ГИА. Квадратна функција. Лекција „Функција y=ax2, нејзиниот график и својства График на функцијата y ax2 bx

Опис на видео лекцијата

Да разгледаме некои посебни случаи на квадратна функција.

Прв случај.Ајде да дознаеме колку е графикот на функцијата y еднаков на една третина x квадрат плус четири.

За да го направите ова, во еден координатен систем, ги исцртуваме графиконите на функциите y еднакво на една третина x квадрат .. и .. y е еднаква на една третина x квадрат плус четири.

Да направиме табела со вредности на функцијата y еднаква на една третина х квадрат. Да се ​​надоврземе дадени поенифункционален график.

За да се добие табела со вредности на функцијата y еднаква на една третина x квадрат плус четири со истите вредности на аргументот, треба да се додадат четири на пронајдените вредности на функцијата y еднаква на една третина x квадрат.

Ајде да направиме табела со вредности за графикот на функцијата y еднаква на една третина x квадрат плус четири. Ајде да изградиме точки според наведените координати и да ги поврземе со мазна линија. Го добиваме графикот на функцијата y е еднаков на една третина x квадрат плус четири.

Лесно е да се разбере дека графикот на функцијата y еднаков на една третина x квадрат плус четири може да се добие од графикот на функцијата y е еднаква на една третина x квадрат со поместување на четири единици нагоре паралелно по y оската.

Така, графикот на функцијата y е еднаков на x квадрат плус en е парабола, која се добива од графикот на функцијата y е еднаква на x квадрат со паралелно преведување по оската y со модул en единици нагоре ако en е поголемо од нула или надолу ако en е помал од нула.

Втор случај.Размислете дека функцијата y е еднаква на една третина од квадратот на разликата помеѓу броевите x и шест и изградете го нејзиниот график.

Ајде да изградиме табела со вредности на функцијата y еднаква на една третина x квадрат, наведете ги добиените точки на координатна рамнинаи поврзете се со мазна линија.

Сега да направиме табела со вредности за функцијата y е еднаква на една третина од квадратот на разликата помеѓу броевите x и шест. Да го нацртаме графикот на функцијата користејќи ги дадените точки.

Забележливо е дека секоја точка од вториот график е добиена од соодветната точка на првиот график со помош на паралелен превод на шест единици долж оската x.

Графикот на функцијата y е еднаков на множи со квадратот на разликата помеѓу x и em .. е парабола што може да се добие од графикот на функцијата y е еднаква на x е квадрат со паралелно преведување по должината на x- оската со модулот на em единиците налево ако em е поголем од нула или со модулот на em единиците надесно ако em е помал од нула.

Размислете сега дека графикот на функцијата y е еднаков на една третина од квадратот на разликата x и два плус пет. Неговиот график може да се добие од графикот на функцијата y еднаква на една третина x квадрат со помош на две паралелни преводи - поместување на параболата надесно за две единици и нагоре за пет единици.

Во исто време, паралелните преноси може да се извршат по кој било редослед: прво по x-оската, а потоа по y-оската или обратно.

Но, зошто, кога бројот en се додава на функцијата, неговиот график се движи нагоре по модул en единици ако en е поголем од нула или надолу ако en е помал од нула, а кога бројот em се додава на аргументот, функцијата се движи модул em единици надесно ако em е помал од нула или налево ако em е поголем од нула?

Да се ​​разгледа првиот случај.Нека се бара да се изгради график на функцијата y е еднаква на ef од x .. плус en. Забележете дека ординатите на овој график за сите вредности на аргументот се за en единици поголеми од соодветните ординати на графикот y е еднаков на eff од x за позитивен en и помал за en единици за негативен en. Според тоа, графикот на функцијата y е еднаков eff од x ... плус en може да се добие со паралелно преведување долж y-оската на графикот на функцијата y е еднакво ef од x по модул en единици нагоре ако en е поголем од нула и по модул en единици надолу ако en е помал од нула.

Да се ​​разгледа втор случај.Нека се бара да се изгради график на функцијата y е еднаква на eff од збирот на x и em. Размислете за функцијата y е еднаква на eff од x, која во одредена точка x еднакво на xпрвиот ја зема вредноста y првиот е еднаков на ef од x првиот. Очигледно, функцијата y е еднаква на eff од збирот x и em ќе ја земе истата вредност во точката x секунда, чија координата е одредена од еднаквоста x секунда плус em е еднаква на x прво, односно x прво е еднакво на x првиот минус ем. Покрај тоа, еднаквоста што се разгледува важи за сите вредности на x од доменот на функцијата. Според тоа, графикот на функцијата може да се добие со паралелно поместување на графикот на функцијата y еднакво ef од x по оската на апсцисата налево со модулот на единиците налево ако em е поголем од нула и за модулот на em надесно ако em е помал од нула. Паралелното движење на функционалниот график по x-оската по em единици е еквивалентно на поместување на y-оската за ист број единици, но во спротивна насока.

