\\ [(\\ Ірі (\\ мәтін (Еркін трапеция))) \\]

Анықтамалар

Трапеция - екі жағы параллель, ал қалған екеуі параллель болмайтын дөңес төртбұрыш.

Трапецияның параллель қабырғалары оның табандары, ал қалған екі қабырғалары бүйір жақтары деп аталады.

Трапецияның биіктігі - бір табанның кез келген нүктесінен екінші табанға түсірілген перпендикуляр.

Теоремалар: трапецияның қасиеттері

1) бүйіріндегі бұрыштардың қосындысы \\ (180 ^ \\ циркуль).

2) Диагональдар трапецияны төрт үшбұрышқа бөледі, олардың екеуі ұқсас, ал қалған екеуі тең.

Дәлелдемелер

1) Себебі \\ (AD \\ параллель BC \\), содан кейін \\ (\\ бұрышы BAD \\) және \\ (\\ ABC бұрышы \\) осы түзулер үшін бір жақты және секант \\ (AB \\) болады, сондықтан, \\ (\\ бұрышы BAD + \\ ABC бұрышы \u003d 180 ^ \\ шеңбер \\).

2) Себебі \\ (AD \\ параллель BC \\) және \\ (BD \\) секанты, содан кейін \\ (\\ бұрышы DBC \u003d \\ бұрышы BDA \\) крест-кросс ретінде.
Сондай-ақ \\ (\\ бұрышы BOC \u003d \\ бұрышы AOD \\) тік ретінде.
Сондықтан екі бұрышта \\ (\\ BOC үшбұрышы \\ sim \\ AOD үшбұрышы \\).

Мұны дәлелдейік \\ (S _ (\\ үшбұрыш AOB) \u003d S _ (\\ үшбұрыш COD) \\)... \\ (H \\) трапецияның биіктігі болсын. Содан кейін \\ (S _ (\\ үшбұрыш ABD) \u003d \\ frac12 \\ cdot h \\ cdot AD \u003d S _ (\\ үшбұрыш ACD) \\)... Содан кейін: \

Анықтама

Трапецияның орта сызығы дегеніміз - бүйірлердің ортаңғы нүктелерін қосатын кесінді.

Теорема

Трапецияның орта сызығы табандарына параллель және олардың жарты қосындысына тең.

Дәлелдер *

1) Параллелизмді дәлелдейік.

\\ (M \\) нүктесі арқылы \\ (MN «\\ AD параллелі \\) (\\ (N» \\ CD-де \\)) түзуін жүргіз. Содан кейін Фалес теоремасы бойынша (яғни. \\ (MN «\\ параллель AD \\ параллель BC, AM \u003d MB \\)\\ (N «\\) нүктесі \\ (CD \\) кесіндісінің орта нүктесі болып табылады. Сонымен \\ (N \\) және \\ (N» \\) нүктелері сәйкес келеді.

2) формуласын дәлелдейік.

\\ (BB «\\ perp AD, CC» \\ perp AD \\) іске қосайық. Болсын \\ (BB «\\ cap MN \u003d M», CC «\\ cap MN \u003d N» \\).

Сонда Фалес теоремасы бойынша \\ (M «\\) және \\ (N» \\) сәйкесінше \\ (BB «\\) және \\ (CC» \\) сегменттерінің орта нүктелері болып табылады. Сонымен, \\ (MM «\\) - орта сызық \\ (\\ ABB үшбұрышы» \\), \\ (NN «\\) - орта сызық \\ (\\ DCC үшбұрышы» \\). Сондықтан: \

Себебі \\ (MN \\ параллель AD \\ параллель BC \\) және \\ (BB «, CC» \\ perp AD \\), содан кейін \\ (B «M» N «C» \\) және \\ (BM «N» C \\) - төртбұрыш. Фалес теоремасы бойынша \\ (MN \\ параллель AD \\) және \\ (AM \u003d MB \\) -дан \\ (B «M» \u003d M «B \\) шығады. Демек, \\ (B» M «N» C «\\) және \\ (BM «N» C \\) тең тіктөртбұрыштар, сондықтан \\ (M «N» \u003d B «C» \u003d BC \\).

Осылайша:

\ \\ [\u003d \\ dfrac12 \\ солға (AB «+ B» C «+ BC + C» D \\ оңға) \u003d \\ dfrac12 \\ солға (AD + BC \\ оңға) \\]

Теорема: ерікті трапецияның қасиеті

Табандардың ортаңғы нүктелері, трапеция диагональдарының қиылысу нүктесі және бүйір жақтары кеңейтулерінің қиылысу нүктесі бір түзу сызықта жатыр.

Дәлелдер *
Дәлелдеуді «Үшбұрыштардың ұқсастығы» тақырыбын оқығаннан кейін оқып шығу ұсынылады.

1) \\ (P \\), \\ (N \\) және \\ (M \\) нүктелері бір түзудің бойында жатқанын дәлелдейік.

\\ (PN \\) түзуін жүргіз (\\ (P \\) - бүйір жақтары кеңейтілімдерінің қиылысу нүктесі, \\ (N \\) - \\ (BC \\) орта нүктесі). Ол \\ (AD \\) қабырғасын \\ (M \\) нүктесінде қиып өтсін. \\ (M \\) \\ (AD \\) нүктесінің ортасы екенін дәлелдейік.

\\ (\\ Үшбұрыш BPN \\) және \\ (\\ үшбұрыш APM \\) қарастырайық. Олар екі бұрышта ұқсас (\\ (\\ бұрышы APM \\) - ортақ, \\ (\\ бұрышы PAM \u003d \\ бұрышы PBN \\) сәйкес \\ (AD \\ параллель BC \\) және \\ (AB \\) секанты). Мағынасы: \\ [\\ dfrac (BN) (AM) \u003d \\ dfrac (PN) (PM) \\]

\\ (\\ Үшбұрыш CPN \\) және \\ (\\ үшбұрыш DPM \\) қарастырайық. Олар екі бұрышта ұқсас (\\ (\\ бұрышы DPM \\) - ортақ, \\ (\\ бұрышы PDM \u003d \\ бұрышы PCN \\) сәйкес \\ (AD \\ параллель BC \\) және \\ (CD \\) секанты). Мағынасы: \\ [\\ dfrac (CN) (DM) \u003d \\ dfrac (PN) (PM) \\]

Осы жерден \\ (\\ dfrac (BN) (AM) \u003d \\ dfrac (CN) (DM) \\)... Бірақ \\ (BN \u003d NC \\), сондықтан \\ (AM \u003d DM \\).

2) \\ (N, O, M \\) нүктелерінің коллинеар екенін дәлелдейік.

\\ (N \\) \\ (BC \\) ортаңғы нүктесі, \\ (O \\) диагональдардың қиылысу нүктесі болсын. \\ (NO \\) түзуін жүргіз, ол \\ (AD \\) жағын \\ (M \\) нүктесінде қиып өтеді. \\ (M \\) \\ (AD \\) нүктесінің ортасы екенін дәлелдейік.

\\ (\\ үшбұрыш BNO \\ sim \\ үшбұрыш DMO \\) екі бұрышта (\\ (\\ бұрышы OBN \u003d \\ бұрышы ODM \\) көлденеңінен \\ (BC \\ параллель AD \\) және \\ (BD \\) секантымен; \\ (\\ бұрышы BON \u003d \\ бұрышы DOM \\) тік ретінде). Мағынасы: \\ [\\ dfrac (BN) (MD) \u003d \\ dfrac (ON) (OM) \\]

Сол сияқты \\ (\\ үшбұрыш CON \\ sim \\ үшбұрыш AOM \\)... Мағынасы: \\ [\\ dfrac (CN) (MA) \u003d \\ dfrac (ON) (OM) \\]

Осы жерден \\ (\\ dfrac (BN) (MD) \u003d \\ dfrac (CN) (MA) \\)... Бірақ \\ (BN \u003d CN \\), сондықтан \\ (AM \u003d MD \\).

\\ [(\\ Үлкен (\\ мәтін (тең трапеция))) \\]

Анықтамалар

Трапеция, егер оның бір бұрышы түзу болса, тік бұрышты деп аталады.

Егер оның қабырғалары тең болса, трапеция теңбүйір деп аталады.

Теоремалар: тең бүйірлі трапецияның қасиеттері

1) Тең бүйірлі трапецияда табанындағы бұрыштар тең болады.

2) Тең бүйірлі трапецияның диагональдары тең.

3) Диагональдар мен табаннан түзілген екі үшбұрыш тең \u200b\u200bбүйірлі болып келеді.

Дәлелдемелер

1) тең бүйірлі трапецияны қарастырайық \\ (ABCD \\).

\\ (B \\) және \\ (C \\) шыңдарынан \\ (BM \\) және \\ (CN \\) перпендикулярларын сәйкесінше \\ (AD \\) жағына түсіреміз. \\ (BM \\ perp AD \\) және \\ (CN \\ perp AD \\) болғандықтан, онда \\ (BM \\ параллель CN \\); \\ (AD \\ параллель BC \\), онда \\ (MBCN \\) параллелограмм, сондықтан \\ (BM \u003d CN \\).

Тік бұрышты үшбұрыштарды қарастырайық \\ (ABM \\) және \\ (CDN \\). Олардың гипотенузалары тең және аяғы \\ (BM \\) аяғына \\ (CN \\) тең болғандықтан, бұл үшбұрыштар тең, сондықтан, \\ (\\ бұрышы DAB \u003d \\ бұрышы CDA \\).

2)

Себебі \\ (AB \u003d CD, \\ бұрышы A \u003d \\ D бұрышы, AD \\) - жалпы, содан кейін бірінші негізде. Сондықтан, \\ (AC \u003d BD \\).

3) Себебі \\ (\\ үшбұрыш ABD \u003d \\ үшбұрыш ACD \\)онда \\ (\\ бұрышы BDA \u003d \\ бұрышы CAD \\). Сондықтан \\ (\\ AOD \\ үшбұрышы) тең бүйірлі болады. Сол сияқты \\ (\\ BOC үшбұрышы \\) тең бүйірлі екендігі дәлелденді.

Теоремалар: тең бүйірлі трапецияның белгілері

1) Егер трапецияның табанында бұрыштары тең болса, онда ол тең бүйірлі болады.

2) Егер трапецияның диагональдары тең болса, онда ол тең бүйірлі болады.

Дәлелдемелер

Трапецияны \\ (ABCD \\) \\ (\\ бұрышы A \u003d \\ бұрышы D \\) болатындай етіп қарастырайық.

\\ (AED \\) үшбұрышына трапецияны суретте көрсетілгендей етіп аяқтайық. \\ (\\ Бұрыш 1 \u003d \\ бұрыш 2 \\) болғандықтан, үшбұрыш \\ (AED \\) тең бүйірлі және \\ (AE \u003d ED \\) болады. \\ (1 \\) және \\ (3 \\) бұрыштары \\ (AD \\) және \\ (BC \\) параллель түзулеріне сәйкес және секант \\ (AB \\) үшін сәйкес келеді. Сол сияқты, \\ (2 \\) және \\ (4 \\) бұрыштары тең, бірақ \\ (\\ бұрышы 1 \u003d \\ бұрышы 2 \\), онда \\ (\\ бұрыш 3 \u003d \\ бұрыш 1 \u003d \\ бұрыш 2 \u003d \\ бұрыш 4 \\), демек, үшбұрыш \\ (BEC \\) тең бүйірлі және \\ (BE \u003d EC \\) болады.

