1. Bendroji plokštumos lygtis

Apibrėžimas. Plokštuma yra paviršius, kurio visi taškai atitinka bendrąją lygtį: Ax + By + Cz + D \u003d 0, kur A, B, C yra vektoriaus koordinatės

N \u003d Ai + Bj + Ck yra įprastas plokštumos vektorius. Galimi šie specialūs atvejai:

A \u003d 0 - plokštuma yra lygiagreti Ox ašiai

B \u003d 0 - plokštuma lygiagreti Oy ašiai C \u003d 0 - plokštuma lygiagreti Ozo ašiai

D \u003d 0 - plokštuma eina per pradą

A \u003d B \u003d 0 - plokštuma lygiagreti xOy plokštumai A \u003d C \u003d 0 - plokštuma lygiagreti xOz plokštumai B \u003d C \u003d 0 - plokštuma lygiagreti yOz plokštumai A \u003d D \u003d 0 - plokštuma eina per Ox ašį

B \u003d D \u003d 0 - plokštuma eina per Oy ašį C \u003d D \u003d 0 - plokštuma eina per Oz ašį

A \u003d B \u003d D \u003d 0 - plokštuma sutampa su xOy plokštuma A \u003d C \u003d D \u003d 0 - plokštuma sutampa su xOz plokštuma B \u003d C \u003d D \u003d 0 - plokštuma sutampa su yOz plokštuma

2. Paviršiaus lygtis erdvėje

Apibrėžimas. Bet kuri lygtis, jungianti bet kurio paviršiaus taško x, y, z koordinates, yra to paviršiaus lygtis.

3. Plokštumos, einančios per tris taškus, lygtis

Norint, kad per bet kuriuos tris erdvės taškus būtų nubrėžta viena plokštuma, būtina, kad šie taškai nebūtų vienoje tiesėje.

Apsvarstykite taškus М1 (x1, y1, z1), M2 (x2, y2, z2), M3 (x3, y3, z3) bendrojoje Dekarto sistemoje

koordinatės.
Norint gauti savavališką tašką M (x, y, z)	gulėjo toje pačioje plokštumoje su taškais
M 1, M 2, M 3, būtina, kad vektoriai M 1 M 2, M 1 M 3, M 1 M būtų lygiagrečiai, t.
M1 M \u003d (x - x1; y - y1; z - z1)
(M 1 M 2, M 1 M 3, M 1 M) \u003d 0. Taigi, M 1 M 2	\u003d (x 2 - x 1; y 2		- y 1; z 2 - z 1)
M1 M 3	\u003d (x 3 - x 1; y 3 - y 1; z 3 - z 1)
		x - x1	y - y1	z - z1
Per tris taškus einančios plokštumos lygtis:		x 2 - x 1	y 2 - y 1	z 2 - z 1
		x 3 - x 1	y 3 - y 1	z 3 - z 1

4. Plokštumos lygtis dviem taškais ir vektoriaus kolinearumas plokštumai

Tegul bus pateikti taškai M1 (x1, y1, z1), M2 (x2, y2, z2) ir vektorius a \u003d (a 1, a 2, a 3).

Sudarykime plokštumos, einančios per nurodytus taškus M1 ir M2, lygtį ir savavališką

taškas M (x, y, z) lygiagretus vektoriui a.
Vektoriai M1 M \u003d (x - x1; y - y1; z - z1)	ir vektorius a \u003d (a, a					privalo būti
M 1M 2 \u003d (x 2 - x 1; y 2 \u200b\u200b- y 1; z 2 - z 1)
			x - x1				y - y1	z - z1
koplanarinis, t.y. (M 1 M, M 1 M 2, a) \u003d 0 Lėktuvo lygtis:		x 2 - x 1					y 2 - y 1	z 2 - z 1

5. Plokštumos lygtis vienu tašku ir dviem vektoriais, kolineariais į plokštumą

Tebūna du vektoriai a \u003d (a 1, a 2, a 3) ir b \u003d (b 1, b 2, b 3), kolinearūs į plokštumą. Tada savavališkam taškui M (x, y, z), priklausančiam plokštumai, vektoriai a, b, MM 1 turi būti lygiagretūs.

6. Plokštumos lygtis tašku ir normaliuoju vektoriu

Teorema. Jei erdvėje yra taškas M 0 (x 0, y 0, z 0), tada plokštumos, einančios per tašką M 0, statmeną normaliajam vektoriui N (A, B, C), lygtis yra tokia: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C (z - z 0) \u003d 0.

7. Plokštumos lygtis segmentuose

Jei bendrojoje lygtyje Ax + By + Cz + D \u003d 0, padalykite abi puses iš (-D)

x -

y -

z - 1 \u003d 0, pakeičiant -

C, gauname plokštumos lygtį

segmentais:

vienas. Skaičiai a, b, c yra atitinkamai plokštumos susikirtimo taškai

su ašimis x, y, z.

8. Plokštumos lygtis vektorine forma

r n \u003d p, kur r \u003d xi + yj + zk yra dabartinio taško M spindulio vektorius (x, y, z),

n \u003d i cosα + j cos β + k cosγ yra vienetinis vektorius, kurio kryptis yra statmena,

nuleistas į lėktuvą nuo kilmės. α, β ir γ yra kampai, kuriuos suformuoja šis vektorius su x, y, z ašimis. p yra šio statmens ilgis. Koordinatėse ši lygtis yra tokia:

x cosα + y cos β + z cosγ - p \u003d 0

9. Atstumas nuo taško iki plokštumos

Atstumas nuo savavališko taško M 0 (x 0, y 0, z 0) iki plokštumos Ax + By + Cz + D \u003d 0 yra lygus:

d \u003d Ax0 + By0 + Cz0 + D

A2 + B2 + C 2

Pavyzdys. Raskite plokštumos, einančios per taškus A (2, -1,4) ir B (3,2, -1), statmeną plokštumai x + y + 2z - 3 \u003d 0, lygtį.

Pageidaujama plokštumos lygtis yra: Ax + By + Cz + D \u003d 0, normalus šios plokštumos vektorius yra n 1 (A, B, C). Vektorius AB (1,3, -5) priklauso plokštumai. Mums duotas lėktuvas,

statmena ieškomai turi normalų vektorių n 2 (1,1,2). Nes taškai A ir B priklauso abiem plokštumoms, o tada plokštumos yra viena kitai statmenos

n \u003d AB × n

− 5

- j

− 5

11 i - 7 j - 2 k.

− 5

Taigi normalusis vektorius n yra 1 (11, -7, -2). Nes taškas A priklauso norimai plokštumai, tada jo koordinatės turi patenkinti šios plokštumos lygtį, t.y.

