Решавање на комплексни експоненцијални равенки во испитни тестови. Експоненцијални равенки. Метод на логаритам. Истакнување на стабилен израз

Не плашете се од моите зборови, вие веќе наидовте на овој метод во 7-мо одделение кога учевте полиноми.

На пример, ако ви треба:

Ајде да се групираме: првиот и третиот термин, како и вториот и четвртиот.

Јасно е дека првиот и третиот се разликуваат во квадратите:

а вториот и четвртиот имаат заеднички фактор три:

Тогаш оригиналниот израз е еквивалентен на ова:

Каде да се извади заедничкиот фактор веќе не е тешко:

Оттука,

Приближно така ќе постапиме кога решаваме експоненцијални равенки: барајте „заедништво“ меѓу поимите и ставете го надвор од заградите, добро тогаш - ајде што може, верувам дека ќе имаме среќа \u003d))

Пример број 14

Десно е далеку од степен на седум (го проверив!) И лево - не многу подобро ...

Можете, се разбира, да го „исецкате“ мултипликаторот a од вториот од првиот мандат, а потоа да се справите со резултатот, но ајде да го направиме тоа повнимателно со вас.

Не сакам да се занимавам со дропки, кои неизбежно доаѓаат од „селекција“, па зарем не би било подобро да издржам?

Тогаш нема да имам фракции: како што велат, волците се хранат, а овците се безбедни:

Пресметајте го изразот во загради.

На волшебен, магичен начин, излегува дека (изненадувачки, иако што друго да очекуваме?).

Тогаш ги откажуваме двете страни на равенката со овој фактор. Добиваме :, од каде.

Еве еден покомплициран пример (доста, навистина):

Каква мака! Ние тука немаме еден заеднички јазик!

Не е целосно јасно што да се прави сега.

Ајде да сториме што можеме: прво, да ги преместиме „четворките“ на едната, а „петорките“ на другата:

Сега да го преместиме "заедничкото" налево и надесно:

И што сега?

Која е придобивката од таквата глупава група? На прв поглед, тоа воопшто не е видливо, но да погледнеме подлабоко:

Па, сега ајде да успееме така што лево ќе го имаме само изразот, а десно - сè друго.

Како го правиме ова?

Еве како: Поделете ги двете страни на равенката прво со (вака се ослободуваме од степенот десно), а потоа поделете ги и двете страни со (на овој начин се ослободуваме од нумеричкиот фактор лево).

Конечно добиваме:

Неверојатно!

Лево имаме израз, а десно имаме едноставен.

Потоа, веднаш заклучуваме дека

Пример број 15

Willе го дадам неговото кратко решение (без премногу да се замарам со објаснувања), обидете се сами да ги дознаете сите „суптилности“ на решението.

Сега последната консолидација на положениот материјал.

Решавање на следниве 7 проблеми независно (со одговори)

1. Да го извадиме заедничкиот фактор од заградите:
2. Ние го претставуваме првиот израз во формата :, подели ги двата дела и добиј го тоа
3. , тогаш оригиналната равенка се трансформира во форма: Па, сега навестување - погледнете каде вие \u200b\u200bи јас веќе ја решивме оваа равенка!
4. Замислете како, како и, добро, потоа поделете ги двата дела со, за да добиете наједноставна експоненцијална равенка.
5. Извадете ги заградите.
6. Извадете ги заградите.

ОБЈАСНИ РЕКВАЦИИ. СРЕДНО НИВО

Претпоставувам дека откако го прочитав првиот напис што го раскажа тоа што се експоненцијални равенки и како да се решат, го совладавте потребниот минимум на знаење потребно за решавање на наједноставните примери.

Сега ќе анализирам друг метод за решавање на експоненцијални равенки, овој ...

Метод за воведување нова варијабла (или замена)

Тој решава повеќето „тешки“ проблеми на темата експоненцијални равенки (и не само равенки).

Овој метод е еден од најчесто се користи во пракса. Прво, препорачувам да се запознаете со темата.

Како што веќе разбравте од името, суштината на овој метод е да воведе таква промена на променливата што вашата експоненцијална равенка за чудо ќе се претвори во една што лесно можете да ја решите.

Останува само за вас по решавањето на оваа многу „поедноставена равенка“ е да направите „обратна замена“: односно да се вратите од заменетата во заменетата.

Ајде да го илустрираме она што го кажавме со еден многу едноставен пример:

Пример 16. Едноставен метод на замена

Оваа равенка се решава со користење „Едноставна замена“, како што математичарите потсмешно го нарекуваат.

Навистина, замената е најочигледна тука. Треба само да се види тоа

Тогаш оригиналната равенка ќе се претвори во оваа:

Ако дополнително замислите како, тогаш е сосема јасно што треба да се замени ...

Секако, .

Што тогаш ќе стане оригиналната равенка? И еве што:

Неговите корени лесно можете сами да ги пронајдете:.

Што да правиме сега?

Време е да се вратиме на оригиналната променлива.

Што заборавив да посочам?

Имено: кога ќе заменам одреден степен со нова променлива (т.е. при промена на приказот), ќе ме интересира само позитивни корени!

Вие самите лесно можете да одговорите зошто.

Така, јас и ти не сме заинтересирани, но вториот корен е сосема погоден за нас:

Тогаш каде.

Одговор:

Како што можете да видите, во претходниот пример, замената ги бараше нашите раце. За жал, не е секогаш така.

Сепак, да не одиме директно во тажната, туку вежбајте со уште еден пример со прилично едноставна замена

Пример 17. Едноставен метод на замена

Јасно е дека најверојатно ќе треба да се замени (ова е најмалиот од степените вклучени во нашата равенка).

Сепак, пред да се воведе замената, нашата равенка треба да биде „подготвена“ за тоа, имено:,.

Потоа можете да го замените, како резултат, го добивам следниот израз:

Ох ужас: кубна равенка со комплетно гаден формули за негово решение (добро, говорејќи во општа смисла).

Но, да не очајуваме веднаш, туку да размислиме што да правиме.

Proе предложам да лажеме: знаеме дека за да добиеме „убав“ одговор, треба да го добиеме во форма на некоја моќ на тројка (зошто би било тоа, а?)

Ајде да се обидеме да претпоставиме барем еден корен на нашата равенка (ќе започнам да погодувам со моќност од три).

Прва претпоставка. Не е корен. За жал и ах ...

.
Левата страна е еднаква.
Десен дел:!

Ете го! Го погодивте првиот корен. Сега работите ќе станат полесни!

Дали знаете за шемата за поделба „агол“? Секако дека знаете дека го користите кога ќе поделите еден број со друг.

Но, малку луѓе знаат дека истото може да се направи со полиномите.

Постои една голема теорема:

Применето на мојата ситуација, ова ми кажува по што се дели.

Како се спроведува поделбата? Така:

Гледам кој моном треба да го помножам за да добијам

Јасно е дека на, тогаш:

Одземете го добиениот израз од, добиете:

Сега на што треба да помножам за да добијам?

