Matrici gaussiene. Metoda gaussiană pentru manechine: exemple de soluții. Probleme pentru utilizarea regulii Gauss

Să se dea un sistem de ecuații algebrice liniare, care trebuie rezolvate (găsiți astfel de valori ale necunoscutelor xi care transformă fiecare ecuație a sistemului într-o egalitate).

Știm că un sistem de ecuații algebrice liniare poate:

1) Nu aveți soluții (fi inconsecvent).
2) Aveți infinit de multe soluții.
3) Aveți o soluție unică.

După cum ne amintim, regula lui Cramer și metoda matricei nu sunt aplicabile în cazurile în care sistemul are infinit de multe soluții sau este inconsecvent. Metoda Gauss – cel mai puternic și versatil instrument pentru găsirea de soluții la orice sistem de ecuații liniare, pe care în fiecare cazne va conduce la răspuns! Algoritmul metodei în sine funcționează la fel în toate cele trei cazuri. Dacă cunoașterea factorilor determinanți este necesară în metodele Cramer și matrice, atunci pentru a aplica metoda Gauss, este necesară cunoașterea numai a operațiilor aritmetice, ceea ce o face accesibilă chiar și pentru elevii din școala primară.

Transformări matriciale extinse ( aceasta este matricea sistemului - o matrice compusă numai din coeficienții necunoscutelor, plus o coloană de termeni liberi)sisteme de ecuații algebrice liniare în metoda Gauss:

1) din siruri de caractere matrici poate sa rearanjalocuri.

2) dacă matricea conține (sau este) proporțională (ca un caz special - același) rânduri, atunci urmează șterge din matrice toate aceste rânduri, cu excepția unuia.

3) dacă a apărut un rând zero în matrice în timpul transformărilor, atunci urmează și el șterge.

4) rândul matricei poate fi înmulți (împarte)la orice alt număr decât zero.

5) rândul matricei poate fi adăugați un alt șir înmulțit cu un numărnenul.

În metoda Gauss, transformările elementare nu schimbă soluția sistemului de ecuații.

Metoda gaussiană constă în două etape:

1. „Mutare directă” - cu ajutorul transformărilor elementare, reduceți matricea extinsă a sistemului de ecuații algebrice liniare la o formă „triunghiulară” în trepte: elementele matricei extinse situate sub diagonala principală sunt egale cu zero (mișcare „de sus în jos”). De exemplu, la acest formular:

Pentru a face acest lucru, urmați acești pași:

1) Să presupunem că considerăm prima ecuație a unui sistem de ecuații algebrice liniare și coeficientul la x 1 este K. Al doilea, al treilea etc. ecuațiile sunt transformate după cum urmează: fiecare ecuație (coeficienți pentru necunoscute, inclusiv termenii liberi) este împărțită la coeficientul pentru necunoscutul x 1, care se află în fiecare ecuație și îl înmulțim cu K. După aceea, scădem prima din a doua ecuație (coeficienți pentru necunoscute și termeni liberi). Obținem coeficientul 0 pentru x 1 în a doua ecuație. Scădeți prima ecuație din a treia ecuație transformată până când toate ecuațiile, cu excepția primei, pentru necunoscut x 1 au un coeficient de 0.

2) Mergeți la următoarea ecuație. Fie aceasta cea de-a doua ecuație și coeficientul la x 2 este egal cu M. Cu toate ecuațiile „inferioare” procedăm așa cum s-a descris mai sus. Astfel, „sub” necunoscutul x 2 în toate ecuațiile vor fi zerouri.

3) Mergeți la următoarea ecuație și așa mai departe până când există o ultimă necunoscută și termenul liber transformat.

1. „Reverse” a metodei Gauss - obținerea unei soluții la un sistem de ecuații algebrice liniare (mișcare „de jos în sus”). Din ultima ecuație „inferioară” obținem o primă soluție - necunoscutul x n. Pentru a face acest lucru, rezolvăm ecuația elementară A * x n \u003d B. În exemplul de mai sus, x 3 \u003d 4. Înlocuiți valoarea găsită în ecuația următoare „superioară” și o rezolvăm în raport cu următoarea necunoscută. De exemplu, x 2 - 4 \u003d 1, adică x 2 \u003d 5. Și așa mai departe până când găsim toate necunoscutele.