11,2 + 7,1 - 2,4 + D \u003d 0; D \u003d - 21. Taigi gauname plokštumos lygtį: 11x - 7 y - 2z - 21 \u003d 0

10. Linijos lygtis erdvėje

Ir plokštumoje, ir erdvėje bet kurią tiesę galima apibrėžti kaip taškų rinkinį, kurio koordinatės tam tikroje erdvėje pasirinktoje koordinačių sistemoje atitinka lygtį:

F (x, y, z) \u003d 0. Ši lygtis vadinama tiesės erdvėje lygtimi.

Be to, liniją erdvėje galima apibrėžti skirtingai. Tai gali būti vertinama kaip dviejų paviršių, kurių kiekvieną pateikia kokia nors lygtis, susikirtimo linija.

Tegul F (x, y, z) \u003d 0 ir Ф (x, y, z) \u003d 0 yra paviršių, kertančių išilgai L, lygtys.

F (x, y, z) \u003d 0

Tada lygių pora Ф (x, y, z) \u003d 0 bus vadinama tiesės erdvėje lygtimi.

11. Tiesiosios linijos erdvėje išilgai taško ir krypties vektoriaus r 0 \u003d M 0 M. lygtis.

Nes vektoriai М 0 М ir S yra kolinearūs, tada teisingas santykis М 0 М \u003d \u200b\u200bSt, kur t yra tam tikras parametras. Iš viso galite parašyti: r \u003d r 0 + St.

Nes šią lygtį tenkina bet kurio tiesės taško koordinatės, tada gaunama lygtis yra parametrinė tiesės lygtis.

x \u003d x0 + mt

Ši vektoriaus lygtis gali būti pavaizduota koordinačių forma: y \u003d y 0 + nt

z \u003d z0 + pt

Transformuodami šią sistemą ir sulygindami parametro t reikšmes, gauname kanoninį

tiesės erdvėje lygtys:	x - x0		y - y0		z - z0

Apibrėžimas. Tiesios linijos krypties kosinusai yra vektoriaus S krypties kosinusai, kuriuos galima apskaičiuoti pagal formules:

	cosα \u003d			; cos β \u003d		; cosγ \u003d
					N 2 + p 2		m 2 + n 2 + p 2

Iš čia gauname: m: n: p \u003d cosα: cos β: cosγ.

Skaičiai m, n, p vadinami tiesės nuolydžiais. Nes S yra nulis nulis, tada m, n ir p tuo pačiu metu negali būti lygūs nuliui, tačiau vienas ar du iš šių skaičių gali būti lygūs nuliui. Šiuo atveju tiesios linijos lygtyje atitinkami skaitikliai turėtų būti prilyginti nuliui.

12. Tiesios linijos erdvėje, einančios per du taškus, lygtis

Jei tiesioje linijoje erdvėje pažymime du savavališkus taškus M 1 (x 1, y 1, z 1) ir

M 2 (x 2, y 2, z 2), tada šių taškų koordinatės turi atitikti aukščiau gautą tiesės lygtį:

x 2 - x 1		y 2 - y 1		z 2 - z 1

Jį galima nustatyti įvairiai (vienas taškas ir vektorius, du taškai ir vektorius, trys taškai ir kt.). Būtent tai turint omenyje, plokštumos lygtis gali būti įvairių formų. Be to, jei laikomasi tam tikrų sąlygų, plokštumos gali būti lygiagrečios, statmenos, susikertančios ir kt. Apie tai kalbėsime šiame straipsnyje. Sužinosime, kaip parengti bendrą plokštumos lygtį ir dar daugiau.

Normali lygties forma

Tarkime, yra tarpas R 3, turintis stačiakampę koordinačių sistemą XYZ. Apibrėžkime vektorių α, kuris bus paleistas iš pradinio taško O. Per vektoriaus α galą nubrėžkite plokštumą P, kuri bus statmena jai.

Mes pažymime ant savavališko taško Q \u003d (x, y, z). Pažymėkime taško Q spindulio vektorių raide p. Šiuo atveju vektoriaus α ilgis yra lygus p \u003d IαI ir Ʋ \u003d (cosα, cosβ, cosγ).

Tai yra vienetinis vektorius, nukreiptas į šoną, kaip ir vektorius α. α, β ir γ yra kampai, kurie susidaro tarp vektoriaus Ʋ ir erdvės ašių x, y, z teigiamų krypčių. Bet kurio taško QϵП projekcija į vektorių Ʋ yra pastovi reikšmė, lygi p: (p, Ʋ) \u003d p (p ≥0).

Pirmiau pateikta lygtis yra prasminga, kai p \u003d 0. Vienintelis dalykas yra tas, kad plokštuma P šiuo atveju kirs tašką O (α \u003d 0), kuris yra pradžia, o vieneto vektorius Ʋ, išleistas iš taško O, bus statmenas P, nepaisant jo krypties, o tai reiškia, kad vektorius Ʋ nustatomas tiksliai pagal ženklą. Ankstesnė lygtis yra mūsų plokštumos P lygtis, išreikšta vektoriaus pavidalu. Tačiau koordinatėmis tai atrodys taip:

P čia yra didesnis arba lygus 0. Mes radome plokštumos lygtį erdvėje normalia forma.

Bendroji lygtis

Jei lygtį koordinatėmis padauginsime iš bet kurio skaičiaus, kuris nėra lygus nuliui, gausime duotajai lygiavertę lygtį, apibrėžiančią tą pačią plokštumą. Tai atrodys taip:

Čia A, B, C yra skaičiai, kurie tuo pačiu metu yra nulis. Ši lygtis vadinama bendrąja plokštumos lygtimi.

Lėktuvų lygtys. Ypatingi atvejai

Bendrąją lygtį galima modifikuoti esant papildomoms sąlygoms. Apsvarstykime kai kuriuos iš jų.

Tarkime, kad koeficientas A yra lygus 0. Tai reiškia, kad ši plokštuma yra lygiagreti nurodytai ašiai Ox. Tokiu atveju lygties forma pasikeis: Vu + Cz + D \u003d 0.

