O pereche de linii imaginare care se intersectează. Care este forma canonică a unei ecuații? Elipsa și ecuația ei canonică
8.3.15.
Punctul A se află pe o linie. Distanța de la punctul A la plan 
8.3.16. Scrieți o ecuație pentru o dreaptă simetrică față de o dreaptă
raportat la avion 
.
8.3.17.
Compuneți ecuațiile proiecțiilor pe un plan 
următoarele rânduri:
A) 
;
b) 
în) 
.
8.3.18. Aflați unghiul dintre plan și linie:
A) 
;
b) 
.
8.3.19.
Găsiți un punct punct simetric 
în raport cu planul care trece prin linii:
și 
8.3.20. Punctul A se află pe o linie
Distanța de la punctul A la o linie dreaptă 
egal cu . Aflați coordonatele punctului A.
§ 8.4. CURBELE DE ORDINUL A DOILEA
Să stabilim un sistem de coordonate dreptunghiular pe plan și să considerăm ecuația generală de gradul doi
în care 
.
Se numește mulțimea tuturor punctelor din plan ale căror coordonate satisfac ecuația (8.4.1). strâmb (linia) a doua comanda.
Pentru orice curbă de ordinul doi, există un sistem de coordonate dreptunghiular, numit canonic, în care ecuația acestei curbe are una dintre următoarele forme:
1)
(elipsă);
2)
(elipsă imaginară);
3)
(o pereche de linii imaginare care se intersectează);
4)
(hiperbolă);
5)
(o pereche de linii care se intersectează);
6)
(parabolă);
7)
(pereche de linii paralele);
8)
(o pereche de linii paralele imaginare);
9) (o pereche de linii care coincid).
Se numesc ecuațiile 1) - 9). ecuații canonice ale curbelor de ordinul doi.
Rezolvarea problemei reducerii ecuației unei curbe de ordinul doi la formă canonică include găsirea ecuație canonică curba si sistemul de coordonate canonic. Reducerea la forma canonică vă permite să calculați parametrii curbei și să determinați locația acesteia în raport cu sistemul de coordonate original. Tranziție de la original sistem dreptunghiular coordonate 
la canonic 
se realizează prin rotirea axelor sistemului de coordonate inițial în jurul punctului O cu un anumit unghi j și transferul paralel în paralel al sistemului de coordonate.
Invarianți de curbă de ordinul doi(8.4.1) se numesc astfel de funcții ale coeficienților ecuației sale, ale căror valori nu se modifică la trecerea de la un sistem de coordonate dreptunghiular la altul din același sistem.
Pentru o curbă de ordinul doi (8.4.1), suma coeficienților la coordonatele pătrate
,
determinant compus din coeficienţii termenilor conducători
și determinant de ordinul trei
sunt invariante.
Valoarea invarianților s, d, D poate fi utilizată pentru a determina tipul și a compune ecuația canonică a curbei de ordinul doi.
Tabelul 8.1.
Clasificarea curbelor de ordinul doi pe baza invarianților
|
Curba eliptică |
SD<0. Эллипс |
|
|
SD>0. elipsă imaginară |
||
|
Pereche de linii imaginare care se intersectează într-un punct real |
||
|
Curba de tip hiperbolic |
Hiperbolă |
|
|
O pereche de linii care se intersectează |
||
|
Curba parabolica |
Parabolă |
|
|
Pereche de linii paralele (diferite, imaginare sau coincidente) |
Să aruncăm o privire mai atentă asupra elipsei, hiperbolei și parabolei.
Elipsă(Fig. 8.1) este locul punctelor din plan pentru care suma distanțelor până la două puncte fixe 
acest avion, numit trucuri de elipsă, este o valoare constantă (mai mare decât distanța dintre focare). Acest lucru nu exclude coincidența focarelor elipsei. Dacă focarele sunt aceleași, atunci elipsa este un cerc.