Exemplu.

Să rezolvăm sistemul de ecuații liniare prin metoda Gauss, așa cum unii autori recomandă:

Să notăm matricea extinsă a sistemului și, folosind transformări elementare, să o aducem într-o formă pas cu pas:

Ne uităm la „pasul” din stânga sus. Ar trebui să avem o unitate acolo. Problema este că prima coloană nu are deloc, așa că rearanjarea rândurilor nu va rezolva nimic. În astfel de cazuri, unitatea trebuie organizată folosind o transformare elementară. Acest lucru se poate face de obicei în mai multe moduri. Să o facem:
1 pas ... La prima linie, adăugați a doua linie înmulțită cu -1. Adică am înmulțit mental a doua linie cu –1 și am adăugat prima și a doua linie, în timp ce a doua linie nu s-a schimbat.

Acum, în partea stângă sus este „minus one”, ceea ce este bine pentru noi. Oricine dorește să obțină +1 poate efectua o acțiune suplimentară: înmulțiți prima linie cu -1 (schimbați-i semnul).

Pasul 2 ... Prima linie înmulțită cu 5 a fost adăugată la a doua linie. Prima linie înmulțită cu 3 a fost adăugată la a treia linie.

Pasul 3 ... Prima linie a fost înmulțită cu -1, în principiu, aceasta este pentru frumusețe. Semnul celei de-a treia linii a fost, de asemenea, schimbat și a fost mutat pe locul al doilea, astfel, pe al doilea „pas, avem unitatea necesară.

Pasul 4 ... A treia linie a fost adăugată la a doua linie înmulțită cu 2.

Pasul 5 ... A treia linie a fost împărțită la 3.

Un semn care indică o eroare în calcule (mai rar - o greșeală de scriere) este linia de jos „proastă”. Adică, dacă în partea de jos avem ceva de genul (0 0 11 | 23) și, în consecință, 11x 3 \u003d 23, x 3 \u003d 23/11, atunci cu un grad ridicat de probabilitate se poate argumenta că a fost comisă o eroare în timpul transformări elementare.

Efectuăm mișcarea inversă, în proiectarea de exemple, sistemul în sine nu este adesea rescris, iar ecuațiile sunt „luate direct din matricea dată”. Mișcarea inversă, îți reamintesc, funcționează de jos în sus. În acest exemplu, am primit un cadou:

x 3 \u003d 1
x 2 \u003d 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1, deci x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d –1

Răspuns: x 1 \u003d –1, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d 1.

Să rezolvăm același sistem conform algoritmului propus. Primim

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Împărțiți a doua ecuație la 5 și a treia la 3. Obținem:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Înmulțim a doua și a treia ecuație cu 4, obținem:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Scăzând prima ecuație din a doua și a treia ecuație, avem:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Împărțiți a treia ecuație la 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Înmulțiți a treia ecuație cu 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Să scădem a doua din a treia ecuație pentru a obține o matrice extinsă "în trepte":

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Astfel, deoarece eroarea acumulată în timpul calculelor, obținem x 3 \u003d 0,96 sau aproximativ 1.

x 2 \u003d 3 și x 1 \u003d -1.

Rezolvând astfel, nu vă veți confunda niciodată în calcule și, în ciuda erorilor de calcul, veți obține rezultatul.

Această metodă de rezolvare a unui sistem de ecuații algebrice liniare este ușor de programat și nu ia în considerare caracteristicile specifice ale coeficienților pentru necunoscute, deoarece în practică (în calculele economice și tehnice) trebuie să ne ocupăm de coeficienți non-întregi.

Îți doresc succes! Ne vedem la ore! Tutore.

site-ul blogului, cu copierea completă sau parțială a materialului, este necesar un link către sursă.

