Ecuația și rădăcinile ei: definiții, exemple. Care ecuație nu are rădăcini? Exemple de ecuații Când o ecuație are infinit de multe rădăcini

După ce am primit o idee generală a egalităților și am făcut cunoștință cu unul dintre tipurile lor - egalități numerice, se poate începe să vorbim despre o altă formă foarte importantă de egalități dintr-un punct de vedere practic - despre ecuații. În acest articol vom analiza care este ecuația, și ceea ce se numește rădăcina ecuației. Aici oferim definițiile corespunzătoare, precum și diverse exemple de ecuații și rădăcinile lor.

Navigare în pagină.

Ce este o ecuație?

O introducere concentrată la ecuații începe de obicei în matematica din clasa a II-a. În acest moment sunt date următoarele definiția ecuației:

Definiție.

Ecuația Este o egalitate care conține un număr necunoscut.

Numerele necunoscute din ecuații sunt de obicei indicate cu litere latine mici, de exemplu, p, t, u etc., dar cele mai frecvent utilizate litere sunt x, y și z.

Astfel, ecuația este definită în termenii formei de notație. Cu alte cuvinte, egalitatea este o ecuație atunci când respectă regulile de notare specificate - conține litera a cărei valoare doriți să o găsiți.

Iată câteva exemple ale primelor și cele mai simple ecuații. Să începem cu ecuații de forma x \u003d 8, y \u003d 3 etc. Ecuațiile care conțin, împreună cu cifre și litere, semnele operațiilor aritmetice, par puțin mai complicate, de exemplu, x + 2 \u003d 3, z - 2 \u003d 5, 3 · t \u003d 9, 8: x \u003d 2.

Varietatea de ecuații crește după cunoașterea - ecuațiile cu paranteze încep să apară, de exemplu, 2 (x - 1) \u003d 18 și x + 3 (x + 2 (x - 2)) \u003d 3. O literă necunoscută în ecuație poate apărea de mai multe ori, de exemplu, x + 3 + 3 x - 2 - x \u003d 9, literele pot fi, de asemenea, în partea stângă a ecuației, în partea dreaptă a acesteia sau în ambele părți ale ecuației, de exemplu, x (3 + 1) −4 \u003d 8, 7−3 \u003d z + 1 sau 3x - 4 \u003d 2 (x + 12).

Mai mult, după studierea numerelor naturale, are loc cunoașterea numerelor întregi, raționale, reale, sunt studiate noi obiecte matematice: grade, rădăcini, logaritmi etc., în timp ce apar din ce în ce mai multe tipuri noi de ecuații care conțin aceste lucruri. Exemplele lor pot fi găsite în articol principalele tipuri de ecuațiistudiind la școală.

În clasa a VII-a, împreună cu literele, prin care se înțeleg unele cifre specifice, încep să ia în considerare literele care pot lua semnificații diferite, sunt numite variabile (vezi articolul). În acest caz, cuvântul „variabilă” este introdus în definiția ecuației și devine astfel:

Definiție.

Ecuaţie este o egalitate care conține o variabilă a cărei valoare doriți să o găsiți.

De exemplu, ecuația x + 3 \u003d 6 x + 7 este o ecuație cu variabila x, iar 3 · z - 1 + z \u003d 0 este o ecuație cu variabila z.

În lecțiile de algebră din aceeași clasă a VII-a, există o întâlnire cu ecuații care conțin nu una, ci două variabile necunoscute diferite în înregistrarea lor. Se numesc ecuații în două variabile. În viitor, este permisă prezența a trei sau mai multe variabile în ecuații.

Definiție.

Ecuații cu una, două, trei etc. variabile - acestea sunt ecuații care conțin una, două, trei, ... respectiv variabile necunoscute.

De exemplu, ecuația 3.2 x + 0.5 \u003d 1 este o ecuație cu o variabilă x, în timp ce o ecuație de forma x - y \u003d 3 este o ecuație cu două variabile x și y. Și încă un exemplu: x 2 + (y - 1) 2 + (z + 0,5) 2 \u003d 27. Este clar că o astfel de ecuație este o ecuație cu trei variabile necunoscute x, y și z.

