Testy podzielności liczb- są to reguły, które pozwalają, bez dokonywania podziału, stosunkowo szybko zorientować się, czy ta liczba jest podzielna przez daną bez reszty.
Niektóre z kryteria podzielności dość proste, niektóre trudniejsze. Na tej stronie znajdziesz kryteria podzielności dla liczb pierwszych, takich jak np. 2, 3, 5, 7, 11, oraz kryteria podzielności dla liczb złożonych, takich jak 6 lub 12.
Mam nadzieję, że te informacje będą dla Ciebie przydatne.
Miłej nauki!

Podzielność przez 2

To jeden z najprostszych testów podzielności. Brzmi to tak: jeśli zapis liczby naturalnej kończy się cyfrą parzystą, to jest parzysta (podzielna przez 2 bez reszty), a jeśli zapis liczby kończy się cyfrą nieparzystą, to liczba ta jest nieparzysta.
Innymi słowy, jeśli ostatnią cyfrą liczby jest 2 , 4 , 6 , 8 lub 0 - liczba jest podzielna przez 2, jeśli nie, to nie jest podzielna
Na przykład liczby: 23 4 , 8270 , 1276 , 9038 , 502 są podzielne przez 2, ponieważ są parzyste.
I liczby: 23 5 , 137 , 2303
nie są podzielne przez 2, ponieważ są nieparzyste.

Podzielność przez 3

To kryterium podzielności ma zupełnie inne zasady: jeśli suma cyfr liczby jest podzielna przez 3, to liczba jest również podzielna przez 3; jeśli suma cyfr liczby nie jest podzielna przez 3, to również liczba nie jest podzielna przez 3.
Aby więc zrozumieć, czy liczba jest podzielna przez 3, wystarczy zsumować liczby, z których się składa.
Wygląda to tak: 3987 i 141 są podzielne przez 3, bo w pierwszym przypadku 3 + 9 + 8 + 7 \u003d 27 (27: 3 \u003d 9 - podzielne przez 3 bez ostaka), aw drugim 1 + 4 + 1 \u003d 6 (6: 3 \u003d 2 - również podzielne przez 3 bez ostaka).
Ale liczby: 235 i 566 nie są podzielne przez 3, ponieważ 2 + 3 + 5 \u003d 10 i 5 + 6 + 6 \u003d 17 (i wiemy, że ani 10, ani 17 nie są podzielne przez 3 bez reszty).

Podzielność przez 4

To kryterium podzielności będzie bardziej skomplikowane. Jeśli ostatnie 2 cyfry liczby tworzą liczbę, która jest podzielna przez 4 lub jest to 00, to liczba jest podzielna przez 4, w przeciwnym razie liczba ta nie jest podzielna przez 4 bez reszty.
Na przykład: 1 00 i 3 64 są dzielone przez 4, ponieważ w pierwszym przypadku liczba kończy się na 00 , aw drugim 64 , która z kolei jest podzielna przez 4 bez reszty (64: 4 \u003d 16)
Liczby 3 57 i 8 86 nie są podzielne przez 4, ponieważ ani 57 ani 86 nie są podzielne przez 4, co oznacza, że \u200b\u200bnie spełniają danego kryterium podzielności.

Podzielność przez 5

I znowu mamy dość prosty znak podzielności: jeśli zapis liczby naturalnej kończy się cyfrą 0 lub 5, to liczba ta jest podzielna bez reszty przez 5. Jeśli zapis liczby kończy się inną cyfrą, to liczba ta nie jest podzielna przez 5 bez reszty.
Oznacza to, że wszystkie liczby kończące się cyframi 0 i 5 np. 1235 5 i 43 0 , wchodzą w zakres reguły i są podzielne przez 5.
I na przykład 1549 3 i 56 4 nie kończą się na 5 ani 0, co oznacza, że \u200b\u200bnie mogą być podzielne przez 5 bez reszty.

Podzielność przez 6

Mamy przed sobą liczbę złożoną 6, która jest iloczynem liczb 2 i 3. Zatem podzielność przez 6 jest również złożona: aby liczba była podzielna przez 6, musi odpowiadać jednocześnie dwóm cechom podzielności: podzielności przez 2 i podzielności przez 3. Jednocześnie zauważ, że taka złożona liczba, jak 4, ma indywidualny znak podzielności, ponieważ sama jest iloczynem liczby 2. Wróćmy jednak do kryterium podzielności przez 6.
Liczby 138 i 474 są parzyste i odpowiadają kryteriom podzielności przez 3 (1 + 3 + 8 \u003d 12, 12: 3 \u003d 4 i 4 + 7 + 4 \u003d 15, 15: 3 \u003d 5), co oznacza, że \u200b\u200bsą podzielne przez 6. Ale 123 i 447, chociaż są podzielne przez 3 (1 + 2 + 3 \u003d 6, 6: 3 \u003d 2 i 4 + 4 + 7 \u003d 15, 15: 3 \u003d 5), ale są nieparzyste, co oznacza, że \u200b\u200bnie odpowiadają kryterium podzielności przez 2, i dlatego nie odpowiadają kryterium podzielności przez 6.

Podzielność przez 7

Ten znak podzielności jest bardziej złożony: liczba jest podzielna przez 7, jeśli wynik odjęcia ostatniej podwójnej cyfry od dziesiątek tej liczby jest podzielny przez 7 lub równy 0.
Brzmi dość zagmatwane, ale w praktyce proste. Przekonaj się sam: liczba 95 9 jest podzielne przez 7, ponieważ 95 -2 * 9 \u003d 95-18 \u003d 77, 77: 7 \u003d 11 (77 jest podzielne przez 7 bez reszty). Co więcej, jeśli pojawiły się trudności z liczbą uzyskaną podczas transformacji (ze względu na jej rozmiar trudno jest zrozumieć, czy jest ona podzielna przez 7, czy nie, to tę procedurę można kontynuować tyle razy, ile uznasz za konieczne).
Na przykład, 45 5 i 4580 1 mają znaki podzielności przez 7. W pierwszym przypadku wszystko jest dość proste: 45 -2 * 5 \u003d 45-10 \u003d 35, 35: 7 \u003d 5. W drugim przypadku zrobimy to: 4580 -2 * 1 \u003d 4580-2 \u003d 4578. Trudno nam to zrozumieć 457 8 na 7, więc powtórzmy proces: 457 -2 * 8 \u003d 457-16 \u003d 441. I znowu użyjemy kryterium podzielności, ponieważ nadal mamy trzycyfrową liczbę 44 1. Więc 44 -2 * 1 \u003d 44-2 \u003d 42, 42: 7 \u003d 6, czyli 42 jest podzielne przez 7 bez reszty, co oznacza, że \u200b\u200b45801 jest podzielne przez 7.
Ale liczby 11 1 i 34 5 nie jest podzielne przez 7, ponieważ 11 -2 * 1 \u003d 11-2 \u003d 9 (9 nie jest równo podzielne przez 7) i 34 -2 * 5 \u003d 34-10 \u003d 24 (24 nie jest równo podzielne przez 7).