Ақыр соңында \\ (AB \u003d AE - BE \u003d DE - CE \u003d CD \\), яғни \\ (AB \u003d CD \\), қажет болған жағдайда.

2) \\ (AC \u003d BD \\) болсын. Себебі \\ (\\ AOD үшбұрышы \\ sim \\ BOC үшбұрышы \\), содан кейін олардың ұқсастық коэффициентін \\ (k \\) деп белгілейміз. Сонда \\ (BO \u003d x \\) болса, онда \\ (OD \u003d kx \\) болады. Сол сияқты \\ (CO \u003d y \\ Rightarrow AO \u003d ky \\).

Себебі \\ (AC \u003d BD \\), онда \\ (x + kx \u003d y + ky \\ Rightarrow x \u003d y \\). Сонымен \\ (\\ AOD үшбұрышы) тең бүйірлі және \\ (\\ бұрышы OAD \u003d \\ бұрышы ODA \\) болады.

Осылайша, бірінші белгі бойынша \\ (\\ үшбұрыш ABD \u003d \\ үшбұрыш ACD \\) (\\ (AC \u003d BD, \\ бұрышы OAD \u003d \\ бұрышы ODA, AD \\) - жалпы). Сонымен, \\ (AB \u003d CD \\) және т.б.

«ММУ - Мектеп» сериясын 1999 жылы С.Сахакян құрды.Геометрия. Сабақты дамыту. 10-11 сыныптар: С12 Жалпы білім беретін оқулық. ұйымдар / С.М.Сакакян, В.Ф.Бутузов. - ... »

- [2-бет] -

3. Оқулықта берілген 1, 2, 3 есептерінің шешімдерін ауызша талқылау.

Студенттердің ауызша сөйлеуін дамыту бойынша тұрақты жұмыс жүргізу қажеттілігіне байланысты олардан қарастырылып отырған проблемаларға бөлімдер тұрғызып қана қоймай, сонымен қатар тиісті негіздемелермен құрылыс барысы туралы ауызша әңгіме беруді талап ету керек.

Шешімдердің қысқалығы үшін сіз белгілі символологияны қолдана аласыз.

Факультативті сабақтарда және арнайы курстарда тетраэдр мен параллелепипедтің кесінділерін салуға арналған мәліметтер қиылысы сызылған кезде, беттердің ішіне жатқанда, күрделірек тапсырмаларды қарастыруға болады.

Сынып және үй жұмысы үшін 74, 75, 79-87 тапсырмаларды, І тарауға қосымша тапсырмаларды қолдануға болады.

Есеп 105. DABC тетраэдрін сызып, BD және CD шеттерінде M және N нүктелерін және ABC бетінің ішкі нүктесін белгіле. MNK жазықтығымен тетраэдрдің кесіндісін салыңыз.

Шешімі.Кесу жазықтығын әріппен белгілейік.

Сонда M, N, M CDB, N CDB, CDB \u003d MN.

Екі жағдай болуы мүмкін: 10) MN BC \u003d P; 20) MN BC.

Оларды бөлек қарастырайық.

10) MN түзуін жүргізіңіз. P, K, P ABC, K ABC, ABC \u003d PK. Біз түзу PK суретін саламыз. Ол AC және AB қабырғаларын E және F нүктелерінде қиып алсын, NE және MF кесінділерін салыңыз. Қажетті бөлім - бұл MNEF төртбұрышы (сурет 1.31).

20) BC нүктесін К нүктесі арқылы жүргізіңіз. NE және MF сегменттерін салыңыз. Қажетті бөлім - бұл MNEF төртбұрышы.

Есеп 85. ABCDA1B1C1D1 параллелепипедін салыңыз және оның бөлігін BKL жазықтығымен салыңыз, мұндағы K - AA1 жиегінің ортаңғы нүктесі, ал L - CC1-нің ортаңғы нүктесі.

Құрылған қиманың параллелограмм екенін дәлелде.

Шешім. KL кесіндісін салыңыз. А2 аксиомасына сәйкес, ол кесінді жазықтығында жатыр.

K және L нүктелері бүйір жиектердің ортаңғы нүктелері болғандықтан, KL кесіндісі AC1 диагональының ортаңғы нүктесінен өтеді, сондықтан параллелепипедтің 20-қасиетіне сәйкес (13-тармақ), ол BD1 диагональының ортаңғы нүктесінен өтеді (1.32-суреттегі О нүктесі).

B, O, демек BD1. Қажетті бөлім - бұл BLD1K төртбұрышы. Оның KL және BD1 диагональдары қиылысу нүктесімен екіге бөлінгендіктен, BLD1K төртбұрышы параллелограмм болып табылады.

- & nbsp– & nbsp–

1. Берілген M, N, K нүктелері арқылы өтетін жазықтықпен DABC тетраэдрінің қимасын қалай құруға болатындығын түсіндіріңіз.

2. 1-3 тапсырмаларында, егер M, N, K жиектердің ортаңғы нүктелері болса және тетраэдрдің әр шеті а-ға тең болса, онда оның периметрін табыңыз.

- & nbsp– & nbsp–

1. Текшенің шыңдары немесе оның шеттерінің ортаңғы нүктелері болатын үш берілген нүктелер арқылы өтетін жазықтықпен текшенің қимасын қалай салуға болатындығын түсіндіріңіз (суреттерде берілген үш нүкте көрсетілген).

2. 1-4 және 6 есептерінде кесінді периметрін табыңыз, егер кубтың шеті а болса. 5-есепте AE \u003d 1 a екенін дәлелдеңіз.

- & nbsp– & nbsp–

1. B, D және M нүктелері арқылы өтетін жазықтықпен параллелепипедтің қимасын қалай құруға болатынын түсіндіріңіз, егер M B шетінің ортаңғы нүктесі болса.

2. Салынған кесінді тең феморальды трапеция екенін дәлелде.

3. Трапецияның қабырғаларын табыңыз.

Шешім.

1) Кесу жазықтығы болсын, ABCD \u003d BD, BCC1B1 \u003d BM, MN BD, қимасы BDNM трапециясы.

2) BB1M \u003d DD1N, BM \u003d DN, трапеция BDNM тең бүйірлі.

- & nbsp– & nbsp–

Тетраэдрдің белгілі бір жазықтықтағы кесіндісімен байланысты есептер шығарған кезде, Менелай теоремасы көбіне пайдалы болып шығады, кейбір басқа есептерде - Чева теоремасы. Сондықтан математиканы тереңдетіп оқытатын сабақтарда 14-тармақты «Бөлімдерді құру мәселелері» менемен және Чева теоремаларын оқумен ұштастырған жөн (95 және 96-тармақтар). Осындай проблемаға мысал келтірейік.

Есеп 1. ABCD тетраэдрінде AB, AD және BC шеттерінде сәйкесінше AK, KB \u003d 2: 3, AL \u003d LD, BM: MC \u003d 4: 5 болатындай етіп K, L және M нүктелері алынады.

Тетраэдрдің кесіндісін KLM жазықтығымен тұрғызып, осы жазықтықтың CD жиегін бөлетін қатынасын табыңыз.

Шешім.

1) KL және KM кесінділерін салыңыз, содан кейін АБ жазықтығында жатқан KL және BD кесінділерін олар Е нүктесінде қиылысқанша жалғастырыңыз (1.33-сурет). E және M нүктелері KLM кесілген жазықтығында, сонымен қатар BCD жазықтығында жатыр.

ME кесіндісін жүргізіп, KLM кесу жазықтығы CD жиегімен қиылысатын N нүктесін аламыз.

Төрт жақты KLNM - бұл қажетті бөлім.

2) CN: ND қатынасын табыңыз. Осы мақсатта Менелаус теоремасын АБД және BCD үшбұрыштарына қолданамыз. К және L нүктелері ABB үшбұрышының AB және AD қабырғаларында, ал BD қабырғасының кеңеюінде E нүктесі, ал K, L және E нүктелері бір түзудің бойында жатыр. Сондықтан, Менелай теоремасы бойынша теңдік

AK BE DL

= 1.

KB ED LA

- & nbsp– & nbsp–

MC BE қажетті қатынасты табады CN: ND \u003d 15: 8.

Оқулықтың 105-есебінде Менелаус теоремасын қолдану үшін қосымша тапсырма беруге болады:

CN: ND \u003d 2: 1, BM \u003d MD және K нүктесі ABC үшбұрышының AL медианасының орта нүктесі болса, MNK жазықтығы АВ жиегін бөлетін қатынасты табыңыз. (Жауап: 3: 2.) Осындай қосымша тапсырманы 106 есепте де беруге болады:

MNK жазықтығы ВС жиегін АВ бөлігін 1: 4 қатынасында бөлсе (А нүктесінен санағанда) бөлетін қатынасын табыңыз, К нүктесі CD жиегінің орта нүктесі, ал N нүктесі ACD үшбұрышының медианалық DL-де жатыр, h m DN үшін: NL \u003d 3: 2. (жауап: 4: 3.) Чева теоремасын қолдану кезінде келесі мәселені қарастыруға болады:

Есеп 2. C1, A1 және B1 нүктелері ABCD тетраэдрінің AB, BC және CA шеттерінде AC1: C1B \u003d 1: 2, BA1: A1C \u003d 2: 3, CB1: B1A \u003d 3: 1 болатындай етіп белгіленеді.

ADA1, BDB1 және CAC1 жазықтықтарының түзу сызықпен қиылысатындығын дәлелде.

- & nbsp– & nbsp–

1. Студенттердің жауаптарын тыңдап болғаннан кейін, «Түзулер мен жазықтықтардың параллелизмі» тақырыбының негізгі сұрақтарына шолу жасаңыз. Бұл сұрақтар No1 несиелік карталарда тұжырымдалған.

2.No1.1 математикалық диктант өткізу. Диктант дидактикалық материалдарда берілген.

3. Несиелік карталардағы және оқулықтағы кейбір мәселелердің шешімін қарастырыңыз.

«Түзулер мен жазықтықтардың параллелизмі» тақырыбын зерттеу осы тақырып бойынша No1,2 тестпен және No1 кредитпен аяқталады.

- & nbsp– & nbsp–

Тест жұмысы No 1.2 1 нұсқа

10. а және b түзулері параллель жазықтықта және орналасқан. Бұл түзулер болуы мүмкін: а) параллель;

20. параллель жазықтықтар арасында жатқан О нүктесі арқылы l және m түзулерін жүргізеді. L сызығы жазықтықтарды қиып өтеді және сәйкесінше A1 және A2 нүктелерінде m түзуі - B1 және B2 нүктелерінде. Егер A1B1 \u003d 12см, B1O: OB2 \u003d 3: 4 болса, A2B2 кесудің ұзындығын табыңыз.

3. ABCDA1B1C1D1 параллелепипедін салыңыз және оның кесіндісін AB, BC және DD1 шеттерінің ортаңғы нүктелері болып табылатын M, N және K нүктелері арқылы өтетін жазықтық арқылы тұрғызыңыз.

2 нұсқа

10. а және b түзулері қиылысатын жазықтықта және орналасқан. Бұл түзулер болуы мүмкін: а) параллель;

б) өту? Кез-келген мүмкін жағдайға сурет салыңыз.

20. Параллель жазықтықтар арасында жатпайтын О нүктесі арқылы l және m түзулерін жүргізеді. L сызығы жазықтықтарды қиып өтеді және сәйкесінше A1 және A2 нүктелерінде m түзуі - B1 және B2 нүктелерінде. Егер A2B2 \u003d 15см, OB1: OB2 \u003d 3: 5 болса, A1B1 кесудің ұзындығын табыңыз.