Јасно е дека на, тогаш ќе добијам:

и повторно одземете го добиениот израз од преостанатиот:

Па, последниот чекор, ќе се помножам со и ќе одземам од преостанатиот израз:

Ура, поделбата заврши! Што сме заштедиле насамо?

Од самиот себе: .

Потоа го добивме следното распаѓање на оригиналниот полином:

Да ја решиме втората равенка:

Има корени:

Потоа, оригиналната равенка:

има три корени:

Ние, се разбира, ќе го отфрлиме последниот корен, бидејќи тој е помалку од нула.

И првите две по обратната замена ќе ни дадат два корени:

Одговор: ..

Не сакав да те исплашам со овој пример!

Напротив, мојата цел беше да покажам дека иако имавме прилично едноставна замена, тоа сепак доведе до прилично сложена равенка, чиешто решение бараше посебни вештини од нас.

Па, никој не е имун од ова. Но, замената во овој случај беше прилично очигледна.

Пример # 18 (со помалку очигледна замена)

Воопшто не е јасно што треба да сториме: проблемот е што во нашата равенка има две различни основи и едната основа не може да се добие од другата со подигнување на кој било (разумен, природно) степен.

Сепак, што гледаме?

Двете основи се разликуваат само во знак, а нивниот производ е разликата во квадратите еднаква на една:

Дефиниција:

Така, броевите што се основи во нашиот пример се конјугирани.

Во овој случај, паметен потег би бил множете ги обете страни на равенката со конјугираниот број.

На пример, на, тогаш левата страна на равенката ќе стане еднаква, а десната страна.

Ако направиме замена, тогаш нашата оригинална равенка ќе стане вака:

неговите корени, тогаш, и сеќавајќи се на тоа, го добиваме тоа.

Одговор:,.

Како по правило, методот на замена е доволен за да се решат повеќето експоненцијални равенки на „школата“.

Следните задачи со зголемено ниво на сложеност се преземени од верзиите USE.

Три задачи со зголемена сложеност од опциите на испитот

Веќе сте доволно компетентни за самостојно решавање на овие примери. Јас само ќе ја дадам потребната замена.

1. Решете ја равенката:
2. Пронајдете ги корените на равенката:
3. Решете ја равенката:. Пронајдете ги сите корени на оваа равенка што припаѓаат на сегментот:

И сега кратко објаснување и одговори:

Пример број 19

Тука е доволно за нас да забележиме дека и.

Тогаш оригиналната равенка ќе биде еквивалентна на оваа:

Оваа равенка се решава со замена

Натамошните пресметки направете ги сами.

На крајот, вашата задача ќе се сведе на решавање на наједноставните тригонометриски (во зависност од синус или косинус). Решението на ваквите примери ќе го анализираме во други делови.

Пример бр. 20

Тука можете дури и без замена ...

Доволно е да се помести одземено надесно и да се претстават обете основи преку моќта од две:, и потоа да се оди директно на квадратната равенка.

Пример број 21

Исто така, се решава на прилично стандарден начин: замислете како.

Потоа, заменувајќи, добиваме квадратна равенка: тогаш,

Веќе знаете што е логаритам? Не? Потоа итно прочитајте ја темата!

Првиот корен, очигледно, не припаѓа на сегментот, а вториот е неразбирлив!

Но, ќе дознаеме многу наскоро!

Оттогаш (ова е својство на логаритмот!)

Одземете од двата дела, тогаш добиваме:

Левата страна може да биде претставена како:

ги множиме двата дела со:

може да се помножи со, тогаш

Потоа, да споредиме:

од тогаш:

Тогаш вториот корен припаѓа на потребниот интервал

Одговор:

Како што гледате, изборот на корени на експоненцијални равенки бара доволно длабоко познавање на својствата на логаритмитезатоа ве советувам да бидете што е можно повнимателни при решавање на експоненцијалните равенки.

Како што можете да си замислите, во математиката, сè е меѓусебно поврзано!

Како што ми велеше наставникот по математика: „математика, како историја, не може да се чита преку ноќ“.

Како по правило, сите тешкотијата при решавање проблеми со зголемено ниво на сложеност е токму изборот на корените на равенката.

Друг пример за обука ...

Пример 22

Јасно е дека самата равенка е прилично едноставна за решавање.

Со правење на замена, ќе ја намалиме нашата оригинална равенка на следново:

Прво, да размислиме првиот корен.

Ајде да споредиме и: оттогаш. (својство на логаритамската функција, на).

Тогаш е јасно дека првиот корен не припаѓа ниту на нашиот интервал.

Сега вториот корен:. Јасно е дека (бидејќи функцијата се зголемува).

Останува да се споредат и.

од тогаш, во исто време.

На овој начин, можам да возам штипка помеѓу и.

Овој штипка е број.

Првиот израз е помал, а вториот е поголем.

Тогаш вториот израз е поголем од првиот и коренот припаѓа на интервалот.

Одговор:.

Конечно, да погледнеме друг пример на равенка каде што замената е доста нестандардна.

Пример # 23 (Равенка со нестандардна замена!)

Ајде да започнеме веднаш со она што можете да го направите и што можете, но подобро е да не го сторите тоа.

Можете - да претставите сè преку моќта од три, два и шест.

Каде води?

И тоа нема да доведе до ништо: оџа од степени, а некои од нив ќе бидат доста тешко да се ослободат.

И тогаш што е потребно?

Да забележиме дека а

И што ќе ни даде?

И фактот дека можеме да го намалиме решението на овој пример на решението на прилично едноставна експоненцијална равенка!

Прво, да ја препишеме нашата равенка како:

Сега ги делиме обете страни на добиената равенка со:

Еурека! Сега можеме да замениме, добиваме:

Па, сега е вашиот ред да ги решите демонстрациските проблеми и јас ќе им дадам само кратки коментари за да не залутате! Со среќа!

Пример број 24

Најтешко!

Не е лесно да се најде замена тука! Но, сепак, овој пример е целосно решлив со користење избор на полн квадрат.

За да се реши, доволно е да се забележи дека:

Тогаш еве замена за вас:

(Ве молиме имајте во предвид дека овде, за време на нашата замена, не можеме да го исфрлиме негативниот корен !!! И зошто мислите?)

Сега, за да го решите примерот, треба да решите две равенки:

И двете се решени со „стандардната замена“ (но втората во еден пример!)

Пример број 25

2. Забележете го тоа и направете замена.

Пример број 26

3. Распаѓајте го бројот во фактори на копримирање и поедноставете го изразот што произлегува.

Пример број 27

4. Поделете ги броителот и именителот на дропката со (или, ако сакате) и заменете или.

Пример број 28

5. Имајте на ум дека броевите и се конјугирани.

РЕШЕНИЕ НА ЕКСПРЕСНИ РАКВАЦИИ ОД МЕТОДОТ НА ЛОГАРИТМ. НАПРЕДНО НИВО

Покрај тоа, да разгледаме и друг начин - решение на експоненцијални равенки со методот на логаритам.