Podzielność przez 8

Podzielność przez 8 jest następująca: jeśli ostatnie 3 cyfry tworzą liczbę podzielną przez 8 lub 000, to podana liczba jest podzielna przez 8.
Liczby 1 000 lub 1 088 podzielna przez 8: pierwsza kończy się na 000 , drugi 88 : 8 \u003d 11 (podzielne przez 8 bez reszty).
Ale liczby 1 100 lub 4 757 nie są podzielne przez 8, ponieważ liczby 100 i 757 nie są podzielne przez 8.

Podzielność przez 9

Ten znak podzielności jest podobny do znaku podzielności przez 3: jeśli suma cyfr liczby jest podzielna przez 9, to liczba jest również podzielna przez 9; jeśli suma cyfr liczby nie jest podzielna przez 9, to również liczba nie jest podzielna przez 9.
Na przykład: 3987 i 144 są podzielne przez 9, ponieważ w pierwszym przypadku 3 + 9 + 8 + 7 \u003d 27 (27: 9 \u003d 3 - podzielne przez 9 bez ostaka), aw drugim 1 + 4 + 4 \u003d 9 (9: 9 \u003d 1 - również podzielne przez 9 bez ostaka).
Ale liczby: 235 i 141 nie są podzielne przez 9, ponieważ 2 + 3 + 5 \u003d 10 i 1 + 4 + 1 \u003d 6 (i wiemy, że ani 10, ani 6 nie jest podzielne przez 9 bez reszty).

Podzielność przez 10, 100, 1000 i inne jednostki bitowe

Połączyłem te znaki podzielności, ponieważ można je opisać w ten sam sposób: liczba jest dzielona przez jednostkę bitową, jeśli liczba zer na końcu liczby jest większa lub równa liczbie zer w danej jednostce bitowej.
Innymi słowy, mamy na przykład liczby takie: 654 0 , 46400 , 867000 , 6450 ... z których wszystkie są podzielne przez 1 0 ; 46400 i 867 000 są również dzielone przez 1 00 ; i tylko jeden z nich - 867 000 podzielna przez 1 000 .
Żadne liczby, które mają mniej zer na końcu niż jednostka bitowa, nie są podzielne przez tę jednostkę bitową, na przykład 600 30 i 7 93 niepodzielne 1 00 .

Podzielność przez 11

Aby dowiedzieć się, czy liczba jest podzielna przez 11, musisz obliczyć różnicę między sumami cyfr parzystych i nieparzystych tej liczby. Jeśli ta różnica jest równa 0 lub jest podzielna przez 11 bez reszty, to sama liczba jest podzielna przez 11 bez reszty.
Aby było jaśniej, proponuję rozważyć przykłady: 2 35 4 jest podzielne przez 11, ponieważ ( 2 +5 )-(3+4)=7-7=0. 29 19 4 jest również podzielne przez 11, ponieważ ( 9 +9 )-(2+1+4)=18-7=11.
Ale 1 1 1 lub 4 35 4 nie jest podzielne przez 11, ponieważ w pierwszym przypadku otrzymujemy (1 + 1) - 1 \u003d 1, aw drugim ( 4 +5 )-(3+4)=9-7=2.

Podzielność przez 12

Liczba 12 jest złożona. Jego kryterium podzielności to zgodność z kryterium podzielności przez 3 i 4 jednocześnie.
Na przykład 300 i 636 odpowiadają znakom podzielności przez 4 (ostatnie 2 cyfry są zerami lub są podzielne przez 4) oraz znakom podzielności przez 3 (suma cyfr oraz pierwsza i trzykrotna liczba jest podzielna przez 3), a znit są podzielne przez 12 bez reszty.
Ale 200 lub 630 nie są podzielne przez 12, ponieważ w pierwszym przypadku liczba odpowiada tylko kryterium podzielności przez 4, aw drugim - tylko kryterium podzielności przez 3., ale nie obu oznaczeniom jednocześnie.

Podzielność przez 13

Znakiem podzielności przez 13 jest to, że jeśli liczba dziesiątek liczby, pomnożona przez 4 jednostki tej liczby, jest wielokrotnością 13 lub równą 0, to sama liczba jest podzielna przez 13.
Weź na przykład 70 2. Więc 70 + 4 * 2 \u003d 78, 78: 13 \u003d 6 (78 jest podzielne przez 13 bez reszty), co oznacza 70 2 jest podzielne przez 13 bez reszty. Innym przykładem jest liczba 114 4. 114 + 4 * 4 \u003d 130, 130: 13 \u003d 10. Liczba 130 jest podzielna przez 13 bez reszty, co oznacza, że \u200b\u200bpodana liczba odpowiada kryterium podzielności przez 13.
Jeśli weźmiemy liczby 12 5 lub 21 2, wtedy otrzymujemy 12 + 4 * 5 \u003d 32 i 21 + 4 * 2 \u003d 29 odpowiednio i ani 32, ani 29 nie są podzielne przez 13 bez reszty, co oznacza, że \u200b\u200bpodane liczby nie są podzielne przez 13.

Podzielność liczb

Jak widać z powyższego, można założyć, że do dowolnego z plików liczby naturalne możesz wybrać własną indywidualną cechę podzielności lub cechę „złożoną”, jeśli liczba jest wielokrotnością kilku różnych liczb. Ale jak pokazuje praktyka, generalnie im większa liczba, tym bardziej złożony jest jej znak. Możliwe, że czas poświęcony na sprawdzenie kryterium podzielności może być równy lub większy niż sam podział. Dlatego zwykle używamy najprostszych kryteriów podzielności.

W artykule omówiono koncepcję dzielenia liczb całkowitych z resztą. Udowodnijmy twierdzenie o podzielności liczb całkowitych z resztą i zbadajmy związki między dywidendami i dzielnikami, niepełnymi ilorazami i resztami. Rozważmy zasady dzielenia liczb całkowitych z resztami, szczegółowo omawiając przykłady. Na koniec sprawdźmy.

