Jak uwolnić się od irracjonalności w mianowniku ułamka. Wyłączenie z niewymierności mianownika ułamka. Wyodrębnianie pierwiastka kwadratowego z zadanym stopniem dokładności. Podstawowe kroki, aby pozbyć się niewymierności w mianowniku ułamka

Podczas przekształcania ułamkowego wyrażenia algebraicznego, w mianowniku którego zapisane jest wyrażenie niewymierne, zwykle próbuje się przedstawić ułamek w taki sposób, aby jego mianownik był racjonalny. Jeżeli A,B,C,D,... są pewnymi wyrażeniami algebraicznymi, to można wskazać reguły, dzięki którym można pozbyć się pierwiastków w mianowniku wyrażeń postaci

We wszystkich tych przypadkach irracjonalność jest eliminowana przez pomnożenie licznika i mianownika ułamka przez współczynnik wybrany tak, aby jego iloczyn przez mianownik ułamka był racjonalny.

1) Aby pozbyć się irracjonalności w mianowniku ułamka postaci . Pomnóż licznik i mianownik przez

Przykład 1. .

2) W przypadku ułamków postaci . Pomnóż licznik i mianownik przez współczynnik niewymierny

odpowiednio, tj. do sprzężonego irracjonalnego wyrażenia.

Znaczenie ostatniej akcji polega na tym, że w mianowniku iloczyn sumy i różnicy jest zamieniany na różnicę kwadratów, co będzie już wyrażeniem wymiernym.

Przykład 2. Pozbądź się irracjonalności w mianowniku wyrażenia:

Rozwiązanie, a) Mnożymy licznik i mianownik ułamka przez wyrażenie. Otrzymujemy (pod warunkiem, że)

3) W przypadku wyrażeń typu

mianownik jest traktowany jako suma (różnica) i mnożony przez niepełny kwadrat różnicy (sumy) w celu uzyskania sumy (różnicy) kostek ((20.11), (20.12)). Licznik jest również mnożony przez ten sam czynnik.

Przykład 3. Pozbądź się irracjonalności w mianowniku wyrażeń:

Rozwiązanie, a) Biorąc pod uwagę mianownik danego ułamka jako sumę liczb i 1, mnożymy licznik i mianownik przez niepełny kwadrat różnicy między tymi liczbami:

lub ostatecznie:

W niektórych przypadkach wymagane jest wykonanie przekształcenia o odwrotnym charakterze: uwolnienie ułamka od niewymierności w liczniku. Odbywa się to dokładnie w ten sam sposób.

Przykład 4. Pozbądź się niewymierności w liczniku ułamka.

Zwolnienie z irracjonalności w mianowniku ułamka

2015-06-13

Sprzężone irracjonalne wyrażenie

Podczas przekształcania ułamkowego wyrażenia algebraicznego, w mianowniku którego zapisane jest wyrażenie niewymierne, zwykle próbuje się przedstawić ułamek w taki sposób, aby jego mianownik był racjonalny. Jeżeli $A, B, C, D, \cdots$ są pewnymi wyrażeniami algebraicznymi, to można wskazać reguły, dzięki którym można pozbyć się pierwiastków w mianowniku wyrażeń postaci

$\frac(A)(\sqrt[n](B)), \frac(A)(B+C \sqrt(D)), \frac(A)(\sqrt(B) + c \sqrt(D) )), \frac(A)( \sqrt(B) \pm \sqrt(C))$ itd.

We wszystkich tych przypadkach irracjonalność jest eliminowana przez pomnożenie licznika i mianownika ułamka przez współczynnik wybrany tak, aby jego iloczyn przez mianownik ułamka był racjonalny.

1) Aby pozbyć się niewymierności w mianowniku ułamka postaci $A/ \sqrt[n](B)$, pomnóż licznik i mianownik przez $\sqrt[n](B^(n-1)) $.
$\frac(A)(\sqrt[n](B)) = \frac(A \sqrt[n](B^(n-1)))(\sqrt[n](B) \sqrt[n] (B^(n-1))) = \frac(A \sqrt[n](B^(n-1)))(B)$.

Przykład 1. $\frac(4a^(2)b)(\sqrt(2ac)) = \frac(4a^(2)b \sqrt(4a^(2)c^(2)))(2ac) = \frac(2ab)(c) \sqrt(4a^(2)c^(2))$.

