Formă pătratică canonică. Forma canonică a formei pătratice. Reducerea formei pătratice la forma canonică

Având o formă pătratică (2) A(x, x) \u003d, unde x = (x 1 , x 2 , …, x n). Luați în considerare o formă pătratică în spațiu R 3, adică x = (x 1 , x 2 , x 3), A(x, x) =
+
+
+
+
+
+ +
+
+
=
+
+
+ 2
+ 2
+ + 2
(am folosit condiția de simetrie a formei, și anume și 12 = și 21 , și 13 = și 31 , și 23 = și 32). Să scriem matricea formei pătratice A în bază ( e}, A(e) =
... Când baza se schimbă, matricea formei pătratice se modifică în conformitate cu formula A(f) = C t A(e)CUnde C - matrice de tranziție de la bază ( e) la bază ( f), și C t - matricea transpusă C.

Definiție11.12. Se numește forma unei forme pătratice cu matrice diagonală canonic.

Așa că lasă A(f) =
apoi A"(x, x) =
+
+
Unde x" 1 , x" 2 , x"3 - coordonate vectoriale x într-o bază nouă ( f}.

Definiție11.13. Lăsa să intre n V se alege o astfel de bază f = {f 1 , f 2 , …, f n ), în care forma pătratică are forma

A(x, x) =
+
+ … +
, (3)

unde y 1 , y 2 , …, y n - coordonate vectoriale x în bază ( f). Expresia (3) se numește viziune canonică formă pătratică. Coeficienți  1, λ 2,…, λ n sunt numite canonic; se numește o bază în care forma pătratică are forma canonică bază canonică.

cometariu... Dacă forma pătratică A(x, x) se reduce la formă canonică, apoi, în general vorbind, nu toți coeficienții  eu sunt nenule. Rangul unei forme pătratice este egal cu rangul matricei sale în orice bază.

Fie rangul formei pătratice A(x, x) este egal rUnde r ≤ n... O matrice de formă pătratică în formă canonică are o formă diagonală. A(f) =
întrucât rangul său este r, apoi printre coeficienții  eu ar trebui să fie rnu egal cu zero. Prin urmare, rezultă că numărul de coeficienți canonici diferiți de zero este egal cu rangul formei pătratice.

cometariu... O transformare liniară a coordonatelor este o tranziție de la variabile x 1 , x 2 , …, x n la variabile y 1 , y 2 , …, y n , în care variabilele vechi sunt exprimate în termeni de variabile noi cu unii coeficienți numerici.

x 1 \u003d α 11 y 1 + α 12 y 2 + ... + α 1 n y n ,

x 2 \u003d α 2 1 y 1 + α 2 2 y 2 + ... + α 2 n y n ,

………………………………

x 1 \u003d α n 1 y 1 + α n 2 y 2 + ... + α nn y n .

Deoarece fiecare transformare a bazei corespunde unei transformări liniare nedegenerate a coordonatelor, problema reducerii unei forme pătratice la forma canonică poate fi rezolvată prin alegerea transformării nedegenerate corespunzătoare a coordonatelor.

Teorema 11.2 (teorema principală asupra formelor pătratice). Orice formă pătratică A(x, x) dat în n-spatiu vectorial dimensional V, folosind o transformare liniară nedegenerată a coordonatelor poate fi redusă la forma canonică.

Dovezi... (Metoda lui Lagrange) Ideea acestei metode este de a completa succesiv trinomul pătrat din fiecare variabilă la un pătrat complet. Vom presupune că A(x, x) ≠ 0 și în bază e = {e 1 , e 2 , …, e n ) are forma (2):

A(x, x) =
.