Zrozumienie dzielenia liczb całkowitych na resztę

Dzielenie liczb całkowitych z resztą jest uważane za podział uogólniony z resztą liczb naturalnych. Dzieje się tak, ponieważ liczby naturalne są częścią składową liczb całkowitych.

Dzielenie z resztą dowolnej liczby oznacza, że \u200b\u200bliczba całkowita a jest podzielna przez niezerową liczbę b. Jeśli b \u003d 0, to nie jest wykonywany żaden podział na resztę.

Oprócz dzielenia liczb naturalnych resztą, dzielenie liczb całkowitych a i b, jeśli b jest różne od zera, jest wykonywane przez c i d. W tym przypadku a i b nazywane są dywidendą i dzielnikiem, ad jest pozostałą częścią dzielenia, c jest liczbą całkowitą lub niepełnym ilorazem.

Jeśli przyjmiemy, że reszta jest nieujemną liczbą całkowitą, to jej wartość nie jest większa niż moduł liczby b. Napiszmy w ten sposób: 0 ≤ d ≤ b. Ten łańcuch nierówności jest używany podczas porównywania 3 lub więcej liczb.

Jeśli c jest niepełnym ilorazem, to d jest resztą z dzielenia liczby całkowitej a przez b, możesz krótko ustalić: a: b \u003d c (reszta d).

Reszta przy dzieleniu liczb a przez b jest możliwa do zera, wtedy mówią, że a jest całkowicie podzielne przez b, to znaczy bez reszty. Podział bez reszty jest uważany za szczególny przypadek podziału.

Jeśli podzielimy zero przez jakąś liczbę, otrzymamy zero. Pozostała część podziału również będzie wynosić zero. Można to wywnioskować z teorii dzielenia zera przez liczbę całkowitą.

Rozważmy teraz znaczenie dzielenia liczb całkowitych przez resztę.

Wiadomo, że liczby całkowite dodatnie są naturalne, więc przy dzieleniu przez resztę uzyskuje się to samo znaczenie, co przy dzieleniu liczb naturalnych przez resztę.

Dzielenie ujemnej liczby całkowitej a przez dodatnią liczbę całkowitą b ma sens. Spójrzmy na przykład. Wyobrażając sobie sytuację, w której mamy zadłużenie pozycji w kwocie a, które muszą spłacić osoby b. Wymaga to od każdego takiego samego wkładu. Aby określić wysokość zadłużenia dla każdego, musisz zwrócić uwagę na kwotę prywatnych. Pozostałe d mówi, że liczba pozycji jest znana po spłacie długów.

Weźmy przykład z jabłkami. Jeśli 2 osoby potrzebują 7 jabłek. Jeśli policzysz, że każdy musi zwrócić 4 jabłka, po pełnym obliczeniu będzie miał 1 jabłko. Zapiszmy to w postaci równości: (- 7): 2 \u003d - 4 (o z punktem 1).

Dzielenie dowolnej liczby a przez liczbę całkowitą nie ma sensu, ale jest możliwe jako opcja.

Twierdzenie o podzielności liczb całkowitych z resztą

Okazało się, że a jest dywidendą, a następnie b jest dzielnikiem, c jest niepełnym ilorazem, a d jest resztą. Są ze sobą spokrewnieni. Pokażemy to połączenie za pomocą równości a \u003d b c + d. Związek między nimi charakteryzuje twierdzenie o pozostałej podzielności.

Twierdzenie

Dowolna liczba całkowita może być reprezentowana tylko przez liczbę całkowitą i niezerową liczbę b w ten sposób: a \u003d b q + r, gdzie q i r to kilka liczb całkowitych. Tutaj mamy 0 ≤ r ≤ b.

Udowodnijmy możliwość istnienia a \u003d b q + r.

Dowód

Jeśli istnieją dwie liczby a i b, a a jest podzielne przez b bez reszty, to z definicji wynika, że \u200b\u200bistnieje liczba q, która będzie prawdziwą równością a \u003d b q. Wtedy równość można uznać za prawdziwą: a \u003d b q + r dla r \u003d 0.

Następnie trzeba wziąć q takie, jakie daje nierówność b q< a < b · (q + 1) было верным. Необходимо вычесть b · q из всех частей выражения. Тогда придем к неравенству такого вида: 0 < a − b · q < b .

Mamy, że wartość wyrażenia a - b q jest większa od zera i nie większa niż wartość liczby b, wynika z tego, że r \u003d a - b q. Otrzymujemy, że liczbę a można przedstawić jako a \u003d b q + r.

Należy teraz rozważyć możliwość reprezentacji a \u003d b q + r dla ujemnych wartości b.

Wartość bezwzględna liczby jest dodatnia, wtedy otrzymujemy a \u003d b q 1 + r, gdzie wartość q 1 jest jakąś liczbą całkowitą, r jest liczbą całkowitą, która spełnia warunek 0 ≤ r< b . Принимаем q = − q 1 , получим, что a = b · q + r для отрицательных b .

Dowód wyjątkowości

Załóżmy, że a \u003d bq + r, q i r są liczbami całkowitymi z prawdziwym warunkiem 0 ≤ r< b , имеется еще одна форма записи в виде a = b · q 1 + r 1 , где q 1 i r 1 są jakieś liczby, gdzie q 1 ≠ q , 0 ≤ r 1< b .

Gdy nierówność zostanie odjęta od lewej i prawej strony, otrzymamy 0 \u003d b · (q - q 1) + r - r 1, co jest równoważne r - r 1 \u003d b · q 1 - q. Ponieważ używany jest moduł, otrzymujemy równość r - r 1 \u003d b q 1 - q.

Podany warunek mówi, że 0 ≤ r< b и 0 ≤ r 1 < b запишется в виде r - r 1 < b . Имеем, что qi q 1- liczby całkowite i q ≠ q 1, następnie q 1 - q ≥ 1. Stąd mamy, że b q 1 - q ≥ b. Wynikające z tego nierówności r - r 1< b и b · q 1 - q ≥ b указывают на то, что такое равенство в виде r - r 1 = b · q 1 - q невозможно в данном случае.

Wynika z tego, że liczby a nie można przedstawić w żaden inny sposób, chyba że za pomocą takiego zapisu a \u003d b q + r.

Zależność między dywidendą, dzielnikiem, niepełnym ilorazem i resztą

Używając równości a \u003d b c + d, możesz znaleźć nieznaną dywidendę a, gdy znasz dzielnik b z niepełnym ilorazem c i resztą d.

