Ułamki zwykłe o różnych mianownikach w nawiasach. Jak dodawać ułamki zwykłe o różnych mianownikach. Specyfika pracy z ułamkami wielopoziomowymi

Instrukcje

Po pierwsze, pamiętaj, że ułamek zwykły to po prostu konwencjonalny zapis dzielenia jednej liczby przez drugą. Dodawanie i mnożenie podczas dzielenia dwóch liczb całkowitych nie zawsze uzyskuje się liczbę całkowitą. Nazwij więc te dwie liczby „podzielnymi”. Dzielona liczba jest licznikiem, a liczba dzielona przez jest mianownikiem.

Aby zapisać ułamek, najpierw wpisz licznik, następnie narysuj poziomą linię pod liczbą i wpisz mianownik pod tą linią. Linię poziomą oddzielającą licznik od mianownika nazywa się linią ułamkową. Czasami jest przedstawiany jako ukośnik „/” lub „∕”. W takim przypadku licznik jest zapisywany po lewej stronie linii, a mianownik po prawej stronie. Na przykład ułamek „dwie trzecie” zostanie zapisany jako 2/3. Dla jasności licznik jest zwykle zapisywany na górze linii, a mianownik na dole, czyli zamiast 2/3 można znaleźć: ⅔.

Jeśli licznik ułamka jest większy od jego mianownika, wówczas ułamek niewłaściwy zapisuje się zwykle jako ułamek mieszany. Aby utworzyć ułamek mieszany z ułamka niewłaściwego, wystarczy podzielić licznik przez mianownik i zapisać wynikowy iloraz. Następnie wstaw pozostałą część dzielenia do licznika ułamka i zapisz ten ułamek po prawej stronie ilorazu (nie dotykaj mianownika). Na przykład 7/3 = 2⅓.

Aby dodać dwa ułamki o tym samym mianowniku, po prostu dodaj ich liczniki (mianowniki zostaw w spokoju). Na przykład 2/7 + 3/7 = (2+3)/7 = 5/7. Odejmij dwa ułamki w ten sam sposób (odejmowane są liczniki). Na przykład 6/7 – 2/7 = (6-2)/7 = 4/7.

Aby dodać dwa ułamki o różnych mianownikach, pomnóż licznik i mianownik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego, a licznik i mianownik drugiego ułamka pomnóż przez mianownik pierwszego. W rezultacie otrzymasz sumę dwóch ułamków o tych samych mianownikach, których dodawanie opisano w poprzednim akapicie.

Na przykład 3/4 + 2/3 = (3*3)/(4*3) + (2*4)/(3*4) = 9/12 + 8/12 = (9+8)/12 = 12/17 = 1 5/12.

Jeżeli mianowniki ułamków mają wspólne czynniki, to znaczy są podzielne przez tę samą liczbę, jako wspólny mianownik wybierz najmniejszą liczbę, która jest podzielna jednocześnie przez pierwszy i drugi mianownik. Na przykład, jeśli pierwszy mianownik wynosi 6, a drugi 8, to jako wspólny mianownik weź nie ich iloczyn (48), ale liczbę 24, która jest podzielna zarówno przez 6, jak i 8. Liczniki ułamków to pomnożone przez iloraz dzielenia wspólnego mianownika przez mianownik każdego ułamka. Przykładowo dla mianownika 6 liczba ta będzie wynosić 4 – (24/6), a dla mianownika 8 – 3 (24/8). Proces ten jest wyraźniej widoczny na konkretnym przykładzie:

5/6 + 3/8 = (5*4)/24 + (3*3)/24 = 20/24 + 9/24 = 29/24 = 1 5/24.

Odejmowanie ułamków o różnych mianownikach odbywa się dokładnie w ten sam sposób.

) i mianownik po mianowniku (otrzymujemy mianownik iloczynu).

Wzór na mnożenie ułamków:

Na przykład:

Zanim zaczniesz mnożyć liczniki i mianowniki, musisz sprawdzić, czy ułamek można skrócić. Jeśli uda Ci się zmniejszyć ułamek, łatwiej będzie Ci przeprowadzić dalsze obliczenia.

Dzielenie ułamka zwykłego przez ułamek.

Dzielenie ułamków zawierających liczby naturalne.

To nie jest tak straszne, jak się wydaje. Podobnie jak w przypadku dodawania, liczbę całkowitą zamieniamy na ułamek mający jedynkę w mianowniku. Na przykład:

Mnożenie ułamków mieszanych.

Zasady mnożenia ułamków zwykłych (mieszane):

• zamień ułamki mieszane na ułamki niewłaściwe;
• mnożenie liczników i mianowników ułamków;
• zmniejsz ułamek;
• Jeśli otrzymasz ułamek niewłaściwy, zamieniamy ułamek niewłaściwy na ułamek mieszany.

Notatka! Aby pomnożyć ułamek mieszany przez inny ułamek mieszany, należy je najpierw przekształcić do postaci ułamków niewłaściwych, a następnie pomnożyć zgodnie z zasadą mnożenia ułamków zwykłych.

Drugi sposób pomnożenia ułamka przez liczbę naturalną.

Bardziej wygodne może być użycie drugiej metody mnożenia ułamka zwykłego przez liczbę.

Notatka! Aby pomnożyć ułamek przez liczbę naturalną, należy podzielić mianownik ułamka przez tę liczbę, a licznik pozostawić bez zmian.

Z powyższego przykładu jasno wynika, że ​​​​ta opcja jest wygodniejsza w użyciu, gdy mianownik ułamka jest dzielony bez reszty przez liczbę naturalną.

Ułamki wielopiętrowe.

W szkole średniej często spotyka się frakcje trzypiętrowe (lub więcej). Przykład:

Aby doprowadzić taki ułamek do jego zwykłej postaci, użyj dzielenia przez 2 punkty:

Notatka! Przy dzieleniu ułamków bardzo ważna jest kolejność dzielenia. Uważaj, łatwo się tu pomylić.

Notatka, Na przykład:

Dzieląc jeden przez dowolny ułamek, wynikiem będzie ten sam ułamek, tylko odwrócony:

Praktyczne wskazówki dotyczące mnożenia i dzielenia ułamków zwykłych:

1. Najważniejszą rzeczą podczas pracy z wyrażeniami ułamkowymi jest dokładność i uważność. Wszystkie obliczenia wykonuj ostrożnie i dokładnie, w skupieniu i wyraźnie. Lepiej dopisać kilka dodatkowych linijek w wersji roboczej, niż zatracać się w myślowych kalkulacjach.

2. W zadaniach z różnymi rodzajami ułamków przejdź do typu ułamków zwykłych.

3. Redukujemy wszystkie ułamki tak długo, aż nie da się już redukować.

4. Wielopoziomowe wyrażenia ułamkowe przekształcamy na zwykłe, dzieląc przez 2 punkty.

5. Podziel w głowie jednostkę przez ułamek, po prostu odwracając ułamek.

Ułamki zwykłe to zwykłe liczby, które można także dodawać i odejmować. Ponieważ jednak mają mianownik, wymagają bardziej złożonych reguł niż w przypadku liczb całkowitych.

Rozważmy najprostszy przypadek, gdy istnieją dwa ułamki o tych samych mianownikach. Następnie:

Aby dodać ułamki o tych samych mianownikach, należy dodać ich liczniki i pozostawić mianownik bez zmian.

Aby odjąć ułamki o tych samych mianownikach, należy odjąć licznik drugiego ułamka od licznika pierwszego ułamka i ponownie pozostawić mianownik bez zmian.

W każdym wyrażeniu mianowniki ułamków są równe. Z definicji dodawania i odejmowania ułamków otrzymujemy:

Jak widać, nie jest to nic skomplikowanego: po prostu dodajemy lub odejmujemy liczniki i gotowe.

Ale nawet w tak prostych działaniach ludziom udaje się popełniać błędy. Najczęściej zapomina się, że mianownik się nie zmienia. Na przykład, dodając je, zaczynają się one również sumować, co jest zasadniczo błędne.

Pozbycie się złego nawyku dodawania mianowników jest dość proste. Spróbuj tego samego podczas odejmowania. W efekcie mianownik wyniesie zero, a ułamek (nagle!) straci swoje znaczenie.

Dlatego pamiętajcie raz na zawsze: podczas dodawania i odejmowania mianownik się nie zmienia!

Wiele osób popełnia również błędy przy dodawaniu kilku ułamków ujemnych. Istnieje zamieszanie ze znakami: gdzie umieścić minus i gdzie umieścić plus.

Ten problem jest również bardzo łatwy do rozwiązania. Wystarczy pamiętać, że minus przed znakiem ułamka zawsze można przenieść na licznik - i odwrotnie. I oczywiście nie zapomnij o dwóch prostych zasadach:

1. Plus przez minus daje minus;
2. Dwa minusy dają odpowiedź twierdzącą.

Spójrzmy na to wszystko na konkretnych przykładach:

Zadanie. Znajdź znaczenie wyrażenia:

W pierwszym przypadku wszystko jest proste, ale w drugim dodajmy minusy do liczników ułamków:

Co zrobić, jeśli mianowniki są różne

Nie można bezpośrednio dodawać ułamków o różnych mianownikach. Przynajmniej mi ta metoda nie jest znana. Jednak oryginalne ułamki zawsze można przepisać tak, aby mianowniki stały się takie same.

Istnieje wiele sposobów konwertowania ułamków zwykłych. Trzy z nich omówiono na lekcji „Sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika”, więc nie będziemy się nad nimi tutaj rozwodzić. Spójrzmy na kilka przykładów:

Zadanie. Znajdź znaczenie wyrażenia:

W pierwszym przypadku ułamki sprowadzamy do wspólnego mianownika metodą „na krzyż”. W drugim będziemy szukać NOC. Zauważ, że 6 = 2 · 3; 9 = 3 · 3. Ostatnie czynniki w tych rozwinięciach są równe, a pierwsze są względnie pierwsze. Zatem LCM(6, 9) = 2 3 3 = 18.

Co zrobić, jeśli ułamek ma część całkowitą

Mogę cię zadowolić: różne mianowniki ułamków nie są największym złem. Znacznie więcej błędów pojawia się, gdy w dodanych ułamkach zaznaczona jest cała część.

Oczywiście istnieją własne algorytmy dodawania i odejmowania takich ułamków, ale są one dość złożone i wymagają długich badań. Lepiej skorzystaj z prostego schematu poniżej:

1. Zamień wszystkie ułamki zwykłe zawierające część całkowitą na niewłaściwe. Otrzymujemy wyrazy normalne (nawet o różnych mianownikach), które obliczamy według zasad omówionych powyżej;
2. Właściwie oblicz sumę lub różnicę powstałych ułamków. W rezultacie praktycznie znajdziemy odpowiedź;
3. Jeśli to wszystko, co było wymagane w zadaniu, wykonujemy transformację odwrotną, tj. Ułamek niewłaściwy pozbywamy się podświetlając całą część.

Zasady przechodzenia do ułamków niewłaściwych i wyróżniania całej części opisano szczegółowo w lekcji „Co to jest ułamek liczbowy”. Jeśli nie pamiętasz, koniecznie powtórz. Przykłady:

Zadanie. Znajdź znaczenie wyrażenia:

Tutaj wszystko jest proste. Mianowniki w każdym wyrażeniu są równe, więc pozostaje tylko zamienić wszystkie ułamki zwykłe na niewłaściwe i policzyć. Mamy:

Aby uprościć obliczenia, w ostatnich przykładach pominąłem kilka oczywistych kroków.

Mała uwaga odnośnie dwóch ostatnich przykładów, gdzie odejmowane są ułamki z zaznaczoną częścią całkowitą. Minus przed drugim ułamkiem oznacza, że ​​odejmowany jest cały ułamek, a nie tylko jego część.

Przeczytaj jeszcze raz to zdanie, spójrz na przykłady i pomyśl o tym. Tutaj początkujący popełniają ogromną liczbę błędów. Uwielbiają dawać takie problemy na testach. Spotkasz je także kilka razy w testach do tej lekcji, które zostaną wkrótce opublikowane.

Podsumowanie: ogólny schemat obliczeń

Podsumowując, podam ogólny algorytm, który pomoże ci znaleźć sumę lub różnicę dwóch lub więcej ułamków:

1. Jeśli jeden lub więcej ułamków ma część całkowitą, zamień te ułamki na niewłaściwe;
2. Doprowadź wszystkie ułamki do wspólnego mianownika w dowolny dogodny dla ciebie sposób (chyba że oczywiście zrobili to autorzy problemów);
3. Dodaj lub odejmij powstałe liczby zgodnie z zasadami dodawania i odejmowania ułamków o podobnych mianownikach;
4. Jeśli to możliwe, skróć wynik. Jeśli ułamek jest nieprawidłowy, wybierz całą część.

Pamiętaj, że lepiej zaznaczyć całą część na samym końcu zadania, bezpośrednio przed zapisaniem odpowiedzi.

Chodźmy do bitwy z zadaniami domowymi z matematyki! Wrogiem są niesforne frakcje. Program dla klasy 5. Strategicznie ważnym zadaniem jest wyjaśnienie dziecku ułamków zwykłych. Zamieńmy się rolami z nauczycielem i postarajmy się zrobić to niewielkim wysiłkiem, bez nerwów i w przystępnej formie. O wiele łatwiej jest wyszkolić jednego żołnierza niż kompanię...

ria.ru

Jak wytłumaczyć dziecku ułamki zwykłe

Nie czekaj, aż Twoje dziecko będzie w piątej klasie i natknie się na ułamki zwykłe na kartach podręcznika do matematyki. Odpowiedzi na pytanie „Jak wytłumaczyć dziecku ułamki zwykłe” polecamy szukać w kuchni! I zrób to teraz! Nawet jeśli Twoje dziecko ma zaledwie 4-5 lat, jest w stanie zrozumieć znaczenie pojęcia „ułamków”, a nawet nauczyć się najprostszych operacji na ułamkach zwykłych.

Podzieliliśmy się pomarańczą.
Jest nas wielu, ale on jest sam
Ten kawałek jest dla jeża, ten kawałek jest dla czyżyka...
A dla wilka - skórka.

Pamiętasz wiersz? Oto najbardziej przejrzysty przykład i najskuteczniejszy przewodnik po działaniu! Ułamki najłatwiej wytłumaczyć dziecku na przykładzie jedzenia: krojenie jabłka na połówki i ćwiartki, dzielenie pizzy między członków rodziny, krojenie bochenka chleba przed obiadem itp. Najważniejsze, zanim zjesz „pomoc wizualną”, nie zapomnij wyrazić, którą część całości „niszczysz”.

• Wprowadź pojęcie „udostępnij”.

Podkreśl, że CAŁOŚĆ pomarańczy (jabłko, czekolada, arbuz itp.) to 1 (oznaczona cyfrą 1).

• Wprowadź pojęcie „ułamka”.

Dzielimy tabliczkę pomarańczy lub tabliczkę czekolady, można też powiedzieć „podzielić” na kilka części.

Pokaż dziecku znajomy przedmiot – linijkę. Wyjaśnij, że między liczbami znajdują się wartości pośrednie - części.

i.ytimg.com

• Wyjaśnij, jak zapisywać ułamki zwykłe: co oznacza licznik i na co wskazuje mianownik.

Znaczenie pojęcia „ułamki” i poprawną notację można łatwo pokazać na przykładzie konstruktora. W liczniku POWYŻEJ wiersza piszemy, jaka część, a w mianowniku POD wierszem piszemy, na ile takich części została podzielona całość.

gladtolearn.ru

spacemath.xyz

Pamiętaj, aby użyć jasnego przykładu, aby pokazać różnicę między ułamkami o tym samym liczniku, ale różnych mianownikach.

gladtolearn.ru

Na przykładzie 4 kwadratów tej samej wielkości pokaż, jak podzielić je na tę samą/różną liczbę części. Pozwól dziecku wyciąć nożyczkami puste miejsca, a następnie zapisać wyniki za pomocą ułamków zwykłych.

gladtolearn.ru

• Wyjaśnij, jak zapisać całość jako ułamek.

Przypomnij sobie kwadrat i sposób, w jaki podzieliliśmy go na 4 części. Kwadrat jest całością, możemy go zapisać jako 1. Ale jak zapisać go jako ułamek zwykły: co jest w liczniku, co w mianowniku? Jeśli podzielimy kwadrat na 4 części, wówczas cały kwadrat będzie wynosił 4/4. Jeśli podzielimy kwadrat na 8 części, wówczas cały kwadrat będzie wynosił 8/8. Ale to wciąż kwadrat, tj. 1. Zarówno 4/4, jak i 8/8 to jedność, całość!

Jak wyjaśnić dziecku ułamki zwykłe: zadawanie WŁAŚCIWYCH pytań

Aby uczeń klasy V zrozumiał temat „Ułamki” i nauczył się wykonywać obliczenia na ułamkach, spójrzmy na metodologię. Dla nas, rodziców, ważne jest, aby zrozumieć, w jaki sposób nauczyciel wyjaśnia dzieciom w szkole ułamki zwykłe, w przeciwnym razie możemy całkowicie zdezorientować naszego „żołnierza”.

Ułamek to liczba będąca częścią całości. Zawsze jest to mniej niż jeden.

Przykład 1. Jabłko to całość, a połówka to połowa. Czy nie jest mniejszy niż całe jabłko? Podziel połówki ponownie na pół. Każdy plasterek stanowi jedną czwartą całego jabłka i jest mniejszy niż połowa.

Ułamek to liczba części całości.

Przykład 2. Przykładowo do sklepu odzieżowego dostarczono nowy produkt: 30 koszul. Sprzedawcom udało się rozłożyć i powiesić jedynie jedną trzecią wszystkich koszul z nowej kolekcji. Ile koszulek powiesili?
Dziecko może łatwo werbalnie obliczyć, że jedna trzecia (jedna trzecia) to 10 koszulek, tj. 10 sztuk zostało powieszonych i wywiezionych na salę sprzedażową, a kolejnych 20 pozostało w magazynie.

WNIOSEK: Ułamkami można zmierzyć wszystko, nie tylko kawałki pizzy, ale także litry w beczkach, liczbę dzikich zwierząt w lesie, okolicy itp.

Podaj różnorodne przykłady z życia, aby dziecko w piątej klasie zrozumiało ISTOTĘ ułamków: pomoże to w przyszłości w rozwiązywaniu problemów i wykonywaniu obliczeń na ułamkach regularnych i niewłaściwych, a nauka w piątej klasie nie będzie ciężarem, ale radość.

Jak możesz się upewnić, że Twoje dziecko rozumie, jakie liczby w liczniku i mianowniku reprezentują podczas zapisywania ułamków zwykłych?

Przykład 3. Zapytaj, co oznacza 5 w ułamku 4/5?

- Na tyle części go podzielili.
- Co oznacza 4?
- Tyle zabrali.

Porównywanie ułamków jest chyba najtrudniejszym tematem.

Przykład 4. Poproś dziecko, aby powiedziało, który ułamek jest większy: 3/10 czy 3/20? Wydaje się, że skoro 10 to mniej niż 20, to odpowiedź jest oczywista, ale tak nie jest! Pamiętajcie o kwadratach, które pocięliśmy na kawałki. Jeśli potniemy dwa kwadraty tej samej wielkości – jeden na 10, drugi na 20 – czy odpowiedź jest oczywista? Który ułamek jest zatem większy?

Operacje na ułamkach

Jeśli widzisz, że dziecko dobrze zrozumiało znaczenie pisania w postaci ułamka zwykłego, możesz przejść do prostych operacji arytmetycznych na ułamkach zwykłych. Na przykładzie konstruktora można to zrobić bardzo wyraźnie.

Przykład 5.

edinstvennaya.ua

Przykład 6. Lotto matematyczne na temat „Ułamki”.

www.kakprosto.ru

Drodzy czytelnicy, jeśli znacie inne skuteczne metody wyjaśniania dziecku ułamków, podzielcie się nimi w komentarzach. Chętnie uzupełnimy naszą kolekcję przydatnych porad szkolnych.

Frakcja- forma reprezentacji liczby w matematyce. Kreska ułamkowa oznacza operację dzielenia. Licznik ułamka ułamek nazywany jest dywidendą, oraz mianownik- rozdzielacz. Na przykład w ułamku licznik wynosi 5, a mianownik wynosi 7.

Prawidłowy Nazywa się ułamek, w którym moduł licznika jest większy niż moduł mianownika. Jeśli ułamek jest właściwy, to moduł jego wartości jest zawsze mniejszy niż 1. Wszystkie pozostałe ułamki są zło.

Ułamek nazywa się mieszany, jeśli jest zapisana jako liczba całkowita i ułamek. Jest to to samo, co suma tej liczby i ułamka:

Główna właściwość ułamka

Jeśli licznik i mianownik ułamka zostaną pomnożone przez tę samą liczbę, wówczas wartość ułamka nie ulegnie zmianie, czyli np.

Sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika

Aby sprowadzić dwa ułamki do wspólnego mianownika, potrzebujesz:

1. Pomnóż licznik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego ułamka
2. Pomnóż licznik drugiego ułamka przez mianownik pierwszego
3. Zamień mianowniki obu ułamków na ich iloczyn

Operacje na ułamkach

Dodatek. Aby dodać dwie frakcje, których potrzebujesz

1. Dodaj nowe liczniki obu ułamków, a mianownik pozostaw bez zmian

Przykład:

Odejmowanie. Aby odjąć jedną ułamek od drugiej, potrzebujesz

1. Sprowadź ułamki do wspólnego mianownika
2. Od licznika pierwszego ułamka odejmij licznik drugiego ułamka, a mianownik pozostaw bez zmian

Przykład:

Mnożenie. Aby pomnożyć ułamek przez drugi, należy pomnożyć jego liczniki i mianowniki.