Care este rădăcina unei ecuații?

Definiția ecuației este direct legată de definiția rădăcinii acestei ecuații. Să facem câteva raționamente care ne vor ajuta să înțelegem care este rădăcina ecuației.

Să presupunem că avem o ecuație cu o singură literă (variabilă). Dacă, în loc de litera inclusă în evidența acestei ecuații, se înlocuiește un număr, atunci ecuația se va transforma într-o egalitate numerică. Mai mult, egalitatea rezultată poate fi atât adevărată, cât și falsă. De exemplu, dacă înlocuiți numărul 2 în loc de litera a din ecuația a + 1 \u003d 5, veți obține o egalitate numerică incorectă 2 + 1 \u003d 5. Dacă înlocuim numărul 4 cu a din această ecuație, atunci obținem egalitatea corectă 4 + 1 \u003d 5.

În practică, în majoritatea covârșitoare a cazurilor, astfel de valori ale variabilei sunt de interes, a căror substituire în ecuație oferă egalitatea corectă, aceste valori sunt numite rădăcinile sau soluțiile acestei ecuații.

Definiție.

Rădăcina ecuației Este valoarea unei litere (variabilă), atunci când este substituită, ecuația se transformă într-o adevărată egalitate numerică.

Rețineți că rădăcina unei ecuații într-o singură variabilă se numește și o soluție la ecuație. Cu alte cuvinte, soluția ecuației și rădăcina ecuației sunt același lucru.

Să explicăm această definiție cu un exemplu. Pentru a face acest lucru, ne întoarcem la ecuația de mai sus a + 1 \u003d 5. Conform definiției sunate a rădăcinii ecuației, numărul 4 este rădăcina acestei ecuații, deoarece la înlocuirea acestui număr în loc de litera a, obținem egalitatea corectă 4 + 1 \u003d 5, iar numărul 2 nu este rădăcina acestuia, deoarece corespunde unei egalități incorecte a formei 2 + 1 \u003d cinci.

În acest moment, apar o serie de întrebări naturale: „Are o ecuație o rădăcină și câte rădăcini are o ecuație dată?” Le vom răspunde.

Există atât ecuații cu rădăcini, cât și ecuații fără rădăcini. De exemplu, ecuația x + 1 \u003d 5 are o rădăcină de 4, iar ecuația 0 x \u003d 5 nu are rădăcini, deoarece indiferent de numărul pe care îl substituim în această ecuație în locul variabilei x, obținem egalitatea greșită 0 \u003d 5.

În ceea ce privește numărul de rădăcini ale ecuației, există atât ecuații care au un anumit număr finit de rădăcini (una, două, trei etc.), cât și ecuații care au infinit de multe rădăcini. De exemplu, ecuația x - 2 \u003d 4 are o rădăcină unică 6, rădăcinile ecuației x 2 \u003d 9 sunt două numere −3 și 3, ecuația x (x - 1) (x - 2) \u003d 0 are trei rădăcini 0, 1 și 2, iar soluția la ecuația x \u003d x este orice număr, adică are un set infinit de rădăcini.

Ar trebui spus câteva cuvinte despre scrierea acceptată a rădăcinilor ecuației. Dacă ecuația nu are rădăcini, atunci de obicei ei scriu „ecuația nu are rădăcini” sau folosesc semnul setului gol ∅. Dacă ecuația are rădăcini, atunci acestea sunt scrise separate prin virgule sau scrise ca elemente ale setului în bretele cretate. De exemplu, dacă rădăcinile ecuației sunt numerele -1, 2 și 4, atunci ele scriu -1, 2, 4 sau (-1, 2, 4). De asemenea, este permisă scrierea rădăcinilor ecuației sub forma celor mai simple egalități. De exemplu, dacă litera x introduce ecuația, iar rădăcinile acestei ecuații sunt numerele 3 și 5, atunci puteți scrie x \u003d 3, x \u003d 5, de asemenea variabila este adesea adăugată cu indicii x 1 \u003d 3, x 2 \u003d 5, ca și cum ar indica numere rădăcinile ecuației. Mulțimea infinită de rădăcini ale ecuației este scrisă de obicei sub forma, de asemenea, dacă este posibil, utilizați notația mulțimilor de numere naturale N, numere întregi Z, numere reale R. De exemplu, dacă rădăcina unei ecuații cu variabila x este orice număr întreg, atunci scrieți și dacă rădăcinile unei ecuații cu variabila y sunt orice număr real de la 1 la 9, inclusiv, scrieți.

