GIA. Kvadratinė funkcija. Pamoka „Funkcija y=ax2, jos grafikas ir savybės Funkcijos y ax2 bx grafikas

Video pamokos aprašymas

Panagrinėkime kai kuriuos specialius kvadratinės funkcijos atvejus.

Pirmas atvejis. Sužinokime, koks yra funkcijos y grafikas, lygus trečdaliui x kvadratas plius keturi.

Norėdami tai padaryti, vienoje koordinačių sistemoje nubraižome funkcijų y grafikus, lygius trečdaliui x kvadrato .. ir .. y yra lygus trečdaliui x kvadrato plius keturi.

Padarykite funkcijos y reikšmių lentelę, lygią trečdaliui x kvadrato. Kurkime toliau duotus taškus funkcijų grafikas.

Norėdami gauti funkcijos y verčių lentelę, lygią trečdaliui x kvadrato plius keturioms su tomis pačiomis argumento reikšmėmis, prie rastų funkcijos y reikšmių reikia pridėti keturias, lygias trečdaliui x kvadrato.

Padarykite funkcijos y grafiko verčių lentelę, lygią trečdaliui x kvadratui plius keturiems. Sukurkime taškus pagal nurodytas koordinates ir sujungkime juos lygia linija. Gauname funkcijos y grafiką, lygų trečdaliui x kvadrato plius keturi.

Nesunku suprasti, kad funkcijos y grafikas lygus trečdaliui x kvadrato plius keturi, galima gauti iš funkcijos y lygus trečdaliui x kvadrato grafiko, perkeliant keturis vienetus aukštyn lygiagrečiai išilgai y ašies.

Taigi funkcijos y grafikas lygus x kvadratui plius en yra parabolė, kuri gaunama iš funkcijos y lygus x kvadratui grafiko lygiagrečiai perkeliant išilgai ašies y moduliu en vienetais aukštyn, jei en didesnis už nulį arba žemyn jei en yra mažesnis už nulį.

Antras atvejis. Apsvarstykite, kad funkcija y yra lygi trečdaliui skirtumo tarp skaičių x ir šeši kvadrato ir sukurkite jos grafiką.

Sukurkime funkcijos y lygi trečdaliu x kvadrato verčių lentelę, nurodykite gautus taškus koordinačių plokštuma ir sujungti lygia linija.

Dabar sudarykime funkcijos y verčių lentelę, kuri yra lygi trečdaliui skirtumo tarp skaičių x ir šešių kvadrato. Nubraižykime funkcijos grafiką naudodami duotus taškus.

Pastebima, kad kiekvienas antrojo grafiko taškas gaunamas iš atitinkamo pirmojo grafiko taško, naudojant lygiagretų šešių vienetų vertimą išilgai x ašies.

Funkcijos y grafikas yra lygus a padaugintam iš skirtumo tarp x ir em kvadrato .. yra parabolė, kurią galima gauti iš funkcijos y grafiko yra lygi a x kvadratu lygiagrečiai verčiant išilgai x- ašį pagal em vienetų modulį į kairę, jei em yra didesnis už nulį, arba pagal em vienetų modulį į dešinę, jei em yra mažesnis už nulį.

Dabar apsvarstykite funkcijos y grafiką, lygų trečdalį skirtumo x kvadrato ir du plius penki. Jos grafiką galima gauti iš funkcijos y lygus trečdaliui x kvadrato grafiko, naudojant du lygiagrečius vertimus – parabolę perkeliant į dešinę dviem vienetais ir penkiais vienetais aukštyn.

Tuo pačiu metu lygiagrečius perkėlimus galima atlikti bet kokia tvarka: pirmiausia išilgai x ašies, o paskui išilgai y ašies arba atvirkščiai.

Bet kodėl, kai prie funkcijos pridedamas skaičius en, jos grafikas pasislenka modulio en vienetais aukštyn, jei en yra didesnis už nulį arba žemyn, jei en yra mažesnis už nulį, o kai prie argumento pridedamas skaičius em, funkcija pasislenka modulio em vienetai į dešinę, jei em mažesnis už nulį arba į kairę, jei em didesnis už nulį?

