Płaski stan wytrzymałości materiałów naprężonych. stan naprężony i zdeformowany. Skręcanie belki prostokątnej
Podstawy teorii sprężystości
Wykład 4
Płaski problem teorii sprężystości
slajd 2
W teorii sprężystości istnieje duża klasa problemów, które są ważne w sensie praktycznych zastosowań, a jednocześnie pozwalają na znaczne uproszczenia matematycznej strony rozwiązania. Uproszczenie polega na tym, że w tych problemach jedna z osi współrzędnych ciała, na przykład oś z, może zostać odrzucona i wszystkie zjawiska można uznać za występujące w tej samej płaszczyźnie współrzędnych x0y ciała obciążonego. W tym przypadku naprężenia, odkształcenia i przemieszczenia będą funkcjami dwóch współrzędnych - x i y.
Problem rozpatrywany w dwóch współrzędnych nazywa się płaski problem teorii sprężystości.
pod terminem „ płaski problem teorii sprężystości» połączyć dwa fizycznie różne problemy, co prowadzi do bardzo podobnych zależności matematycznych:
1) problem stanu odkształcenia płaszczyzny (deformacja płaszczyzny);
2) problem płaskiego stanu naprężenia.
Problemy te charakteryzują się najczęściej znaczną różnicą pomiędzy jednym wymiarem geometrycznym a pozostałymi dwoma wymiarami rozpatrywanych korpusów: dużą długością w pierwszym przypadku i małą grubością w drugim przypadku.
Odkształcenie płaszczyzny
Deformację nazywamy płaską, jeśli przemieszczenia wszystkich punktów ciała mogą wystąpić tylko w dwóch kierunkach w jednej płaszczyźnie i nie zależą od współrzędnej normalnej do tej płaszczyzny, tj.
u=u(x,y); v=v(x,y); w=0 (4.1)
Odkształcenie płaszczyzny występuje w długich pryzmatycznych lub cylindrycznych bryłach o osi równoległej do osi z, wzdłuż której obciążenie działa na powierzchnię boczną prostopadłą do tej osi i nie zmienia się wzdłuż niej.
Przykładem deformacji płaszczyzny jest stan naprężenie-odkształcenie, który występuje w długiej prostej zaporze i długim łuku tunelu podziemnego (rys. 4.1).
Rysunek - 4.1. W korpusie zapory i sklepieniu podziemnego tunelu dochodzi do deformacji płaszczyzny
slajd 3
Podstawiając składowe wektora przemieszczenia (4.1) do wzorów Cauchy'ego (2.14), (2.15) otrzymujemy:
(4.2)
Brak odkształceń liniowych w kierunku osi z prowadzi do pojawienia się naprężeń normalnych σ z . Ze wzoru prawa Hooke'a (3.2) dla odkształcenia ε z wynika, że
skąd otrzymujemy wyrażenie na naprężenie σ z:
(4.3)
Podstawiając ten stosunek do dwóch pierwszych formuł prawa Hooke'a, otrzymujemy:
(4.4)
slajd 4
Z analizy wzorów (4.2) − (4.4) i (3.2) wynika również, że
W ten sposób podstawowe równania trójwymiarowej teorii sprężystości w przypadku odkształcenia płaskiego ulegają znacznemu uproszczeniu.
Z trzech różniczkowych równań równowagi Naviera (2.2) pozostały tylko dwa równania:
(4.5)
a trzeci zamienia się w tożsamość.
Ponieważ kierunek cosinus jest wszędzie na powierzchni bocznej n=cos(v,z)=cos90 0 =0, Z v =0, pozostają tylko dwa równania z trzech warunków na powierzchni (2.4):
(4.6)
gdzie l, m są cosinusami kierunku zewnętrznej normalnej v do powierzchni konturu;
X, Y, X v, Y v są składowymi sił ciała i intensywnością obciążeń powierzchni zewnętrznych odpowiednio na osiach x i y.
zjeżdżalnia 5
Sześć równań Cauchy'ego (2.14), (2.15) redukuje się do trzech:
(4.7)
Z sześciu równań ciągłości odkształcenia Saint-Venanta (2.17), (2.18) pozostaje jedno równanie:
(4.8)
a reszta zamienia się w tożsamości.
Z sześciu formuł prawa Hooke'a (3.2), biorąc pod uwagę (4.2), (4.4), pozostają trzy formuły:
W tych zależnościach dla tradycyjnego w teorii sprężystości typu zapisu wprowadza się nowe stałe sprężystości:
zjeżdżalnia 6
Stan naprężenia samolotu
Płaski stan naprężenia występuje, gdy długość tego samego pryzmatycznego korpusu jest niewielka w porównaniu z pozostałymi dwoma wymiarami. W tym przypadku nazywa się to grubością. Naprężenia w ciele działają tylko w dwóch kierunkach na płaszczyźnie współrzędnych xOy i nie zależą od współrzędnej z. Przykładem takiego korpusu jest cienka płyta o grubości h, obciążona wzdłuż powierzchni bocznej (żebra) siłami równoległymi do płaszczyzny płyty i równomiernie rozłożonymi na jej grubości (rys. 4.2).
Rysunek 4.2 - Cienka blacha i przyłożone do niej obciążenia
W tym przypadku możliwe są również uproszczenia podobne do tych w przypadku problemu odkształceń płaszczyzny. Składowe tensora naprężenia σ z , τ xz , τ yz na obu płaszczyznach płyty są równe zeru. Ponieważ płytka jest cienka, możemy założyć, że również wewnątrz płytki są one równe zeru. Wtedy stan naprężenia będzie określony tylko przez składowe σ x , σ y , τ xy, które nie zależą od współrzędnej z, tj. nie zmieniają się wraz z grubością płyty, ale są funkcjami tylko x i y.
Tak więc w cienkiej płycie występuje następujący stan naprężenia:
Slajd 7
W odniesieniu do naprężeń stan naprężenia płaskiego różni się od odkształcenia płaskiego warunkiem
Dodatkowo ze wzoru z prawa Hooke'a (3.2) uwzględniając (4.10), dla odkształcenia liniowego ε z otrzymujemy, że nie jest ono równe zeru:
W konsekwencji podstawy płyty będą zakrzywione, ponieważ wystąpią przemieszczenia 
wzdłuż osi z.
Przy tych założeniach podstawowe równania odkształcenia płaskiego: równania równowagi różniczkowej (4.5), warunki powierzchni (4.6), równania Cauchy'ego (4.7) i równania ciągłości odkształcenia (4.8) zachowują tę samą postać w zagadnieniu naprężeń płaskich.
Formuły prawa Hooke'a przyjmą następującą postać:
Wzory (4.11) różnią się od wzorów (4.9) prawa Hooke'a dla deformacji płaszczyzny tylko wartościami stałych sprężystości: E i E 1 , v I v 1 .
Slajd 8
W odwrotnej formie prawo Hooke'a można zapisać w następujący sposób:
(4.12)
Tak więc, rozwiązując te dwa problemy (odkształcenie płaszczyzny i stan naprężenia płaszczyzny), można użyć tych samych równań i połączyć problemy w jednopłaszczyznowy problem teorii sprężystości.
W płaskim zagadnieniu teorii sprężystości istnieje osiem niewiadomych:
są dwoma składowymi wektora przemieszczenia u i v;
– trzy składowe tensora naprężeń σ x , σ y , τ xy ;
są trzema składowymi tensora odkształcenia ε x , ε y , γ xy .
Osiem równań służy do rozwiązania problemu:
– dwa różniczkowe równania równowagi (4.5);
– trzy równania Cauchy'ego (4.7);
to trzy formuły prawa Hooke'a (4.9) lub (4.11).
Ponadto otrzymane odkształcenia muszą być zgodne z równaniem ciągłości odkształcenia (4.8) oraz warunkami równowagi (4.6) między naprężeniami wewnętrznymi a intensywnościami obciążenia powierzchni zewnętrznej X v, Y v.
Stan zestresowany i zdeformowany
Istnieją trzy rodzaje stanu naprężenia:
1) stan naprężenia liniowego - rozciąganie (ściskanie) w jednym kierunku;
2) płaski stan naprężenia - rozciąganie (ściskanie) w dwóch kierunkach;
3) stan naprężenia objętościowego - rozciąganie (ściskanie) w trzech wzajemnie prostopadłych kierunkach.
Rozważ nieskończenie mały równoległościan (sześcian). Na jego ścianach mogą występować naprężenia normalne i styczne t. Gdy zmienia się położenie „kostki”, zmieniają się napięcia. Możesz znaleźć pozycję, w której nie występują naprężenia ścinające, patrz ryc.
https://pandia.ru/text/78/374/images/image002_227.gif" align="left" width="337" height="217 src="> Wytnijmy elementarny równoległościan (rys. a) za pomocą ukośny przekrój tylko jedna płaszczyzna.Rozważamy elementarny trójkątny pryzmat (ryc. b).Pozycję pochyłego obszaru określa kąt a.Jeśli obrót z osi x jest przeciwny do ruchu wskazówek zegara (patrz ryc.b), to a>0.
Naprężenia normalne mają indeks odpowiadający osi ich kierunku. naprężenia ścinające, zwykle, mają dwa wskaźniki: pierwszy odpowiada kierunkowi normalnej do miejsca, drugi kierunkowi samego naprężenia (niestety istnieją inne oznaczenia i inny wybór osi współrzędnych, co prowadzi do zmiany znaków w niektóre formuły).