Не можам да кажам дека решението на експоненцијални равенки со овој метод е многу популарно, но само во некои случаи е во состојба да нè доведе до правилно решение на нашата равенка.

Особено често се користи за решавање на т.н. " мешани равенки»: Односно, оние каде што се среќаваат функции од различни видови.

Пример број 29

во општ случај, може да се реши само со земање на логаритам на обете страни (на пример, со основата), во која оригиналната равенка се претвора во следново:

Да го разгледаме следниот пример:

Јасно е дека според ОДЗ на логаритамската функција, нас не интересираат само.

Сепак, ова не следи само од ОДЗ на логаритмот, туку и од друга причина.

Мислам дека нема да ти биде тешко да претпоставиш која.

Ајде да ги логираме обете страни на нашата равенка на основата:

Како што можете да видите, преземањето на логаритам на нашата оригинална равенка доволно брзо нè доведе до точниот (и убавиот!) Одговор.

Ајде да вежбаме со уште еден пример.

Пример број 30

И тука нема ништо лошо: ние ги логаритираме двете страни на равенката според основата, а потоа добиваме:

Ајде да направиме замена:

Сепак, нешто ни недостасува! Дали забележавте каде погрешив? На крајот на краиштата, тогаш:

што не го задоволува условот (размислете од каде потекнува!)

Одговор:

Обидете се да го запишете решението на експоненцијалните равенки под себе:

Сега проверете ја вашата одлука против ова:

Пример број 31

Логаритм од двете страни на основата, имајќи предвид дека:

(вториот корен не ни одговара заради замената)

Пример број 32

Основа на логаритам:

Да го трансформираме добиениот израз во следнава форма:

ИСТРАНИ РАКВАЦИИ. КРАТКИ ОПИС И ОСНОВНИ ФОРМУЛИ

Експоненцијална равенка

Равенка на формата:

наречен наједноставната експоненцијална равенка.

Карактеристики на моќноста

Решенија пристапи

• Намалување на истата основа
• Конверзија на истиот експонент
• Променлива замена
• Поедноставување на изразувањето и примена на едно од горенаведените.

Оваа лекција е наменета за оние кои штотуку почнуваат да учат експоненцијални равенки. Како и секогаш, да почнеме со дефиниција и едноставни примери.

Ако ја читате оваа лекција, тогаш се сомневам дека имате барем минимално разбирање за наједноставните равенки - линеарни и квадратни: 56x-11 $ \u003d 0 $; $ ((x) ^ (2)) + 5x + 4 \u003d 0 $; $ ((x) ^ (2)) - 12x + 32 \u003d 0 $, итн. Апсолутно е потребно да се биде во можност да се решат ваквите конструкции за да не се „заглави“ во темата што сега ќе се дискутира.

Значи, експоненцијалните равенки. Дозволете ми да ви дадам неколку примери веднаш:

\\ [((2) ^ (x)) \u003d 4; \\ quad ((5) ^ (2x-3)) \u003d \\ frac (1) (25); \\ quad ((9) ^ (x)) \u003d - 3 \\]

Некои од нив може да ви изгледаат посложени, некои - напротив, премногу едноставни. Но, сите ги обединува една важна карактеристика: во нивната нотација има експоненцијална функција $ f \\ лево (x \\ десно) \u003d ((a) ^ (x)) $. Така, ја воведуваме дефиницијата:

Експоненцијална равенка е секоја равенка што содржи експоненцијална функција, т.е. израз како $ ((a) ^ (x)) $. Покрај посочената функција, таквите равенки можат да содржат и какви било други алгебарски конструкции - полиноми, корени, тригонометрија, логаритми итн.

О добро. Ја сфативме дефиницијата. Сега се поставува прашањето: како да се реши сето ова глупости? Одговорот е едноставен и сложен.

Да започнеме со добрата вест: според моето искуство на часови со многу студенти, можам да кажам дека за повеќето од нив експоненцијалните равенки се многу полесно да се дадат отколку истите логаритми, па дури и повеќе тригонометријата.

Но, има и лоши вести: понекогаш авторите на проблеми за секакви учебници и испити се „инспирираат“, а нивниот мозок воспален со лекови започнува да издава такви брутални равенки што решавањето на нив станува проблематично не само за учениците - дури и многу наставници заглавуваат на вакви проблеми.

Сепак, да не зборуваме за тажни работи. И да се вратиме на оние три равенки што беа дадени на самиот почеток на приказната. Ајде да се обидеме да го решиме секој од нив.

Прва равенка: $ ((2) ^ (x)) \u003d 4 $. Па, до кој степен треба да се подигне бројот 2 за да се добие бројот 4? Веројатно второто? На крајот на краиштата, $ ((2) ^ (2)) \u003d 2 \\ cdot 2 \u003d 4 $ - и ја добивме точната бројна еднаквост, т.е. навистина $ x \u003d 2 $. Па, благодарам, капаче, но оваа равенка беше толку едноставна што дури и мојата мачка можеше да ја реши. :)

Да ја погледнеме следната равенка:

\\ [((5) ^ (2x-3)) \u003d \\ frac (1) (25) \\]

И тука веќе е малку покомплицирано. Многу студенти знаат дека $ ((5) ^ (2)) \u003d 25 $ е табела за множење. Некои, исто така, се сомневаат дека $ ((5) ^ (- 1)) \u003d \\ frac (1) (5) $ во суштина е дефиниција за негативни моќи (слично на формулата $ ((a) ^ (- n)) \u003d \\ frac (1) (((a) ^ (n))) $).

Конечно, само неколку одбрани претпоставуваат дека овие факти можат да се комбинираат и да се добие следниов резултат на излезот:

\\ [\\ frac (1) (25) \u003d \\ frac (1) (((5) ^ (2))) \u003d ((5) ^ (- 2)) \\]

Така, нашата оригинална равенка ќе биде препишана како што следува:

\\ [((5) ^ (2x-3)) \u003d \\ frac (1) (25) \\ Rightarrow ((5) ^ (2x-3)) \u003d ((5) ^ (- 2)) \\]

Но, ова е веќе доста решливо! Лево во равенката има експоненцијална функција, десно во равенката има експоненцијална функција, нема ништо друго освен нив. Затоа, можете да ги "отфрлите" основите и глупаво да ги изедначите индикаторите:

Добивме наједноставна линеарна равенка што секој ученик може да ја реши во само неколку реда. Добро, во четири реда:

\\ [\\ \\ започне (порамни) & 2x-3 \u003d -2 \\\\ & 2x \u003d 3-2 \\\\ & 2x \u003d 1 \\\\ & x \u003d \\ frac (1) (2) \\\\\\ крај (порамни) \\]

Ако не разбирате што се случуваше во последните четири редови, задолжително вратете се на темата „линеарни равенки“ и повторете ја. Бидејќи без јасно разбирање на оваа тема, рано е да ги решите експоненцијалните равенки.