Panašiai lygties forma pasikeis šiomis sąlygomis:

• Pirma, jei B \u003d 0, tada lygtis pasikeis į Ax + Cz + D \u003d 0, o tai parodys, kad ji yra lygiagreti Oy ašiai.
• Antra, jei C \u003d 0, tada lygtis transformuojama į Ax + Vy + D \u003d 0, kuris kalbės apie lygiagretumą duotai ašiai Oz.
• Trečia, jei D \u003d 0, lygtis atrodys Ax + Vy + Cz \u003d 0, o tai reiškia, kad plokštuma kerta O (pradžia).
• Ketvirta, jei A \u003d B \u003d 0, tada lygybė pasikeičia į Cz + D \u003d 0, o tai įrodys lygiagrečiai Oxy.
• Penkta, jei B \u003d C \u003d 0, tada lygtis tampa Ax + D \u003d 0, o tai reiškia, kad plokštuma į Oyz yra lygiagreti.
• Šešta, jei A \u003d C \u003d 0, tada lygtis įgaus Vy + D \u003d 0 formą, tai yra, ji praneš Oxellui lygiagretumą.

Lygties vaizdas segmentuose

Tuo atveju, kai skaičiai A, B, C, D skiriasi nuo nulio, (0) lygties forma gali būti tokia:

x / a + y / b + z / c \u003d 1,

kurioje a \u003d -D / A, b \u003d -D / B, c \u003d -D / C.

Galų gale verta atkreipti dėmesį į tai, kad ši plokštuma susikirs Ox ašį taške, kurio koordinatės (a, 0,0), Oy - (0, b, 0) ir Oz - (0,0, c) .

Atsižvelgiant į x / a + y / b + z / c \u003d 1 lygtį, lengva vizualiai pavaizduoti plokštumos vietą, palyginti su tam tikra koordinačių sistema.

Normalios vektorinės koordinatės

Normalus vektorius n iki plokštumos P turi koordinates, kurios yra šios plokštumos bendrosios lygties koeficientai, tai yra n (A, B, C).

Norint nustatyti normos n koordinates, pakanka žinoti bendrą duotosios plokštumos lygtį.

Naudojant lygtį segmentuose, kurios forma x / a + y / b + z / c \u003d 1, kaip ir bendrojoje lygtyje, galite užrašyti bet kurios normalios duotosios plokštumos vektoriaus koordinates: (1 / a + 1 / b + 1 / iš).

Reikėtų pažymėti, kad įprastas vektorius padeda išspręsti įvairias problemas. Dažniausiai pasitaikančios problemos yra plokštumų statmenumo ar lygiagretumo įrodymo problema, kampų tarp plokštumų arba kampų tarp plokštumų ir tiesių nustatymo problema.

Plokštumos lygties vaizdas pagal taško ir įprasto vektoriaus koordinates

Nulinis vektorius n, statmenas tam tikrai plokštumai, vadinamas normaliu (normaliu) tam tikrai plokštumai.

Tarkime, kad koordinačių erdvėje (stačiakampėje koordinačių sistemoje) pateikiami Oxyz:

• taškas Мₒ su koordinatėmis (xₒ, yₒ, zₒ);
• nulio vektorius n \u003d A * i + B * j + C * k.

Būtina parengti lygtį plokštumai, kuri eis per tašką Mₒ, statmeną normaliajam n.

Erdvėje pasirinkite bet kurį savavališką tašką ir pažymėkite jį M (x y, z). Tegul bet kurio taško M (x, y, z) spindulio vektorius yra r \u003d x * i + y * j + z * k, o taško Mₒ spindulio vektorius (xₒ, yₒ, zₒ) - rₒ \u003d xₒ * i + yₒ * j + zₒ * k. Taškas M priklausys tam tikrai plokštumai, jei vektorius МₒМ yra statmenas vektoriui n. Parašykime ortogonalumo sąlygą naudodami taškinį sandaugą:

[MM, n] \u003d 0.

Kadangi МₒМ \u003d r-rₒ, plokštumos vektorinė lygtis atrodys taip:

Ši lygtis gali turėti kitą formą. Tam naudojamos taškinio sandaugos savybės, o kairė lygties pusė transformuojama. \u003d -. Jei pažymėsime tai kaip c, gausime tokią lygtį: - c \u003d 0 arba \u003d c, kuri išreiškia projekcijų pastovumą tam tikrųjų taškų, priklausančių plokštumai, spindulių vektorių vektoriui.

Dabar galite gauti koordinačių formą, rašydami mūsų plokštumos vektoriaus lygtį \u003d 0. Kadangi r-rₒ \u003d (x-xₒ) * i + (y-yₒ) * j + (z-zₒ) * k, ir n \u003d A * i + B * j + C * k, mes turime:

Pasirodo, kad turime plokštumos, einančios per tašką, statmeną normaliajam n, lygtį:

A * (x- xₒ) + B * (y- yₒ) C * (z-zₒ) \u003d 0.

Plokštumos lygties forma pagal dviejų taškų koordinates ir vektorių, koliniarų į plokštumą

Nustatykime du savavališkus taškus M ′ (x ′, y ′, z ′) ir M ″ (x ″, y ″, z ″), taip pat vektorių a (a ′, a ″, a).

Dabar galėsime sudaryti duotosios plokštumos lygtį, kuri eis per esamus taškus M ′ ir M ″, taip pat bet kurį tašką M, kurio koordinatės (x, y, z) bus lygiagrečios duotam vektoriui a.

Be to, vektoriai M′M \u003d (x-x ′; y-y ′; zz ′) ir M ″ M \u003d (x ″ -x ′; y ″ -y ′; z ″ -z ′) turi būti lygiagretūs vektoriui a \u003d (a ′, a ″, a ‴), o tai reiškia, kad (M′M, M ″ M, a) \u003d 0.

Taigi, mūsų plokštumos erdvėje lygtis atrodys taip:

Trijų taškų susikertančios plokštumos lygties vaizdas

Tarkime, kad mes turime tris taškus: (x ′, y ′, z ′), (x ″, y ″, z ″), (x ‴, y ‴, z ‴), kurie nepriklauso tai pačiai tiesiai. Būtina užrašyti plokštumą, einančią per duotus tris taškus, lygtį. Geometrijos teorija teigia, kad tokio tipo plokštuma iš tikrųjų egzistuoja, tik ji yra vienintelė ir nepakartojama. Kadangi ši plokštuma kerta tašką (x ′, y ′, z ′), jo lygties forma bus tokia:

Čia A, B, C tuo pačiu metu yra nulis. Be to, duota plokštuma kerta dar du taškus: (x ″, y ″, z ″) ir (x ‴, y ‴, z ‴). Šiuo atžvilgiu turi būti laikomasi šių sąlygų:

Dabar galime sukurti vienalytę sistemą su nežinomaisiais u, v, w:

Mūsų atvejis x, y arba z yra savavališkas taškas, kuris tenkina (1) lygtį. Atsižvelgiant į (1) lygtį ir (2) bei (3) lygčių sistemą, aukščiau esančiame paveiksle nurodytą lygčių sistemą tenkina vektorius N (A, B, C), kuris nėra trivialus. Štai kodėl šios sistemos determinantas yra lygus nuliui.