Naprężenie normalne jest dodatnie, jeśli jest rozciągane, naprężenie ścinające jest dodatnie, jeśli ma tendencję do obracania rozważanej części elementu zgodnie z ruchem wskazówek zegara wokół punktu wewnętrznego. pp (w przypadku naprężeń ścinających w niektórych podręcznikach i na uniwersytetach przyjmuje się odwrotne podejście).
Naprężenia na pochyłej platformie:
Prawo parowania naprężeń ścinających: jeśli na teren działa naprężenie styczne, wówczas na teren prostopadły do niego będzie działać naprężenie styczne o tej samej wielkości i przeciwnym znaku. (txz=-tzx)
W teorii stanu naprężeń istnieją dwa główne zadania.
Bezpośredni problem . Na podstawie znanych naprężeń głównych: s1= smax, s2= smin, dla stanowiska nachylonego pod zadanym kątem (a) do miejsc głównych należy określić naprężenia normalne i ścinające:
https://pandia.ru/text/78/374/images/image007_125.gif" width="219" height="33"> 
lub 
.
Dla platformy prostopadłej:
.
Z tego widać, że sa + sb = s1 + s2 jest sumą naprężeń normalnych na dwóch wzajemnie prostopadłych obszarach niezmiennika (niezależnego) w odniesieniu do nachylenia tych obszarów.
Podobnie jak w stanie naprężenia liniowego, maksymalne naprężenia ścinające występują przy a=±45o, tj..gif" align="left" width="240" height="227">.gif" width="154" height= "55 src=">.gif" align="left" width="253" height="176 src=">Jeśli jedno z głównych naprężeń okaże się ujemne, należy je oznaczyć s1, s3, jeśli oba są ujemne , następnie s2, s3.
Stan naprężenia objętościowego
Naprężenia w dowolnym miejscu ze znanymi naprężeniami głównymi s1, s2, s3:
gdzie a1, a2, a3 są kątami między normalną do rozpatrywanego obszaru a kierunkami naprężeń głównych.
Maksymalne naprężenie ścinające: 
.
Działa na platformę równolegle do naprężenia głównego s2 i nachyloną pod kątem 45o do naprężeń głównych s1 i s3.
https://pandia.ru/text/78/374/images/image023_60.gif" width="171" height="48 src=">
https://pandia.ru/text/78/374/images/image025_53.gif" width="115" height="48 src="> (czasami nazywane są głównymi naprężeniami ścinającymi).
Płaski stan naprężenia jest szczególnym przypadkiem trójwymiarowego i może być również reprezentowany przez trzy okręgi Mohra, podczas gdy jedno z głównych naprężeń musi być równe 0. Dla naprężeń ścinających, jak również w płaskim stanie naprężenia, prawo parowania: składowe naprężeń ścinających wzdłuż wzajemnie prostopadłych obszarów, prostopadłych do linii przecięcia tych obszarów, są równe co do wielkości i przeciwne w kierunku.
https://pandia.ru/text/78/374/images/image027_53.gif" width="166" height="51 src=">;
Oktaedryczne naprężenie normalne jest równe średniej z trzech głównych naprężeń.
https://pandia.ru/text/78/374/images/image029_49.gif" width="199" height="50">, Oktaedryczne naprężenie ścinające jest proporcjonalne do sumy geometrycznej głównych naprężeń ścinających. Intensywność stresu:
DIV_ADBLOCK135">
https://pandia.ru/text/78/374/images/image032_47.gif" width="177" height="49"> 
Zmiana objętości nie zależy od stosunku naprężeń głównych, ale zależy od sumy naprężeń głównych. Oznacza to, że elementarny sześcian otrzyma taką samą zmianę objętości, jeśli na jego powierzchnie zostaną zastosowane te same średnie naprężenia: 
, następnie 
, gdzie K= - moduł objętościowy. Kiedy ciało jest zdeformowane, którego materiał ma współczynnik Poissona m = 0,5 (na przykład guma), objętość ciała nie zmienia się.
Potencjalna energia odkształcenia
Przy prostym rozciąganiu (ściskaniu) energia potencjalna to U=https://pandia.ru/text/78/374/images/image038_46.gif" width="95" height="47 src=">.gif" width ="234 "wysokość="50 src="> lub
Całkowitą energię odkształcenia zakumulowaną na jednostkę objętości można uznać za składającą się z dwóch części: 1) energii uo zakumulowanej w wyniku zmiany objętości (tj. tej samej zmiany we wszystkich wymiarach sześcianu bez zmiany kształtu sześcianu) oraz 2) energia uf związana ze zmianą kształtu sześcianu (czyli energia zużyta na przekształcenie sześcianu w równoległościan). u = uo + uf.
https://pandia.ru/text/78/374/images/image043_42.gif" width="389" height="50 src=">
https://pandia.ru/text/78/374/images/image045_41.gif" width="160" height="84 src=">. Po obróceniu układu współrzędnych zmieniają się współczynniki tensora, sam tensor pozostaje stały.
Trzy niezmienniki stanu naprężenia:
https://pandia.ru/text/78/374/images/image047_39.gif" width="249" height="48"> 
ea - odkształcenie względne, ga - kąt ścinania.
Ta sama analogia dotyczy stanu masowego. Mamy więc niezmienniki stanu zdeformowanego:
J1 = ex + ey + ez;
J2= exey +eyez + ezex - https://pandia.ru/text/78/374/images/image051_31.gif height="140 src="> - tensor naprężeń.
ex, ey, ez, gxy, gyz, gzx to składowe stanu odkształconego.
Dla osi pokrywających się z kierunkami odkształceń głównych e1, e2, e3 tensor odkształcenia przyjmuje postać: 
.
Teorie siły
W ogólnym przypadku niebezpieczny stan naprężenia elementu konstrukcyjnego zależy od stosunku trzech głównych naprężeń (s1,s2,s3). To znaczy, ściśle mówiąc, dla każdego stosunku konieczne jest eksperymentalne wyznaczenie wielkości naprężenia granicznego, co jest nierealne. Dlatego przyjęto takie metody obliczania wytrzymałości, które pozwolą ocenić stopień zagrożenia dowolnego stanu naprężenia od naprężenia rozciągająco-ściskającego. Nazywane są teoriami wytrzymałościowymi (teorie stanów naprężeń granicznych).
1. teoria siły(teoria największych naprężeń normalnych): przyczyną powstania stanu naprężenia granicznego są największe naprężenia normalne. smax= s1£ [s]. Główna wada: dwa inne główne obciążenia nie są brane pod uwagę. Potwierdza to doświadczenie tylko przy rozciąganiu bardzo kruchych materiałów (szkło, gips). Obecnie praktycznie nie jest używany.
Teoria drugiej siły(teoria największych odkształceń względnych): przyczyną powstania stanu naprężenia granicznego jest największe wydłużenie. emax= e1£ [e]..gif" width="63 height=47" height="47">, warunek wytrzymałości: sequiIII= s1 - s3£ [s]. Główną wadą jest to, że nie uwzględnia wpływ s2.
W płaskim stanie naprężenia: sequivIII= 
£[s]. Dla sy=0 otrzymujemy 
Szeroko stosowany do tworzyw sztucznych.
Teoria czwartej siły(teoria energii): przyczyną powstania stanu naprężenia granicznego jest wartość określonej energii potencjalnej zmiany kształtu. uf£..gif" width="367" height="55 src=">..gif" width="166" height="57">. Znajduje zastosowanie w obliczeniach materiałów kruchych, w których dopuszczalne naprężenia rozciągające i ściskające nie są takie same (żeliwo).
Dla tworzyw sztucznych = teoria Mohra przechodzi w trzecią teorię.
Krąg Mohra (koło stresu). Współrzędne punktów okręgu odpowiadają naprężeniom normalnym i ścinającym w różnych miejscach. Odkładamy belkę od osi s od środka C pod kątem 2a (a>0, potem przeciwnie do ruchu wskazówek zegara), znajdujemy punkt D,
których współrzędne to: sa, ta. Możesz graficznie rozwiązywać zarówno problemy bezpośrednie, jak i odwrotne.
Czysta zmiana
https://pandia.ru/text/78/374/images/image063_27.gif" width="48 height=47" height="47">, gdzie Q to siła działająca wzdłuż twarzy, F to obszar twarzy , na które działają tylko naprężenia ścinające, nazywane są obszarami czystego ścinania. Naprężenia ścinające na nich są największe. Czyste ścinanie można przedstawić jako jednoczesne ściskanie i rozciąganie występujące w dwóch wzajemnie prostopadłych kierunkach. Oznacza to, że jest to szczególny przypadek płaski stan naprężenia, w którym naprężenia główne: s1= - s3 = t, s2= 0. Główne obszary tworzą kąt 45° z czystymi obszarami ścinania.
https://pandia.ru/text/78/374/images/image065_26.gif" width="16" height="48 src="> - przesunięcie względne lub kąt ścinania.
Prawo Hooke'a w ścinaniu : g = t/G lub t = G×g.
G- moduł ścinania lub moduł sprężystości drugiego rodzaju [MPa] - stała materiałowa charakteryzująca odporność na odkształcenia ścinające. (E – moduł sprężystości, m – współczynnik Poissona).
Energia potencjalna przy ścinaniu: 
.
Specyficzna energia potencjalna odkształcenia ścinającego: https://pandia.ru/text/78/374/images/image069_26.gif" width="63" height="53">.