W przypadku ułamków postaci $\frac(A)(B+ C \sqrt(D)), \frac(A)(\sqrt(B) + c \sqrt(D))$ mnożymy licznik i mianownik przez irracjonalny czynnik
$B - C \sqrt(D)$ lub $\sqrt(B) - c \sqrt(D)$
odpowiednio, tj. do sprzężonego irracjonalnego wyrażenia.

Znaczenie ostatniej akcji polega na tym, że w mianowniku iloczyn sumy i różnicy jest zamieniany na różnicę kwadratów, co będzie już wyrażeniem wymiernym.

Przykład 2. Pozbądź się irracjonalności w mianowniku wyrażenia:
a) $\frac(xy)(\sqrt(x^(2) + y^(2)) + x)$; b) $\frac(2)(\sqrt(5) - \sqrt(3))$.

Rozwiązanie, a) Mnożymy licznik i mianownik ułamka przez
wyrażenie $\sqrt(x^(2) + y^(2)) - x$. Otrzymujemy (zakładając, że $y \neq 0$)
$\frac(xy)(\sqrt(x^(2) + y^(2)) + x) = \frac(xy (\sqrt(x^(2) + y^(2)) - x)) ((x^(2) + y^(2)) – x^(2)) = \frac(x)(y) (\sqrt(x^(2) + y^(2)) - x)$ ;
b) $\frac(2)(\sqrt(5) - \sqrt(3)) = \frac(2(\sqrt(5) + \sqrt(3)))(5 - 3) = \sqrt(5) ) + \sqrt(3)$.
3) W przypadku wyrażeń typu
$\frac(A)(B \pm C \sqrt(D)), \frac(A)(\sqrt(B) \pm C \sqrt(D))$
mianownik jest traktowany jako suma (różnica) i mnożony przez niepełny kwadrat różnicy (sumy), aby uzyskać sumę (różnicę) kostek. Licznik jest również mnożony przez ten sam czynnik.

Przykład 3. Pozbądź się irracjonalności w mianowniku wyrażeń:
a)$\frac(3)(\sqrt(5) + 1)$; b)$\frac(1)(\sqrt(a) – 2 \sqrt(b))$

Rozwiązanie, a) Biorąc pod uwagę mianownik tego ułamka jako sumę liczb $\sqrt(5)$ i $1$, mnożymy licznik i mianownik przez niepełny kwadrat różnicy tych liczb:
$\frac(3)(\sqrt(5) + 1) = \frac(3 (\sqrt(5^(2)) - \sqrt(5) +1))((\sqrt(5) + 1) (\sqrt(5^(2)) - \sqrt(5) + 1)) = \frac(3(\sqrt(25) - \sqrt(5) + 1))((\sqrt(5))^ (3) +1)$,
lub ostatecznie:
$\frac(3)(\sqrt(5) + 1) = \frac(3(\sqrt(25) - \sqrt(5) + 1))(6) = \frac(\sqrt(25) - \ kwadrat(5) + 1)(2)$
b) $\frac(1)(\sqrt(a) – 2 \sqrt(b)) = \frac(\sqrt(a^(2)) + 2 \sqrt(ab) + 4 \sqrt(b^( 2)))((\sqrt(a))^(3) – (2 \sqrt(b))^(3)) = \frac( \sqrt(a^(2)) + 2 \sqrt(ab) + 4 \sqrt(b^(2)))(a-8b)$.

W niektórych przypadkach wymagane jest wykonanie przekształcenia o odwrotnym charakterze: uwolnienie ułamka od niewymierności w liczniku. Odbywa się to dokładnie w ten sam sposób.

Przykład 4. Pozbądź się niewymierności w liczniku $\frac(\sqrt(a+b) - \sqrt(a-b))(2b)$.
Rozwiązanie. $ \frac(\sqrt(a+b) - \sqrt(a-b))(2b) = \frac((a+b) - (a-b))(2b(\sqrt(a+b) + \sqrt(a-b) ))) = \frac(1)(\sqrt(a+b) + \sqrt(a-b))$

Konwersja wyrażeń zawierających arytmetyczne pierwiastki kwadratowe

Cel lekcji: tworzenie warunków do kształtowania umiejętności, upraszczania wyrażeń zawierających pierwiastki arytmetyczne w toku pracy w grupach zmianowych.

