Рамно нагласена состојба на цврстина на материјалите. нагласена и деформирана состојба. Торзија на правоаголна греда
Основи на теоријата на еластичност
Предавање 4
Рамнина проблем на теоријата на еластичност
слајд 2
Во теоријата на еластичност, постои голема класа на проблеми кои се важни во смисла на практична примена и, во исто време, овозможуваат значителни поедноставувања на математичката страна на решението. Поедноставувањето се состои во тоа што кај овие проблеми може да се отфрли една од координатните оски на телото, на пример, оската z и да се смета дека сите појави се случуваат во иста координатна рамнина x0y на оптовареното тело. Во овој случај, напрегањата, напрегањата и поместувањата ќе бидат функции на две координати - x и y.
Се нарекува проблем разгледан во две координати рамнина проблем на теоријата на еластичност.
под терминот " рамнина проблем на теоријата на еластичност» комбинираат два физички различни проблеми, што доведува до многу слични математички односи:
1) проблемот на деформирана состојба на рамнина (рамнина деформација);
2) проблемот на рамна напонска состојба.
Овие проблеми најчесто се карактеризираат со значителна разлика помеѓу едната геометриска димензија и другите две димензии на телата што се разгледуваат: голема должина во првиот случај и мала дебелина во вториот случај.
Деформација на рамнина
Деформацијата се нарекува рамна ако поместувањата на сите точки на телото можат да настанат само во две насоки во една рамнина и не зависат од координатата нормална на оваа рамнина, т.е.
u=u(x,y); v=v(x,y); w=0 (4,1)
Рамнинска деформација се јавува кај долги призматични или цилиндрични тела со оска паралелна на оската z, по која оптоварување дејствува на страничната површина, нормално на оваа оска и не се менува по големина по неа.
Пример за деформација на рамнина е состојбата напрегање-деформација која се јавува во долга права брана и долг лак на подземен тунел (сл. 4.1).
Слика - 4.1. Настанува рамна деформација во телото на браната и сводот на подземниот тунел
слајд 3
Заменувајќи ги компонентите на векторот на поместување (4.1) во формулите на Коши (2.14), (2.15), добиваме:
(4.2)
Отсуството на линеарни деформации во насока на оската z доведува до појава на нормални напрегања σ z. Од формулата на Хуковиот закон (3.2) за деформацијата ε z произлегува дека
од каде се добива изразот за напрегањето σ z:
(4.3)
Заменувајќи го овој однос во првите две формули на законот на Хук, наоѓаме:
(4.4)
слајд 4
Од анализата на формулите (4.2) − (4.4) и (3.2) исто така произлегува дека
Така, основните равенки на тродимензионалната теорија на еластичност во случај на рамна деформација се значително поедноставени.
Од трите Навиер диференцијални равенки за рамнотежа (2.2), остануваат само две равенки:
(4.5)
а третиот се претвора во идентитет.
Бидејќи насоката косинус е насекаде на страничната површина n=cos(v,z)=cos90 0 =0, Z v =0, остануваат само две равенки од трите услови на површината (2.4):
(4.6)
каде што l, m се косинусите на насоката на надворешната нормала vдо површината на контурата;
X, Y, X v, Ј vсе компонентите на силите на телото и интензитетот на оптоварувањата на надворешната површина на x и y оските, соодветно.
слајд 5
Шестте Коши равенки (2.14), (2.15) се сведени на три:
(4.7)
Од шесте равенки за континуитет на деформација на Сен-Венант (2.17), (2.18), останува една равенка:
(4.8)
а останатите се претвораат во идентитети.
Од шесте формули на Хуковиот закон (3.2), земајќи ги предвид (4.2), (4.4), остануваат три формули:
Во овие односи, за типот на записот традиционален во теоријата на еластичност, се воведуваат нови еластични константи:
слајд 6
Рамнинска стресна состојба
Рамнинска напонска состојба се јавува кога должината на истото призматично тело е мала во споредба со другите две димензии. Во овој случај, тоа се нарекува дебелина. Напрегањата во телото дејствуваат само во две насоки во xOy координатната рамнина и не зависат од z координатата. Пример за такво тело е тенка плоча со дебелина h, оптоварена по страничната површина (ребро) со сили паралелни на рамнината на плочата и рамномерно распоредени по нејзината дебелина (сл. 4.2).
Слика 4.2 - Тенка плоча и оптоварувања што се применуваат на неа
Во овој случај, исто така се можни поедноставувања слични на оние во проблемот со рамнинско деформирање. Компонентите на тензорот на стрес σ z , τ xz , τ yz на двете рамнини на плочата се еднакви на нула. Бидејќи плочата е тенка, можеме да претпоставиме дека тие се еднакви на нула и внатре во плочата. Тогаш состојбата на напрегање ќе се определи само со компонентите σ x , σ y , τ xy кои не зависат од z координатата, односно не се менуваат во текот на дебелината на плочата, туку се функции од само x и y.
Така, следната стресна состојба се јавува во тенка плоча:
Слајд 7
Во однос на напрегањата, состојбата на рамнина напрегање се разликува од рамномерното напрегање по состојбата
Дополнително, од формулата на Хуковиот закон (3.2), земајќи ја предвид (4.10), за линеарната деформација ε z добиваме дека таа не е еднаква на нула:
Следствено, основите на плочата ќе бидат закривени, бидејќи ќе има поместувања 
по оската z.
Според овие претпоставки, основните равенки за напрегање на рамнината: равенки за диференцијална рамнотежа (4.5), површински услови (4.6), равенки на Коши (4.7) и равенки за континуитет на напрегање (4.8) ја задржуваат истата форма во проблемот на рамнинското напрегање.
Формулите на Хуковиот закон ќе ја имаат следната форма:
Формулите (4.11) се разликуваат од формулите (4.9) на Хуковиот закон за рамна деформација само по вредностите на еластичните константи: E и E1, vИ v 1 .
Слајд 8
Во обратна форма, законот на Хук може да се напише на следниов начин:
(4.12)
Така, при решавање на овие два проблема (рамнинска деформација и состојба на рамнина напрегање), може да се користат истите равенки и да се комбинираат проблемите во еден рамнински проблем на теоријата на еластичност.
Постојат осум непознати во проблемот на рамнината на теоријата на еластичност:
се две компоненти на векторот на поместување u и v;
– три компоненти на напонскиот тензор σ x , σ y , τ xy ;
се три компоненти на тензорот на напрегање ε x , ε y , γ xy .
За да се реши проблемот се користат осум равенки:
– две диференцијални равенки на рамнотежа (4.5);
– три равенки на Коши (4.7);
се три формули на Хуковиот закон (4.9), или (4.11).
Дополнително, добиените деформации мора да се покоруваат на равенката за континуитет на напрегање (4.8) и на условите за рамнотежа (4.6) помеѓу внатрешните напрегања и интензитетите на оптоварувањето на надворешната површина X v, Ј v.
Нагласена и деформирана состојба
Постојат три типа на стресна состојба:
1) линеарна напонска состојба - напнатост (компресија) во една насока;
2) рамнина напонска состојба - напнатост (компресија) во две насоки;
3) волуметриска напонска состојба - напнатост (компресија) во три меѓусебно нормални насоки.
Размислете за бесконечно мал паралелепипед (коцка). На неговите лица може да има нормални s и тангенцијални напрегања t. Кога се менува положбата на „коцката“, се менуваат и напоните. Можете да најдете позиција во која нема напрегања на смолкнување, видете на сл.
https://pandia.ru/text/78/374/images/image002_227.gif" align="left" width="337" height="217 src="> Да исечеме елементарен паралелепипед (сл. а) со кос пресек.само една рамнина.Сметаме елементарна триаголна призма (сл. б).Положбата на навалената област се одредува со аголот a.Ако ротацијата од оската x е спротивно од стрелките на часовникот (види Сл.б), тогаш a>0.
Нормалните напрегања имаат индекс што одговара на оската на нивната насока. напрегања на смолкнување, обично, имаат два индекса: првиот одговара на насоката на нормалата кон локацијата, вториот на насоката на самиот стрес (за жал, постојат други ознаки и различен избор на координатни оски, што доведува до промена на знаците во некои формули).
Нормално напрегање е позитивно ако е затегнувачко, напрегањето на смолкнување е позитивно ако има тенденција да го ротира разгледуваниот дел од елементот во насока на стрелките на часовникот околу внатрешната точка. pp (за напрегање на смолкнување во некои учебници и универзитети се прифаќа спротивното).