(1) lygtis, kurią gavome, tai yra plokštumos lygtis. Jis tiksliai praeina 3 taškus ir jį lengva patikrinti. Norėdami tai padaryti, turime išplėsti savo determinantą elementais, esančiais pirmoje eilutėje. Iš esamų determinanto savybių išplaukia, kad mūsų plokštuma tuo pačiu metu kerta tris iš pradžių nurodytus taškus (x ′, y ′, z ′), (x ″, y ″, z ″), (x ‴, y ‴, z ‴) . Tai yra, mes išsprendėme mums iškeltą užduotį.

Dvikampis kampas tarp plokštumų

Dvikampis kampas yra erdvinis geometrinė formasuformuotos dviejų pusiau plokštumų, kilusių iš vienos tiesės. Kitaip tariant, tai yra erdvės dalis, kurią riboja šios pusiau plokštumos.

Tarkime, kad turime dvi plokštumas su šiomis lygtimis:

Mes žinome, kad vektoriai N \u003d (A, B, C) ir N1 \u003d (A¹, B¹, C¹) yra statmeni pagal pateiktas plokštumas. Šiuo atžvilgiu kampas φ tarp vektorių N ir N1 yra lygus kampui (dvikampiui), kuris yra tarp šių plokštumų. Skaliarinis produktas atrodo kaip:

NN¹ \u003d | N || N¹ | cosφ,

būtent todėl

cosφ \u003d NN¹ / | N || N¹ | \u003d (AA¹ + BB¹ + CC¹) / ((√ (A² + B² + C2)) * (√ (A¹) ² + (B¹) ² + (C¹) ²)).

Pakanka atsižvelgti į tai, kad 0≤φ≤π.

Tiesą sakant, dvi susikertančios plokštumos sudaro du kampus (dvikampius): φ 1 ir φ 2. Jų suma lygi π (φ 1 + φ 2 \u003d π). Kalbant apie jų kosinusus, jų absoliučios vertės yra lygios, tačiau jos skiriasi ženklais, tai yra, cos φ 1 \u003d -cos φ 2. Jei (0) lygtyje A, B ir C pakeisime atitinkamai skaičiais -A, -B ir -C, tai gautoji lygtis nustatys tą pačią plokštumą, vienintelį kampą φ lygtyje cos φ \u003d NN 1 / | N || N 1 | pakeis π-φ.

Statmenos plokštumos lygtis

Statmenos plokštumos yra plokštumos, tarp kurių kampas yra 90 laipsnių. Naudodamiesi aukščiau aprašyta medžiaga, galime rasti plokštumos, statmenos kitai, lygtį. Tarkime, kad mes turime dvi plokštumas: Ax + By + Cz + D \u003d 0 ir A¹x + B¹y + C¹z + D \u003d 0. Galime teigti, kad jie bus statmeni, jei cosφ \u003d 0. Tai reiškia, kad NN¹ \u003d AA¹ + BB¹ + CC¹ \u003d 0.

Lygiagrečios plokštumos lygtis

Lygiagrečios yra dvi plokštumos, kuriose nėra bendrų taškų.

Sąlyga (jų lygtys sutampa su ankstesnėje pastraipoje) yra ta, kad joms statmeni vektoriai N ir N1 yra kolinearūs. Tai reiškia, kad tenkinamos šios proporcingumo sąlygos:

A / A¹ \u003d B / B¹ \u003d C / C1.

Jei proporcingumo sąlygos yra išplėstos - A / A¹ \u003d B / B¹ \u003d C / C¹ \u003d DD¹,

tai rodo, kad šios plokštumos sutampa. Tai reiškia, kad lygtys Ax + By + Cz + D \u003d 0 ir A1x + B¹y + C1z + D¹ \u003d 0 apibūdina vieną plokštumą.

Atstumas iki plokštumos nuo taško

Tarkime, kad turime plokštumą P, kurią pateikia lygybė (0). Būtina rasti atstumą iki jo nuo taško su koordinatėmis (xₒ, yₒ, zₒ) \u003d Qₒ. Norėdami tai padaryti, turite pateikti plokštumos P lygtį į įprastą formą:

(p, v) \u003d p (p ≥0).

Šiuo atveju ρ (x, y, z) yra mūsų taško Q spindulio vektorius, esantis P, p yra statmenojo P ilgis, kuris buvo paleistas iš nulio taško, v yra vieneto vektorius, kuris yra esančios a kryptimi.

Tam tikro taško Q \u003d (x, y, z), priklausančio P, spindulio vektoriaus ρ-ρº skirtumas, taip pat tam tikro taško spindulio vektorius Q 0 \u003d (xₒ, yₒ, zₒ) yra toks vektorius , absoliučioji vertė kurio projekcija į v yra lygi atstumui d, kurį reikia rasti nuo Q 0 \u003d (xₒ, yₒ, zₒ) iki П:

D \u003d | (ρ-ρ 0, v) |, bet

(ρ-ρ 0, v) \u003d (ρ, v) - (ρ 0, v) \u003d p- (ρ 0, v).

Taigi pasirodo

d \u003d | (ρ 0, v) -p |.

Taigi rasime absoliučią gautos išraiškos vertę, tai yra norimą d.

Naudodami parametrų kalbą, gauname akivaizdų dalyką:

d \u003d | Axₒ + Byₒ + Czₒ | / √ (A² + B² + C²).

Jeigu nustatytas taškas Q 0 yra kitoje plokštumos P pusėje, taip pat koordinačių pradžia, tada tarp vektoriaus ρ-ρ 0 ir v yra:

d \u003d - (ρ-ρ 0, v) \u003d (ρ 0, v) -p\u003e 0.

Tuo atveju, kai taškas Q 0 kartu su koordinačių pradžia yra toje pačioje P pusėje, sukurtas kampas yra aštrus, ty:

d \u003d (ρ-ρ 0, v) \u003d p - (ρ 0, v)\u003e 0.

Dėl to paaiškėja, kad pirmuoju atveju (ρ 0, v)\u003e p, antruoju (ρ 0, v)<р.

Liečiamoji plokštuma ir jos lygtis

Liečiamoji paviršiaus paviršius liesties taške Mº yra plokštuma, kurioje yra visos įmanomos kreivių, nubrėžtų per šį paviršiaus tašką, liestinės.