\\ [((9) ^ (x)) \u003d - 3 \\]

Па, како да се реши ова? Прва мисла: $ 9 \u003d 3 \\ cdot 3 \u003d ((3) ^ (2)) $, така што оригиналната равенка може да се препише вака:

\\ [((\\ лево (((3) ^ (2)) \\ десно)) ^ (x)) \u003d - 3 \\]

Тогаш се сеќаваме дека при подигнување на моќност на моќност, индикаторите се множат:

\\ [((\\ лево (((3) ^ (2)) \\ десно)) ^ (x)) \u003d ((3) ^ (2x)) \\ Rightarrow ((3) ^ (2x)) \u003d - ((( 3) ^ (1)) \\]

\\ [\\ започнете (порамни) & 2x \u003d -1 \\\\ & x \u003d - \\ frac (1) (2) \\\\\\ крај (порамнете) \\]

И за ваква одлука, ќе добиеме искрено заслужено дело. Зашто, со еднаквост на Одг, го испративме знакот минус пред тројцата до степен на овие три. И не можете да го направите тоа. И затоа. Погледнете ги различните сили на тројката:

\\ [\\ започнете (матрица) ((3) ^ (1)) \u003d 3 & ((3) ^ (- 1)) \u003d \\ frac (1) (3) & ((3) ^ (\\ frac (1) ( 2))) \u003d \\ sqrt (3) \\\\ ((3) ^ (2)) \u003d 9 & ((3) ^ (- 2)) \u003d \\ frac (1) (9) & ((3) ^ (\\ 3) ^ (- \\ frac (1) (2))) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (3)) \\\\\\ крај (матрица) \\]

Кога ја составував оваа таблета, веднаш штом не бев изопачен: сметав позитивни степени, и негативни, па дури и фракциони ... добро, каде има барем еден негативен број тука? Тој си отиде! И не може да биде, затоа што експоненцијалната функција $ y \u003d ((а) ^ (x)) $, прво, секогаш зема само позитивни вредности (колку и да се множи или дели со два, сепак ќе биде позитивен број), и второ, основата на таквата функција - бројот $ a $ - по дефиниција е позитивен број!

Па, како тогаш да се реши равенката $ ((9) ^ (x)) \u003d - 3 $? Но, во никој случај: нема корени. И во оваа смисла, експоненцијалните равенки се многу слични на квадратните - таму исто така може да нема корени. Но, ако е во квадратни равенки бројот на корени се одредува според дискриминаторот (позитивен дискриминант - 2 корени, негативен - без корени), тогаш кај експоненцијалните сè зависи од тоа што е десно од знакот за еднаквост.

Така, ние го формулираме клучниот заклучок: наједноставната експоненцијална равенка на формата $ ((a) ^ (x)) \u003d b $ има корен ако и само ако $ b \\ gt 0 $. Знаејќи го овој едноставен факт, лесно можете да утврдите дали равенката што ви е предложена има корени или не. Оние дали вреди воопшто да се реши или само запишете дека нема корени.

Ова знаење ќе ни помогне многу пати кога ќе треба да решиме посложени проблеми. Во меѓувреме, доволно стихови - време е да се проучи основниот алгоритам за решавање експоненцијални равенки.

Како да се решат експоненцијалните равенки

Значи, да го формулираме проблемот. Неопходно е да се реши експоненцијалната равенка:

\\ [((a) ^ (x)) \u003d b, \\ quad a, b \\ gt 0 \\]

Според „наивниот“ алгоритам, според кој работевме порано, потребно е да го претставиме бројот $ b $ како моќ на бројот $ a $:

Покрај тоа, ако наместо променливата $ x $ има некој израз, ќе добиеме нова равенка, која веќе може да се реши. На пример:

\\ [\\ започне (порамни) & ((2) ^ (x)) \u003d 8 \\ Rightarrow ((2) ^ (x)) \u003d ((2) ^ (3)) \\ Rightarrow x \u003d 3; \\\\ & ((3) ^ (- x)) \u003d 81 \\ Rightarrow ((3) ^ (- x)) \u003d ((3) ^ (4)) \\ Rightarrow -x \u003d 4 \\ Rightarrow x \u003d -4; \\\\ & ((5) ^ (2x)) \u003d 125 \\ Rightarrow ((5) ^ (2x)) \u003d ((5) ^ (3)) \\ Rightarrow 2x \u003d 3 \\ Rightarrow x \u003d \\ frac (3) ( 2) \\\\\\ крај (усогласување) \\]

И колку е чудно, оваа шема работи околу 90% од времето. И тогаш што е со преостанатите 10%? Останатите 10% се малку „шизофрени“ експоненцијални равенки на формата:

\\ [((2) ^ (x)) \u003d 3; \\ quad ((5) ^ (x)) \u003d 15; \\ quad ((4) ^ (2x)) \u003d 11 \\]

Па, до кој степен треба да се подигне 2 за да се добие 3? Прво? Но, не: $ ((2) ^ (1)) \u003d 2 $ - недоволно. Вториот? Исто така не: $ ((2) ^ (2)) \u003d 4 $ - малку премногу. Што тогаш?

Познати студенти веројатно веќе претпоставиле: во такви случаи, кога е невозможно да се реши „убаво“, „тешката артилерија“ - логаритми - е вклучена во работата. Дозволете ми да ве потсетам дека со користење на логаритми, секој позитивен број може да се претстави како моќ на кој било друг позитивен број (освен еден):

Се сеќавате на оваа формула? Кога им кажувам на моите студенти за логаритмите, секогаш ве предупредувам: оваа формула (таа е исто така основниот логаритамски идентитет или, ако сакате, дефиницијата за логаритам) ќе ве прогонува многу долго и ќе се „појавува“ на најнеочекуваните места. Па, таа се појави на површина. Ајде да погледнеме во нашата равенка и оваа формула:

\\ [\\ започне (порамни) & ((2) ^ (x)) \u003d 3 \\\\ & a \u003d ((б) ^ (((\\ лог) _ (б)) а)) \\\\\\ крај (порамни) \\]

Ако претпоставиме дека $ a \u003d 3 $ е нашиот оригинален број од десната страна, и $ b \u003d 2 $ е самата основа експоненцијална функција, на што сакаме да ја намалиме десната страна, го добиваме следново:

\\ [\\ започне (порамни) & a \u003d ((b) ^ (((\\ log) _ (b)) a)) \\ Rightarrow 3 \u003d ((2) ^ (((\\ log) _ (2)) 3 )); \\\\ & ((2) ^ (x)) \u003d 3 \\ Rightarrow ((2) ^ (x)) \u003d ((2) ^ (((\\ log) _ (2)) 3)) \\ Rightarrow x \u003d ( (\\ дневник) _ (2)) 3. \\\\\\ крај (усогласување) \\]

Добивме малку чуден одговор: $ x \u003d ((\\ дневник) _ (2)) 3 $. Во некоја друга задача, многумина со таков одговор би се сомневале и би почнале двојно да го проверат своето решение: што ако има некаде некаде грешка? Побрзам да ве задоволам: тука нема грешка, а логаритмите во корените на експоненцијалните равенки се сосема типична ситуација. Па навикни се. :)