Напрегања на навалена платформа:
Законот за спарување на напрегања на смолкнување: ако тангенцијално напрегање дејствува на локацијата, тогаш тангенцијално напрегање еднакво по големина и спротивен по знак ќе дејствува на локацијата нормално на неа. (txz=-tzx)
Постојат две главни задачи во теоријата на стресната состојба.
Директен проблем . Врз основа на познатите главни напрегања: s1= smax, s2= smin, потребно е да се определи за место наклонето под даден агол (а) кон главните места, нормални и напрегања на смолкнување:
https://pandia.ru/text/78/374/images/image007_125.gif" width="219" height="33"> 
или 
.
За перпендикуларна платформа:
.
Од каде што може да се види дека sa + sb = s1 + s2 е збир на нормални напрегања на две меѓусебно нормални области на непроменливата (независна) во однос на наклонот на овие области.
Како и во линеарната напонска состојба, максималните напрегања на смолкнување се јавуваат при a=±45o, т.е.gif" align="left" width="240" height="227">.gif" width="154" height= "55 src=">.gif" align="left" width="253" height="176 src=">Ако еден од главните напрегања се покаже негативен, тогаш тие треба да се означат со s1, s3, ако и двете се негативни , потоа s2, s3.
Волумен стрес состојба
Напрегања во која било област со познати главни напрегања s1, s2, s3:
каде што a1, a2, a3 се аглите помеѓу нормалата на површината што се разгледува и насоките на главните напрегања.
Максимален стрес на смолкнување: 
.
Дејствува на платформа паралелна со главниот напон s2 и наклонет под агол од 45o во однос на главните напрегања s1 и s3.
https://pandia.ru/text/78/374/images/image023_60.gif" width="171" height="48 src=">
https://pandia.ru/text/78/374/images/image025_53.gif" width="115" height="48 src="> (понекогаш се нарекуваат главни напрегања на смолкнување).
Рамнинска напонска состојба е посебен случај на тродимензионална и може да биде претставена и со три Мор кругови, додека едно од главните напрегања мора да биде еднакво на 0. закон за спарување: компонентите на напрегањата на смолкнување долж меѓусебно нормални области, нормално на линијата на вкрстување на овие области, се еднакви по големина и спротивни во насока.
https://pandia.ru/text/78/374/images/image027_53.gif" width="166" height="51 src=">;
Октаедралниот нормален напон е еднаков на просекот од трите главни напрегања.
https://pandia.ru/text/78/374/images/image029_49.gif" width="199" height="50">, Октаедрното напрегање на смолкнување е пропорционално на геометрискиот збир на главните напрегања на смолкнување. Интензитетот на стресот:
DIV_ADBLOCK135">
https://pandia.ru/text/78/374/images/image032_47.gif" width="177" height="49"> 
Промената на волуменот не зависи од односот помеѓу главните напрегања, туку зависи од збирот на главните напони. Односно, елементарна коцка ќе ја добие истата промена во волуменот ако на нејзините лица се применат истите просечни напрегања: 
, тогаш 
, каде K= - рефус модул. Кога телото е деформирано, чиј материјал има Поасонов сооднос m = 0,5 (на пример, гума), волуменот на телото не се менува.
Потенцијална напорна енергија
Со едноставно напнатост (компресија), потенцијалната енергија е U=https://pandia.ru/text/78/374/images/image038_46.gif" width="95" height="47 src=">.gif" ширина ="234 "height="50 src="> или
Вкупната енергија на напрегање акумулирана по единица волумен може да се смета дека се состои од два дела: 1) енергијата uo акумулирана поради промена на волуменот (т.е. истата промена во сите димензии на коцката без промена на кубната форма) и 2) енергијата uf поврзана со промена на обликот на коцката (т.е. енергијата потрошена за претворање на коцката во паралелепипед). у = уо + уф.
https://pandia.ru/text/78/374/images/image043_42.gif" width="389" height="50 src=">
https://pandia.ru/text/78/374/images/image045_41.gif" width="160" height="84 src="> Кога го ротирате координатниот систем, коефициентите на тензорот се менуваат, самиот тензор останува постојана.
Три непроменливи состојби на стрес:
https://pandia.ru/text/78/374/images/image047_39.gif" width="249" height="48"> 
ea - релативно напрегање, ga - агол на смолкнување.
Истата аналогија важи и за масовната состојба. Затоа, ги имаме непроменливите на деформираната состојба:
J1 = ex + ey + ez;
J2= exey +eyez + ezex - https://pandia.ru/text/78/374/images/image051_31.gif height="140 src="> - тензор на напрегање.
ex, ey, ez, gxy, gyz, gzx се компонентите на деформираната состојба.
За оските што се совпаѓаат со насоките на главните соеви e1, e2, e3, тензорот на напрегање ја има формата: 
.
Теории на сила
Во општиот случај, опасната напонска состојба на конструктивниот елемент зависи од односот помеѓу трите главни напони (s1,s2,s3). Односно, строго кажано, за секој сооднос потребно е експериментално да се одреди големината на ограничувачкиот напон, што е нереално. Затоа, беа усвоени такви методи за пресметување на јакоста што ќе овозможат да се процени степенот на опасност од каква било напонска состојба од напрегањето на затегнување-компресија. Тие се нарекуваат теории на силата (теории за крајни стресни состојби).
1-ва теорија на сила(теоријата на најголемите нормални напони): причината за појавата на ограничувачката напонска состојба се најголемите нормални напони. smax= s1£ [s]. Главен недостаток: два други главни напони не се земени предвид. Тоа се потврдува со искуство само при истегнување на многу кршливи материјали (стакло, гипс). Во моментов, практично не се користи.
Втора теорија на силата(теоријата на најголемите релативни деформации): причината за појавата на граничната напонска состојба е најголемото издолжување. emax= e1£ [e]..gif" width="63 height=47" height="47">, состојба на јачина: sequiIII= s1 - s3£ [s]. Главниот недостаток е што не зема предвид влијанието на s2.
Во состојба на рамнина напрегање: sequivIII= 
£ [s]. За sy=0 добиваме 
Широко се користи за пластични материјали.
4-та теорија на силата(теорија на енергија): причината за појавата на граничната напонска состојба е вредноста на специфичната потенцијална енергија на промена на обликот. uf£..gif" width="367" height="55 src=">..gif" width="166" height="57">. Се користи при пресметките на кршливи материјали, кај кои дозволените напрегања на затегнување и на притисок не се исти (леано железо).
За пластични материјали = Мор-овата теорија се претвора во 3-та теорија.
Моровиот круг (стрес круг). Координатите на точките на кругот одговараат на нормалните и напрегањата на смолкнување на различни места. Го одложуваме зракот од оската s од центарот C под агол 2a (a> 0, потоа страница спротивно од стрелките на часовникот), ја наоѓаме точката D,
чии координати се: sa, ta. Можете графички да решавате и директни и инверзни проблеми.
Чиста смена
https://pandia.ru/text/78/374/images/image063_27.gif" width="48 height=47" height="47">, каде што Q е силата што дејствува долж лицето, F е површината на лицето ., на кои дејствуваат само напрегањата на смолкнување, се нарекуваат области на чисто смолкнување. Напрегањата на смолкнување на нив се најголеми. Чистото смолкнување може да се претстави како истовремена компресија и напнатост што се случуваат во две меѓусебно нормални насоки. Односно, ова е посебен случај на состојба на рамнина напрегање, во која главните напрегања: s1= - s3 = t, s2= 0. Главните области прават агол од 45° со чистите површини на смолкнување.
https://pandia.ru/text/78/374/images/image065_26.gif" width="16" height="48 src="> - релативно поместувањеили агол на смолкнување.
Хуковиот закон во смолкнување : g = t/G или t = G×g.
Г- модул на смолкнувањеили модул на еластичност од вториот вид [MPa] - материјална константа што ја карактеризира способноста да се спротивстави на деформациите на смолкнување. (Е - модул на еластичност, m - Поасонов сооднос).
Потенцијална енергија при смолкнување: 
.
Специфична потенцијална енергија на напрегање на смолкнување: https://pandia.ru/text/78/374/images/image069_26.gif" width="63" height="53">.
Целата потенцијална енергија во чисто смолкнување се троши само на промена на обликот, промената на волуменот при деформација на смолкнување е нула.
Моровиот круг во чиста смена.
