Bangų trukdžiai. Stovinčios bangos lygtis. Elastinės bangos. stovinčios bangos. bangos lygtis. Matematinė lygtis plokštumoms ir sferinėms bangoms apibūdinti. Bangos vektorius Panašiai iš sąlygos randamos mazgų koordinatės
Jei terpėje vienu metu sklinda kelios bangos, tai terpės dalelių svyravimai pasirodo kaip geometrinė svyravimų suma, kurią dalelės padarytų sklindant kiekvienai iš bangų atskirai. Vadinasi, bangos tiesiog persidengia viena kitai netrukdydami. Šis teiginys vadinamas bangų superpozicijos (superpozicijos) principu.
Tuo atveju, kai atskirų bangų sukelti svyravimai kiekviename terpės taške turi pastovų fazių skirtumą, bangos vadinamos koherentinėmis. (Tikslesnis koherencijos apibrėžimas bus pateiktas § 120.) Sudėjus koherentines bangas, atsiranda interferencijos reiškinys, kuris susideda iš to, kad kai kuriuose taškuose svyravimai sustiprėja, o kituose – susilpnina vienas kitą.
Labai svarbus trukdžių atvejis pastebimas, kai dedamos dvi tos pačios amplitudės priešingai sklindančios plokštumos bangos. Atsiradęs virpesių procesas vadinamas stovinčia banga. Praktiškai stovinčios bangos kyla, kai bangos atsispindi nuo kliūčių. Ant užtvaros krintanti banga ir jos link einanti atsispindėjusi banga viena ant kitos duoda stovinčią bangą.
Parašykime dviejų plokštuminių bangų, sklindančių išilgai x ašies priešingomis kryptimis, lygtis:
Sudėjus šias lygtis ir transformuojant rezultatą naudojant kosinusų sumos formulę, gauname
Lygtis (99.1) yra stovinčios bangos lygtis. Norėdami supaprastinti, pradinę vietą parenkame taip, kad skirtumas , taptų lygus nuliui, o pradžia - kad suma būtų lygi nuliui Be to, bangos skaičių k pakeičiame jo reikšme
Tada (99.1) lygtis įgauna formą
Iš (99.2) matyti, kad kiekviename stovinčios bangos taške vyksta tokio pat dažnio virpesiai kaip ir priešpriešinėse bangose, o amplitudė priklauso nuo x:
virpesių amplitudė pasiekia didžiausią reikšmę. Šie taškai vadinami stovinčios bangos antimazgais. Iš (99.3) gaunamos antinodo koordinačių reikšmės:
Reikėtų nepamiršti, kad antimazgas yra ne vienas taškas, o plokštuma, kurios taškai turi x koordinačių reikšmes, nustatytas pagal (99.4) formulę.
Taškuose, kurių koordinatės tenkina sąlygą
svyravimų amplitudė išnyksta. Šie taškai vadinami stovinčios bangos mazgais. Mazguose esantys terpės taškai nesvyruoja. Mazgo koordinatės yra svarbios
Mazgas, kaip ir antimazgas, yra ne vienas taškas, o plokštuma, kurios taškai turi x koordinačių reikšmes, nustatytas pagal (99.5) formulę.
Iš (99.4) ir (99.5) formulių išplaukia, kad atstumas tarp gretimų antimazgų, taip pat atstumas tarp gretimų mazgų yra lygus . Antimazgai ir mazgai pasislenka vienas kito atžvilgiu ketvirtadaliu bangos ilgio.
Dar kartą pereikime prie (99.2) lygties. Pereidamas per nulį, daugiklis keičia ženklą. Atsižvelgiant į tai, priešingose mazgo pusėse esančių virpesių fazė skiriasi: Tai reiškia, kad taškai, esantys priešingose mazgo pusėse, svyruoja priešfazėje. Visi taškai, esantys tarp dviejų gretimų mazgų, svyruoja fazėje (ty toje pačioje fazėje). Ant pav. 99.1 pateikta taškų nukrypimų nuo pusiausvyros padėties "momentinių kadrų" serija.
Pirmoji „nuotrauka“ atitinka momentą, kai nuokrypiai pasiekia didžiausią absoliučią vertę. Vėlesnės „fotografijos“ buvo daromos kas ketvirtį. Rodyklės rodo dalelių greitį.
Diferencijuodami lygtį (99.2) vieną kartą t ir kitą kartą x atžvilgiu, randame dalelių greičio ir terpės deformacijos išraiškas:
(99.6) lygtis apibūdina stovinčią greičio bangą, o (99.7) – stovinčią deformacijos bangą.
Ant pav. 99.2 "momentinės nuotraukos" poslinkio, greičio ir deformacijos lyginamos 0 kartų ir Iš grafikų matyti, kad greičio mazgai ir antimazgai sutampa su poslinkio mazgais ir antimazgais; deformacijos mazgai ir antimazgai atitinkamai sutampa su poslinkio antimazgais ir mazgais. Pasiekus didžiausias reikšmes, jis išnyksta ir atvirkščiai.
Atitinkamai, du kartus per laikotarpį stovinčios bangos energija arba visiškai paverčiama potencialu, daugiausia sutelkta šalia bangos mazgų (kur yra deformacijos antimazgiai), tada visiškai į kinetinę energiją, daugiausia sukoncentruota šalia bangos antimazgų. banga (kur yra greičio antimazgiai). Dėl to energija perduodama iš kiekvieno mazgo į šalia esančius antimazgus ir atvirkščiai. Laiko vidurkis energijos srautas bet kurioje bangos atkarpoje lygus nuliui.
7 skyrius
Bangos. bangos lygtis
Be judesių, kuriuos jau svarstėme, beveik visose fizikos srityse yra dar vienas judesio tipas - bangos. Išskirtinis bruožasŠis judėjimas, dėl kurio jis unikalus, yra tas, kad bangoje sklinda ne medžiagos dalelės, o jų būsenos pokyčiai (perturbacijos).
Perturbacijos, kurios laikui bėgant sklinda erdvėje, vadinamos bangos . Bangos yra mechaninės ir elektromagnetinės.
elastinės bangosplinta elastingos terpės trikdžiai.
Tamprios terpės trikdymas – tai bet koks šios terpės dalelių nukrypimas nuo pusiausvyros padėties. Perturbacijos atsiranda dėl terpės deformacijos bet kurioje jos vietoje.