Сега да ги решиме преостанатите две равенки по аналогија:

\\ [\\ започне (порамни) и ((5) ^ (x)) \u003d 15 \\ Rightarrow ((5) ^ (x)) \u003d ((5) ^ (((\\ лог) _ (5)) 15)) \\ Rightarrow x \u003d ((\\ log) _ (5)) 15; \\\\ & ((4) ^ (2x)) \u003d 11 \\ Rightarrow ((4) ^ (2x)) \u003d ((4) ^ (((\\ log) _ (4)) 11)) \\ Rightarrow 2x \u003d ( (\\ log) _ (4)) 11 \\ Rightarrow x \u003d \\ frac (1) (2) ((\\ log) _ (4)) 11. \\\\\\ крај (усогласување) \\]

Тоа е се! Патем, последниот одговор може да се напише поинаку:

Го воведовме факторот во аргументот за логаритам. Но, никој не ни пречи да го воведеме овој фактор во основата:

Покрај тоа, сите три опции се точни - тие се само различни форми на пишување ист број. Кој да избере и запише во ова решение зависи од вас.

Така, научивме како да решаваме какви било експоненцијални равенки како $ ((a) ^ (x)) \u003d b $, каде што броевите $ a $ и $ b $ се строго позитивни. Сепак, суровата реалност на нашиот свет е дека ваквите едноставни задачи ќе бидат многу, многу ретки за вас. Многу почесто ќе наидете на вакво нешто:

\\ [\\ започне (усогласи) & ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x-1)) \u003d ((4) ^ (x + 1)) - 11; \\\\ & ((7) ^ (x + 6)) \\ cdot ((3) ^ (x + 6)) \u003d ((21) ^ (3x)); \\\\ & ((100) ^ (x-1)) \\ cdot ((2.7) ^ (1-x)) \u003d 0,09. \\\\\\ крај (усогласување) \\]

Па, како да се реши ова? Дали може ова воопшто да се реши? И ако е така, како?

Не паничи. Сите овие равенки брзо и лесно се сведуваат на оние едноставни формули што веќе ги разгледавме. Вие само треба да знаете и запомните неколку трикови од курсот за алгебра. И, се разбира, нема никаде без правила за работа со дипломи. Сега ќе ти кажам за сето ова. :)

Конвертирање на експоненцијални равенки

Првото нешто што треба да се запамети: секоја експоненцијална равенка, колку и да е сложена, мора некако да се сведе на наједноставните равенки - истите оние што веќе ги разгледавме и кои знаеме како да ги решиме. Со други зборови, шемата за решавање на која било експоненцијална равенка изгледа вака:

1. Запишете ја оригиналната равенка. На пример: $ ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x-1)) \u003d ((4) ^ (x + 1)) - 11 $;
2. Направете некој вид несфатливо глупости. Или дури и неколку глупости наречени „равенка на трансформација“;
3. На излезот, добијте наједноставни изрази како $ ((4) ^ (x)) \u003d 4 $ или нешто слично. Покрај тоа, една оригинална равенка може да даде неколку такви изрази одеднаш.

Со првата точка, сè е јасно - дури и мојата мачка може да ја напише равенката на парче хартија. Со третата точка, исто така, се чини, повеќе или помалку е јасно - ние веќе решивме цел куп вакви равенки погоре.

Но, што е со втората точка? Каква трансформација? Што да претворам во што? И како?

Па, ајде да сфатиме. Како прво, би сакал да го истакнам следново. Сите експоненцијални равенки се поделени во два вида:

1. Равенката е составена од експоненцијални функции со иста основа. Пример: $ ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x-1)) \u003d ((4) ^ (x + 1)) - 11 $;
2. Формулата содржи експоненцијални функции со различни основи. Примери: $ ((7) ^ (x + 6)) \\ cdot ((3) ^ (x + 6)) \u003d ((21) ^ (3x)) $ и $ ((100) ^ (x-1) ) \\ cdot ((2,7) ^ (1-x)) \u003d 0,09 $.

Да почнеме со равенки од првиот тип - тие се најлесно да се решат. И при нивно решавање, ќе ни помогне таквата техника како нагласување стабилни изрази.

Истакнување на стабилен израз

Ајде да погледнеме уште еднаш во оваа равенка:

\\ [((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x-1)) \u003d ((4) ^ (x + 1)) - 11 \\]

Што гледаме? Четворицата се подига во различен степен. Но, сите овие моќи се едноставни збирови на променливата $ x $ со други броеви. Затоа, потребно е да се запамети правилата за работа со дипломи:

\\ [\\ започне (порамни) & ((а) ^ (x + y)) \u003d ((а) ^ (x)) \\ cdot ((а) ^ (y)); \\\\ & ((a) ^ (xy)) \u003d ((a) ^ (x)): ((a) ^ (y)) \u003d \\ frac (((a) ^ (x))) (((a ) ^ (y))). \\\\\\ крај (усогласување) \\]

Едноставно кажано, собирањето на експоненти може да се претвори во производ на моќи, а одземањето лесно може да се претвори во поделба. Ајде да се обидеме да ги примениме овие формули во моќта од нашата равенка:

\\ [\\ започне (порамни) и ((4) ^ (x-1)) \u003d \\ frac (((4) ^ (x)))) (((4) ^ (1))) \u003d ((4) ^ (x)) \\ cdot \\ frac (1) (4); \\\\ & ((4) ^ (x + 1)) \u003d ((4) ^ (x)) \\ cdot ((4) ^ (1)) \u003d ((4) ^ (x)) \\ cdot 4. \\ Да ја препишеме оригиналната равенка земајќи го предвид овој факт, а потоа да ги собереме сите термини лево:

\\ [\\ започне (порамни) и ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x)) \\ cdot \\ frac (1) (4) \u003d ((4) ^ (x)) \\ cdot 4 -единаесет; \\\\ & ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x)) \\ cdot \\ frac (1) (4) - ((4) ^ (x)) \\ cdot 4 + 11 \u003d 0. \\\\\\ крај (усогласување) \\]

Првите четири поими го содржат елементот $ ((4) ^ (x)) $ - ајде да го извадиме надвор од заградата:

\\ [\\ започне (порамни) & ((4) ^ (x)) \\ cdot \\ лево (1+ \\ frac (1) (4) -4 \\ десно) + 11 \u003d 0; \\\\ & ((4) ^ (x)) \\ cdot \\ frac (4 + 1-16) (4) + 11 \u003d 0; \\\\ & ((4) ^ (x)) \\ cdot \\ лево (- \\ frac (11) (4) \\ десно) \u003d - 11. \\\\\\ крај (усогласување) \\]

{!LANG-34d2229edd09fb5bdb4babd7c818ddf2!}

Останува да се поделат обете страни на равенката на дропката $ - \\ frac (11) (4) $, т.е. суштински помножете се со превртената дропка - $ - \\ frac (4) (11) $. Добиваме:

\\ [\\ започне (порамни) и ((4) ^ (x)) \\ cdot \\ лево (- \\ frac (11) (4) \\ десно) \\ cdot \\ лево (- \\ frac (4) (11) \\ десно ) \u003d - 11 \\ cdot \\ лево (- \\ frac (4) (11) \\ десно); \\\\ & ((4) ^ (x)) \u003d 4; \\\\ & ((4) ^ (x)) \u003d ((4) ^ (1)); \\\\ & x \u003d 1. \\\\\\ крај (усогласување) \\]

Тоа е се! Ја намаливме оригиналната равенка на наједноставната и го добивме конечниот одговор.