Jumătatea distanțelor de la punctul elipsei la focarele sale se notează cu a, jumătate din distanța dintre focare - c. Dacă un sistem de coordonate dreptunghiular pe plan este ales astfel încât focarele elipsei să fie situate pe axa Ox simetric față de origine, atunci în acest sistem de coordonate elipsa este dată de ecuație
,
(8.4.2)
numit ecuația canonică a elipsei, Unde 
.
 |
Orez. 8.1
Cu alegerea specificată a unui sistem de coordonate dreptunghiular, elipsa este simetrică față de axele de coordonate și de origine. Axele de simetrie ale unei elipse o numesc topoare, iar centrul de simetrie este centrul elipsei. În același timp, numerele 2a și 2b sunt adesea numite axele elipsei, iar numerele a și b sunt numite mareși semi-axă minoră respectiv.
Se numesc punctele de intersecție ale unei elipse cu axele sale vârfurile elipsei. Vârfurile elipsei au coordonatele (a,0), (–a,0), (0,b), (0,–b).
Excentricitatea elipsei numit un număr
De la 0£c Aceasta arată că excentricitatea caracterizează forma elipsei: cu cât e este mai aproape de zero, cu atât elipsa arată mai mult ca un cerc; pe măsură ce e crește, elipsa devine mai alungită. Vom arăta acum că clasificarea afină a curbelor de ordinul doi este dată de numele curbelor în sine, adică, că clasele afine ale curbelor de ordinul doi sunt clasele: elipse reale; elipse imaginare; hiperbolă; perechi de linii reale care se intersectează; perechi de imaginare (conjugate) care se intersectează; perechi de drepte reale paralele; perechi de linii conjugate imaginare paralele; perechi de linii reale coincidente. Trebuie să demonstrăm două afirmații: A. Toate curbele cu același nume (adică toate elipsele, toate hiperbolele etc.) sunt echivalente afin de una cu cealaltă. B. Două curbe cu nume diferite nu sunt niciodată echivalente afine. Demonstrăm afirmația A. În capitolul XV, § 3, s-a demonstrat deja că toate elipsele sunt echivalente în mod afin cu una dintre ele, și anume, cercurile și toate hiperbolele sunt hiperbole.De aceea, toate elipsele, respectiv, toate hiperbolele, sunt echivalente afin cu reciproc. Toate elipsele imaginare, fiind afin echivalente cu un cerc - - 1 de rază, sunt, de asemenea, afin echivalente între ele. Să demonstrăm echivalența afină a tuturor parabolelor. Vom demonstra și mai mult, și anume că toate parabolele sunt asemănătoare între ele. Este suficient să demonstrăm că parabola dată într-un sistem de coordonate prin ecuația sa canonică ca o parabolă Pentru a face acest lucru, supunem planul unei transformări de similaritate cu un coeficient - : Apoi, astfel încât sub transformarea noastră curba intră într-o curbă adică într-o parabolă Q.E.D. Să trecem la curbele în descompunere. În § formulele (9) și (11), pp. 401 și 402) s-a dovedit că o curbă care se descompune într-o pereche de drepte care se intersectează într-un sistem de coordonate (chiar dreptunghiular) are ecuația Efectuarea unei transformări suplimentare de coordonate vedem că orice curbă care se descompune într-o pereche de linii drepte reale, respectiv imaginare conjugate care se intersectează, are într-un sistem de coordonate afine ecuația În ceea ce privește curbele care se împart într-o pereche de linii paralele, fiecare dintre ele poate fi (chiar și într-un sistem de coordonate dreptunghiular) dată de ecuație pe bune, respectiv pentru imaginar, direct. Transformarea coordonatelor ne permite să punem în aceste ecuații (sau pentru linii coincidente), ceea ce implică echivalența afină a tuturor curbelor de ordinul doi care se descompun și care au același nume. Ne întoarcem la dovada afirmației B. În primul rând, observăm că la o transformare afină a unui plan, ordinea unei curbe algebrice rămâne neschimbată. Mai mult: orice curbă în descompunere de ordinul doi este o pereche de linii, iar sub o transformare afină, o linie trece într-o linie, o pereche de linii care se intersectează trece într-o pereche de linii care se intersectează și o pereche de linii