Visų taškų, kuriuos banga pasiekė tam tikru metu, visuma sudaro paviršių, vadinamą bangos frontas .
Pagal fronto formą bangos skirstomos į sferines ir plokščiąsias. Kryptis nustatomas bangos fronto sklidimas statmenas bangos frontui, vadinamas sija . Sferinei bangai spinduliai yra radialiai besiskiriantis spindulys. Plokštumos bangai spindulys yra lygiagrečių linijų spindulys.
Bet kurioje mechaninėje bangoje vienu metu egzistuoja du judėjimo tipai: terpės dalelių svyravimai ir trikdžių sklidimas.
Banga, kurioje terpės dalelių svyravimai ir perturbacijos sklidimas vyksta ta pačia kryptimi, vadinama išilginis (7.2 pav a).
Banga, kurioje terpės dalelės svyruoja statmenai perturbacijų sklidimo krypčiai, vadinama skersinis (7.2 pav. b).
Išilginėje bangoje trikdžiai reiškia terpės suspaudimą (arba retėjimą), o skersinėje bangoje – kai kurių terpės sluoksnių poslinkius (kirpimus), palyginti su kitais. Išilginės bangos gali sklisti visose terpėse (skystose, kietose ir dujinėse), o skersinės – tik kietose.
Kiekviena banga sklinda tam tikru greičiu . Pagal bangos greitis υ suprasti trikdymo plitimo greitį. Bangos greitį lemia terpės, kurioje ši banga sklinda, savybės. Kietuosiuose kūnuose išilginių bangų greitis yra didesnis nei skersinių bangų greitis.
Bangos ilgisλ yra atstumas, per kurį banga sklinda per laiką, lygų jos šaltinio virpesių periodui. Kadangi bangos greitis yra pastovi reikšmė (tam tikros terpės), bangos nuvažiuotas atstumas lygus greičio ir jos sklidimo laiko sandaugai. Taigi bangos ilgis
Iš (7.1) lygties matyti, kad dalelės, atskirtos viena nuo kitos intervalu λ, svyruoja toje pačioje fazėje. Tada galime pateikti tokį bangos ilgio apibrėžimą: bangos ilgis yra atstumas tarp dviejų artimiausių taškų, svyruojančių toje pačioje fazėje.
Išveskime plokštumos bangos lygtį, kuri leidžia bet kuriuo metu nustatyti bet kurio bangos taško poslinkį. Leiskite bangai plisti iš šaltinio pluoštu tam tikru greičiu v.
Šaltinis sužadina paprastus harmoninius virpesius, o bet kurio bangos taško poslinkis bet kuriuo laiko momentu nustatomas pagal lygtį
S = Asinωt (7, 2)
Tada terpės taškas, esantis x atstumu nuo bangos šaltinio, taip pat atliks harmoninius virpesius, bet su vėlavimu laike reikšme, t.y. laikas, per kurį virpesiai pasklinda iš šaltinio į tą tašką. Svyruojančio taško poslinkis pusiausvyros padėties atžvilgiu bet kuriuo laiko momentu bus aprašytas ryšiu
Tai yra plokštumos bangos lygtis. Ši banga pasižymi šiais parametrais:
· S – poslinkis iš tamprios terpės pusiausvyros taško padėties, iki kurios pasiekė svyravimas;
· ω - ciklinis šaltinio generuojamų virpesių dažnis, kuriuo svyruoja ir terpės taškai;
· υ - bangos sklidimo greitis (fazės greitis);
x – atstumas iki to terpės taško, kurį pasiekė virpesiai ir kurio poslinkis lygus S;
· t – laikas, skaičiuojamas nuo svyravimų pradžios;
Įvedus bangos ilgį λ į (7. 3) išraišką, plokštumos bangos lygtį galima parašyti taip:
(7. 4)
|
Bangų trukdžiai. stovinčios bangos. Stovinčios bangos lygtis
Stovinčios bangos susidaro dėl dviejų priešingų plokštumos bangų, kurių dažnis ω ir amplitudė A, trukdžių.
Įsivaizduokite, kad taške S yra vibratorius, nuo kurio spinduliu SO sklinda plokštuminė banga. Pasiekusi kliūtį taške O, banga atsispindės ir eis į atvirkštinė kryptis, t.y. išilgai pluošto sklinda dvi keliaujančios plokštumos bangos: pirmyn ir atgal. Šios dvi bangos yra nuoseklios, nes jas generuoja tas pats šaltinis ir, uždengtos viena ant kitos, trukdys viena kitai.
Dėl trukdžių atsirandanti terpės svyravimo būsena vadinama stovinčia banga.
Parašykime tiesioginės ir atgalinės bangos lygtį:
tiesiai - 
; atvirkščiai - 
kur S 1 ir S 2 yra savavališko taško poslinkis ant spindulio SO. Atsižvelgiant į sumos sinuso formulę, gautas poslinkis yra lygus
Taigi stovinčios bangos lygtis turi formą
Koeficientas cosωt rodo, kad visi SO spindulio terpės taškai atlieka paprastus harmoninius virpesius dažniu . Išraiška vadinama stovinčios bangos amplitude. Kaip matote, amplitudę lemia taško padėtis SO(x) spindulyje.
Didžiausia vertė amplitudės turės taškus, kuriems
Arba (n = 0, 1, 2,…)
iš kur arba 
(4.70)
stovinčios bangos antinodai .
Minimali vertė, lygus nuliui, turės tuos taškus, už kuriuos
Arba 
(n = 0, 1, 2,….)
iš kur arba 
(4.71)
Taškai su tokiomis koordinatėmis vadinami stovinčios bangos mazgai . Palyginus (4.70) ir (4.71) išraiškas, matome, kad atstumas tarp gretimų antimazgų ir gretimų mazgų lygus λ/2.
Paveiksle ištisinė linija rodo terpės svyruojančių taškų poslinkį tam tikru momentu, punktyrinė kreivė rodo tų pačių taškų padėtį per T / 2. Kiekvienas taškas svyruoja amplitude, nulemta jo atstumo nuo vibratoriaus (x).
Skirtingai nuo keliaujančios bangos, stovinčioje bangoje nėra energijos perdavimo. Energija tiesiog pereina iš potencialo (maksimaliu terpės taškų poslinkiu iš pusiausvyros padėties) į kinetinę (kai taškai eina per pusiausvyros padėtį) ribose tarp mazgų, kurie lieka nejudantys.