Торзија
https://pandia.ru/text/78/374/images/image072_23.gif" align="left" width="175" height="125 src=">Овој тип на деформација, во кој само еден вртежен момент - Мк Удобно е да се определи знакот на вртежниот момент Mk во насока на надворешниот момент. торзија, еден дел се ротира во однос на друг на агол на извртување- ј. Кога ќе се извитка тркалезна шипка (осовина), се јавува чиста состојба на напрегање на смолкнување (нема нормални напрегања), се јавуваат само тангенцијални напрегања. Се претпоставува дека рамните делови пред извртувањето остануваат рамни и по извртувањето - закон за рамни пресеци. Напрегањата на смолкнување во точките на пресекот се менуваат пропорционално на растојанието на точките од оската. ..gif" width="103" height="57 src="> - релативен агол на вртење... , [n] е услов за коефициент на торзиона вкочанетост: qmax£[q] – дозволен агол на вртење.
Торзија на правоаголна греда
https://pandia.ru/text/78/374/images/image081_17.gif" width="46" height="46">Парцели на напрегања на смолкнување на правоаголен пресек.
; , Jk и Wk - условно наречен момент на инерција и момент на отпор при торзија. Wk=ahb2,
Jk= bhb3, Максималните напрегања на смолкнување tmax ќе бидат во средината на долгата страна, напрегањата во средината на кратката страна: t= g×tmax, коефициентите: a, b, g се дадени во референтните книги во зависност од односот h /b (на пример, кога h/b= 2, a=0,246, b=0,229, g=0,795.
наведнуваат
https://pandia.ru/text/78/374/images/image085_18.gif" width="270" height="45">.
https://pandia.ru/text/78/374/images/image087_16.gif" width="71" height="53">, r - радиус на искривување на неутралниот слој, y - растојание од некои влакна до неутрален слој. Хуковиот закон при свиткување: , од каде (навиерова формула): , Jx - момент на инерција на пресекот во однос на главната централна оска нормална на рамнината на моментот на свиткување, EJx - вкочанетост на свиткување, https://pandia.ru/text/78/374 /images/image091_15.gif" width="126" height="54">, Jx/ymax=Wx-пресек модул при свиткување, .
https://pandia.ru/text/78/374/images/image094_14.gif" width="103 height=54" height="54">, каде што Sx(y) е статички момент во однос на неутралната оска на оној дел од областа што се наоѓа под или над слојот на растојание „y“ од неутралната оска; Jx - момент на инерција Вкупнопресек во однос на неутралната оска, b(y) е ширината на пресекот во слојот на кој се одредуваат напрегањата на смолкнување.
https://pandia.ru/text/78/374/images/image096_14.gif" width="89" height="49 src=">, F=b×h, за кружен пресек:, F=p×R2 , за дел од која било форма ,
k- коефициент во зависност од обликот на пресекот (правоаголник: k= 1,5; круг - k= 1,33).
https://pandia.ru/text/78/374/images/image100_12.gif" align="left" width="244" height="85 src=">Дејството на отфрлениот дел се заменува со внатрешни фактори на сила M и Q, кои се одредуваат од равенките на рамнотежата. Во некои универзитети, моментот M>0 е поставен, т.е. дијаграмот на моментите е изграден на растегнати влакна. Кога Q= 0, имаме екстремум на дијаграмот на моменти. Диференцијални зависности помеѓу М,ПИq: https://pandia.ru/text/78/374/images/image102_10.gif" width="187" height="54">.
Пресметка на јачина на свиткување
:
две јакостни услови поврзани со различни точки на гредата: а) со нормални напрегања 
, (точки најоддалечени од C); б) со напрегања на смолкнување https://pandia.ru/text/78/374/images/image105_10.gif "width="96" height="51">, кои се проверуваат според б). Може да има точки во пресеците на гредата, каде што се среќаваат и нормални и големи тангенцијални напрегања. За овие точки се пронајдени еквивалентни напрегања, кои не треба да ги надминуваат дозволените. Условите за јакост се проверуваат според различни теории за јачина
Јас-Јас: 
; II-I: (со Поасонов сооднос m=0,3); - ретко се користи.
III-I: 
, IV-I: 
,
Мор теорија: , (се користи за леано железо, во кое дозволениот напон на истегнување ¹ - компресивен).
Одредување на поместувања во греди при свиткување
https://pandia.ru/text/78/374/images/image113_9.gif" width="104" height="52 src=">, каде што r(x) е радиусот на искривување на свитканата оска на зрак во пресек x, M (x) - момент на свиткување во истиот дел, EJ - вкочанетост на гредата Познато е од вишата математика: - тангента на аголот помеѓу x-оската и тангентата на кривата оска. Оваа вредност е многу мала (дефлексиите на гредата се мали) Þ нејзиниот квадрат е занемарен и аголот на вртење на пресекот е изедначен со тангентата. приближна диференцијална равенка за оската на кривиот сноп: 
. Ако y-оската е насочена нагоре, тогаш знакот (+). Во некои универзитети, y-оската оди надолу Þ(-). Интегрирање на diff..gif" width="226" height="50 src="> - добиваме ниво на отклонување. Интеграционите константи C и D се наоѓаат од граничните услови, кои зависат од методите на фиксирање на зракот.
a" од потеклото, се множи со факторот (x - a) 0, што е еднакво на 1. Секое распределено оптоварување се продолжува до крајот на гредата, а товарот во спротивна насока се нанесува за да се компензира .
EJ= M(x) = RA×x – https://pandia.ru/text/78/374/images/image122_8.gif" width="79 height=49" height="49"> - P(x - а – б); интегрираме:
EJ = EJq0 + RA× – – M(x – a) + – P;
EJy =EJy0 + EJq0x + RA× – – M + https://pandia.ru/text/78/374/images/image132_8.gif" width="93" height="51 src=">.
Почетните параметри се она што го имаме на почетокот, т.е. за сликата: M0=0, Q0=RA, отклон y0=0, агол на ротација q0¹0. q0 од замената во втората равенка ги наоѓаме условите за фиксирање на вистинската потпора: x=a+b+c; y(x)=0.
Диференцијални зависности при свиткување :
; 
; https://pandia.ru/text/78/374/images/image136_6.gif" width="56" height="48 src=">.
Дефиниција на поместувања со методот на фиктивно оптоварување. Усогласување на равенките:
https://pandia.ru/text/78/374/images/image138_5.gif" align="left" width="203" height="120 src="> и имаме аналогија, Þ дефиницијата за отклонувања може да се сведе на дефиницијата на моментите од некое фиктивно (условно) оптоварување во фиктивна греда: Моментот од фиктивно оптоварување Mf по делењето со EJ е еднаков на отклонот „y“ во даден сноп од дадено оптоварување Имајќи предвид дека и . добиваме дека аголот на вртење во даден сноп е нумерички еднаков на фиктивната попречна сила во фиктивен сноп.. Во овој случај, треба да има целосна аналогија во граничните услови на два греда. фиктивен зрак.
Прицврстувањето на фиктивните греди се избира од условот на краевите на гредата и на потпорите да има целосна кореспонденција помеѓу „y“ и „q“ во дадена греда и Mf и Qf во фиктивна греда. Ако дијаграмите на моментите и кај реалните и во фиктивните греди се изградени од страната на растегнатото влакно (т.е., позитивниот момент е поставен), тогаш линиите на отклонување во дадениот зрак се совпаѓаат со дијаграмот на моментите во фиктивниот зрак.
Статички неопределени греди.
Системите се нарекуваат статички неопределени ако реакциите во кои не може да се одредат од равенките на рамнотежа на цврсто тело. Во такви системи, има повеќе врски отколку што е потребно за рамнотежа. Степенот на статичка неодреденост на зракот(немаат средни шарки - континуирани греди) е еднакво на вишокот (дополнителен) број на надворешни врски (повеќе од три).
https://pandia.ru/text/78/374/images/image120_7.gif" width="21" height="25 src=">.gif" width="20" height="25 src=">. gif" width="39" height="51 src="> + C;
EJy = RВ×https://pandia.ru/text/78/374/images/image129_6.gif" width="40" height="49 src="> + С×х + D..gif" width=" 39" height="49 src=">+ MA=0; се РА и МА.
дополнително „поправање“ се нарекува главен систем. За „екстра“ непознатото, може да земете која било од реакциите. Откако ги применивме дадените оптоварувања на главниот систем, додаваме услов што обезбедува совпаѓање на дадениот зрак и главниот - равенката за компатибилност со поместување. За сл.: yB=0, т.е. отклон во точката B = 0. Решението на оваа равенка е можно на различни начини.
