Формули за наоѓање на површина на триаголник во однос на синус. Тригонометриски односи за наоѓање на ногата на правоаголен триаголник
Ако проблемот дава должини на две страни на триаголник и агол помеѓу нив, тогаш преку синусот можете да ја примените формулата за плоштина на триаголник.
Пример за пресметување на плоштината на триаголникот преку синус. Дадени страни a \u003d 3, b \u003d 4 и агол γ \u003d 30 °. Синусот на агол од 30 ° е 0,5 
Површината на триаголникот ќе биде 3 квадратни метри. цм.
Може да има и други услови. Ако се дадени должината на едната страна и аглите, тогаш прво треба да го пресметате аголот што недостасува. Бидејќи збирот на сите агли на триаголникот е 180 °, тогаш:
Површината е еднаква на половина од квадратот на страната повеќекратна од фракцијата. Неговиот броител содржи производ на синус на соседните агли, а именителот е синус на спротивниот агол. Сега ја пресметуваме областа користејќи ги следниве формули:
На пример, даден е триаголник со страна a \u003d 3 и агли γ \u003d 60 °, β \u003d 60 °. Пресметајте го третиот агол: 
Замена на податоците во формулата
Добиваме дека површината на триаголникот е 3,87 квадратни метри. цм.
II. Област на триаголник во смисла на косинус
За да ја пронајдете областа на триаголник, треба да ги знаете должините на сите страни. Според теоремата на косинусот, може да се најдат непознати страни, и само тогаш да се користат.
Според теоремата на косинусот, квадратот од непозната страна на триаголник е еднаков на збирот на квадратите на преостанатите страни минус двојниот производ на овие страни со косинусот на аголот меѓу нив.
Од теоремата извлекуваме формули за наоѓање на должината на непознатата страна:
Знаејќи како да ја пронајдете страната што недостасува, имајќи две страни и аголот помеѓу нив, лесно можете да ја пресметате областа. Формулата за површина на триаголник во однос на косинусот ви помага брзо и лесно да пронајдете решение за разни проблеми.
Пример за пресметување на формулата за плоштина на триаголник во однос на косинусот
Даден е триаголник со познати страни a \u003d 3, b \u003d 4 и агол γ \u003d 45 °. Прво, пронајдете ја страната што недостасува од... Во косинус 45 ° \u003d 0,7. За да го направите ова, ние ги заменуваме податоците во равенката добиена од теоремата на косинусот.
Сега, користејќи ја формулата, наоѓаме
Во животот, честопати треба да се справуваме со математички проблеми: на училиште, на универзитет и потоа да му помагаме на нашето дете во домашните задачи. Луѓето во одредени професии секојдневно ќе бидат изложени на математика. Затоа, корисно е да се запаметат или да се потсетат на математичките правила. Во оваа статија ќе анализираме една од нив: наоѓање на ногата правоаголен триаголник.
Што е правоаголен триаголник
За почеток, да се потсетиме што е правоаголен триаголник. Правоаголен триаголник е геометриска фигура од три сегменти на линија што поврзуваат точки што не лежат на една права линија, а еден од аглите на оваа бројка е 90 степени. Страните што формираат прав агол се нарекуваат нозе, а страната што лежи наспроти прав агол - хипотенузата.
Пронајдете ја ногата на правоаголен триаголник
Постојат неколку начини да се открие должината на ногата. Би сакал да ги разгледам подетално.
Питагорова теорема да пронајде нога на правоаголен триаголник
Ако ги знаеме хипотенузата и ногата, тогаш можеме да ја најдеме должината на непознатата нога користејќи ја теоремата на Питагора. Звучи вака: „Плоштадот на хипотенузата е еднаков на збирот на квадратите на нозете“. Формула: c² \u003d a² + b², каде c - хипотенуза, a и b - нозе. Ние ја трансформираме формулата и добиваме: a² \u003d c²-b².
Пример. Хипотенузата е 5 см, а ногата е 3 см. Ние ја трансформираме формулата: c² \u003d a² + b² → a² \u003d c²-b². Тогаш одлучуваме: a² \u003d 5²-3²; a² \u003d 25-9; a² \u003d 16; a \u003d √16; a \u003d 4 (см).