Во исто време, во процесот на решавање, го пронајдовме (па дури и го извадивме од заградата) заедничкиот фактор $ ((4) ^ (x)) $ - ова е стабилен израз. Може да се назначи како нова променлива или едноставно може точно да се изрази и одговори. Во секој случај, клучниот принцип на решението е како што следува:

Пронајдете во оригиналната равенка стабилен израз кој содржи променлива што лесно може да се разликува од сите експоненцијални функции.

Добрата вест е дека буквално секоја експоненцијална равенка дозволува ваков стабилен израз.

Но, лошата вест е дека изрази како овие можат да бидат незгодни и може да бидат незгодни за избирање. Затоа, да анализираме уште една задача:

\\ [((5) ^ (x + 2)) + ((0,2) ^ (- x-1)) + 4 \\ cdot ((5) ^ (x + 1)) \u003d 2 \\]

Можеби некој сега ќе има прашање: „Паша, дали си каменуван? Тука има различни основи - 5 и 0,2 ”. Но, ајде да се обидеме да го претвориме степенот од основата 0,2. На пример, да се ослободиме од децималната дропка, доведувајќи ја до вообичаената:

\\ [((0,2) ^ (- x-1)) \u003d ((0,2) ^ (- \\ лево (x + 1 \\ десно)))) \u003d ((\\ лево (\\ frac (2) (10 ) \\ десно)) ^ (- \\ лево (x + 1 \\ десно)))) \u003d ((\\ лево (\\ frac (1) (5) \\ десно)) ^ (- \\ лево (x + 1 \\ десно)) ) \\]

Како што можете да видите, бројот 5 сепак се појави, иако во именител. Во исто време, индикаторот беше препишан како негативен. Сега да се потсетиме на едно од најважните правила за работа со дипломи:

\\ [((а) ^ (- n)) \u003d \\ frac (1) (((a) ^ (n))) \\ Rightarrow ((\\ лево (\\ frac (1) (5) \\ десно)) ^ ( - \\ лево (x + 1 \\ десно))) \u003d ((\\ лево (\\ frac (5) (1) \\ десно)) ^ (x + 1)) \u003d ((5) ^ (x + 1)) \\ Тука, се разбира, малку изневерив. Бидејќи за целосно разбирање, формулата за ослободување од негативните индикатори требаше да се напише како што следува:

\\ [((а) ^ (- n)) \u003d \\ frac (1) (((a) ^ (n))) \u003d ((\\ лево (\\ frac (1) (a) \\ десно)) ^ (n )) \\ Rightarrow ((\\ лево (\\ frac (1) (5) \\ десно)) ^ (- \\ лево (x + 1 \\ десно)))) \u003d ((\\ лево (\\ frac (5) (1) \\ Од друга страна, ништо не спречи да работиме само со една фракција:

\\ [((\\ лево (\\ frac (1) (5) \\ десно)) ^ (- \\ лево (x + 1 \\ десно)))) \u003d ((\\ лево (((5) ^ (- 1)) \\ )) \u003d ((5) ^ (x + 1)) \\]

{!LANG-864d2acd6e2c44f0816ab1138baac0d4!}

{!LANG-6579fb0af584a9a5f5d4d697e15834a6!}

Но, во овој случај, треба да бидете во можност да го подигнете степенот на различен степен (запомнете: во овој случај, индикаторите се собираат). Но, немаше потреба да се „вртат“ дропките - можеби за некои ќе биде полесно. :)

Во секој случај, оригиналната експоненцијална равенка ќе биде препишана како:

\\ [\\ започне (порамни) & ((5) ^ (x + 2)) + ((5) ^ (x + 1)) + 4 \\ cdot ((5) ^ (x + 1)) \u003d 2; \\\\ & ((5) ^ (x + 2)) + 5 \\ cdot ((5) ^ (x + 1)) \u003d 2; \\\\ & ((5) ^ (x + 2)) + ((5) ^ (1)) \\ cdot ((5) ^ (x + 1)) \u003d 2; \\\\ & ((5) ^ (x + 2)) + ((5) ^ (x + 2)) \u003d 2; \\\\ & 2 \\ cdot ((5) ^ (x + 2)) \u003d 2; \\\\ & ((5) ^ (x + 2)) \u003d 1. \\\\\\ крај (усогласување) \\]

Значи, излегува дека оригиналната равенка е дури и полесна за решавање од претходно разгледаната: тука дури и не треба да издвоите стабилен израз - сè се намали самостојно. Останува само да запомниме дека $ 1 \u003d ((5) ^ (0)) $, од каде добиваме:

\\ [\\ започне (порамни) & ((5) ^ (x + 2)) \u003d ((5) ^ (0)); \\\\ & x + 2 \u003d 0; \\\\ & x \u003d -2. \\\\\\ крај (усогласување) \\]

Тоа е целото решение! Го добивме последниот одговор: $ x \u003d -2 $. Во исто време, би сакал да забележам една техника што во голема мера ги поедностави сите пресметки за нас:

Во експоненцијални равенки, не заборавајте да се ослободите од децималните дропки, претворете ги во обични. Ова ќе ви овозможи да ги видите истите основи на степени и во голема мера ќе го поедностави решението.

Да преминеме на повеќе сложени равенки, во кои има различни основи, кои генерално не се редуцираат едни на други со употреба на степени.

Користење на својството на степен

Да потсетам дека имаме уште две особено груби равенки:

\\ [\\ започне (порамни) & ((7) ^ (x + 6)) \\ cdot ((3) ^ (x + 6)) \u003d ((21) ^ (3х)); \\\\ & ((100) ^ (x-1)) \\ cdot ((2.7) ^ (1-x)) \u003d 0,09. \\\\\\ крај (усогласување) \\]

Главната тешкотија тука е што не е јасно што и од која причина да се води. Каде се поставените изрази? Каде се истите основи? Нема ништо од ова.

Но, ајде да се обидеме да одиме на друг начин. Ако нема готови идентични основи, можете да се обидете да ги најдете со факторирање на постојните бази.