paralele într-o pereche. a celor paralele; în plus, liniile reale devin reale, iar liniile imaginare devin imaginare. Aceasta rezultă din faptul că toți coeficienții din formulele (3) (Capitolul XI, § 3) care definesc o transformare afină sunt numere reale. Din ceea ce s-a spus, rezultă că o linie care este echivalentă în mod afin cu o curbă de ordinul doi în descompunere dată este o curbă în descompunere cu același nume. Trecem la curbe nedescompuse. Din nou, cu o transformare afină, o curbă reală nu poate intra într-una imaginară și invers. Prin urmare, clasa elipselor imaginare este invariantă afină. Luați în considerare clase de curbe reale nedescompuse: elipse, hiperbole, parabole. Dintre toate curbele de ordinul doi, fiecare elipsă, și numai o elipsă, se află într-un dreptunghi, în timp ce parabolele și hiperbolele (precum toate curbele în descompunere) se extind până la infinit. Sub o transformare afină, dreptunghiul ABCD care conține elipsa dată va intra într-un paralelogram care conține curba transformată, care, prin urmare, nu poate merge la infinit și, prin urmare, este o elipsă. Astfel, o curbă echivalentă afine cu o elipsă este în mod necesar o elipsă. Din ceea ce s-a dovedit rezultă că o curbă care este echivalentă afin cu o hiperbolă sau cu o parabolă nu poate fi o elipsă (și, după cum știm, nici nu poate fi o curbă în descompunere. Prin urmare, rămâne doar să demonstrăm că sub o afină). transformarea planului, o hiperbolă nu poate trece într-o parabolă și, dimpotrivă, aceasta decurge probabil cel mai simplu din faptul că o parabolă nu are centru de simetrie, în timp ce o hiperbolă are. Dar, deoarece absența unui centru de simetrie pentru o parabolă va fi demonstrată doar în capitolul următor, vom oferi acum o a doua demonstrație, de asemenea, foarte simplă, neechivalența afină a hiperbolei și parabolei. Lema. Dacă o parabolă are puncte comune cu fiecare dintre cele două semiplane definite în planul unei drepte date d, atunci are cel puțin un punct comun cu dreapta. Într-adevăr, am văzut că există un sistem de coordonate în care parabola dată are ecuația Fie, relativ la acest sistem de coordonate, dreapta d are ecuația Prin presupunere, există două puncte pe parabolă, dintre care unul, presupunem, se află în pozitiv și celălalt se află în semiplanul negativ în raport cu ecuația (1). Prin urmare, amintindu-ne că putem scrie Pentru a ilustra acest lucru cu un exemplu concret, vă voi arăta ce corespunde în această interpretare următoarei afirmații: punctul (real sau imaginar) P se află pe dreapta (reala sau imaginară) g. În acest caz, desigur, este necesar să se facă distincția între următoarele cazuri: 1) punct real și linie reală, 2) punct real și linie imaginară, Cazul 1) nu necesită nicio explicație specială din partea noastră; aici avem una dintre relațiile de bază ale geometriei obișnuite. În cazul 2), împreună cu linia imaginară dată, complexul de linii conjugat la aceasta trebuie să treacă în mod necesar prin punctul real dat; în consecință, acest punct trebuie să coincidă cu vârful mănunchiului de raze pe care îl folosim pentru a reprezenta linia imaginară. În mod similar, în cazul 3) linia reală trebuie să fie identică cu suportul acelei involuții rectilinie a punctelor care servește ca reprezentant al punctului imaginar dat. Cel mai interesant caz este 4) (Fig. 96): aici, evident, punctul conjugat complex trebuie să se afle și pe dreapta conjugată complexă, și de aici rezultă că fiecare pereche de puncte de involuție a punctelor reprezentând punctul P trebuie să se afle. pe o pereche de linii ale involuției de linii reprezentând linia dreaptă g, adică că ambele aceste involuții trebuie să fie situate în perspectivă una față de alta; mai mult, rezultă că săgețile ambelor involuții sunt și ele plasate în perspectivă. În general, în geometria analitică a planului, care acordă atenție și domeniului complex, obținem o imagine reală completă a acestui plan dacă adăugăm ca elemente noi la mulțimea tuturor punctelor și liniilor sale reale mulțimea involuției. figurile considerate mai sus, împreună cu săgețile direcțiilor lor. Va fi suficient aici dacă aș schița în general ce formă ar lua construcția unei imagini atât de reale a geometriei complexe. Procedând astfel, voi urma ordinea în care sunt prezentate acum de obicei primele propoziții ale geometriei elementare. 1) Ele încep cu axiomele existenței, al căror scop este de a da o formulare exactă a prezenței elementelor tocmai menționate într-o zonă extinsă în comparație cu geometria obișnuită. 2) Apoi axiomele de conexiune, care afirmă că și în zona extinsă definită la punctul 1)! una și o singură linie trece prin (fiecare) două puncte și că (orice) două drepte au unul și un singur punct în comun. În același timp, așa cum am făcut mai sus, trebuie să distingem de fiecare dată patru cazuri în funcție de faptul dacă elementele date sunt reale și pare foarte interesant să ne gândim exact care construcții reale cu involuții de puncte și linii servesc ca imagine. a acestor relaţii complexe. 3) În ceea ce privește axiomele de aranjare (ordine), aici, în comparație cu relațiile actuale, intră în joc circumstanțe cu totul noi; în special, toate punctele reale și complexe situate pe o linie fixă, precum și toate razele care trec printr-un punct fix, formează un continuum bidimensional. La urma urmei, fiecare dintre noi a învățat din studiul teoriei funcțiilor obiceiul de a reprezenta totalitatea valorilor unei variabile complexe prin toate punctele planului. 4) În cele din urmă, în ceea ce privește axiomele de continuitate, voi indica aici doar cum să reprezinte puncte complexe situate cât de aproape doriți de un punct real. Pentru a face acest lucru, prin punctul real luat P (sau printr-un alt punct real apropiat de acesta), trebuie să trasați o linie dreaptă și să luați în considerare astfel de două perechi de puncte care se separă unul de celălalt (adică, situate într-un "mod încrucișat". ") perechi de puncte (Fig. . 97) astfel încât două puncte luate din perechi diferite să se afle aproape una de alta și de punctul P; dacă acum aducem punctele împreună la nesfârșit, atunci involuția definită de perechile de puncte numite degenerează, adică ambele puncte duble până acum complexe coincid cu punctul.Fiecare dintre cele două puncte imaginare reprezentate de această involuție (împreună cu unul sau cealaltă săgeată) trece, deci continuă până la un punct apropiat de P, sau chiar direct de P. Bineînțeles, pentru a putea folosi aceste noțiuni de continuitate la bun folos, trebuie lucrat cu ele în detaliu. Deși toată această construcție este destul de greoaie și plictisitoare în comparație cu geometria reală obișnuită, poate oferi incomparabil mai mult. În special, este capabil să ridice la nivelul de claritate geometrică completă imagini algebrice, înțelese ca mulțimi de elemente reale și complexe ale acestora, și cu ajutorul ei se poate înțelege în mod clar pentru sine pe figurile înseși astfel de teoreme precum teorema fundamentală a algebrei. sau teorema lui Bezout că două ordine de curbe au, în general, puncte exact comune. În acest scop, ar fi necesar, desigur, să se înțeleagă prevederile de bază într-o formă mult mai precisă și mai ilustrativă decât s-a făcut până acum; cu toate acestea, literatura conține deja tot materialul esențial pentru astfel de investigații. Dar, în cele mai multe cazuri, aplicarea acestei interpretări geometrice, cu toate avantajele ei teoretice, ar duce totuși la astfel de complicații încât trebuie să ne mulțumim cu posibilitatea ei fundamentală și să revenim efectiv la un punct de vedere mai naiv, care este următorul: un punct complex este o colecție de trei coordonate complexe și cu el poate fi operat exact în același mod ca și cu punctele reale. Într-adevăr, o asemenea introducere de elemente imaginare, abținându-se de la orice raționament fundamental, s-a dovedit întotdeauna fructuoasă în cazurile în care avem de a face cu puncte ciclice imaginare sau cu cercul de sfere. După cum am menționat deja, Poncelet a început să folosească pentru prima dată elemente imaginare în acest sens; adepții săi în acest sens au fost alți geometri francezi, în principal Chall și Darboux; în Germania, o serie de geometri, în special Lie, au aplicat și ei această înțelegere a elementelor imaginare cu mare succes. Cu această digresiune în domeniul imaginarului, închei întreaga a doua secțiune a cursului meu și mă întorc la un nou capitol, Linii de ordinul doi drepte plane ale căror coordonate dreptunghiulare carteziene satisfac o ecuație algebrică de gradul 2 a 11 x 2 + a 12 xy + a 22 y 2 + 2a 13 x + 2a 23 y + a 11 = 0. (*) Ecuația (*) poate să nu determine imaginea geometrică reală, dar de dragul generalității în astfel de cazuri se spune că determină reprezentarea liniară imaginară. n. În funcție de valorile coeficienților ecuației generale (*), aceasta poate fi transformată prin translația paralelă a originii și rotația sistemului de coordonate cu un anumit unghi la una dintre cele 9 forme canonice de mai jos, fiecare dintre ele corespunde unei anumite clase de linii. Exact, linii indestructibile: y 2 = 2px - parabole, linii de rupere: x 2 - a 2 \u003d 0 - perechi de linii paralele, x 2 + a 2 \u003d 0 - perechi de linii paralele imaginare, x 2 = 0 - perechi de drepte paralele coincidente. Cercetarea unei priviri L. in. poate fi efectuată fără a reduce ecuația generală la formă canonică. Acest lucru se realizează prin luarea în considerare în comun a valorilor așa-numitelor. invarianții de bază ale L.v. n. - expresii compuse din coeficienții ecuației (*), ale căror valori nu se modifică cu translația și rotația paralelă a sistemului de coordonate: S \u003d a 11 + a 22,(a ij = a ji).
Deci, de exemplu, elipsele, ca linii care nu se descompun, sunt caracterizate prin faptul că pentru ele Δ ≠ 0; valoarea pozitivă a invariantului δ deosebește elipsele de alte tipuri de linii nedegradabile (pentru hiperbolele δ Cei trei invarianți principali Δ, δ și S determină LV. (cu excepția cazului dreptelor paralele) până la mișcare (vezi Mișcarea) a planului euclidian: dacă invarianții corespunzători Δ, δ și S a două drepte sunt egale, atunci astfel de drepte pot fi suprapuse prin mișcare. Cu alte cuvinte, aceste drepte sunt echivalente în raport cu grupul de mișcări ale planului (echivalent metric). Există clasificări ale lui L. din punctul de vedere al altor grupuri de transformări. Astfel, relativ mai general decât grupul de mișcări - grupul de transformări afine (vezi Transformări afine) - oricare două linii definite prin ecuații de aceeași formă canonică sunt echivalente. De exemplu, două L. asemănătoare în. n. (vezi asemănarea)
sunt considerate echivalente. Legături între diferite clase afine de c.v liniară. ne permite să stabilim o clasificare din punct de vedere al geometriei proiective (vezi geometria proiectivă), în care elementele la infinit nu joacă un rol deosebit. Real nedezintegrant L. in. etc.: elipsele, hiperbolele și parabolele formează o clasă proiectivă - clasa liniilor ovale reale (ovale). Linia ovală reală este o elipsă, hiperbolă sau parabolă, în funcție de modul în care este situată față de linia de la infinit: elipsa intersectează linia improprie în două puncte imaginare, hiperbola în două puncte reale diferite, parabola atinge linia improprie. ; există transformări proiective care iau aceste linii una în alta. Există doar 5 clase de echivalență proiectivă de L.v. n. Mai exact, linii nedegenerate (x 1 , x 2 , x 3- coordonate omogene): x 1 2 + x 2 2 - x 3 2= 0 - oval real, x 1 2 + x 2 2 + x 3 2= 0 - oval imaginar, linii degenerate: x 1 2 - x 2 2= 0 - pereche de linii reale, x 1 2 + x 2 2= 0 - o pereche de linii imaginare, x 1 2= 0 - o pereche de linii reale care coincid. A. B. Ivanov. Marea Enciclopedie Sovietică. - M.: Enciclopedia Sovietică.
1969-1978
.
