) әр адамның анасы бар екенін білдіреді – ақиқат тұжырым. P(x,y) барлық адамдардың анасы бар дегенді білдіреді. Бұл мәлімдеменің ақиқаты сіз қабылдай алатын мәндер жиынына байланысты: егер ол ағайындылар жиыны болса, онда ол ақиқат, әйтпесе ол жалған. Осылайша, әмбебаптық пен болмыстың кванторларын қайта реттеу өрнектің мағынасы мен мағынасын өзгертуі мүмкін.

а) бастапқы белгіні (немесе) қарама-қарсы белгімен ауыстырыңыз

ә) қалған предикаттың алдына белгі қойыңыз

Предикат логикасында бір орындық предикатты сөйлемге айналдыратын екі амал қарастырылады, ол үшін предикаттардың алдына қойылатын арнайы сөздер қолданылады. Логикада олар кванторлар деп аталады.

Кванторлардың екі түрі бар:

1. Жалпы квантор;

2. Болушылық кванфикаторы.

1. Жалпы квантор.

М жиынында анықталған P(x) предикаты болсын

Таңба деп аталады әмбебап квантор(қауымдастық). Бұл ағылшын тіліндегі All – барлығы сөзінің төңкерілген бірінші әрпі. Олар «барлығы», «бәрі», «кез келген», «бәрі» деп оқиды. Айнымалы x in предикат P(x) деп аталады Тегін (оған М)-дан әр түрлі мағына беруге болады мәлімдемеолар x деп атайды байланыстыәмбебап квантор.

№1 мысал: P(x) – «х жай саны тақ»

Жалпы кванторды қосайық - «Әрбір жай сан x тақ» - жалған мәлімдеме.

Өрнек дегеніміз М жиынының әрбір х элементі үшін P(x) ақиқат, ал кері жағдайда жалған болатын мәлімдеме. Бұл мәлімдеме енді x-ке тәуелді емес.

2. Болушылық кванфикаторы.

P(x) - болсын предикатМ жиынында анықталған. Өрнек деп біз түсінеміз мәлімдеме, ол P(x) ақиқат болатын элемент бар болса ақиқат, ал әйтпесе жалған. Бұл мәлімдеме енді x-ке тәуелді емес. Сәйкес вербальды өрнек: «Р(х) ақиқат болатын x бар». Таңба деп аталады болмыстың кванторы.Өтініште х айнымалысы осы квантормен байланысқан (оған квантор жалғанған).

(Оқыңыз: «М-де х бар, сондықтан х-тегі P ақиқат»)

Өрнек деп P(x) ақиқат, ал басқа жағдайда жалған болатын x€M (кем дегенде біреуі) элементі бар болса ақиқат болатын мәлімдемені айтады.

№2 мысал: P(x) «х саны 5-ке еселік»

Кез келген натурал сан 5-ке еселік

Әрбір натурал сан 5 дюймдік жалған мәлімдемелердің еселігі болып табылады

Барлық натурал сандар 5-ке еселік».

5-ке бөлінетін натурал сан бар

5 ақиқат тұжырымға бөлінетін натурал санды табыңыз

Кем дегенде бір натурал сан 5-ке бөлінеді

Кванторлық амалдар көп орындық предикаттарға да қолданылады. Мысалы, М жиынында екі орынды P(x,y) предикаты берілсін. Х айнымалысына қатысты P(x,y) предикатына квантор операциясын қолдану екі орындық предикат P(x,y) бір орындық предикатты (немесе бір орындық предикатты) сәйкес келтіреді. y айнымалысы және x айнымалысына тәуелді емес. Оларға y айнымалысы бойынша кванторлық амалдарды қолдануға болады, бұл келесі түрдегі мәлімдемелерге әкеледі:

Кванторлары бар терістеулерді құру үшін сізге қажет:

1) жалпылық шамасының орнына болмыстың кванторы, ал болмыстың кванторы жалпылықтың сандық көрсеткішімен ауыстырылады;

2) предикатты оның болымсыздығымен ауыстырыңыз.

Осылайша, келесі формулалар жарамды:

Сөйлемді терістеу деп, ал сөйлемді терістеу деп жазу керек. Сөйлемнің мағынасы бір, демек ақиқат мәні де сөйлем сияқты, ал сөйлемнің мағынасы бірдей екені анық. Басқаша айтқанда, ол мынаған тең; эквивалент

МЫСАЛ № 3. «Кейбір екі таңбалы сандар 12-ге бөлінеді» деген тұжырымды теріске шығаруды құрастырыңыз.

Шешуі.болмыстың шамасының (кейбір сөзімен өрнектеледі) жалпылауыштың «барлығы» шамасының орнына «кейбір» сөзінен кейін сөйлемнің терістеуін тұрғызып, алдына «емес» бөлігін қойып көрейік. етістіктен. Біз «Барлық екі таңбалы сандар 12-ге бөлінбейді» деген мәлімдеме аламыз.

МЫСАЛ № 4. «Әр сыныпта кем дегенде бір оқушы сынақтан өте алмады» деген тұжырымды теріске шығаруды тұжырымдаңыз.