Cele Lekcji: sprawdzać szkolenie teoretyczne uczniów, umiejętności wyciągania pierwiastka kwadratowego z liczby, kształtowania umiejętności poprawnego odtwarzania posiadanej wiedzy i umiejętności, rozwijania umiejętności obliczeniowych, rozwijania umiejętności pracy w parach i odpowiedzialności za wspólną sprawę.

Podczas zajęć.

I. Organizowanie czasu. "TABELA GOTOWOŚCI »

Ustalenie poziomu gotowości do rozpoczęcia lekcji.

25 kart czerwonych (5 punktów), żółtych (4 punkty), niebieskich

kolory (3 punkty).

Tabela gotowości

5 punktów (chcę wiedzieć, zrobić, zdecydować)

4 punkty (jestem gotowy do pracy)

3 punkty (źle się czuję, nie rozumiem materiału, potrzebuję pomocy)

II . Indywidualna praca z kartami

Karta 1

Wyjmij mnożnik spod znaku pierwiastka:

Karta 2

Wprowadź mnożnik pod znakiem pierwiastka:

Karta 3

Uproszczać:
A)
B)
V)

(Sprawdź po sprawdzeniu pracy domowej)

III . Sprawdzanie pracy domowej.

Nr 166, 167 ustnie frontalnie

(samoocena za pomocą kart sygnałowych: zielony – wszystko się zgadza, czerwony – jest błąd)

IV . Nauka nowego materiału. Praca w grupach zmianowych.

Samodzielne studiowanie materiału, aby móc później wyjaśnić go członkom grupy. Klasa zostaje podzielona na 6 grup po 4 osoby.

Grupy 1, 2 i 3 - uczniowie o średnich zdolnościach

Jak pozbyć się irracjonalności w mianowniku ułamka? Rozważ ogólny przypadek i konkretne przykłady.

Jeśli liczba lub wyrażenie pod znakiem pierwiastek kwadratowy w mianowniku, jest jednym z czynników, aby pozbyć się niewymierności w mianowniku, a licznik i mianownik ułamka mnoży się przez pierwiastek kwadratowy z tej liczby lub wyrażenia:

Przykłady.

1) ;

2) .

Grupy 4, 5 i 6 - uczniowie ze zdolnościami powyżej średniej.

Jeśli mianownik ułamka jest sumą lub różnicą dwóch wyrażeń zawierających pierwiastek kwadratowy, aby pozbyć się niewymierności w mianowniku, mnożymy zarówno licznik, jak i mianownik przez sprzężony pierwiastek:

Przykłady. Pozbądź się irracjonalności w mianowniku ułamka:

Pracuj w nowych grupach (4 grupy po 6 osób, po 1 osobie z każdej grupy).

Wyjaśnienie zdobytego materiału członkom Nowa grupa. (ocena koleżeńska - komentarz do wyjaśnienia ucznia do materiału)

V . Sprawdzenie przyswojenia materiału teoretycznego.Na pytania odpowiadają studenci, którzy nie wyjaśniają tej części materiału teoretycznego.

1) Jak pozbyć się niewymierności w mianowniku ułamka, jeśli jednym z czynników jest liczba lub wyrażenie pod pierwiastkiem kwadratowym w mianowniku?

2) Jak pozbyć się niewymierności w mianowniku ułamka, jeśli mianownik ułamka jest sumą lub różnicą dwóch wyrażeń zawierających pierwiastek kwadratowy?

3) jak pozbyć się niewymierności w mianowniku ułamka

4) Jak pozbyć się irracjonalności w mianowniku ułamka

VI . Konsolidacja badanego materiału. Sprawdzanie samodzielnej pracy.

Nr 81 ("Algebra" klasa 8, A. Abylkasymova, I. Bekboev, A. Abdiev, Z, Zhumagulova)

Nr 170 (1,2,3,5,6) ("Algebra" klasa 8, A. Shynybekov)

Kryteria oceny:

Poziom A - nr 81 przykłady 1-5 zaznacz "3"

Poziom B - nr 81 przykłady 6-8 i nr 170 przykłady 5.6 zaznacz "4"

Poziom C - nr 170 przykłady 1-6 zaznacz "5"

(samoocena, sprawdzenie na flipcharcie)

VII . Praca domowa.

№ 218

VIII. Odbicie. "Telegram"

Każdy jest zaproszony do wypełnienia formularza telegramu, otrzymując następującą instrukcję: „Co sądzisz o minionej lekcji? Co było dla Ciebie ważne? Czego się nauczyłeś? Co ci się podobało? Co pozostaje niejasne? W jakim kierunku powinniśmy iść do przodu? Proszę o krótką wiadomość w tej sprawie - telegram 11 słów. Chcę poznać Twoją opinię, aby wziąć ją pod uwagę w przyszłej pracy.