Cała energia potencjalna w czystym ścinaniu jest zużywana tylko na zmianę kształtu, zmiana objętości podczas odkształcenia ścinającego wynosi zero.
Okrąg Mohra w czystej zmianie.
Skręcenie
https://pandia.ru/text/78/374/images/image072_23.gif" align="left" width="175" height="125 src=">Ten rodzaj odkształcenia, w którym tylko jeden moment obrotowy - Mk Wygodne jest wyznaczenie znaku momentu obrotowego Mk w kierunku momentu zewnętrznego. Jeżeli patrząc od strony przekroju moment zewnętrzny jest skierowany przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, to Mk> 0 (istnieje też reguła odwrotna). skręcanie, jedna sekcja obraca się względem drugiej na kąt skrętu- J. Kiedy okrągły pręt (wał) jest skręcony, powstaje czysty stan naprężenia ścinającego (nie ma normalnych naprężeń), powstają tylko naprężenia styczne. Zakłada się, że odcinki płaskie przed skręceniem pozostają płaskie, a po skręceniu - prawo przekrojów płaskich. Naprężenia ścinające w punktach przekroju zmieniają się proporcjonalnie do odległości punktów od osi..gif" width="103" height="57 src="> - względny kąt skrętu..gif" width="127 height=57" height="57">, [t] =, dla materiału z tworzywa sztucznego, tlim przyjmuje się jako granicę plastyczności przy ścinaniu tm, dla materiału kruchego tv jest wytrzymałością ostateczną , [n] jest warunkiem współczynnika sztywności skrętnej: qmax£[q] – dopuszczalny kąt skręcenia.
Skręcanie belki prostokątnej
https://pandia.ru/text/78/374/images/image081_17.gif" width="46" height="46">Diagramy naprężeń ścinających przekroju prostokątnego.
; , Jk i Wk - warunkowo nazywane momentem bezwładności i momentem oporu przy skręcaniu. Wk=ahb2,
Jk= bhb3, Maksymalne naprężenia ścinające tmax będą w środku długiego boku, naprężenia w środku krótkiego boku: t= g×tmax, współczynniki: a, b, g podane są w podręcznikach w zależności od stosunku h /b (na przykład, gdy h/b= 2, a=0,246, b=0,229, g=0,795.
schylać się
https://pandia.ru/text/78/374/images/image085_18.gif" width="270" height="45">.
https://pandia.ru/text/78/374/images/image087_16.gif" width="71" height="53">, r - promień krzywizny warstwy neutralnej, y - odległość od jakiegoś włókna do warstwa neutralna. Prawo Hooke'a w zginaniu: , skąd (wzór Naviera): , Jx - moment bezwładności przekroju względem głównej osi środkowej prostopadłej do płaszczyzny momentu zginającego, EJx - sztywność zginania, https://pandia.ru/text/78/374 /images/image091_15.gif" width="126" height="54">, Jx/ymax=Wx-moduł przekroju przy zginaniu, .
https://pandia.ru/text/78/374/images/image094_14.gif" width="103 height=54" height="54">, gdzie Sx(y) to moment statyczny względem osi neutralnej część obszaru, która znajduje się poniżej lub powyżej warstwy, w odległości „y” od osi neutralnej; Jx – moment bezwładności Całkowity przekrój poprzeczny względem osi neutralnej, b(y) jest szerokością przekroju w warstwie, na której wyznaczane są naprężenia ścinające.
https://pandia.ru/text/78/374/images/image096_14.gif" width="89" height="49 src=">, F=b×h, dla przekroju kołowego:, F=p×R2 dla odcinka o dowolnym kształcie ,
k- współczynnik zależny od kształtu przekroju (prostokąt: k= 1,5; koło - k= 1,33).
https://pandia.ru/text/78/374/images/image100_12.gif" align="left" width="244" height="85 src=">Działanie odrzuconej części jest zastępowane przez wewnętrzne czynniki siły M i Q, które wyznacza się z równań równowagi. Na niektórych uczelniach wyznaczany jest moment M>0, czyli wykres momentów zbudowany na rozciągniętych włóknach. Gdy Q=0, mamy ekstremum wykresu chwile. Zależności różnicowe między M,QIQ: https://pandia.ru/text/78/374/images/image102_10.gif" width="187" height="54">.
Obliczanie wytrzymałości na zginanie
:
dwa warunki wytrzymałościowe związane z różnymi punktami belki: a) przez naprężenia normalne 
, (punkty najdalej od C); b) naprężeniami ścinającymi https://pandia.ru/text/78/374/images/image105_10.gif "width="96" height="51">, które sprawdzane są zgodnie z b). przekroje belek, w których występują zarówno normalne, jak i duże naprężenia styczne. Dla tych punktów znajdują się naprężenia równoważne, które nie powinny przekraczać dopuszczalnych. Warunki wytrzymałościowe są sprawdzane zgodnie z różnymi teoriami wytrzymałościowymi
I-I: 
; II-I: (ze współczynnikiem Poissona m=0,3); - rzadko używane.
III-I: 
, IV-I: 
,
Teoria Mohra: , (stosowana dla żeliwa, w którym dopuszczalne naprężenie rozciągające ¹ - ściskające).
Wyznaczanie przemieszczeń w belkach podczas zginania
https://pandia.ru/text/78/374/images/image113_9.gif" width="104" height="52 src=">, gdzie r(x) to promień krzywizny zagiętej osi belka w przekroju x, M (x) - moment zginający w tym samym przekroju, EJ - sztywność belki Wiadomo z wyższej matematyki: - styczna kąta między osią x i styczną do zakrzywionej osi. Wartość ta jest bardzo mała (ugięcia belek są małe) Þ jej kwadrat jest pomijany, a kąt obrotu przekroju zrównuje się ze styczną. przybliżony równanie różniczkowe dla zakrzywionej osi belki: 
. Jeśli oś y jest skierowana w górę, to znak (+). Na niektórych uniwersytetach oś y opada Þ(-). Całkowanie diff..gif" width="226" height="50 src="> - otrzymujemy poziom ugięcia. Stałe całkowania C i D znajdują się z warunków brzegowych, które zależą od sposobu mocowania belki.
a" od początku jest mnożony przez współczynnik (x - a) 0, który jest równy 1. Każde obciążenie rozłożone jest rozciągane do końca belki, a obciążenie w przeciwnym kierunku jest stosowane w celu jego skompensowania .
EJ= M(x) = RA×x – https://pandia.ru/text/78/374/images/image122_8.gif" width="79 height=49" height="49"> - P(x - a – b); integrujemy:
EJ = EJq0 + RA× – – M(x – a) + – P;
EJy =EJy0 + EJq0x + RA× – – M + https://pandia.ru/text/78/374/images/image132_8.gif" width="93" height="51 src=">.
Parametry początkowe są takie, jakie mamy na początku, czyli dla figury: M0=0, Q0=RA, ugięcie y0=0, kąt obrotu q0¹0. q0 z podstawienia do drugiego równania znajdujemy warunki do ustalenia właściwej podpory: x=a+b+c; y(x)=0.
Zależności różniczkowe w zginaniu :
; 
; https://pandia.ru/text/78/374/images/image136_6.gif" width="56" height="48 src=">.
Definicja przemieszczeń metodą obciążenia fikcyjnego. Dopasowywanie równań:
https://pandia.ru/text/78/374/images/image138_5.gif" align="left" width="203" height="120 src="> i mamy analogię, Þ definicja ugięć może sprowadzić do definicji momentów od jakiegoś fikcyjnego (warunkowego) obciążenia w fikcyjnej belce: Moment od fikcyjnego obciążenia Mf po podzieleniu przez EJ jest równy ugięciu „y” w danej belce od danego obciążenia. otrzymujemy, że kąt obrotu w danej belce jest liczbowo równy fikcyjnej sile poprzecznej w fikcyjnej belce. W tym przypadku powinna istnieć pełna analogia w warunkach brzegowych dwóch belek. Każda dana belka odpowiada swojej własnej fikcyjna wiązka.
Mocowanie fikcyjnych belek jest wybrane z warunku, że na końcach belki i na podporach istnieje pełna zgodność pomiędzy „y” i „q” w danej belce oraz Mf i Qf w fikcyjnej belce. Jeżeli wykresy momentów w belkach rzeczywistych i fikcyjnych budowane są od strony rozciągniętego włókna (tzn. nałożony jest moment dodatni), to linie ugięcia w danej belce pokrywają się z wykresem momentów w belce fikcyjna belka.
Belki statycznie niewyznaczalne.
Układy nazywamy statycznie niewyznaczalnymi, jeśli reakcje, w których nie można określić na podstawie równań równowagi ciała stałego. W takich układach jest więcej wiązań niż jest to konieczne do równowagi. Stopień statycznej nieokreśloności belki(bez zawiasów pośrednich - ciągłe belki) jest równa nadmiarowej (dodatkowej) liczbie linków zewnętrznych (więcej niż trzy).
https://pandia.ru/text/78/374/images/image120_7.gif" width="21" height="25 src=">.gif" width="20" height="25 src=">. gif" width="39" height="51 src="> + C;
EJy = RВ×https://pandia.ru/text/78/374/images/image129_6.gif" width="40" height="49 src="> + С×х + D..gif" width=" 39" height="49 src=">+ MA=0; są RZS i MA.
dodatkowe „mocowanie” nazywa się główny system. W przypadku nieznanego „dodatkowego” możesz wziąć dowolną z reakcji. Po przyłożeniu podanych obciążeń do układu głównego dodajemy warunek zapewniający zbieżność danej belki i głównego - równanie zgodności przemieszczeń. Dla rys.: yB=0, tj. ugięcie w punkcie B = 0. Rozwiązanie tego równania jest możliwe na różne sposoby.
Sposób porównywania przemieszczeń
.
Odkształcenie punktu B (rys.) wyznacza się w układzie głównym pod działaniem danego obciążenia (q): yВq = „dodatkowy” nieznany RB, a ugięcie od działania RB znajduje się: 
. Podstaw w równaniu zgodności przemieszczeń: yB= yВq += 0, czyli += 0, skąd RB=https://pandia.ru/text/78/374/images/image153_4.gif" align="left" width =" 371" wysokość = "300 src = "> Twierdzenie o trzech momentach
. Używane w obliczeniach ciągłe belki- belki na wielu podporach, z których jedna jest stała, pozostałe są ruchome. Aby przejść od statycznie nieokreślonej belki do statycznie wyznaczalnego systemu podstawowego, nad dodatkowymi wspornikami umieszcza się zawiasy. Dodatkowe niewiadome: momenty Mn zastosowane na końcach przęseł nad dodatkowymi podporami.
Wykresy momentów są budowane dla każdego przęsła belki od danego obciążenia, traktując każde przęsło jako prostą belkę na dwóch podporach. Dla każdego pośredniego wsparcia kompilowane jest "n" równanie trzech momentów:
wn, wn+1 – powierzchnie wykresu, an – odległość od środka ciężkości lewego wykresu do lewej podpory, bn+1 – odległość od środka ciężkości prawego wykresu do prawej podpory. Liczba równań momentu jest równa liczbie podpór pośrednich. Ich wspólne rozwiązanie umożliwia znalezienie nieznanych momentów wsparcia. Znając momenty podporowe, rozważane są poszczególne przęsła i na podstawie równań statycznych znajdują się nieznane reakcje podporowe. Jeśli są tylko dwa przęsła, to znane są momenty lewy i prawy, ponieważ są to momenty dane lub są równe zeru. W rezultacie otrzymujemy jedno równanie z jedną niewiadomą М1.
Ogólne metody wyznaczania przemieszczeń
m” , co jest spowodowane działaniem siły uogólnionej „n”. Całkowite przemieszczenie spowodowane kilkoma czynnikami siły: DР = DРP + DРQ + DРM. Przemieszczenia spowodowane pojedynczą siłą lub pojedynczym momentem: d - określone przemieszczenie. Jeżeli pojedyncza siła P=1 spowodowała przemieszczenie dP, to całkowite przemieszczenie wywołane siłą P będzie wynosić: DP=P×dP. Jeżeli czynniki siły działające na układ oznaczymy X1, X2, X3 itd., to ruch w kierunku każdego z nich:
gdzie Х1d11=+D11; X2d12=+D12; Хidmi=+Dmi. Wymiar poszczególnych przemieszczeń: 
, J - dżule, wymiar pracy to 1J = 1Nm.
Praca sił zewnętrznych działających na układ sprężysty: 
.
https://pandia.ru/text/78/374/images/image160_3.gif" width="307" height="57">,
k - współczynnik uwzględniający nierównomierny rozkład naprężeń ścinających na powierzchni przekroju, zależny od kształtu przekroju.
W oparciu o zasadę zachowania energii: energia potencjalna U=A.
D 
11 - ruch w kierunku. siła P1 od działania siły P1;
D12 - ruch w kierunku. siła P1 od działania siły P2;
D21 - ruch w kierunku. siła P2 z działania siły P1;
D22 - ruch w kierunku. siła P2 z działania siły P2.
А12=Р1×D12 to praca siły Р1 stanu pierwszego na ruch w jego kierunku, wywołana siłą Р2 stanu drugiego. Podobnie: A21=P2×D21 to praca siły P2 stanu drugiego na ruch w jego kierunku, wywołany siłą P1 stanu pierwszego. A12=A21. Ten sam wynik uzyskuje się dla dowolnej liczby sił i momentów. Twierdzenie o wzajemności pracy: Р1×D12=Р2×D21.
Praca sił stanu pierwszego na przemieszczenia w ich kierunkach, wywołane siłami stanu drugiego, jest równa pracy sił stanu drugiego na przemieszczenia w ich kierunkach, wywołane siłami stanu pierwszego .
Twierdzenie o wzajemności przemieszczeń (twierdzenie Maxwella) Jeżeli P1=1 i P2=1, to P1d12=P2d21, czyli d12=d21, ogólnie dmn=dnm.
Dla dwóch stanów jednostkowych układu sprężystego ruch w kierunku pierwszej siły jednostkowej wywołany przez drugą siłę jednostkową jest równy ruchowi w kierunku drugiej siły jednostkowej wywołany przez pierwszą siłę.
https://pandia.ru/text/78/374/images/image163_4.gif" width="104" height="27 src="> z działania siły jednostkowej; 4) znalezione wyrażenia są podstawiane do Całka Mohra i całkowana zgodnie z zadanym Jeśli wypadkowa Dmn>0, to przemieszczenie pokrywa się z wybranym kierunkiem siły jednostkowej, jeśli<0, то противоположно.
Dla płaskiej konstrukcji:
https://pandia.ru/text/78/374/images/image165_3.gif" width="155" height="58">.
https://pandia.ru/text/78/374/images/image167_4.gif" width="81 height=43" height="43"> dla przypadku, gdy wykres z danego obciążenia ma dowolny kształt, oraz z jednego ładunku - prostoliniowy jest dogodnie określany metodą analityczną grafową zaproponowaną przez Vereshchagin. 
, gdzie W jest powierzchnią wykresu Мр od obciążenia zewnętrznego, yc jest rzędną wykresu od obciążenia jednostkowego pod środkiem ciężkości wykresu Мр. Wynik mnożenia wykresów jest równy iloczynowi pola powierzchni jednego z wykresów przez rzędną drugiego wykresu, pobranego pod środkiem ciężkości pola pierwszego wykresu. Rzędna musi być wzięta z wykresu w linii prostej. Jeśli oba wykresy są prostoliniowe, to rzędną można pobrać z dowolnego.
https://pandia.ru/text/78/374/images/image170_3.gif" width="119" height="50 src=">. Ta formuła jest obliczana przez sekcje, z których każda powinna mieć linię prostą diagram bez pęknięć. Złożony diagram Mp dzieli się na proste kształty geometryczne, dla których łatwiej jest wyznaczyć współrzędne środków ciężkości. Mnożąc dwa diagramy, które wyglądają jak trapezy, wygodnie jest użyć wzoru: 
. Ten sam wzór jest również odpowiedni dla diagramów trójkątnych, jeśli podstawimy odpowiednią rzędną = 0.
https://pandia.ru/text/78/374/images/image173_3.gif" width="71" height="48"> (dla rys., tj. 
, xC=L/2).
osadzenie ślepe z równomiernie rozłożonym obciążeniem, mamy wklęsłą parabolę kwadratową, dla której =3L/4. Można to również uzyskać, jeśli diagram jest reprezentowany przez różnicę między obszarem trójkąta a obszarem wypukłej paraboli kwadratowej: 
. „Brakujący” obszar jest uważany za ujemny.
Twierdzenie Castigliano.
– przemieszczenie punktu przyłożenia siły uogólnionej w kierunku jej działania jest równe cząstkowej pochodnej energii potencjalnej względem tej siły. Pomijając wpływ sił osiowych i poprzecznych na ruch, mamy energię potencjalną: 
, gdzie 
.
Układy statycznie niewyznaczalne- układy, których współczynników siły w elementach nie można wyznaczyć jedynie z równań równowagi ciała sztywnego. W takich układach liczba wiązań jest większa niż wymagana do równowagi. Stopień nieokreśloności statycznej: S = 3n - m, n - liczba zamkniętych pętli w konstrukcji, m - liczba pojedynczych zawiasów (zawias łączący dwa pręty liczy się jako jeden, łączący trzy pręty - jako dwa itd.). metoda siłowa czynniki siły są traktowane jako niewiadome. Kolejność obliczeń: 1) ustaw stopień statyki. nieokreśloność; 2) usuwając niepotrzebne połączenia, pierwotny układ zastępuje się statycznie wyznaczalnym układem - głównym (może być kilka takich układów, ale przy usuwaniu zbędnych połączeń nie należy naruszać geometrycznej niezmienności konstrukcji); 3) system główny jest obciążony danymi siłami i niepotrzebnymi niewiadomymi; 4) nieznane siły należy dobrać tak, aby odkształcenia pierwotnego i głównego układu nie różniły się. Oznacza to, że reakcje odrzuconych wiązań powinny mieć takie wartości, przy których przemieszczenia w ich kierunkach = 0. Równania kanoniczne metody sił:
Te równania są dodatkowymi odkształceniami ur, które pozwalają na otwarcie statyczne. nieokreśloność. Liczba ur-s = liczba odrzuconych połączeń, czyli stopień nieokreśloności systemu.
dik to ruch w kierunku i, spowodowany jednostkową siłą działającą w kierunku k. dii - główny, dik - ruchy boczne. Zgodnie z twierdzeniem o wzajemności: dik=dki. Zanurzenie - ruch w kierunku i-tego połączenia, wywołany działaniem danego obciążenia (prętów obciążeniowych). Przemieszczenia zawarte w równaniach kanonicznych dogodnie określa się metodą Mohra.