Тригонометриски соодноси за наоѓање на ногата на правоаголен триаголник
Може да најдете и непозната нога ако се познати која било друга страна и кој било остар агол на правоаголен триаголник. Постојат четири опции за наоѓање на ногата со тригонометриски функции: синус, косинус, тангента, котангент. Табелата подолу ќе ни помогне да ги решиме проблемите. Да ги разгледаме овие опции.
Пронајдете ја ногата на правоаголен триаголник користејќи синус
Синусот на аголот (грев) е односот на спротивната нога кон хипотенузата. Формула: sin \u003d a / c, каде a е ногата спроти дадениот агол, а c е хипотенузата. Следно, ја трансформираме формулата и добиваме: a \u003d sin * c.
Пример. Хипотенузата е 10 см, аголот А е 30 степени. Според табелата, ние го пресметуваме синусот на аголот А, тој е 1/2. Потоа, користејќи ја трансформираната формула, решаваме: a \u003d sin∠А * c; a \u003d 1/2 * 10; a \u003d 5 (см).
Пронајдете ја ногата на правоаголен триаголник користејќи косинус
Косинусот на аголот (cos) е односот на соседната нога до хипотенузата. Формула: cos \u003d b / c, каде b е ногата во непосредна близина на дадениот агол, а c е хипотенузата. Ајде да ја трансформираме формулата и да добиеме: b \u003d cos * c.
Пример. Аголот А е 60 степени, хипотенузата е 10 см. Според табелата, ние го пресметуваме косинусот на аголот А, тоа е 1/2. Тогаш одлучуваме: b \u003d cos∠A * c; b \u003d 1/2 * 10, b \u003d 5 (cm).
Пронајдете ја ногата на правоаголен триаголник користејќи ја тангентата
Тангентата на аголот (tg) е односот на спротивната нога со соседната нога. Формула: tg \u003d a / b, каде a е ногата спротивна на аголот, а b е соседна. Ние ја трансформираме формулата и добиваме: a \u003d tg * b.
Пример. Аголот А е еднаков на 45 степени, хипотенузата е еднаква на 10 см Според табелата ја пресметуваме тангентата на аголот А, таа е еднаква на Реши: a \u003d tg∠A * b; a \u003d 1 * 10; a \u003d 10 (см).
Пронајдете ја ногата на правоаголен триаголник користејќи котангент
Котангентот на аголот (ctg) е односот на соседната нога до спротивната нога. Формула: ctg \u003d b / a, каде b е ногата во непосредна близина на аголот, a е спротивната нога. Со други зборови, котангентата е „превртена тангента“. Добиваме: b \u003d ctg * a.
Пример. Аголот А е 30 степени, спротивната нога е 5 см. Според табелата, тангентата на аголот А е √3. Пресметуваме: b \u003d ctg∠A * a; b \u003d √3 * 5; b \u003d 5√3 (см).
Значи, сега знаете како да најдете нога во правоаголен триаголник. Како што можете да видите, ова не е толку тешко, главната работа е да ги запомните формулите.
Синусот е една од основните тригонометриски функции, чија употреба не е ограничена на само една геометрија. Табелите за пресметување на тригонометриските функции, како инженерските калкулатори, не се секогаш при рака, а понекогаш е потребно и пресметување на синусот за решавање на разни проблеми. Општо, пресметувањето на синусот ќе ви помогне да ги зајакнете вашите вештини за цртање и знаење за тригонометриските идентитети.
Игри со владетели и моливи
Едноставен проблем: како да се најде синус на агол нацртан на хартија? За решението, ќе ви треба обичен владетел, триаголник (или компаси) и молив. Наједноставниот начин да се пресмета синусот на агол е со делење на далечната нога на триаголник со прав агол од долгата страна - хипотенузата. Така, прво треба да завршите акутен агол на обликот на правоаголен триаголник со цртање линија нормална на еден од зраците на произволно растојание од врвот на аголот. Beе биде потребно да се набудува аголот точно 90 °, за што ни треба свештенички триаголник.
Користењето компас е малку поточно, но ќе трае подолго. На еден од зраците, треба да означите 2 точки на одредено растојание, да го прилагодите радиусот на компасот, приближно еднаков на растојанието помеѓу точките и да нацртате полукругови со центри на овие точки додека не се добијат пресеците на овие линии. Со поврзување на точките на пресек на нашите кругови едни со други, добиваме строга нормална на зракот на нашиот агол, останува само да ја продолжиме линијата додека не се пресече со друг зрак.