Przykład 1

Wyznacz dywidendę, jeśli w dzieleniu otrzymamy - 21, niepełny iloraz 5 i resztę 12.

Decyzja

Konieczne jest obliczenie dywidendy a ze znanym dzielnikiem b \u003d - 21, niepełnym ilorazem c \u003d 5, a resztą d \u003d 12. Konieczne jest przejście do równości a \u003d b c + d, z której otrzymujemy a \u003d (- 21) 5 + 12. W zależności od kolejności wykonywania czynności mnożymy - 21 przez 5, po czym otrzymujemy (- 21) 5 + 12 \u003d - 105 + 12 \u003d - 93.

Odpowiedź: - 93 .

Związek między dzielnikiem a niepełnym ilorazem i resztą można wyrazić za pomocą równości: b \u003d (a - d): c, c \u003d (a - d): b i d \u003d a - b c. Za ich pomocą możemy obliczyć dzielnik, iloraz częściowy i resztę. Sprowadza się to do ciągłego znajdowania reszty po podzieleniu liczby całkowitej a przez b ze znaną dywidendą, dzielnikiem i niepełnym ilorazem. Wzór ma zastosowanie d \u003d a - b c. Rozważmy szczegółowo rozwiązanie.

Przykład 2

Znajdź resztę z dzielenia liczby całkowitej - 19 przez liczbę całkowitą 3 ze znanym niepełnym ilorazem równym - 7.

Decyzja

Aby obliczyć pozostałą część dzielenia, zastosuj wzór d \u003d a - b · c. Warunkiem jest dostępność wszystkich danych a \u003d - 19, b \u003d 3, c \u003d - 7. Stąd otrzymujemy d \u003d a - b c \u003d - 19 - 3 (- 7) \u003d - 19 - (- 21) \u003d - 19 + 21 \u003d 2 (różnica wynosi - 19 - (- 21). Ten przykład jest obliczany zgodnie z zasadą odejmowania liczba całkowita ujemna.

Odpowiedź: 2 .

Wszystkie dodatnie liczby całkowite są naturalne. Wynika z tego, że dzielenie odbywa się według wszystkich zasad dzielenia z resztą liczb naturalnych. Szybkość dzielenia z resztą liczb naturalnych jest ważna, ponieważ opiera się nie tylko na dzieleniu liczb dodatnich, ale także na zasadach dzielenia dowolnych liczb całkowitych.

Najwygodniejszą metodą podziału jest kolumna, ponieważ łatwiej i szybciej jest uzyskać niepełny lub tylko iloraz z resztą. Rozważmy bardziej szczegółowo rozwiązanie.

Przykład 3

Podzielić 14671 przez 54.

Decyzja

Podział ten należy przeprowadzić w kolumnie:

Oznacza to, że niepełny iloraz okazuje się wynosić 271, a reszta to 37.

Odpowiedź: 14 671: 54 \u003d 271. (przystanek 37)

Reguła dzielenia z resztą dodatniej liczby całkowitej przez ujemną liczbę całkowitą, przykłady

Aby wykonać dzielenie z resztą liczby dodatniej przez ujemną liczbę całkowitą, konieczne jest sformułowanie reguły.

Definicja 1

Niepełny iloraz z podzielenia dodatniej liczby całkowitej a przez ujemną liczbę całkowitą b otrzymujemy liczbę, która jest przeciwna do niepełnego ilorazu z podzielenia wartości bezwzględnych liczb a przez b. Wtedy reszta jest równa reszcie z dzielenia a przez b.

Stąd mamy, że niepełny iloraz dzielenia liczby całkowitej dodatniej przez ujemną liczbę całkowitą jest uważany za liczbę całkowitą niedodatnią.

Otrzymujemy algorytm:

• podzielimy moduł podzielnej przez moduł dzielnika, a następnie otrzymamy niepełny iloraz i
• pozostała;
• zapisujemy liczbę przeciwną do otrzymanej.

Rozważmy przykład algorytmu dzielenia dodatniej liczby całkowitej przez ujemną liczbę całkowitą.

Przykład 4

Podzielić z resztą 17 przez - 5.

Decyzja

Zastosujmy algorytm dzielenia z resztą liczby całkowitej dodatniej przez liczbę całkowitą ujemną. Musisz podzielić 17 przez - 5 modulo. Z tego otrzymujemy, że niepełny iloraz wynosi 3, a reszta to 2.

Otrzymujemy wymaganą liczbę z podzielenia 17 przez - 5 \u003d - 3 z resztą 2.

Odpowiedź: 17: (- 5) \u003d - 3 (reszta 2).

Przykład 5

Podziel 45 przez - 15.

Decyzja

Konieczne jest podzielenie liczb modulo. Dzieląc liczbę 45 przez 15, otrzymujemy iloraz 3 bez reszty. Oznacza to, że liczba 45 jest podzielna przez 15 bez reszty. W odpowiedzi otrzymujemy - 3, ponieważ podział został wykonany modulo.

45: (- 15) = 45: - 15 = - 45: 15 = - 3

Odpowiedź: 45: (− 15) = − 3 .

Sformułowanie reguły podziału z resztą jest następujące.

Definicja 2

Aby otrzymać niepełny iloraz c podczas dzielenia ujemnej liczby całkowitej a przez dodatnią b, należy zastosować odwrotność podanej liczby i odjąć od niej 1, a reszta d zostanie obliczona według wzoru: d \u003d a - b · c.

Na podstawie reguły możemy stwierdzić, że podczas dzielenia otrzymujemy nieujemną liczbę całkowitą. Dla dokładności rozwiązania stosuje się algorytm dzielenia a przez b z resztą:

• znajdź moduły dywidendy i dzielnika;
• podziel przez moduł;
• zapisz przeciwną liczbę i odejmij 1;
• użyj wzoru na resztę d \u003d a - b · c.

Rozważmy przykład rozwiązania, w którym zastosowano ten algorytm.

Przykład 6

Znajdź niepełny iloraz i pozostałą część dzielenia - 17 na 5.

Decyzja

Podzielić podane liczby modulo. Otrzymujemy, że dzieląc iloraz wynosi 3, a reszta to 2. Ponieważ mamy 3, odwrotnie jest 3. Musisz odjąć 1.

− 3 − 1 = − 4 .

Otrzymujemy żądaną wartość równą - 4.

Aby obliczyć resztę, potrzebujesz a \u003d - 17, b \u003d 5, c \u003d - 4, a następnie d \u003d a - b c \u003d - 17 - 5 (- 4) \u003d - 17 - (- 20) \u003d - 17 + 20 \u003d 3.