Pentru ecuațiile cu două, trei și mai multe variabile, de regulă, nu se folosește termenul „rădăcină de ecuație”, în aceste cazuri se spune „soluție de ecuație”. Ce se numește soluția ecuațiilor în mai multe variabile? Să oferim o definiție adecvată.

Definiție.

Rezolvarea unei ecuații cu două, trei etc. variabile sunați la un cuplu, trei etc. valorile variabilelor, ceea ce transformă această ecuație într-o adevărată egalitate numerică.

Să arătăm câteva exemple ilustrative. Luați în considerare o ecuație în două variabile x + y \u003d 7. Înlocuiți în el în loc de x numărul 1 și în loc de y numărul 2 și avem egalitatea 1 + 2 \u003d 7. Evident, este greșit, prin urmare, perechea de valori x \u003d 1, y \u003d 2 nu este o soluție la ecuația scrisă. Dacă luăm o pereche de valori x \u003d 4, y \u003d 3, atunci după substituirea în ecuație ajungem la egalitatea corectă 4 + 3 \u003d 7, prin urmare, această pereche de valori a variabilelor este prin definiție o soluție la ecuația x + y \u003d 7.

Ecuațiile cu mai multe variabile, cum ar fi ecuațiile cu o singură variabilă, pot să nu aibă rădăcini, pot avea un număr finit de rădăcini sau pot avea infinit de multe rădăcini.

Perechi, trei, patru, etc. valorile variabile sunt adesea scrise concis, listându-și valorile separate prin virgule între paranteze. În acest caz, numerele scrise între paranteze corespund variabilelor în ordine alfabetică. Să clarificăm acest punct revenind la ecuația anterioară x + y \u003d 7. Soluția la această ecuație x \u003d 4, y \u003d 3 poate fi scrisă pe scurt ca (4, 3).

Cea mai mare atenție în cursul școlar de matematică, algebră și începuturile analizei este acordată găsirii rădăcinilor ecuațiilor cu o singură variabilă. Vom analiza regulile acestui proces în detaliu în articol. rezolvarea ecuațiilor.

Lista de referinte.

• Matematica... 2 cl. Manual. pentru învățământul general. instituții cu adj. la electron. purtător. La 2 pm Partea 1 / [M. I. Moro, MA Bantova, GV Beltyukova și alții] - ed. A 3-a. - M.: Prosveshenie, 2012 .-- 96 p.: Bolnav. - (Școala Rusiei). - ISBN 978-5-09-028297-0.
• Algebră: studiu. pentru 7 cl. educatie generala. instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - ediția a XVII-a. - M .: Educație, 2008 .-- 240 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Algebră: Nota 9: manual. pentru învățământul general. instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - ediția a XVI-a. - M .: Educație, 2009. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-021134-5.

După ce am studiat conceptul de egalități, și anume unul dintre tipurile lor - egalități numerice, putem trece la un alt tip important - ecuații. În cadrul acestui material, vom explica ce sunt o ecuație și rădăcina acesteia, vom formula definițiile de bază și vom da diverse exemple de ecuații și de a le găsi rădăcinile.

Conceptul ecuației

De obicei, conceptul de ecuație este studiat chiar la începutul cursului de algebră școlară. Apoi este definit astfel:

Definiția 1

Ecuaţie numit egalitate cu un număr necunoscut de găsit.