Să se dea un sistem de ecuații algebrice liniare, care trebuie rezolvate (găsiți astfel de valori ale necunoscutelor xi care transformă fiecare ecuație a sistemului într-o egalitate).

Știm că un sistem de ecuații algebrice liniare poate:

1) Nu aveți soluții (fi inconsecvent).
2) Aveți infinit de multe soluții.
3) Aveți o soluție unică.

După cum ne amintim, regula lui Cramer și metoda matricei nu sunt aplicabile în cazurile în care sistemul are infinit de multe soluții sau este inconsecvent. Metoda Gauss – cel mai puternic și versatil instrument pentru găsirea de soluții la orice sistem de ecuații liniare, pe care în fiecare cazne va conduce la răspuns! Algoritmul metodei în sine funcționează la fel în toate cele trei cazuri. Dacă cunoașterea factorilor determinanți este necesară în metodele Cramer și matrice, atunci pentru a aplica metoda Gauss, este necesară cunoașterea numai a operațiilor aritmetice, ceea ce o face accesibilă chiar și pentru elevii din școala primară.

Transformări matriciale extinse ( aceasta este matricea sistemului - o matrice compusă numai din coeficienții necunoscutelor, plus o coloană de termeni liberi)sisteme de ecuații algebrice liniare în metoda Gauss:

1) din siruri de caractere matrici poate sa rearanjalocuri.

2) dacă matricea conține (sau este) proporțională (ca un caz special - același) rânduri, atunci urmează șterge din matrice toate aceste rânduri, cu excepția unuia.

3) dacă a apărut un rând zero în matrice în timpul transformărilor, atunci urmează și el șterge.

4) rândul matricei poate fi înmulți (împarte)la orice alt număr decât zero.

5) rândul matricei poate fi adăugați un alt șir înmulțit cu un numărnenul.

În metoda Gauss, transformările elementare nu schimbă soluția sistemului de ecuații.

Metoda gaussiană constă în două etape:

1. „Mutare directă” - cu ajutorul transformărilor elementare, reduceți matricea extinsă a sistemului de ecuații algebrice liniare la o formă „triunghiulară” în trepte: elementele matricei extinse situate sub diagonala principală sunt egale cu zero (mișcare „de sus în jos”). De exemplu, la acest formular:

Pentru a face acest lucru, urmați acești pași:

1) Să presupunem că considerăm prima ecuație a unui sistem de ecuații algebrice liniare și coeficientul la x 1 este K. Al doilea, al treilea etc. ecuațiile sunt transformate după cum urmează: fiecare ecuație (coeficienți pentru necunoscute, inclusiv termenii liberi) este împărțită la coeficientul pentru necunoscutul x 1, care se află în fiecare ecuație și îl înmulțim cu K. După aceea, scădem prima din a doua ecuație (coeficienți pentru necunoscute și termeni liberi). Obținem coeficientul 0 pentru x 1 în a doua ecuație. Scădeți prima ecuație din a treia ecuație transformată până când toate ecuațiile, cu excepția primei, pentru necunoscut x 1 au un coeficient de 0.

2) Mergeți la următoarea ecuație. Fie aceasta cea de-a doua ecuație și coeficientul la x 2 este egal cu M. Cu toate ecuațiile „inferioare” procedăm așa cum s-a descris mai sus. Astfel, „sub” necunoscutul x 2 în toate ecuațiile vor fi zerouri.

3) Mergeți la următoarea ecuație și așa mai departe până când există o ultimă necunoscută și termenul liber transformat.

1. „Reverse” a metodei Gauss - obținerea unei soluții la un sistem de ecuații algebrice liniare (mișcare „de jos în sus”). Din ultima ecuație „inferioară” obținem o primă soluție - necunoscutul x n. Pentru a face acest lucru, rezolvăm ecuația elementară A * x n \u003d B. În exemplul de mai sus, x 3 \u003d 4. Înlocuiți valoarea găsită în ecuația următoare „superioară” și o rezolvăm în raport cu următoarea necunoscută. De exemplu, x 2 - 4 \u003d 1, adică x 2 \u003d 5. Și așa mai departe până când găsim toate necunoscutele.