Начин да се споредат поместувањата
.
Отклонувањето на точката B (сл.) се одредува во главниот систем под дејство на дадено оптоварување (q): yВq = „екстра“ непозната RB, а отклонот од дејството на RB е пронајден: 
. Замена во равенката за компатибилност со поместување: yB= yВq += 0, т.е. += 0, од каде RB=https://pandia.ru/text/78/374/images/image153_4.gif" align="лево" ширина =" 371" height="300 src="> Теорема за три моменти
. Се користи во пресметката континуирани греди- греди на многу потпори, од кои едната е фиксирана, останатите се подвижни. За да се премести од статички неопределен зрак до статички определен основен систем, шарките се вметнуваат над дополнителните потпори. Дополнителни непознати: моменти применети Mn на краевите на распони преку дополнителни потпори.
Парцели на моменти се изградени за секој распон на гредата од дадено оптоварување, сметајќи го секој распон како едноставен сноп на две носачи. За секоја средна поддршка се составува „n“. равенка од три моменти:
wn, wn+1 – површини на заплетот, an – растојание од тежиштето на левиот дијаграм до левата потпора, bn+1 – растојание од тежиштето на десниот дијаграм до десната потпора. Бројот на моментални равенки е еднаков на бројот на средни потпори. Нивното заедничко решение овозможува да се најдат непознати моменти за поддршка. Знаејќи ги потпорните моменти, се разгледуваат поединечни распони и се наоѓаат непознати реакции на поддршка од статичките равенки. Ако има само два распони, тогаш левиот и десниот момент се познати, бидејќи тие се или дадени моменти или се еднакви на нула. Како резултат на тоа, добиваме една равенка со една непозната М1.
Општи методи за определување на поместувања
m" , што е предизвикано од дејството на силата на генерализираното „n". Вкупно поместување предизвикано од повеќе фактори на сила: DР = DРP + DРQ + DРM. Поместувања предизвикани од една сила или еден момент: d - специфично поместување. Ако една сила P=1 предизвикала поместување dP, тогаш вкупното поместување предизвикано од силата P ќе биде: DP=P×dP. Ако факторите на сила што дејствуваат на системот се означени како X1, X2, X3, итн., тогаш движењето во насока на секој од нив:
каде Х1d11=+D11; X2d12=+D12; Хidmi=+Dmi. Димензии на специфични поместувања: 
, J - џули, димензијата на работа е 1J = 1Nm.
Работата на надворешните сили кои делуваат на еластичен систем: 
.
https://pandia.ru/text/78/374/images/image160_3.gif" width="307" height="57">,
k - коефициентот земајќи ја предвид нерамномерната распределба на напрегањата на смолкнување по површината на напречниот пресек, зависи од обликот на пресекот.
Врз основа на законот за зачувување на енергијата: потенцијална енергија U=A.
Д 
11 - движење во насока. сила P1 од дејството на силата P1;
D12 - движење во насока. сила P1 од дејството на силата P2;
D21 - движење во насока. сила P2 од дејството на силата P1;
D22 - движење во насока. сила P2 од дејството на силата P2.
А12=Р1×D12 – работата на силата Р1 на првата состојба на движењето во нејзина насока, предизвикана од силата Р2 на втората состојба. Слично: A21=P2×D21 е работата на силата P2 на втората состојба на движењето во нејзината насока, предизвикана од силата P1 на првата состојба. A12=A21. Истиот резултат се добива за кој било број сили и моменти. Теорема за реципроцитет на работа: Р1×D12=Р2×D21.
Работата на силите на првата држава на поместувањата во нивните правци, предизвикани од силите на втората состојба, е еднаква на работата на силите на втората држава на поместувањата во нивните насоки, предизвикани од силите на првата состојба. .
Теорема за реципроцитет на поместувања (теорема на Максвел)Ако P1=1 и P2=1, тогаш P1d12=P2d21, т.е. d12=d21, генерално dmn=dnm.
За две единични состојби на еластичен систем, движењето во насока на првата единица сила предизвикано од втората единица сила е еднакво на движењето во насока на втората единица сила предизвикана од првата сила.
https://pandia.ru/text/78/374/images/image163_4.gif" width="104" height="27 src="> од дејството на единица сила; 4) пронајдените изрази се заменуваат во Mohr интеграл и интегриран според даденото Ако добиеното Dmn>0, тогаш поместувањето се совпаѓа со избраната насока на единицата сила, ако<0, то противоположно.
За рамен дизајн:
https://pandia.ru/text/78/374/images/image165_3.gif" width="155" height="58">.
https://pandia.ru/text/78/374/images/image167_4.gif" width="81 height=43" height="43"> за случај кога дијаграмот од дадено оптоварување има произволна форма, и од едно оптоварување - праволиниско е погодно одредено со графико-аналитичкиот метод предложен од Верешчагин. 
, каде што W е плоштината на дијаграмот Мр од надворешно оптоварување, yc е ординатата на дијаграмот од единица оптоварување под тежиштето на дијаграмот Мр. Резултатот од множењето на дијаграмите е еднаков на производот на плоштината на еден од дијаграмите со ординатата на другиот дијаграм, земен под центарот на гравитација на областа на првиот дијаграм. Ординатата мора да се земе од права линија. Ако двата дијаграми се праволиниски, тогаш ординатата може да се земе од која било.
https://pandia.ru/text/78/374/images/image170_3.gif" width="119" height="50 src=">. Оваа формула се пресметува по делови, од кои секоја има праволиниски дијаграм без фрактури .Сложениот дијаграм Mp е поделен на едноставни геометриски форми, за кои е полесно да се одредат координатите на центрите на гравитација. Кога се множат два дијаграми кои изгледаат како трапезоиди, погодно е да се користи формулата: 
. Истата формула е погодна и за триаголни дијаграми, ако ја замениме соодветната ордината = 0.
https://pandia.ru/text/78/374/images/image173_3.gif" width="71" height="48"> (за сл., т.е. 
, xC=L/2).
слепо „вградување со рамномерно распоредено оптоварување, имаме конкавна квадратна парабола, за која =3L/4. Можете исто така да го добиете ако ја претставувате заплетот како разлика помеѓу плоштината на триаголник и плоштината на конвексна квадратна парабола: 
. Областа „недостасува“ се смета за негативна.
Теорема на Кастиљано.
– поместувањето на точката на примена на генерализираната сила во насока на нејзиното дејство е еднакво на парцијалниот дериват на потенцијалната енергија во однос на оваа сила. Занемарувајќи го влијанието на аксијалните и попречните сили врз движењето, ја имаме потенцијалната енергија: 
, каде 
.
Статички неопределени системи- системи, факторите на сила во чии елементи не можат да се утврдат само од равенките на рамнотежа на круто тело. Во такви системи, бројот на врски е поголем отколку што е потребно за рамнотежа. Степен на статичка неодреденост: S = 3n - m, n - бројот на затворени јамки во структурата, m - бројот на единечни шарки (шарка што поврзува две прачки се брои како една, поврзувајќи три прачки - како две, итн.). метод на силафакторите на сила се земаат како непознати. Редоследот на пресметување: 1) поставете го степенот на статичност. неодредливост; 2) со отстранување на непотребните врски, оригиналниот систем се заменува со статички определен - главниот систем (може да има неколку такви системи, но при отстранување на непотребните врски, не треба да се нарушува геометриската непроменливост на структурата); 3) главниот систем е оптоварен со дадени сили и непотребни непознати; 4) непознатите сили треба да се изберат така што деформациите на оригиналниот и главниот систем не се разликуваат. Односно, реакциите на отфрлените врски треба да имаат такви вредности при кои поместувањата во нивните насоки = 0. Канонските равенки на методот на сила:
Овие равенки се дополнителни ur-соеви кои ви дозволуваат да отворите статички. неодредливост. Бројот на ur-s = бројот на отфрлените врски, т.е. степенот на неодреденост на системот.
dik е движење во насока i, предизвикано од единица сила која дејствува во насока k. дии - главни, дик - странични движења. Според теоремата за реципроцитет на поместување: dik=dki. Dip - движење во насока на i-та врска, предизвикано од дејството на дадено оптоварување (членови на оптоварување). Поместувањата вклучени во канонските равенки се погодно одредени со методот Мор.
За да се направи ова, единечни оптоварувања X1=1, X2=1, Xn=1, надворешно оптоварување се применуваат на главниот систем и се исцртуваат кривините на моментите на свиткување. Мор интегралот се користи за да се најде: 
; 
; ….; 
;
; 
; ….; 
;
; 
; ….; 
.