Se obișnuiește să se indice necunoscute cu litere latine mici, de exemplu, t, r, m etc., dar cel mai adesea se folosesc x, y, z. Cu alte cuvinte, ecuația determină forma scrierii sale, adică egalitatea va fi o ecuație numai atunci când este redusă la o anumită formă - trebuie să conțină o literă, valoarea care trebuie găsită.

Iată câteva exemple ale celor mai simple ecuații. Acestea pot fi egalități de forma x \u003d 5, y \u003d 6 etc., precum și cele care includ operații aritmetice, de exemplu, x + 7 \u003d 38, z - 4 \u003d 2, 8 t \u003d 4, 6: x \u003d 3.

După studierea conceptului de paranteze, apare conceptul de ecuații cu paranteze. Acestea includ 7 (x - 1) \u003d 19, x + 6 (x + 6 (x - 8)) \u003d 3 etc. Litera de găsit poate apărea nu o dată, ci de mai multe ori, cum ar fi, de exemplu, în ecuația x + 2 + 4 x - 2 - x \u003d 10. De asemenea, necunoscutele pot fi localizate nu numai în stânga, ci și în dreapta sau în ambele părți în același timp, de exemplu, x (8 + 1) - 7 \u003d 8, 3 - 3 \u003d z + 3 sau 8 x - 9 \u003d 2 (x + 17).

Mai mult, după ce elevii se familiarizează cu conceptul de numere întregi, numere reale, raționale, naturale, precum și logaritmi, rădăcini și puteri, apar noi ecuații care includ toate aceste obiecte. Am dedicat un articol separat exemplelor de astfel de expresii.

În programul clasei a VII-a, conceptul de variabile apare pentru prima dată. Acestea sunt litere care pot lua semnificații diferite (pentru mai multe detalii, consultați articolul privind expresiile numerice, literale și variabile). Pe baza acestui concept, putem redefini ecuația:

Definiția 2

Ecuația Este o egalitate care include variabila a cărei valoare doriți să o evaluați.

Adică, de exemplu, expresia x + 3 \u003d 6 x + 7 este o ecuație cu o variabilă x, iar 3 y - 1 + y \u003d 0 este o ecuație cu o variabilă y.

O ecuație poate conține nu o singură variabilă, ci două sau mai multe. Acestea sunt numite, respectiv, ecuații cu două, trei variabile etc. Să scriem definiția:

Definiție 3

Ecuațiile cu două (trei, patru sau mai multe) variabile sunt ecuații care includ numărul corespunzător de necunoscute.

De exemplu, o egalitate de forma 3, 7 x + 0, 6 \u003d 1 este o ecuație cu o variabilă x, iar x - z \u003d 5 este o ecuație cu două variabile x și z. Un exemplu de ecuație cu trei variabile ar fi x 2 + (y - 6) 2 + (z + 0, 6) 2 \u003d 26.

Rădăcina ecuației

Când vorbim despre o ecuație, apare imediat nevoia de a defini conceptul rădăcinii sale. Să încercăm să explicăm ce înseamnă.

Exemplul 1

Ni se dă un fel de ecuație care include o variabilă. Dacă înlocuim un număr cu litera necunoscută, atunci ecuația devine o egalitate numerică - adevărată sau falsă. Deci, dacă în ecuația a + 1 \u003d 5 înlocuim litera cu numărul 2, atunci egalitatea va deveni incorectă, iar dacă 4, atunci egalitatea corectă va fi 4 + 1 \u003d 5.

Ne interesează mai mult exact acele valori cu care variabila se va transforma în egalitatea corectă. Se numesc rădăcini sau soluții. Să notăm definiția.

Definiția 4

Rădăcina ecuației se numește valoarea unei variabile care transformă o ecuație dată într-o adevărată egalitate.

Rădăcina poate fi numită și o soluție sau invers - ambele concepte înseamnă același lucru.