3. DABC тетраэдрін салыңыз және оның кесіндісін DC және BC шеттерінің орта нүктелері болып табылатын M және N нүктелерінен өтетін жазықтық және K DA, AK: KD \u003d 1: 3 болатындай етіп салыңыз.

Жауаптар:

2 нұсқа 1 нұсқа

10. сур. 1.35, a b, a b.

10. сур. 1.34, a b, a b.

3. Бөлім - трапеция.

3. Бөлім - бесбұрыш.

Сурет: 1.34-сурет 1.35

Сабақтың нөмірі 24 Емтихан t нөмірі 1. Түзулер мен жазықтықтардың параллельдігі 1-карта

1. Стереометрияның A1, A2 және A3 аксиомаларын тұжырымдаңыз.

Аксиомалардың қорытындыларын тұжырымдап, дәлелде.

2. Берілген түзудің бойында жатпайтын кеңістіктің кез-келген нүктесі арқылы берілгенге параллель түзу сызық болатындығын, сонымен қатар, тек біреуін дәлелдеңіз.

3. Жазықтық ABC үшбұрышының AB және AC қабырғаларын сәйкесінше B1 және C1 нүктелерінде қиып өтеді. BC, AB: B1B \u003d 5: 3, AC \u003d 15 см екені белгілі.АC1-ді табыңыз.

2-карта

1. Параллель түзулер мен жазықтықтардың анықтамасын тұжырымда. Түзу мен жазықтықтың параллелизм критерийін білдіретін теореманы тұжырымдап, дәлелде.

2. Егер екі параллель түзудің біреуі осы жазықтықты қиып алса, онда екінші түзу де осы жазықтықты қиып өтетінін дәлелде.

3. DABC тетраэдрінің әр шеті 2 см, В, С нүктелері мен AD жиегінің ортаңғы нүктесі арқылы өтетін жазықтықпен тетраэдр кесіндісін тұрғызыңыз. Бөлімнің периметрін есептеңіз.

3-карта

1. Айқас сызықтардың анықтамасын тұжырымдау. Қиылысатын түзулер критерийін білдіретін теореманы тұжырымдап, дәлелде.

2. Егер екі түзу үшінші түзуге параллель болса, онда олар параллель болатындығын дәлелде.

3. A, C және M нүктелері арқылы өтетін жазықтықпен ABCDA1B1C1D1 параллелепипедінің қимасын салыңыз, мұндағы M - A1D1 жиегінің ортаңғы нүктесі.

4-карта

1. Параллель жазықтықтардың анықтамасын тұжырымда. Екі жазықтықтың параллелизм критерийін білдіретін теореманы тұжырымдап, дәлелде.

2. Екі қиылысу сызығының әрқайсысы арқылы екінші түзуге параллель жазықтық өтетіндігін, және оның үстіне тек біреуінің болатындығын дәлелде.

3. ABCDA1B1C1D1 - шеті 4 см куб.А, D1 және M нүктелері арқылы өтетін жазықтықпен текшенің кесіндісін тұрғызыңыз, мұндағы M - ВС жиегінің ортаңғы нүктесі. Бөлімнің периметрін есептеңіз.

5-карта

1. Параллелепипедтің қарама-қарсы беттері параллель және тең екендігін дәлелде.

2. Егер екі бұрыштың қабырғалары сәйкесінше кодекционалды болса, онда мұндай бұрыштар тең болатындығын дәлелде.

3. Параллель жазықтықтар және BAC бұрышының AB қабырғасын сәйкесінше A1 және A2 нүктелерінде және осы бұрыштың AC қабырғасын сәйкесінше B1 және B2 нүктелерінде қиылысады. Егер A1A2 \u003d 6 см, AB2: AB1 \u003d 3: 2 болса, AA1 табыңыз.

6-карта

1. Параллелепипедтің диагональдары бір нүктеде түйісетінін және осы нүктеге екі есе азаятынын дәлелде.

2. Егер екі параллель жазықтық үшіншісімен қиылысатын болса, онда олардың қиылысу сызықтары параллель болатындығын дәлелде.

3. С нүктесі АВ кесіндісінде жатыр. А нүктесі арқылы жазықтық, ал В және С нүктелері арқылы параллель түзулер жүргізіліп, осы жазықтықты сәйкесінше В1 және С1 нүктелерінде қиып өтеді. Егер AC: CB \u003d 4: 3, CC1 \u003d 8 см болса, BB1 ұзындығын табыңыз.

1. Студенттерге негізгі теориялық сұрақтар мен кейбір типтік тапсырмаларды қамтитын несиелік карталар алдын-ала беріледі (несиеге дейін екі апта бұрын).

2. Тестке дайындық кезінде студенттер жазбалар жасайды. Оқу материалының қайталануын және тестке дайындықты көрсететін бұл жазбаларды (мүмкін жоба түрінде болуы мүмкін) студенттер тестілеу күні мұғалімге көрсетеді. Оларды несие үшін пайдалануға болады. Сонымен бірге, әңгімелесу және қосымша сұрақтар негізінде мұғалім оқушылардың тақырыпты қаншалықты меңгергендігін анықтайды.

3. Мұғалім неғұрлым дайындалған оқушы - кеңесшілердің көмегімен оқытады. Ол үшін сыныпты бірнеше топқа бөлу керек, олардың әрқайсысында 4-5 оқушы болады. Солардың бірі тест тапсыру барысында мұғалімнің көмекшісі. Алдыңғы сабақтарда және тесттің басында мұғалім кеңес берушілердің өздері оқу материалын жақсы меңгергеніне көз жеткізуі керек.

4. Сабақ барысында мұғалім көптеген оқушылармен сұхбат жүргізеді. Сабақтың соңында ол кеңесшілер қойған бағаларды бекітеді. Кейбір жағдайларда сабақтан кейін мұғалім оқушылардың сабақта жазған жазбаларын тексеріп, содан кейін тесттің қорытынды бағасын қоя алады.

5. Мұғалім жарты жылдық қорытынды және өздік және бақылау жұмыстары үшін ағымдағы бағалар негізінде, сонымен қатар студенттердің ауызша жауабы негізінде қояды.

Бұл жерде шешуші рөл несиелік балға жатады.

P E R P E N D I K UL I R N O S T P R I M S X

ЖӘНЕ ҰШАҚТАР

§ 1. ТІКЕЛЕЙ ТІКЕНШІЛІК

ЖӘНЕ ҰШАҚТАР

- & nbsp– & nbsp–

Сабақтың негізгі міндеттері Кеңістіктегі перпендикуляр түзулер ұғымын енгізу, екі параллель түзудің үшінші түзуге перпендикулярлығы туралы лемманы дәлелдеу, түзу мен жазықтықтың перпендикулярлығын анықтау, түзулердің параллельдігі мен олардың жазықтыққа перпендикулярлығы арасында байланыс орнатылған теоремаларды дәлелдеу.

1. Екі қиылысу сызығы арасындағы бұрыш ұғымын еске түсіріңіз, кеңістіктегі екі түзудің перпендикулярлығы ұғымын енгізіңіз. Перпендикуляр түзулер қиылысуы және қиылысуы мүмкін екенін ескеріңіз (оқулықтың 43-суретін қараңыз).

2. Лемманы дәлелде: егер екі параллель түзудің бірі үшінші түзуге перпендикуляр болса, онда екінші түзу де осы түзуге перпендикуляр болады.

Дәлелдеу сызықтар арасындағы бұрыш ұғымын пайдалануға негізделген және оқулықтың мәтіні мен 44-суреті негізінде оқушылардың өздері жүзеге асыра алады.

3. Түзу мен жазықтықтың перпендикулярлық анықтамасын тұжырымдаңыз. Белгілеуді енгізіңіз a. 45-сурет пен өмірден алынған мысалдарды пайдаланып, түзу мен жазықтықтың перпендикулярлығы туралы түсінік беріңіз.

4. Теореманы дәлелде: егер екі параллель түзудің біреуі жазықтыққа перпендикуляр болса, онда екінші түзу де осы жазықтыққа перпендикуляр болады.

Теореманың дәлелі қиын емес. Ол түзу мен жазықтықтың перпендикулярлығын және жоғарыда қарастырылған лемманы анықтауға негізделген және екі кезеңнен тұрады:

1) х, х - ерікті түзу. A шартынан (түзу мен жазықтықтың перпендикулярлығын анықтау арқылы) х шығады;

2) a1 a (гипотеза бойынша) және х болғандықтан, онда (екі параллель түзудің үшінші түзуге перпендикулярлығы бойынша леммаға сәйкес) a1 x.

Сонымен, а1 түзуі жазықтықта жатқан ерікті х түзуіне перпендикуляр болады. Бұл a1 дегенді білдіреді.

5. Кері теореманы дәлелде: егер екі түзу жазықтыққа перпендикуляр болса, онда олар параллель болады.

Дәлелдеу оқулыққа сәйкес жүзеге асырылады (47, а, б суреттерін қараңыз). Бұл дәлелді келесі сабақтарда қайталауға болады.

Бір қарағанда бұл теореманың алдыңғы теоремаға кері деп аталуы таңқаларлық болып көрінуі мүмкін.

Шынында да, алдыңғы теоремада шарт a1 және a, ал теореманың қорытындысы: a1. Бұл теоремада шарт a және a1, ал қорытынды a a1 болады.

Сонымен, формальды тұрғыдан алғанда, бұл теорема алдыңғыға кері емес, өйткені бұл теореманың шарты мен қорытындысы сәйкесінше алдыңғы теореманың қорытындысымен және шартымен сәйкес келмейді. Осыған қарамастан, бұл теоремаларды олардың әрқайсысы екіншісіне қарама-қарсы болатындай етіп тұжырымдауға болады.

Осы тұжырымдаманы берейін.

А түзуі жазықтыққа перпендикуляр болсын. Содан кейін:

егер a a1 болса, a1, және керісінше:

егер a1 болса, онда a1.

6. Сынып және үй жұмысы үшін 116-118, 120 тапсырмаларын пайдалануға болады.

116 есеп а). ABCDA1B1C1D1 параллелепипеді берілген.

BAD \u003d 90 ° болса, тұрақты B1C1 және AB A1D1 екенін дәлелдеңіз.

Шешім.

1) Параллелепипедте барлық беттер параллелограмм болып табылады. BAD \u003d 90 ° (шарт бойынша) болғандықтан, ABCD беті тіктөртбұрыш болып табылады, сондықтан AB AD және DC BC (2.1-сурет).

2) B1C1 BC (BB1C1C беті параллелограм болғандықтан) және BC DC. Демек, екі параллель түзудің перпендикулярлығы бойынша лемма бойынша, B1C1 тұрақты ток, үшіншісіне. Сурет: 2.1

3) AB A1D1 болатындығын дәлелдеуге болады. Шынында да, A1D1 AD (AA1D1D параллелограмм болғандықтан) және AB AD, демек AB A1D1.

Есеп 120. Квадраттың диагональдарының а қабырғасымен қиылысуының О нүктесі арқылы квадрат жазықтығына перпендикуляр ОК түзу сызылған.

Егер К нүктесінен квадраттың төбелеріне дейінгі арақашықтықты табыңыз, егер сур. 2.2 OK \u003d b.

Шешім.

2) KAO, KBO, KCO және KDO үшбұрыштары екі аяққа тең, мұндағы KA \u003d KB \u003d KC \u003d KD (сурет.2.2).

