Күрделі туындылар. Логарифмдік туынды
Көрсеткіштік функцияның туындысы

Біз саралау техникасын жетілдіре береміз. Бұл сабақта біз өтілген материалды жинақтаймыз, күрделі туындыларды қарастырамыз, сонымен қатар туынды табудың жаңа әдістері мен тәсілдерімен, атап айтқанда, логарифмдік туындымен танысамыз.

Дайындық деңгейі төмен оқырмандар мақалаға жүгінуі керек Туынды қалай табуға болады? Шешім мысалдары, бұл сіздің дағдыларыңызды нөлден бастайды. Әрі қарай, сіз парақты мұқият оқып шығуыңыз керек Күрделі функция туындысы, түсіну және шешу барлық мен келтірген мысалдар. Бұл сабақ логикалық тұрғыдан қатарынан үшінші, ал оны игергеннен кейін сіз күрделі функцияларды сенімді түрде ажыратасыз. «Тағы қайда? Және бұл жеткілікті! », Өйткені барлық мысалдар мен шешімдер нақты сынақтардан алынған және тәжірибеде жиі кездеседі.

Қайталаудан бастайық. Сабақта Күрделі функция туындысыегжей-тегжейлі түсініктемелермен бірқатар мысалдарды қарастырдық. Дифференциалдық есептеулерді және математикалық анализдің басқа салаларын оқып-үйрену барысында сіз жиі саралануға мәжбүр боласыз және мысалдарды егжей-тегжейлі жазу әрдайым ыңғайлы бола бермейді (және әрдайым қажет бола бермейді). Сондықтан туындыларды ауызша табуға машықтанатын боламыз. Бұған ең қолайлы «үміткерлер» қарапайым функциялардың туындылары болып табылады, мысалы:

Күрделі функцияны дифференциалдау ережесі бойынша :

Келешекте матанның басқа тақырыптарын оқып-үйрену кезінде мұндай егжей-тегжейлі жазба талап етілмейді, студент автоматты автопилоттан ұқсас туындыларды таба алады деп болжанады. Елестетіп көріңізші, түнгі сағат 3-те телефон шырылдап, жағымды дауыс: «Екі Х-тангенстің туындысы қандай?» Деп сұрады. Мұнан кейін жедел және сыпайы жауап беру керек: .

Бірінші мысал дереу тәуелсіз шешімге арналған болады.

1-мысал

Бір қадамда ауызша түрде келесі туындыларды табыңыз, мысалы :. Тапсырманы орындау үшін сізге тек пайдалану керек элементар функциялардың туындыларының кестесі (егер ол әлі есінде болмаса) Егер сізде қиындықтар болса, мен сабақты қайта оқуға кеңес беремін. Күрделі функция туындысы.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Сабақ соңында жауаптар

Күрделі туындылар

Алдын ала артиллериялық дайындықтан кейін 3-4-5 функционалды тіркемелері бар мысалдар онша қорқынышты болмайды. Мүмкін, келесі екі мысал кейбіреулерге қиын болып көрінуі мүмкін, бірақ егер сіз оларды түсінсеңіз (біреу зардап шегеді), онда дифференциалды есептеулердің барлығы дерлік баланың әзілі сияқты болып көрінеді.

2-мысал

Функцияның туындысын табыңыз

Жоғарыда айтылғандай, күрделі функцияның туындысын табу кезінде, ең алдымен, қажет дұрысТіркемелерді ТҮСІНІҢІЗ. Күмән туындайтын жағдайларда мен сізге пайдалы техниканы еске саламын: мысалы, біз «Х» -нің эксперименттік мәнін аламыз және «қорқынышты өрнекте» осы мәнді ауыстыруға тырысамыз (ойша немесе жоба бойынша).

1) Алдымен өрнекті есептеу керек, яғни бұл ең терең инвестиция болып табылады.

2) Логарифмді есептеу керек:

4) Содан кейін косинусты текшеге көтеріңіз:

5) бесінші қадамда айырмашылық:

6) Сонымен, ең сыртқы функция квадрат түбір болып табылады:

Күрделі функцияны дифференциалдау формуласы шеткі функциясынан ішкі жағына дейін кері тәртіпте қолданылады. Біз шешеміз:

Бұл қатесіз сияқты ...

(1) квадрат түбірдің туындысын алыңыз.

(2) Ереженің көмегімен айырымның туындысын алыңыз

(3) Үштіктің туындысы нөлге тең. Екінші тоқсанда біз дәреженің туындысын аламыз (куб).

(4) косинустың туындысын аламыз.

(5) Логарифмнің туындысын алайық.

(6) Соңында, біз ең терең ұя салудың туындысын аламыз.

Бұл тым қиын болып көрінуі мүмкін, бірақ бұл ең қатал мысал емес. Мысалы, Кузнецовтың жинағын алайық, сонда сіз талданған туындының барлық очарлылығы мен қарапайымдылығын бағалайтын боласыз. Менің ойымша, олар емтихан кезінде студенттің күрделі функцияның туындысын қалай табуға болатынын түсінетіндігін немесе түсінбейтіндігін тексеру үшін ұқсас нәрсе бергенді ұнатады.

Келесі мысал тәуелсіз шешімге арналған.

3-мысал

Функцияның туындысын табыңыз

Нұсқау: Алдымен сызықтық ережелер мен өнімді дифференциалдау ережесін қолданамыз

Толық шешім және оқулық соңында жауап беру.

Енді ықшам әрі сүйкімді нәрсеге көшетін уақыт келді.
Екі емес, үш функциядан тұратын туынды беру мысалға сирек кездеседі. Үш фактордың көбейтіндісінің туындысын қалай табуға болады?

4 мысал

Функцияның туындысын табыңыз

Алдымен, үш функцияның туындысын екі функцияның көбейтіндісіне айналдыруға болатынын көрейік? Мысалы, егер бізде өнімде екі көпмүше болса, жақшаларды кеңейте аламыз. Бірақ бұл мысалда барлық функциялар әр түрлі: дәреже, дәреже және логарифм.

Мұндай жағдайларда бұл қажет дәйектіөнімді саралау ережесін қолдану екі рет

Айла-амал «y» үшін біз екі функцияның туындысын белгілейміз, және «ve» үшін - логарифм:. Неліктен мұны істеуге болады? Солай ма - бұл екі фактордың өнімі емес және ереже жұмыс істемейді?! Күрделі ештеңе жоқ:

Енді ережені екінші рет қолдану қалады жақшаға:

Сізді бұрмалап, жақшаның сыртына бірдеңе қоюға болады, бірақ бұл жағдайда жауапты осы түрінде қалдырған дұрыс - тексеру оңайырақ болады.

Қарастырылған мысалды екінші жолмен шешуге болады:

Екі шешім де абсолютті эквивалентті болып табылады.

Мысал 5

Функцияның туындысын табыңыз

Бұл тәуелсіз шешімге мысал, мысалыда ол бірінші әдіспен шешіледі.