Exemplul 2

Să luăm un exemplu pentru a clarifica această definiție. Mai sus am dat ecuația a + 1 \u003d 5. Conform definiției, rădăcina în acest caz va fi 4, deoarece atunci când este înlocuită în locul unei litere, dă egalitatea numerică corectă, iar două nu vor fi o soluție, deoarece corespunde egalității incorecte 2 + 1 \u003d 5.

Câte rădăcini poate avea o ecuație? Are vreo ecuație o rădăcină? Să răspundem la aceste întrebări.

Există, de asemenea, ecuații care nu au o singură rădăcină. Un exemplu ar fi 0 x \u003d 5. Putem înlocui infinit multe numere diferite în el, dar niciunul dintre ele nu îl va transforma într-o adevărată egalitate, deoarece multiplicarea cu 0 dă întotdeauna 0.

Există, de asemenea, ecuații care au rădăcini multiple. Ele pot avea atât un număr finit cât și un număr infinit de mare de rădăcini.

Exemplul 3

Deci, în ecuația x - 2 \u003d 4 există o singură rădăcină - șase, în x 2 \u003d 9 două rădăcini - trei și minus trei, în x (x - 1) (x - 2) \u003d 0 trei rădăcini - zero, unu și doi, în ecuația x \u003d x există infinit de multe rădăcini.

Acum să explicăm cum să scriem corect rădăcinile ecuației. Dacă nu există, atunci scriem astfel: „ecuația nu are rădăcini”. În acest caz, se poate indica și semnul setului gol ∅. Dacă există rădăcini, atunci le scriem separate prin virgule sau le indicăm ca elemente ale unui set, încadrându-le în acolade. Deci, dacă orice ecuație are trei rădăcini - 2, 1 și 5, atunci scriem - 2, 1, 5 sau (- 2, 1, 5).

Este permis să scrie rădăcini sub forma celor mai simple egalități. Deci, dacă necunoscutul din ecuație este notat cu litera y, iar rădăcinile sunt 2 și 7, atunci scriem y \u003d 2 și y \u003d 7. Uneori, la litere se adaugă indicii, de exemplu, x 1 \u003d 3, x 2 \u003d 5. Astfel, indicăm numerele rădăcinilor. Dacă ecuația are infinit de multe soluții, atunci scriem răspunsul ca un interval numeric sau folosim notația general acceptată: mulțimea numerelor naturale este notată cu N, numere întregi - Z, reale - R. De exemplu, dacă trebuie să notăm că soluția la ecuație va fi orice număr întreg, atunci scriem că x ∈ Z și dacă este real de la unu la nouă, atunci y ∈ 1, 9.

Când o ecuație are două, trei sau mai multe rădăcini, atunci, de regulă, nu se vorbește despre rădăcini, ci despre soluții la ecuație. Să formulăm definiția unei soluții la o ecuație în mai multe variabile.

Definiția 5

Soluția la o ecuație cu două, trei sau mai multe variabile este de două, trei sau mai multe valori ale variabilelor care transformă această ecuație într-o adevărată egalitate numerică.

Să explicăm definiția cu exemple.

Exemplul 4

Să presupunem că avem o expresie x + y \u003d 7, care este o ecuație în două variabile. Să înlocuim unul în locul primului și două în locul celui de-al doilea. Vom obține o egalitate incorectă, ceea ce înseamnă că această pereche de valori nu va fi o soluție la această ecuație. Dacă luăm o pereche de 3 și 4, atunci egalitatea devine adevărată, ceea ce înseamnă că am găsit o soluție.

Astfel de ecuații pot, de asemenea, să nu aibă rădăcini sau să aibă un număr infinit de ele. Dacă trebuie să scriem două, trei, patru sau mai multe valori, atunci le scriem separate prin virgule între paranteze. Adică, în exemplul de mai sus, răspunsul va arăta ca (3, 4).

În practică, cel mai adesea trebuie să ne ocupăm de ecuații care conțin o singură variabilă. Vom lua în considerare algoritmul pentru rezolvarea lor în detaliu în articolul dedicat rezolvării ecuațiilor.