Да почнеме со првата равенка:

\\ [\\ започне (порамни) & ((7) ^ (x + 6)) \\ cdot ((3) ^ (x + 6)) \u003d ((21) ^ (3х)); \\\\ & 21 \u003d 7 \\ cdot 3 \\ Rightarrow ((21) ^ (3x)) \u003d ((\\ лево (7 \\ cdot 3 \\ десно)) ^ (3x)) \u003d ((7) ^ (3x)) \\ \\\\\\ крај (усогласување) \\]

Но, можете да го направите спротивното - сочинете го бројот 21 од броевите 7 и 3. Ова е особено лесно лево, бидејќи индикаторите за двата степени се исти:

\\ [\\ започнете (порамнете) & ((7) ^ (x + 6)) \\ cdot ((3) ^ (x + 6)) \u003d ((\\ лево (7 \\ cdot 3 \\ десно)) ^ (x + 6)) \u003d ((21) ^ (x + 6)); \\\\ & ((21) ^ (x + 6)) \u003d ((21) ^ (3x)); \\\\ & x + 6 \u003d 3x; \\\\ & 2x \u003d 6; \\\\ & x \u003d 3. \\\\\\ крај (усогласување) \\]

Тоа е се! Вие го поместивте експонентот надвор од производот и веднаш добивте прекрасна равенка што може да се реши во неколку редови.

Сега да се справиме со втората равенка. Тука сè е многу покомплицирано:

\\ [((100) ^ (x-1)) \\ cdot ((2.7) ^ (1-x)) \u003d 0,09 \\]

\\ [((100) ^ (x-1)) \\ cdot ((\\ лево (\\ frac (27) (10) \\ десно)) ^ (1-x)) \u003d \\ frac (9) (100) \\]

Во овој случај, фракциите се покажаа како неповратни, но ако нешто може да се намали, не заборавајте да го намалите. Често ова ќе создаде интересни темели со кои ќе работиме.

За жал, во нашата земја навистина ништо не се појави. Но, гледаме дека експонентите од левата страна на производот се спротивни:

Дозволете ми да ве потсетам: за да се ослободите од знакот минус во индикаторот, треба само да ја „превртите“ фракцијата. Па, да ја препишеме оригиналната равенка:

\\ [\\ започне (порамни) и ((100) ^ (x-1)) \\ cdot ((\\ лево (\\ frac (10) (27) \\ десно)) ^ (x-1)) \u003d \\ frac (9 )(Сто); \\\\ & ((\\ лево (100 \\ cdot \\ frac (10) (27) \\ десно)) ^ (x-1)) \u003d \\ frac (9) (100); \\\\ & ((\\ лево (\\ frac (1000) (27) \\ десно)) ^ (x-1)) \u003d \\ frac (9) (100). \\\\\\ крај (усогласување) \\]

Во втората линија, ние едноставно го поместивме вкупниот експонент од производот надвор од заградата според правилото $ ((a) ^ (x)) \\ cdot ((b) ^ (x)) \u003d ((\\ лево (a \\ cdot b \\ десно)) ^ (x)) $, а во второто тие едноставно го множат бројот 100 со дропка.

Сега забележете дека броевите одлево (одоздола) и од десно се нешто слични. Отколку? Но, очигледно е: тие се моќници со ист број! Ние имаме:

\\ [\\ \\ започне (порамни) & \\ frac (1000) (27) \u003d \\ фрак (((10) ^ (3)))) (((3) ^ (3))) \u003d ((\\ лево (\\ frac ( 10) (3) \\ десно)) ^ (3)); \\\\ & \\ frac (9) (100) \u003d \\ frac (((3) ^ (2))) (((10) ^ (3))) \u003d ((\\ лево (\\ frac (3) (10) \\ десно)) ^ (2)). \\\\\\ крај (усогласување) \\]

Така, нашата равенка ќе биде препишана како што следува:

\\ [((\\ лево (((\\ лево (\\ frac (10) (3) \\ десно)) ^ (3)) \\ десно)) ^ (x-1)) \u003d ((\\ лево (\\ frac (3) ) (10) \\ десно)) ^ (2)) \\]

\\ [((\\ лево (((\\ лево (\\ frac (10) (3) \\ десно)) ^ (3)) \\ десно)) ^ (x-1)) \u003d ((\\ лево (\\ frac (10) ) (3) \\ десно)) ^ (3 \\ лево (x-1 \\ десно)))) \u003d ((\\ лево (\\ frac (10) (3) \\ десно)) ^ (3x-3)) \\]

Во овој случај, десно, исто така можете да добиете диплома со иста основа, за што е доволно само да ја "превртите" фракцијата:

\\ [((\\ лево (\\ frac (3) (10) \\ десно)) ^ (2)) \u003d ((\\ лево (\\ frac (10) (3) \\ десно)) ^ (- 2)) \\]

Конечно, нашата равенка ќе добие форма:

\\ [\\ започне (порамни) и ((\\ лево (\\ frac (10) (3) \\ десно)) ^ (3x-3)) \u003d ((\\ лево (\\ frac (10) (3) \\ десно)) ^ (- 2)); \\\\ & 3х-3 \u003d -2; \\\\ & 3x \u003d 1; \\\\ & x \u003d \\ frac (1) (3). \\\\\\ крај (усогласување) \\]

Тоа е целото решение. Неговата главна идеја се сведува на фактот дека дури и со различни основи, ние се обидуваме со кука или измама да ги намалиме овие основи на истото. Во ова ни помагаат елементарни трансформации на равенки и правила за работа со степени.

Но, кои правила и кога треба да се користат? Како да разберете дека во едната равенка треба да ги поделите обете страни со нешто, а во другата треба да ја издвоите основата на експоненцијалната функција?

Одговорот на ова прашање ќе дојде со искуство. Пробајте ја својата рака на почетокот едноставни равенки, а потоа постепено ги комплицирате задачите - и многу наскоро вашите вештини ќе бидат доволни за да решите каква било експоненцијална равенка од истиот испит или која било независна / тест работа.

И, за да ви помогнам во оваа тешка задача, предлагам да преземете збир на равенки за независно решение на мојата веб-страница. Сите равенки имаат одговори, така што секогаш можете да се тестирате.

Во принцип, ви посакувам успешна обука. И ќе се видиме на следната лекција - таму ќе анализираме навистина сложени експоненцијални равенки, каде што методите опишани погоре веќе не се доволни. И нема да биде доволно ниту обичен тренинг. :)

Назад напред

Внимание! Прегледот на слајдот се користи само за информативни цели и може да не ги претставува сите опции за презентација. Ако сте заинтересирани за оваа работа, ве молиме преземете ја целосната верзија.

Вид на лекција

: лекција за генерализација и комплексни примени на знаења, вештини и способности на тема „ Експоненцијални равенки и начини за нивно решавање “.

Цели на лекцијата.

Образовни:

да го повтори и систематизира главниот материјал на темата „Експоненцијални равенки, нивни решенија“; да ја консолидира можноста да се користат соодветни алгоритми при решавање експоненцијални равенки од разни видови; подготовка за испит.

Развивање:

развиваат логично и асоцијативно размислување на учениците; придонесе за развој на вештината за независна примена на знаењето.

Образовни:

да ја едуцира целесообразноста, вниманието и точноста при решавање на равенки.