Visi stovinčios bangos taškai ribose tarp mazgų svyruoja toje pačioje fazėje, o priešingose mazgo pusėse – antifazėje.
Stovinčios bangos kyla, pavyzdžiui, abiejuose galuose ištemptoje stygoje, kai joje sužadinami skersiniai virpesiai. Be to, tvirtinimo vietose yra stovinčios bangos mazgai.
Jei oro stulpelyje, kurio vienas galas yra atviras, nustatoma stovinčioji banga (garso banga), tada atvirame gale susidaro antimazgas, o priešingame gale – mazgas.
Garsas. Doplerio efektas
Išilginės tamprios bangos, sklindančios dujose, skystyje ir kietose medžiagose, yra nematomos. Tačiau tam tikromis sąlygomis jie gali būti išgirsti. Taigi, jei sužadinsime ilgos plieninės liniuotės, įspraustos į spaustuką, virpesius, tada jos generuojamų bangų negirdėsime. Bet jei sutrumpinsime išsikišusią liniuotės dalį ir taip padidinsime jos svyravimų dažnį, pamatysime, kad liniuotė pradės skambėti.
Elastinės bangos, sukeliančios žmonėms klausos pojūčius, vadinamos garso bangos arba tiesiog garsas.
Žmogaus ausis geba suvokti elastines mechanines bangas, kurių dažnis ν nuo 16 Hz iki 20 000 Hz. Tampriosios bangos, kurių dažnis ν<16Гц называют инфразвуком, а волны с частотой ν>20000 Hz - ultragarsas.
Dažniai nuo 16 Hz iki 20 000 Hz vadinami garsu. Bet koks kūnas (kietas, skystas ar dujinis), vibruojantis garso dažniu, sukuria aplinką garso banga.
Dujose ir skysčiuose garso bangos sklinda išilginio suspaudimo ir retėjimo bangų pavidalu. Terpės suspaudimas ir retėjimas, atsirandantis dėl garso šaltinio vibracijos (stygos, kamertono kojelės, balso stygos ir kt.), po kurio laiko pasiekia žmogaus ausį ir sukelia priverstines ausies būgnelio vibracijas, sukelti žmoguje tam tikrus klausos pojūčius.
Garso bangos negali sklisti vakuume, nes ten nėra ko vibruoti. Tai galima patikrinti paprasta patirtis. Jei po stikliniu oro siurblio kupolu pastatysime elektrinį varpelį, kai oras išpumpuojamas, pamatysime, kad garsas vis silpnės, kol visiškai nutrūks.
garsas dujose. Yra žinoma, kad per perkūniją pirmiausia pamatome žaibo blyksnį ir tik tada išgirstame griaustinį. Šis vėlavimas atsiranda dėl to, kad garso greitis ore yra daug mažesnis už šviesos greitį. Garso greitį ore pirmasis išmatavo prancūzų mokslininkas Marinas Mersenas 1646 m. Esant +20ºС temperatūrai, jis lygus 343 m/s, t.y. 1235 km/val
Garso greitis priklauso nuo terpės temperatūros. Jis didėja didėjant temperatūrai ir mažėja, kai temperatūra mažėja.
Garso greitis nepriklauso nuo dujų, kuriose šis garsas sklinda, tankio. Tačiau tai priklauso nuo jo molekulių masės. Kuo didesnė dujų molekulių masė, tuo mažesnis garso greitis joje. Taigi, esant temperatūrai
0 ºС garso greitis vandenilyje yra 1284 m/s, o in anglies dvideginis- 259 m/s.
Garsas skysčiuose. Garso greitis skysčiuose paprastai yra didesnis nei garso greitis dujose. Garso greitis vandenyje pirmą kartą buvo išmatuotas 1826 m. Eksperimentai buvo atlikti Ženevos ežere Šveicarijoje. Viename laive jie padegė paraką ir tuo pat metu pataikė į varpą, nuleistą į vandenį. Šio varpo garsas, taip pat nuleistas į vandenį specialaus rago pagalba, buvo pagautas kitoje valtyje, kuri buvo 14 km atstumu nuo pirmosios. Garso greitis vandenyje buvo nustatytas pagal laiko skirtumą tarp šviesos blyksnio ir garso signalo atvykimo. Esant 8 ºС temperatūrai, jis pasirodė lygus 1435 m/s.
Skysčiuose garso greitis paprastai mažėja didėjant temperatūrai. Vanduo yra šios taisyklės išimtis. Jame garso greitis didėja kylant temperatūrai ir pasiekia maksimumą esant 74 ºС temperatūrai, o toliau kylant temperatūrai – mažėja.
Reikia pasakyti, kad žmogaus ausis blogai „veikia“ po vandeniu. Dauguma garsas atsispindi nuo ausies būgnelio, todėl nesukelia klausos pojūčių. Būtent tai kažkada davė pagrindą mūsų protėviams laikyti povandeninį pasaulį „tylos pasauliu“. Iš čia ir posakis „nutylimas kaip žuvis“. Tačiau net Leonardo da Vinci siūlė klausytis povandeninių garsų priglaudus ausį prie į vandenį nuleisto irklo. Naudodami šį metodą galite įsitikinti, kad žuvys iš tikrųjų yra gana kalbios.
Garsas kietose medžiagose. Garso greitis kietose medžiagose yra dar didesnis nei skysčiuose. Tik čia reikėtų atsižvelgti į tai, kad kietose medžiagose tiek išilginės, tiek skersinės bangos. Šių bangų greitis, kaip žinome, yra skirtingas. Pavyzdžiui, pliene skersinės bangos sklinda 3300 m/s, o išilginės – 6100 m/s greičiu. Tai, kad garso greitis kietajame kūne yra didesnis nei ore, gali būti patikrintas taip. Jei jūsų draugas atsitrenks į vieną bėgio galą, o jūs įkišite ausį į kitą galą, bus išgirsti du smūgiai. Garsas pirmiausia pasieks jūsų ausį per bėgelį, o paskui per orą.
Žemė turi gerą laidumą. Todėl senais laikais apgulties metu tvirtovės sienose būdavo statomi „klausytojai“, kurie pagal žemės sklindamą garsą galėdavo nustatyti, ar priešas kapsto iki sienų, ar ne. Pridėjus ausį prie žemės, buvo galima aptikti ir priešo kavalerijos artėjimą.