Oznacza to, że niepełny iloraz dzielenia to liczba - 4 z resztą równą 3.

Odpowiedź: (- 17): 5 \u003d - 4 (reszta 3).

Przykład 7

Podzielić ujemną liczbę całkowitą 1404 przez dodatnią 26.

Decyzja

Konieczne jest podzielenie przez kolumnę i muła.

Otrzymaliśmy podział bezwzględnych wartości liczb bez reszty. Oznacza to, że dzielenie jest wykonywane bez reszty, a pożądany iloraz \u003d - 54.

Odpowiedź: (− 1 404) : 26 = − 54 .

Reguła dzielenia z resztą ujemnych liczb całkowitych, przykłady

Konieczne jest sformułowanie reguły dzielenia z resztą ujemnych liczb całkowitych.

Definicja 3

Aby otrzymać niepełny iloraz c z podzielenia liczby całkowitej ujemnej a przez liczbę całkowitą ujemną b, należy wykonać obliczenia modulo, następnie dodać 1, wtedy możemy wykonać obliczenia według wzoru d \u003d a - b · c.

Wynika z tego, że niepełny iloraz z dzielenia ujemnych liczb całkowitych będzie liczbą dodatnią.

Sformułujmy tę regułę w postaci algorytmu:

• znajdź moduły dywidendy i dzielnika;
• podziel moduł podzielnej przez moduł dzielnika, aby otrzymać niepełny iloraz z
• pozostała;
• dodanie 1 do niepełnego ilorazu;
• obliczenie reszty na podstawie wzoru d \u003d a - b · c.

Rozważmy ten algorytm na przykładzie.

Przykład 8

Znajdź niepełny iloraz i resztę podczas dzielenia - 17 przez - 5.

Decyzja

Dla poprawności rozwiązania zastosujemy algorytm dzielenia z resztą. Najpierw podziel liczby modulo. Stąd otrzymujemy niepełny iloraz \u003d 3, a reszta to 2. Zgodnie z regułą należy dodać niepełny iloraz i 1. Otrzymujemy, że 3 + 1 \u003d 4. Z tego otrzymujemy, że niepełny iloraz podziału podanych liczb wynosi 4.

Aby obliczyć resztę, użyjemy wzoru. Na podstawie hipotezy mamy, że a \u003d - 17, b \u003d - 5, c \u003d 4, a następnie, używając wzoru, otrzymujemy d \u003d a - b c \u003d - 17 - (- 5) 4 \u003d - 17 - (- 20) \u003d - 17 + 20 \u003d 3. Pożądana odpowiedź, czyli reszta, to 3, a niepełny iloraz to 4.

Odpowiedź: (- 17): (- 5) \u003d 4 (reszta 3).

Sprawdzanie wyniku dzielenia liczb całkowitych z resztą

Po wykonaniu podziału liczb z resztą należy sprawdzić. Ta kontrola obejmuje 2 etapy. Po pierwsze, reszta d jest sprawdzana pod kątem nieujemności, warunek 0 ≤ d< b . При их выполнении разрешено выполнять 2 этап. Если 1 этап не выполнился, значит вычисления произведены с ошибками. Второй этап состоит из того, что равенство a = b · c + d должно быть верным. Иначе в вычисления имеется ошибка.

Spójrzmy na kilka przykładów.

Przykład 9

Podział został dokonany - 521 na - 12. Iloraz wynosi 44, reszta to 7. Czek.

Decyzja

Ponieważ reszta jest liczbą dodatnią, jej wartość jest mniejsza niż moduł dzielnika. Dzielnik wynosi - 12, co oznacza, że \u200b\u200bjego moduł wynosi 12. Możesz przejść do następnego punktu kontrolnego.

Zgodnie z hipotezą mamy, że a \u003d - 521, b \u003d - 12, c \u003d 44, d \u003d 7. Stąd obliczamy b c + d, gdzie b c + d \u003d - 12 44 + 7 \u003d - 528 + 7 \u003d - 521. Stąd wynika, że \u200b\u200brówność jest prawdziwa. Weryfikacja przeszła.

Przykład 10

Wykonaj kontrolę podziału (- 17): 5 \u003d - 3 (reszta - 2). Czy równość jest prawdą?

Decyzja

Punktem pierwszego etapu jest sprawdzenie dzielenia liczb całkowitych z resztą. Stąd jasne jest, że akcja została wykonana nieprawidłowo, ponieważ podana jest reszta równa - 2. Reszta nie jest ujemna.

Mamy, że drugi warunek jest spełniony, ale niewystarczający w tym przypadku.

Odpowiedź: nie.

Przykład 11

Liczba - 19 podzielone przez - 3. Niekompletny iloraz wynosi 7, a reszta to 1. Sprawdź, czy obliczenia są prawidłowe.

Decyzja

Podano resztę 1. Jest pozytywny. Jest mniejszy niż moduł dzielnika, co oznacza, że \u200b\u200bwykonywany jest pierwszy etap. Przejdźmy do drugiego etapu.

Obliczmy wartość wyrażenia b c + d. Zgodnie z hipotezą mamy, że b \u003d - 3, c \u003d 7, d \u003d 1, stąd podstawiając wartości liczbowe otrzymujemy b c + d \u003d - 3 7 + 1 \u003d - 21 + 1 \u003d - 20. Wynika z tego, że a \u003d b c + d równość nie zachodzi, ponieważ a \u003d - 19 jest podane w warunku.

Wynika z tego, że podziału dokonano z błędem.

Odpowiedź: nie.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl + Enter

W tym artykule przeanalizujemy dzielenie liczb całkowitych z resztą... Zacznijmy od ogólnej zasady dzielenia liczb całkowitych z resztą, sformułujmy i udowodnijmy twierdzenie o podzielności liczb całkowitych z resztą, prześledźmy związki między dywidendą, dzielnikiem, niepełnym ilorazem i resztą. Następnie omówimy zasady, według których przeprowadza się dzielenie liczb całkowitych z resztą, i rozważymy zastosowanie tych reguł podczas rozwiązywania przykładów. Następnie nauczymy się, jak sprawdzić wynik dzielenia liczb całkowitych na resztę.

Nawigacja po stronach.

Zrozumienie pozostałej liczby całkowitej

Rozważymy podział liczb całkowitych z resztą jako uogólnienie dzielenia na resztę liczb naturalnych. Wynika to z faktu, że liczby naturalne są częścią składową liczb całkowitych.

Zacznijmy od terminów i oznaczeń, które są używane w opisie.