KAO біз AO \u003d a аламыз 2. KA \u003d болғандықтан

- & nbsp– & nbsp–

Сабақтың нөмірі 26 Сабақтың тақырыбы: Түзу мен жазықтықтың перпендикулярлық белгісі Сабақтың негізгі мақсаттары Түзу мен жазықтықтың перпендикулярлық белгісін білдіретін теореманы оқып үйрену; осы теореманы қолдану мәселесін қарастырыңыз.

Сабақ жоспары

1. Оқушылармен сұхбаттасу арқылы өткен сабақтың теориялық материалын қайталаңыз.

2. Жаңа материалды зерттеуге дайындық ретінде 119 мәселесін шешіңіз.

Есеп 119. OA түзуі OBC жазықтығына перпендикуляр, ал O нүктесі AD кесіндісінің орта нүктесі.

Дәлелдеу: а) AB \u003d DB; б) AB \u003d AC, егер OB \u003d OC;

в) OB \u003d OC, егер AB \u003d AC.

Шешім.

а) шарт бойынша OA OBC, сондықтан OA OB түзудің жазықтыққа перпендикулярлығын анықтау арқылы.

Есептің шарты бойынша OA \u003d OD, сондықтан OB түзуі AD кесіндісіне перпендикулярлы медиана, демек AB \u003d DB (2.3-сурет).

б) OA OBC шарты бойынша, содан кейін OA OC. Егер OB \u003d OC болса, онда AOC және AOB тік бұрышты үшбұрыштары екі аяққа тең, демек, олардың гипотенсалары тең, яғни АВ \u003d АС.

в) Егер АВ \u003d АС болса, онда тік бұрышты AOC және сур. 2.3 AOB аяғы мен гипотенузасы бойынша тең, бұдан OB \u003d OC шығады.

3. Түзу мен жазықтықтың сызықтығын білдіретін теореманы дәлелде: егер түзу болса жазықтықта жатқан қиылысатын екі түзуге перпендикуляр, содан кейін ол осы жазықтыққа перпендикуляр.

Теореманы дәлелдеу барысында келесі кезеңдер ажыратылады:

1) Біріншіден, жазықтықта жатқан р және q түзулерінің қиылысу О нүктесі арқылы а түзу сызығы өткен жағдайды қарастырамыз. А түзуінің жазықтықта жатқан және О нүктесі арқылы өтетін кез келген түзуге перпендикуляр болатындығын дәлелдейміз.

2) Үш параллель түзудің перпендикулярлығы туралы лемманы пайдаланып, а түзуі жазықтықта жатқан кез келген түзуге перпендикуляр болады деген қорытындыға келеміз. Бұл а.

3) Енді а түзуі p мен q қиылысының О нүктесінен өтпейтін жағдайды қарастырамыз. Бұл жағдайда а түзуіне параллель О нүктесі арқылы а1 түзуін жүргізіңіз. Жоғарыда аталған лемма бойынша a1 p және a1 q, демек, бірінші жағдайда дәлелденгенге сәйкес a1. Демек, 16-бөлімдегі бірінші теорема бойынша а. Бұл теореманың дәлелдеуін аяқтайды.

4. Теореманы дәлелдеу бірнеше кезеңнен тұратындығына байланысты сіз студенттерді 2.1-слайдтың мазмұнына сәйкес дәлелдеу жоспарын жазуға шақыра аласыз.

Слайдты осы сабақты қорытындылау үшін және келесі сабақта қолдануға болады.

5. Сынып және үй жұмысы үшін сіз 121, 124, 126, 128 тапсырмаларын пайдалана аласыз.

Есеп 128. ABCD параллелограммының диагональдарының қиылысу нүктесі О арқылы MA \u003d MC, MB \u003d MD болатындай етіп OM түзуі жасалады. OM түзуі параллелограмм жазықтығына перпендикуляр екенін дәлелде.

- & nbsp– & nbsp–

1. Түзу мен жазықтықтың перпендикулярлық анықтамасын тұжырымдаңыз.

2. Теорема. Егер түзу жазықтықта жатқан қиылысатын екі түзуге перпендикуляр болса, онда ол осы жазықтыққа перпендикуляр болады.

- & nbsp– & nbsp–

Шешім.

1) MA \u003d MC (шарт бойынша) және AO \u003d OC (параллелограммның диагональдары қиылысу нүктесімен екі есе азаяды) болғандықтан, MO кесіндісі - медианасы AMC феморальдық үшбұрышына тең болады (2.4-сурет).

Сондықтан, МО да осы үшбұрыштың биіктігі, т.а.

2) дәл осылай дәлелденді, күріш. 2.4 MO BD дегеніміз не?

3) MO AC және MO BD болғандықтан, түзудің және ABCD жазықтықтың перпендикулярлығына сәйкес.

Сабақтың нөмірі 27 Сабақтың тақырыбы: Жазықтыққа перпендикуляр түзу туралы теорема Сабақтың негізгі мақсаттары Түзудің және жазықтықтың перпендикулярлық белгісінде өрнектелген теореманың дәлелдеуін қайталаңыз; теореманы 18-тармақтан қарастырайық: кеңістіктің кез-келген нүктесі арқылы берілген жазықтыққа перпендикуляр түзу сызық өтеді, сонымен қатар, тек біреуі.

Сабақ жоспары

1. Түзу мен жазықтықтың перпендикулярлығы критерийін білдіретін теореманың дәлелдеуін қайталаңыз.

2. Үй тапсырмасынан есептер шығаруды іріктеп тексеріңіз.

3. Теореманы тұжырымда: берілген жазықтыққа перпендикуляр түзу кеңістіктің кез-келген нүктесінен өтеді, сонымен қатар, тек біреуі.

Теореманың тұжырымы айқын сияқты, бірақ оның дәлелі қарапайым емес.

Математикаға қызығушылығы артқан оқушыларға дәлелдеуді оқулықтың көмегімен үйде отырып талдауға шақыруға болады. Бұл жағдайда олардың назары дәлелдеудің бірінші бөлігінде берілген М нүктесі арқылы және берілген а түзуіне перпендикуляр өтіп, жазықтық қарастырылатындығына аударылуы керек.

Мұндай жазықтықтың бар екендігі 17-секцияда берілген шешіммен дәлелденді, ал мұндай жазықтықтың бірегейлігі 133-есепте дәлелденді, ол шешіммен де берілген. Осылайша, бұл теореманың толық дәлелі өте ауыр, сондықтан мұғалім өзінің қалауы бойынша оны сынып деңгейіне байланысты әр түрлі толықтығымен ұсына алады. Дәлелдеудің кейбір фрагменттерін (17-беттегі есеп, 133-тапсырма) теорияны қайталауға және тақырып бойынша есептер шығаруға арналған № 28-30 сабақтарда қарастыруға болады.

4. 2.2 слайдты пайдаланып оқушыларға фронтальды сауалнама жүргізу.

- & nbsp– & nbsp–

5. Сынып және үй жұмысы үшін 122, 123, 125, 127 тапсырмаларын пайдалануға болады.

Есеп 122. CD сызығы ABC тұрақты үшбұрышының жазықтығына перпендикуляр. CD түзуіне параллель ОК сызығы осы үшбұрыштың центрі О арқылы өтеді. АВ \u003d 16 3 см, ОК \u003d 12 см, CD \u003d 16 см екені белгілі.Д және К нүктелерінен үшбұрыштың А және В төбелеріне дейінгі арақашықтықтарды табыңыз.

Шешім.

1) Есептің шарты бойынша OK CD, сондықтан OK ABC (Cурет 2.5).

2) O нүктесі ABC тұрақты үшбұрышының центрі, сондықтан OA \u003d OB \u003d OC \u003d AB \u003d 16 см.

- & nbsp– & nbsp–

Сабақтың нөмірі 28-30 Сабақтың тақырыбы: Түзу мен жазықтықтың перпендикулярлығына есептер шығару. Теория сұрақтарын қайталау Сабақтың негізгі міндеттері Түзу мен жазықтықтың перпендикулярлығы бойынша есептердің негізгі түрлерін шешу дағдыларын қалыптастыру, теория сұрақтарын қайталау.

1. Студенттерге сауалнама жүргізу барысында теорияның сұрақтарын қайталаңыз (15-18 б.).

2. 129-137 тапсырмаларды таңдап шешіңіз, II тарауға 1-9 сұрақтарды қолданыңыз.

3. Теореманың дәлелдеуін ішінара немесе толығымен 18 тармақтан қарастырыңыз.

4. Дидактикалық материалдардан тапсырмаларды қолдануға болады.

5. Сіз математикалық диктант жүргізе аласыз (No2 дидактикалық материалдарда).

6. 2.3-слайдпен сабақта пайдалы жұмыс.

Сабақта №30 өзіндік жұмыс жүргізіледі.

Өзіндік жұмыс No 2.1 1 нұсқа

10. Берілген: АВ, М және К - жазықтықтың ерікті нүктелері. AB MK екенін дәлелде.

2. АВС үшбұрышы тұрақты, О нүктесі оның центрі. OM сызығы ABC жазықтығына перпендикуляр.

а) 0 MA \u003d MB \u003d MC екенін дәлелде.

б) АВ \u003d 6 см, МО \u003d 2 см болса, МА табыңыз.

- & nbsp– & nbsp–

2 нұсқа

10. Берілген: MA түзуі ABC үшбұрышының жазықтығына перпендикуляр. MA б.з.д.

2. Төрт гондық ABCD квадрат, О нүктесі оның центрі. OM сызығы квадрат жазықтығына перпендикуляр.

а) 0 MA \u003d MB \u003d MC \u003d MD екенін дәлелде.

б) АВ \u003d 4 см, ОМ \u003d 1 см болса, МА табыңыз.

Жауаптар:

1 нұсқа.

V a r және n t 2.

Есеп 129. АМ түзуі ABCD квадратының жазықтығына перпендикуляр, оның диагональдары О нүктесінде түйіседі.

а) BD түзуі АМО жазықтығына перпендикуляр;

Шешім.

а) MA ABCD, сондықтан MA BD түзу мен жазықтықтың перпендикулярлығын анықтаумен, BD AC квадраттың диагональдарының қасиетімен (2.7-сурет).

Сонымен, BD AO және BD AM, демек, BD AMO түзу мен жазықтықтың перпендикулярлығы негізінде.

б) BD MOA болғандықтан, BD түзуі MOA жазықтығында жатқан кез-келген түзуге, атап айтқанда BD MO-ге перпендикуляр болады.

Есеп 134. Осы түзуге перпендикуляр а түзудің берілген М нүктесі арқылы өтетін барлық түзулер М нүктесі арқылы өтетін және а түзуіне перпендикуляр жазықтықта жататынын дәлелде.

Шешімі.М нүктесі арқылы өтетін және осы түзуге перпендикуляр болатын М жазықтығын әріппен белгілейік және ерікті b түзуін қарастырайық, сонымен қатар М нүктесі арқылы өтіп, а түзуіне перпендикуляр.

B екенін дәлелдеу қажет (2.8-сурет). Олай емес екенін мойындайық. Сонда а және b түзулерінен өтетін жазықтық жазықтықты М нүктесінен өтетін және b түзуінен өзгеше болатын b1 түзуінің бойымен қиып өтеді. A және b1 болғандықтан, онда b1. Біз екі түзу (b және b1) жазықтықтағы М нүктесі арқылы өтіп, а түзуіне перпендикуляр болатынын алдық, бұл мүмкін емес. Демек, болжам дұрыс емес және b түзуі жазықтықта жатыр.