Dacă observați o eroare în text, selectați-l și apăsați Ctrl + Enter

Soluția ecuațiilor în matematică are un loc special. Acest proces este precedat de multe ore de studiu teoretic, în timpul cărora elevul învață modalități de a rezolva ecuații, de a determina tipul lor și de a aduce abilitatea la automatism complet. Cu toate acestea, căutarea rădăcinilor nu are întotdeauna sens, deoarece este posibil să nu existe pur și simplu. Există tehnici speciale pentru găsirea rădăcinilor. În acest articol, vom analiza principalele funcții, domeniile lor de definiție, precum și cazurile în care rădăcinile lor lipsesc.

Care ecuație nu are rădăcini?

O ecuație nu are rădăcini dacă nu există argumente reale x pentru care ecuația este identică adevărată. Pentru un profan, această formulare, la fel ca majoritatea teoremelor și formulelor matematice, arată foarte vagă și abstractă, dar aceasta este în teorie. În practică, totul devine extrem de simplu. De exemplu: ecuația 0 * x \u003d -53 nu are soluție, deoarece nu există un astfel de număr x, al cărui produs cu zero ar da altceva decât zero.

Vom analiza acum cele mai de bază tipuri de ecuații.

1. Ecuația liniară

O ecuație se numește liniară dacă laturile sale dreapta și stângă sunt reprezentate ca funcții liniare: ax + b \u003d cx + d sau în formă generalizată kx + b \u003d 0. Unde a, b, c, d sunt numere cunoscute, iar x este o valoare necunoscută ... Care ecuație nu are rădăcini? Exemple de ecuații liniare sunt prezentate în ilustrația de mai jos.

Practic, ecuațiile liniare sunt rezolvate prin simpla transferare a părții numerice într-o parte, iar conținutul cu x în cealaltă. Se obține o ecuație de forma mx \u003d n, unde m și n sunt numere, iar x este o necunoscută. Pentru a găsi x, este suficient să împărțiți ambele părți la m. Apoi x \u003d n / m. În general, ecuațiile liniare au o singură rădăcină, dar există cazuri când există fie infinit de multe rădăcini, fie deloc. Pentru m \u003d 0 și n \u003d 0, ecuația ia forma 0 * x \u003d 0. Soluția unei astfel de ecuații va fi absolut orice număr.

Cu toate acestea, care ecuație nu are rădăcini?

Pentru m \u003d 0 și n \u003d 0, ecuația nu are rădăcini în mulțimea numerelor reale. 0 * x \u003d -1; 0 * x \u003d 200 - aceste ecuații nu au rădăcini.

2. Ecuația pătratică

O ecuație pătratică este o ecuație de forma ax 2 + bx + c \u003d 0 pentru a \u003d 0. Cea mai comună soluție este prin discriminant. Formula pentru găsirea discriminantului unei ecuații pătratice: D \u003d b 2 - 4 * a * c. Apoi, există două rădăcini x 1,2 \u003d (-b ± √D) / 2 * a.

Pentru D\u003e 0 ecuația are două rădăcini, pentru D \u003d 0 are o rădăcină. Dar ce ecuație pătratică nu are rădăcini? Cel mai simplu mod de a observa numărul rădăcinilor unei ecuații pătratice este din graficul funcțional, care este o parabolă. Pentru un\u003e 0, ramurile sunt îndreptate în sus, pentru un< 0 ветви опущены вниз. Если дискриминант отрицателен, такое квадратное уравнение не имеет корней на множестве действительных чисел.

De asemenea, puteți determina vizual numărul de rădăcini fără a calcula discriminantul. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți vârful parabolei și să determinați în ce direcție sunt direcționate ramurile. Puteți determina coordonata x a vârfului folosind formula: x 0 \u003d -b / 2a. În acest caz, coordonata y a vârfului se găsește prin simpla substituire a x 0 în ecuația originală.