Apsvarstykite pirmas atvejis. Tegu reikalaujama sudaryti funkcijos y grafiką, lygų ef iš x .. plius en. Atkreipkite dėmesį, kad šio grafiko ordinatės visoms argumento reikšmėms yra en vienetais didesnės nei atitinkamos grafiko ordinatės y yra lygios eff iš x, jei teigiamas en, ir mažesnės en vienetais, jei yra neigiamas en. Todėl funkcijos y grafikas lygus eff iš x ... plius en gali būti gaunamas lygiagrečiai perkeliant išilgai funkcijos y lygus ef iš x grafiko y ašies moduliu en vienetais aukštyn, jei en yra didesnis už nulį ir pagal modulį en vienetais žemyn, jei en yra mažesnis už nulį.

Apsvarstykite antrasis atvejis. Tegu reikalaujama sudaryti funkcijos y grafiką, lygią eff iš x ir em sumos. Apsvarstykite funkciją y lygi eff iš x, kuri tam tikru momentu x lygus x pirmasis įgauna reikšmę y pirmasis yra lygus ef nuo x pirmasis. Akivaizdu, kad funkcija y yra lygi eff iš sumos x ir em taške x sekundė įgis tą pačią reikšmę, kurios koordinatė nustatoma iš lygybės x sekundės plius em lygus x pirmas, tai yra, x pirmasis lygus x pirmas minus em. Be to, nagrinėjama lygybė galioja visoms x reikšmėms iš funkcijos srities. Todėl funkcijos grafiką galima gauti lygiagrečiai perkeliant funkcijos y lygios ef grafiką iš x išilgai abscisių ašies į kairę vienetų moduliu į kairę, jei em didesnis už nulį ir em moduliu. į dešinę, jei em yra mažesnis už nulį. Lygiagretus funkcijos grafiko judėjimas išilgai x ašies em vienetais prilygsta y ašies judėjimui tokiu pat vienetų skaičiumi, bet priešinga kryptimi.

Kai parabolė sukasi aplink savo ašį, gaunama figūra, kuri vadinama paraboloidu. Jei paraboloido vidinis paviršius yra veidrodinis ir į jį nukreipiamas lygiagretus parabolės simetrijos ašiai spindulių pluoštas, tada atspindėti spinduliai susirinks taške, vadinamame židiniu. Tuo pačiu metu, jei šviesos šaltinis dedamas į židinį, tada nuo paraboloido veidrodinio paviršiaus atsispindintys spinduliai bus lygiagretūs ir neišsklaidys.

Pirmoji savybė leidžia pasiekti aukštą temperatūrą paraboloido židinyje. Pasak legendos, šiuo turtu naudojosi senovės graikų mokslininkas Archimedas. Gindamas Sirakūzus kare prieš romėnus, jis pastatė parabolinių veidrodžių sistemą, kuri leido nukreipti atsispindėjusius saulės spindulius į romėnų laivus. Dėl to parabolinių veidrodžių židiniuose temperatūra pasirodė tokia aukšta, kad laivuose kilo gaisras ir jie perdegė. Ši savybė taip pat naudojama gaminant parabolines antenas.

Antroji savybė naudojama prožektorių ir automobilių žibintų gamyboje.

Pristatymas „Funkcija y=ax 2, jos grafikas ir savybės“ yra vaizdinė priemonė, kuri buvo sukurta kartu su mokytojo paaiškinimu šia tema. Šiame pristatyme išsamiai aptariama kvadratinė funkcija, jos savybės, braižymo ypatumai, praktinis fizikos uždavinių sprendimo metodų taikymas.

Suteikdama didelį matomumą, ši medžiaga padės mokytojui padidinti mokymo efektyvumą, suteiks galimybę racionaliau paskirstyti laiką pamokoje. Animacijos efektų pagalba išryškinant sąvokas ir svarbius punktus spalva, mokinių dėmesys sutelkiamas į studijuojamą dalyką, geriau įsimenami apibrėžimai ir samprotavimo eiga sprendžiant problemas.