Exemplu.

Să rezolvăm sistemul de ecuații liniare prin metoda Gauss, așa cum unii autori recomandă:

Să notăm matricea extinsă a sistemului și, folosind transformări elementare, să o aducem într-o formă pas cu pas:

Ne uităm la „pasul” din stânga sus. Ar trebui să avem o unitate acolo. Problema este că prima coloană nu are deloc, așa că rearanjarea rândurilor nu va rezolva nimic. În astfel de cazuri, unitatea trebuie organizată folosind o transformare elementară. Acest lucru se poate face de obicei în mai multe moduri. Să o facem:
1 pas ... La prima linie, adăugați a doua linie înmulțită cu -1. Adică am înmulțit mental a doua linie cu –1 și am adăugat prima și a doua linie, în timp ce a doua linie nu s-a schimbat.

Acum, în partea stângă sus este „minus one”, ceea ce este bine pentru noi. Oricine dorește să obțină +1 poate efectua o acțiune suplimentară: înmulțiți prima linie cu -1 (schimbați-i semnul).

Pasul 2 ... Prima linie înmulțită cu 5 a fost adăugată la a doua linie. Prima linie înmulțită cu 3 a fost adăugată la a treia linie.

Pasul 3 ... Prima linie a fost înmulțită cu -1, în principiu, aceasta este pentru frumusețe. Semnul celei de-a treia linii a fost, de asemenea, schimbat și a fost mutat pe locul al doilea, astfel, pe al doilea „pas, avem unitatea necesară.

Pasul 4 ... A treia linie a fost adăugată la a doua linie înmulțită cu 2.

Pasul 5 ... A treia linie a fost împărțită la 3.

Un semn care indică o eroare în calcule (mai rar - o greșeală de scriere) este linia de jos „proastă”. Adică, dacă în partea de jos avem ceva de genul (0 0 11 | 23) și, în consecință, 11x 3 \u003d 23, x 3 \u003d 23/11, atunci cu un grad ridicat de probabilitate se poate argumenta că a fost comisă o eroare în timpul transformări elementare.

Efectuăm mișcarea inversă, în proiectarea de exemple, sistemul în sine nu este adesea rescris, iar ecuațiile sunt „luate direct din matricea dată”. Mișcarea inversă, îți reamintesc, funcționează de jos în sus. În acest exemplu, am primit un cadou:

x 3 \u003d 1
x 2 \u003d 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1, deci x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d –1

Răspuns: x 1 \u003d –1, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d 1.

Să rezolvăm același sistem conform algoritmului propus. Primim

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Împărțiți a doua ecuație la 5 și a treia la 3. Obținem:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Înmulțim a doua și a treia ecuație cu 4, obținem:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Scăzând prima ecuație din a doua și a treia ecuație, avem:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Împărțiți a treia ecuație la 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Înmulțiți a treia ecuație cu 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Să scădem a doua din a treia ecuație pentru a obține o matrice extinsă "în trepte":

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Astfel, deoarece eroarea acumulată în timpul calculelor, obținem x 3 \u003d 0,96 sau aproximativ 1.

x 2 \u003d 3 și x 1 \u003d -1.

Rezolvând astfel, nu vă veți confunda niciodată în calcule și, în ciuda erorilor de calcul, veți obține rezultatul.

Această metodă de rezolvare a unui sistem de ecuații algebrice liniare este ușor de programat și nu ia în considerare caracteristicile specifice ale coeficienților pentru necunoscute, deoarece în practică (în calculele economice și tehnice) trebuie să ne ocupăm de coeficienți non-întregi.

Îți doresc succes! Ne vedem la ore! Tutor Dmitri Aistrakhanov.

site-ul, cu copierea completă sau parțială a materialului, este necesar un link către sursă.

Soluția sistemelor de ecuații liniare prin metoda Gauss.Să avem nevoie să găsim o soluție pentru sistem de la n ecuații liniare cu n variabile necunoscute
determinantul matricei principale a cărui este diferit de zero.