Ecuația pătratică x 2 - 8x + 72 \u003d 0 nu are rădăcini, deoarece are un discriminant negativ D \u003d (-8) 2 - 4 * 1 * 72 \u003d -224. Aceasta înseamnă că parabola nu atinge axa absciselor și funcția nu ia niciodată valoarea 0, prin urmare, ecuația nu are rădăcini reale.

3. Ecuații trigonometrice

Funcțiile trigonometrice sunt considerate pe un cerc trigonometric, dar pot fi reprezentate și într-un sistem de coordonate cartesiene. În acest articol vom analiza două funcții trigonometrice de bază și ecuațiile lor: sinx și cosx. Deoarece aceste funcții formează un cerc trigonometric cu o rază de 1, | sinx | și | cosx | nu poate fi mai mare de 1. Deci, care ecuație sinx nu are rădăcini? Luați în considerare graficul funcției sinx prezentat în imaginea de mai jos.

Vedem că funcția este simetrică și are o perioadă de repetare de 2pi. Pe baza acestui lucru, putem spune că valoarea maximă a acestei funcții poate fi 1 și minimul -1. De exemplu, expresia cosx \u003d 5 nu va avea rădăcini, deoarece este mai mare decât una în valoare absolută.

Acesta este cel mai simplu exemplu de ecuații trigonometrice. De fapt, rezolvarea lor poate dura multe pagini, la finalul cărora vă dați seama că ați folosit formula greșită și trebuie să o luați de la capăt. Uneori, chiar și cu găsirea corectă a rădăcinilor, puteți uita să țineți cont de constrângerile de pe LDV, motiv pentru care apare o rădăcină sau un interval suplimentar în răspuns și întregul răspuns se transformă într-o eroare. Prin urmare, urmați cu strictețe toate restricțiile, deoarece nu toate rădăcinile se încadrează în sfera sarcinii.

4. Sisteme de ecuații

Un sistem de ecuații este o colecție de ecuații unite prin paranteze buclate sau pătrate. Parantezele cretate denotă executarea comună a tuturor ecuațiilor. Adică, dacă cel puțin una dintre ecuații nu are rădăcini sau o contrazice pe alta, întregul sistem nu are nicio soluție. Parantezele pătrate reprezintă cuvântul „sau”. Aceasta înseamnă că dacă cel puțin una dintre ecuațiile sistemului are o soluție, atunci întregul sistem are o soluție.

Răspunsul sistemului c este ansamblul tuturor rădăcinilor ecuațiilor individuale. Și sistemele de bretele curate au doar rădăcini comune. Sistemele de ecuații pot include funcții absolut diverse, astfel încât o astfel de complexitate nu vă permite să spuneți imediat ce ecuație nu are rădăcini.

În cărțile cu probleme și manuale, există diferite tipuri de ecuații: cele care au rădăcini și cele care nu. În primul rând, dacă nu găsiți rădăcinile, nu credeți că nu există deloc. Poate că ați făcut o greșeală undeva, atunci este suficient doar să verificați cu atenție decizia.

Am luat în considerare cele mai elementare ecuații și tipurile lor. Acum puteți spune care ecuație nu are rădăcini. În majoritatea cazurilor, acest lucru nu este deloc dificil. Succesul în rezolvarea ecuațiilor necesită doar atenție și concentrare. Practicați mai mult, acest lucru vă va ajuta să navigați în material mult mai bine și mai repede.

Deci, ecuația nu are rădăcini dacă:

• în ecuația liniară mx \u003d n, valoarea m \u003d 0 și n \u003d 0;
• într-o ecuație pătratică, dacă discriminantul este mai mic decât zero;
• într-o ecuație trigonometrică de forma cosx \u003d m / sinx \u003d n, dacă | m | \u003e 0, | n | \u003e 0;
• într-un sistem de ecuații cu paranteze cretate, dacă cel puțin o ecuație nu are rădăcini și cu paranteze pătrate, dacă toate ecuațiile nu au rădăcini.