Опрема:

компјутерски и мултимедијален проектор.

Лекцијата користи информациска технологија : методолошка поддршка за лекцијата - презентација во програмата Microsoft Power Point.

За време на часовите

Секоја вештина ја дава трудот

Јас Поставување на целта на лекцијата(Слајд број 2 )

На оваа лекција, ќе ја сумираме и генерализираме темата „Експоненцијални равенки, нивни решенија“. Ајде да се запознаеме со типичните задачи за употреба од различни години на оваа тема.

Задачи за решавање експоненцијални равенки може да се најдат во кој било дел од испитните задачи. Во делот „ ВО " обично тие нудат да ги решат наједноставните експоненцијални равенки. Во делот „ ОД " можете да најдете посложени експоненцијални равенки, чие решение е обично една од фазите на задачата.

На пример ( Слајд број 3 ).

• Унифициран државен испит - 2007 година

П 4 - Пронајдете ја најголемата изразна вредност x гкаде ( x; во) - системско решение:

• Унифициран државен испит - 2008 година

Б 1 - Реши равенки:

и) x 6 3x – 36 6 3x = 0;

б) 4 x +1 + 8 4 x= 3.

• Унифициран државен испит - 2009 година

П 4 - Пронајдете го значењето на изразот x + yкаде ( x; во) - системско решение:

• Унифициран државен испит - 2010 година

– Решете ја равенката: 7 x– 2 = 49. - Пронајди ги корените на равенката: 4 x2 + 3x – 2 - 0,5 2x2 + 2x – 1 = 0. - Решавање на системот на равенки:

II. Ажурирање на основните знаења. Повторување

(Слајдови број 4 - 6 презентации за лекцијата)

Екранот се прикажува основно резиме на теоретски материјал на оваа тема.

Се дискутираат следниве прашања:

1. Како се нарекуваат равенки индикативно?
2. Наведете ги главните начини за нивно решавање. Дајте примери за нивните типови ( Слајд број 4 )

(Решете ги предложените равенки за секој метод самостојно и направете само-тест со употреба на слајд)

3. Која теорема се користи за решавање на наједноставните експоненцијални равенки на формата: и f (x) \u003d a g (x)?
4. Кои други методи за решавање на експоненцијални равенки постојат? ( Слајд број 5 )

• Метод на факторирање
(врз основа на својствата на степени со истите основи, прием: степенот со најмал експонент е изваден од заградата).
• Прием на поделба (множење) со експоненцијален израз различен од нула, при решавање на хомогени експоненцијални равенки
.

• Совет:

при решавање на експоненцијални равенки, корисно е прво да се извршат трансформации, добивајќи степени со исти основи во обете страни на равенката.

1. Решавање на равенки со последните два методи проследени со коментари

(Слајд број 6 ).

. 4 x+ 1 – 2 4 x– 2 = 124, 4 x– 2 (4 3 - 2) = 124, 4 x– 2 62 = 124,

4 x– 2 = 2, 4 x– 2 = 4 0,5 , x– 2 = 0,5, x \u003d 2,5 .

2 2 2x - 3 2 x 5 x - 5 5 2x \u003d 0¦: 5 2 x0,

2 (2/5) 2x - 3 (2/5) x - 5 = 0,

t \u003d (2/5) x, т > 0, 2т 2 - 3 т - 5 = 0, т= -1(?...), т \u003d 5/2; 5/2 \u003d (2/5) x, x= ?...

III. Решавање на задачите на испит 2010 година

Студентите самостојно ги решаваат задачите предложени на почетокот на часот за слајдот број 3, користејќи ги упатствата за решението, проверувајќи го нивниот курс за решавање и одговорите на нив со помош на презентацијата ( Слајд број 7 ) Во текот на работата, се дискутираат опциите и начините на решавање, се привлекува вниманието кон можните грешки во решението.

: а) 7 x- 2 \u003d 49, б) (1/6) 12 - 7 х = 36. Одговор: и) x\u003d 4, б) x = 2. : 4 x2 + 3x – 2 - 0,5 2x2 + 2x - 1 \u003d 0. (Може да замениш 0,5 \u003d 4 - 0,5)

Одлука. ,

x 2 + 3x – 2 = -x 2 - 4x + 0,5 …

Одговор: x= -5/2, x = 1/2.

: 5 5 тг г. + 4 \u003d 5 -тг г. , со кос г.< 0.

Индикација за решението

... 5 5 тг г. + 4 \u003d 5 -тг г. ¦ 5 тг г. 0,

5 5 2гр г. + 4 5 тг y - 1 \u003d 0. Нека x\u003d 5 тг г. , …

5 тг г. = -1 (?...), 5 тг y \u003d1/5.

Бидејќи тг г.\u003d -1 и кос г.< 0, тогаш во II координатна четвртина

Одговор: во= 3/4 + 2к, к Н..

IV. Соработувајте на таблата

Се разгледува задачата на високо ниво на обука - Слајд број 8 ... Со помош на овој слајд, се одвива дијалог помеѓу наставникот и учениците, придонесувајќи за развој на решението.

- На кој параметар и равенка 2 2 x – 3 2 x + и 2 – 4и \u003d 0 има два корени?

Нека биде т= 2 x каде т > 0 ... Добиваме т 2 – 3т + (и 2 – 4и) = 0 .

1) Бидејќи равенката има два корени, D\u003e 0;

2) Како што т 1,2\u003e 0, тогаш т 1 т 2\u003e 0, тоа е и 2 – 4и> 0 (?...).

Одговор: и(- 0,5; 0) или (4; 4,5).

V. Работа за верификација

(Слајд број 9 )

Учениците изведуваат работа за верификација на парчиња хартија, вежбање на самоконтрола и самооценување на извршената работа со помош на презентација, афирмирање на темата. Тие самостојно одредуваат програма за регулирање и корекција на знаењето засновано врз грешки направени во работни тетратки. Листовите со завршена независна работа се предаваат на наставникот за верификација.

Подвлечени броеви - основно ниво, со sterвездичка - зголемена тешкотија.

Решение и одговори.

0,3 2x + 1 = 0,3 – 2 , 2x + 1 = -2, x= -1,5.

(1; 1).

3. 2 x– 1 (5 2 4 - 4) = 19, 2 x– 1 76 = 19, 2 x– 1 = 1/4, 2 x– 1 = 2 – 2 , x– 1 = -2,

x \u003d -1.

4 * .3 9 x \u003d 2 3 x 5 x+ 5 25 x | : 25 x ,

3 (9/25) x \u003d 2 (3/5) x+ 5,

3 (9/27) x = 2 (3/5) x + 5 = 0,

3 (3/5) 2x – 2 (3/5) x - 5 = 0,…, (3/5) x = -1 (не одговара),

(3/5) x = 5, x \u003d -1.

Vi. Домашна работа

(Слајд број 10 )

• Повторете, 11, 12.
• Од испитни материјали 2008 - 2010 година да изберат задачи на темата и да ги решат.
• Домашно тестирање работа
: