Kaip nustatyti aritmetinį vidurkį. Koks yra skaičių aritmetinis vidurkis. Aritmetinis vidurkis turi daugybę savybių, kurios geriau atskleidžia jo esmę ir supaprastina skaičiavimą.

Dažniausias vidurkio tipas yra aritmetinis vidurkis.

paprastas aritmetinis vidurkis

Paprastasis aritmetinis vidurkis yra vidutinis terminas, nustatantis, kuris bendras tam tikro požymio kiekis duomenyse yra tolygiai paskirstytas visiems vienetams, įtrauktiems į šis rinkinys. Taigi vidutinė metinė produkcijos produkcija vienam darbuotojui yra tokia produkcijos apimties vertė, kuri tektų kiekvienam darbuotojui, jei visa produkcijos apimtis būtų tolygiai paskirstyta visiems organizacijos darbuotojams. Paprastoji aritmetinio vidurkio reikšmė apskaičiuojama pagal formulę:

paprastas aritmetinis vidurkis— lygus atskirų objekto verčių sumos ir elementų skaičiaus visumoje santykiui

1 pavyzdys. 6 darbuotojų komanda per mėnesį gauna 3 3,2 3,3 3,5 3,8 3,1 tūkst.

Raskite vidutinį atlyginimą
Sprendimas: (3 + 3,2 + 3,3 +3,5 + 3,8 + 3,1) / 6 = 3,32 tūkst.

Aritmetinis svertinis vidurkis

Jei duomenų rinkinio apimtis yra didelė ir atspindi pasiskirstymo eilutę, tada apskaičiuojamas svertinis aritmetinis vidurkis. Taip nustatoma vidutinė svertinė produkcijos vieneto kaina: bendroji produkcijos savikaina (jos kiekio produktų suma ir produkcijos vieneto kaina) dalijama iš bendro produkcijos kiekio.

Mes tai pavaizduojame šios formulės forma:

Svertinis aritmetinis vidurkis- yra lygus santykiui (požymio reikšmės sandaugų suma ir šio požymio pasikartojimo dažnis) ir (visų požymių dažnių sumai). Naudojamas, kai tiriamos populiacijos variantai būna nelygūs. kartų skaičius.

2 pavyzdys. Raskite vidutinį parduotuvės darbuotojų atlyginimą per mėnesį

Vidutinį darbo užmokestį galima gauti padalijus visą darbo užmokestį iš iš viso darbininkai:

Atsakymas: 3,35 tūkst.

Aritmetinis intervalų eilutės vidurkis

Skaičiuojant intervalo aritmetinį vidurkį variacijų serija pirma, kiekvieno intervalo vidurkis nustatomas kaip pusė viršutinės ir apatinės ribų sumos, o tada visos serijos vidurkis. Atvirų intervalų atveju apatinio arba viršutinio intervalo reikšmė nustatoma pagal greta jų esančių intervalų reikšmę.

Iš intervalų eilučių apskaičiuoti vidurkiai yra apytiksliai.

3 pavyzdys. Nustatykite vakarinio skyriaus studentų amžiaus vidurkį.

Iš intervalų eilučių apskaičiuoti vidurkiai yra apytiksliai. Jų aproksimacijos laipsnis priklauso nuo to, kiek faktinis populiacijos vienetų pasiskirstymas intervale artėja prie vienodo.

Skaičiuojant vidurkius, ne tik absoliutus, bet ir santykinės vertės(dažnis):

Aritmetinis vidurkis turi daug savybių, kurios geriau atskleidžia jo esmę ir supaprastina skaičiavimą:

1. Vidurkio ir dažnių sumos sandauga visada lygi varianto ir dažnių sandaugų sumai, t.y.

2. Kintamų reikšmių sumos aritmetinis vidurkis yra lygus šių reikšmių aritmetinių vidurkių sumai:

3. Atributo atskirų reikšmių nuokrypių nuo vidurkio algebrinė suma lygi nuliui.

Aritmetinio ir geometrinio vidurkio tema įtraukta į 6-7 klasių matematikos programą. Kadangi pastraipą gana lengva suprasti, ji greitai praeina, o išvada tokia mokslo metai mokiniai pamiršta. Tačiau tam reikalingos pagrindinės statistikos žinios išlaikęs egzaminą, taip pat už tarptautinius egzaminus SAT. Taip ir už Kasdienybė išvystyta analitinis mąstymas niekada neskaudėjo.

Kaip apskaičiuoti skaičių aritmetinį ir geometrinį vidurkį

Tarkime, kad yra skaičių serija: 11, 4 ir 3. Aritmetinis vidurkis yra visų skaičių suma, padalyta iš pateiktų skaičių. Tai yra, skaičių 11, 4, 3 atveju atsakymas bus 6. Kaip gaunamas 6?

Sprendimas: (11 + 4 + 3) / 3 = 6

Vardiklyje turi būti skaičius, lygus skaičių, kurių vidurkį reikia rasti, skaičiui. Suma dalijasi iš 3, nes yra trys nariai.

Dabar turime susidoroti su geometriniu vidurkiu. Tarkime, kad yra skaičių serija: 4, 2 ir 8.

Geometrinis vidurkis yra visų pateiktų skaičių sandauga, kuri yra po šaknimi, kurios laipsnis lygus duotųjų skaičių skaičiui.Tai yra, skaičių 4, 2 ir 8 atveju atsakymas yra 4. Štai kaip tai atsitiko :

Sprendimas: ∛(4 × 2 × 8) = 4

Abiejuose variantuose buvo gauti sveiki atsakymai, nes kaip pavyzdys buvo paimti specialūs skaičiai. Taip būna ne visada. Daugeliu atvejų atsakymas turi būti suapvalintas arba paliktas šaknyje. Pavyzdžiui, skaičių 11, 7 ir 20 aritmetinis vidurkis yra ≈ 12,67, o geometrinis vidurkis yra ∛1540. O skaičių 6 ir 5 atsakymai bus atitinkamai 5,5 ir √30.

Ar gali atsitikti taip, kad aritmetinis vidurkis taps lygus geometriniam vidurkiui?

Žinoma, kad gali. Bet tik dviem atvejais. Jei yra skaičių serija, susidedanti tik iš vienetų arba nulių. Taip pat pažymėtina, kad atsakymas nepriklauso nuo jų skaičiaus.

Įrodymas su vienetais: (1 + 1 + 1) / 3 = 3 / 3 = 1 (aritmetinis vidurkis).

∛(1 × 1 × 1) = ∛1 = 1 (geometrinis vidurkis).

Įrodymas su nuliais: (0 + 0) / 2=0 (aritmetinis vidurkis).

√(0 × 0) = 0 (geometrinis vidurkis).

Kito varianto nėra ir negali būti.

Ne tik įvairiose matematikos mokslai, bet kasdieniame gyvenime pasitaiko atvejų, kai reikia skaičiuoti kažko vidurkį. Pavyzdžiui, vidutinė agurkų kaina rinkoje, vidutinis vaiko ūgis, vidutinė viešnagė viešbutyje ir kt.

Apie visa tai jau seniai galvojama. mokslinis vardas- "vidutinis". Šis rodiklis aktyviai naudojamas statistikoje rezultatams apibendrinti. Pavyzdžiui, vidutinis vaikų gimimo amžius, vidutinis vyrų ir moterų mirties amžius, vidutinis atlyginimas pagal regionus ir visoje Rusijoje.

Pavyzdžiui, priimdama įstatymą dėl pensinio amžiaus didinimo, valdžia kaip tik rėmėsi vidutiniu mirties amžiumi mūsų šalyje.

Išsiaiškinkime, kas yra šis rodiklis.

Aritmetinis vidurkis yra visų turimų verčių vidurkis. Norint jį apskaičiuoti, reikia susumuoti visus operacijoje dalyvaujančius skaičius ir padalyti iš bendro jų skaičiaus.

Pavyzdžiui, 2017 metais vidurinį išsilavinimą įgijo įvairaus amžiaus vaikai: 16, 17 ir 18 metų. Aritmetinis vidurkis bus apskaičiuojamas visų amžių suma padalijus iš trijų. Iš viso 11 klasę baigusio vaiko amžiaus vidurkis buvo 17 metų.