Podsumowanie lekcji.

W tym temacie rozważymy wszystkie trzy powyższe grupy ograniczeń z irracjonalnością. Zacznijmy od granic zawierających niepewność postaci $\frac(0)(0)$.

Ujawnienie niepewności $\frac(0)(0)$.

Schemat rozwiązania standardowe przykłady tego typu zazwyczaj składa się z dwóch etapów:

• Pozbywamy się irracjonalności, która spowodowała niepewność, mnożąc przez tzw. wyrażenie „sprzężone”;
• W razie potrzeby rozkładamy wyrażenie w liczniku lub mianowniku (lub obu) na czynniki;
• Redukujemy czynniki, które prowadzą do niepewności i obliczamy pożądaną wartość limitu.

Stosowany powyżej termin „wyrażenie sprzężone” zostanie szczegółowo wyjaśniony w przykładach. Na razie nie ma powodu, aby się nad tym szczegółowo rozwodzić. Ogólnie rzecz biorąc, możesz pójść w drugą stronę, bez użycia wyrażenia sprzężonego. Czasami dobrze dobrany zamiennik może pozbyć się irracjonalności. Takie przykłady są rzadkością w standardzie praca kontrolna dlatego rozważymy tylko jeden przykład nr 6, aby użyć zamiennika (zobacz drugą część tego tematu).

Będziemy potrzebować kilku formuł, które zapiszę poniżej:

\begin(equation) a^2-b^2=(a-b)\cdot(a+b) \end(equation) \begin(equation) a^3-b^3=(a-b)\cdot(a^2 +ab+b^2) \end(equation) \begin(equation) a^3+b^3=(a+b)\cdot(a^2-ab+b^2) \end(equation) \begin (równanie) a^4-b^4=(a-b)\cdot(a^3+a^2 b+ab^2+b^3)\end(równanie)

Ponadto zakładamy, że czytelnik zna wzory rozwiązywania równań kwadratowych. Jeśli $x_1$ i $x_2$ są pierwiastkami kwadratowego trójmianu $ax^2+bx+c$, to można go rozłożyć na czynniki za pomocą następującego wzoru:

\begin(równanie) ax^2+bx+c=a\cdot(x-x_1)\cdot(x-x_2) \end(równanie)

Wzory (1)-(5) są wystarczające do rozwiązania standardowych problemów, do których teraz się zwracamy.

Przykład 1

Znajdź $\lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)$.

Ponieważ $\lim_(x\to 3)(\sqrt(7-x)-2)=\sqrt(7-3)-2=\sqrt(4)-2=0$ i $\lim_(x\ do 3) (x-3)=3-3=0$, to w danej granicy mamy niepewność postaci $\frac(0)(0)$. Różnica $\sqrt(7-x)-2$ uniemożliwia ujawnienie tej niepewności. Aby pozbyć się takich nieracjonalności, stosuje się mnożenie przez tak zwane „wyrażenie sprzężone”. Zastanowimy się teraz, jak działa takie mnożenie. Pomnóż $\sqrt(7-x)-2$ przez $\sqrt(7-x)+2$:

$$(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)$$

Aby rozszerzyć nawiasy, stosujemy , podstawiając $a=\sqrt(7-x)$, $b=2$ po prawej stronie wspomnianego wzoru:

$$(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)=(\sqrt(7-x))^2-2^2=7-x-4=3-x .$$

Jak widzisz, jeśli pomnożysz licznik przez $\sqrt(7-x)+2$, to pierwiastek (tj. irracjonalność) w liczniku zniknie. To wyrażenie $\sqrt(7-x)+2$ będzie miało postać sprzężony do wyrażenia $\sqrt(7-x)-2$. Jednak nie możemy po prostu wziąć i pomnożyć licznika przez $\sqrt(7-x)+2$, ponieważ zmieni to ułamek $\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)$, co jest poniżej limitu. Musisz pomnożyć jednocześnie licznik i mianownik:

$$ \lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)= \left|\frac(0)(0)\right|=\lim_(x\to 3)\frac((\sqrt(7-x)-2)\cdot(\sqrt(7-x)+2))((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2)) $$