W tym celu do układu głównego przykładane są pojedyncze obciążenia X1=1, X2=1, Xn=1, obciążenie zewnętrzne i wykreślane są krzywe momentów zginających. Całka Mohra służy do znalezienia: 
; 
; ….; 
;
; 
; ….; 
;
; 
; ….; 
.
Linia nad M wskazuje, że te siły wewnętrzne są spowodowane działaniem siły jednostkowej.
W przypadku układów składających się z elementów prostoliniowych wygodnie jest mnożyć diagramy metodą Vereshchagin. 
; 
itd. WP to powierzchnia wykresu Mp z obciążenia zewnętrznego, yСр to rzędna wykresu z pojedynczego obciążenia pod środkiem ciężkości wykresu Мр, W1 to powierzchnia wykresu M1 z pojedynczy ładunek. Wynik mnożenia wykresów jest równy iloczynowi pola powierzchni jednego z wykresów przez rzędną drugiego wykresu, pobranego pod środkiem ciężkości pola pierwszego wykresu.
Obliczanie płaskowników zakrzywionych (prętów)
Belki zakrzywione obejmują haki, ogniwa łańcuchowe, łuki itp. Ograniczenia: przekrój ma oś symetrii, oś belki jest krzywą płaską, obciążenie działa w tej samej płaszczyźnie. Są pręty o małej krzywiźnie: h / R<1/5, большой кривизны: h/R³1/5. При изгибе брусьев малой кривизны нормальные напряжения рассчитывают по формуле Навье, как для балок с прямой осью: https://pandia.ru/text/78/374/images/image198_3.gif" width="115" height="55">,
rН to promień warstwy neutralnej, e=R – rН, R to promień warstwy, w której znajdują się środki ciężkości przekroju. Oś obojętna zakrzywionej belki nie przechodzi przez środek ciężkości sekcji C. Znajduje się ona zawsze bliżej środka krzywizny niż środek ciężkości sekcji. , r=rН – y. Znając promień warstwy neutralnej można określić odległość „e” od warstwy neutralnej do środka ciężkości. Dla przekroju prostokątnego o wysokości h, o promieniu zewnętrznym R2 i wewnętrznym R1: ; dla różnych sekcji wzory podano w literaturze przedmiotu. Dla h/R<1/2 независимо от формы сечения можно определять "е" по приближенной формуле: , где Jx – момент инерции сечения относительно оси, проходящей через его центр тяжести перпендикулярно плоскости кривизны бруса.
Naprężenia normalne w przekroju rozkładają się zgodnie z prawem hiperbolicznym (mniej na zewnętrznej krawędzi przekroju, więcej na krawędzi wewnętrznej). Pod działaniem siły normalnej N: 
(tu rН jest promieniem warstwy obojętnej, na którą działa tylko moment M, czyli przy N=0, ale w rzeczywistości, w obecności siły podłużnej, warstwa ta nie jest już obojętna). Stan wytrzymałości: 
, biorąc pod uwagę skrajne punkty, w których sumaryczne naprężenia od zginania i rozciągania-ściskania będą największe, tj. y= – h2 lub y= h1. Przemieszczenia dogodnie określa się metodą Mohra.
Stabilność ściskanych prętów. Zagięcie wzdłużne
Zniszczenie pręta może nastąpić nie tylko dlatego, że siła zostanie zerwana, ale także dlatego, że pręt nie zachowa pożądanego kształtu. Na przykład zginanie pod ściskaniem wzdłużnym cienkiej linijki. Utrata stabilności prostoliniowej formy równowagi centralnie ściśniętego pręta nazywa się wyboczenie. Równowaga elastyczna stale, jeśli zdeformowane ciało, przy jakimkolwiek niewielkim odchyleniu od stanu równowagi, ma tendencję do powrotu do swojego pierwotnego stanu i powraca do niego po usunięciu wpływu zewnętrznego. Obciążenie, którego nadmiar powoduje utratę stateczności, nazywamy obciążenie krytyczne Rcr (siła krytyczna). Dopuszczalne obciążenie [P]=Pkr/nу, nу – normatywny współczynnik stateczności..gif" width="111" height="51 src=">.gif" width="115 height=54" height="54"> - wzór podaje wartość siły krytycznej dla pręta z przegubowymi końcami. Z różnymi mocowaniami: 
, m to współczynnik redukcji długości.
Z zawiasowym mocowaniem obu końców pręta m=1; dla pręta z zamkniętymi końcami m=0,5; dla pręta z jednym zamkniętym i drugim wolnym końcem m=2; dla pręta z jednym końcem nieruchomym, a drugim końcem na zawiasach, m=0,7.
Krytyczne naprężenie ściskające.: 
, – elastyczność pręta, 
jest najmniejszym głównym promieniem bezwładności pola przekroju poprzecznego pręta. Wzory te obowiązują tylko wtedy, gdy napięcia skr £ spts są granicą proporcjonalności, tj. w granicach stosowalności prawa Hooke'a. Wzór Eulera ma zastosowanie, gdy wędka jest elastyczna: 
np. dla stali St3 (C235) lkr "100. W przypadku l
Wystarczająco krótkie wędki, dla których l
(Fnet = Fgross-Fweak – pole przekroju osłabionego z uwzględnieniem pola otworów w przekroju Fweak np. od nitów). \u003d scr / nу, nу - współczynnik standardowy. margines stabilności. Dopuszczalne naprężenie wyrażane jest w postaci głównego dopuszczalnego naprężenia [s] używanego w obliczeniach wytrzymałościowych: =j×[s], j - dopuszczalny współczynnik redukcji stresu dla prętów ściskanych (współczynnik wyboczenia). Wartości j podano w tabeli. w podręcznikach i zależą od materiału pręta i jego elastyczności (np. dla stali St3 przy l=120 j=0,45).
W obliczeniach projektowych wymaganej powierzchni przekroju poprzecznego j1 = 0,5–0,6 jest przyjmowane w pierwszym kroku; znajdować: 
. Następnie, znając Fgross, wybierz sekcję, określ Jmin, imin i l, ustawione zgodnie z tabelą. rzeczywiste j1I, jeśli znacznie różni się od j1, obliczenie jest powtarzane ze średnią j2= (j1+j1I)/2. W wyniku drugiej próby zostanie znalezione j2I, porównane z poprzednią wartością i tak dalej, aż do osiągnięcia wystarczająco bliskiego dopasowania. Zwykle zajmuje to 2-3 próby..
Związek pomiędzy momenty bezwładności podczas obracania osi:
https://pandia.ru/text/78/374/images/image249_2.gif" width="17" height="47 src=">(Jx - Jy)sin2a + Jxycos2a ;
Kąt a>0, jeśli przejście ze starego układu współrzędnych do nowego następuje w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. p. Jy1 + Jx1= Jy + Jx
Ekstremalne (maksymalne i minimalne) wartości momentów bezwładności nazywane są główne momenty bezwładności. Osie, względem których osiowe momenty bezwładności mają skrajne wartości, nazywa się główne osie bezwładności. Główne osie bezwładności są wzajemnie prostopadłe. Odśrodkowe momenty bezwładności wokół głównych osi \u003d 0, tj. główne osie bezwładności to osie, względem których odśrodkowy moment bezwładności \u003d 0. Jeśli jedna z osi pokrywa się lub obie pokrywają się z osią symetrii, to są głównymi. Kąt określający położenie głównych osi: 
, jeśli a0>0 Þ osie są obracane w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. p. Oś maksimum tworzy zawsze mniejszy kąt z osiami, względem których moment bezwładności ma większą wartość. Główne osie przechodzące przez środek ciężkości to główne centralne osie bezwładności. Momenty bezwładności wokół tych osi: 
Jmax + Jmin = Jx + Jy. Odśrodkowy moment bezwładności wokół głównych centralnych osi bezwładności wynosi 0. Jeżeli znane są główne momenty bezwładności, to wzory na przejście do osi obróconych są następujące:
Jx1=Jmaxcos2a + Jminsin2a; Jy1=Jmaxcos2a + Jminsin2a; Jx1y1=(Jmax - Jmin)sin2a;
Ostatecznym celem obliczenia charakterystyk geometrycznych przekroju jest określenie głównych centralnych momentów bezwładności i położenia głównych centralnych osi bezwładności. 
Promień bezwładności- https://pandia.ru/text/78/374/images/image254_3.gif" width="85" height="32 src=">. Dla przekrojów z więcej niż dwiema osiami symetrii (na przykład: okrąg, kwadrat, pierścień itp.) osiowe momenty bezwładności względem wszystkich osi centralnych są sobie równe, Jxy=0, elipsa bezwładności zamienia się w okrąg bezwładności.
s- normalne napięcie[Pa], 1Pa (paskal) = 1 N/m2,
106 Pa = 1 MPa (megapaskal) = 1 N/mm2
N - siła wzdłużna (normalna) [N] (niuton); F - powierzchnia przekroju [m2]
e - odkształcenie względne [wartość bezwymiarowa];
DL - odkształcenie podłużne [m] (wydłużenie bezwzględne), L - długość pręta [m].
Prawo Hooke'a - s = E×e
E - moduł sprężystości przy rozciąganiu (moduł sprężystości I rodzaju lub moduł Younga) [MPa]. Dla stali E = 2×105MPa = 2×106 kg/cm2 (w „starym” układzie jednostek).