Кога параболата ротира околу својата оска, се добива фигура, која се нарекува параболоид. Ако внатрешната површина на параболоидот е направена како огледало и кон него е насочен сноп од зраци паралелни на оската на симетрија на параболоидот, тогаш рефлектираните зраци ќе се соберат во точка наречена фокус. Во исто време, ако изворот на светлина е поставен во фокус, тогаш зраците што се рефлектираат од површината на огледалото на параболоидот ќе бидат паралелни и нема да се расејуваат.

Првото својство овозможува да се добие висока температура во фокусот на параболоидот. Според легендата, овој имот го користел античкиот грчки научник Архимед. За време на одбраната на Сиракуза во војната против Римјаните, тој изгради систем на параболични огледала, што овозможи да се фокусираат рефлектираните зраци на сонцето на римските бродови. Како резултат на тоа, температурата во фокусите на параболичните огледала се покажа толку висока што избувна пожар на бродовите и тие изгореа. Овој имот се користи и во производството на параболични антени.

Вториот имот се користи во производството на рефлектори и фарови за автомобили.

Презентацијата „Функција y=ax 2 , нејзиниот график и својства“ е визуелно помагало што е создадено да го придружува објаснувањето на наставникот на оваа тема. Оваа презентација детално ја разгледува квадратната функција, нејзините својства, карактеристиките на заплетот, практичната примена на методите што се користат за решавање проблеми во физиката.

Обезбедувајќи висок степен на видливост, овој материјал ќе му помогне на наставникот да ја зголеми ефективноста на наставата, ќе обезбеди можност за порационално распределување на времето на часот. Со помош на анимациски ефекти, истакнување концепти и важни точкибоја, вниманието на учениците е насочено кон предметот што се изучува, се постигнува подобро меморирање на дефинициите и текот на расудувањето при решавање на проблеми.

Презентацијата започнува со вовед во насловот на презентацијата и концептот на квадратна функција. Се нагласува важноста на оваа тема. Учениците се повикуваат да ја запаметат дефиницијата за квадратна функција како функционална зависност од формата y=ax 2 +bx+c, во која е независна променлива и се броеви, додека a≠0. Одделно, на слајдот 4, се забележува за запомнување дека доменот на оваа функција е целата оска на реалните вредности. Конвенционално, оваа изјава се означува со D(x)=R.

Пример за квадратна функција е нејзината важна примена во физиката - формулата за зависноста на патеката при рамномерно забрзано движење на времето. Паралелно, на часовите по физика, учениците ги изучуваат формулите за различни видови движења, така што ќе им треба способност да решаваат такви проблеми. На слајдот 5, учениците се потсетуваат дека кога телото се движи со забрзување и на почетокот на временската референца, поминатото растојание и брзината на движење се познати, тогаш функционалната зависност што го претставува таквото движење ќе биде изразена со формулата S=( на 2)/2+v 0 t+S 0 . Следното е пример за претворање на оваа формула во дадена квадратна функција ако вредностите на забрзување = 8, почетна брзина = 3 и почетна патека = 18. Во овој случај, функцијата ќе има форма S=4t 2 +3t+18.

На слајдот 6 се разгледува формата на квадратната функција y=ax 2 во која е претставена на. Ако =1, тогаш квадратната функција има форма y=x 2 . Забележано е дека графикот на оваа функција ќе биде парабола.

Следниот дел од презентацијата е посветен на исцртување график на квадратна функција. Се предлага да се разгледа изградбата на график на функцијата y=3x 2 . Прво, табелата ја означува кореспонденцијата помеѓу вредностите на функцијата и вредностите на аргументот. Забележано е дека разликата помеѓу конструираниот график на функцијата y=3x 2 и графикот на функцијата y=x 2 е дека секоја негова вредност ќе биде три пати поголема од соодветната. Во табеларен приказ, оваа разлика е добро следена. Во близина во графичкиот приказ јасно се гледа и разликата во стеснувањето на параболата.