Teraz pamiętaj, że $(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)=3-x$ i rozwiń nawiasy. A po otwarciu nawiasów i niewielkim przekształceniu $3-x=-(x-3)$ zmniejszamy ułamek o $x-3$:

$$ \lim_(x\to 3)\frac((\sqrt(7-x)-2)\cdot(\sqrt(7-x)+2))((x-3)\cdot(\sqrt( 7-x)+2))= \lim_(x\to 3)\frac(3-x)((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2))=\\ =\lim_ (x\do 3)\frac(-(x-3))((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2))= \lim_(x\do 3)\frac(-1 )(\sqrt(7-x)+2) $$

Niepewność $\frac(0)(0)$ zniknęła. Teraz możesz łatwo uzyskać odpowiedź na ten przykład:

$$ \lim_(x\to 3)\frac(-1)(\sqrt(7-x)+2)=\frac(-1)(\sqrt(7-3)+2)=-\frac( 1)(\sqrt(4)+2)=-\frac(1)(4).$$

Zauważam, że wyrażenie sprzężone może zmieniać swoją strukturę - w zależności od tego, jakiego rodzaju irracjonalność ma usunąć. W przykładach 4 i 5 (zobacz drugą część tego tematu) zostanie użyty inny rodzaj wyrażenia sprzężonego.

Odpowiedź: $\lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)=-\frac(1)(4)$.

Przykład nr 2

Znajdź $\lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))$.

Ponieważ $\lim_(x\to 2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=\sqrt(2^2+5)-\sqrt(7\cdot 2 ^ 2-19)=3-3=0$ i $\lim_(x\to 2)(3x^2-5x-2)=3\cdot2^2-5\cdot 2-2=0$, wtedy my mamy do czynienia z niepewnością postaci $\frac(0)(0)$. Pozbądźmy się niewymierności w mianowniku tego ułamka. Aby to zrobić, dodajmy zarówno licznik, jak i mianownik ułamka $\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))$ do wyrażenie $\sqrt(x^ 2+5)+\sqrt(7x^2-19)$ sprzężenie z mianownikiem:

$$ \lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=\left|\frac(0 )(0)\right|= \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19))) ((\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19))) $$

Ponownie, podobnie jak w przykładzie nr 1, musisz użyć nawiasów, aby rozwinąć. Podstawiając $a=\sqrt(x^2+5)$, $b=\sqrt(7x^2-19)$ na prawą stronę wspomnianego wzoru, otrzymujemy następujące wyrażenie na mianownik:

$$ \left(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19)\right)\left(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)\ prawo)=\\ =\lewo(\sqrt(x^2+5)\prawo)^2-\lewo(\sqrt(7x^2-19)\prawo)^2=x^2+5-(7x ^2-19)=-6x^2+24=-6\cdot(x^2-4) $$

Wróćmy do naszej granicy:

$$ \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))((\sqrt(x) ^2+5)-\sqrt(7x^2-19))(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))= \lim_(x\to 2)\frac( (3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))(-6\cdot(x^2-4))=\\ =-\ frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)) )(x^2-4) $$

W przykładzie nr 1 prawie natychmiast po pomnożeniu przez wyrażenie sprzężone ułamek został zmniejszony. Tutaj przed redukcją należy rozłożyć na czynniki wyrażenia $3x^2-5x-2$ i $x^2-4$, a dopiero potem przystąpić do redukcji. Aby rozłożyć na czynniki wyrażenie $3x^2-5x-2$, musisz użyć . Na początek zdecydujmy równanie kwadratowe$3x^2-5x-2=0$:

$$ 3x^2-5x-2=0\\ \begin(wyrównane) & D=(-5)^2-4\cdot3\cdot(-2)=25+24=49;\\ & x_1=\ frac(-(-5)-\sqrt(49))(2\cdot3)=\frac(5-7)(6)=-\frac(2)(6)=-\frac(1)(3) ;\\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2. \end(wyrównane) $$

Podstawiając $x_1=-\frac(1)(3)$, $x_2=2$ do , mamy:

$$ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)(x-2)=3\cdot\left(x+\ frac(1)(3)\right)(x-2)=\left(3\cdot x+3\cdot\frac(1)(3)\right)(x-2) =(3x+1)( x-2). $$