Бөлшектермен ұқсас мысалдарды қарастырайық.

6-мысал

Функцияның туындысын табыңыз

Мұнда сіз бірнеше жолмен баруға болады:

Немесе келесідей:

Бірақ, егер біз ең алдымен ережені дифференциалдау үшін қолданатын болсақ, шешім ықшамырақ жазылады , барлық нумератор үшін:

Негізінде мысал шешілді, егер сіз оны сол күйінде қалдырсаңыз, ол қате болмайды. Егер сіздің уақытыңыз болса, әрдайым жобаны тексерген жөн, бірақ оның жауабын жеңілдетуге бола ма? Нумератордың өрнегін ортақ бөлімге келтірейік үш қабатты бөлшектен құтылу:

Қосымша оңайлатудың жетіспеушілігі туынды табу кезінде емес, мектептегі қарапайым түрлендірулер туралы болғанда қате жіберу қаупі бар. Екінші жағынан, мұғалімдер көбінесе тапсырманы қабылдамайды және туындысын «еске түсіріңіз» деп сұрайды.

Өзіңіз жасай аласыз шешімінің қарапайым мысалы:

7-мысал

Функцияның туындысын табыңыз

Біз туынды табу әдістерін игеруді жалғастырамыз, енді дифференциалдау үшін «қорқынышты» логарифм ұсынылған кездегі типтік жағдайды қарастырамыз

8-мысал

Функцияның туындысын табыңыз

Мұнда күрделі функцияны дифференциалдау ережесін қолдана отырып, ұзақ жолдан өтуге болады:

Бірақ алғашқы қадам сізді бірден үмітсіздікке душар етеді - сіз фракциялық дәрежеден, содан кейін фракциядан жағымсыз туынды алуыңыз керек.

сондықтан бұрын «сәнді» логарифмнің туындысын қалай алуға болады, ол белгілі мектеп қасиеттерін қолдану арқылы алдын-ала жеңілдетілген:

! Егер сіздің қолыңызда жаттығу дәптері болса, мына формулаларды дәл сол жерден көшіріңіз. Егер сізде дәптер болмаса, оларды қағазға қайта салыңыз, өйткені қалған сабақ мысалдары осы формулалардың айналасында болады.

Шешімнің өзі келесідей құрылымдалуы мүмкін:

Функцияны түрлендірейік:

Туынды табыңыз:

Функцияны алдын-ала конфигурациялау шешімді едәуір жеңілдетті. Осылайша, дифференциалдау үшін осындай логарифм ұсынылған кезде, оны әрқашан «бұзған» жөн.

Енді тәуелсіз шешім үшін бірнеше қарапайым мысалдар:

9-мысал

Функцияның туындысын табыңыз

10-мысал

Функцияның туындысын табыңыз

Сабақтың соңында барлық түрлендірулер мен жауаптар.

Логарифмдік туынды

Егер логарифмдердің туындысы осындай тәтті музыка болса, онда сұрақ туындайды, кейбір жағдайларда логарифмді жасанды түрде ұйымдастыруға бола ма? Мүмкін! Тіпті қажет.

11-мысал

Функцияның туындысын табыңыз

Жақында біз осындай мысалдарды көрдік. Не істеу? Сіз бағаны дифференциалдау ережесін, содан кейін жұмысты саралау ережесін дәйекті түрде қолдана аласыз. Бұл әдістің кемшілігі - сіз үш қабатты үлкен үлеске ие боласыз, сіз онымен мүлде айналысқыңыз келмейді.

Бірақ теория мен практикада логарифмдік туынды сияқты керемет нәрсе бар. Логарифмдерді жасанды түрде екі жаққа «іліп қою» арқылы ұйымдастыруға болады:

Ескерту : бері функциясы теріс мәндерді қабылдай алады, сондықтан, әдетте, сізге модульдерді қолдану қажет: дифференциалдау нәтижесінде жоғалып кетеді. Дегенмен, қолданыстағы дизайн да қабылданады, мұнда әдепкі жағдайлар ескеріледі күрделі құндылықтар. Бірақ егер барлық ауырлықпен болса, онда екі жағдайда да ескерту жасау керек.

Енді сізге оң жақтағы логарифмді максималды түрде «бұзу» керек (формулалар сіздің көз алдыңызда?). Мен бұл процесті егжей-тегжейлі сипаттаймын:

Шындығында, біз дифференциацияға көшеміз.
Біз екі бөлікті де инсультпен қоршаймыз:

Оң жақтың туындысы өте қарапайым, мен оған түсініктеме бермеймін, өйткені егер сіз бұл мәтінді оқып отырсаңыз, онымен сенімді түрде күресуіңіз керек.

Ал сол жағы ше?

Сол жақта бізде бар күрделі функция... Мен: «Неге, логарифм астында тағы бір« игрек »әрпі бар?» Деген сұрақты алдын ала білемін.

Мәселе мынада, бұл «бір әріп игрек» - ӨЗІ - ҚЫЗМЕТ (егер онша түсініксіз болса, анық емес функциядан алынған мақаланы қараңыз). Демек, логарифм - сыртқы функция, ал «ойын» - ішкі функция. Ал біз күрделі функцияны дифференциалдау ережесін қолданамыз :

Сол жағында, сиқыр сияқты, бізде туынды бар. Әрі қарай, пропорция ережесі бойынша «ойынды» сол жақ бөлгіштен оң жақтың жоғарғы жағына қарай лақтырамыз:

Ал енді біз дифференциацияда қандай «ойын» функциясын талқыладық деп еске аламыз? Біз шартты қарастырамыз:

Соңғы жауап:

12-мысал

Функцияның туындысын табыңыз

Бұл өз қолыңызбен жасауға шешім. Сабақтың соңында осы типтегі мысалдың дизайны.

Логарифмдік туынды көмегімен No4-7 мысалдардың кез-келгенін шешуге мүмкіндік туды, бұл жерде функцияның қарапайым екендігі басқа мәселе, және, мүмкін, логарифмдік туынды қолдану онша негізделген емес.

Көрсеткіштік функцияның туындысы

Біз бұл функцияны әлі қарастырған жоқпыз. Экспоненциалды функция деп онда болатын функцияны айтады және дәрежесі мен негізі «х» -ге тәуелді... Сізге кез-келген оқулықта немесе кез-келген дәрісте берілетін классикалық мысал:

Көрсеткіштік функцияның туындысын қалай табуға болады?

Логарифмдік туынды - жаңа қарастырылған трюкті қолдану қажет. Логарифмдерді екі жағына іліп қоямыз:

Әдетте, дәреже оң жақтағы логарифмнің астынан шығарылады:

Нәтижесінде оң жақта бізде стандартты формула бойынша сараланатын екі функцияның туындысы бар .

Туынды табыңыз, бұл үшін біз екі бөлікті де штрихтармен қоршаймыз:

Әрекеттер қарапайым:

Соңында:

Егер қандай да бір түрлендіру толығымен анық болмаса, №11 мысалдың түсіндірмелерін мұқият оқып шығыңыз.