(im więcej E, tym mniej rozciągliwy materiał)
; - Prawo Hooke'a
EF - sztywność pręta przy rozciąganiu (ściskaniu).
Gdy pręt jest rozciągnięty, "cieńszy się", jego szerokość - zmniejsza się o odkształcenie poprzeczne - Da.
Względne odkształcenie poprzeczne.
 |
Podstawowe właściwości mechaniczne materiałów
sp - granica proporcjonalności, st - granica plastyczności, sВ- granica siły lub chwilowa rezystancja, sk jest napięciem w momencie zerwania.
Kruche materiały, takie jak żeliwo, pękają przy niskich wydłużeniach i nie mają plateau plastyczności, lepiej znosząc ściskanie niż rozciąganie.
Dopuszczalne napięcie https://pandia.ru/text/78/374/images/image276_3.gif" align="left" width="173" height="264"> naprężenia wzdłuż zbocza:
Zadanie bezpośrednie…………………………………………………..3
Problem odwrotny…………………………………………………………3
Stan naprężenia objętościowego………………………………4
Naprężenia wzdłuż miejsca oktaedrycznego…………………..5
Odkształcenia w stanie naprężenia objętościowego.
Uogólnione prawo Hooke'a …………………………………………6
Potencjalna energia odkształcenia………………………………7
Teorie siły………………………………………………………………………9
Teoria siły Mohra ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………
Koło Mohra ……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………
Zmiana netto……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………
Prawo Hooke'a w ścinaniu……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………
Skręcanie………………………………………………………..13
Skręcanie pręta prostokątnego………………………….14
Zgięcie………………………………………………………………………15
Formuła Żurawskiego………………………………………………………………………16
Obliczenia wytrzymałości na zginanie………………………………………………………………………18
Wyznaczanie przemieszczeń belek podczas zginania…………………19
Zależności różniczkowe w zginaniu……………….20
Równanie zgodności przemieszczeń…………………………..22
Sposób porównywania przemieszczeń………………………………..22
Twierdzenie o trzech momentach………………………………………..22
Ogólne metody wyznaczania przemieszczeń……………………….24
Twierdzenie o wzajemności pracy (twierdzenie Betleya)……………….25
Twierdzenie o wzajemności przemieszczeń (twierdzenie Maxwella). 26
Obliczanie całki Mohra metodą Vereshchagin ……….27
Twierdzenie Castigliano…………………………………………..28
Układy statycznie niewyznaczalne………………………..29
Obliczanie płaskowników zakrzywionych (prętów)………………...31
Stabilność ściskanych prętów. Zagięcie wzdłużne………33
Charakterystyki geometryczne przekrojów płaskich…………36
Momenty bezwładności przekroju………………………………………..37
Odśrodkowy moment bezwładności przekroju …………………..37
Momenty bezwładności prostych przekrojów kształtu………………..38
Momenty bezwładności wokół osi równoległych……..39
Związek między momentami bezwładności podczas skręcania
osie………………………………………………………………40
Momenty oporu……………………………………….42
Naprężenie i ściskanie………………………………………………………43
Podstawowe właściwości mechaniczne materiałów…….45
Dwuosiowy lub mieszkanie zwany takim stanem naprężeń ciała, w którym we wszystkich jego punktach jeden z głównych naprężeń jest równy zeru. Można wykazać *, że płaski stan naprężenia występuje w pryzmatycznym lub cylindrycznym nadwoziu (rys. 17.1) z luźnymi i nieobciążonymi końcami, jeżeli do powierzchni bocznej korpusu przyłożony jest układ sił zewnętrznych normalnych do osi Oz i zmieniające się w zależności od z zgodnie z prawem kwadratowym jest symetryczna względem przekroju średniego. Okazuje się, że we wszystkich przekrojach ciała
i napięcie a x, a y, x zmienić w zależności od z ponadto, zgodnie z prawem kwadratowym, jest symetryczny względem przekroju średniego. Wprowadzenie tych założeń umożliwia uzyskanie rozwiązania problemu spełniającego warunki (17.13) oraz wszystkie równania teorii sprężystości.
Interesujący jest szczególny przypadek, w którym naprężenia nie zależą od zmiennej z’-
Taki stan naprężenia jest możliwy tylko pod działaniem obciążenia równomiernie rozłożonego na długości. Ze wzorów prawa Hooke'a (16,3) wynika, że deformacje e x, e y, e z , y również nie zależą od z, i deformacje y i y zx biorąc pod uwagę (17,13) są równe zeru. W tym przypadku czwarte i piąte z równań ciągłości odkształcenia (16,4), (16,5) są identycznie spełnione, a drugie, trzecie i szóste równanie przyjmują postać
Całkowanie tych równań i uwzględnienie trzeciego wzoru prawa Hooke'a (16,3) z az = 0, otrzymujemy
Cm.: Timoshenko S.P., Goodyear J. Teoria sprężystości. Moskwa: Nauka, 1975.
Zatem płaski stan naprężenia w pryzmatycznym lub cylindrycznym korpusie o swobodnych końcach obciążonych obciążeniem powierzchniowym stałym na długości korpusu jest możliwy tylko w szczególnym przypadku, gdy suma naprężeń a x + a y zmienia się w zależności od zmiennych x i w liniowy lub stały.
Jeżeli odległość między płaszczyznami czołowymi korpusu (rys. 7.1) jest niewielka w stosunku do wymiarów przekrojów, to mamy do czynienia z przypadkiem cienkiej płyty (rys. 17.5) obciążonej wzdłuż konturu zewnętrznego siłami rozłożonymi symetrycznie względem środkowa płaszczyzna płyty zgodnie z prawem kwadratowym. Ponieważ grubość płyty h jest mała, to z niewielkim błędem można przyjąć, że dla dowolnej symetrycznej względem płaszczyzny środkowej obciążenia płyty naprężonej a x, a v , txv są równomiernie rozłożone na jego grubości.
W takim przypadku naprężenia należy rozumieć jako ich średnie wartości na przykład na grubości
Należy również zauważyć, że przy wprowadzaniu założenia (17.14) warunek (17.13) naprężeń zerowych
Rozważany przypadek stanu naprężenia cienkiej płyty z założeniami (17.13) i (17.14) jest często nazywany uogólniony płaski stan naprężenia.
Rozważmy podstawowe równania teorii sprężystości dla tego przypadku.
Biorąc pod uwagę (17.13), formuły prawa Hooke'a (16.3) można zapisać w postaci
Odpowiednie relacje odwrotne mają postać
Wzory (17.17) i (17.18) różnią się od wzorów (17.7) i (17.9) prawa Hooke'a na odkształcenie płaszczyzny tylko tym, że w tym drugim, a nie modułem sprężystości mi a współczynnik Poissona v obejmuje zredukowane ilości E ( i vr
Równania równowagi, relacje Cauchy'ego, równanie ciągłości odkształcenia i statyczne warunki brzegowe nie różnią się od odpowiednich równań (17.10), (17.3), (17.11), (17.12) dla odkształcenia płaskiego.
Odkształcenie płaszczyzny i uogólniony stan naprężeń płaszczyzny są zasadniczo opisane tymi samymi równaniami. Jedyną różnicą są wartości stałych elastyczności we wzorach prawa Hooke'a. Dlatego oba zadania łączy wspólna nazwa: płaski problem teorii sprężystości.
Kompletny układ równań zagadnienia płaskiego składa się z dwóch równań równowagi (17.10), trzech geometrycznych relacji Cauchy'ego (17.3) i trzech wzorów prawa Hooke'a (17.7) lub (17.17). Zawierają osiem nieznanych funkcji: trzy napięcia x, a y, x x y, trzy szczepy e x, e y, y xy i dwa ruchy I I I.
Jeżeli przy rozwiązywaniu problemu nie jest wymagane określenie przemieszczeń, liczba niewiadomych zmniejsza się do sześciu. Do ich wyznaczenia służy sześć równań: dwa równania równowagi, trzy wzory prawa Hooke'a oraz równanie ciągłości odkształceń (17.11).
Główna różnica między dwoma rozważanymi typami problemu płaskiego jest następująca. Do deformacji płaszczyzny ? z = 0, uncja * 0, a wartość c z można znaleźć wzorem (17.6) po wyznaczeniu naprężeń o x io. Dla uogólnionego płaskiego stanu naprężenia a z = 0, ? z 0 i wypaczenie ? z można wyrazić w postaci naprężeń o x i OU według wzoru (17.16). poruszający w można znaleźć przez całkowanie równania Cauchyego
ZDEFORMOWANE PAŃSTWA („PŁASKI PROBLEM”)
Płaskie stany naprężenia i odkształcenia płaskiego charakteryzują następujące cechy.
1. Wszystkie składowe naprężenia nie zależą od jednej ze współrzędnych wspólnych dla wszystkich składowych i pozostają stałe, gdy się zmieniają.
2. W płaszczyznach normalnych do osi tej współrzędnej:
a) składowe naprężenia ścinającego są równe zeru;
b) naprężenie normalne jest albo równe zeru (stan naprężenia płaskiego), albo równe połowie sumy dwóch innych naprężeń normalnych (stan odkształcenia płaskiego).
Przyjmijmy za oś, o której była mowa wcześniej, oś y. Z powyższego wynika, że ta oś będzie główna, tj. może być również oznaczona indeksem 2. Ponadto , i nie zależą od y; w tym samym czasie i , a więc i i są równe zero.
Dla płaskiego stanu naprężenia = 0. Dla płaskiego stanu odkształconego (ta cecha płaskiego stanu odkształconego zostanie wykazana poniżej).