Teraz nadszedł czas, aby rozłożyć wyrażenie $x^2-4$. Użyjmy , podstawiając do niego $a=x$, $b=2$:

$$ x^2-4=x^2-2^2=(x-2)(x+2) $$

Wykorzystajmy uzyskane wyniki. Skoro $x^2-4=(x-2)(x+2)$ i $3x^2-5x-2=(3x+1)(x-2)$, to:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2) -19)))(x^2-4) =-\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(x-2)(\sqrt(x) ^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))((x-2)(x+2)) $$

Zmniejszając o nawias $x-2$ otrzymujemy:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^ 2-19)))((x-2)(x+2)) =-\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(\sqrt( x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))(x+2). $$

Wszystko! Niepewność zniknęła. Jeszcze jeden krok i dochodzimy do odpowiedzi:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)) )(x+2)=\\ =-\frac(1)(6)\cdot\frac((3\cdot 2+1)(\sqrt(2^2+5)+\sqrt(7\cdot 2) ^2-19)))(2+2)= -\frac(1)(6)\cdot\frac(7(3+3))(4)=-\frac(7)(4). $$

Odpowiedź: $\lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=-\frac(7)( 4)$.

W poniższym przykładzie rozważ przypadek, w którym irracjonalność będzie obecna zarówno w liczniku, jak iw mianowniku ułamka.

Przykład nr 3

Znajdź $\lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9) ))$.

Ponieważ $\lim_(x\to 5)(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))=\sqrt(9)-\sqrt(9)=0$ i $\lim_( x \to 5)(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9))=\sqrt(16)-\sqrt(16)=0$, to mamy niepewność postaci $ \frac (0)(0)$. Ponieważ w tym przypadku pierwiastki są obecne zarówno w mianowniku, jak i liczniku, aby pozbyć się niepewności, będziesz musiał pomnożyć przez dwa nawiasy jednocześnie. Najpierw do wyrażenia $\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)$ sprzężenie z licznikiem. A po drugie, do wyrażenia $\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9)$ skoniuguj z mianownikiem.

$$ \lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9) ))=\left|\frac(0)(0)\right|=\\ =\lim_(x\to 5)\frac((\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16) )(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((\sqrt(x^2) -3x+6)-\sqrt(5x-9))(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9))(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2) -16))) $$ $$ -x^2+x+20=0;\\ \begin(wyrównane) & D=1^2-4\cdot(-1)\cdot 20=81;\\ & x_1=\frac(-1-\sqrt(81))(-2)=\frac(-10)(-2)=5;\\ & x_2=\frac(-1+\sqrt(81))( -2)=\frac(8)(-2)=-4. \end(wyrównane) \\ -x^2+x+20=-1\cdot(x-5)(x-(-4))=-(x-5)(x+4). $$

Dla wyrażenia $x^2-8x+15$ otrzymujemy:

$$ x^2-8x+15=0;\\ \begin(wyrównane) & D=(-8)^2-4\cdot 1\cdot 15=4;\\ & x_1=\frac(-(- 8)-\sqrt(4))(2)=\frac(6)(2)=3;\\ & x_2=\frac(-(-8)+\sqrt(4))(2)=\frac (10)(2)=5. \end(wyrównane)\\ x^2+8x+15=1\cdot(x-3)(x-5)=(x-3)(x-5). $$

Podstawiając otrzymane rozwinięcia $-x^2+x+20=-(x-5)(x+4)$ i $x^2+8x+15=(x-3)(x-5)$ do rozważanych limit, będzie miał:

$$ \lim_(x\to 5)\frac((-x^2+x+20)(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x^2 -8x+15)(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)))= \lim_(x\to 5)\frac(-(x-5)(x+4)(\ sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x-3)(x-5)(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)) )=\\ =\lim_(x\do 5)\frac(-(x+4)(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x-3) (\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)))= \frac(-(5+4)(\sqrt(5^2-3\cdot 5+6)+\sqrt(5 \cdot 5-9)))((5-3)(\sqrt(5+4)+\sqrt(5^2-16)))=-6. $$

Odpowiedź: $\lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9) ))=-6$.

W następnej (drugiej) części rozważymy jeszcze kilka przykładów, w których wyrażenie sprzężone będzie miało inną postać niż w poprzednich zadaniach. Najważniejszą rzeczą do zapamiętania jest to, że celem użycia wyrażenia sprzężonego jest pozbycie się irracjonalności, która powoduje niepewność.

Rozważ problem z algebry wielomianów.

Zadanie 4.1

Niech a będzie pierwiastkiem wielomianu x 3 + 6x - 3. Musimy pozbyć się niewymierności algebraicznej w mianowniku ułamka

Te. przedstaw ułamek jako wielomian w a z wymiernym

rzeczywiste współczynniki.