Линијата над М покажува дека овие внатрешни сили се предизвикани од дејството на единица сила.
За системи што се состојат од праволиниски елементи, погодно е да се множат дијаграми користејќи го методот Верешчагин. 
; 
итн. WP е плоштината на дијаграмот Mp од надворешно оптоварување, yСр е ординатата на дијаграмот од едно оптоварување под центарот на гравитација на Мр дијаграмот, W1 е плоштината на дијаграмот М1 од едно оптоварување. Резултатот од множењето на дијаграмите е еднаков на производот на плоштината на еден од дијаграмите со ординатата на другиот дијаграм, земен под центарот на гравитација на областа на првиот дијаграм.
Пресметка на рамни криви шипки (прачки)
Заоблените греди вклучуваат куки, врски со синџири, лакови итн. Ограничувања: напречниот пресек има оска на симетрија, оската на гредата е рамна крива, товарот делува во иста рамнина. Има шипки со мала кривина: h / R<1/5, большой кривизны: h/R³1/5. При изгибе брусьев малой кривизны нормальные напряжения рассчитывают по формуле Навье, как для балок с прямой осью: https://pandia.ru/text/78/374/images/image198_3.gif" width="115" height="55">,
rН е радиусот на неутралниот слој, e=R – rН, R е радиусот на слојот во кој се наоѓаат центрите на гравитација на пресекот. Неутралната оска на заоблениот зрак не поминува низ тежиштето на делот C. Таа секогаш се наоѓа поблиску до центарот на кривината отколку тежиштето на пресекот. , r=rН – y. Знаејќи го радиусот на неутралниот слој, можете да го одредите растојанието "e" од неутралниот слој до центарот на гравитација. За правоаголен пресек со висина h, со надворешен радиус R2 и внатрешен R1: ; за различни делови, формулите се дадени во референтната литература. За h/R<1/2 независимо от формы сечения можно определять "е" по приближенной формуле: , где Jx – момент инерции сечения относительно оси, проходящей через его центр тяжести перпендикулярно плоскости кривизны бруса.
Нормалните напрегања во пресекот се распределуваат според хиперболичниот закон (помалку на надворешниот раб на пресекот, повеќе на внатрешниот раб). Под дејство на нормална сила N: 
(тука rН е радиусот на неутралниот слој, кој би бил под дејство само на моментот M, т.е. во N=0, но во реалноста, во присуство на надолжна сила, овој слој повеќе не е неутрален). Состојба на јачина: 
, притоа земајќи ги предвид екстремните точки во кои вкупните напрегања од свиткување и затегнување-компресија ќе бидат најголеми, односно y= – h2 или y= h1. Поместувањата погодно се одредуваат со методот на Мор.
Стабилност на компресирани прачки. Надолжен свиок
Уништувањето на шипката може да се случи не само затоа што силата ќе биде скршена, туку и затоа што шипката не ја задржува саканата форма. На пример, свиткување под надолжна компресија на тенок владетел. Губењето на стабилноста на праволиниската форма на рамнотежа на централно компресирана прачка се нарекува свиткување. Еластична рамнотежа стабилно, ако деформираното тело, со секое мало отстапување од рамнотежната состојба, има тенденција да се врати во првобитната состојба и се враќа во него кога ќе се отстрани надворешното влијание. Товарот, чиј вишок предизвикува губење на стабилноста, се нарекува критично оптоварување Rcr (критична сила). Дозволено оптоварување [P]=Pkr/nу, nу – нормативен фактор на стабилност..gif" width="111" height="51 src=">.gif" width="115 height=54" height="54"> - формулата ја дава вредноста на критичната сила за прачка со краеви на шарки. Со различни прицврстувања: 
, m е факторот за намалување на должината.
Со прицврстување со шарки на двата краја на шипката m=1; за прачка со затворени краеви m=0,5; за прачка со еден затворен и друг слободен крај m=2; за прачка со фиксиран едниот крај, а другиот со шарки, m=0,7.
Критичен притисок на притисок.: 
, – флексибилност на прачка, 
е најмалиот главен радиус на инерција на пресечната површина на шипката. Овие формули важат само кога напоните skr £ spts се граница на пропорционалност, т.е. во границите на применливоста на Хуковиот закон. Ојлеровата формула е применлива кога прачката е флексибилна: 
, на пример, за челик St3 (C235) lkr „100. За случајот л
Доволно кратки прачки за кои л
(Fnet = Fgross-Fweak - областа на ослабениот дел, земајќи ја предвид површината на дупките во делот Fweak, на пример, од навртки). \u003d scr / nу, nу - стандарден коефициент. маргина на стабилност. Дозволеното напрегање се изразува во однос на главното дозволено напрегање [s] што се користи при пресметките на јачината: =j×[s], j - дозволен фактор за намалување на стресотза компресирани прачки (коефициент на свиткување). Вредностите на j се дадени во Табела. во учебниците и зависат од материјалот на шипката и неговата флексибилност (на пример, за челик St3 при l=120 j=0,45).
Во проектната пресметка на потребната површина на пресек, на првиот чекор се зема j1 = 0,5–0,6; најдете: 
. Понатаму, знаејќи го Fgross, изберете го делот, определете ги Jmin, imin и l, поставени според Табела. фактичката j1I, доколку значително се разликува од j1, пресметката се повторува со просечната j2= (j1+j1I)/2. Како резултат на вториот обид, се наоѓа j2I, во споредба со претходната вредност, и така натаму, додека не се постигне доволно блиско совпаѓање. Обично се потребни 2-3 обиди..
Зависност помеѓу моменти на инерција при вртење на оските:
https://pandia.ru/text/78/374/images/image249_2.gif" width="17" height="47 src=">(Jx - Jy)sin2a + Jxycos2a ;
Агол a>0, ако преминот од стариот координатен систем во новиот се случи спротивно од стрелките на часовникот. стр Jy1 + Jx1= Jy + Jx
Се нарекуваат екстремни (максимални и минимални) вредности на моменти на инерција главните моменти на инерција. Се нарекуваат оските во однос на кои аксијалните моменти на инерција имаат екстремни вредности главните оски на инерција. Главните оски на инерција се меѓусебно нормални. Центрифугални моменти на инерција околу главните оски \u003d 0, т.е. главните оски на инерција се оските во однос на кои центрифугалниот момент на инерција \u003d 0. Ако една од оските се совпаѓа или двете се совпаѓаат со оската на симетрија, тогаш тие се главни. Агол што ја одредува положбата на главните оски: 
, ако a0>0 Þ оските се ротираат спротивно од стрелките на часовникот. стр Оската на максимум секогаш прави помал агол со оној на оските, во однос на кој моментот на инерција има поголема вредност. Се нарекуваат главните оски што минуваат низ центарот на гравитација главните централни оски на инерција. Моменти на инерција за овие оски: 
Jmax + Jmin = Jx + Jy. Центрифугалниот момент на инерција околу главните централни оски на инерција е 0. Ако се познати главните моменти на инерција, тогаш формулите за премин кон ротирани оски се:
Jx1=Jmaxcos2a + Jminsin2a; Jy1=Jmaxcos2a + Jminsin2a; Jx1y1=(Jmax - Jmin)sin2a;
Крајната цел на пресметувањето на геометриските карактеристики на пресекот е да се одредат главните централни моменти на инерција и положбата на главните централни оски на инерција. 
Радиус на инерција- https://pandia.ru/text/78/374/images/image254_3.gif" width="85" height="32 src=">. За пресеци со повеќе од две оски на симетрија (на пример: круг, квадрат, прстен и сл.) аксијалните моменти на инерција во однос на сите централни оски се еднакви меѓу себе, Jxy=0, елипсата на инерција се претвора во круг на инерција.
s- нормален напон[Pa], 1Pa (паскал) = 1 N/m2,
106Pa = 1 MPa (мегапаскал) = 1 N/mm2
N - надолжна (нормална) сила [N] (Њутн); F - површина на пресек [m2]
e - релативна деформација [бездимензионална вредност];
DL - надолжна деформација [m] (апсолутно издолжување), L - должина на шипката [m].
Хуковиот закон - s = E×e
Е - модул на истегнување (модул на еластичност од 1-виот вид или Јанг-модул) [MPa]. За челик E = 2×105MPa = 2×106 kg/cm2 (во „стариот“ систем на единици).