Следниот слајд разгледува цртање квадратна функција y=1/3 x 2 . За да се изгради графикон, неопходно е во табелата да се наведат вредностите на функцијата во голем број нејзини точки. Забележано е дека секоја вредност на функцијата y=1/3 x 2 е 3 пати помала од соодветната вредност на функцијата y=x 2 . Оваа разлика, покрај табелата, е јасно видлива и на графиконот. Неговата парабола е попроширена во однос на y-оската од параболата на функцијата y=x 2 .

Примерите ви помагаат да разберете општо правило, според кој потоа можете поедноставно и побрзо да ги изградите соодветните графикони. На слајдот 9, нагласено е посебно правило дека графикот на квадратната функција y \u003d ax 2 може да се нацрта во зависност од вредноста на коефициентот со истегнување или стеснување на графикот. Ако a>1, тогаш графикот се протега од x-оската во времиња. Ако 0

Заклучокот за симетријата на графиконите на функциите y=ax 2 и y=-ax2 (на ≠0) во однос на оската на апсцисата е посебно означен на слајдот 12 за меморирање и јасно прикажан на соодветниот график. Понатаму, концептот на графикот на квадратна функција y=x 2 е проширен на поопшт случај на функцијата y=ax 2, тврдејќи дека таквиот график ќе се нарекува и парабола.

Слајдот 14 ги разгледува својствата на квадратната функција y=ax 2 за позитивно. Забележано е дека неговиот график поминува низ потеклото, а сите точки, освен за, лежат во горната полурамнина. Се забележува симетријата на графикот во однос на y-оската, наведувајќи дека спротивните вредности на аргументот одговараат на истите вредности на функцијата. Се означува дека интервалот на намалување на оваа функција е (-∞;0], а зголемувањето на функцијата се врши на интервалот. Вредностите на оваа функција го покриваат целиот позитивен дел од реалната оска, тоа е еднаква на нула во точката и нема најголема вредност.

Слајдот 15 ги опишува својствата на функцијата y=ax 2 ако е негативна. Забележано е дека неговиот график исто така поминува низ потеклото, но сите негови точки, освен за, лежат во долната полурамнина. Се забележува симетријата на графикот во однос на оската, а спротивните вредности на аргументот одговараат на еднакви вредности на функцијата. Функцијата се зголемува на интервалот, се намалува вклучено. Вредностите на оваа функција лежат во интервалот, таа е еднаква на нула во точката и нема најмала вредност.

Сумирајќи ги разгледаните карактеристики, слајдот 16 покажува дека гранките на параболата се насочени надолу кон и нагоре кон. Параболата е симетрична во однос на оската, а темето на параболата се наоѓа на местото на нејзиното вкрстување со оската. Параболата y=ax 2 има теме - потеклото.

Исто така, важен заклучок за трансформациите на параболата е прикажан на слајдот 17. Во него се претставени опции за трансформација на графикот на квадратна функција. Забележано е дека графикот на функцијата y=ax 2 се трансформира со симетрично прикажување на графикот околу оската. Исто така, можно е да се компресира или прошири графикот во однос на оската.

На последниот слајд се донесуваат генерализирачки заклучоци за трансформациите на графикот на функцијата. Прикажани се заклучоци дека графикот на функцијата се добива со симетрична трансформација околу оската. А графикот на функцијата се добива од компресија или истегнување на оригиналниот график од оската. Во овој случај, истегнување од оската во времиња се забележува во случај кога. Со собирање на оската за 1/a пати, графикот се формира во случајот.

Презентацијата „Функција y=ax 2 , нејзиниот график и својства“ наставникот може да ја користи како визуелно помагало на час по алгебра. Исто така, овој прирачник добро ја покрива темата, давајќи длабинско разбирање на темата, за да може да биде понуден за независно проучување од страна на студентите. Исто така, овој материјал ќе му помогне на наставникот да даде објаснување за време на учењето на далечина.

Лекција: како да се изгради парабола или квадратна функција?