Liniile plane ale căror coordonate dreptunghiulare satisfac o ecuație algebrică de gradul 2. Printre liniile de ordinul doi se numără elipse (în special, cercuri), hiperbole, parabole ... Dicţionar enciclopedic mare Liniile plane ale căror coordonate dreptunghiulare satisfac o ecuație algebrică de gradul 2. Printre liniile de ordinul doi se numără elipse (în special, cercuri), hiperbole, parabole. * * * LINII DE ORDINA A DOUA LINII DE ORDIN A DOUA,… … Dicţionar enciclopedic Linii plate, dreptunghiulare coordonatele punctelor k px satisfac algebrele. urniu de gradul II. Printre L. în. n. elipse (în special cercuri), hiperbole, parabole... Științele naturii. Dicţionar enciclopedic Linie plată, coordonatele dreptunghiulare carteziene pentru a roi satisface algebrice. ecuația de gradul 2 Ecuația (*) poate să nu determine geometria reală. imagine, dar pentru a păstra generalitatea în astfel de cazuri, ei spun că aceasta determină ... ... Enciclopedie matematică Mulțimea punctelor unui spațiu real (sau complex) tridimensional, ale căror coordonate în sistemul cartezian satisfac algebricul. ecuația de gradul 2 (*) Este posibil ca ecuația (*) să nu determine geometria reală. imagini, în astfel de ...... Enciclopedie matematică Acest cuvânt, folosit foarte des în geometria liniilor curbe, are un sens nu tocmai definit. Când acest cuvânt este aplicat liniilor curbe neînchise și neramificate, atunci ramura curbei înseamnă fiecare individ continuu ... ... Dicţionar Enciclopedic F.A. Brockhaus și I.A. Efron Linii de ordinul doi, cu două diametre, fiecare dintre ele bisectând coardele acestei curbe, paralele cu cealaltă. SD joacă un rol important în teoria generală a liniilor de ordinul doi. Cu proiecția paralelă a unei elipse în cercul S. d. ...... Linii care se obțin prin secționarea unui Con circular drept cu plane care nu trec prin vârful său. K. s. poate fi de trei tipuri: 1) planul de tăiere intersectează toți generatorii conului în punctele uneia dintre cavitățile acestuia; linie…… Marea Enciclopedie Sovietică Linii care se obțin prin secționarea unui con circular drept cu plane care nu trec prin vârful acestuia. K. s. poate fi de trei tipuri: 1) planul de tăiere intersectează toți generatorii conului în punctele uneia dintre cavitățile acestuia (Fig., a): linia de intersecție ... ... Enciclopedie matematică Secțiunea de geometrie. Conceptele de bază ale geometriei algebrice sunt cele mai simple imagini geometrice (puncte, linii, plane, curbe și suprafețe de ordinul doi). Principalele mijloace de cercetare în A. g. sunt metoda coordonatelor (vezi mai jos) și metodele ... ... Marea Enciclopedie Sovietică Aceasta este forma standard acceptată în general a ecuației, când în câteva secunde devine clar ce obiect geometric definește. În plus, forma canonică este foarte convenabilă pentru rezolvarea multor sarcini practice. Deci, de exemplu, conform ecuației canonice „plat” drept, în primul rând, este imediat clar că aceasta este o linie dreaptă, iar în al doilea rând, punctul care îi aparține și vectorul de direcție sunt pur și simplu vizibile. Evident, oricare Prima linie de comandă reprezintă o linie dreaptă. La etajul doi, nu ne mai așteaptă un portar, ci o companie mult mai diversă de nouă statui: Clasificarea liniilor de ordinul doi Cu ajutorul unui set special de acțiuni, orice ecuație de linie de ordinul doi este redusă la unul dintre următoarele tipuri: (și sunt numere reale pozitive) 1) 2) este ecuația canonică a hiperbolei; 3) 4) – imaginar elipsă; 5) - o pereche de linii care se intersectează; 6) - cuplu imaginar linii de intersectare (cu singurul punct real de intersecție la origine); 7) - o pereche de drepte paralele; 8) - cuplu imaginar linii paralele; 9) este o pereche de linii care coincid. Unii cititori pot avea impresia că lista este incompletă. De exemplu, în paragraful numărul 7, ecuația stabilește perechea direct, paralel cu axa, și se pune întrebarea: unde este ecuația care determină liniile paralele cu axa y? Raspunde nu este considerat canon. Liniile drepte reprezintă același caz standard