Naudojant šią paviršiaus F (x, y, z) \u003d 0 lygties formą, liestinės plokštumos lygtis liestinės taške Mº (xº, yº, zº) atrodys taip:

F x (xº, yº, zº) (x-xº) + F x (xº, yº, zº) (y-yº) + F x (xº, yº, zº) (z-zº) \u003d 0.

Jei paviršių nustatysime aiškia forma z \u003d f (x, y), tada liestinės plokštuma bus apibūdinta lygtimi:

z-zº \u003d f (xº, yº) (x- xº) + f (xº, yº) (y-yº).

Dviejų plokštumų sankirta

Koordinačių sistemoje (stačiakampėje) yra Oxyz, nurodytos dvi plokštumos P ′ ir P ″, kurios susikerta ir nesutampa. Kadangi bet kuri stačiakampio koordinačių sistemos plokštuma nustatoma pagal bendrą lygtį, mes manysime, kad P ′ ir P ′ pateikiami lygtimis Ax + B′y + C′z + D ′ \u003d 0 ir A ″ x + B ″ y + C „z + D“ \u003d 0. Šiuo atveju mes turime P 'plokštumos normalųjį n ′ (A ′, B ′, C ′) ir P ″ plokštumos normalųjį n ″ (A ″, B ″, C ″). Kadangi mūsų plokštumos nėra lygiagrečios ir nesutampa, šie vektoriai nėra kolinearūs. Naudodamiesi matematikos kalba, šią sąlygą galime užrašyti taip: n ′ ≠ n ″ ↔ (A ′, B ′, C ′) ≠ (λ * A ″, λ * B ″, λ * C ″), λϵR. Tegul tiesi linija, esanti P ′ ir P ″ sankirtoje, bus pažymėta raide a, šiuo atveju a \u003d P ′ ∩ P ″.

a yra tiesė, susidedanti iš visų (bendrųjų) plokštumų P 'ir P' taškų rinkinio. Tai reiškia, kad bet kurio tiesei a priklausančio taško koordinatės turi vienu metu tenkinti lygtis A'x + B'y + C'z + D '\u003d 0 ir A ″ x + B ″ y + C ″ z + D ″ \u003d 0. Tai reiškia, kad taško koordinatės bus konkretus šios lygčių sistemos sprendimas:

Dėl to paaiškėja, kad šios lygčių sistemos (bendrasis) sprendimas nulems kiekvieno tiesės taško, kuris veiks kaip P 'ir P' susikirtimo taškas, koordinates ir nustatys tiesę linija a Oxyz koordinačių sistemoje (stačiakampė) erdvėje.

Apsvarstykite plokštumą Q erdvėje. Jos padėtis yra visiškai nustatyta nurodant vektorių N, statmeną šiai plokštumai, ir tam tikrą fiksuotą tašką, esantį plokštumoje Q. Vektorius N, statmenas plokštumai Q, vadinamas normaliu šios plokštumos vektoriu. Jei A, B ir C žymėsime įprasto vektoriaus N projekcijas, tada

Išveskime plokštumos Q, einančios per tam tikrą tašką ir turinčios duotą normalųjį vektorių, lygtį. Norėdami tai padaryti, apsvarstykite vektorių, jungiantį tašką su savavališku tašku Q plokštumoje (81 pav.).

Bet kurioje taško M padėtyje plokštumoje Q MXM vektorius yra statmenas plokštumos Q normaliajam vektoriui N. Todėl skaliarinis sandaugis Skaliarinį sandaugą užrašykime per projekcijas. Kadangi ir yra vektorius, tada

ir todėl

Mes parodėme, kad bet kurio Q plokštumos taško koordinatės tenkina ekvivalentą (4). Nesunku pastebėti, kad taškų, negulėjusių plokštumoje Q, koordinatės šios lygties netenkina (pastaruoju atveju). Todėl mes gavome norimą plokštumos Q lygtį. (4) lygtis vadinama plokštumos, einančios per šį tašką, lygtimi. Tai pirmasis laipsnis, palyginti su dabartinėmis koordinatėmis

Taigi, mes parodėme, kad bet kuri plokštuma atitinka pirmojo laipsnio lygtį, palyginti su dabartinėmis koordinatėmis.

1 pavyzdys. Parašykite plokštumos, einančios per tašką, statmeną vektoriui, lygtį.

Sprendimas. Čia. Remdamiesi (4) formule, gauname

arba, supaprastinus,

Suteikus skirtingas (4) lygties koeficientų А, В ir С vertes, galime gauti bet kurios plokštumos, einančios per tašką, lygtį. Lėktuvų rinkinys, einantis per tam tikrą tašką, vadinamas lėktuvų ryšuliu. (4) lygtis, kurioje koeficientai A, B ir C gali gauti bet kokias reikšmes, vadinama plokštumų pluošto lygtimi.

2 pavyzdys. Padarykite plokštumos, einančios per tris taškus, lygtį (82 pav.).

Sprendimas. Parašykime tašką einančių lėktuvų ryšulio lygtį

Plokštės padėtis erdvėje bus visiškai nustatyta, jei nustatysime jos atstumą nuo pradžios O, tai yra statmenojo OT ilgį, nuleistą iš taško O į plokštumą, ir vieneto vektorių Nr., Statmeną plokštumai ir nukreiptas nuo pradžios O į plokštumą (110 pav.).

Kai taškas M juda išilgai plokštumos, tada jo spindulio vektorius keičiasi taip, kad jį visada suriša kokia nors sąlyga. Pažiūrėkime, kokia yra ši sąlyga. Akivaizdu, kad bet kuriame lėktuvo taške turime:

Ši sąlyga galioja tik taškams plokštumoje; jis pažeidžiamas, jei taškas M yra už plokštumos ribų. Taigi lygybė (1) išreiškia savybę, būdingą visiems plokštumos taškams ir tik jiems. Pagal § 7 Ch. 11 mes turime:

ir todėl (1) lygtį galima perrašyti taip:

(D) lygtis išreiškia sąlygą, pagal kurią taškas) yra tam tikroje plokštumoje, ir vadinama šios plokštumos normalia lygtimi. Savavališko plokštumos taško M spindulio vektorius vadinamas srovės spindulio vektoriu.