Należy zawsze brać pod uwagę istotną różnicę między stanami naprężenia płaskiego i stanów odkształcenia płaskiego.
W pierwszym, w kierunku trzeciej osi, nie ma naprężenia normalnego, ale jest odkształcenie, w drugim naprężenie normalne, ale nie ma odkształcenia.
Płaski stan naprężenia może występować np. w płycie poddanej działaniu sił przyłożonych do jej konturu równolegle do płaszczyzny płyty i rozłożonych równomiernie na jej grubości (rys. 3.16). Zmiana grubości płyty w tym przypadku nie ma znaczenia, a jej grubość można uznać za jedność. Przy wystarczającej dokładności stan naprężenia kołnierza można uznać za płaski podczas rysowania cylindrycznego kęsa z materiału arkuszowego.
Stan odkształcenia płaskiego można zaakceptować dla odcinków korpusu cylindrycznego lub pryzmatycznego o dużej długości, odległych od jego końców, jeśli korpus jest obciążony siłami, które nie zmieniają się na jego długości i są skierowane prostopadle do generatorów. Na przykład w stanie odkształcenia płaskiego pręt można uznać za podatny na spęczenie w kierunku jego grubości, gdy można pominąć odkształcenie wzdłuż długości.
Wszystkie równania stanu naprężenia dla problemu płaskiego są znacznie uproszczone, a liczba zmiennych jest zmniejszona.
Równania dla zagadnienia płaszczyzny można łatwo uzyskać z tych wyprowadzonych wcześniej dla stanu naprężenia objętościowego, biorąc pod uwagę, że: 
\u003d 0 i biorąc \u003d 0, ponieważ nachylone obszary należy uważać tylko za równoległe do osi y, tj. normalne do obszarów, które są wolne od naprężeń w płaskim stanie naprężenia lub wolne od odkształceń w płaskim stanie odkształconym (ryc. 3.17 ).
W rozpatrywanej sprawie
Oznaczając kąt (patrz rys. 3.17) między normalną do pochyłej powierzchni a osią (lub osią, jeśli stan naprężenia jest podany w głównych osiach 1 i 2) poprzez , otrzymujemy , skąd .
Biorąc pod uwagę powyższe, poprzez bezpośrednie podstawienia w odpowiednich wyrażeniach (3.10) i (3.11) dla stanu naprężenia objętościowego, otrzymujemy naprężenia normalne i ścinające w obszarze pochyłym (patrz Rys. 3.17).
Rys.3.15. Płaski stan naprężenia (a), naprężenie na pochyłej platformie (b)
normalne napięcie
naprężenie ścinające
. (3.41)
Z wyrażenia (3,41) łatwo zauważyć, że ma maksimum przy sin 2 \u003d 1, tj. przy \u003d 45 °:
. (3.42)
Wielkość naprężeń głównych można wyrazić w postaci składowych w dowolnych osiach za pomocą równania (3.13), z którego otrzymujemy
. (3.43)
W tym przypadku dla płaskiego stanu naprężenia = 0; dla płaskiego stanu napiętego
Znając stan naprężeń w głównych osiach, łatwo jest przełączyć się na dowolne dowolne osie współrzędnych (rys. 3.18). Niech nowa oś współrzędnych x tworzy kąt z osią, a następnie, uznając ją za normalną do pochyłego obszaru, mamy dla tego ostatniego zgodnie z równaniem (3.40)
ale dla osi napięcie jest napięciem, stąd
to wyrażenie można przekonwertować w następujący sposób:
(3.44)
Nowa oś zostanie nachylona do osi 1 pod kątem (+90°); dlatego zastępując w poprzednim równaniu przez ( + 90°) otrzymujemy
Napięcie określamy z wyrażenia (3.41):
. (3.46)
Oznaczanie średniego napięcia poprzez, tj. biorąc
, (3.47)
i uwzględniając równanie (3.42) otrzymujemy tzw. wzory przekształceń, które wyrażają składowe naprężenia w funkcji kąta:
(3.48)
Konstruując wykres Mohra, bierzemy pod uwagę, że ponieważ rozważamy obszary równoległe do osi y (tj. oś 2), kierunek cosinus jest zawsze równy zero, tj. kąt = 90 °. Dlatego wszystkie odpowiadające wartości i będą znajdować się na okręgu określonym równaniem (3.36 b) przy podstawieniu do niego = 0, a mianowicie:
, (3.49)
lub uwzględnienie wyrażeń (3.47) i (3.42)
. (3,49a)
Ten okrąg pokazano na ryc. 3,19 i jest diagramem Mohra. Współrzędne pewnego punktu P znajdującego się na okręgu określają odpowiednie wartości i Połączmy punkt P z punktem . Łatwo zauważyć, że odcinki 0 2 P = ;
Рр= , Ор= , a w konsekwencji grzech 
= 
.
Porównując otrzymane wyrażenia z równaniami (3.48) możemy ustalić, że
P0 2 A \u003d 2, P0 2 A \u003d.
Znając więc położenie pochyłej powierzchni wyznaczonej kątem można znaleźć wartości naprężeń i działających w tym obszarze.
Rys.3.17. Wykres Mohra
,
wtedy segment OP wyraża całkowite naprężenie S.
Jeżeli element obciążonego ciała, w pochylonym licu, którego naprężenia są brane pod uwagę, jest narysowany tak, że główne naprężenie jest skierowane równolegle do osi, to normalna N narysowana do tej pochyłej powierzchni, a więc kierunek naprężenia, będzie równoległy do segmentu СР.
Kontynuując prostą P0 2 do przecięcia z okręgiem, w punkcie P "otrzymujemy drugą parę wartościi dla kolejnego nachylonego obszaru, w którym "=+90°, czyli dla obszaru prostopadłego do pierwszego , z kierunkiem normalnych ". Kierunki normalnych N i N" można przyjąć odpowiednio jako kierunki nowych osi: i , a naprężenia i " - odpowiednio dla współrzędnych naprężeń i. W ten sposób można określić stan naprężeń w dowolnych osiach bez użycia wzorów (3.44) - (3.46) są sobie równe zgodnie z prawem parowania.
Rozwiązanie problemu odwrotnego nie jest trudne: dla danych naprężeń w dwóch wzajemnie prostopadłych obszarach , oraz , t "(gdzie t" = t) znajdź główne naprężenia.
Rysujemy osie współrzędnych n i (ryc. 3.19). Wykreślamy punkty P i P "o współrzędnych odpowiadających zadanym naprężeniom , oraz ,. Przecięcie odcinka PP" z osią wyznaczy środek okręgu Mohra 0 2 o średnicy PP "= 2 31. Dalej, jeśli budujemy osie N, N" (lub coś takiego samo, , ) i obracamy figurę tak, aby kierunki tych osi były równoległe do kierunków naprężeń i w rozpatrywanym punkcie danego ciała, to kierunki osi a wykres będzie równoległy do kierunku głównych osi 1 i 2.
Różniczkowe równanie równowagi dla zagadnienia płaskiego otrzymujemy z równań (3.38), biorąc pod uwagę, że wszystkie pochodne względem y są równe zero, a także są równe zero oraz :
(3.50)
Przy rozwiązywaniu niektórych problemów związanych z płaszczyzną czasami wygodnie jest użyć współrzędnych biegunowych zamiast współrzędnych prostokątnych, określając położenie punktu za pomocą wektora promienia i kąta biegunowego, czyli kąta, jaki wektor promienia tworzy z osią.
Warunki równowagi we współrzędnych biegunowych można łatwo uzyskać z tych samych warunków we współrzędnych cylindrycznych, zrównując
A biorąc pod uwagę, że pochodne są równe
(3.51)
Szczególnym przypadkiem problemu z płaszczyzną jest taki, w którym naprężenia nie zależą również od współrzędnej (rozkład naprężeń jest symetryczny względem osi). W tym przypadku pochodne względem i naprężeń i znikną, a warunki równowagi są określone przez jedno równanie różniczkowe
. (3.52)
Oczywiste jest, że stresy są tutaj również najważniejsze.
Taki stan naprężenia można przyjąć dla kołnierza okrągłego kęsa podczas ciągnienia bez dociskania cylindrycznej miseczki.
Rodzaj stanu naprężenia
Stan naprężenia w dowolnym punkcie ciała odkształcalnego charakteryzuje się trzema głównymi naprężeniami normalnymi i kierunkami głównych osi.
Istnieją trzy główne typy naprężeń: objętościowe (trójosiowe), w których wszystkie trzy naprężenia główne nie są równe zeru, płaskie (dwuosiowe), w których jedno z naprężeń głównych jest zerowe, oraz liniowe (jednoosiowe), w których tylko jedno główne naprężenie jest różne od zera.
Jeżeli wszystkie naprężenia normalne mają ten sam znak, to stan naprężenia nazywamy tą samą nazwą, a jeżeli naprężenia o różnych znakach mają znak przeciwny.
Tak więc istnieje dziewięć rodzajów stanów naprężeń: cztery wolumetryczne, trzy płaskie i dwa liniowe (rys. 3.18).
Stan naprężenia nazywany jest jednorodnym, gdy w dowolnym punkcie ciała odkształcalnego kierunki głównych osi i wielkość głównych naprężeń normalnych pozostają niezmienione.