Šiame pavyzdyje parodytas primityvus skaičiavimas, naudojant trijų vaikų pavyzdį. Tiesą sakant, turite apibendrinti visus turimus duomenis. Tai yra, jei kalbame apie penkis vaikus, tada susumuojame jų amžių, pavyzdžiui, 17 + 17 + 18 + 16 + 17, o rezultatą padalijame iš penkių.

Panašiai bet kokiai operacijai apskaičiuojamas bet koks aritmetinis vidurkis. Tai yra, jei, pavyzdžiui, reikia apskaičiuoti vidutinį 2017 m. pirmagimį pagimdžiusių mamų amžių, pirmiausia reikės susumuoti visus amžiaus rodiklius, o tada padalyti iš bendro tėvų skaičiaus.

Tai yra, į bendras vaizdas formulę galima pavaizduoti taip:

Aritmetinis vidurkis = ( visų turimų verčių suma)/bendras su operacija susijusių verčių skaičius.

Taigi skaičiavimas yra gana paprastas net ir moksleiviams. Sunkumai gali kilti tik dėl didelio respondentų skaičiaus, dalyvaujančio operacijoje.

Svarbu suprasti, kad vidutinis nėra tik skaičius. Jis turi ypatingą fizinę reikšmę kuris buvo naudojamas daugelį metų realus pasaulis apie praktiką.

Būtų neteisinga aritmetinį vidurkį vartoti tik ant popieriaus, sąsiuvinyje ar kompiuterinėse programose. Priešingu atveju galite gauti daug beprasmių ir tiesiog nerealių vertybių.

Tiesą sakant, yra keletas vidurinių. Tačiau kiekvienu atveju teisingas tik vienas iš jų. Kiekvienoje iš operacijų reikia naudoti tik tokį vidurkį, kokio reikia, kitaip bus padaryta didžiulė klaida.

Kokie vidurkių tipai naudojami praktikoje? Dažniausiai vidurkiai yra:

1. Vidutinis;
2. Geometrinis vidurkis;
3. Vidutinė harmonika.

Šios vertybės dažniausiai naudojami tiek kasdieniame gyvenime, tiek moksluose. Dažniausiai, žinoma, skaičiuojamas pirmasis rodiklis.

Dažnai šis rodiklis yra taikomas ir apskaičiuojamas neteisingai realiomis sąlygomis. Kodėl tai vyksta? Tiesą sakant, aritmetinio vidurkio pagrindas yra didelių skaičių dėsnio taikymas. Be to, taip pat taikoma prielaida, pagal kurią paprastai apibrėžiama pradinė vertė.

Tai reiškia, kad aplink pateiktą skaičių verčių yra dažniausias nukrypimasį bet kurią pusę. Tai yra. Didelis ar mažas. Pavyzdžiui, skaičių serijoje 8,8,9,8,9,8,8 nuokrypis bus mažesnis, nes yra daugiau aštuonių. O serijoje: 17.17, 20,20,20,20,20, nuokrypis, priešingai, bus aukštyn, nes šiuo atveju vis dar yra daugiau „dvidešimtųjų“.

Tačiau dažniausiai tokie nukrypimai yra nedideli ir dažniausiai lygus tikimybei. Problemos esmė ta, kad versle, kaip ir Tikras gyvenimas, pasiskirstymo normalumą praktikoje galima rasti itin retai.

Tai yra, pavyzdžiui, vieno kliento aptarnavimo laikas, laikas, per kurį klientas tikimasi gauti šią paslaugą, suma, už kurią jis sudarys sutartį, rinkos dalis, pajamų augimas ir pan., yra tie rodikliai, kurie yra nepasiskirsto tolygiai ir normaliai. Kai kuriais atvejais nepageidautina jų vidurkį apskaičiuoti naudojant aritmetinį vidurkį. Nes tai būtų neteisinga.

Praktikoje pasiskirstymo normalumą dažnai galima rasti esant daug vertybių svyruoja nuo šimtų iki tūkstančių. Pavyzdžiui, skambučių į didelės įmonės techninę pagalbą skaičius gali būti paskirstytas įprastai – tiek popieriuje, tiek faktiškai.

Tačiau tik kiekio nepakaks, nes kiekvienoje konkrečioje situacijoje reikia stebėti ir teisingas paskirstymas. Tik tokiu būdu galiausiai bus galima teisingai apskaičiuoti aritmetinio vidurkio reikšmę.