Plokštumos (1) lygtis parašyta vektorine forma. Pereinant prie koordinačių ir dedant koordinačių pradžią į vektorių pradžią - tašką O, pažymime, kad vieneto vektoriaus projekcijos koordinačių ašyse yra kampų, kuriuos sudaro ašys su šiuo vektoriu, kosinusai, o taško M spindulio vektoriaus projekcijos

taško koordinatės tarnauja, tai yra, mes turime:

(D) lygtis virsta koordinatėmis:

Verčiant plokštumos vektorių lygtį (Γ) į koordinačių lygtį (2), mes naudojome formulę (15), § 9, Ch. 11, taškinį sandaugą išreiškiant vektorinėmis projekcijomis. (2) lygybė išreiškia sąlygą, kai taškas M (x, y, z) yra tam tikroje plokštumoje ir vadinamas normalia šios plokštumos lygtimi koordinačių pavidalu. Gauta lygtis (2) yra pirmojo laipsnio, ty bet kuri plokštuma gali būti pavaizduota pirmo laipsnio lygtimi dabartinių koordinačių atžvilgiu.

Atkreipkite dėmesį, kad išvestinės lygtys (1 ") ir (2) lieka galioti net tada, kai, t.y., duota plokštuma eina per pradinę padėtį. Šiuo atveju bet kuris iš dviejų vieneto vektorių yra statmenas plokštumai ir skiriasi viena nuo kitos.

Pakomentuokite. Normali plokštumos (2) lygtis gali būti išvesta nenaudojant vektoriaus metodo.

Paimkite savavališką plokštumą ir nubrėžkite tiesią liniją I per statmenų jai koordinačių pradžią. Šioje tiesėje nustatykite teigiamą kryptį nuo pradžios iki plokštumos (jei pasirinkta plokštuma praėjo per pradinę padėtį, tada bet kuri tiesios linijos kryptis galėtų būti būti imtasi).

Šios plokštumos padėtį erdvėje visiškai lemia jos atstumas nuo koordinačių pradžios, tai yra pagal l ašies atkarpos ilgį nuo pradžios iki susikirtimo su plokštuma taško (111 pav. - segmentas ) ir kampai tarp ašies ir koordinačių ašių. Kai taškas juda išilgai plokštumos su koordinatėmis, jo koordinatės keičiasi taip, kad jas visą laiką jungia kokia nors sąlyga. Pažiūrėkime, kokia yra ši sąlyga.

Sukonstruokime Fig. 111 savavališko plokštumos taško M koordinatinė linijinė OPSM. Paimkite šios nutrūkusios linijos projekciją į l ašį. Pastebėję, kad lūžusios linijos projekcija yra lygi jos uždarymo segmento projekcijai (I skyriaus 3 dalis), turėsime.

24. Matricos stulpelių tiesinė priklausomybė. Savybės Matricos eilučių (stulpelių) tiesinė priklausomybė ir nepriklausomumas

Tiesiškai priklausomų ir tiesiškai nepriklausomų matricos stulpelių savybės

25. Pagrindinis nepilnametis. Pagrindinė mažoji teorema. Reitingo teorema.

26. Tiesinių lygčių sistemos. Kroneckerio ir Capelli teorema apie sistemų suderinamumą.

27. Homogeninės tiesinių lygčių sistemos. Jų sprendimų savybės. Bendras asilo sprendimas.

28. Pagrindinė asilų sprendimo sistema

29. Nehomogeninės tiesinių lygčių sistemos. Jų sprendimų savybės. Nslu bendro sprendimo konstravimas.

30. Tiesinės erdvės. Apibrėžimas. Pavyzdžiai, aksiomų pasekmės.

31. Tiesinės erdvės vektorių tiesinė priklausomybė. Savybės

32. Tiesinės erdvės pagrindas. Matmenys

33. Vektorių išsiplėtimo pagrinde unikalumas. Koordinatės. Veiksmai vektoriais koordinatės pavidalu.

34. Vektoriaus koordinačių keitimas pereinant prie naujo pagrindo. Perėjimo matrica.

35. Euklido erdvė. Apibrėžimas, pavyzdžiai. Vektorinis modulis. Kampas tarp vektorių. Cauchy-Bunyakovsky nelygybė.

36. Linijinis operatorius. Tiesinė operatoriaus matrica. Linijinio operatoriaus matricos keitimas pereinant prie naujo pagrindo.

37. Linijinio operatoriaus vaizdas ir branduolys. Linijinio operatoriaus rangas.

38 atskirame faile.

39. Tiesinio operatoriaus savieji vektoriai ir savinės vertės. Jų savybės

40. Nuoseklumas. Eilės riba. Apribotos, neribotos, begalinės ir be galo didelės sekos. Apibrėžimas

[Redaguoti] Pavyzdžiai

[Redaguoti] Operacijos su sekomis

[Redaguoti] Pasekmės

[Redaguoti] Pavyzdžiai

[Redaguoti] Ypatybės

[Redaguoti] Eigos pabaigos taškas

[Redaguoti] Eilės riba

[Redaguoti] Kai kurios sekos rūšys

[Redaguoti] Ribotos ir neribotos sekos

[Redaguoti] Skaitinės sekos ribotumo kriterijus

[Redaguoti] Riboto sekos ypatybės

[Redaguoti] Be galo didelės ir be galo mažos sekos

[Redaguoti] Begalybės mažų sekų ypatybės

[Redaguoti] Susiliejančios ir besiskiriančios sekos

[Redaguoti] Konverguojančių sekų ypatybės

41. Funkcijos samprata. Funkcijos nustatymo metodai.

42. Funkcijos riba taške, begalybėje. Geometrinis aiškinimas. Apibrėžimai ir pavyzdžiai.

43. Ribinės teoremos:

44. Nepertraukiamos funkcijos ir jų savybės:

Ypatybės Vietinis

Visuotinis

Ženklų išsaugojimo teorema nenutrūkstamai funkcijai

Įrodymai

45. Pirmoji pastebima riba. Pasekmės. Apribokite sumos, sandaugos ir koeficiento teoremą.

46. \u200b\u200bRibotos funkcijos ir jų savybės. Būtina sąlyga tam, kad egzistuotų funkcijos riba taške.

47. Begalinės mažiausios funkcijos, jų savybės. Lemmos

Lemmos ant begalinio mažo

48. Funkcijos ribos egzistavimo taške kriterijus.

49. Be galo didelės funkcijos, ryšys su be galo mažomis funkcijomis.

50. Neaiškumų atskleidimas. Antra nuostabi riba.

51. Lygiavertės begalinio dydžio funkcijos. Lygiaverčių begalinių funkcijų lentelė.

52. Teorema apie lygiaverčio begalinio skaičiaus taikymą skaičiuojant ribas.

3.2. Begalinės mažumos ekvivalentiškumo pagrindinės formulės.

53. Vienpusės funkcijos ribos taške. Vienpusis funkcijos tęstinumas taške.

54. Funkcijos lūžio taškai ir jų klasifikacija.

55. Funkcijų, kurios yra tęstinės segmente, savybės.

56. Uždaviniai, vedantys išvestinės sąvoką. Išvestinė sąvoka. Išvestinės geometrinė ir fizinė prasmė.

1.1 Problemos, vedančios išvestinės sąvoką

, Jeigu.

57. Funkcijos skirtingumas. Funkcijos skirtingumo taške kriterijus.

57. Funkcijos skirtingumas. Funkcijos skirtingumo taške kriterijus.

58. Sudėtingos funkcijos išvestinė.

59. Diferencinė funkcija. Pirmojo diferencialo žymėjimo nekintamumas.

60. Atvirkštinė funkcija ir jos išvestinė.

60. Atvirkštinė funkcija ir jos išvestinė.

61. Diferenciacijos taisyklės.

63. Logaritminė diferenciacija. Eksponentinės funkcijos išvestinė.

5.4. Eksponentinės funkcijos išvestinė

64. Žr. Atskirą bylą.

65. Vidutinės teoremos - Fermat, Rolle.

66. Vidutinės teoremos - Lagrange'as, Cauchy.

67. Aukštesnių užsakymų skirtumai. Notacijos formos neinvariacija.

68. „L'Hôpital“ taisyklė. Neaiškumų atskleidimas naudojant „L'Hôpital“ taisyklę.

69. Taylor formulė. Funkcijos išplėtimas pagal Tayloro formulę.

70. Funkcijos monotoniškumas. Monotoniškumo sąlygos.

71. Funkcijos kraštutinumai. Būtina ekstremumo egzistavimo sąlyga.

72. Pakankamos sąlygos ekstremumui.

73. Funkcijos grafiko išgaubimas ir įgaubimas. Linkimo taškai.

74. Grafo asimptotai.

[Redaguoti] Grafinių asimptotų tipai [redaguoti] Vertikalus

[Redaguoti] Horizontalus

[Redaguoti] Įstrižas

[Redaguoti] Asimptotų paieška

76. Kintamųjų keitimo neapibrėžtame integrale metodas.

77. Dalių integravimas į neapibrėžtą integralą. Funkcijų, kurias galima integruoti dalimis, klasės.

78. Racionaliosios trupmenos. Racionaliųjų trupmenų skaidymas į elementariųjų trupmenų sumą.

79. Paprasčiausių racionaliųjų trupmenų integravimas.

80. Trigonometrinių funkcijų integravimas.

81. Formos iracionalumo integravimas ...

82. Tokio iracionalumo integravimas ...

83. Tikrojo integralo samprata, jo geometrinė reikšmė ir savybės. Vidutinė teorema.

84. Integralus su kintama viršutine riba. Niutono-Leibnizo formulė.

85. Poliarinė koordinačių sistema. Kreivių lygtys poliarinių koordinačių sistemoje.

Kreivių lygtis polinėmis koordinatėmis

Apskritimas

Poliarinė rožė

Archimedo spiralė

Kūginiai pjūviai

86. Tikrojo integralo apskaičiavimas. Jo taikymas apskaičiuojant plokščių figūrų plotus, kreivės lanko ilgį.

87. Kūnų, revoliucijos kūnų tūrių skaičiavimas.

88. Neabejotino integralo taikymas fizikos problemoms spręsti.

89. Netinkami pirmosios rūšies integralai.

89. Netinkami pirmosios rūšies integralai.

Netinkami pirmosios rūšies integralai

Netinkamo pirmosios rūšies integralo geometrinė reikšmė

Pavyzdžiai

90. Netinkami antrosios rūšies integralai.

Geometrinė netinkamų antrosios rūšies integralų reikšmė

Normali plokštumos lygtis.

Vadinama bendroji vaizdo plokštumos lygtis normali plokštumos lygtisjei vektoriaus ilgis yra lygus vienam, tai yra, ir.

Dažnai galima pastebėti, kad įprasta plokštumos lygtis parašyta forma. Čia yra tam tikros vieneto ilgio plokštumos įprasto vektoriaus krypties kosinusai, tai yra ir p - ne neigiamas skaičius, lygus atstumui nuo pradžios iki plokštumos.

Normali plokštumos lygtis stačiakampėje koordinačių sistemoje Oxyz apibrėžia plokštumą, kuri yra nutolusi nuo kilmės p teigiama šios plokštumos įprasto vektoriaus kryptimi ... Jeigu p \u003d 0, tada plokštuma eina per pradinę vietą.

Pateiksime normalios plokštumos lygties pavyzdį.

Tegul plokštuma pateikiama stačiakampio formos koordinačių sistemoje Oxyz bendros formos plokštumos lygtis ... Ši bendra plokštumos lygtis yra normali plokštumos lygtis. Iš tiesų, normalus šios plokštumos vektorius ilgis yra lygus vienam, nes .

Lėktuvo lygtis įprastame vaizde leidžia rasti atstumą nuo taško iki plokštumos.

Atstumas nuo taško iki plokštumos.

Atstumas nuo taško iki plokštumos yra mažiausias atstumas tarp to taško ir taškų plokštumoje. Tai žinoma atstumas nuo taško iki plokštumos yra lygus statmens ilgiui, nukritusiam nuo šio taško iki plokštumos.

Jei kilmė yra priešingose \u200b\u200bplokštumos pusėse, priešingu atveju. Atstumas nuo taško iki plokštumos yra

Abipusis lėktuvų išdėstymas. Plokščių lygiagretumo ir statmenumo sąlygos.

Atstumas tarp lygiagrečių plokštumų

Susijusios sąvokos

Lėktuvai yra lygiagretūs , jeigu

arba (Vektorinis produktas)

Lėktuvai yra statmeni, jeigu

Arba ... („Scalar“ produktas)

Tiesiai erdvėje. Skirtingi tiesių lygčių tipai.

Tiesios linijos erdvėje lygtys - pradinė informacija.

Tiesios plokštumos lygties lygtis Oxy yra tiesinė dviejų kintamųjų lygtis x ir y, kurį tenkina bet kurio tiesės taško koordinatės ir netenkina kitų taškų koordinatės. Esant tiesiai trimatėje erdvėje, situacija yra šiek tiek kitokia - trijose kintamosiose nėra tiesinės lygties x, y ir z, kurį tenkintų tik stačiakampio koordinačių sistemoje pateiktos tiesios linijos taškų koordinatės Oxyz... Iš tiesų, formos lygtis, kur x, y ir z - kintamieji ir A, B, C ir D - kai kuriuos realius skaičius ir IR, IN ir NUO nėra tuo pačiu metu lygūs nuliui, yra bendroji plokštumos lygtis... Tada kyla klausimas: "Kaip stačiakampę koordinačių sistemą galima apibūdinti tiesia linija Oxyz»?