Analogicznie do dzielenia liczb naturalnych przez resztę, przyjmiemy, że wynikiem dzielenia resztą z dwóch liczb całkowitych a i b (b jest różna od zera) są dwie liczby całkowite c i d. Nazywa się cyfry a i b podzielny i rozdzielacz odpowiednio liczba d - pozostała część z dzielenia a przez b, a wywoływana jest liczba całkowita c niekompletne prywatne (lub po prostu prywatnyjeśli reszta wynosi zero).

Przyjmijmy, że reszta jest liczbą całkowitą nieujemną, a jej wartość nie przekracza b, czyli (z takimi łańcuchami nierówności spotkaliśmy się, gdy mówiliśmy o porównaniu trzech lub więcej liczb całkowitych).

Jeśli liczba c jest ilorazem niepełnym, a liczba d jest pozostałością z podzielenia liczby całkowitej a przez liczbę całkowitą b, to krótko zapiszemy ten fakt jako równość postaci a: b \u003d c (reszta d).

Zauważ, że podczas dzielenia liczby całkowitej a przez liczbę całkowitą b, reszta może wynosić zero. W tym przypadku mówi się, że a jest podzielne przez b bez pozostałości (lub całkowicie). Tak więc dzielenie liczb całkowitych bez reszty jest szczególnym przypadkiem dzielenia liczb całkowitych przez resztę.

Warto również powiedzieć, że dzieląc zero przez jakąś liczbę całkowitą, zawsze mamy do czynienia z dzieleniem bez reszty, ponieważ w tym przypadku iloraz będzie równy zero (patrz sekcja teorii na temat dzielenia zera przez liczbę całkowitą), a reszta również będzie równa zero.

Zdecydowaliśmy się na terminologię i oznaczenia, teraz zastanówmy się, jakie znaczenie ma dzielenie liczb całkowitych z resztą.

Dzielenie ujemnej liczby całkowitej a przez dodatnią liczbę całkowitą b również może mieć sens. Aby to zrobić, potraktuj ujemną liczbę całkowitą jako dług. Wyobraźmy sobie następującą sytuację. Zadłużenie, które stanowi przedmiot, musi zapłacić b osób wnosząc taką samą składkę. Całkowita wartość niepełne prywatne c w tym przypadku określi wysokość zadłużenia każdej z tych osób, a reszta d pokaże, ile pozycji pozostanie po spłacie długu. Podajmy przykład. Powiedzmy, że 2 osoby potrzebują 7 jabłek. Jeśli przyjmiemy, że każdy z nich jest winien 4 jabłka, to po spłacie długu będzie miał 1 jabłko. Taka sytuacja odpowiada równości (-7): 2 \u003d -4 (reszta 1).

Nie nadamy żadnego znaczenia dzieleniu przez resztę dowolnej liczby całkowitej a przez ujemną liczbę całkowitą, ale pozostawimy to z prawem do istnienia.

Twierdzenie o podzielności liczb całkowitych z resztą

Kiedy mówiliśmy o dzieleniu liczb naturalnych przez resztę, odkryliśmy, że dywidenda a, dzielnik b, niepełny iloraz c i reszta d są powiązane przez równość a \u003d b c + d. Liczby całkowite a, b, c i d mają tę samą zależność. To połączenie zostało zatwierdzone przez następujące osoby twierdzenie o pozostałej podzielności.

Twierdzenie.

Dowolna liczba całkowita a może być reprezentowana unikatowo przez liczbę całkowitą i niezerową liczbę b w postaci a \u003d b q + r, gdzie q i r są pewnymi liczbami całkowitymi i.

Dowód.

Najpierw udowodnimy możliwość reprezentacji a \u003d b q + r.

Jeśli liczby całkowite a i b są takie, że a jest równo podzielne przez b, to z definicji istnieje liczba całkowita q taka, że \u200b\u200ba \u003d b q. W tym przypadku równość a \u003d b q + r zachodzi dla r \u003d 0.

Teraz przyjmiemy, że b jest dodatnią liczbą całkowitą. Wybierz taką liczbę całkowitą q, że iloczyn b q nie przekracza a, a iloczyn b (q + 1) jest już większy niż a. To znaczy, bierzemy q takie, że nierówności b q

Pozostaje udowodnić możliwość reprezentacji a \u003d b q + r dla ujemnego b.

Ponieważ moduł liczby b w tym przypadku jest liczbą dodatnią, to istnieje reprezentacja, w której q 1 jest jakąś liczbą całkowitą, a r jest liczbą całkowitą spełniającą warunki. Następnie, biorąc q \u003d −q 1, otrzymujemy wymaganą reprezentację a \u003d b q + r dla ujemnego b.

Przechodzimy do dowodu wyjątkowości.

Załóżmy, że oprócz reprezentacji a \u003d bq + r, q i r są liczbami całkowitymi i istnieje inna reprezentacja a \u003d bq 1 + r 1, gdzie q 1 i r 1 są pewnymi liczbami całkowitymi, a q 1 ≠ q i.

Po odjęciu od lewej i prawej strony pierwszej równości, odpowiednio, lewej i prawej strony drugiej równości, otrzymujemy 0 \u003d b (q - q 1) + r - r 1, co jest równoważne równości r - r 1 \u003d b (q 1 −q) ... Następnie równość formy a ze względu na właściwości modułu liczby równość .

Z warunków i możemy to wywnioskować. Ponieważ q i q 1 są liczbami całkowitymi, a q ≠ q 1, stąd wnioskujemy ... Z uzyskanych nierówności i wynika, że \u200b\u200brówność formy przy naszym założeniu niemożliwe. Dlatego nie ma innej reprezentacji liczby a, z wyjątkiem a \u003d b q + r.

Relacje między dzielnikiem, dzielnikiem, niepełnym ilorazem i resztą

Równość a \u003d b c + d pozwala znaleźć nieznaną dywidendę a, jeśli znasz dzielnik b, niepełny iloraz c, a resztę d. Spójrzmy na przykład.

Przykład.

Jaka jest dywidenda, jeśli podzielenie jej przez liczbę całkowitą −21 daje niepełny iloraz 5 i resztę z 12?

Decyzja.

Musimy obliczyć dywidendę a, znając dzielnik b \u003d −21, iloraz częściowy c \u003d 5, a pozostałą część d \u003d 12. Przechodząc do równości a \u003d b c + d, otrzymujemy a \u003d (- 21) 5 + 12. Obserwując, najpierw mnożymy liczby całkowite −21 i 5 zgodnie z zasadą mnożenia liczb całkowitych o różnych znakach, po czym dodajemy liczby całkowite o różnych znakach: (−21) 5 + 12 \u003d −105 + 12 \u003d −93.