Pristatymas pradedamas supažindinant su pristatymo pavadinimu ir kvadratinės funkcijos samprata. Pabrėžiama šios temos svarba. Studentai kviečiami įsiminti kvadratinės funkcijos apibrėžimą kaip formos y=ax 2 +bx+c funkcinę priklausomybę, kurioje yra nepriklausomas kintamasis ir yra skaičiai, o a≠0. Atskirai 4 skaidrėje pažymima, kad reikia prisiminti, kad šios funkcijos sritis yra visa realiųjų reikšmių ašis. Paprastai šis teiginys žymimas D(x)=R.

Kvadratinės funkcijos pavyzdys yra svarbus jos pritaikymas fizikoje – tolygiai pagreitinto judėjimo kelio priklausomybės nuo laiko formulė. Lygiagrečiai fizikos pamokose mokiniai mokosi įvairių judesių formų, todėl jiems reikės gebėjimo spręsti tokias problemas. 5 skaidrėje mokiniams primenama, kad kūnui judant su pagreičiu ir laiko atskaitos pradžioje yra žinomas nuvažiuotas atstumas ir judėjimo greitis, tada tokį judėjimą reprezentuojanti funkcinė priklausomybė bus išreikšta formule S=( ties 2)/2+v 0 t+S 0 . Toliau pateikiamas pavyzdys, kaip šią formulę paversti nurodyta kvadratine funkcija, jei pagreičio reikšmės = 8, pradinis greitis = 3 ir pradinis kelias = 18. Šiuo atveju funkcija įgaus formą S=4t 2 +3t+18.

6 skaidrėje nagrinėjama kvadratinės funkcijos y=ax 2 forma, kurioje ji pateikta. Jei =1, tai kvadratinė funkcija turi formą y=x 2 . Pažymima, kad šios funkcijos grafikas bus parabolė.

Kita pristatymo dalis skirta kvadratinės funkcijos grafiko braižymui. Siūloma nagrinėti funkcijos y=3x 2 grafiko konstravimą. Pirma, lentelė žymi funkcijos reikšmių ir argumento reikšmių atitikimą. Pažymima, kad funkcijos y=3x 2 sudaryto grafiko ir funkcijos y=x 2 grafiko skirtumas yra tas, kad kiekviena jos reikšmė bus tris kartus didesnė už atitinkamą. Lentelės rodinyje šis skirtumas gerai stebimas. Netoliese grafiniame vaizde taip pat aiškiai matomas parabolės susiaurėjimo skirtumas.

Kitoje skaidrėje nagrinėjama kvadratinės funkcijos y=1/3 x 2 braižymas. Norint sudaryti grafiką, lentelėje reikia nurodyti funkcijos reikšmes keliuose jos taškuose. Pažymima, kad kiekviena funkcijos y=1/3 x 2 reikšmė yra 3 kartus mažesnė už atitinkamą funkcijos y=x 2 reikšmę. Šis skirtumas, be lentelės, aiškiai matomas grafike. Jo parabolė y ašies atžvilgiu yra labiau išsiplėtusi nei funkcijos y=x 2 parabolė.

Pavyzdžiai padeda suprasti Pagrindinė taisyklė, pagal kurią galėsite paprasčiau ir greičiau sudaryti atitinkamus grafikus. 9 skaidrėje paryškinta atskira taisyklė, kad kvadratinės funkcijos y \u003d ax 2 grafiką galima nubraižyti priklausomai nuo koeficiento reikšmės ištempiant arba susiaurinus grafiką. Jei a>1, tai grafikas ištemptas nuo x ašies kartų. Jei 0

Išvada apie funkcijų y=ax 2 ir y=-ax2 (es ≠0) grafikų simetriją abscisių ašies atžvilgiu atskirai paryškinta 12 skaidrėje, kad būtų galima įsiminti, ir aiškiai parodyta atitinkamame grafike. Be to, kvadratinės funkcijos y=x 2 grafiko sąvoka išplečiama iki bendresnio funkcijos y=ax 2 atvejo, teigiant, kad toks grafikas taip pat bus vadinamas parabole.