Rodzaj stanu naprężenia wpływa na zdolność metalu do odkształcenia plastycznego bez zapadania się oraz na wielkość siły zewnętrznej, którą należy przyłożyć, aby uzyskać odkształcenie o określonej wartości.
Na przykład deformacja w warunkach tego samego stanu naprężenia objętościowego wymaga więcej wysiłku niż w przeciwnym stanie naprężenia, przy czym wszystkie inne czynniki są równe.
pytania testowe
1. Co to jest napięcie? Co charakteryzuje stan naprężenia punktu, ciała jako całości?
2. Co indeksy wyrażają w zapisie składowych tensora naprężeń?
3. Podaj regułę znakową dla składowych tensora naprężeń.
4. Zapisz wzory Cauchy'ego na naprężenia na pochylonych platformach. Jaka jest podstawa ich zawarcia?
5. Co to jest tensor stresu? Jakie są składniki tensora naprężenia?
6. Jak nazywa się wektory własne i wartości własne tensora naprężeń?
7. Jakie są główne naprężenia? Ile?
8. Podaj zasadę przypisywania wskaźników do głównych naprężeń normalnych.
9. Podaj fizyczną interpretację głównych naprężeń normalnych i głównych osi tensora naprężeń.
10. Pokaż wykresy głównych naprężeń normalnych dla głównych procesów OMD - walcowanie, ciągnienie, prasowanie.
11. Czym są niezmienniki tensora naprężeń? Ile?
12. Jakie jest mechaniczne znaczenie pierwszego niezmiennika tensora naprężenia?
13. Jak nazywa się intensywność naprężeń ścinających?
14..Jakie są główne naprężenia ścinające? Znajdź ich platformy
15.. Ile obszarów głównych naprężeń ścinających można wskazać w pewnym punkcie ciała odkształcalnego?
16. Jakie jest maksymalne naprężenie ścinające, normalne naprężenie w miejscu, w którym działa?
17. Co to jest stan naprężenia osiowo-symetrycznego? Daj przykłady.
18. Przedstaw wykresy głównych naprężeń normalnych dla głównych procesów OMD - walcowanie, ciągnienie, prasowanie.
19. Co jest wspólnego między płaszczyzną naprężoną a płaszczyzną zdeformowaną i jaka jest między nimi różnica? Do którego z tych stanów odnosi się zwykła zmiana?
20. Podaj znane Ci wzory teorii naprężeń w głównym układzie współrzędnych
21. Co to jest elipsoida naprężeń? Zapisz jego równanie i wskaż kolejność budowy. Jaka jest postać elipsoidy naprężeń dla ciśnienia hydrostatycznego, płaskich i liniowych stanów naprężeń?
22. Napisz równanie do znajdowania głównych naprężeń normalnych oraz trzy układy równań do znajdowania głównych osi T a.
23..Co to jest tensor sferyczny i dewiator naprężeń? Jakie wielkości są używane do obliczenia drugiego i trzeciego niezmiennika dewiatora naprężeń?
24. Pokaż, że główne układy współrzędnych tensora naprężenia i dewiatora naprężenia pokrywają się.
25. Dlaczego uwzględniono intensywność naprężeń i intensywność naprężeń ścinających? Wyjaśnij ich znaczenie fizyczne i podaj interpretacje geometryczne.
26. Co to jest wykres Mohra? Jakie są promienie głównych kręgów?
27. Jak zmieni się wykres Mohra, gdy zmieni się średnie napięcie?
28. Czym są naprężenia oktaedryczne?
29. Ile charakterystycznych obszarów można narysować przez punkt ciała w stanie stresu?
30. Warunki równowagi stanu naprężenia objętościowego we współrzędnych prostokątnych, we współrzędnych cylindrycznych i sferycznych.
31. Równania równowagi dla zagadnienia płaskiego.
BIBLIOGRAFIA
1. Iljuszyn A. A. Plastyczność. Ch.I.M.-L., GTI, 1948. 346 s. (33)
2. I. M. Pavlov, „O fizycznej naturze reprezentacji tensorowych w teorii plastyczności”, Izvestiya vuzov. Metalurgia żelaza”, 1965, nr 6, s. 100-104.
3. V. V. Sokołowski, Teoria plastyczności. M., Szkoła Wyższa, 1969. 608 s. (91)
4. M. V. Storozhev i E. A. Popov, Teoria obróbki ciśnieniowej metali. M., "Inżynieria", 1971. 323 s. (99)
5. S. P. Timoshenko, Teoria sprężystości. Gostechizdat, 1934. 451 s. (104)
6. Shofman L. A. Podstawy obliczania procesu tłoczenia i prasowania. Maszgiz, 1961. (68)
Rozważmy przypadek płaskiego stanu naprężenia, który jest ważny dla zastosowań i realizowany jest np. w płaszczyźnie Ojz. Tensor naprężeń w tym przypadku ma postać
Geometryczną ilustrację pokazano na rys.1. W tym samym czasie strony x= const są głównymi z odpowiadającymi zerowymi głównymi napięciami. Niezmiennikami tensora naprężeń są , a równanie charakterystyczne przyjmuje postać
Korzenie tego równania to
|
Numeracja korzeni jest zrobiona dla przypadku 
Rys.1. Początkowy stan naprężenia płaszczyzny. 
Rys.2. Położenie naprężeń głównych
Dowolne miejsce charakteryzuje się kątem na ryc. 1, podczas gdy wektor P zawiera elementy: , , n x \u003d 0. Naprężenia normalne i ścinające na terenie pochyłym wyraża się w postaci kąta w następujący sposób:
Najmniejszy dodatni pierwiastek równania (4) będzie oznaczony przez . Od tg( x) jest funkcją okresową z okresem , to mamy dwa wzajemnie prostopadłe kierunki tworzące kąty i 
z osią Jednostka organizacyjna. Kierunki te odpowiadają wzajemnie prostopadłym obszarom głównym (rys. 2).
Jeżeli zróżnicujemy zależność (2) względem i przyrównamy pochodną do zera, to otrzymamy równanie (4), które dowodzi, że naprężenia główne są ekstremalne.
Aby znaleźć orientację obszarów z ekstremalnymi naprężeniami ścinającymi, przyrównujemy do zera pochodną wyrażenia
skąd pochodzimy
|
Porównując relacje (4) i (5), stwierdzamy, że
Ta równość jest możliwa, jeśli kąty i różnią się o kąt . W konsekwencji kierunki obszarów o ekstremalnych naprężeniach ścinających różnią się od kierunków obszarów głównych o kąt (rys. 3).
Rys.3. Ekstremalne naprężenie ścinające
Wartości skrajnych naprężeń ścinających otrzymujemy po podstawieniu (5) do zależności (3) za pomocą wzorów
.
Po kilku przemianach otrzymujemy
Porównując to wyrażenie z wcześniej uzyskanymi wartościami naprężeń głównych (2.21), wyrażamy skrajne naprężenia ścinające w postaci naprężeń głównych
Podobne podstawienie do (2) prowadzi do wyrażenia na normalne naprężenia na obszarach z
Otrzymane zależności pozwalają na przeprowadzenie kierunkowo zorientowanej analizy wytrzymałościowej konstrukcji w przypadku płaskiego stanu naprężenia.
NAPIĘCIE NAPIĘCIA
Rozważmy najpierw przypadek deformacji płaszczyzny (rys. 4). Niech płaski element MNPQ porusza się w płaszczyźnie i odkształca (zmienia kształt i rozmiar). Na rysunku zaznaczono współrzędne punktów elementu przed i po deformacji.
Rys.4. Płaskie odkształcenie.
Z definicji względne odkształcenie liniowe w punkcie m w kierunku osi Oh jest równe
Z ryc. 4 następuje
Jeśli się uwzględni MN=dx, dostajemy
W przypadku małych odkształceń, kiedy , , możemy pominąć wyrażenia kwadratowe. Biorąc pod uwagę przybliżony stosunek
uczciwe w x<<1, окончательно для малой деформации получим
Odkształcenie kątowe definiuje się jako sumę kątów i (4). W przypadku małych odkształceń
Dla deformacji kątowej mamy
Wykonując podobne obliczenia w ogólnym przypadku deformacji trójwymiarowej, mamy dziewięć zależności
Ten tensor całkowicie określa odkształcony stan bryły. Ma takie same właściwości jak tensor naprężeń. Właściwość symetrii wynika bezpośrednio z definicji odkształceń kątowych. Wartości główne i kierunki główne, a także wartości ekstremalne odkształceń kątowych i odpowiadających im kierunków wyznacza się tymi samymi metodami, co dla tensora naprężeń.
Niezmienniki tensora odkształcenia są definiowane przez analogiczne wzory, a pierwszy niezmiennik małego tensora odkształcenia ma wyraźne znaczenie fizyczne. Przed deformacją jego objętość jest równa dV 0 =dxdydz. Jeśli pominiemy odkształcenia ścinające, które zmieniają kształt, a nie objętość, to po odkształceniu żebra będą miały wymiary
(rys. 4), a jego objętość będzie równa
Względna zmiana głośności
w małych deformacjach będzie
co pokrywa się z definicją pierwszego niezmiennika. Oczywiście zmiana objętości jest wielkością fizyczną, która nie zależy od wyboru układu współrzędnych.
Podobnie jak tensor naprężenia, tensor odkształcenia można rozłożyć na tensor sferyczny i dewiator. W tym przypadku pierwszy niezmiennik dewiatora jest równy zero, tj. dewiator charakteryzuje deformację ciała bez zmiany jego objętości.