Практикалық тапсырмаларда экспоненциалды функция қарастырылған дәріс мысалына қарағанда әрдайым күрделі болады.

13-мысал

Функцияның туындысын табыңыз

Біз логарифмдік туынды қолданамыз.

Оң жағында бізде тұрақты және екі фактордың көбейтіндісі бар - «х» және «х логарифмінің логарифмі» (басқа логарифм логарифмге ендірілген). Тұрақты дифференциалдау кезінде, есімізде, туынды белгісін аяқ асты жолға түспес үшін бірден шығарған дұрыс; және, әрине, таныс ережені қолданыңыз :

Егер а ж(х) және f(сен) Сәйкесінше нүктелерде олардың аргументтерінің дифференциалданатын функциялары болып табылады х және сен= ж(х), онда күрделі функция нүктесінде де дифференциалданады хжәне формула бойынша табылған

Туынды есептерді шығарудағы типтік қателік - қарапайым функцияларды дифференциалдау ережелерін күрделі функцияларға автоматты түрде беру. Біз бұл қателікті болдырмауға үйренеміз.

2-мысал.Функцияның туындысын табыңыз

Қате шешім: жақшаның ішіндегі әр мүшенің натурал логарифмін есептеп, туындылардың қосындысын ізде:

Дұрыс шешім: қайтадан «алма» қайда, «тартылған ет» қайда екенін анықтаймыз. Мұнда жақшаның ішіндегі өрнектің табиғи логарифмі «алма», яғни аралық аргументтің функциясы. сен, ал жақшаның ішіндегі өрнек «тартылған», яғни аралық аргумент сен тәуелсіз айнымалы бойынша х.

Содан кейін (туындылар кестесіндегі 14 формуланы қолдану арқылы)

Өмірдегі көптеген мәселелерде логарифммен өрнек әлдеқайда күрделі, сондықтан сабақ бар

3-мысал.Функцияның туындысын табыңыз

Қате шешім:

Дұрыс шешім. Тағы да біз «алма» қайда, ал «тартылған ет» қай жерде екенін анықтаймыз. Мұнда жақшаның ішіндегі өрнектің косинусы (туындылар кестесіндегі 7-формула) «алма», ол тек оған әсер ете отырып, 1-режимде дайындалады, ал жақшаның ішіндегі өрнек (қуаттың туындысы туындылар кестесінде 3 саны) «тартылған ет», ол тек оған әсер ететін 2 режимімен дайындалады. Әдеттегідей, біз екі туындыны жұмыс белгісімен байланыстырамыз. Нәтижесі:

Күрделі логарифмдік функцияның туындысы - бұл тестілерде жиі тапсырма беру, сондықтан біз сізге «Логарифмдік функцияның туындысы» сабағына баруға кеңес береміз.

Алғашқы мысалдар тәуелсіз айнымалының аралық аргументі қарапайым функция болатын күрделі функцияларға арналған. Бірақ практикалық тапсырмаларда көбінесе күрделі функцияның туындысын табу талап етіледі, мұнда аралық аргумент не өзі күрделі функция, не ондай функцияны қамтиды. Мұндай жағдайларда не істеу керек? Кестелер мен дифференциалдау ережелерін пайдаланып, осындай функциялардың туындыларын табыңыз. Аралық аргументтің туындысы табылған кезде, ол жай формулада керекті жерде ауыстырылады. Төменде мұның жасалуының екі мысалы келтірілген.

Сондай-ақ келесілерді білген пайдалы. Егер күрделі функцияны үш функцияның тізбегі ретінде ұсынуға болатын болса

онда оның туындысын осы функциялардың әрқайсысының туындыларының көбейтіндісі ретінде табу керек:

Сіздің көптеген үй тапсырмаларыңызға жаңа терезелерде оқу құралдары ашылуы қажет Қуаттар мен тамырларға ие әрекеттер және Бөлшек әрекеттер .

4 мысал.Функцияның туындысын табыңыз

Нәтижесінде туынды көбейтіндіде тәуелсіз айнымалыға қатысты аралық аргумент болатындығын ұмытпай, күрделі функцияны саралау ережесін қолданамыз х өзгерген жоқ:

Біз өнімнің екінші факторын дайындаймыз және қосындысын дифференциалдау ережесін қолданамыз:

Екінші термин - бұл түбір, сондықтан

Сонымен, біз қосындыны құрайтын аралық аргументтің құрамында күрделі функция бар екенін білдік: дәрежеге көтеру - күрделі функция, ал дәрежеге көтерген - тәуелсіз айнымалыға қатысты аралық аргумент. х.

Сондықтан біз тағы да күрделі функцияны дифференциалдау ережесін қолданамыз:

Біз бірінші фактордың дәрежесін түбірге айналдырамыз, ал екінші факторды дифференциалдай отырып, константаның туындысы нөлге тең екенін ұмытпаңыз:

Енді есептер шартында қажет болатын күрделі функцияның туындысын есептеу үшін қажетті аралық аргументтің туындысын таба аламыз ж:

Мысал 5.Функцияның туындысын табыңыз

Алдымен қосындыларды саралау ережесін қолданайық:

Екі күрделі функцияның туындыларының қосындысын алды. Біз олардың біріншісін табамыз:

Мұнда синусты дәрежеге көтеру күрделі функция, ал синустың өзі тәуелсіз айнымалыға қатысты аралық аргумент болып табылады х... Сондықтан, біз күрделі функцияны дифференциалдау ережесін осы жолда қолданамыз факторды факторинг :

Енді функцияның туындысының генераторларынан екінші мүшесін табамыз ж:

Мұнда косинусты қуатқа көтеру - күрделі функция f, ал косинустың өзі тәуелсіз айнымалыға қатысты аралық аргумент болып табылады х... Күрделі функцияны дифференциалдау ережесін қайтадан қолданайық:

Нәтижесінде қажетті туынды шығады:

Кейбір күрделі функциялардың туынды кестесі

Күрделі функциялар үшін күрделі функцияны дифференциалдау ережесіне сүйене отырып, қарапайым функцияның туындысының формуласы басқа форманы алады.

1. Құрама қуат функциясының туындысы, мұндағы сен х
2. Өрнек түбірінің туындысы
3. Көрсеткіштік функцияның туындысы
4. Көрсеткіштік функцияның ерекше жағдайы
5. Ерікті оң негізі бар логарифмдік функцияның туындысы және
6. Күрделі логарифмдік функцияның туындысы, мұндағы сен - дифференциалданатын аргумент функциясы х
7. Синустың туындысы
8. Косинустың туындысы
9. Тангенстің туындысы
10. Котангенс туындысы
11. Доғаның туындысы
12. Аркозиннің туындысы
13. Аркангенгенің туындысы
14. Доға котангенсінің туындысы

Егер біз анықтаманы ұстанатын болсақ, онда функцияның нүктедегі туындысы Δ функциясының өсуінің қатынас шегі болады. ж аргумент ment өсуіне дейін х:

Барлығы түсінікті сияқты. Бірақ осы формуланы пайдаланып есептеуге тырысыңыз, мысалы, функцияның туындысы f(х) = х 2 + (2х + 3) e х Күнә х... Егер сіз бәрін анықтама бойынша жасасаңыз, онда есептеулердің екі парағынан кейін сіз жай ұйықтап кетесіз. Сондықтан қарапайым және тиімді тәсілдер бар.