rotit cu 90 de grade, iar intrarea suplimentară în clasificare este redundantă, deoarece nu poartă nimic fundamental nou. Astfel, există nouă și doar nouă tipuri diferite de linii de ordinul 2, dar în practică cele mai comune sunt elipsa, hiperbola si parabola. Să ne uităm mai întâi la elipsă. Ca de obicei, mă concentrez asupra acelor puncte care sunt de mare importanță pentru rezolvarea problemelor și, dacă aveți nevoie de o derivare detaliată a formulelor, demonstrații de teoreme, vă rugăm să consultați, de exemplu, manualul lui Bazylev / Atanasyan sau Aleksandrov .. Elipsa și ecuația ei canonică Ortografie ... vă rugăm să nu repetați greșelile unor utilizatori Yandex care sunt interesați de „cum să construiți o elipsă”, „diferența dintre o elipsă și un oval” și „excentricitatea elbs”. Ecuația canonică a unei elipse are forma , unde sunt numere reale pozitive și . Voi formula mai târziu definiția unei elipse, dar deocamdată este timpul să luăm o pauză de la vorbire și să rezolvăm o problemă comună: Cum se construiește o elipsă? Da, ia-l și desenează-l. Sarcina este obișnuită, iar o parte semnificativă a studenților nu se descurcă destul de competent cu desenul: Exemplul 1 Construiți o elipsă dată de ecuație Soluţie: mai întâi aducem ecuația la forma canonică: De ce să aduci? Unul dintre avantajele ecuației canonice este că vă permite să determinați instantaneu vârfuri de elipsă, care sunt la punctele . Este ușor de observat că coordonatele fiecăruia dintre aceste puncte satisfac ecuația . În acest caz : Pentru a vă imagina rapid cum arată aceasta sau acea elipsă, priviți doar valorile „a” și „fi” ale ecuației sale canonice. Totul este bine, îngrijit și frumos, dar există o avertizare: am făcut desenul folosind programul. Și poți desena cu orice aplicație. Cu toate acestea, în realitate dură, o bucată de hârtie în carouri stă pe masă, iar șoarecii dansează în jurul mâinilor noastre. Oamenii cu talent artistic, desigur, se pot certa, dar ai și șoareci (deși mai mici). Nu degeaba omenirea a inventat o riglă, o busolă, un raportor și alte dispozitive simple pentru desen. Din acest motiv, este puțin probabil să reușim să desenăm cu precizie o elipsă, cunoscând doar vârfurile. În regulă, dacă elipsa este mică, de exemplu, cu semiaxele. Alternativ, puteți reduce scara și, în consecință, dimensiunile desenului. Dar, în cazul general, este foarte de dorit să găsiți puncte suplimentare. Există două abordări pentru construirea unei elipse - geometrică și algebrică. Nu îmi place să construiesc cu o busolă și o riglă din cauza algoritmului scurt și a dezordinei semnificative a desenului. În caz de urgență, vă rugăm să consultați manualul, dar în realitate este mult mai rațional să folosiți instrumentele algebrei. Din ecuația elipsei de pe schiță, exprimăm rapid: Ecuația este apoi împărțită în două funcții: Orice elipsă este simetrică față de axele de coordonate, precum și față de origine. Și asta este grozav - simetria este aproape întotdeauna un prevestitor al unui om gratuit. Evident, este suficient să ne ocupăm de primul trimestru de coordonate, așa că avem nevoie de o funcție Marcați puncte pe desen (culoare roșie), puncte simetrice pe celelalte arce (culoare albastră) și conectați cu atenție întreaga companie cu o linie: 
.
Vedeți ce este „Rândurile de ordinul doi” în alte dicționare:
Cărți
este ecuația canonică a elipsei;
este ecuația canonică a parabolei;
Segment de linie numit axa majoră elipsă;
segment de linie – axa minoră;
număr 
numit semi-axa mare elipsă;
număr 
– semi-axă minoră.
în exemplul nostru: .
– definește arcul superior al elipsei; 
– definește arcul inferior al elipsei.
. Sugerează găsirea de puncte suplimentare cu abscise 
. Am lovit trei SMS-uri pe calculator: 
Desigur, este și plăcut că, dacă se face o eroare gravă în calcule, aceasta va deveni imediat clară în timpul construcției.
Este mai bine să desenați schița inițială subțire și subțire și abia apoi să aplicați presiune pe creion. Rezultatul ar trebui să fie o elipsă destul de decentă. Apropo, ai vrea să știi ce este această curbă?