Žmonėms kyla klausimas, kaip rasti aritmetinį vidurkį įvairaus amžiaus ir ne tik jauniems studentams. Kartais mums skubiai reikia rasti aritmetinį vidurkį, bet neprisimename, kaip tai padaryti. Tada įnirtingai vartome mokyklinius matematikos vadovėlius, bandome rasti reikiamos informacijos. Bet tai labai paprasta!

Norėdami rasti kelių skaičių aritmetinį vidurkį, sudėkite juos. Po to gautą sumą reikia padalyti iš terminų skaičiaus.

Kad būtų aiškiau, kartu išsiaiškinkime, kaip rasti skaičių aritmetinį vidurkį, naudodamiesi pavyzdžiu: 78, 115, 121 ir 224. Pirmiausia reikia pridėti šiuos skaičius: 78+115+121+224=538. Dabar gauta suma, t.y. 538 reikia padalyti iš terminų skaičiaus: 538:4=134,5. Taigi, šių skaičių aritmetinis vidurkis yra 134,5.

Kelių skaičių aritmetinis vidurkis: suraskite su Excel

Naudojant „Excel“ labai lengva rasti aritmetinį vidurkį. Ši programa leidžia išvengti ilgų skaičiavimų ir atitinkamai klaidų. Norėdami rasti kelių skaičių aritmetinį vidurkį, parašykite juos viename stulpelyje. Tada pasirinkite šį stulpelį ir greitosios prieigos įrankių juostoje pasirinkite sumos (?) piktogramą ir vidutinį skirtuką. Šių skaičių aritmetinis vidurkis bus rodomas paryškinto stulpelio apačioje.

Aritmetinis vidurkis – statistinis rodiklis, rodantis vidutinę tam tikro duomenų masyvo reikšmę. Toks rodiklis skaičiuojamas kaip trupmena, kurios skaitiklis yra visų masyvo reikšmių suma, o vardiklis – jų skaičius. Aritmetinis vidurkis yra svarbus koeficientas, naudojamas buitiniuose skaičiavimuose.

Koeficiento reikšmė

Aritmetinis vidurkis yra elementarus rodiklis, leidžiantis palyginti duomenis ir apskaičiuoti priimtiną reikšmę. Pavyzdžiui, konkretaus gamintojo alaus skardinė parduodama skirtingose ​​parduotuvėse. Bet vienoje parduotuvėje kainuoja 67 rublius, kitoje – 70, trečioje – 65, o paskutinėje – 62 rublius. Gana didelis kainų asortimentas, tad pirkėjui bus įdomu Vidutinė kaina bankams, kad pirkdamas prekę galėtų palyginti savo išlaidas. Vidutinė alaus skardinė mieste kainuoja:

Vidutinė kaina = (67 + 70 + 65 + 62) / 4 = 66 rubliai.

Žinant vidutinę kainą, nesunku nustatyti, kur apsimoka pirkti prekes, o kur teks permokėti.

Aritmetinis vidurkis nuolat naudojamas statistiniuose skaičiavimuose tais atvejais, kai analizuojamas vienalytis duomenų rinkinys. Aukščiau pateiktame pavyzdyje tai yra to paties prekės ženklo alaus skardinės kaina. Tačiau negalime lyginti skirtingų gamintojų alaus kainos ar alaus ir limonado kainų, nes tokiu atveju vertybių sklaida bus didesnė, vidutinė kaina bus neryški ir nepatikima, o pati skaičiavimų prasmė bus iškraipytas iki karikatūrinio „vidutinės temperatūros ligoninėje“. Apskaičiuojant nevienalyčių duomenų masyvus, naudojamas aritmetinis svertinis vidurkis, kai kiekviena reikšmė gauna savo svertinį koeficientą.

Aritmetinio vidurkio apskaičiavimas

Skaičiavimo formulė labai paprasta:

P = (a1 + a2 + … an) / n,

kur an yra kiekio reikšmė, n yra bendras reikšmių skaičius.