Odpowiedź:

−93 .

Związki między dywidendą, dzielnikiem, niepełnym ilorazem i resztą są również wyrażone przez równości postaci b \u003d (a - d): c, c \u003d (a - d): b i d \u003d a - b · c. Te równości umożliwiają obliczenie odpowiednio dzielnika, ilorazu częściowego i reszty. Często musimy znaleźć resztę z dzielenia liczby całkowitej a przez liczbę całkowitą b, gdy znana jest dzielnik, dzielnik i iloraz częściowy, używając wzoru d \u003d a - b · c. Aby uniknąć dalszych pytań, spójrzmy na przykład obliczania pozostałej części.

Przykład.

Znajdź resztę z dzielenia liczby całkowitej -19 przez liczbę całkowitą 3, jeśli wiadomo, że niepełny iloraz wynosi -7.

Decyzja.

Aby obliczyć pozostałą część podziału, używamy wzoru w postaci d \u003d a - b · c. Z warunku mamy wszystkie niezbędne dane a \u003d −19, b \u003d 3, c \u003d −7. Otrzymujemy d \u003d a - b c \u003d −19−3 (−7) \u003d −19 - (- 21) \u003d - 19 + 21 \u003d 2 (różnica −19 - (- 21) została obliczona według zasady odejmowania ujemnej liczby całkowitej ).

Odpowiedź:

Dzielenie z resztą dodatnich liczb całkowitych, przykłady

Jak zauważyliśmy niejednokrotnie, dodatnie liczby całkowite są liczbami naturalnymi. Dlatego dzielenie z resztą dodatnich liczb całkowitych jest przeprowadzane zgodnie ze wszystkimi regułami dzielenia z resztą liczb naturalnych. Bardzo ważne jest, aby móc łatwo wykonać dzielenie z resztą liczb naturalnych, ponieważ to właśnie jest podstawą dzielenia nie tylko liczb całkowitych dodatnich, ale także podstawą wszystkich reguł dzielenia z resztą dowolnych liczb całkowitych.

Z naszego punktu widzenia najwygodniej jest wykonać dzielenie długie, ta metoda pozwala uzyskać zarówno niepełny iloraz (lub tylko iloraz), jak i resztę. Rozważmy przykład dzielenia z resztą dodatnich liczb całkowitych.

Przykład.

Podziel 14 671 przez 54 z resztą.

Decyzja.

Podzielmy te dodatnie liczby całkowite przez kolumnę:

Iloraz częściowy okazał się 271, a reszta to 37.

Odpowiedź:

14 671: 54 \u003d 271 (reszta 37).

Reguła dzielenia z resztą dodatniej liczby całkowitej przez ujemną liczbę całkowitą, przykłady

Sformułujmy regułę, która pozwoli wykonać dzielenie z resztą liczby całkowitej dodatniej przez liczbę całkowitą ujemną.

Niepełny iloraz dzielenia dodatniej liczby całkowitej a przez ujemną liczbę całkowitą b jest przeciwieństwem niepełnego ilorazu dzielenia a przez moduł b, a reszta z dzielenia a przez b jest równa pozostałej części dzielenia przez.

Z tej reguły wynika, że \u200b\u200bniepełny iloraz dzielenia liczby całkowitej dodatniej przez liczbę całkowitą ujemną jest liczbą całkowitą niedodatnią.

Zmieńmy podaną regułę w algorytm dzielenia z resztą dodatniej liczby całkowitej przez ujemną liczbę całkowitą:

• Dzielimy moduł podzielnej przez moduł dzielnika, otrzymujemy niepełny iloraz i resztę. (Jeśli reszta jest równa zero, to pierwotne liczby są dzielone bez reszty, a zgodnie z zasadą dzielenia liczb całkowitych o przeciwnych znakach pożądany iloraz jest równy liczbie przeciwnej do ilorazu z dzielenia modułów.)
• Zapisujemy liczbę przeciwną do otrzymanego niepełnego ilorazu, a resztę. Liczby te są odpowiednio pożądanym ilorazem i resztą z dzielenia oryginalnej dodatniej liczby całkowitej przez ujemną liczbę całkowitą.

Podajmy przykład użycia algorytmu do dzielenia dodatniej liczby całkowitej przez ujemną liczbę całkowitą.

Przykład.

Podziel dodatnią liczbę całkowitą 17 przez ujemną liczbę całkowitą −5.

Decyzja.

Użyjmy algorytmu dzielenia z resztą dodatniej liczby całkowitej przez ujemną liczbę całkowitą.

Działowy

Przeciwieństwem 3 jest -3. Zatem pożądany iloraz częściowy dzielenia 17 przez -5 wynosi -3, a reszta to 2.

Odpowiedź:

17: (- 5) \u003d - 3 (reszta 2).

Przykład.

Podzielić 45 do -15.

Decyzja.

Moduły dywidendy i dzielnika wynoszą odpowiednio 45 i 15. Liczba 45 jest podzielna przez 15 bez reszty, podczas gdy iloraz wynosi 3. Dlatego dodatnia liczba całkowita 45 jest podzielna przez ujemną liczbę całkowitą −15 bez reszty, a iloraz jest równy przeciwieństwu 3, czyli -3. Rzeczywiście, zgodnie z zasadą dzielenia liczb całkowitych za pomocą różnych znaków, mamy.

Odpowiedź:

45:(−15)=−3 .

Dzielenie z resztą ujemnej liczby całkowitej przez dodatnią liczbę całkowitą, przykłady

Podajmy sformułowanie reguły dzielenia z resztą liczby całkowitej ujemnej przez liczbę całkowitą dodatnią.

Aby uzyskać niepełny iloraz c z podzielenia ujemnej liczby całkowitej a przez dodatnią liczbę całkowitą b, należy wziąć odwrotność niepełnego ilorazu z dzielenia modułów liczb pierwotnych i odjąć od niej jeden, a następnie obliczyć resztę d za pomocą wzoru d \u003d a - b c.

Z tej zasady dzielenia z resztą wynika, że \u200b\u200bniepełny iloraz dzielenia liczby całkowitej ujemnej przez liczbę całkowitą dodatnią jest liczbą całkowitą ujemną.