Be girdimų garsų, Žemės pluta Taip pat sklinda infragarso bangos, kurių žmogaus ausis nebesuvokia. Tokios bangos gali kilti žemės drebėjimų metu.
Ugnikalnių išsiveržimų ir sprogimų metu kyla galingos infragarso bangos, sklindančios tiek žemėje, tiek ore atominės bombos. Oro sūkuriai atmosferoje, krovinių išmetimai, ginklų šūviai, vėjas, tekančios jūros bangų keteros, veikiantys reaktyvinių lėktuvų varikliai ir kt. taip pat gali būti infragarso šaltiniai.
Ultragarso žmogaus ausis taip pat nesuvokia. Tačiau kai kurie gyvūnai, pavyzdžiui, šikšnosparniai ir delfinai, gali jį skleisti ir sugauti. Technologijoje ultragarsui gaminti naudojami specialūs prietaisai.
Labai svarbus trukdžių atvejis pastebimas, kai dedamos vienodos amplitudės plokštumos bangos. Atsiradęs virpesių procesas vadinamas stovinti banga.
Praktiškai stovinčios bangos kyla, kai bangos atsispindi nuo kliūčių. Ant kliūties krintanti banga ir jos link einanti atsispindėjusi banga, uždengta viena ant kitos, suteikia stovinčią bangą.
Apsvarstykite dviejų vienodos amplitudės sinusoidinių plokštuminių bangų, sklindančių priešingomis kryptimis, trukdžių rezultatą.
Dėl samprotavimo paprastumo darome prielaidą, kad abi bangos sukelia svyravimus toje pačioje fazėje pradžioje.
Šių virpesių lygtys yra tokios formos:
Sudėjus abi lygtis ir transformuojant rezultatą pagal sinusų sumos formulę, gauname:
- stovinčios bangos lygtis.
Palyginus šią lygtį su harmoninių virpesių lygtimi, matome, kad gaunamų virpesių amplitudė yra lygi:
Nuo , ir tada .
Terpės taškuose, kur , nėra svyravimų, t.y. . Šie taškai vadinami stovinčios bangos mazgai.
Taškuose, kur Virpesių amplitudė turi didžiausia vertė, lygus . Šie taškai vadinami stovinčios bangos antinodai. Antinodo koordinatės randamos iš sąlygos , nes , tada.
Iš čia:
Panašiai mazgų koordinatės randamos iš sąlygos:
Kur:
Iš mazgų ir antimazgų koordinačių formulių išplaukia, kad atstumas tarp gretimų antimazgų, taip pat atstumas tarp gretimų mazgų yra lygus . Antimazgai ir mazgai pasislenka vienas kito atžvilgiu ketvirtadaliu bangos ilgio.
Palyginkime stovinčios ir keliaujančios bangos virpesių prigimtį. Keliaujančioje bangoje kiekvienas taškas svyruoja, kurio amplitudė nesiskiria nuo kitų taškų amplitudės. Tačiau įvairių taškų svyravimai atsiranda su skirtingos fazės.
Stovinčioje bangoje visos terpės dalelės, esančios tarp dviejų gretimų mazgų, svyruoja toje pačioje fazėje, bet skirtingomis amplitudėmis. Einant per mazgą, svyravimų fazė staigiai pasikeičia į , nes ženklas pasikeičia.
Grafiškai stovinčią bangą galima pavaizduoti taip:
Tuo metu, kai , visi terpės taškai turi didžiausius poslinkius, kurių kryptį lemia ženklas . Šie poslinkiai paveiksle parodyti vientisomis rodyklėmis.
Po ketvirčio laikotarpio, kai , visų taškų poslinkiai yra lygūs nuliui. Dalelės praeina per liniją skirtingu greičiu.
Praėjus dar ketvirčiui laikotarpio, kai , dalelės vėl turės didžiausią poslinkį, bet priešinga kryptimi (brūkšninės rodyklės).
Aprašant svyravimo procesus elastingose sistemose, svyruojančia reikšme galima laikyti ne tik poslinkį, bet ir dalelių greitį, taip pat santykinės terpės deformacijos dydį.
Norėdami rasti stovinčios bangos greičio kitimo dėsnį, diferencijuojame pagal stovinčios bangos poslinkio lygtį, o norėdami rasti deformacijos kitimo dėsnį – pagal stovinčios bangos lygtį.
Analizuodami šias lygtis, matome, kad greičio mazgai ir antimazgai sutampa su poslinkio mazgais ir antimazgais; deformacijos mazgai ir antimazgai atitinkamai sutampa su greičio ir poslinkio antimazgais ir mazgais.
stygų vibracijos
Abiejuose galuose ištemptoje stygoje, sužadinus skersinius virpesius, susidaro stovinčios bangos, o stygos tvirtinimo vietose turi būti mazgai. Todėl eilutėje sužadinami tik tokie svyravimai, kurių pusė ilgio telpa ant eilutės ilgio sveikuoju skaičiumi kartų.
Iš to išplaukia sąlyga:
kur yra stygos ilgis.
Arba kitaip. Šie bangos ilgiai atitinka dažnius, kur yra bangos fazinis greitis. Jos vertę lemia stygos įtempimo jėga ir jos masė.
At yra pagrindinis dažnis.
At – natūralūs stygos virpesių dažniai arba obertonai.
Doplerio efektas
Panagrinėkime paprasčiausius atvejus, kai bangų šaltinis ir stebėtojas terpės atžvilgiu juda viena tiesia linija:
1. Garso šaltinis juda terpės atžvilgiu greičiu , garso imtuvas yra ramybės būsenoje.
Šiuo atveju svyravimo periodu garso banga nutols nuo šaltinio per atstumą, o pats šaltinis – atstumu, lygiu .
Jei šaltinis pašalinamas iš imtuvo, t.y. judėti bangos sklidimo krypčiai priešinga kryptimi, tada bangos ilgis .
Jeigu garso šaltinis priartinamas prie imtuvo, t.y. judėti bangos sklidimo kryptimi, tada .
Imtuvo suvokiamas garso dažnis yra:
Abiem atvejais vietoj jų verčių pakeiskite:
Atsižvelgiant į tai, kad kur yra šaltinio virpesių dažnis, lygybė įgauna formą:
Padalinkite šios trupmenos skaitiklį ir vardiklį iš , tada:
2. Garso šaltinis nejuda, o imtuvas terpės atžvilgiu juda dideliu greičiu.
Šiuo atveju bangos ilgis terpėje nesikeičia ir vis tiek yra lygus . Tuo pačiu metu dvi iš eilės amplitudės, kurios skiriasi laiku vienu svyravimų periodu, pasiekusios judantį imtuvą, bangos susitikimo su imtuvu momentais laike skirsis laiko intervalu, kurio reikšmė yra didesnis ar mažesnis, priklausomai nuo to, ar imtuvas tolsta, ar artėja prie šaltinio garso. Tuo metu garsas sklinda per atstumą, o imtuvas judės per atstumą. Šių dydžių suma suteikia mums bangos ilgį:
Imtuvo suvokiamas svyravimų periodas yra susijęs su šių svyravimų dažniu santykiu:
Vietoj jo išraiškos pakeitę lygybę (1), gauname:
Nes , kur yra šaltinio virpesių dažnis ir , tada:
3. Garso šaltinis ir imtuvas juda terpės atžvilgiu. Sujungus dviem ankstesniais atvejais gautus rezultatus, gauname:
garso bangos
Jei ore sklindančių elastinių bangų dažnis svyruoja nuo 20 iki 20 000 Hz, tai pasiekusios žmogaus ausį sukelia garso pojūtį. Todėl bangos, esančios šiame dažnių diapazone, vadinamos garso bangomis. Vadinamos elastingos bangos, kurių dažnis mažesnis nei 20 Hz infragarsas . Vadinamos bangos, kurių dažnis didesnis nei 20 000 Hz ultragarsu. Ultragarso ir infragarso žmogaus ausis negirdi.
Garso pojūčiams būdingas aukštis, tembras ir garsumas. Garso aukštis nustatomas pagal virpesių dažnį. Tačiau garso šaltinis skleidžia ne vieną, o visą dažnių spektrą. Tam tikrame garse esančių virpesių dažnių rinkinys vadinamas jo akustinis spektras. Vibracijos energija paskirstoma tarp visų akustinio spektro dažnių. Garso aukštis nustatomas pagal vieną – pagrindinį dažnį, jei šis dažnis sudaro žymiai didesnį energijos kiekį nei kitų dažnių dalis.
Jei spektras susideda iš aibės dažnių, kurie yra dažnių diapazone nuo iki , tai toks spektras vadinamas tęstinis(pavyzdys – triukšmas).
Jei spektras susideda iš diskrečiųjų dažnių virpesių rinkinio, tai toks spektras vadinamas valdė(pavyzdys – muzikos garsai).
Garso akustinis spektras, priklausomai nuo jo pobūdžio ir energijos pasiskirstymo tarp dažnių, lemia garso pojūčio originalumą, vadinamą garso tembru. Skirtingi muzikos instrumentai turi skirtingą akustinį spektrą, t.y. skiriasi tonu.
Garso intensyvumas apibūdinamas įvairiais dydžiais: terpės dalelių svyravimais, jų greičiais, slėgio jėgomis, įtempiais jose ir kt.
Jis apibūdina kiekvieno iš šių dydžių virpesių amplitudę. Tačiau kadangi šie dydžiai yra tarpusavyje susiję, patartina įvesti vieną energijos charakteristiką. Tokia charakteristika bet kokio tipo bangoms buvo pasiūlyta 1877 m. ANT. Umov.
Mintimis iškirpkime platformą iš keliaujančios bangos priekio. Laikui bėgant ši sritis pasislinks atstumu, kur yra bangos greitis.
Žymima svyruojančios terpės tūrio vieneto energija. Tada viso tūrio energija bus lygi .
Šią energiją laikui bėgant perdavė banga, sklindanti per teritoriją.
Padalinę šią išraišką iš ir , gauname energiją, kurią banga perduoda per ploto vienetą per laiko vienetą. Ši reikšmė žymima raide ir vadinama Umov vektorius
Garso laukui Umov vektorius vadinama garso galia.
Garso galia yra fizinė savybė garso intensyvumas. Vertiname subjektyviai, kaip apimtis garsas. Žmogaus ausis suvokia garsus, kurių stiprumas viršija tam tikrą minimalią reikšmę, kuri skiriasi įvairiems dažniams. Ši vertė vadinama klausos slenkstis garsas. Hz dydžio vidutiniams dažniams klausos slenkstis yra maždaug .
Esant labai dideliam užsakymo garso stiprumui, garsas, išskyrus ausį, yra suvokiamas lytėjimo organais ir sukelia skausmą ausyse.
Intensyvumo vertė, kuriai tai įvyksta, vadinama skausmo slenkstis. Skausmo slenkstis, kaip ir klausos slenkstis, priklauso nuo dažnio.
Žmogus turi gana sudėtingą garsų suvokimo aparatą. Garso virpesiai surenkami ausies kakleliu ir per klausos kanalą veikia ausies būgnelį. Jo vibracijos perduodamos į nedidelę ertmę, vadinamą sraigė. Sraigės viduje yra daug skaidulų, turinčių skirtingą ilgį ir įtampą, taigi ir skirtingus natūralius vibracijos dažnius. Kai taikomas garsas, kiekvienas pluoštas rezonuoja į toną, kurio dažnis sutampa su natūraliu pluošto dažniu. Klausos aparato rezonansinių dažnių rinkinys nustato mūsų suvokiamų garso virpesių sritį.
Garsas, subjektyviai vertinamas mūsų ausies, didėja daug lėčiau nei garso bangų intensyvumas. Nors intensyvumas didėja eksponentiškai, tūris didėja eksponentiškai. Tuo remiantis garsumo lygis apibrėžiamas kaip tam tikro garso intensyvumo ir intensyvumo, kuris laikomas originaliu, santykio logaritmas.
Garsumo lygio vienetas vadinamas baltas. Taip pat naudojami mažesni vienetai - decibelų(10 kartų mažiau nei balta).
kur yra garso sugerties koeficientas.
Garso sugerties koeficiento reikšmė didėja proporcingai garso dažnio kvadratui, todėl žemi garsai sklinda toliau nei aukšti.
Didelių patalpų architektūrinėje akustikoje svarbus vaidmuo tenka atgarsis arba patalpų garsumo. Garsai, patiriantys daugybę atspindžių nuo gaubiančių paviršių, klausytojo suvokiami gana ilgą laiką. Tai padidina mus pasiekiančio garso stiprumą, tačiau jei aidėjimas yra per ilgas, atskiri garsai uždedami vienas ant kito ir kalba nebesuvokiama artikuliuotai. Todėl salių sienos yra padengtos specialiomis garsą sugeriančiomis medžiagomis, mažinančiomis aidėjimą.