În cazul în care un A(x, x) \u003d 0, apoi ( a ij) \u003d 0, adică forma este deja canonică. Formulă A(x, x) poate fi transformat astfel încât coeficientul a 11 ≠ 0. Dacă a 11 \u003d 0, atunci coeficientul pătrat al celeilalte variabile este diferit de zero, apoi prin renumerotarea variabilelor este posibil să se realizeze acest lucru a 11 ≠ 0. Renumerotarea variabilelor este o transformare liniară nedegenerată. Dacă toți coeficienții pătratelor variabilelor sunt egale cu zero, atunci transformările necesare se obțin astfel. Să, de exemplu, a 12 ≠ 0 (A(x, x) ≠ 0, deci cel puțin un coeficient a ij ≠ 0). Luați în considerare transformarea

x 1 = y 1 – y 2 ,

x 2 = y 1 + y 2 ,

x eu = y eu , la eu = 3, 4, …, n.

Această transformare nu este degenerată, deoarece determinantul matricei sale este diferit de zero
= = 2 ≠ 0.

Apoi 2 a 12 x 1 x 2 = 2 a 12 (y 1 – y 2)(y 1 + y 2) = 2
– 2
, adică în formă A(x, x) vor apărea pătrate a două variabile.

A(x, x) =
+ 2
+ 2
+
. (4)

Transformăm suma alocată în formularul:

A(x, x) = a 11
, (5)

în timp ce coeficienții a ij schimba in ... Luați în considerare o transformare nedegenerată

y 1 = x 1 + + … + ,

y 2 = x 2 ,

y n = x n .

Atunci ajungem

A(x, x) =
. (6).

Dacă forma pătratică
\u003d 0, apoi întrebarea reducerii A(x, x) la forma canonică este rezolvată.

Dacă această formă nu este egală cu zero, atunci repetăm \u200b\u200braționamentul, luând în considerare transformarea coordonatelor y 2 , …, y n și fără a schimba coordonata y 1. Evident, aceste transformări vor fi nedegenerate. Într-un număr finit de trepte, forma pătratică A(x, x) va fi redusă la forma canonică (3).

cometariu1. Transformarea dorită a coordonatelor originale x 1 , x 2 , …, x n poate fi obținut prin înmulțirea transformărilor nedegenerate găsite în procesul de raționament: [ x] = A[y], [y] = B[z], [z] = C[t], apoi [ x] = AB[z] = ABC[t], adică [ x] = M[t], Unde M = ABC.

cometariu 2. Să A(x, x) = A(x, x) =
+
+ …+
, unde  eu ≠ 0, eu = 1, 2, …, r, unde  1\u003e 0, λ 2\u003e 0,…, λ q > 0, λ q +1 < 0, …, λ r < 0.

Luați în considerare o transformare nedegenerată

y 1 = z 1 , y 2 = z 2 , …, y q = z q , y q +1 =
z q +1 , …, y r = z r , y r +1 = z r +1 , …, y n = z n ... Ca rezultat A(x, x) va lua forma: A(x, x) = + + … + – – … – Care e numit tip normal de formă pătratică.

Exemplu11.1. Canonicalizați o formă pătratică A(x, x) = 2x 1 x 2 – 6x 2 x 3 + 2x 3 x 1 .

Decizie... În măsura în care a 11 \u003d 0, folosim transformarea

x 1 = y 1 – y 2 ,

x 2 = y 1 + y 2 ,

x 3 = y 3 .

Această transformare are o matrice A =
, adică [ x] = A[y] primim A(x, x) = 2(y 1 – y 2)(y 1 + y 2) – 6(y 1 + y 2)y 3 + 2y 3 (y 1 – y 2) =

2– 2– 6y 1 y 3 – 6y 2 y 3 + 2y 3 y 1 – 2y 3 y 2 = 2– 2– 4y 1 y 3 – 8y 3 y 2 .

Deoarece coeficientul la nu este zero, puteți selecta pătratul unei necunoscute, lăsați-o să fie y 1. Să selectăm toți membrii care conțin y 1 .

A(x, x) = 2(– 2 y 1 y 3) – 2– 8y 3 y 2 = 2(– 2 y 1 y 3 + ) – 2– 2– 8y 3 y 2 = 2(y 1 – y 3) 2 – 2– 2– 8y 3 y 2 .

Să efectuăm o transformare a cărei matrice este egală cu B.

z 1 = y 1 – y 3 ,  y 1 = z 1 + z 3 ,

z 2 = y 2 ,  y 2 = z 2 ,

z 3 = y 3 ;  y 3 = z 3 .