Z brzmiącej reguły wynika algorytm dzielenia z resztą ujemnej liczby całkowitej a przez dodatnią liczbę całkowitą b:

• Znajdź moduły dywidendy i dzielnika.
• Dzielimy moduł podzielnej przez moduł dzielnika, otrzymujemy niepełny iloraz i resztę. (Jeśli reszta jest równa zero, wówczas pierwotne liczby całkowite są podzielne bez reszty, a żądany iloraz jest równy liczbie przeciwnej do ilorazu dzielenia modulo).
• Zapisujemy liczbę przeciwną do otrzymanego niepełnego ilorazu i odejmujemy od niej liczbę 1. Obliczona liczba jest wymaganym niepełnym ilorazem c z podzielenia oryginalnej ujemnej liczby całkowitej przez dodatnią liczbę całkowitą.

Przeanalizujmy rozwiązanie przykładu, w którym używamy pisemnego algorytmu dzielenia z resztą.

Przykład.

Znajdź niepełny iloraz i resztę ujemnej liczby całkowitej -17 podzieloną przez dodatnią liczbę całkowitą 5.

Decyzja.

Moduł dywidendy −17 wynosi 17, a moduł dzielnika 5 wynosi 5.

Działowy 17 na 5, otrzymujemy niepełny iloraz 3 i resztę 2.

Przeciwieństwem 3 jest -3. Odejmij jeden od -3: -3-1 \u003d -4. Zatem wymagany niepełny iloraz wynosi −4.

Pozostaje obliczyć pozostałą część. W naszym przykładzie a \u003d −17, b \u003d 5, c \u003d −4, a następnie d \u003d a - b c \u003d −17−5 (−4) \u003d −17 - (- 20) \u003d - 17 + 20 \u003d 3 ...

Zatem częściowy iloraz dzielenia ujemnej liczby całkowitej -17 przez dodatnią liczbę całkowitą 5 wynosi -4, a reszta to 3.

Odpowiedź:

(−17): 5 \u003d −4 (reszta 3).

Przykład.

Podzielić ujemną liczbę całkowitą -1404 przez dodatnią liczbę całkowitą 26.

Decyzja.

Moduł dywidendy wynosi 1 404, moduł dzielnika wynosi 26.

Podzielić 1404 przez 26 za pomocą kolumny:

Ponieważ moduł dywidendy został podzielony przez moduł dzielnika bez reszty, pierwotne liczby całkowite są podzielne bez reszty, a pożądany iloraz jest równy liczbie przeciwnej do 54, czyli -54.

Odpowiedź:

(−1 404):26=−54 .

Reguła dzielenia z resztą ujemnych liczb całkowitych, przykłady

Sformułujmy zasadę dzielenia z resztą ujemnych liczb całkowitych.

Aby uzyskać niepełny iloraz c z podzielenia ujemnej liczby całkowitej a przez liczbę całkowitą ujemną b, należy obliczyć niepełny iloraz z podzielenia modułów liczb pierwotnych i dodać do niego jeden, a następnie obliczyć resztę d za pomocą wzoru d \u003d a - b c.

Z reguły tej wynika, że \u200b\u200bniepełny iloraz dzielenia liczb całkowitych ujemnych jest liczbą całkowitą dodatnią.

Przepiszmy podaną regułę jako algorytm dzielenia ujemnych liczb całkowitych:

• Znajdź moduły dywidendy i dzielnika.
• Dzielimy moduł podzielnej przez moduł dzielnika, otrzymujemy niepełny iloraz i resztę. (Jeśli reszta jest równa zero, wówczas pierwotne liczby całkowite są podzielne bez reszty, a pożądany iloraz jest równy ilorazowi dzielenia modułu dzielnika przez moduł dzielnika).
• Dodajemy jeden do otrzymanego niepełnego ilorazu, ta liczba jest pożądanym niepełnym ilorazem z dzielenia pierwotnych ujemnych liczb całkowitych.
• Resztę obliczamy według wzoru d \u003d a - b · c.

Podczas rozwiązywania przykładu rozważ użycie algorytmu do dzielenia ujemnych liczb całkowitych.

Przykład.

Znajdź iloraz częściowy i resztę z dzielenia ujemnej liczby całkowitej -17 przez ujemną liczbę całkowitą -5.

Decyzja.

Użyjmy odpowiedniego podziału z algorytmem reszty.

Moduł dywidendy wynosi 17, moduł dzielnika wynosi 5.

Podział 17 na 5 daje niepełny iloraz 3 i resztę 2.

Dodaj jeden do niepełnego ilorazu 3: 3 + 1 \u003d 4. Dlatego wymagany niepełny iloraz dzielenia −17 przez −5 wynosi 4.

Pozostaje obliczyć pozostałą część. W tym przykładzie a \u003d −17, b \u003d −5, c \u003d 4, a następnie d \u003d a - b c \u003d −17 - (- 5) 4 \u003d −17 - (- 20) \u003d - 17 + 20 \u003d 3 ...

Zatem niepełny iloraz dzielenia ujemnej liczby całkowitej -17 przez ujemną liczbę całkowitą -5 wynosi 4, a reszta to 3.

Odpowiedź:

(−17): (- 5) \u003d 4 (reszta 3).

Sprawdzanie wyniku dzielenia liczb całkowitych z resztą

Po podzieleniu liczb całkowitych przez resztę warto sprawdzić wynik. Sprawdzenie odbywa się w dwóch etapach. W pierwszym etapie sprawdzane jest, czy reszta d jest liczbą nieujemną, a także sprawdzany jest warunek. Jeśli wszystkie warunki pierwszego etapu weryfikacji są spełnione, można przejść do drugiego etapu weryfikacji, w przeciwnym razie można argumentować, że gdzieś podczas podziału popełniono błąd z resztą. Na drugim etapie sprawdzana jest ważność równości a \u003d b c + d. Jeśli ta równość jest prawdziwa, to podział z resztą został przeprowadzony poprawnie, w przeciwnym razie gdzieś popełniono błąd.

Rozważmy rozwiązania przykładów, w których sprawdzany jest wynik dzielenia liczb całkowitych z resztą.

Przykład.

Dzieląc liczbę −521 przez −12, otrzymałeś niepełny iloraz 44 i resztę 7, sprawdź wynik.

Decyzja. −2 dla b \u003d −3, c \u003d 7, d \u003d 1. Mamy b c + d \u003d −3 7 + 1 \u003d −21 + 1 \u003d −20... Zatem równość a \u003d b c + d jest niepoprawna (w naszym przykładzie a \u003d −19).

Dlatego podział z pozostałą częścią został przeprowadzony nieprawidłowo.