Во добиениот триаголник, треба да ја измерите страната спроти аголот со правило и долгата страна на еден од зраците. Односот на првата димензија со втората ќе биде посакуваната вредност на синусот на акутниот агол.
Пронајдете синус за агол поголем од 90 °
За тап агол, задачата не е многу потешка. Неопходно е да се извлече зрак од темето во спротивна насока со помош на владетел за да се формира права линија со еден од зраците на аголот на интерес за нас. Со добиениот акутен агол, треба да продолжите како што е опишано погоре, синусите на соседните агли кои заедно формираат развиен агол од 180 ° се еднакви.
Пресметување на синус од други тригонометриски функции
Исто така е можно да се пресмета синусот ако се познати вредностите на другите тригонометриски функции на аголот или барем должините на страните на триаголникот. Тригонометриските идентитети ќе ни помогнат во ова. Ајде да погледнеме вообичаени примери.
Како да го пронајдете синусот со познато косинус на агол? Првиот тригонометриски идентитет, кој потекнува од Питагоровата теорема, наведува дека збирот на квадратите на синусот и косинусот со ист агол е еднаков на еден.
Како да го пронајдете синусот со позната тангента на агол? Тангентата се добива со делење на далечната нога со блиската или со делење на синусот со косинус. Така, синусот ќе биде производ на косинусот и тангентата, а квадратот на синусот ќе биде квадрат на овој производ. Косинусот го заменуваме на квадрат со разликата помеѓу едниот и квадратниот синус според првиот тригонометриски идентитет и со едноставни манипулации ја носиме равенката до пресметката на квадратниот синус преку тангентата, соодветно, за да се пресмета синусот, треба да го извлечете коренот од добиениот резултат.
Како да го пронајдете синусот со позната котангента со агол? Вредноста на котангентата може да се пресмета со делење на должината на ногата во близина на аголот со должината на далечната нога, а исто така и поделба на косинусот со синус, односно котангент е функција обратна на тангентата во однос на бројот 1. За да се пресмета синусот, може да се пресмета тангентата со формулата tg α \u003d 1 / ctg α и користете ја формулата во втората опција. Можете исто така да добиете директна формула по аналогија со тангентата, која ќе изгледа вака.
Како да се најде синусот на три страни од триаголник
Постои формула за наоѓање на должината на непознатата страна на кој било триаголник, не само правоаголна, по две познати страни со помош на тригонометриската функција на косинусот на спротивниот агол. Изгледа вака.
Страна триаголник може да се открие не само долж периметарот и областа, туку и по дадената страна и аглите. За ова, се користат тригонометриски функции - синус и да синус ... Проблеми со нивната примена се среќаваат во курсот за геометрија во училиштето, како и за универзитетскиот курс по аналитичка геометрија и линеарна алгебра.
Инструкции
1. Ако е позната една од страните на триаголникот и аголот помеѓу него и другата страна, користете ги тригонометриските функции - синус ом и ко синус ом Замислете правоаголен триаголник HBC со агол? е еднаква на 60 степени. Триаголникот HBC е прикажан на сликата. Поради синус , како што е познато, го претставува односот на спротивната нога кон хипотенузата и кон синус - односот на соседната нога кон хипотенузата, за да се реши проблемот, користете ја понатамошната врска помеѓу овие параметри: sin? \u003d HB / BC Според тоа, ако сакате да ја знаете ногата на правоаголниот триаголник, изразете го преку хипотенуза на друг начин: HB \u003d BC * sin?
2. Ако, напротив, во состојба на проблемот, се даде нога на триаголник, пронајдете ја неговата хипотенуза, водена од понатамошната врска помеѓу дадените вредности: BC \u003d НB / sin? По аналогија, најдете ги страните на триаголникот и користејќи ко синус а, менувајќи го претходниот израз на понатамошен начин: cos? \u003d HC / BC
3. Во основната математика, постои репрезентација на теоремата синус ов Водени од фактите што ги опишува оваа теорема, дозволено е и откривање на страните на триаголникот. Покрај тоа, ви овозможува да ги откриете страните на триаголникот испишан во круг, ако го знаеме радиусот на последниот. За да го направите ова, користете ја врската подолу: a / sin? \u003d B / sin b \u003d c / sin y \u003d 2R Оваа теорема се применува во случај кога се познати двете страни и аголот на триаголникот, или се дадени еден од аглите на триаголникот и радиусот на кругот околу него. ...