Rozwiązanie. Mianownik ułamka to wartość z A wielomian poprawka) = x 2 + 5 i minimalny wielomian elementu algebraicznego A jest f(x) \u003d x 3 + 6 x - 3, ponieważ ten wielomian jest nierozkładalny na polu Q (według kryterium Eisensteina dla liczby pierwszej p = 3). Znajdźmy NODOs 3+ 6x - 3, x 2 + 5) z używając algorytmu Euklidesa:

Uogólnijmy sytuację i rozważmy ogólny problem.

Problem pozbycia się niewymierności algebraicznej w mianowniku ułamka

Niech a będzie irracjonalnością algebraiczną nad ciałem P z mi-

, . „ za k za k + za k _, za k ~ l-F-. + aia + Oo

minimalny wielomian fOO i B = - - 1

b t a t +bro-ioc" 1 - 1 +... + bja +b 0

gdzie współczynniki wielomianów w liczniku i mianowniku ułamka należą do ciała R. Pozbądź się niewymierności algebraicznej w mianowniku ułamka, tj. obecny (3 jako

gdzie współczynniki należą do pola R.

Rozwiązanie. Oznacz /)*) = b nl x" + b m _ 1 x nl_1 +... + b ) x + b 0 i y =/(a). Od ^ 0, to na podstawie własności minimalnego wielomianu gcd(/(x), φ(x)) = 1. Korzystając z algorytmu Euklidesa, znajdujemy wielomiany u(x) i v(x) takie, że f(x) i(x) + f(x)y(x) = 1. Stąd tak) i (a) + f (a) y (a) \u003d 1, a ponieważ f (a) \u003d 0, to Da) i (a) \u003d 1. Dlatego mnożąc licznik i mianownik tego ułamka przez q (a), mamy dostać jeden w mianowniku, a zadanie zostanie rozwiązane.

Zauważ, że ogólna metoda pozbycia się niewymierności algebraicznej w mianowniku ułamka w przypadku zespolonego a + s

liczby - prowadzi do dobrze znanej procedury mnożenia liczb -

mianownik i mianownik przez sprzężenie mianownika.

Dygresja historyczna

Po raz pierwszy istnienie liczb przestępnych nad polem Q odkrył J. Liouville (1809-1882) w swoich pracach z 1844 i 1851 roku. Jedną z transcendentalnych liczb Liouville'a jest liczba

S. Pustelnik (1822-

a = Y--. Dziesiętne a = 0D100010..

klasa 10*

1901) udowodnił przekroczenie liczby e w 1873 r., a K. F. Lindemann (1852-1939) udowodnił w 1882 r. przekroczenie liczby P. Wyniki te nie były łatwe do uzyskania. Jednocześnie G. Kantor (1845-1918) po prostu udowodnił, że liczb przestępnych jest „znacząco więcej” niż algebraicznych: liczb przestępnych jest „ta sama liczba”, ile jest wszystkich liczb rzeczywistych, natomiast „ ta sama liczba” liczb algebraicznych, ile liczby naturalne. Dokładniej, zbiór liczb algebraicznych jest policzalny, podczas gdy zbiór liczb przestępnych jest niepoliczalny. Dowód tego faktu, stwierdzający istnienie liczb przestępnych, nie dostarcza recepty na uzyskanie żadnej z nich. Twierdzenia o istnieniu tego rodzaju są niezwykle ważne już w matematyce, ponieważ budzą wiarę w powodzenie poszukiwań przedmiotu, którego istnienie zostało udowodnione. Jednocześnie istnieje kierunek w matematyce, którego przedstawiciele nie uznają twierdzeń o czystym istnieniu, nazywając je niekonstruktywnymi. Najwybitniejszymi z tych przedstawicieli są L. Kronecker i J. Brouwer.

W 1900 roku na Światowym Kongresie Matematyków w Paryżu niemiecki matematyk D. Hilbert (1862-1943) sformułował następujący problem22: Jaka jest natura liczby aP, gdzie a i (3 to liczby algebraiczne, a ^ 0, a^1 i stopień liczby algebraicznej (3 jest nie mniejsze niż 2? A. O. Gel'fond (1906-1968) udowodnił, że takie liczby są przestępne. Wynika z tego w szczególności, że liczby 2^, 3r są przestępne.