Сурет: 2.7-сурет 2.8

Есеп 136. Егер Х нүктесі берілген АВ кесіндісінің ұштарынан бірдей қашықтықта болса, онда ол АВ кесіндісінің ортаңғы нүктесінен өтіп, АВ түзуіне перпендикуляр жазықтықта жататынын дәлелде.

Шешім.АВ кесіндісінің ортаңғы О нүктесінен өтетін суретті және суретті әріппен белгілейік. 2.9 АВ түзуіне перпендикуляр (2.9-сурет). Х нүктесі АВ кесіндісінің ұштарынан бірдей қашықтықта болсын, яғни XA \u003d XB. Х екенін дәлелдеу қажет.

Егер Х нүктесі АВ түзуінде жатса, онда ол О нүктесімен сәйкес келеді, демек Х.

Егер Х нүктесі АВ түзуінде жатпаса, онда ХО кесіндісі AXB теңбүйірлі үшбұрышының медианасы болады, демек, осы үшбұрыштың биіктігі, яғни.

Сонымен, ХО түзуі АВ түзуінің О нүктесі арқылы өтеді және АВ түзуіне перпендикуляр болады. Демек, XO түзуі жазықтықта жатыр, сондықтан X (134 есепті қараңыз), сондықтан X болады.

Есеп 137. Екі өзара перпендикуляр қиылысу сызығының әрқайсысы арқылы екінші түзуге перпендикуляр жазықтық өтетіндігін дәлелде.

Шешімі.А және b өзара перпендикуляр қиылысатын түзулер болсын. Жазықтық а түзуінен өтіп, b түзуіне перпендикуляр болатынын дәлелдеейік.

1) Түзудің ерікті О нүктесі арқылы b түзуіне параллель b1 түзуін жүргіз. Онда a b1, өйткені a b шарты бойынша (2.10-сурет).

2) қиылысатын а және b1 түзулерінен өтетін жазықтықты әріппен белгілеп, О нүктесі арқылы с жазықтығына перпендикуляр түзу жүргізейік. Онда с b1, ал b b1 болғандықтан, с b болады.

3) қиылысатын а және с түзулерінен өтетін жазықтықты әріппен белгілейік. B a (шарт бойынша) және b c болғандықтан, күріш. 2.10 содан кейін b (түзу мен жазықтықтың перпендикулярлығы негізінде). Сонымен, а түзуі арқылы b түзуіне перпендикуляр жазықтық жүреді.

А түзуіне перпендикуляр жазықтықтың b түзуі арқылы өтетіндігін дәлелдеуге болады.

§ 2. МҮМКІНДІКТІ ЖӘНЕ ЕҢКІШТІ

Тікелей және ұшақ арасындағы бұрыш

- & nbsp– & nbsp–

Сабақтың негізгі мақсаттары Нүктеден жазықтыққа дейінгі ара қашықтық ұғымын енгізу, үш перпендикуляр туралы теореманы дәлелдеу, есептер шығаруда осы теореманың қолданылуын көрсету.

Сабақ жоспары

1. Оқулықтың 51-суретін пайдаланып, жазықтыққа перпендикуляр, көлбеу, көлбеу жазықтыққа проекциялау ұғымдарын енгізіңіз. Тік бұрышты AMH үшбұрышын қарастыра отырып (51-суретті қараңыз), берілген нүктеден жазықтыққа жүргізілген перпендикуляр сол нүктеден осы жазықтыққа жүргізілген көлбеу бұрыштан аз екенін дәлелдеңіз. Нүктеден жазықтыққа жүргізілген перпендикулярдың ұзындығын сол нүктеден жазықтыққа дейінгі арақашықтық деп атайды.

2. Оқулықтың 19-тармағындағы түзу сызыққа параллель параллель жазықтықтар мен түзулерді кесіп өтетін жазықтық арасындағы қашықтық ұғымы енгізілген 1, 2, 3 ескертпелерге назар аударыңыз. Цифрларды жүргізу және ескертулерде келтірілген тұжырымдардың дұрыстығын дәлелдеу пайдалы.

Ескерту 1. Егер екі жазықтық параллель болса, онда бір жазықтықтың барлық нүктелері екінші жазықтықтан бірдей алшақ болады.

Келіңіздер, A, M. Біз AA0 және MM0 өткіземіз, содан кейін күріш. 2.11 AA0 MM0 (сурет 2.11), демек AA0 \u003d MM0 (параллель жазықтықтардың арасында орналасқан параллель түзулердің сегменттері ретінде).

Сонымен, жазықтықтың екі ерікті А және М нүктелерінен жазықтыққа дейінгі арақашықтықтар өзара тең. Дәл осы жазықтық нүктелерінен жазықтыққа дейінгі арақашықтықтарға қатысты.

Параллель жазықтықтардың біреуінің ерікті нүктесінен екінші жазықтыққа дейінгі арақашықтықты параллель жазықтықтар арасындағы қашықтық деп атайды.

Ескерту 2. Егер түзу мен жазықтық параллель болса, онда түзудің барлық нүктелері осы жазықтықтан бірдей қашықтықта орналасқан.

Бұл тұжырымның дәлелі 144 есепті шешуде келтірілген, студенттер оны өз бетімен оқи алады.

Сіз дәлелдеудің басқа нұсқасын ұсына аласыз.

A, A a, B a болсын. AA1 және BB1 суреттерін салайық (сурет 2.12). Содан кейін AA1 BB1. AA1 \u003d BB1 екенін дәлелдейік.

Параллель АА1 және ВВ1 түзулерінен өтетін жазықтық А1В1 түзу бойымен жазықтықпен қиылысады және АВ түзуін қамтиды. AB A1B1 (егер бұл түзулер қиылысқан болса, онда AB түзуі (яғни а түзуі) жазықтықпен қиылысатыны анық, бұл a шартына қайшы келеді).

Сонымен AA1 BB1 және AB A1B1. Сондықтан ABB1A1 төртбұрышы параллелограмм, демек AA1 \u003d BB1.

Сонымен, а түзуінің екі ерікті А және В нүктелерінен оған параллель жазықтыққа дейінгі арақашықтықтар өзара тең.

Егер түзу мен жазықтық параллель болса, онда түзу мен жазықтықтың арақашықтығы түзудің ерікті нүктесінен осы жазықтыққа дейінгі арақашықтық болады.

Ескерту 3. Егер екі түзу қиылысатын болса, онда олардың арасындағы қашықтық дегеніміз - олардың біреуі мен бірінші түзуге параллель басқа түзу арқылы өтетін жазықтық арасындағы қашықтық.

Өткізу сызықтарының біреуін қамтитын және басқа түзуге параллель болатын жазықтықтың құрылысы қалай жүзеге асатынын еске түсірген жөн (2.13-сурет).

Сурет: 2.12-сурет 2.13

B b болсын. B түзуінің ерікті М нүктесі арқылы а-ға параллель a1 түзуін жүргізіңіз. Қиылысатын a1 және b түзулер a түзу сызығына параллель жазықтықты анықтайды.

Ерікті А нүктесінен түзу сызыққа AA1 перпендикулярын жазықтыққа жүргізіңіз. Бұл перпендикулярдың ұзындығы - a және b түзулерінің қиылысуы арасындағы қашықтық.

Болашақта, есептер шығару процесінде берілген екі қиылысатын а және b түзулеріне жалпы перпендикулярды, яғни ұштары осы түзулерге жататын а және b түзулеріне перпендикуляр тұрғызуды қалай көрсетуге болады.

3. Үш перпендикуляр туралы теореманы және оның керісінше дәлелде. Бұл жағдайда оқулықтың 53 суретін немесе 2.4 слайдты қолдануға болады.

- & nbsp– & nbsp–

4. Сынып және үй жұмысы үшін сіз 138-145, 153 тапсырмаларын пайдалана аласыз.

Есеп 143. М нүктесінен ABC тұрақты үшбұрышының төбелерінің әрқайсысына дейінгі қашықтық 4 см.Егер AB \u003d 6 см болса, M нүктесінен ABC жазықтығына дейінгі арақашықтықты табыңыз.

Шешім.

1) MA \u003d MB \u003d MC \u003d 4. шарты бойынша MO ABC болсын (2.14-сурет), содан кейін OA \u003d OB \u003d OC (тең қиғаштық проекциясы ретінде 139-есепті қараңыз). Бұл O нүктесі АВС үшбұрышына айналдыра шеңбердің центрі екенін білдіреді,

- & nbsp– & nbsp–

және OA - бұл шеңбердің радиусы. A3 \u003d R 3 екені белгілі, мұндағы a3 \u003d AB, R \u003d AO, сондықтан AO \u003d 6 \u003d 2 3.

2) МАО-дан MO \u003d MA2 - AO2, MO \u003d 16 - 12 \u003d 4 \u003d 2 аламыз.

Жауабы: 2 см.

Есеп 145. С бұрышы тік төртбұрышты АВС үшбұрышының А шыңы арқылы үшбұрыштың жазықтығына перпендикуляр АД түзу сызылған.

а) КБР үшбұрышының тік бұрышты екенін дәлелде.

б) BC \u003d a, DC \u003d b болса, BD-ді табыңыз.

Шешім.

а) AC кесіндісі - көлбеу тұрақты токтың ABC үшбұрышының жазықтығына проекциясы (2.15-сурет). BC AC гипотеза бойынша, үш перпендикуляр теорема бойынша BC DC, сондықтан CBD үшбұрышы тік бұрышты болады.

б) BC \u003d a, DC \u003d b. BCD-ден BD \u003d BC2 + CD2, BD \u003d a2 + b2 аламыз.

Жауап: a2 + b2.

Болашақта есептер шығару процесінде а1 түзуі қиғаш проекцияға перпендикуляр болған кезде, бірақ көлбеу табанынан өтпеген кезде үш перпендикулярдағы жалпыланған теоремаға оқушылардың назарын аударудың маңызы зор.

№ Сабақ Сабақтың тақырыбы: Түзу мен жазықтық арасындағы бұрыш Сабақтың негізгі міндеттері Түзу мен жазықтық арасындағы бұрыш ұғымымен таныстыру;

осы тұжырымдаманы қолданатын міндеттерді қарастыру.

Сабақ жоспары

1. Үй тапсырмасынан есептерді таңдап шешуді тексеру. 138-142 сияқты есептердің шешімдерін және үш перпендикуляр теореманың дәлелденуін дайын суреттер мен слайдтарды қолдана отырып, ауызша талқылауға болады.

2. Нүктенің жазықтыққа проекциясы, фигураның жазықтыққа проекциясы туралы түсінік беріңіз. Түзудің осы жазықтыққа перпендикуляр емес жазықтыққа проекциясы түзу болатынын дәлелде. Бұл жағдайда оқулықтың 54, 55 сандары қолданылады.

3. Түзу мен жазықтық арасындағы бұрыштың анықтамасын енгізіңіз.

4. Оқулықта келтірілген 162 есептің шешімін талдаңыз. Берілген түзу мен жазықтықтың арасындағы бұрыш осы түзудің түзудің жазықтықпен жазықтықта қиылысу нүктесі арқылы жазықтықта жүргізілген түзулермен түзетін барлық бұрыштардың ең кішісі екенін дәлелдеңіз.

Оқушыларға 2.5-слайдтағы дәлелдемелер туралы қысқаша ескерту жасау пайдалы.

- & nbsp– & nbsp–

5. Сынып және үй жұмысы үшін 163-165, 146-148 тапсырмаларын пайдалануға болады.

Есеп 165. Жазықтықтан d қашықтықта орналасқан А нүктесінен АВ және АС көлбеу жазықтыққа осы жазықтыққа 30 ° бұрышпен түсіріледі. Олардың жазықтыққа проекциялары 120 ° бұрыш жасайды. BC табыңыз.

- & nbsp– & nbsp–

Сабақ нөмірі 33-36 Сабақтың тақырыбы: Теорияны қайталау. Үш перпендикуляр туралы, түзу мен жазықтық арасындағы бұрышта теореманы қолдану бойынша есептер шығару.Сабақтың негізгі міндеттері.Үш перпендикуляр туралы теореманың дәлелдеуін қайталау, түзу мен жазықтық арасындағы бұрыш туралы түсінік, есептер шығару дағдыларын нығайту.

Сабақ жоспары

1. 33-35 нөміріндегі әр сабақта студенттермен сұхбаттасу арқылы теория сұрақтарын қайталаңыз.

2. Есептер шығару процесінде тік бұрышты үшбұрыштың элементтері, синустар мен косинустар теоремасы арасындағы байланысты қайталаңыз.

3. Полиэдраның беттері мен көлемдерін есептеу кезінде болашақта қолданылатын кейбір типтік мәселелерді шешуге ерекше назар аударыңыз. Мұндай тапсырмаларға, мысалы, 147, 151, 158, 161 тапсырмалары кіреді. Төмендегі 2.6 слайдты қолдану пайдалы, ол оқулықтағы мәселелерді шешу тәсілдерін талқылай отырып, оқушылармен фронтальды жұмыс жүргізуге арналған.

4. № 36 сабақта бақылаушы сипаттағы өзіндік жұмыс жүргізген жөн.

Өзіндік жұмыс No 2.2

1 нұсқа М нүктесінен ABCD тіктөртбұрышының жазықтығына 4 см-ге тең МВ перпендикулярын жүргізіңіз. Қиғаш MA және MC төртбұрыштың жазықтығымен сәйкесінше 45 ° және 30 ° бұрыштар құрайды.

а) 0 MAD және MCD үшбұрыштарының тікбұрышты екенін дәлелде.

б) 0 Тік төртбұрыштың қабырғаларын табыңыз.

в) BDC үшбұрышы MDC үшбұрышының тіктөртбұрыш жазықтығына проекциясы екенін дәлелде және оның ауданын таб.

2 нұсқа М нүктесінен ABCD квадратының жазықтығына 6 см-ге тең MD перпендикулярын жүргізіңіз. Қиғаш МБ квадрат жазықтығымен 60 ° бұрыш жасайды.

а) 0 MAB және MCB үшбұрыштарының тік бұрышты екенін дәлелде.

б) 0 Квадраттың қабырғасын табыңыз.

в) ABD үшбұрышы MAB үшбұрышының квадрат жазықтығына проекциясы екенін дәлелде және оның ауданын таб.

Жауаптар:

б) АВ \u003d 4 см, ВС \u003d 4 3 см; в) 8 3 см2.

1 нұсқа.

б) 6 см; в) 3 см2.

V a r және n t 2.

- & nbsp– & nbsp–

Есеп 147. М нүктесінен n перпендикуляр МВ ABCD тіктөртбұрышының жазықтығына салыңыз. AMD және MCD үшбұрыштарының тікбұрышты екенін дәлелде.

Шешім.

1) Есептің шарты бойынша МВ кесіндісі тіктөртбұрыштың жазықтығына перпендикуляр болады, сондықтан АВ кесіндісі деп MA көлбеуінің тіктөртбұрыш жазықтығына проекциясын айтады (2.17-сурет). AD AB (ABCD тіктөртбұрыш болғандықтан), сондықтан үш перпендикуляр теорема бойынша AD MA. Осылайша, MAD бұрышы тік, сондықтан AMD үшбұрышы тікбұрышты болады.

2) Сол сияқты, DC BC болғандықтан, DC MC және MCD үшбұрышы тікбұрышты болады.

Есеп 151. CD сызығы АВС үшбұрышының жазықтығына перпендикуляр. Дәлелдеу: а) АВС үшбұрышы - АБС \u200b\u200bүшбұрышының АВС жазықтығына проекциясы;

б) егер CH - АВС үшбұрышының биіктігі болса, онда DH - АБШ үшбұрышының биіктігі.

Шешім.

а) Есептің шарты бойынша DC кесіндісі ABC жазықтығына перпендикуляр, сондықтан С нүктесі D нүктесінің ABC жазықтығына проекциясы, CB кесіндісі DB көлбеуіне проекциясы, ал CA кесіндісі AB көлбеу жазықтығына DA көлбеуінің проекциясы (сурет 2.18).

АВ кесіндісінің барлық нүктелері АВС жазықтығында жатыр, сондықтан бұл кесіндінің өзі АВ кесіндісінің АВС жазықтығына проекциясы болады.

Сонымен, АБС жазықтығына АБС үшбұрышының қабырғаларының проекциялары АВС үшбұрышының сәйкес қабырғалары болады.

Сондай-ақ АБ үшбұрышының кез-келген ішкі нүктесінің M1 проекциясы ABC үшбұрышының ішінде жататыны және керісінше: кез-келген ABC үшбұрышының ішкі нүктесі M үшбұрышының кейбір M ішкі нүктесінің АВС жазықтығына проекциясы. Бұл дегеніміз, АВС үшбұрышы АВС жазықтығына АБС үшбұрышының проекциясы.

б) гипотеза бойынша AB CH, демек, үш перпендикулярлы теорема бойынша AB DH, яғни DH - АБШ үшбұрышының биіктігі.

- & nbsp– & nbsp–

Есеп 158. АВСД ромбының В шыңы арқылы оның жазықтығына перпендикуляр болатын В түзуі өтеді. Егер AB \u003d 25 см, BAD \u003d 60 °, BM \u003d 12,5 см болса, онда ромб қабырғалары бар түзулерге М нүктесінен қашықтықты табыңыз.

Шешім.

1) BK AD жүргізейік (2.19 сурет). BK кесіндісі дегеніміз - көлбеу МК-ны ромб жазықтығына, AD BK, сондықтан үш перпендикуляр теоремасы бойынша AD MK проекциясы. MK кесіндісінің ұзындығы М нүктесінен АD түзуіне дейінгі қашықтыққа тең.

Дәл сол сияқты, ME дегеніміз - М нүктесінен тұрақты сызыққа дейінгі арақашықтық.

ABK біз BK \u003d AB sin 60 °, BK \u003d 25 3 аламыз.

3) MBK үшбұрышы MB ABC сияқты тікбұрышты. Бізде бар

- & nbsp– & nbsp–

4) BK \u003d BE (ромб биіктігі ретінде). MBK және MBE тікбұрышты үшбұрыштары екі аяққа тең, сондықтан ME \u003d MK \u003d 25 см.

5) М нүктесінен АВ және ВС түзулеріне дейінгі арақашықтық МВ перпендикулярының ұзындығына тең, яғни 12,5 см-ге тең.

Жауабы: 25 см, 25 см, 12,5 см, 12,5 см.

Есеп 161. BA сәулесі КБР дамымаған бұрышының жазықтығында жатпайды. Егер ABC \u003d ABD, және ABC 90 ° болса, онда BA сәулесінің КБД жазықтығына проекциясы CBD бұрышының биссектрисасы болатындығын дәлелдеңіз.

Шешім.

1) AE CBD болсын. ABC жазықтығында BC түзуіне AM перпендикулярын, BD түзуіне AB перпендикулярын жүргізіңіз. АВС 90 ° болғандықтан, М нүктесі ВС сәулесінде жатыр (және бұл сәуленің кеңеюінде емес). Сол сияқты, АБД 90 ° болғандықтан, К нүктесі BD сәулесінде жатыр (2.20-сурет).

BC AM бастап, содан кейін BC EM (теорема бойынша үш перпендикуляр теоремаға қарама-қарсы). BD EK сияқты дәлелдеуге болады.

2) Тік бұрышты үшбұрыштар АВК мен АВМ гипотенузада (АВ - қарапайым гипотенуза) және сүйір бұрышта (АВС \u003d АБД) тең, сондықтан ВМ \u003d ВК.

3) BME және BKE тік бұрышты үшбұрыштары гипотенузада (BE - қарапайым гипотенузада) және аяғында (BM \u003d BK) тең, сондықтан EM \u003d EK.

4) Е нүктесі КБР бұрышы жағынан бірдей қашықтықта орналасқан, сондықтан ол осы бұрыштың биссектрисасында жатыр, яғни BE сәулесі КБР бұрышының биссектрисасы.

§ 3. ЕКІ БҰРЫШ.

ҰШАҚТАРДЫҢ СЕРІКТІЛІГІ

Сабақтың нөмірі 37 Сабақтың тақырыбы: Диедралды бұрыш Сабақтың негізгі мақсаттары диедралды бұрыш және оның сызықтық бұрышы ұғымымен таныстыру, осы ұғымдарды қолдану тапсырмаларын қарастыру.

Сабақ жоспары

1. Оқулықтың 58-суретін пайдаланып, диедралды бұрыш ұғымымен таныстырыңыз.

2. Диедралды бұрыштың сызықтық бұрышы туралы түсінік беріңіз.

Диедралды бұрыштың барлық сызықтық бұрыштары бір-біріне тең екендігін дәлелде (59, а, б суреттерін қара).

3. Диедралды бұрыштың градус өлшеміне анықтама беріңіз.

Оқулықтың 60-суретін пайдаланып, өткір, тік және доғал бұрыштардың мысалдарын қарастырыңыз. Сыныптың екі қабырғасының қиылысында, сондай-ақ қабырға мен төбенің немесе еденнің оң жақ диедралын көрсетуге болады.

4. Сынып және үй жұмысы үшін 166-170 тапсырмаларын таңдап қолдануға болады.

Студенттерді диедралды бұрыштардың белгіленуіне тарту керек. Әр түрлі беттерінде С және D нүктелері белгіленген AB жиегі бар диедралды бұрыш CABD диедралды бұрышы деп аталады.

Есеп 167. DABC тетраэдрінде барлық жиектер тең, М нүктесі - АС жиегінің ортаңғы нүктесі. DMB - BACD сызықтық бұрышы екенін дәлелде.

Сурет: 2.21-сурет 2.22

Шешім: BM және DM медианалары бір мезгілде ABC және ADC тұрақты үшбұрыштарының биіктігі болып табылады (2.21-сурет). Демек, БМ АС және ДМ АС, демек, ДМБ - пирамида негізінің АС шетіндегі диедралды бұрыштың сызықтық бұрышы.

Есеп 170. АС қабырғасы жазықтықта жатқан АВС үшбұрышының В төбесінен осы жазықтыққа ВВ1 перпендикуляр жүргіз. В нүктесінен айнымалы түзуге дейінгі және жазықтыққа дейінгі қашықтықты табыңыз, егер AB \u003d 2 см, BAC \u003d 150 ° және BACB1 дигедралды бұрышы 45 ° болса.

Шешім.

1) BAC үшбұрышы доғал А бұрышымен доғал, сондықтан В төбесінен түсірілген ВК биіктігінің табаны АС қабырғасының кеңеюінде жатыр. В нүктесінен АС түзуіне және жазықтыққа дейінгі арақашықтықтар сәйкесінше BK және BB1-ге тең (2.22-сурет).

2) AC BK болғандықтан, AC KB1 теоремасы бойынша үш перпендикуляр теоремаға керісінше болады. Демек, BKB1 дегеніміз - BACB1 диедралының сызықтық бұрышы. Есептің шарты бойынша BKB1 \u003d 45 °.

3) BAK-дан бізде A \u003d 30 °, BK \u003d BA sin 30 °, BK \u003d 1 болады.

- & nbsp– & nbsp–

Сабақтың нөмірі 38 Сабақтың тақырыбы: Екі жазықтықтың перпендикулярлық белгісі Сабақтың негізгі мақсаттары Жазықтық арасындағы бұрыш ұғымымен таныстыру; перпендикуляр жазықтықтарға анықтама беріңіз; екі жазықтықтың перпендикулярлық белгісін білдіретін теореманы дәлелдеу; есептер шығаруда осы теореманың қолданылуын көрсету.

Сабақ жоспары

1. Үй тапсырмасынан есептерді таңдап шешуді тексеру. Слайдтарды дайын суреттермен қолданған жөн.

2. Екі жазықтық қиылысқан кезде төрт диедралды бұрыш жасалатындығына оқушылардың назарын аудару. Егер төрт бұрыштың мәні басқаларының әрқайсысынан аспайтын болса, онда қиылысатын жазықтықтар арасындағы бұрыш деп аталады. 0 ° 90 ° екені түсінікті. Егер \u003d 90 ° болса, онда жазықтықтар перпендикуляр деп аталады. Бұл жағдайда жазықтықтардың қиылысуынан пайда болған төрт диедралды бұрыштардың әрқайсысы түзу болады.

3. Екі жазықтықтың перпендикулярлығы критерийін білдіретін теореманы дәлелде. Теореманы дәлелдеуді 62-суретті пайдаланып, оқулық мәтіні арқылы ауызша түрде жүзеге асыруға болады. Оқулықта келтірілген дәстүрлі дәлелдеуді әдетте оқушылар сәтті игереді.

4. Оқушылардың назарын есептер шығаруда жиі қолданылатын келесі екі фактіге аудару маңызды:

а) Диедралды бұрыштың шетіне перпендикуляр жазықтық оның беттеріне перпендикуляр. (Бұл сәл өзгеше тұжырымдағы тұжырым оқулықтың 23 тармағында теореманың қорытындысы ретінде келтірілген).

ә) өзара перпендикуляр екі жазықтықтың біреуінің кез келген нүктесінен олардың қиылысу сызығына жүргізілген перпендикуляр екінші жазықтыққа перпендикуляр болады.

(Бұл мәлімдеме оқулықтағы 178 есепті шешуде дәлелденген.)

5. Сыныпта және үй тапсырмасында сіз 171-180 тапсырмаларын пайдалана аласыз.

Есеп 171. Тік бұрышты тең бүйірлі үшбұрыштың гипотенузасы жазықтықта жатыр, ал аяғы осы жазықтыққа 30 ° бұрышта қисайған. Үшбұрыштың жазықтығы мен жазықтығы арасындағы бұрышты табыңыз.

Шешім.

1) ABC берілген үшбұрыш болсын, AB, CO. Сонда OB кесіндісі - CB аяғының жазықтыққа проекциясы. Есептің шарты бойынша CBO \u003d 30 ° (Cурет 2.23).

2) үшбұрышта COB CO \u003d a, содан кейін CB \u003d 2a болсын.

3) үш перпендикуляр теоремаға кері теорема бойынша АВ ДВ, содан кейін АВ ДО сызыңыз, ал CDO - жазықтықтың үшбұрыштың жазықтығымен қиылысында пайда болған диедралды бұрыштың сызықтық бұрышы. Болсын

- & nbsp– & nbsp–

CDO \u003d x. Бұл үшбұрыштың жазықтығы мен жазықтығы арасындағы қажетті бұрыш.

4) CDB-ден біз CBD \u003d 45 ° аламыз, өйткені шарт бойынша ACB үшбұрышы тең бүйірлі және тіктөртбұрыш болады

- & nbsp– & nbsp–

қайдан \u003d 45 °, яғни DABC диедралды бұрышы 45 ° құрайды.

5) BC тұрақты және айнымалы тұрақты болғандықтан, ACB - BDCA диедралды бұрышының сызықтық бұрышы.

ACB \u003d 60 ° болғандықтан, диодралды бұрыш BDCA 60 ° құрайды.

Жауабы: 90 °, 45 °, 60 °.

Есеп 174. Егер DAB, DAC және ACB бұрыштары түзу болса, AC \u003d CB \u003d 5, DB \u003d 5 5 болса, ABCD тетраэдрінің ABCD диедралды бұрышын табыңыз.

Шешім.

1) Есептің шарты бойынша DAB және DAC бұрыштары түзу, сондықтан DA AB және DA AC (сурет 2.25). Демек, DA кесіндісі - АВС жазықтығына перпендикуляр, демек, АС кесіндісі - тұрақты көлбеу токтың АВС жазықтығына проекциясы. Сурет: 2.25

2) Есептің гипотезасы бойынша ACB бұрышы түзу сызық, яғни BC AC, демек үш перпендикулярдағы теорема бойынша BC DC. Сонымен, ACD - ABCD диедралды бұрышының сызықтық бұрышы.

3) DCB-ден: DC \u003d DB2 - BC2, DC \u003d 25 5 - 25 \u003d 10.

4) DAC-дан ACD \u003d x, cos x \u003d AC, cos x \u003d 5,

- & nbsp– & nbsp–

Сабақтың негізгі міндеттері Тік бұрышты параллелепипед ұғымымен таныстыру, оның беттерінің, диедралды бұрыштарының, диагональдарының қасиеттерін қарастыру.

Сабақ жоспары

1. Тік бұрышты параллелепипедтің анықтамасын тұжырымдаңыз. Тік бұрышты параллелепипедтің барлық алты беті тіктөртбұрыш екенін дәлелде.

2. Тік бұрышты параллелепипедтің барлық диедралды бұрыштары дұрыс екенін дәлелде.

3. Теореманы дәлелде: тік бұрышты параллелепипедтің диагоналінің квадраты оның үш өлшемінің квадраттарының қосындысына тең.

Диагональды төртбұрыштың қасиетімен ұқсастығына назар аударыңыз. Бұл теорема кеңістіктегі Пифагор теоремасының нұсқаларының бірі екенін де атап өтуге болады.

Теореманың салдарын қарастырайық: тік бұрышты параллелепипедтің диагональдары тең.

4. Сыныпта және үй тапсырмасында сіз 187-192 тапсырмаларды таңдап қолдана аласыз.

Сурет: 2.26-сурет 2.27

Есеп 191. ABCDA1B1C1D1 кубы берілген. ABC1 және A1B1D жазықтықтарының перпендикуляр екенін дәлелдеңіз.

Шешім.

1) квадраттың диагональдарының қасиеті бойынша BC1 B1C (2.26-сурет). DC BCC1, сондықтан DC BC1, BC1 BCC1 ретінде.

Сонымен, ВС1 түзуі A1B1D жазықтығында жатқан екі қиылысқан DC және CB1 түзулеріне перпендикуляр. Демек, BC1 түзуі A1B1D жазықтығына түзу және жазықтық перпендикулярлығы бойынша перпендикуляр болады.

2) ABC1 жазықтығы A1B1D жазықтығына перпендикуляр, BC1 түзу сызығы арқылы өтеді, сондықтан ABC1 A1B1D екі жазықтықтың перпендикулярлығы негізінде.

Есеп 192. Кубтың диагоналы мен оның бір бетінің жазықтығы арасындағы бұрыштың тангенсін табыңыз.

Шешім.

1) ABCDA1B1C1D1 кубының шеті а-ға тең болсын. Сонда BD \u003d a 2 (Cурет 2.27). D1D ABC болғандықтан, BD түзу сызығы BD1 түзуінің ABCD бет жазықтығына проекциясы болады, демек, бұл түзулер арасындағы бұрыш BD1 диагоналі мен ABCD беті арасындағы бұрыш болады. Сонымен, мәні белгіленетін D1BD бұрышының тангенсін табу керек.

2) D1DB-ден tg \u003d 1, tg \u003d a, tg \u003d 2 аламыз.

- & nbsp– & nbsp–

Сабақтың нөмірі 40 Сабақтың тақырыбы: Тік бұрышты параллелепипедке есептер шығару Сабақтың негізгі мақсаттары Тік бұрышты параллелепипедтің қасиеттерін қайталау, тікбұрышты параллелепипедке бірқатар есептер шығару.

Сабақ жоспары

1. Студенттермен сұхбаттасу арқылы теория сұрақтарына шолу жасаңыз.

2. Дайын суреттерді, слайдтарды қолдана отырып, үй тапсырмасынан есептердің шешімін таңдап тексеріңіз.

3. Сыныпта және үй тапсырмасында сіз 193-196 есептерді пайдалана аласыз.

Есеп 195. ABCDA1B1C1D1 тік бұрышты параллелепипедтің өлшемдерін табыңыз, егер AC1 \u003d 12 см болса және BD1 диагоналы AA1D1D бет жазықтығымен 30 ° бұрыш, ал DD1 қырымен 45 ° бұрыш жасаса.

Шешім.

Ұқсас жұмыстар:

« РЕСЕЙ ФЕДЕРАЦИЯСЫНЫҢ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ Жоғары кәсіптік білім берудің Федералды Мемлекеттік бюджеттік оқу орны «ТЮМЕН МЕМЛЕКЕТТІК УНИВЕРСИТЕТІ» Жер туралы ғылымдар институты Физикалық география және экология кафедрасы Тюлькова Л.А. ГЕОМОРФОЛОГИЯ оқу-әдістемелік кешені. Күндізгі оқу түрі, 05.03.04 «Гидрометеорология» бағыты студенттеріне арналған жұмыс бағдарламасы, Тюмень мемлекеттік университеті Тюлькова Л.А. Геоморфология. Оқу-әдістемелік ... «

« КАЛИНИНГРАД ОБЛЫСЫ БІЛІМ МИНИСТРЛІГІ КАЛИНИНГРАД ОБЛЫСЫ МЕМЛЕКЕТТІК БЮДЖЕТТІК МЕКЕМЕСІ КӘСІБИ БІЛІМ БЕРУ ҰЙЫМЫ «ГУСЕВСКИЙ АЙЫЛШАРУАШЫЛЫҚ КОЛЛЕДЖІ» БЕКІТІЛГЕН ГБУ КО ВОО ГАПК директоры Л.В. Грубинов 15 тамыз 2014 ж. КАЛИНИНГРАД ОБЛЫСЫ МЕМЛЕКЕТТІК БІЛІМ МЕКТЕБІНІҢ ОРТА КӘСІБИ БІЛІМ БЕРУДІҢ НЕГІЗГІ КӘСІБИ БІЛІМ БЕРУ БАҒДАРЛАМАСЫ ...

« Тақырыбы: Ресей Федерациясындағы БІЛІМ. Жалпы ережелер. Университет. PTO. SSHO.DOU Жаңартылған күні: 24.02.2015 Аналитикалық шолу Федералды жаңартуға арналған ұсыныстар стандарттар жоғары білім тиісті кәсіптік стандарттардың ережелерін, қабылданған кәсіптік стандарттарды ескере отырып, қолданыстағы федералды мемлекеттік жоғары білім берудің әдістемелік білім беру стандарттарын жаңарту жөніндегі ұсынымдарды ескеру мақсатында (Ресейдің Білім және ғылым министрлігінің 2015 жылғы 22 қаңтарда N DL-2 / 05vn бекітілген) ... »

«ОҚЫТУ) Тегі Аты Әкесінің аты Курс_ Байланыс және заң факультеті № _ Қарау нәтижелері (бағанды \u200b\u200bоқытушы толтырады) _ _ _ _ _ _ Оқытушы _ Минск 2014 МАЗМҰНЫ ҚЫСҚА МЕТОДОЛОГИЯЛЫҚ НҰСҚАУЛАР БӨЛІМ. МІНДЕТТЕРІ. ТАРИХ ЖӘНЕ МЕТОДОЛОГИЯ ... «

« Мазмұны Аннотация ... 1. Студенттердің өзіндік жұмысының мақсаттары. 2. Студенттердің өзіндік жұмысының міндеттері ... 5 3. Өз бетінше оқуға ұсыныстар пән..5 4. Студенттердің өзіндік жұмысының түрлері..5 5. Федералдық мемлекеттік білім беру стандартына сәйкес пәннің минималды мазмұнына қойылатын талаптар ... 6. Пән тақырыптары бойынша өзіндік жұмыс мазмұны. 7. Студенттердің өздік жұмыстарына арналған тапсырмалар 7.1. Эссе тақырыптары және шығармашылық жұмыстар тәртіп бойынша ... 8 ... »

« Оқу семинарлары мен вебинарларының кестесі 2015-2016 оқу жылының бірінші жартысы Қазанға қатысу тегін. Барлық қатысушылар (тіркеу талап етіледі) 2015 жылғы 16 қазанда 16.00-17.00 (Мәскеу уақытымен) «Семинарлар мен вебинарларға арналған тапсырмаларды әзірлеудің әдістемелік қағидалары» веб-семинарына қатысу сертификаттарын берді. 2-4 сынып оқушыларына арналған «PONY® visit Pythagoras» халықаралық байқауы және оларды бағалау критерийлері ». Вебинар интеллектуалды сайыстарды өткізудің мақсаттарын талдайды, ... »

« ОРЫС ФЕДЕРАЦИЯСЫ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ TYUMEN жоғары кәсіби білім беру мемлекеттік білім беру мекемесі «БЕКІТІЛГЕН» МЕМЛЕКЕТТІК УНИВЕРСИТЕТІ: Оқу ісі жөніндегі проректор Л.М. Волосников 08.07. 2011 жыл Мектепке дейінгі білім беру мекемелерінде логопедиялық жұмыстарды ұйымдастыру.Оқу-әдістемелік кешен. Оқыту бағытындағы студенттерге арналған жұмыс бағдарламасы 050700.62 Арнайы (дефектологиялық) білім беру, оқыту профилі Логопедия, формасы ... «

« Мәскеу қаласының мемлекеттік бюджеттік кәсіптік білім беру мекемесі «Бірінші Мәскеу оқу кешені» бойынша әдістемелік ұсынымдар іске асыру практикалық жұмыс PM 02 кәсіби модулі бойынша. MDK 02.02 тігін бұйымдарын жобалау. Тігін бұйымдарын сындарлы модельдеу әдістері, оқытудың 3-жылы 262019 Тігін бұйымдарының дизайны, модельдеуі және технологиясы (оқыту профилінің атауы) Мәскеу BBK G1 БЕКІТІЛДІ ... «

« РОССИЯ ФЕДЕРАЦИЯСЫНЫҢ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ ИТМО УНИВЕРСИТЕТІ Е.П. Сучкова, М.С. Белозерова СҮТ ЖӘНЕ СҮТ ӨНІМДЕРІН ЗЕРТТЕУ ӘДІСТЕРІ Оқу-әдістемелік құрал Санкт-Петербург УДК 637.1 / 3 Сучкова Е.П., Белозерова М.С. Сүт және сүт өнімдерін зерттеу әдістері: Зерттеу әдісі. жәрдемақы. - SPb.: ITMO университеті; IChiBT, 2015 .-- 47 б. Зертханада «Сүт және сүт өнімдерін зерттеу әдістері» пәні бойынша жұмыстар көрсетілген. Еңбектер заманауи әдістерді зерттеуге арналған ... »

« Мазмұны 1. Жалпы ... 2. Оқыту бағытының сипаттамасы ... 3. Түлектердің кәсіби қызметінің сипаттамалары 3.1. Аймақ ЭО VO.3.2 түлегінің кәсіптік іс-әрекеті ВП VO.3.3 бітірушінің кәсіптік іс-әрекеті объектілері.3.3 ББ түлегі кәсіптік іс-әрекетінің түрлері.3.4 Кәсіптік стандарттарға сәйкес түлектердің жалпыланған еңбек функциялары..8 4. Білім беру бағдарламасын игеру нәтижелері .. 5. Білім беру бағдарламасының құрылымы .. . «

« Тұтынушылардың құқықтары мен адамның әл-ауқатын ФБСИ ҚОРҒАУ САЛАСЫНДАҒЫ ҚАДАҒАЛАР ҮШІН ФЕДЕРАЛДЫҚ ҚЫЗМЕТ «Медициналық-профилактикалық технологиялар жөніндегі федералды ғылыми орталық денсаулық сақтау қаупін басқару «FGBOU HPE» Пермь мемлекеттік ұлттық зерттеу университеті «ӘЛЕУМЕТТІК-ГИГЕНИКАЛЫҚ МОНИТОРИНГ ЖӘНЕ ДЕНСАУЛЫҚТЫ ҚАУІПТІ ТАЛДАУ ДАМУЫНЫҢ АҒЫМДАҒЫ БАҒЫТТАРЫ (15-17 мамыр, 2013 ж.) Халықаралық қатысуымен Бүкілресейлік ғылыми-практикалық конференция материалдары ... «

« 1 «F» СЫНЫПҚА «ТЕХНОЛОГИЯ» ПӘНІ БОЙЫНША ЖҰМЫС БАҒДАРЛАМАСЫ Құрастырған: бастауыш сынып мұғалімі Тамбовцева Наталья Сергеевна, Мәскеу, 2014-2015 оқу жылы Түсіндірме жазба. Технологияға арналған жұмыс бағдарламасы «Технология» білім беру аймағында бастауыш жалпы білім берудің Федералды мемлекеттік стандартының талаптарына негізделген және бастауыш жалпы білім берудің типтік бағдарламасына, Н.И. Роговцева, С.В. Анашенкова ... »

« М.С.Соловейчик Н.С. Кузьменко Жалпы білім беру ұйымдарының 2-сыныбына арналған оқулыққа арналған ОРЫС ТІЛІНЕ ӘДІСТЕМЕЛІК ҰСЫНЫСТАР Мұғалімге арналған нұсқаулық Басылым 7, қайта қаралған Смоленск қауымдастығы ХХІ ғасыр ӘОК 372.881.116.11.046 ж. BBK 74.268.1Rus S НАЗАР АУДАРЫҢЫЗ! Басқа баспалардың оқулықтарын қолданғанда сақ болыңыз! Егер осы оқулықтың кез-келген авторы редактор, кеңесші немесе рецензент тізімінде болмаса, нұсқаулықта ... болмауы мүмкін ».

« МАДАГАСКАР РЕСПУБЛИКАСЫНДАҒЫ РЕСЕЙ ФЕДЕРАЦИЯСЫ ЕЛШІЛІГІНІҢ МАМАНДАНДЫРЫЛҒАН ҚҰРЫЛЫМДЫҚ БІЛІМ БӨЛІМІ - НЕГІЗГІ ЖАЛПЫ БІЛІМ БЕРУ МЕКТЕБІ МАДАГАСКАР РЕСЕЙІНІҢ ЕЛШІЛІГІ Оқыту курсының жұмыс бағдарламасы (әдебиет) 5-СЫНЫП 2014-2015 оқу жылы оқытушы: Егорова И.В. Түсіндірме жазба Жұмыс бағдарламасы нормативтік құжаттар мен әдістемелік материалдарға сәйкес жасалған: Мемлекеттік жалпы білім беру стандартының федералдық компоненті ...

« Қорғаныс министрлігінің отырысында қаралды 08.24.2015 ж. «Тексерілді» «Бекітілді» _ Директордың ішкі істер жөніндегі орынбасары, No2 МОК «Лицей» МБО директоры Самофалова Ю.В._ Свердлов В.Я. Сыныптан тыс жұмыстарға арналған жұмыс бағдарламасы «Сөйлеуді дамыту мектебі» курсы 2015-2016 оқу жылы Мұғалім Асоян О.И., Бавыкина И.Е., Леденева Г.А., Ивашкина Н.В., Саввина О.Ю., Свердлова Л. IN. 4 «А», «В», «С», «D», «D», «E» класы Пән «Курс» СӨЙЛЕУ. Жас ақылды және ақылды ер адамдар. Сөйлеуді дамыту мектебі «(34 сағат; аптасына 1 сағат) ...»

« Ресей Федерациясының Білім және ғылым министрлігі Амур мемлекеттік университеті Е.В. Пшеничникова ЖЕКЕ ҮШІН КИІМДЕРДІ ЖАСАУ ҮШІН НЕГІЗДЕР ТҰТЫНУШЫ Қиыр Шығыс аймақтық оқу-әдістемелік орталығы (DV RUMTs) бакалаврларды даярлау бағытында оқитын студенттерге арналған оқу құралы ретінде ұсынылған 262000.62 «Жеңіл өнеркәсіп өнімдерінің технологиясы», 100100.62 аймақтағы жоғары оқу орындарының «қызметі» Благовещенск БМҚ Баспа үйі 37. 24-2 I 73 P 93 ... «

« БАЛАЛАРДЫ КҮТІМДІЛІКТЕН ҚОРҒАУ Пәнаралық оқу нұсқаулығы CREAN балаларды дискриминациядан қорғауды нұсқаулық Дагмар Куцар мен Ханна Вормингтің редакторы орыс аударма редакторы Вера Заботкина Ивановна доктор филол. Ғылым, проф., Инновациялық халықаралық жобалар жөніндегі проректор, Ресей Мемлекеттік Гуманитарлық Университеті Еуропалық университеттер консорциумы ...

« Мазмұны 1-бөлім. Білім беру бағдарламасын меңгерудің жоспарланған нәтижелерімен байланысты пән бойынша жоспарланған оқыту нәтижелерінің тізімі .. 4 1.1 Пән бойынша жоспарланған оқу нәтижелерінің тізімі. 4 1.2 Білім беру бағдарламасын игерудің жоспарланған нәтижелері. 4 Бөлім 2. Пәннің білім беру бағдарламасының құрылымындағы орны. 6 Бөлім 3. Пәннің қолданылу саласы. 6 бөлім. Пәннің құрылымы мен мазмұны. 7 5-бөлім. Оқу-әдістемелік қолдаудың тізбесі ... «

« МАЗМҰНЫ Пәнді игеру нәтижелеріне қойылатын талаптар 1. 4 Пәннің OBOP құрылымындағы орны 2. 5 Пәннің құрылымы мен мазмұны 3. 6 Пәннің құрылымы 3.1. 6 Курстың мазмұны 3.2. 7 Өздік жұмыстарды оқу-әдістемелік қамтамасыз етудің тізімі 4. Пән бойынша 9 студент Білім беру технологиялары 5. 9 Пәннің дамуын бақылау формалары 6. 9 Пәннің дамуын ағымдық бақылау үшін бағалау құралдарының тізімі 6.1. 9 Жүргізу үшін бағалау қорларының құрамы «
Осы сайттағы материалдар шолу үшін орналастырылған, барлық құқықтар олардың авторларына тиесілі.
Егер сіздің материалыңыз осы сайтта орналастырылғанымен келіспесеңіз, бізге жаз , біз оны 1-2 жұмыс күні ішінде жоямыз.