4. Освен теоремата синус ов, постои и суштински аналогна теорема синус ov, што, како и претходниот, важи и за триаголници од сите 3 сорти: правоаголен, акутен агол и тап. Водени од фактите што ја докажуваат оваа теорема, дозволено е да се најдат непознати величини со примена на следниве релации помеѓу нив: c ^ 2 \u003d a ^ 2 + b ^ 2-2ab * cos?
Геометриска фигура составена од три точки кои не припаѓаат на една права линија наречена темиња, и три сегменти што ги поврзуваат во парови, наречени страни, се нарекува триаголник. Постојат многу задачи за наоѓање на страни и агли на триаголник од ограничен број првични податоци, една од таквите задачи е наоѓање на страна на триаголник по една од неговите страни и две агли .
Инструкции
1. Нека се гради триаголникот ABC, а страната на СРД и аглите се познати. и ??. Познато е дека збирот на аглите на кој било триаголник е еднаков на 180?, затоа во триаголникот? ABC аголот ?? ќе биде еднакво ?? \u003d 180? - (?? + ??). Дозволено е откривање на страните AC и AB со примена на теоремата на синусите, што вели AB / sin ?? \u003d П.н.е. / грев ?? \u003d AC / грев ?? \u003d 2 * R, каде што R е радиус на круг заокружен околу триаголник? ABC, тогаш добиваме R \u003d BC / sin ??, AB \u003d 2 * R * sin ??, AC \u003d 2 * R * sin ??. Теоремата на синусите може да се користи за какви било податоци 2 агли и странично.
2. Страните на даден триаголник можат да се детектираат со пресметување на неговата површина со формулата S \u003d 2 * R? * грев ?? * грев ?? * sin ??, каде што R се пресметува со формулата R \u003d BC / sin ??, R е радиусот на опишаниот триаголник? ABC од тука Потоа страна АБ е дозволено да се открие со пресметување на висината падната на неа h \u003d BC * sin ??, тогаш со употреба на формулата S \u003d 1/2 * h * AB имаме AB \u003d 2 * S / h Слично на тоа, дозволено е да се пресмета страна AC
3. Ако надворешните агли на триаголникот се дадени како агли ?? и ??, тогаш е дозволено да се детектираат внатрешни агли со поддршка на соодветните стапки ?? \u003d 180? - ??, ?? \u003d 180? - ??, ?? \u003d 180? - (?? + ??). Понатаму, ние делуваме слично на првите две точки.
Разбирањето на триаголниците го вршеле математичари неколку милениуми. Науката за триаголници - тригонометрија - користи специјални количини: синус и косинус.
Правоаголен триаголник
Првично, синусот и косинусот се појавија поради потребата да се пресметаат количините во правоаголни триаголници. Забележано е дека ако не се смени вредноста на мерката на степенот на аглите во правоаголен триаголник, тогаш односот на размерот, без разлика колку овие страни се менуваат во должина, останува секогаш идентичен. Така се воведени претстави на синус и косинус. Синус на акутен агол во правоаголен триаголник е односот на спротивната нога со хипотенузата, а косинусот е оној во непосредна близина на хипотенузата.
Теореми на косинус и синус
Но, косинусите и синусите може да се користат не само во правоаголни триаголници. Со цел да се најде вредноста на тап или акутен агол, страни на кој било триаголник, доволно е да се примени теоремата на косинусите и синусите. Теоремата на косинусот е примитивна: „Квадратот на страната на триаголникот е еднаков на збирот на квадратите на уште 2 други страни минус двојниот производ на овие страни со косинусот на аголот помеѓу нив“. Постојат две толкувања на теоремата на синусот: мала и проширена. Според малото: „Во триаголник, аглите се пропорционални на спротивните страни“. Оваа теорема често се проширува поради својството на круг обележан околу триаголник: „Во триаголник аглите се пропорционални на спротивните страни, а нивниот однос е еднаков на дијаметарот на обележаниот круг“.