Garso virpesių šaltiniu gali pasitarnauti bet koks vibruojantis kūnas: varpo nendrė, kamertonas, smuiko styga, oro stulpelis pučiamuosiuose instrumentuose ir kt. tie patys kūnai taip pat gali būti garso imtuvai, kai juos pajudina aplinkos virpesiai.
Ultragarsas
Norint gauti kryptį, t.y. arti plokščios, emiterio bangos matmenys turi būti daug kartų didesni už bangos ilgį. Garso bangos ore yra iki 15 m ilgio, skystuose ir kietuose kūnuose bangos ilgis dar ilgesnis. Todėl praktiškai neįmanoma pastatyti emiterio, kuris sukurtų tokio ilgio nukreiptą bangą.
Ultragarso virpesių dažnis viršija 20 000 Hz, todėl jų bangos ilgis yra labai mažas. Mažėjant bangos ilgiui, mažėja ir difrakcijos vaidmuo bangos sklidimo procese. Todėl ultragarso bangas galima gauti nukreiptų spindulių pavidalu, panašių į šviesos pluoštus.
Ultragarso bangoms sužadinti naudojami du reiškiniai: atvirkštinis pjezoelektrinis efektas ir magnetostrikcija.
Atvirkštinis pjezoelektrinis efektas yra tas, kad kai kurių kristalų (Rošelio druskos, kvarco, bario titanato ir kt.) plokštelė, veikiama elektrinis laukasšiek tiek deformuotas. Pastačius jį tarp metalinių plokščių, kurioms tiekiama kintamoji įtampa, galima sukelti plokštės priverstines vibracijas. Šios vibracijos perduodamos į aplinką ir joje sukuria ultragarso bangą.
Magnetostrikcija slypi tame, kad feromagnetinės medžiagos (geležis, nikelis, jų lydiniai ir kt.) deformuojasi veikiant magnetiniam laukui. Todėl įdėjus feromagnetinį strypą į kintamąjį magnetinį lauką, galima sužadinti mechaninius virpesius.
Didelės akustinių greičių ir pagreičių vertės, taip pat gerai išvystyti ultragarsinių virpesių tyrimo ir priėmimo metodai leido juos panaudoti sprendžiant daugelį techninių problemų. Išvardinkime kai kuriuos iš jų.
1928 metais sovietų mokslininkas S.Ya. Sokolovas siūlė ultragarsą naudoti defektų nustatymo tikslams, t.y. metalo gaminiuose paslėptų vidinių defektų, tokių kaip lukštai, įtrūkimai, raibuliavimas, šlako intarpai ir kt., aptikimui. Jei defekto dydis viršija ultragarso bangos ilgį, ultragarso impulsas atsispindi nuo defekto ir grąžinamas atgal. Siunčiant į gaminį ultragarso impulsus ir fiksuojant atsispindėjusius aido signalus, galima ne tik aptikti gaminių defektus, bet ir spręsti apie šių defektų dydį bei vietą. Šis metodas šiuo metu plačiai naudojamas pramonėje.
Nukreipti ultragarsiniai spinduliai buvo plačiai pritaikyti vietos nustatymo tikslams, t.y. aptikti vandenyje esančius objektus ir nustatyti atstumą iki jų. Pirmą kartą ultragarsinės vietos idėją išsakė puikus prancūzų fizikas P. Langevinas ir jo sukurtas per Pirmąjį pasaulinį karą povandeniniams laivams aptikti. Šiuo metu sonaro principais aptinkami ledkalniai, žuvų būriai ir kt. šiais metodais galima nustatyti ir jūros gylį po laivo dugnu (echolotas).
Didelės amplitudės ultragarso bangos šiuo metu plačiai naudojamos inžinerijoje mechaniniam kietų medžiagų apdirbimui, smulkių objektų (laikrodžio mechanizmo dalių, vamzdynų ir kt.) valymui, dedamų į skystį, degazavimui ir kt.
Ultragarso bangos sukelia terpėje stiprų slėgio pulsavimą visa linija specifiniai reiškiniai: skystyje suspenduotų dalelių smulkinimas (dispersija), emulsijų susidarymas, difuzijos procesų pagreitėjimas, aktyvinimas cheminės reakcijos, poveikis biologiniams objektams ir kt.
Apsvarstykite dviejų vienodos amplitudės ir dažnio sinusoidinių plokštuminių bangų, sklindančių priešingomis kryptimis, trukdžių rezultatą. Kad būtų lengviau suprasti, darome prielaidą, kad šių bangų lygtys turi tokią formą:
Tai reiškia, kad ištakoje abi bangos sukelia svyravimus toje pačioje fazėje. Taške A, kurio koordinatė x, visa svyruojančio dydžio vertė pagal superpozicijos principą (žr. § 19) yra
Ši lygtis rodo, kad dėl tiesioginių ir atgalinių bangų trukdžių kiekviename terpės taške (su fiksuota koordinate) atsiranda harmoninis svyravimas tuo pačiu dažniu, bet amplitude.
priklauso nuo x koordinatės reikšmės. Terpės taškuose, kuriuose išvis nėra vibracijų: šie taškai vadinami vibracijų mazgais.
Taškuose, kuriuose svyravimų amplitudė turi didžiausią reikšmę, šie taškai vadinami svyravimų antimazgais. Nesunku parodyti, kad atstumas tarp gretimų mazgų arba gretimų antimazgų yra lygus atstumui tarp antinodo ir artimiausio mazgo yra Kai x formulėje (5.16) pasikeičia kosinusu, jis apverčia savo ženklą (jo argumentas pasikeičia į taip, jei viena pusbangė – iš vieno mazgo į kitą – terpės dalelės nukrypo viena kryptimi, tada gretimoje pusbangėje terpės dalelės bus nukreiptos priešinga kryptimi.