(колку повеќе E, толку помалку е растеглив материјалот)
; - Хуковиот закон
EF - вкочанетост на прачка при напнатост (компресија).
Кога шипката се протега, таа се „разредува“, нејзината ширина - а се намалува со попречна деформација - Да.
Релативна попречна деформација.
 |
Основни механички карактеристики на материјалите
sp - граница на пропорционалност, st - сила на принос, sВ- ограничување на силатаили привремен отпор, sk е напонот во моментот на кинење.
Кршливите материјали, како што е леано железо, се кршат при ниски издолжувања и немаат висорамнина, подобро се спротивставуваат на компресија отколку истегнување.
Дозволен напон https://pandia.ru/text/78/374/images/image276_3.gif" align="left" width="173" height="264"> напрегања долж наклонот:
Директна задача…………………………………………………..3
Инверзна задача……………………………………………………………3
Волуменска стресна состојба……………………………4
Напрегања долж октаедралната локација……………………..5
Деформации под волуметриска напонска состојба.
Генерализиран Хуков закон ……………………………………………6
Потенцијална енергија на деформација…………………………7
Теории на јачина…………………………………………………………………………9
Моровата теорија на сила ………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………
Мор Круг ………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………
Нето поместување……………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………
Хуковиот закон при смолкнување……………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………
Торзија……………………………………………………..13
Торзија на правоаголна шипка……………………….14
Свиткајте………………………………………………………………… 15
Формулата на Журавски……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Пресметка за јачина на свиткување……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Определување на поместувања во греди при свиткување………………19
Диференцијални зависности при свиткување………………….20
Равенка за компатибилност со поместување………………………..22
Начин на споредување на поместувањата………………………………..22
Теорема за три моменти………………………………………..22
Општи методи за определување на поместувања…………………….24
Теорема за реципроцитет на работата (теорема на Бетли)…………………….25
Теоремата за реципроцитет на поместувањата (теорема на Максвел).. 26
Пресметка на интегралот Мор со методот Верешчагин……….27
Теорема на Кастиљано…………………………………………………..28
Статички неопределени системи…………………………..29
Пресметка на рамни криви шипки (прачки)…………………………………………………………………………
Стабилност на компресирани прачки. Надолжен свиок………33
Геометриски карактеристики на рамни пресеци…………36
Моменти на инерција на пресекот…………………………………..37
Центрифугален момент на инерција на пресекот …………………..37
Моменти на инерција на пресеци со едноставни форми…………………..38
Моменти на инерција за паралелни оски……..39
Односот помеѓу моментите на инерција при вртење
секири………………………………………………………… 40
Моменти на отпор…………………………………….42
Затегнување и компресија………………………………………………………43
Основни механички карактеристики на материјалите…….45
Биаксијаленили раменнаречена таква напрегана состојба на телото, во која во сите негови точки еден од главните напрегања е еднаков на нула. Може да се покаже * дека рамна напонска состојба се јавува во призматично или цилиндрично тело (сл. 17.1) со лабави и неоптоварени краеви, ако на страничната површина на телото се примени систем на надворешни сили нормални на оската. Ози се менува во зависност од zспоред квадратниот закон е симетричен во однос на средната пресек. Излегува дека во сите пресеци на телото
и напонот a x, a y, xпромени во зависност од zисто така, според квадратниот закон, тој е симетричен во однос на средната пресек. Воведувањето на овие претпоставки овозможува да се добие решение за проблемот што ги задоволува условите (17.13) и сите равенки на теоријата на еластичност.
Од интерес е посебен случај кога напрегањата не зависат од променливата z'-
Таква напрегана состојба е можна само под дејство на оптоварување рамномерно распоредено по должината. Од формулите на Хуковиот закон (16.3) произлегува дека деформациите e x, e y, e z, y исто така не зависат од z,и деформации y и y zxземајќи ги во предвид (17.13) се еднакви на нула. Во овој случај, четвртата и петтата од равенките за континуитет на деформација (16.4), (16.5) се идентично задоволни, а втората, третата и шестата равенка имаат форма
Интегрирајќи ги овие равенки и земајќи ја предвид третата формула на Хуковиот закон (16.3) со az = 0, добиваме
Цм.: Тимошенко С.П., Гудјер Ј.Теорија на еластичност. Москва: Наука, 1975 година.
Така, рамна напонска состојба во призматично или цилиндрично тело со слободни краеви оптоварени со константа на површинско оптоварување долж должината на телото е можна само во конкретниот случај кога збирот на напрегањата a x + a yварира во зависност од променливите x и налинеарна или константна.
Ако растојанието помеѓу крајните рамнини на телото (сл. 7.1) е мало во споредба со димензиите на пресеците, тогаш имаме случај на тенка плоча (сл. 17.5) оптоварена долж надворешната контура со сили симетрично распоредени во однос на средната рамнина на плочата според квадратен закон. Од дебелината на плочата че мал, тогаш со мала грешка може да се претпостави дека за секое симетрично во однос на средното рамно оптоварување на плочата за напрегање a x, a v, txv се рамномерно распоредени по неговата дебелина.
Во овој случај, напрегањата треба да се сфатат како нивните просечни вредности над дебелината, на пример
Исто така, треба да се забележи дека кога се воведува претпоставката (17.14), состојбата (17.13) на нула напрегања
Разгледаниот случај на напонска состојба на тенка плоча со претпоставки (17.13) и (17.14) често се нарекува генерализирана рамнинска стресна состојба.
Да ги разгледаме основните равенки на теоријата на еластичност за овој случај.
Земајќи ја предвид (17.13), формулите на Хуковиот закон (16.3) можат да бидат напишани во форма
Соодветните инверзни односи имаат форма
Формулите (17.17) и (17.18) се разликуваат од формулите (17.7) и (17.9) на Хуковиот закон за рамна деформација само по тоа што во второто, наместо модулот на еластичноста Еа Поасоновиот однос v ги вклучува намалените количини Е (и вр
Равенките на рамнотежата, Кошиовите односи, равенката за континуитет на деформација и статичките гранични услови не се разликуваат од соодветните равенки (17.10), (17.3), (17.11), (17.12) за рамнинско деформирање.
Рамнинската деформација и генерализираната рамнинска напонска состојба во суштина се опишани со истите равенки. Единствената разлика е во вредностите на константите на еластичност во формулите на Хуковиот закон. Затоа, двете задачи се комбинираат со заедничко име: рамнина задача на теоријата на еластичност.
Целосниот систем на равенки на проблемот со рамнината се состои од две равенки на рамнотежа (17.10), три геометриски Коши односи (17.3) и три формули на Хуковиот закон (17.7) или (17.17). Тие содржат осум непознати функции: три напони a x, a y, x xy,три соеви e x, e y, y xyи два потези ИИ И.
Ако при решавање на проблем не е потребно да се одредат поместувања, тогаш бројот на непознати се намалува на шест. За да се одредат, постојат шест равенки: две равенки на рамнотежа, три формули на Хуковиот закон и равенката за континуитет на деформации (17.11).
Главната разлика помеѓу разгледуваните два типа на проблем со рамнина е како што следува. За деформација на рамнина ? z = 0, оз* 0 и вредноста c zможе да се најде со формулата (17.6) откако ќе се одредат напрегањата o x io. За генерализирана состојба на стрес на рамнина a z = 0, ? z Ф 0, и искривување ? zможе да се изрази во однос на напрегањата o x и ОУспоред формулата (17.16). се движат wможе да се најде со интегрирање на равенката на Коши
ДЕФОРМИРАНИ СОСТОЈБИ („РАМЕН ПРОБЛЕМ“)
Рамнински напрегања и рамнински деформации се карактеризираат со следните карактеристики.
1. Сите компоненти на напрегањето не зависат од една од координатите заеднички за сите компоненти и остануваат константни кога таа се менува.
2. Во рамнини нормални на оската на оваа координата:
а) компонентите на напрегањето на смолкнување се еднакви на нула;
б) нормалното напрегање е или еднакво на нула (рамнинска напонска состојба), или еднаква на половина од збирот на две други нормални напрегања (рамнинска состојба на напрегање).
Да ја земеме за оската, која беше спомената претходно, y-оската. Од горенаведеното е јасно дека оваа оска ќе биде главна, т.е., може да се означи и со индексот 2. Покрај тоа, , и не зависат од y; во исто време, и , и оттука, и и се еднакви на нула.
За рамномерна напрегана состојба = 0. За рамномерна деформирана состојба (оваа карактеристика на рамна деформирана состојба ќе се докаже подолу).