Деривати
Дериват е математичка алатка која покажува колку брзо се менува функцијата во однос на метаморфозата на нејзиниот аргумент. Дериватите се користат во алгебра, геометрија, економија и физика и голем број технички дисциплини. При решавање проблеми, треба да ги знаете табеларните вредности на дериватите на тригонометриските функции: синус и косинус. Дериват на синусот е косинус, а косинусот е синус, но со знак минус.
Примена во математиката
Особено често се користат синуси и косинуси при решавање на правоаголни триаголници и проблеми поврзани со нив. Погодноста на синусите и косинусите се рефлектира во технологијата. Аглите и страните беа примитивно проценети со теоремите на косинусите и синусите, кршејќи ги тешките форми и предмети во „примитивни“ триаголници. Инженерите и архитектите, кои често се занимаваат со пресметки на соодносот на аспект и мерките на степенот, потрошиле многу време и напор да ги пресметаат косинусите и синусите на аглите што не се на маса. Потоа масите на Брадис дојдоа на помош, кои содржеа илјадници вредности на синуси, косинуси, тангенти и котангенти од различни агли. Во советско време, некои наставници ги принудуваа своите ученици да ги учат страниците на табелите на Брадис напамет.
Областа на триаголник е половина од производот на неговите страни со синусот на аголот меѓу нив.
Доказ:
Размислете за произволен триаголник ABC. Нека е страната BC \u003d a, страната CA \u003d b и S е површина на овој триаголник. Неопходно е да се докаже тоа S \u003d (1/2) * a * b * грев (C).
За почеток, воведуваме правоаголен координатен систем и го ставаме потеклото во точката C. Го поставуваме нашиот координатен систем така што точката Б лежи на позитивната насока на оската Cx, а точката А би имала позитивна ординација.
Ако сè е направено правилно, треба да ја добиете следнава слика.
Површината на даден триаголник може да се пресмета со користење на следнава формула: S \u003d (1/2) * а * чкаде што h е висината на триаголникот. Во нашиот случај, висината на триаголникот h е еднаква на ординатата на точката A, односно h \u003d b * sin (C).
Со оглед на добиените резултати, формулата за плоштина на триаголник може да се преработи како што следува: S \u003d (1/2) * a * b * sin (C). П.Е.Д.
Решавање на проблеми
Задача 1. Пронајдете ја областа на триаголник ABC ако а) AB \u003d 6 * √8 cm, AC \u003d 4 cm, агол A \u003d 60 степени b) BC \u003d 3 cm, AB \u003d 18 * √2 cm, агол B \u003d 45 степени во ) AC \u003d 14 cm, CB \u003d 7 cm, агол C \u003d 48 степени.
Според теоремата докажана погоре, областа S од триаголник ABC е еднаква на:
S \u003d (1/2) * AB * AC * грев (A).
Ајде да ги направиме пресметките:
а) S \u003d ((1/2) * 6 * √8 * 4 * грев (60˚)) \u003d 12 * √6 cm ^ 2.
б) С \u003d (1/2) * п.н.е. * БА * грев (Б) \u003d ((1/2) * 3 * 18 * √2 * (√2 / 2)) \u003d 27 см ^ 2.
в) S \u003d (1/2) * CA * CB * sin (C) \u003d ½ * 14 * 7 * sin48˚ cm ^ 2.
Вредноста на синусот на аголот се пресметува на калкулатор или ги користиме вредностите од табелата на вредности на тригонометриските агли. Одговор:
а) 12 * √6 см ^ 2.
в) приближно 36,41 см ^ 2.
Задача 2. Областа на триаголникот ABC е 60 cm ^ 2. Пронајдете ја страницата AB ако AC \u003d 15 cm, агол A \u003d 30˚.
Нека S е површина на триаголник ABC. Според теоремата за областа на триаголник, имаме:
S \u003d (1/2) * AB * AC * грев (A).
Да ги замениме вредностите што ги имаме во него:
60 \u003d (1/2) * AB * 15 * sin30˚ \u003d (1/2) * 15 * (1/2) * AB \u003d (15/4) * AB.
Од тука ја изразуваме должината на страната AB: AB \u003d (60 * 4) / 15 \u003d 16.