Atsakymas į jį pateikiamas tolesnėse straipsnio dalyse.

Tiesiosios erdvės lygtys erdvėje yra dviejų susikertančių plokštumų lygtys.

Prisiminkime vieną aksiomą: jei dvi erdvės plokštumos turi bendrą tašką, vadinasi, jos turi bendrą tiesę, kurioje yra visi bendri šių plokštumų taškai. Taigi tiesią liniją erdvėje galima nurodyti nurodant dvi plokštumas, kurios susikerta palei šią tiesę.

Išverskime paskutinį teiginį į algebros kalbą.

Tegul stačiakampė koordinačių sistema fiksuojama trimatėje erdvėje Oxyz ir yra žinoma, kad tiesi linija a yra dviejų plokštumų susikirtimo linija ir atitinkamai atitinkančios bendrąsias vaizdo plokštumos lygtis. Kadangi tiesiai a yra visų bendrų plokštumų taškų rinkinys ir tada bet kurio tiesios a taško koordinatės vienu metu tenkins lygtį ir lygtį, jokių kitų taškų koordinatės vienu metu netenkins abiejų plokštumų lygčių. Todėl bet kurios tiesios linijos taško koordinatės a stačiakampėje koordinačių sistemoje Oxyz atstovauti konkretus tiesinių lygčių sistemos sprendimas malonus , ir bendras lygčių sistemos sprendimas apibrėžia kiekvieno tiesės taško koordinates a, tai yra, apibrėžia tiesę a.

Taigi, tiesi linija erdvėje stačiakampio formos koordinačių sistemoje Oxyz galima pateikti dviejų susikertančių plokštumų lygčių sistema .

Čia yra tiesios linijos apibrėžimo erdvėje pavyzdys, naudojant dviejų lygčių sistemą - .

Labai tinka apibūdinti tiesę dviejų susikertančių plokštumų lygtimis tiesios linijos ir plokštumos susikirtimo taško koordinačių radimasir taip pat už radus dviejų tiesių susikirtimo taško koordinates erdvėje.

Mes rekomenduojame tęsti šios temos tyrimą, remdamiesi straipsniu tiesės erdvėje lygtys - dviejų susikertančių plokštumų lygtys... Čia pateikiama išsamesnė informacija, išsamiai analizuojami tipiškų pavyzdžių ir problemų sprendimai, taip pat parodomas būdas pereiti prie tiesiosios linijos lygčių kitokio pobūdžio erdvėje.

Reikėtų pažymėti, kad yra įvairių būdai apibrėžti tiesę erdvėje, o praktiškai tiesė dažnai nurodoma ne dviem susikertančiomis plokštumomis, o tiesios linijos krypties vektoriu ir tašku, esančiu šioje tiesėje. Tokiais atvejais lengviau gauti kanonines ir parametrines tiesės linijos lygtis erdvėje. Apie juos kalbėsime kitose pastraipose.

Parametrinės tiesės linijos erdvėje lygtys.

Parametrinės tiesės linijos erdvėje lygtys turi formą ,

kur x 1 ,y 1 ir z 1 - tam tikros tiesės taško koordinatės, a x , a y ir a z (a x , a y ir a z nėra lygūs nuliui) - atitinkamas tiesės krypties vektoriaus koordinatėsir - kažkoks parametras, kuris gali turėti bet kokias galiojančias reikšmes.

Bet kuriai parametro reikšmei, naudodami tiesinės linijos erdvėje parametrines lygtis, galime apskaičiuoti skaičių trigubą,

jis atitiks kokį nors tiesės tašką (taigi ir tokio tipo tiesės lygčių pavadinimas). Pavyzdžiui, už

iš tiesės erdvėje parametrinių lygčių gauname koordinates x 1 , y 1 ir z 1 : .

Pavyzdžiui, apsvarstykite tiesę, kurią apibrėžia parametrinės formos lygtys ... Ši linija eina per tašką, o šios tiesės krypties vektorius turi koordinates.

Mes rekomenduojame toliau nagrinėti temą, remdamiesi straipsnio medžiaga parametrinės tiesės linijos erdvėje lygtys... Tai parodo tiesinės linijos parametrinių lygčių išvedimą erdvėje, išardo tam tikrus tiesinės linijos parametrinių lygčių atvejus erdvėje, pateikia grafines iliustracijas, pateikia išsamius tipinių problemų sprendimus ir nurodo tiesinės linijos parametrinių lygčių ryšį su kitų tipų tiesės lygtimis.

Kanoninės tiesės erdvėje lygtys.

Kiekvienos tiesinės linijos parametrinių lygčių sprendimas palyginti su parametru, lengva pereiti kanoninės tiesės erdvėje lygtys malonus .

Kanoninės tiesės erdvėje lygtys apibrėžia tiesę, einančią per tašką , o tiesiosios krypties vektorius yra vektorius ... Pavyzdžiui, tiesinės linijos lygtys kanonine forma atitinka tiesę, einančią per erdvės tašką su koordinatėmis, šios tiesės krypties vektorius turi koordinates.

Reikėtų pažymėti, kad vienas ar du tiesiosios linijos kanoninių lygčių skaičiai gali būti lygūs nuliui (visi trys skaičiai negali būti lygūs nuliui tuo pačiu metu, nes tiesiosios tiesės vektorius negali būti lygus nuliui). Tada formos įrašas yra laikoma formalia (nes vienos ar dviejų trupmenų vardikliuose bus nuliai) ir turėtų būti suprantama kaip kur.

Jei vienas iš kanoninių tiesės lygčių skaičių yra lygus nuliui, tai tiesė yra vienoje iš koordinačių plokštumų arba lygiagrečioje plokštumoje. Jei du iš skaičių yra nulis, tai tiesė arba sutampa su viena iš koordinačių ašių, arba yra lygiagreti jai. Pvz., Tiesė, atitinkanti kanonines tiesės linijos formos erdvėje lygtis , guli lėktuve z \u003d -2kuri yra lygiagreti koordinatės plokštumai Oxyir koordinačių ašis Oy apibrėžiamas kanoninėmis lygtimis.

Grafinėms šių atvejų iliustracijoms - kanoninių tiesės erdvėje lygčių išvedimas, detalūs tipinių pavyzdžių ir uždavinių sprendimai, taip pat perėjimas nuo tiesinės linijos kanoninių lygčių prie kitų tiesės erdvėje lygčių, žr. straipsnį kanoninės tiesės erdvėje lygtys.

Bendroji tiesės lygtis. Perėjimas nuo bendrosios prie kanoninės lygties.

"