Секогаш треба да се земе предвид значајната разлика помеѓу напрегнатата рамнина и рамнината напрегање.
Во првата, во насока на третата оска, нема нормално напрегање, но има деформација, во втората има нормален напон, но нема деформација.
Рамнинска напонска состојба може да биде, на пример, во плоча подложна на дејството на силите што се применуваат на нејзината контура паралелно со рамнината на плочата и рамномерно распоредени по нејзината дебелина (сл. 3.16). Промената на дебелината на плочата во овој случај не е важна, а нејзината дебелина може да се земе како единство. Со доволна точност, состојбата на напрегање на прирабницата може да се смета за рамна кога се црта цилиндрична палка од лист материјал.
Рамно деформирана состојба може да се прифати за делови од цилиндрично или призматично тело со голема должина, оддалечени од неговите краеви, ако телото е оптоварено со сили кои не се менуваат по неговата должина и се насочени нормално на генераторите. Во рамна деформирана состојба, на пример, шипката може да се смета дека е подложна на вознемирување во насока на нејзината дебелина, кога може да се занемари деформацијата по должината.
Сите равенки за напонска состојба за проблем со рамнина се значително поедноставени и бројот на променливи е намален.
Равенките за проблемот со рамнината може лесно да се добијат од оние што беа изведени порано за состојбата на масовно напојување, земајќи го предвид тоа 
\u003d 0 и земајќи \u003d 0, бидејќи наклонетите области треба да се сметаат само паралелни со оската y, т.е. нормални на области кои се ослободени од напрегања во состојба на рамномерен напон или без деформации во рамна деформирана состојба (сл. 3.17 ).
Во предметот што се разгледува
Означувајќи го аголот (види Сл. 3.17) помеѓу нормалната кон наклонетата област и оската (или оската, ако состојбата на напрегање е дадена во главните оски 1 и 2) до , добиваме , од каде .
Имајќи го предвид горенаведеното, со директни замени во соодветните изрази (3.10) и (3.11) за волуметриската состојба на напрегање, ги добиваме нормалните и напрегањата на смолкнување во наклонетото подрачје (види Сл. 3.17).
Сл.3.15. Рамнинска напонска состојба (а), напрегање на навалена платформа (б)
нормален напон
напрегање на смолкнување
. (3.41)
Од изразот (3.41) лесно е да се види дека има максимум при грев 2 \u003d 1, т.е. на \u003d 45 °:
. (3.42)
Големината на главните напрегања може да се изрази во однос на компоненти во произволни оски со помош на равенката (3.13), од која добиваме
. (3.43)
Во овој случај, за рамна состојба на напрегање = 0; за рамна напната состојба
Познавајќи ја состојбата на напрегање во главните оски, лесно е да се префрлите на која било произволна координатна оска (сл. 3.18). Нека новата координатна оска x направи агол со оската, а потоа, сметајќи ја како нормална на наклонетата област, имаме за второто според равенката (3.40)
но за оската, напонот е напон, оттука
овој израз може да се конвертира на следниов начин:
(3.44)
Новата оска ќе биде навалена кон оската 1 за агол (+90°); затоа, заменувајќи во претходната равенка со ( + 90°), добиваме
Го одредуваме напонот од изразот (3.41):
. (3.46)
Означување на просечниот напон низ, т.е
, (3.47)
и земајќи ја предвид равенката (3.42), ги добиваме таканаречените формули за трансформација, кои ги изразуваат компонентите на напрегањето во функција на аголот:
(3.48)
Кога го конструираме Мор дијаграмот, земаме предвид дека бидејќи ги разгледуваме областите паралелни на y-оската (т.е., оската 2), насоката косинус е секогаш нула, т.е. агол = 90 °. Затоа, сите соодветни вредности и ќе бидат лоцирани на кругот дефиниран со равенката (3.36 б) кога се заменува = 0 во него, имено:
, (3.49)
или земајќи ги предвид изразите (3.47) и (3.42)
. (3.49а)
Овој круг е прикажан на сл. 3.19 и е Мор дијаграм. Координатите на некоја точка P што се наоѓа на кругот ги одредуваат соодветните вредности и да ја поврземе точката P со точката. Лесно е да се види дека отсечките 0 2 P = ;
Рр= , Ор= , и, следствено, грев 
= 
.
Споредувајќи ги добиените изрази со равенките (3.48), можеме да го утврдиме тоа
P0 2 A \u003d 2, P0 2 A \u003d.
Така, знаејќи ја положбата на навалената област, одредена од аголот, може да се најдат вредностите на напрегањата и дејствувањето во оваа област.
Сл.3.17. Мор дијаграм
,
тогаш сегментот OP го изразува вкупниот стрес S.
Ако елементот на напрегнатото тело, во наклонетото лице на кое се разгледуваат напрегањата, е нацртан така што главниот напон е насочен паралелно со оската, тогаш нормалното N повлечено кон ова наклонето лице, а оттука и насоката на напрегањето, ќе биде паралелна со отсечката СР.
Продолжувајќи ја линијата P0 2 до пресекот со кругот, во точката P „го добиваме вториот пар на вредности и за друга наклонета област, во која „ = + 90 °, т.е. за областа нормална на првата , со насока на нормалата ". Насоките на нормалните N и N" може да се земат соодветно како насоки на новите оски: и , и напрегањата и " - соодветно за координатните напрегања и. Така, можно е да се да се определи состојбата на напрегање во произволни оски без користење на формули (3.44) - (3.46).се еднакви една со друга според законот за спарување.
Не е тешко да се реши инверзниот проблем: за дадени напрегања во две меѓусебно нормални области , и t "(каде t" = t) најдете ги главните напрегања.
Ние цртаме координатни оски n и (сл. 3.19). Ги исцртуваме точките P и P "со координати што одговараат на дадените напрегања , и ,. Пресекот на отсечката PP" со оската ќе го одреди центарот на кругот Мор 0 2 со дијаметар PP "= 2 31. Понатаму, ако ги градиме оските N, N" (или, нешто исто, , ) и ја ротираме фигурата така што насоките на овие оски се паралелни со насоките на напрегањата и во разгледуваната точка на даденото тело, потоа насоките на оските а дијаграмот ќе биде паралелен со правецот на главните оски 1 и 2.
Равенката за диференцијална рамнотежа за рамномерен проблем ја добиваме од равенките (3.38), земајќи предвид дека сите изводи во однос на y се еднакви на нула, а исто така се еднакви на нула и :
(3.50)
При решавање на некои проблеми поврзани со рамни, понекогаш е погодно да се користат поларни координати наместо правоаголни координати, одредувајќи ја позицијата на точка според векторот на радиусот и поларниот агол, т.е. аголот што векторот на радиусот го прави со оската.
Условите за рамнотежа во поларните координати може лесно да се добијат од истите услови во цилиндричните координати со изедначување
И со оглед на тоа дека изводите се еднакви
(3.51)
Посебен случај на проблем со рамнина е оној каде што напрегањата исто така не зависат од координатата (распределбата на напрегањата е симетрична во однос на оската). Во овој случај, дериватите во однос на и напрегањата и ќе исчезнат, а условите за рамнотежа се одредуваат со една диференцијална равенка
. (3.52)
Јасно е дека и овде главни се стресовите.
Таква напната состојба може да се земе за прирабницата на тркалезна палка за време на цртањето без притискање на цилиндричната чаша.
Вид на стресна состојба
Состојбата на напрегање во која било точка на деформабилното тело се карактеризира со три главни нормални напрегања и насоки на главните оски.
Постојат три главни типа на стресна состојба: волумен (триаксијален), во кој сите три главни напрегања не се еднакви на нула, рамни (биаксијални), во кои еден од главните напони е нула и линеарен (едноаксијален), во кој само еден главен стрес е различен од нула.
Ако сите нормални напрегања имаат ист знак, тогаш стресната состојба се нарекува со исто име, а ако напрегањата на различни знаци се со спротивен знак.
Така, постојат девет типа на стресна состојба: четири волуметриски, три рамни и два линеарни (сл. 3.18).
Состојбата на напрегање се нарекува хомогена кога во која било точка на деформирачкото тело насоките на главните оски и големината на главните нормални напрегања остануваат непроменети.
Видот на стресната состојба влијае на способноста на металот да се деформира пластично без да се сруши и количината на надворешна сила што мора да се примени за да се постигне деформација на дадена вредност.