Bangos procesas terpėje, aprašytas formule (5.16), vadinamas stovinčia banga. Grafiškai stovinčią bangą galima pavaizduoti taip, kaip parodyta Fig. 1.61. Tarkime, kad y turi terpės taškų poslinkį iš pusiausvyros būsenos; tada (5.16) formulė apibūdina „stovinčią poslinkio bangą“. Tam tikru momentu, kai visi terpės taškai turi didžiausius poslinkius, kurių kryptį, priklausomai nuo x koordinatės reikšmės, nustato ženklas.Šie poslinkiai parodyti pav. 1.61 su vientisomis rodyklėmis. Po ketvirčio laikotarpio, kai visų terpės taškų poslinkiai lygūs nuliui; terpės dalelės per liniją praeina skirtingu greičiu. Po dar ketvirčio laikotarpio, kai terpės dalelės vėl turės maksimalius poslinkius, bet priešinga kryptimi; šie poslinkiai rodomi
ryžių. 1,61 brūkšninės rodyklės. Taškai yra stovinčios poslinkio bangos antimazgai; taškų šios bangos mazgai.
Būdingos stovinčios bangos ypatybės, priešingai nei įprastos sklindančios arba keliaujančios bangos, yra šios (tai reiškia plokštumos bangas, kai nėra slopinimo):
1) stovinčioje bangoje skirtingose sistemos dalyse virpesių amplitudės yra skirtingos; sistema turi svyravimų mazgus ir antimazgus. „Keliaujančioje“ bangoje šios amplitudės visur vienodos;
2) sistemos srityje nuo vieno mazgo iki gretimo visi terpės taškai svyruoja toje pačioje fazėje; pereinant į gretimą atkarpą, svyravimų fazės pasikeičia. Keliaujančioje bangoje svyravimų fazės, pagal (5.2) formulę, priklauso nuo taškų koordinačių;
3) stovinčioje bangoje nėra vienpusio energijos perdavimo, kaip yra keliaujančioje bangoje.
Apibūdinant svyravimo procesus tampriose sistemose, svyravimo reikšmę y galima imti ne tik kaip sistemos dalelių poslinkį ar greitį, bet ir kaip santykinės deformacijos reikšmę arba įtempių gniuždant, įtempiant ar šlyties ir kt.. Tuo pačiu metu stovinčioje bangoje tose vietose, kur susidaro dalelių greičių antimazgai, išsidėsto deformaciniai mazgai, ir atvirkščiai, greičio mazgai sutampa su deformaciniais antimazgais. Energijos transformacija iš kinetinės į potencialią ir atvirkščiai vyksta sistemos dalyje nuo antimazgo iki gretimo mazgo. Galime manyti, kad kiekviena tokia sekcija nesikeičia energija su kaimyninėmis sekcijomis. Atkreipkite dėmesį, kad transformacija kinetinė energija dalelių judėjimas į deformuotų terpės ruožų potencinę energiją per vieną laikotarpį įvyksta du kartus.
Aukščiau, atsižvelgiant į tiesioginių ir atgalinių bangų trukdžius (žr. (5.16) išraiškas), mūsų nedomino šių bangų kilmė. Dabar darykime prielaidą, kad terpė, kurioje sklinda virpesiai, turi ribotus matmenis, pavyzdžiui, virpesiai sukeliami kokiame nors kietame kūne – strypelyje ar stygoje, skysčio ar dujų stulpelyje ir pan. Tokioje terpėje sklindanti banga ( kūnas) , atsispindi nuo ribų, todėl šio kūno tūryje nuolat atsiranda išorinio šaltinio sukeliamų ir nuo ribų atsispindinčių bangų interferencija.
Apsvarstykite paprasčiausias pavyzdys; tarkime, strypo ar stygos taške (1.62 pav.) išorinio sinusoidinio šaltinio pagalba sužadinamas svyruojantis judesys, kurio dažnis; laiko atskaitos pradžią pasirenkame taip, kad šioje vietoje poslinkis būtų išreikštas formule
kur virpesių amplitudė taške Strypo sukelta banga atsispindės nuo antrojo strypo galo 0% ir eis priešinga kryptimi
kryptis. Raskime tiesioginių ir atspindėtų bangų interferencijos rezultatą tam tikrame strypo, kurio koordinatė x, taške. Dėl samprotavimo paprastumo darome prielaidą, kad virpesių energija nėra absorbuojama, todėl tiesioginių ir atspindėtų bangų amplitudės yra vienodos.
Tam tikru momentu, kai svyruojančių dalelių poslinkis taške yra lygus y, kitame strypo taške tiesioginės bangos sukeltas poslinkis pagal bangos formulę bus lygus
Atsispindėjusi banga taip pat praeina per tą patį tašką A. Norėdami rasti poslinkį, kurį taške A sukelia atsispindėjusi banga (tuo pačiu reikia apskaičiuoti laiką, per kurį banga praeis kelią iš ir atgal į tašką Kadangi atspindėtos bangos taške sukeltas poslinkis bus lygus
Šiuo atveju daroma prielaida, kad atspindinčiame strypo gale atspindžio procese nėra staigių virpesių fazės pokyčių; kai kuriais atvejais toks fazės pokytis (vadinamas fazės praradimu) įvyksta ir į jį reikia atsižvelgti.
Virpesių, kuriuos įvairiuose strypo taškuose sukelia tiesioginės ir atspindimos bangos, pridėjimas suteikia stovinčią bangą; tikrai,
kur yra tam tikra pastovi fazė, nepriklausoma nuo x koordinatės ir kiekio
yra svyravimų amplitudė taške; ji priklauso nuo x koordinatės, t.y. ji skiriasi įvairiose strypo vietose.
Raskime koordinates tų strypo taškų, kuriuose susidaro stovinčios bangos mazgai ir antimazgiai. Kosinusas virsta nuliu arba vienetas atsiranda esant argumentų reikšmėms, kurios yra kartotinės
kur yra sveikasis skaičius. Esant nelyginei šio skaičiaus vertei, kosinusas išnyksta, o formulė (5.19) pateikia stovinčios bangos mazgų koordinates; nes net mes gauname antimazgų koordinates.
Aukščiau buvo pridėtos tik dvi bangos: tiesioginė, kylanti iš ir atspindinti, sklindanti iš. Tačiau reikia atsižvelgti į tai, kad atsispindėjusi banga ties strypo riba vėl atsispindės ir eis tiesioginės bangos kryptimi. Tokie apmąstymai
iš strypo galų bus daug, todėl reikia rasti ne dviejų, o visų vienu metu strypo bangų trukdžių rezultatą.