Kam gali būti naudojamas šis indikatorius? Pirmasis ir akivaizdus jo panaudojimas yra statistikoje. Beveik kiekviename statistiniame tyrime naudojamas aritmetinis vidurkis. Tai gali būti vidutinis santuokos amžius Rusijoje, studento dalyko pažymys arba vidutinės išlaidos bakalėjos pirkiniams per dieną. Kaip minėta aukščiau, neatsižvelgiant į svorius, skaičiuojant vidurkius galima gauti keistų ar absurdiškų verčių.

Pavyzdžiui, prezidentas Rusijos Federacija padarė pareiškimą, kad pagal statistiką vidutinis ruso atlyginimas yra 27 000 rublių. Daugumai žmonių Rusijoje toks atlyginimo lygis atrodė absurdiškas. Nenuostabu, jei skaičiuojant atsižvelgiama į oligarchų, pramonės įmonių vadovų, stambių bankininkų pajamas, viena vertus, ir mokytojų, valytojų ir pardavėjų atlyginimus, iš kitos. Net vidutiniai atlyginimai vienoje specialybėje, pavyzdžiui, buhalterio, turės rimtų skirtumų Maskvoje, Kostromoje ir Jekaterinburge.

Kaip apskaičiuoti nevienalyčių duomenų vidurkius

Darbo užmokesčio apskaičiavimo situacijose svarbu atsižvelgti į kiekvienos vertės svorį. Tai reiškia, kad oligarchų ir bankininkų atlyginimams būtų suteikiamas, pavyzdžiui, 0,00001, o pardavėjų – 0,12. Tai skaičiai nuo lubų, tačiau jie maždaug iliustruoja oligarchų ir pardavėjų paplitimą Rusijos visuomenėje.

Taigi, norint apskaičiuoti vidurkių vidurkį arba vidutinę reikšmę nevienalyčių duomenų masyve, reikia naudoti aritmetinį svertinį vidurkį. Priešingu atveju jūs gausite vidutinį atlyginimą Rusijoje 27 000 rublių. Jei norite sužinoti savo matematikos pažymių vidurkį arba pasirinkto ledo ritulio žaidėjo įmuštų įvarčių vidurkį, jums tiks aritmetinio vidurkio skaičiuoklė.

Mūsų programa yra paprastas ir patogus skaičiuotuvas, skirtas apskaičiuoti aritmetinį vidurkį. Norėdami atlikti skaičiavimus, turite įvesti tik parametrų reikšmes.

Pažvelkime į porą pavyzdžių

Vidutinio pažymio skaičiavimas

Daugelis mokytojų, norėdami nustatyti dalyko metinį pažymį, naudoja aritmetinio vidurkio metodą. Įsivaizduokime, kad vaikas iš matematikos gauna šiuos ketvirčio pažymius: 3, 3, 5, 4. Kokį metinį pažymį jam skirs mokytojas? Pasinaudokime skaičiuotuvu ir apskaičiuokime aritmetinį vidurkį. Pirmiausia pasirinkite reikiamą laukų skaičių ir pasirodžiusiuose langeliuose įveskite pažymių reikšmes:

(3 + 3 + 5 + 4) / 4 = 3,75

Mokytojas apvalins vertę mokinio naudai, o mokinys už metus gaus solidų ketvertą.

Suvalgytų saldumynų apskaičiavimas

Pavaizduokime tam tikrą aritmetinio vidurkio absurdiškumą. Įsivaizduokite, kad Maša ir Vova turėjo 10 saldainių. Maša suvalgė 8 saldainius, o Vova tik 2. Kiek saldainių vidutiniškai suvalgė kiekvienas vaikas? Skaičiuotuvu nesunku paskaičiuoti, kad vaikai vidutiniškai suvalgė po 5 saldumynus, o tai yra visiška netiesa ir sveikas protas. Šis pavyzdys rodo, kad aritmetinis vidurkis yra svarbus prasmingiems duomenų rinkiniams.

Išvada

Aritmetinio vidurkio skaičiavimas plačiai naudojamas daugelyje mokslo sričių. Šis rodiklis populiarus ne tik statistiniuose skaičiavimuose, bet ir fizikoje, mechanikoje, ekonomikoje, medicinoje ar finansuose. Naudokite mūsų skaičiuotuvus kaip padėjėją sprendžiant aritmetinių vidurkių uždavinius.