B =
, [y] = B[z].

Primim A(x, x) = 2– 2–– 8z 2 z 3. Să selectăm membrii care conțin z 2. Noi avem A(x, x) = 2– 2(+ 4z 2 z 3) – 2= 2– 2(+ 4z 2 z 3 + 4) + + 8 – 2 = 2– 2(z 2 + 2z 3) 2 + 6.

Efectuarea unei transformări cu o matrice C:

t 1 = z 1 ,  z 1 = t 1 ,

t 2 = z 2 + 2z 3 ,  z 2 = t 2 – 2t 3 ,

t 3 = z 3 ;  z 3 = t 3 .

C =
, [z] = C[t].

A primit: A(x, x) = 2– 2+ 6 forma canonică a formei pătratice, în timp ce [ x] = A[y], [y] = B[z], [z] = C[t], de aici [ x] = ABC[t];

ABC =


=
... Formulele de transformare sunt după cum urmează

x 1 = t 1 – t 2 + t 3 ,

x 2 = t 1 + t 2 – t 3 ,

O formă pătratică se numește canonică dacă totul, adică

Orice formă pătratică poate fi redusă la formă canonică folosind transformări liniare. În practică, se folosesc de obicei următoarele metode.

1. Transformarea ortogonală a spațiului:

unde - valorile proprii ale matricei A.

2. Metoda Lagrange - selecția secvențială a pătratelor perfecte. De exemplu, dacă

Apoi se efectuează o procedură similară cu forma pătratică și așa mai departe. Dacă în formă pătratică totul este apoi după transformarea preliminară cazul se reduce la procedura luată în considerare. Deci, dacă, de exemplu, atunci punem

3. Metoda lui Jacobi (în cazul în care toți minorii majori formele pătratice sunt diferite de zero):

Orice linie dreaptă pe un plan poate fi dată printr-o ecuație de prim ordin

Ax + Wu + C \u003d 0,

iar constantele A, B nu sunt egale cu zero în același timp. Această ecuație de ordinul întâi se numește ecuația generală a liniei drepte.În funcție de valorile constantelor A, B și C, sunt posibile următoarele cazuri speciale:

C \u003d 0, A ≠ 0, B ≠ 0 - linia trece prin origine

A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (Cu + C \u003d 0) - linia dreaptă este paralelă cu axa Ox

B \u003d 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (Ax + C \u003d 0) - linia dreaptă este paralelă cu axa Oy

B \u003d C \u003d 0, A ≠ 0 - linia dreaptă coincide cu axa Oy

A \u003d C \u003d 0, B ≠ 0 - linia dreaptă coincide cu axa Ox

Ecuația unei linii drepte poate fi prezentată în diferite forme, în funcție de orice condiții inițiale date.

Se poate specifica o linie dreaptă în spațiu:

1) ca o linie de intersecție a două planuri, adică sistem de ecuații:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 \u003d 0, A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 \u003d 0; (3.2)

2) prin cele două puncte ale sale M 1 (x 1, y 1, z 1) și M 2 (x 2, y 2, z 2), atunci linia dreaptă care trece prin ele este dată de ecuațiile:

= ; (3.3)

3) punctul M 1 (x 1, y 1, z 1), care îi aparține, și vectorul a(m, n, p), coliniar cu acesta. Apoi linia dreaptă este determinată de ecuațiile:

. (3.4)

Ecuațiile (3.4) sunt numite ecuații canonice ale liniei.

Vector a numit vectorul director al liniei drepte.

Obținem ecuațiile parametrice ale liniei drepte echivalând fiecare dintre rapoartele (3.4) cu parametrul t:

x \u003d x 1 + mt, y \u003d y 1 + nt, z \u003d z 1 + pt. (3,5)

Sistem de rezolvare (3.2) ca sistem de ecuații liniare în raport cu necunoscutele x și y, ajungem la ecuațiile liniei în proiecții sau la ecuații reduse ale liniei drepte:

x \u003d mz + a, y \u003d nz + b. (3,6)

Din ecuațiile (3.6) se poate trece la ecuațiile canonice prin găsirea z din fiecare ecuație și echivalarea valorilor obținute:

.