Шешуі: Бұл мәлімдемеде «әр» сөзімен өрнектелетін жалпы квантор және «кем дегенде бір» сөздерімен өрнектелген бар болу кванторы бар. Сандауыштары бар сөйлемдердің теріске шығару ережесіне сәйкес, жалпылық шамасының орнына болмыстың кванторы, ал болмыстың кванфикаторын жалпылықтың кванторы ауыстырып, етістіктен «емес» бөлшекті алып тастау керек. Біз: «Барлық оқушылар сынақтан өткен сынып бар».

Айнымалысы бар бірнеше сөйлемді қарастырайық:

- « - жай натурал сан»; осы предикаттың рұқсат етілген мәндерінің диапазоны натурал сандар жиыны болып табылады;

- « - жұп бүтін сан»; осы предикаттың рұқсат етілген мәндерінің диапазоны бүтін сандар жиыны болып табылады;

- «
- тең жақты»;

- «
»

- «студент бағасын алды »

- « 3-ке бөлінеді"

Анықтама. Айнымалылары бар сөйлем, айнымалыларды рұқсат етілген мәндермен ауыстырып, сөйлемге айналса, онда мұндай сөйлем предикат деп аталады.

,
,
,
- бір айнымалыдан жасалған предикаттар (бір орынды предикаттар). Екі айнымалыдан предикаттар:
,
- екі орынды предикаттар. Ұсыныстар нөлдік орындағы предикаттар.

Жалпы квантор.

Анықтама. Таңба жалпы квантор деп аталады.

оқыңыз: кез келген адам үшін , әрқайсысы үшін , барлығына .

Болсын
- біртұтас предикат.

оқыңыз: кез келген адам үшін
- рас.

Мысал.

- «Барлық натурал сандар жай сандар» - Жалған мәлімдеме.

- «Барлық бүтін сандар жұп» - Жалған мәлімдеме.

- «Барлық оқушылар баға алды " бір орынды предикат. Екі орындық предикатқа кванторды қойып, бір орындық предикат алдық. сияқты
-n-ary предикаты, онда

- (n-1)-жергілікті предикат.

- (n-2)-орындық предикат.

Орыс тілінде жалпы кванфикатор түсірілген.

Болмыс кванторы.

Анықтама.Таңба бар болу кванторы деп аталады.

оқыңыз: бар , Сонда бар , мында болады .

Өрнек
, Қайда
- бір орынды предикат, оқыңыз: бар , ол үшін
рас.

Мысал.

- «Жай натурал сандар бар». (Және)

- «тіпті бүтін сандар да бар». (Және).

- «баға алған оқушы бар " бір орынды предикат.

Егер n-арлы предикатқа 1 кванторды қоссақ, (n-1)-арий предикатын аламыз, егер n-арлы предикатты қоссақ, нөлдік орынды аламыз, яғни. мәлімдеме.

Егер бір типті кванторларды тағайындасақ, онда кванторлардың тағайындалу реті маңызды емес. Ал егер предикатқа әртүрлі кванторлар берілсе, онда кванторлардың берілу ретін өзгертуге болмайды.

Құрамында кванторлары бар мәлімдемелерді терістеуді құру. Де Морган заңдары.

Де Морган заңы.

Құрамында жалпы сандық көрсеткіші бар сөйлемнің терістеуін құрастыру кезінде бұл жалпы сандық шама бар болу шамасына, ал предикат оның терістеуіне ауыстырылады.

Де Морган заңы.

Құрамында экзистенциалдық кванторы бар сөйлемдерді терістеуді құру кезінде экзистенциалды кванторды жалпы сандық санмен, ал предикатты
- оның жоққа шығаруы. Құрамында бірнеше кванторлары бар сөйлемдердің теріске шығаруы да осыған ұқсас түрде құрастырылады: жалпы сандық шама бар болу шамасының орнына, бар шамасының орнына жалпы санның, предикаттың орнына оның теріске шығарылуы қойылады.

P.2. Жиын теориясының элементтері (интуитивтік жиын теориясы). Сандық жиындар. Нақты сандар жиыны.

Жиынның сипаттамасы: Жиын сөзі бір бүтін ретінде қарастырылатын объектілердің жиынтығын білдіреді. Жиын деген сөздің орнына кейде «жинақ», «сынып» дейді.

Анықтама. Жиынға кіретін объект оның элементі деп аталады.

Жазба
дегенді білдіреді жиынның элементі болып табылады . Жазба
дегенді білдіреді жиынның элементі емес . Кез келген объект туралы ол жиынның элементі ме, жоқ па деп айтуға болады. Бұл мәлімдемені логикалық белгілер арқылы жазайық:

Бір мезгілде жиынтыққа жататын және тиесілі емес нысан жоқ, яғни

Жиынның құрамында бірдей элементтер болуы мүмкін емес, яғни. элементі бар жиыннан болса , элементті алып тастаңыз , онда элементі жоқ жиынды аламыз .

Анықтама.Екі жиынтық Және құрамында бірдей элементтер болса, тең деп аталады.