14 skaidrėje aptariamos kvadratinės funkcijos y=ax 2 savybės teigiamai. Pažymima, kad jo grafikas eina per pradžią, o visi taškai, išskyrus , yra viršutinėje pusplokštumoje. Pažymima grafiko simetrija y ašies atžvilgiu, nurodant, kad priešingos argumento reikšmės atitinka tas pačias funkcijos reikšmes. Nurodoma, kad šios funkcijos mažėjimo intervalas yra (-∞;0], o funkcijos didinimas atliekamas intervale. Šios funkcijos reikšmės apima visą teigiamą realiosios ašies dalį, tai yra taške lygus nuliui ir neturi didžiausios vertės.

15 skaidrėje aprašomos funkcijos y=ax 2 savybės, jei jos neigiamos. Pažymima, kad jo grafikas taip pat eina per pradžią, tačiau visi jo taškai, išskyrus , yra apatinėje pusplokštumoje. Pastebėta grafiko simetrija ašies atžvilgiu, o priešingos argumento reikšmės atitinka lygias funkcijos reikšmes. Funkcija didėja intervalu, mažėja. Šios funkcijos reikšmės yra intervale, taške ji yra lygi nuliui ir neturi mažiausios reikšmės.

Apibendrinant nagrinėjamas charakteristikas, 16 skaidrė rodo, kad parabolės šakos nukreiptos žemyn, o į viršų. Parabolė yra simetriška ašiai, o parabolės viršūnė yra jos susikirtimo su ašimi taške. Parabolė y=ax 2 turi viršūnę – kilmę.

Taip pat svarbi išvada apie parabolės transformacijas parodyta 17 skaidrėje. Joje pateikiamos kvadratinės funkcijos grafiko transformavimo galimybės. Pažymima, kad funkcijos y=ax 2 grafikas transformuojamas simetriškai atvaizduojant grafiką apie ašį. Taip pat galima suspausti arba išplėsti grafiką ašies atžvilgiu.

Paskutinėje skaidrėje daromos apibendrinančios išvados apie funkcijos grafiko transformacijas. Pateikiamos išvados, kad funkcijos grafikas gaunamas simetriškai transformuojant apie ašį. O funkcijos grafikas gaunamas suspaudus arba ištempus pradinį grafiką nuo ašies. Šiuo atveju tempimas nuo ašies laikotarpiais stebimas tuo atveju, kai. Susitraukus prie ašies 1/a kartų, grafikas formuojamas byloje.

Prezentaciją „Funkcija y=ax 2 , jos grafikas ir savybės“ mokytojas gali naudoti kaip vaizdinę priemonę algebros pamokoje. Be to, šis vadovas puikiai aprėpia temą, suteikia išsamų dalyko supratimą, todėl studentai gali jį pasiūlyti savarankiškai mokytis. Taip pat ši medžiaga padės mokytojui paaiškinti nuotolinio mokymosi metu.

Pamoka: kaip sukurti parabolę arba kvadratinę funkciją?

TEORINĖ DALIS

Parabolė yra funkcijos, aprašytos formule ax 2 +bx+c=0, grafikas.
Norėdami sukurti parabolę, turite laikytis paprasto veiksmų algoritmo:

1) Parabolės formulė y=ax 2 +bx+c,
jeigu a>0 tada parabolės šakos nukreiptos aukštyn,
o tada nukreipiamos parabolės šakos žemyn.
nemokamas narys cšis taškas kerta parabolę su OY ašimi;

2) , jis randamas pagal formulę x=(-b)/2a, rastą x pakeičiame į parabolės lygtį ir randame y;

3)Funkcijos nuliai arba kitaip tariant, parabolės susikirtimo su OX ašimi taškai, jie dar vadinami lygties šaknimis. Norėdami rasti šaknis, lygtį prilyginame 0 ax2+bx+c=0;

Lygčių tipai:

a) Užbaigta kvadratinė lygtis turi formą ax2+bx+c=0 ir ją išsprendžia diskriminantas;
b) Nepilna formos kvadratinė lygtis ax2+bx=0. Norėdami tai išspręsti, turite išimti x iš skliaustų, tada kiekvieną koeficientą prilyginti 0:
ax2+bx=0,
x(ax+b)=0,
x=0 ir ax+b=0;
c) Nepilna formos kvadratinė lygtis ax2+c=0. Norėdami tai išspręsti, turite perkelti nežinomą į vieną pusę, o žinomą į kitą. x =±√(c/a);

4) Raskite papildomų taškų funkcijai sukurti.