Така, на пример, деформацијата во услови на иста волуметриска напонска состојба бара повеќе напор отколку при спротивна напонска состојба, сите други работи се еднакви.
прашања за тестирање
1.Што е напон? Што ја карактеризира стресната состојба на точка, тело како целина?
2. Што изразуваат индексите во ознаката на компонентите на тензорот на напрегање?
3. Наведете го правилото за знак за компонентите на тензорот на напрегање.
4. Запишете ги формулите на Коши за напрегања на наклонетите платформи. Која е основата за нивниот заклучок?
5. Што е тензор на стрес? Кои се компонентите на тензорот на стрес?
6. Како се нарекуваат сопствени вектори и сопствени вредности на тензорот на стрес?
7. Кои се главните стресови? Колку?
8. Наведете го правилото за доделување на индекси на главните нормални напрегања.
9. Дајте физичка интерпретација на главните нормални напрегања и главните оски на тензорот на напрегање.
10. Прикажете ги дијаграмите на главните нормални напрегања за главните процеси на ОМД - тркалање, цртање, притискање.
11. Што се непроменливи тензори на стрес? Колку?
12. Кое е механичкото значење на првата инваријантна тензор на напрегање?
13. Што се нарекува интензитет на напрегања на смолкнување?
14..Кои се главните напрегања на смолкнување? Најдете ги нивните платформи
15.. Колку области на главните напрегања на смолкнување може да се наведат во некоја точка од деформирачкото тело?
16. Колку е максималното напрегање на смолкнување, нормалното напрегање на местото на кое делува?
17. Што е аксисиметрична напонска состојба? Наведи примери.
18. Прикажете ги дијаграмите на главните нормални напрегања за главните OMD процеси - тркалање, цртање, притискање.
19. Што е заедничко помеѓу напрегнатата рамнина и рамнина деформирана состојба и која е разликата меѓу нив? На која од овие состојби се однесува едноставното поместување?
20. Дајте ги формулите на теоријата на стрес кои ви се познати во главниот координатен систем
21. Што е стрес елипсоид? Запишете ја нејзината равенка и означете го редоследот на изградбата. Каков е обликот на напонскиот елипсоид за хидростатички притисок, рамни и линеарни напонски состојби?
22. Запишете равенка за наоѓање на главните нормални напрегања и три системи на равенки за наоѓање на главните оски Т а.
23..Што е сферичен тензор и девијатор на напрегање? Кои величини се користат за пресметување на втората и третата инваријанта на девијаторот на напрегањето?
24. Покажете дека главните координатни системи на тензорот на напрегањето и девијаторот на напрегањето се совпаѓаат.
25. Зошто се воведени во предвид интензитетот на напрегањето и интензитетот на напрегањето на смолкнување? Објаснете го нивното физичко значење и дадете геометриски толкувања.
26. Што е Мор дијаграм? Кои се радиусите на главните кругови?
27. Како ќе се промени Мор дијаграмот кога ќе се промени просечниот напон?
28. Што се октаедрални напрегања?
29. Колку карактеристични области може да се повлечат низ точка на тело во напрегана состојба?
30. Услови на рамнотежа за волуметриската напонска состојба во правоаголни координати, во цилиндрични и сферични координати.
31. Равенки за рамнотежа за проблем со рамнина.
БИБЛИОГРАФИЈА
1. Ilyushin A. A. Пластичност. Ch. I. M.-L., GTI, 1948. 346 стр. (33)
2. И. М. Павлов, „За физичката природа на претставите на тензорите во теоријата на пластичноста“, Известија вузов. Цветна металургија“, 1965, бр. 6, стр. 100-104.
3. В. В. Соколовски, Теорија на пластичност. М., Виша школа, 1969. 608 стр. (91)
4. М. В. Сторожев и Е. А. Попов, Теорија на третман со метален притисок. М., „Инженерство“, 1971. 323 стр. (99)
5. С. П. Тимошенко, Теорија на еластичност. Гостехиздат, 1934. 451 стр. (104)
6. Shofman L. A. Основи на пресметка на процесот на печат и пресување. Машгиз, 1961. (68)
Да го разгледаме случајот со состојба на рамнина напрегање, која е важна за апликации и се реализира, на пример, во рамнината Oyz.Тензорот на стрес во овој случај ја има формата
Геометриската илустрација е прикажана на сл.1. Во исто време, сајтовите x= const се главни со соодветни нула главни напрегања. Инваријантите на тензорот на стрес се , а карактеристичната равенка има форма
Корените на оваа равенка се
|
Нумерирањето на корените е направено за случајот 
Сл.1.Почетна рамнинска напонска состојба. 
Сл.2.Позиција на главните напрегања
Произволна локација се карактеризира со агол на сл. 1, додека векторот Пима компоненти: , , n x \u003d 0. Нормалните и напрегањата на смолкнување на наклонето место се изразуваат во однос на аголот на следниов начин:
Најмалиот позитивен корен од равенката (4) ќе биде означен со . Од tg( X) е периодична функција со точка , тогаш имаме две меѓусебно ортогонални насоки кои ги сочинуваат аглите и 
со оска ОУ.Овие насоки одговараат на меѓусебно нормални главни области (сл. 2).
Ако ја диференцираме релацијата (2) во однос и го изедначиме изводот со нула, тогаш доаѓаме до равенката (4), која докажува дека главните напрегања се екстремни.
За да ја пронајдеме ориентацијата на областите со екстремни напрегања на смолкнување, го изедначуваме на нула изводот на изразот
од каде што добиваме
|
Споредувајќи ги релациите (4) и (5), откриваме дека
Оваа еднаквост е можна ако аглите се разликуваат по агол. Следствено, насоките на областите со екстремни напрегања на смолкнување се разликуваат од насоките на главните области по агол (сл. 3).
Сл.3.Екстремно напрегање на смолкнување
Вредностите на екстремните напрегања на смолкнување се добиваат по замена (5) во односот (3) со помош на формулите
.
По некои трансформации, добиваме
Споредувајќи го овој израз со претходно добиените вредности на главните напрегања (2.21), ги изразуваме екстремните напрегања на смолкнување во однос на главните напрегања
Слична замена во (2) води до израз за нормални напрегања на области со
Добиените релации ни овозможуваат да извршиме насочно ориентирана анализа на јачината на конструкциите во случај на состојба на рамна напрегање.
ТЕНЗОР НА ИМОТ
Прво да го разгледаме случајот со деформација на рамнина (сл. 4). Нека рамниот елемент MNPQсе движи во рамнината и се деформира (го менува обликот и големината). На сликата се означени координатите на точките на елементот пред и по деформацијата.
Сл.4.Рамна деформација.
По дефиниција, релативно линеарно напрегање во точка Мво насока на оската Ое еднакво на
Од сл. 4 следи
Со оглед на тоа MN=dx,добиваме
Во случај на мали деформации, кога , , можеме да ги занемариме квадратните поими. Земајќи го предвид приближниот сооднос
саем во x<<1, окончательно для малой деформации получим
Аголната деформација се дефинира како збир на агли и (4). Во случај на мали деформации
За аголната деформација имаме
Вршејќи слични пресметки во општиот случај на тридимензионална деформација, имаме девет релации
Овој тензор целосно ја одредува деформираната состојба на цврстото тело. Ги има истите својства како тензорот на стрес. Својството на симетрија директно произлегува од дефиницијата за аголни деформации. Главните вредности и главните насоки, како и екстремните вредности на аголните напрегања и нивните соодветни насоки, се наоѓаат со истите методи како кај тензорот на напрегање.
Инваријантите на тензорот на напрегање се дефинирани со аналогни формули, а првата инваријанта од малиот тензор на напрегање има јасно физичко значење. Пред деформација, неговиот волумен е еднаков на dV 0 =dxdydz.Ако ги занемариме деформациите на смолкнување, кои ја менуваат формата, а не волуменот, тогаш по деформацијата ребрата ќе имаат димензии
(сл. 4), а неговиот волумен ќе биде еднаков на
Релативна промена на јачината на звукот
во рамките на мали деформации ќе биде
што се совпаѓа со дефиницијата на првата непроменлива. Очигледно, промената на волуменот е физичка величина која не зависи од изборот на координатен систем.
Исто како тензорот на напрегање, тензорот на напрегање може да се разложи на сферичен тензор и девијатор. Во овој случај, првата инваријанта на девијаторот е еднаква на нула, т.е. девијаторот ја карактеризира деформацијата на телото без промена на неговиот волумен.