ТЕОРЕТСКИ ДЕЛ

Парабола е график на функција опишана со формулата ax 2 +bx+c=0.
За да изградите парабола, треба да следите едноставен алгоритам на дејства:

1) Формула за парабола y=ax 2 +bx+c,
ако a>0тогаш се насочени гранките на параболата нагоре,
а потоа се насочуваат гранките на параболата надолу.
слободен член воваа точка ја пресекува параболата со оската OY;

2) , се наоѓа по формулата x=(-b)/2a, пронајденото x го заменуваме во равенката на параболата и наоѓаме y;

3)Функција нулиили со други зборови, точките на пресек на параболата со оската OX, тие се нарекуваат и корени на равенката. За да ги најдеме корените, ја изедначуваме равенката со 0 ax2+bx+c=0;

Видови равенки:

а) Целосно квадратна равенкаја има формата ax2+bx+c=0а се решава од дискриминаторот;
б) Нецелосна квадратна равенка на формата ax2+bx=0.За да го решите, треба да го извадите x од заградите, а потоа да го изедначите секој фактор со 0:
ax2+bx=0,
x(ax+b)=0,
x=0 и ax+b=0;
в) Нецелосна квадратна равенка на формата ax2+c=0.За да го решите, треба да го преместите непознатото на едната, а познатото на другата страна. x =±√(c/a);

4) Најдете неколку дополнителни точки за да ја изградите функцијата.

ПРАКТИЧЕН ДЕЛ

И така, сега, со пример, ќе анализираме сè со акции:
Пример #1:
y=x 2 +4x+3
c=3 значи параболата се сече на OY во точката x=0 y=3. Гранките на параболата гледаат нагоре бидејќи a=1 1>0.
a=1 b=4 c=3 x=(-b)/2a=(-4)/(2*1)=-2 y= (-2) 2 +4*(-2)+3=4- 8+3=-1 врвот е во точката (-2;-1)
Најдете ги корените на равенката x 2 +4x+3=0
Корените ги наоѓаме според дискриминаторот
a=1 b=4 c=3
D=b 2 -4ac=16-12=4
x=(-b±√(D))/2a
x1=(-4+2)/2=-1
x2=(-4-2)/2=-3

Да земеме неколку произволни точки кои се блиску до врвот x=-2

x -4 -3 -1 0
y 3 0 0 3

Заменуваме наместо x во равенката y \u003d x 2 + 4x + 3 вредности
y=(-4) 2 +4*(-4)+3=16-16+3=3
y=(-3) 2 +4*(-3)+3=9-12+3=0
y=(-1) 2 +4*(-1)+3=1-4+3=0
y=(0) 2 +4*(0)+3=0-0+3=3
Од вредностите на функцијата може да се види дека параболата е симетрична во однос на правата линија x \u003d -2

Пример #2:
y=-x 2 +4x
c=0 значи параболата се сече на OY во точката x=0 y=0. Гранките на параболата гледаат надолу бидејќи a=-1 -1 Најдете ги корените на равенката -x 2 +4x=0
Нецелосна квадратна равенка од формата ax 2 +bx=0. За да го решите, треба да го извадите x од заградите, а потоа да го изедначите секој фактор со 0.
x(-x+4)=0, x=0 и x=4.

Да земеме неколку произволни точки кои се блиску до темето x=2
x 0 1 3 4
y 0 3 3 0
Заменуваме наместо x во равенката y \u003d -x 2 +4x вредности
y=0 2 +4*0=0
y=-(1) 2 +4*1=-1+4=3
y=-(3) 2 +4*3=-9+13=3
y=-(4) 2 +4*4=-16+16=0
Од вредностите на функцијата може да се види дека параболата е симетрична во однос на правата линија x \u003d 2

Пример #3
y=x 2 -4
c=4 значи параболата се сече на OY во точката x=0 y=4. Гранките на параболата гледаат нагоре бидејќи a=1 1>0.
a=1 b=0 c=-4 x=(-b)/2a=0/(2*(1))=0 y=(0) 2 -4=-4 темето е во точката (0;-4 )
Најди ги корените на равенката x 2 -4=0
Нецелосна квадратна равенка од формата ax 2 +c=0. За да го решите, треба да го преместите непознатото на едната, а познатото на другата страна. x =±√(c/a)
x2=4
x1=2
x 2 \u003d -2

Да земеме неколку произволни точки кои се блиску до врвот x=0
x -2 -1 1 2
y 0 -3 -3 0
Заменуваме наместо x во равенката y \u003d x 2 -4 вредности
y=(-2) 2 -4=4-4=0
y=(-1) 2 -4=1-4=-3
y=1 2 -4=1-4=-3
y=2 2 -4=4-4=0
Од вредностите на функцијата може да се види дека параболата е симетрична во однос на правата x=0

Претплатете се на каналот на YOUTUBEда бидете во тек со сите новости и да се подготвите кај нас за испити.