Бастапқыда қарапайым функциялар деп аталатын функцияларды әр түрлі функциялардан ажыратуға болатындығын атап өтеміз. Бұл туындылары бұрыннан есептеліп, кестеге енгізілген салыстырмалы түрде қарапайым өрнектер. Мұндай функцияларды есте сақтау оңай, олардың туындыларымен бірге.

Элементар функциялардың туындылары

Бастапқы функциялар - төменде келтірілгендердің барлығы. Осы функциялардың туындылары жатқа білілуі керек. Оларды есте сақтау мүлдем қиын емес - сондықтан олар қарапайым.

Сонымен, қарапайым функциялардың туындылары:

Аты-жөні	Функция	Туынды
Тұрақты	f(х) = C, C ∈ R	0 (иә, нөл!)
Рационалды баға	f(х) = х n	n · х n − 1
Синус	f(х) \u003d күнә х	cos х
Косинус	f(х) \u003d cos х	- күнә х (минус синус)
Тангенс	f(х) \u003d тг х	1 / cos 2 х
Котангенс	f(х) \u003d ctg х	- 1 / sin 2 х
Табиғи логарифм	f(х) \u003d лн х	1/х
Ерікті логарифм	f(х) \u003d журнал а х	1/(х Ln а)
Экспоненциалды функция	f(х) = e х	e х (ештеңе өзгерген жоқ)

Егер элементар функция ерікті тұрақтыға көбейтілсе, онда жаңа функцияның туындысы да оңай есептеледі:

(C · f)’ = C · f ’.

Жалпы, тұрақтыларды туынды белгісінен тыс жылжытуға болады. Мысалға:

(2х 3) ’\u003d 2 · ( х 3) '\u003d 2 3 х 2 = 6х 2 .

Бастапқы функцияларды бір-біріне қосуға, көбейтуге, бөлуге болады және тағы басқалары анық. Сонымен, енді қарапайым емес, сонымен қатар белгілі бір ережелерге сәйкес сараланатын жаңа функциялар пайда болады. Бұл ережелер төменде талқыланады.

Қосынды мен айырымның туындысы

Функцияларға рұқсат етіңіз f(х) және ж(х) туындылары бізге белгілі. Мысалы, жоғарыда қарастырылған қарапайым функцияларды алуға болады. Сонда сіз осы функциялардың қосындысы мен айырымының туындысын таба аласыз:

1. (f + ж)’ = f ’ + ж ’
2. (f − ж)’ = f ’ − ж ’

Сонымен, екі функцияның қосындысының (айырымының) туындысы туындылардың қосындысына (айырымына) тең. Терминдер көбірек болуы мүмкін. Мысалға, ( f + ж + сағ)’ = f ’ + ж ’ + сағ ’.

Қатаң түрде алгебрада «азайту» ұғымы жоқ. «Теріс элемент» деген түсінік бар. Сондықтан айырмашылық f − ж қосынды түрінде қайта жазуға болады f + (−1) ж, содан кейін тек бір формула қалады - қосындының туындысы.

f(х) = х 2 + sin x; ж(х) = х 4 + 2х 2 − 3.

Функция f(х) Екі қарапайым функцияның қосындысы болып табылады, сондықтан:

f ’(х) = (х 2 + күнә х)’ = (х 2) ’+ (күнә х)’ = 2х + cos x;

Біз функцияны дәл осылай ойлаймыз ж(х). Тек үш термин бар (алгебра тұрғысынан):

ж ’(х) = (х 4 + 2х 2 − 3)’ = (х 4 + 2х 2 + (−3))’ = (х 4)’ + (2х 2)’ + (−3)’ = 4х 3 + 4х + 0 = 4х · ( х 2 + 1).

Жауап:
f ’(х) = 2х + cos x;
ж ’(х) = 4х · ( х 2 + 1).

Шығарманың туындысы

Математика - бұл логикалық ғылым, сондықтан көбісі қосындының туындысының қосындысына тең болса, көбейтіндінің туындысы деп санайды ереуіл«\u003e туындылардың көбейтіндісіне тең. Бірақ сізді кескіндейді! Өнімнің туындысы мүлде басқа формула бойынша есептеледі. Атап айтқанда:

(f · ж) ’ = f ’ · ж + f · ж ’

Формула қарапайым, бірақ көбіне назардан тыс қалады. Тек мектеп оқушылары ғана емес, студенттер де бар. Нәтиже дұрыс шешілмеген мәселелер.

Тапсырма. Функциялардың туындыларын табыңыз: f(х) = х 3 cos x; ж(х) = (х 2 + 7х 7) e х .

Функция f(х) - бұл екі қарапайым функцияның туындысы, сондықтан барлығы қарапайым:

f ’(х) = (х 3 cos х)’ = (х 3) ’cos х + х 3 (cos х)’ = 3х 2 cos х + х 3 (- күнә х) = х 2 (3 қосымша) х − х Күнә х)

Функция ж(х) бірінші фактор сәл күрделі, бірақ жалпы схема бұдан өзгермейді. Функцияның бірінші факторы екені анық ж(х) - көпмүше, ал оның туындысы - қосындының туындысы. Бізде бар:

ж ’(х) = ((х 2 + 7х 7) e х)’ = (х 2 + 7х - 7) ’ e х + (х 2 + 7х - 7) ( e х)’ = (2х + 7) e х + (х 2 + 7х 7) e х = e х · (2 х + 7 + х 2 + 7х −7) = (х 2 + 9х) · e х = х(х + 9) e х .

Жауап:
f ’(х) = х 2 (3 қосымша) х − х Күнә х);
ж ’(х) = х(х + 9) e х .

Соңғы қадамда туынды көбейіп кеткеніне назар аударыңыз. Ресми түрде бұл қажет емес, бірақ туындылардың көпшілігі өздігінен емес, функцияны зерттеу үшін есептеледі. Бұл дегеніміз, бұдан әрі туынды нөлге теңестіріліп, оның белгілері нақтыланатын болады және т.б. Мұндай жағдайда факторизацияланған өрнек болғаны дұрыс.

Егер екі функция болса f(х) және ж(х), және ж(х) ≠ 0 бізді қызықтыратын болса, біз жаңа функцияны анықтай аламыз сағ(х) = f(х)/ж(х). Мұндай функция үшін сіз сонымен қатар туынды таба аласыз:

Әлсіз емес пе? Минус қайдан пайда болды? Неге ж 2? Және бұл! Бұл ең қиын формулалардың бірі - сіз оны бөтелкесіз анықтай алмайсыз. Сондықтан оны нақты мысалдармен зерттеген дұрыс.

Тапсырма. Функциялардың туындыларын табыңыз:

Әр бөлшектің бөлгішінде және бөлгішінде қарапайым функциялар бар, сондықтан бізге тек берілгеннің туындысының формуласы қажет:

Дәстүр бойынша, нумераторды факторларға бөлу жауапты едәуір жеңілдетеді:

Күрделі функция - бұл міндетті түрде ұзындығы жарты шақырым болатын формула емес. Мысалы, функцияны қабылдау жеткілікті f(х) \u003d күнә х және айнымалыны ауыстырыңыз хдейік х 2 + лн х... Ол шығады f(х) \u003d күнә ( х 2 + лн х) Күрделі функция болып табылады. Сондай-ақ оның туындысы бар, бірақ оны жоғарыда талқыланған ережелерге сәйкес табу тиімді болмайды.

Не істейін? Мұндай жағдайларда ауыспалы ауыстыру және күрделі функция туындысының формуласы көмектеседі:

f ’(х) = f ’(т) · т ', егер а х ауыстырылады т(х).

Әдетте, осы формуланы түсіну арқылы жағдай, цитатаның туындысына қарағанда, тіпті қайғылы. Сондықтан оны әр қадамды егжей-тегжейлі сипаттай отырып, нақты мысалдармен түсіндірген жөн.

Тапсырма. Функциялардың туындыларын табыңыз: f(х) = e 2х + 3 ; ж(х) \u003d күнә ( х 2 + лн х)

Егер функция болса f(х) 2 өрнектің орнына х + 3 оңай болады х, содан кейін біз элементар функцияны аламыз f(х) = e х ... Сондықтан біз алмастыруды жасаймыз: 2 болсын х + 3 = т, f(х) = f(т) = e т ... Күрделі функцияның туындысын мына формула бойынша іздейміз:

f ’(х) = f ’(т) · т ’ = (e т)’ · т ’ = e т · т ’

Ал енді назар! Біз кері ауыстыруды жүзеге асырамыз: т = 2х + 3. Біз мынаны аламыз:

f ’(х) = e т · т ’ = e 2х + 3 (2 х + 3)’ = e 2х + 3 2 \u003d 2 e 2х + 3

Енді функцияны қарастырайық ж(х). Сізге ауыстыру керек екені анық х 2 + лн х = т... Бізде бар:

ж ’(х) = ж ’(т) · т ’\u003d (Күнә т)’ · т ’\u003d Cos т · т ’

Кері ауыстыру: т = х 2 + лн х... Содан кейін:

ж ’(х) \u003d cos ( х 2 + лн х) · ( х 2 + лн х) ’\u003d Cos ( х 2 + лн х) · (2 х + 1/х).

Осымен болды! Соңғы өрнектен көрініп тұрғандай, барлық мәселе алынған қосындыларды есептеуге дейін азайтылды.

Жауап:
f ’(х) \u003d 2 e 2х + 3 ;
ж ’(х) = (2х + 1/хCos ( х 2 + лн х).

Мен сабақтарымда «туынды» терминінің орнына «инсульт» сөзін жиі қолданамын. Мысалы, қосындының жай сандары соққылардың қосындысына тең. Бұл түсінікті ме? Міне жақсы.

Осылайша, туынды есептеу жоғарыда айтылған ережелерге сәйкес дәл осы соққылардан арылуға келеді. Соңғы мысал ретінде дәреженің рационалды көрсеткіші бар туындысына оралайық:

(х n)’ = n · х n − 1

Оның рөлі қандай екенін аз біледі n бөлшек сан болуы мүмкін. Мысалы, түбірі х 0,5. Түбірдің астында сәнді нәрсе болса ше? Тағы да, күрделі функция шығады - олар сынақтар мен емтихандарда осындай конструкцияларды беруді ұнатады.

Тапсырма. Функцияның туындысын табыңыз:

Алдымен түбірді рационалды көрсеткішпен қуат ретінде қайта жазайық:

f(х) = (х 2 + 8х − 7) 0,5 .

Енді біз ауыстырамыз: рұқсат етіңіз х 2 + 8х − 7 = т... Туынды формула бойынша табамыз:

f ’(х) = f ’(т) · т ’ = (т 0,5) ' т '\u003d 0,5 т −0.5 т ’.

Біз кері ауыстыруды орындаймыз: т = х 2 + 8х - 7. Бізде:

f ’(х) \u003d 0,5 ( х 2 + 8х - 7) −0,5 ( х 2 + 8х - 7) ’\u003d 0,5 · (2 х + 8) ( х 2 + 8х − 7) −0,5 .

Соңында, тамырларға оралсақ:

Күрделі функциялар әрдайым күрделі функцияның анықтамасына сәйкес келе бермейді. Егер y \u003d sin x - (2 - 3) a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11 түріндегі функция болса, онда y \u003d sin 2 x сияқты емес, оны күрделі деп санауға болмайды.

Бұл мақалада күрделі функция ұғымы және оны сәйкестендіру көрсетілген. Қорытындыдағы шешімдер мысалдарымен туынды табудың формулаларымен жұмыс жасайық. Туынды кестені және дифференциалдау ережесін қолдану туынды табу уақытын едәуір қысқартады.

Негізгі анықтамалар

Анықтама 1

Күрделі функция - аргументі де функция болатын функция.

Ол былай белгіленеді: f (g (x)). Бізде g (x) функциясы f (g (x)) аргументі болып саналады.

Анықтама 2

Егер f функциясы болса және котангенс функциясы болса, онда g (x) \u003d ln x - натурал логарифм функциясы. F (g (x)) күрделі функциясы арктан (lnx) түрінде жазылатын болады. Немесе f функциясы, бұл 4-дәрежеге көтерілген функция, мұндағы g (x) \u003d x 2 + 2 x - 3 бүтін рационалды функция деп саналады, біз f (g (x)) \u003d (x 2 + 2 x - 3) 4 ...

Әрине, g (x) күрделі болуы мүмкін. Y \u003d sin 2 x + 1 x 3 - 5 мысалынан g мәнінің бөлшегі бар куб түбірі бар екенін көруге болады. Бұл өрнекті y \u003d f (f 1 (f 2 (x))) деп белгілеуге рұқсат етілген. Бізде $ f $ синус функциясы, ал f 1 $ астында орналасқан функция шаршы түбір, f 2 (x) \u003d 2 x + 1 x 3 - 5 - бөлшек рационалды функция.

Анықтама 3

Ұялау дәрежесі кез келгенімен анықталады натурал сан және y \u003d f (f 1 (f 2 (f 2 (f 3 (... (f n (x)))))) түрінде жазылады.

Анықтама 4

Функция құрамы ұғымы есептің шарты бойынша кірістірілген функциялардың санын білдіреді. Шешім үшін форманың күрделі функциясының туындысын табудың формуласы келтірілген

(f (g (x))) «\u003d f» (g (x)) g «(x)

Мысалдары

1-мысал

Y \u003d (2 x + 1) 2 түріндегі күрделі функцияның туындысын табыңыз.

Шешім

Шарт бойынша f - квадраттау функциясы, ал g (x) \u003d 2 x + 1 сызықтық функция деп саналатынын көруге болады.

Күрделі функцияның туынды формуласын қолданып жазайық:

f «(g (x)) \u003d ((g (x)) 2)» \u003d 2 * (g (x)) 2 - 1 \u003d 2 * g (x) \u003d 2 * (2 x + 1); g «(x) \u003d (2 x + 1)» \u003d (2 x) «+ 1» \u003d 2 x «+ 0 \u003d 2 1 x 1 - 1 \u003d 2 ⇒ (f (g (x))) «\u003d f» (g (x)) g «(x) \u003d 2 (2 x + 1) 2 \u003d 8 x + 4

Функцияның жеңілдетілген түпнұсқа формасы бар туынды табу керек. Біз алып жатырмыз:

y \u003d (2 x + 1) 2 \u003d 4 x 2 + 4 x + 1

Сондықтан бізде бар

y «\u003d (4 x 2 + 4 x + 1)» \u003d (4 x 2) «+ (4 x)» + 1 «\u003d 4 · (x 2)» + 4 · (x) «+ 0 \u003d \u003d 4 2 x 2 - 1 + 4 1 x 1 - 1 \u003d 8 x + 4

Нәтижелер сәйкес келді.

Осындай типтегі есептерді шешкен кезде f және g (x) түріндегі функция қайда орналасатынын түсіну керек.

2-мысал

Y \u003d sin 2 x және y \u003d sin x 2 түріндегі күрделі функциялардың туындыларын табу керек.

Шешім

Функцияның бірінші жазбасы f - квадрат функция, ал g (x) - синус функция. Сонда біз мұны аламыз

y «\u003d (sin 2 x)» \u003d 2 sin 2 - 1 x (sin x) «\u003d 2 sin x cos x

Екінші жазба f - синус функциясы, ал g (x) \u003d x 2 - қуат функциясы. Бұдан шығатыны, күрделі функцияның туындысын былайша жазуға болады

y «\u003d (sin x 2)» \u003d cos (x 2) (x 2) «\u003d cos (x 2) 2 x 2 - 1 \u003d 2 x cos (x 2)

Y \u003d f (f 1 (f 2 (f 3 (... (Fn (x)))))) туындысының формуласын у «\u003d f» (f 1 (f 2 (f 3 (..) fn (x)))))) f 1 «(f 2 (f 3 (... (fn (x))))) f 2» (f 3 (.. (fn (x))) )) ·. ... ... · F n «(x)

3-мысал

Y \u003d sin (ln 3 a r c t g (2 x)) функциясының туындысын табыңыз.

Шешім

Бұл мысал функциялардың орналасу және орналасу қиындығын көрсетеді. Онда y \u003d f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))))) белгілейміз, мұндағы f, f 1, f 2, f 3, f 4 (x) синус функция, 3-ке көтеру функциясы дәрежесі, функциясы логарифммен және негізімен, аркангенс функциясы және сызықтық.

Күрделі функцияны анықтау формуласынан бізде бар

y «\u003d f» (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f 1 «(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2» (f 3 (f 4 (x))) f 3 «(f 4 (x)) f 4» (x)

Біз не табуға болатындығын аламыз

1. f «(f 1 (f 2 (f 3 (f 3 (f 4 (x))))) туындылар кестесіне сәйкес синус туынды ретінде, содан кейін f» (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) ) \u003d cos (ln 3 арктана (2 x)).
2. f 1 «(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) қуат функциясының туындысы ретінде, содан кейін f 1» (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) \u003d 3 ln 3 - 1 арктан (2 х) \u003d 3 лн 2 арктана (2 х).
3. f 2 «(f 3 (f 4 (x))) логарифмнің туындысы ретінде, содан кейін f 2» (f 3 (f 4 (x))) \u003d 1 a r c t g (2 x).
4. f 3 «(f 4 (x)) аркангенстің туындысы ретінде, содан кейін f 3» (f 4 (x)) \u003d 1 1 + (2 x) 2 \u003d 1 1 + 4 x 2.
5. F 4 (x) \u003d 2 x туындысын табу кезінде, дәрежесі 1-ге тең дәрежелі функцияның туындысының формуласын пайдаланып, туынды таңбасының сыртында 2-ді алып таста, содан кейін f 4 «(x) \u003d (2 x)» \u003d 2 x «\u003d 2 1 x 1 - 1 \u003d 2.

Біз аралық нәтижелерді біріктіреміз және солай аламыз

y «\u003d f» (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f 1 «(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2» (f 3 (f 4 (x))) f 3 «(f 4 (x)) f 4» (x) \u003d \u003d cos (ln 3 arctan (2 x)) 3 ln 2 arctan (2 x) 1 аркан (2 х) 1 1 + 4 х 2 2 \u003d \u003d 6 cos (ln 3 аркан (2 х)) ln 2 аркан (2 х) аркан (2 х) (1 + 4 х 2)

Мұндай функцияларды талдау матрешкаларға ұқсайды. Дифференциалдау ережелерін әрқашан туынды кестесін қолдану арқылы нақты қолдану мүмкін емес. Жиі күрделі функциялардың туындыларын табудың формуласын қолдану қажет.

Күрделі және күрделі функциялардың кейбір айырмашылықтары бар. Мұны ажырата білу қабілеті бар кезде туындыларды табу оңай болады.

4 мысал

Осыған ұқсас мысал келтіруді қарастырған жөн. Егер y \u003d t g 2 x + 3 t g x + 1 түріндегі функция болса, онда оны g (x) \u003d t g x, f (g) \u003d g 2 + 3 g + 1 күрделі формасы деп санауға болады. Күрделі туынды формуласын қолдану қажет екені анық:

f «(g (x)) \u003d (g 2 (x) + 3 g (x) + 1)» \u003d (g 2 (x)) «+ (3 g (x))» + 1 «\u003d \u003d 2 · g 2 - 1 (x) + 3 g «(x) + 0 \u003d 2 g (x) + 3 1 g 1 - 1 (x) \u003d \u003d 2 g (x) + 3 \u003d 2 tgx + 3; g «(x) \u003d (tgx)» \u003d 1 cos 2 x ⇒ y «\u003d (f (g (x)))» \u003d f «(g (x)) g» (x) \u003d (2 tgx + 3) ) 1 cos 2 x \u003d 2 tgx + 3 cos 2 x

Y \u003d t g x 2 + 3 t g x + 1 түріндегі функция қиын деп саналмайды, өйткені оның t g x 2, 3 t g x және 1 қосындылары бар. Алайда t g x 2 күрделі функция деп есептеледі, содан кейін біз g (x) \u003d x 2 және f түріндегі қуат функциясын аламыз, бұл жанаманың функциясы. Мұны істеу үшін сіз оны мөлшермен ажыратуыңыз керек. Біз мұны алдық

y «\u003d (tgx 2 + 3 tgx + 1)» \u003d (tgx 2) «+ (3 tgx)» + 1 «\u003d \u003d (tgx 2)» + 3 · (tgx) «+ 0 \u003d (tgx 2)» + 3 cos 2 x

Біз күрделі функцияның туындысын табуға кірісеміз (t g x 2) «:

f «(g (x)) \u003d (tg (g (x)))» \u003d 1 cos 2 g (x) \u003d 1 cos 2 (x 2) g «(x) \u003d (x 2)» \u003d 2 x 2 - 1 \u003d 2 x ⇒ (tgx 2) «\u003d f» (g (x)) g «(x) \u003d 2 x cos 2 (x 2)

Y «\u003d (t g x 2 + 3 t g x + 1)» \u003d (t g x 2) «+ 3 cos 2 x \u003d 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x болатынын аламыз

Күрделі функцияларды күрделі функцияларға қосуға болады, ал күрделі функциялардың өзі күрделі функциялар болуы мүмкін.

Мысал 5

Мысалы, y \u003d log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) түріндегі күрделі функцияны қарастырайық

Бұл функцияны y \u003d f (g (x)) түрінде көрсетуге болады, мұндағы f мәні логарифмнің 3-негізге дейінгі функциясы, ал g (x) h (x) \u003d x 2 + 3 cos 3 (2) түріндегі екі функцияның қосындысы болып саналады x + 1) + 7 ex 2 + 3 3 және k (x) \u003d ln 2 x (x 2 + 1). Y \u003d f (h (x) + k (x)).

H (x) функциясын қарастырайық. Бұл l (x) \u003d x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 мен m (x) \u003d e x 2 + 3 3 қатынасы

Бізде l (x) \u003d x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 \u003d n (x) + p (x) - екі функцияның қосындысы n (x) \u003d x 2 + 7 және p (x) \u003d 3 cos 3 (2 x + 1), мұндағы p (x) \u003d 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) - 3 сандық коэффициенті бар күрделі функция, ал p 1 - кубтық функция, p 2 косинус функциясы ретінде, p 3 (x) \u003d 2 x + 1 - сызықтық функция.

M (x) \u003d ex 2 + 3 3 \u003d q (x) + r (x) - екі функцияның қосындысы q (x) \u003d ex 2 және r (x) \u003d 3 3, мұндағы q (x) \u003d q 1 (q 2 (x)) - күрделі функция, q 1 - экспоненциалды функциясы бар функция, q 2 (x) \u003d x 2 - қуат функциясы.

Бұл h (x) \u003d l (x) m (x) \u003d n (x) + p (x) q (x) + r (x) \u003d n (x) + 3 p 1 (p 2) p 3 (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

K (x) \u003d ln 2 x (x 2 + 1) \u003d s (x) t (x) түріндегі өрнекке өткенде, функция күрделі функция түрінде ұсынылғанын көруге болады s (x) \u003d ln 2 x \u003d s 1 ( s 2 (x)) рационалды бүтін t (x) \u003d x 2 + 1 санымен, мұндағы s 1 - квадраттау функциясы, ал s 2 (x) \u003d ln x - негізі e-ге тең логарифм.

Демек, өрнек k (x) \u003d s (x) t (x) \u003d s 1 (s 2 (x)) t (x) түрін алады.

Сонда біз мұны аламыз

y \u003d log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 ex 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) \u003d \u003d fn (x) + 3 p 1 (p 2 (p) 3 (x))) q 1 (q 2 (x)) \u003d r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

Функция құрылымы бойынша өрнекті дифференциалдау кезінде оны жеңілдету үшін қалай және қандай формулаларды қолдану керек екендігі айқын болды. Осындай мәселелермен танысу үшін және оларды шешу тұжырымдамасы үшін функцияны дифференциалдау нүктесіне, яғни оның туындысын табу керек.

Егер сіз мәтінде қате байқасаңыз, оны таңдап, Ctrl + Enter пернелерін басыңыз

Біз қарапайым туындыларды талдадық, сонымен қатар дифференциалдау ережелерімен және туындыларды табудың кейбір әдістерімен таныстық. Осылайша, егер сіз функциялардың туындыларымен жақсы таныс болмасаңыз немесе осы мақаланың кейбір тармақтары толық түсініксіз болса, алдымен жоғарыдағы сабақты оқып шығыңыз. Өтінемін, байсалды көңіл-күйге бейімделіңіз - материал оңай емес, бірақ мен оны қарапайым әрі жеңіл түрде ұсынуға тырысамын.

Іс жүзінде күрделі функциялардың туындыларымен жиі айналысуға тура келеді, мен дерлік туындыларды табуға тапсырма бергенде әрдайым дерлік айтар едім.

Күрделі функцияны саралау үшін кестеден (№ 5) ережені қарастырамыз:

Түсіну. Алдымен жазбаға назар аударайық. Мұнда бізде екі функция бар - және функция, бейнелеп айтқанда, функцияға енеді. Осындай типтегі функция (бір функция екінші функцияның ішіне салынған кезде) күрделі функция деп аталады.

Мен функцияны шақырамын сыртқы функцияжәне функциясы - ішкі (немесе ішкі) функция.

! Бұл анықтамалар теориялық емес және тапсырмаларды орындау кезінде пайда болмауы керек. Материалды түсінуді жеңілдету үшін мен «сыртқы функция», «ішкі» функционалды емес тіркестерді қолданамын.

Жағдайды түсіндіру үшін мыналарды қарастырыңыз:

1-мысал

Функцияның туындысын табыңыз

Синустың астында бізде тек «Х» әрпі емес, бүтін өрнек бар, сондықтан туындысын кестеден бірден табу мүмкін болмайды. Мұнда алғашқы төрт ережені қолдану мүмкін еместігін байқаймыз, айырмашылық бар сияқты, бірақ сіз синусты «жыртып» алмайсыз:

Бұл мысалда, менің түсініктемелерім бойынша, функция күрделі функция, ал көпмүшелік ішкі функция (тіркеме) және сыртқы функция екендігі интуитивті түрде түсінікті.

Алғашқы қадам, бұл күрделі функцияның туындысын табу кезінде орындалуы керек қандай функция ішкі, қайсысы сыртқы екенін анықтаңыз.

Егер қарапайым мысалдар көпмүшенің синус астына ұя салатыны анық сияқты. Бірақ бәрі анық болмаса ше? Қандай функцияның сыртқы, ал қайсысының ішкі екенін қалай анықтауға болады? Мұны істеу үшін мен ақыл-оймен немесе жоба бойынша жасалуы мүмкін келесі техниканы қолдануды ұсынамын.

Бізге өрнектің мәнін калькуляторда есептеу керек деп елестетіп көріңіз (оның орнына кез-келген сан болуы мүмкін).

Алдымен нені есептейміз? Бірінші кезекте сізге келесі әрекетті орындау қажет болады, сондықтан көпмүшелік ішкі функция болады:

Екіншіден табу керек болады, сондықтан синус сыртқы функция болады:

Бізден кейін Анықталды ішкі және сыртқы функциялармен күрделі функцияны дифференциалдау ережесін қолданатын уақыт келді .

Біз шеше бастаймыз. Сабақтан Туынды қалай табуға болады? кез-келген туынды шешімінің дизайны әрдайым осылай басталатыны есімізде - біз өрнекті жақшаға алып, оң жақ жоғарғы жағына сызық қоямыз:

Біріншіден біз сыртқы функцияның туындысын табамыз (синус), элементар функциялардың туындыларының кестесіне қарап, назар аударыңыз. Барлық кестелік формулалар, егер «х» күрделі өрнекпен ауыстырылса, қолданылады, Бұл жағдайда:

Ішкі функция екенін ескеріңіз өзгерген жоқ, біз оған тиіспейміз.

Бұл өте айқын

Формуланы қолдану нәтижесі соңғы дизайнда келесідей көрінеді:

Тұрақты коэффициент әдетте өрнектің басында орналасады:

Егер қандай да бір шатасулар болса, шешімді жазып, түсіндірмелерді қайтадан оқып шығыңыз.

2-мысал

Функцияның туындысын табыңыз

3-мысал

Функцияның туындысын табыңыз

Әдеттегідей, біз жазамыз:

Бізде қай жерде сыртқы, ал ішкі қай жерде екенін анықтайық. Мұны істеу үшін (ойша немесе жоба бойынша) at өрнегінің мәнін есептеп көріңіз. Алдымен не істеу керек? Ең алдымен, негіздің неге тең екенін есептеу керек: бұл көпмүшелік ішкі функция екенін білдіреді:

Содан кейін ғана дәрежелеу орындалады, сондықтан қуат функциясы сыртқы функция болып табылады:

Формула бойынша , алдымен сыртқы функцияның туындысын, бұл жағдайда, дәрежесін табу керек. Біз кестеден қажетті формуланы іздейміз:. Біз тағы да қайталаймыз: кез-келген кестелік формула «х» үшін ғана емес, сонымен қатар күрделі өрнек үшін де жарамды... Сонымен, күрделі функцияны дифференциалдау ережесін қолдану нәтижесі келесі:

Сыртқы функцияның туындысын қабылдаған кезде ішкі функция өзгермейтінін тағы да атап өтемін:

Енді ішкі функцияның өте қарапайым туындысын табу керек және нәтижені сәл «тарайды»:

4 мысал

Функцияның туындысын табыңыз

Бұл жеке шешім үшін мысал (оқулық соңында жауап).

Күрделі функцияның туындысы туралы түсінікті бекіту үшін мен мысал келтірмей, түсініктеме бермеймін, оны өз бетімен анықтауға тырысыңыз, сыртқы және ішкі функция қайда деп ойлаңыз, тапсырмалар неге осылай шешіледі?

Мысал 5

а) Функцияның туындысын табыңыз

ә) Функцияның туындысын табыңыз

6-мысал

Функцияның туындысын табыңыз

Мұнда бізде түбір бар, ал түбірді ажырату үшін оны дәреже түрінде көрсету керек. Сонымен, алдымен функцияны дифференциацияға сәйкес формаға келтіреміз:

Функцияны талдай отырып, үш мүшенің қосындысы ішкі функция, ал дәрежелік көрсеткіш сыртқы функция деген қорытындыға келеміз. Біз күрделі функцияны дифференциалдау ережесін қолданамыз :

Дәреже қайтадан радикал (түбір) ретінде ұсынылады, ал ішкі функцияның туындысы үшін қосындысын дифференциалдаудың қарапайым ережесін қолданамыз:

Дайын Сондай-ақ, өрнекті жақша ішіндегі ортақ бөлгішке жеткізіп, бәрін бір бөлшекке жазуға болады. Әрине, жақсы, бірақ ұзаққа созылған туындыларды алған кезде мұны жасамағаны абзал (шатастыру оңай, қажетсіз қате жібереді, мұғалім тексеруі ыңғайсыз болады).

7-мысал

Функцияның туындысын табыңыз

Бұл жеке шешім үшін мысал (оқулық соңында жауап).

Кейде күрделі функцияны дифференциалдау ережесінің орнына квота дифференциалдау ережесін қолдануға болатындығы қызықты. , бірақ мұндай шешім бұрмалану ретінде ерекше көрінеді. Міне, мысал:

8-мысал

Функцияның туындысын табыңыз

Мұнда сіз ережені дифференциалдау үшін қолдануға болады , бірақ туындысын күрделі функцияны дифференциалдау ережесі арқылы табу әлдеқайда тиімді:

Біз функцияны дифференциалдау үшін дайындаймыз - минусты туынды белгісінің артына қойып, косинусты нуматорға көтереміз:

Косинус - ішкі функция, дәрежеге шығару - сыртқы функция.
Біз өз ережемізді қолданамыз :

Ішкі функцияның туындысын табыңыз, косинусты қалпына келтіріңіз:

Дайын Қарастырылған мысалда белгілерде шатастырмау маңызды. Айтпақшы, оны ережемен шешуге тырысыңыз , жауаптар сәйкес келуі керек.

9-мысал

Функцияның туындысын табыңыз

Бұл жеке шешім үшін мысал (оқулық соңында жауап).

Осы уақытқа дейін біз күрделі функцияда бір ғана тіркеме болған жағдайларды қарастырдық. Практикалық тапсырмаларда туындыларды жиі кездестіруге болады, олар ұя салатын қуыршақтар сияқты, бір-біріне 3, тіпті 4-5 функция бірден ұя салады.

10-мысал

Функцияның туындысын табыңыз

Осы функцияның қосымшаларын түсінейік. Тест мәнін пайдаланып өрнекті бағалауға тырысу. Калькуляторға қалай сенер едік?

Алдымен сіз табуыңыз керек, яғни арксин ең терең ұя салады:

Сонда бір доғасын квадратқа бөлу керек:

Сонымен, 7-ді қуатқа көтеріңіз:

Яғни, бұл мысалда бізде үш түрлі функция және екі тіркеме бар, ал ішкі функция - арксин, ал сыртқы функция - экспоненциалды функция.

Біз шеше бастаймыз

Ережеге сәйкес алдымен сыртқы функцияның туындысын алу керек. Біз туындылар кестесіне қарап, экспоненциалды функцияның туындысын табамыз: Айырмашылығы мынада: «х» орнына біз бұл өрнектің жарамдылығын жоққа шығармайтын күрделі өрнек аламыз. Сонымен, күрделі функцияны дифференциалдау ережесін қолдану нәтижесі келесі.