Darykime prielaidą, kad išorinis virpesių šaltinis kurį laiką sukėlė bangas strype, po to sustojo vibracijos energijos srautas iš išorės. Per tą laiką strypelyje atsirado atspindžių, o tai yra laikas, per kurį banga perėjo iš vieno strypo galo į kitą. Vadinasi, lazdoje vienu metu egzistuos bangos, einančios į priekį ir priešinga kryptimi.
Tarkime, kad dėl vienos bangų poros (tiesioginės ir atspindėtos) trukdžių poslinkis taške A buvo lygus y. Raskime sąlygą, kuriai esant visi poslinkiai y, kuriuos sukelia kiekviena bangų pora, strypo taške A turi vienodas kryptis ir todėl sumuojasi. Tam kiekvienos bangų poros taške sukeltų virpesių fazės turi skirtis nuo kitos bangų poros sukeltų virpesių fazės. Bet kiekviena banga vėl grįžta į tašką A ta pačia sklidimo kryptimi tik po kurio laiko, ty atsilieka nuo fazės, prilygindama šiam atsilikimui, kur yra sveikas skaičius.
y., išilgai strypo ilgio turi tilpti sveikasis pusbangių skaičius. Atkreipkite dėmesį, kad esant šiai sąlygai, visų bangų, sklindančių iš pirmyn, fazės viena nuo kitos skiriasi tuo, kad kur yra sveikas skaičius; lygiai taip pat visų bangų, einančių iš priešingos krypties, fazės skiriasi viena nuo kitos.Todėl, jei viena bangų pora (pirmyn ir atgal) duoda poslinkių pasiskirstymą išilgai strypo, nustatomą pagal (5.17) formulę. , tada, trukdžius tokių bangų poroms, poslinkių pasiskirstymas nepasikeis; tik padidės svyravimų amplitudė. Jei didžiausia svyravimų amplitudė dviejų bangų trukdžių metu pagal (5.18) formulę yra lygi, tai su daugelio bangų trukdžiais ji bus didesnė. Pažymime taip, kad tada virpesių amplitudės pasiskirstymas išilgai strypo vietoj išraiškos (5.18) bus nustatytas pagal formulę
Išraiškos (5.19) ir (5.20) nustato taškus, kuriuose kosinusas turi reikšmes arba 1:
kur yra sveikas skaičius Iš šios nelyginių verčių formulės bus gautos stovinčios bangos mazgų koordinatės, tada, priklausomai nuo strypo ilgio, t.y. vertės
antimazgų koordinatės bus gautos lygiomis reikšmėmis
Ant pav. 1.63 schematiškai pavaizduota stovi banga strype, kurios ilgis; taškai yra šios stovinčios bangos antimazgai, taškai – mazgai.
Sk. buvo parodyta, kad nesant periodinių išorinių poveikių, kodavimo judesių sistemoje pobūdį ir, visų pirma, pagrindinį dydį – virpesių dažnį – lemia sistemos matmenys ir fizinės savybės. Kiekviena svyravimo sistema turi savo, būdingą svyruojantį judėjimą; šį svyravimą galima pastebėti, jei sistema išvedama iš pusiausvyros ir pašalinama išorinė įtaka.
Sk. 4 valandas buvau laikomas daugiausia virpesių sistemos su vienkartiniais parametrais, kuriuose vieni kūnai (taškiniai kūnai) turėjo inercinę masę, o kiti kūnai (spyruoklės) turėjo tamprumo savybių. Priešingai, virpesių sistemos, kuriose masė ir elastingumas yra būdingi kiekvienam elementiniam tūriui, vadinamos sistemomis su paskirstytais parametrais. Tai yra aukščiau aptarti strypai, stygos, taip pat skysčio ar dujų kolonėlės (pučiamiesiems muzikos instrumentuose) ir kt. Tokioms sistemoms stovinčios bangos yra natūralios vibracijos; pagrindinę šių bangų charakteristiką – bangos ilgį arba mazgų ir antimazgų pasiskirstymą, taip pat svyravimų dažnį – lemia tik sistemos dydis ir savybės. Stovinčios bangos gali egzistuoti ir nesant išorinio (periodinio) veiksmo sistemoje; šis veiksmas reikalingas tik norint sukelti ar palaikyti stovinčias bangas sistemoje arba pakeisti virpesių amplitudes. Visų pirma, jei išorinis veiksmas sistemoje su paskirstytais parametrais įvyksta dažniu, lygiu jos natūralių virpesių dažniui, ty stovinčios bangos dažniui, tada įvyksta rezonanso reiškinys, kuris buvo nagrinėjamas skyriuje. 5. skirtingiems dažniams yra tas pats.
Taigi sistemose su paskirstytais parametrais natūralūs svyravimai – stovinčios bangos – pasižymi visu spektru dažnių, kurie yra vienas kito kartotiniai. Mažiausias iš šių dažnių, atitinkančių ilgiausią bangos ilgį, vadinamas pagrindiniu dažniu; likusi dalis) yra obertonai arba harmonikos.
Kiekvienai sistemai būdingas ne tik tokio svyravimų spektro buvimas, bet ir tam tikras energijos pasiskirstymas tarp skirtingų dažnių virpesių. Dėl muzikos instrumentai toks paskirstymas suteikia skambesiui savitą bruožą, vadinamąjį garso tembrą, kuris skirtingiems instrumentams yra skirtingas.
Aukščiau pateikti skaičiavimai susiję su laisvai svyruojančia "ilgio strypu. Tačiau dažniausiai turime strypus, pritvirtintus viename arba abiejuose galuose (pavyzdžiui, svyruojančias stygas), arba yra vienas ar keli tvirtinimo taškai išilgai strypo. judesiai yra priverstinis poslinkis mazgai. Pavyzdžiui,
jei reikia gauti stovinčias bangas meškere viename, dviejuose, trijuose tvirtinimo taškuose ir pan., tai šie taškai negali būti pasirinkti savavališkai, o turi būti išdėstyti išilgai strypo taip, kad jie būtų susidariusios stovinčios bangos mazguose . Tai parodyta, pavyzdžiui, fig. 1.64. Tame pačiame paveiksle punktyrinė linija rodo strypo taškų poslinkius vibracijos metu; poslinkio antimazgai visada susidaro laisvuosiuose galuose, o poslinkio – fiksuotuose galuose. Vamzdžių svyruojančioms oro kolonoms poslinkio mazgai (ir greičiai) gaunami prie atspindinčių kietų sienų; atviruose vamzdelių galuose susidaro poslinkių ir greičių antimazgai.