Din ecuațiile generale (3.2), se poate trece la canonic și într-un alt mod, dacă găsim un punct al acestei linii și vectorul său de direcție n= [n 1 , n 2], unde n 1 (A 1, B 1, C 1) și n 2 (A 2, B 2, C 2) sunt vectori normali ai planurilor date. Dacă unul dintre numitori m, n sau r în ecuațiile (3.4) se dovedește a fi egal cu zero, atunci numeratorul fracției corespunzătoare trebuie setat egal cu zero, adică sistem

este echivalent cu sistemul ; o astfel de linie dreaptă este perpendiculară pe axa Ox.

Sistem este echivalent cu sistemul x \u003d x 1, y \u003d y 1; linia dreaptă este paralelă cu axa Oz.

Orice ecuație de gradul I în ceea ce privește coordonatele x, y, z

Ax + By + Cz + D \u003d 0 (3.1)

definește un plan și invers: orice plan poate fi reprezentat prin ecuația (3.1), care se numește ecuația planului.

Vector n (A, B, C) ortogonală la plan se numește vector normal avion. În ecuația (3.1), coeficienții A, B, C nu sunt simultan egali cu 0.

Cazuri speciale de ecuație (3.1):

1. D \u003d 0, Ax + By + Cz \u003d 0 - planul trece prin origine.

2. C \u003d 0, Ax + By + D \u003d 0 - planul este paralel cu axa Oz.

3. C \u003d D \u003d 0, Ax + By \u003d 0 - planul trece prin axa Oz.

4. B \u003d C \u003d 0, Ax + D \u003d 0 - planul este paralel cu planul Oyz.

Ecuațiile planurilor de coordonate: x \u003d 0, y \u003d 0, z \u003d 0.

Linia poate aparține sau nu avionului. Acesta aparține planului dacă cel puțin două dintre punctele sale se află pe plan.

Dacă linia nu aparține planului, aceasta poate fi paralelă cu aceasta sau o poate intersecta.

O linie dreaptă este paralelă cu un plan dacă este paralelă cu o altă linie dreaptă situată în acest plan.

Linia dreaptă poate intersecta planul la unghiuri diferite și, în special, să fie perpendiculară pe acesta.

Un punct în raport cu un plan poate fi localizat în felul următor: îi aparține sau nu îi aparține. Un punct aparține unui plan dacă este situat pe o linie dreaptă situată în acest plan.

În spațiu, două linii pot fie să se intersecteze, fie să fie paralele, fie să fie traversate.

Paralelismul segmentelor de linie este păstrat în proiecții.

Dacă liniile se intersectează, atunci punctele de intersecție ale proiecțiilor lor cu același nume sunt pe aceeași linie de comunicație.

Liniile încrucișate nu aparțin aceluiași plan, adică nu se intersectează sau se paralelează.

în desen, proiecțiile liniilor cu același nume, luate separat, au semne de linii intersectate sau paralele.

Elipsă. O elipsă este un locus de puncte pentru care suma distanțelor la două puncte fixe (focare) este aceeași valoare constantă pentru toate punctele elipsei (această valoare constantă trebuie să fie mai mare decât distanța dintre focare).

Cea mai simplă ecuație de elipsă

unde a - axa semi-majoră a elipsei, b este axa semi-minoră a elipsei. Dacă 2 c este distanța dintre focare, apoi între a, b și c (în cazul în care un a > b) există o relație

a 2 - b 2 = c 2 .

Excentricitatea unei elipse este raportul dintre distanța dintre focarele acestei elipse și lungimea axei sale majore

Elipsa are o excentricitate e < 1 (так как c < a), iar focalizările sale se află pe axa majoră.

Ecuația hiperbolei prezentată în figură.

Parametri:
a, b - semi-axe;
- distanța dintre focare,
- excentricitate;
- asimptote;
- regizori.
Dreptunghiul prezentat în centrul figurii este dreptunghiul principal, diagonalele sale sunt asimptote.