PRAKTINĖ DALIS

Taigi dabar, pateikdami pavyzdį, viską analizuosime veiksmais:
1 pavyzdys:
y=x 2 +4x+3
c=3 reiškia, kad parabolė kerta OY taške x=0 y=3. Parabolės šakos žiūri aukštyn, nes a=1 1>0.
a=1 b=4 c=3 x=(-b)/2a=(-4)/(2*1)=-2 y= (-2) 2 +4*(-2)+3=4- 8+3=-1 viršus yra taške (-2;-1)
Raskite lygties x 2 +4x+3=0 šaknis
Šaknis randame pagal diskriminantą
a=1 b=4 c=3
D=b 2 -4ac=16-12=4
x=(-b±√(D))/2a
x1=(-4+2)/2=-1
x2=(-4-2)/2=-3

Paimkime keletą savavališkų taškų, kurie yra šalia viršaus x=-2

x -4 -3 -1 0
y 3 0 0 3

Lygtyje y \u003d x 2 + 4x + 3 pakeičiame x vietoj
y=(-4) 2 +4*(-4)+3=16-16+3=3
y=(-3) 2 +4*(-3)+3=9-12+3=0
y=(-1) 2 +4*(-1)+3=1-4+3=0
y=(0) 2 +4*(0)+3=0-0+3=3
Iš funkcijos reikšmių matyti, kad parabolė yra simetriška tiesei x \u003d -2

2 pavyzdys:
y=-x 2 +4x
c=0 reiškia, kad parabolė kerta OY taške x=0 y=0. Parabolės šakos žiūri žemyn, nes a=-1 -1 Raskite lygties šaknis -x 2 +4x=0
Nebaigta kvadratinė lygtis, kurios formos ax 2 +bx=0. Norėdami tai išspręsti, turite iš skliaustų išimti x, tada kiekvieną koeficientą prilyginti 0.
x(-x+4)=0, x=0 ir x=4.

Paimkime keletą savavališkų taškų, esančių šalia viršūnės x=2
x 0 1 3 4
m 0 3 3 0
Lygtyje y \u003d -x 2 +4x pakeičiame vietoj x
y=0 2 +4*0=0
y=-(1)2 +4*1=-1+4=3
y=-(3) 2 +4*3=-9+13=3
y=-(4) 2 +4*4=-16+16=0
Iš funkcijos reikšmių matyti, kad parabolė yra simetriška tiesei x \u003d 2

3 pavyzdys
y = x 2 -4
c=4 reiškia, kad parabolė kerta OY taške x=0 y=4. Parabolės šakos žiūri aukštyn, nes a=1 1>0.
a=1 b=0 c=-4 x=(-b)/2a=0/(2*(1))=0 y=(0) 2 -4=-4 viršūnė yra taške (0;-4 )
Raskite lygties x 2 šaknis -4=0
Nebaigta kvadratinė lygtis, kurios formos ax 2 +c=0. Norėdami tai išspręsti, turite perkelti nežinomą į vieną pusę, o žinomą į kitą. x =±√(c/a)
x2=4
x1=2
x 2 \u003d -2

Paimkime kelis savavališkus taškus, esančius šalia viršaus x=0
x -2 -1 1 2
y 0 -3 -3 0
Lygtyje y \u003d x 2 -4 pakeičiame x vietoj
y = (-2) 2 -4 = 4-4 = 0
y=(-1) 2 -4=1-4=-3
y=1 2 -4=1-4=-3
y = 2 2 -4 = 4-4 = 0
Iš funkcijos reikšmių matyti, kad parabolė yra simetriška tiesei x=0

Prenumeruoti į kanalą YOUTUBE sekti visas naujienas ir kartu su mumis ruoštis egzaminams.