Esența metodei Gauss constă în eliminarea succesivă a variabilelor necunoscute: în primul rând, x 1 din toate ecuațiile sistemului, începând cu a doua, excludeți în continuare x 2dintre toate ecuațiile, începând cu a treia și așa mai departe, până când rămâne doar ultima variabilă necunoscută în ultima ecuație x n... Se numește un astfel de proces de transformare a ecuațiilor sistemului pentru eliminarea succesivă a variabilelor necunoscute prin cursul direct al metodei Gauss... După finalizarea cursei înainte a metodei Gauss, din ultima ecuație, găsim x n, se folosește această valoare din penultima ecuație x n-1, și așa mai departe, din prima ecuație pe care o găsim x 1... Se numește procesul de calculare a variabilelor necunoscute atunci când se trece de la ultima ecuație a sistemului la prima metoda Gauss înapoi.

Să descriem pe scurt algoritmul pentru eliminarea variabilelor necunoscute.

Vom presupune acest lucru, deoarece putem obține întotdeauna acest lucru prin rearanjarea ecuațiilor sistemului. Eliminați variabila necunoscută x 1 a tuturor ecuațiilor sistemului, începând cu a doua. Pentru a face acest lucru, la a doua ecuație a sistemului adăugăm prima, înmulțită cu, la a treia ecuație adăugăm prima, înmulțită cu și așa mai departe, la a n-ala ecuație adăugăm prima, înmulțită cu. Sistemul de ecuații după astfel de transformări ia forma

unde un.

Am ajunge la același rezultat dacă am exprima x 1 prin alte variabile necunoscute din prima ecuație a sistemului și expresia rezultată a fost substituită în toate celelalte ecuații. Deci variabila x 1 excluse din toate ecuațiile, începând cu a doua.

Pentru aceasta, la a treia ecuație a sistemului adăugăm a doua înmulțită cu, la a patra ecuație adăugăm a doua înmulțită cu și așa mai departe, la a n-ala ecuație adăugăm a doua, înmulțită cu. Sistemul de ecuații după astfel de transformări ia forma

unde un. Deci variabila x 2 excluse din toate ecuațiile începând cu a treia.

Deci, continuăm cursul direct al metodei Gauss până când sistemul ia forma

Din acest moment, începem cursul invers al metodei Gauss: calculați x n din ultima ecuație ca, folosind valoarea obținută x n găsi x n-1 din penultima ecuație și așa mai departe, găsim x 1 din prima ecuație.

Exemplu.

Rezolvați sistemul de ecuații liniare folosind metoda Gaussiană. ...

Răspuns:

x 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1.

SUCURSALA KOSTROMA A UNIVERSITĂȚII MILITARE DE PROTECȚIE RHB

Departamentul "Automatizarea comenzii și controlului trupelor"

Numai pentru profesori

"Sunt de acord"

Șeful departamentului numărul 9

colonelul A.B. YAKOVLEV

„____” ______________ 2004

conferențiar universitar A.I. SMIRNOVA

"MATRICE. METODA GAUSS"

LECTURA Nr. 2/3

Discutat la reuniunea departamentului numărul 9

„____” ___________ 2003

Proces verbal Nr. ___________

Kostroma, 2003

Cobsesie

Introducere

1. Acțiuni pe matrice.

2. Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare prin metoda Gauss.

Concluzie

Literatură

1. V.E. Schneider și colab., Curs scurt de matematică superioară, volumul I, cap. 2, §6, 7.

2.V.S. Șchipachev, Matematică superioară, cap. 10, § 1, 7.

INTRODUCERE

Cursul discută conceptul de matrice, acțiunile pe matrice, precum și metoda Gauss pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare. Pentru un caz special, așa-numitele matrice pătrate, se pot calcula determinanții, al căror concept a fost discutat în prelegerea anterioară. Metoda Gauss este mai generală decât metoda Cramer considerată anterior pentru rezolvarea sistemelor liniare. Întrebările discutate în cadrul prelegerii sunt utilizate în diferite ramuri ale matematicii și în întrebările aplicate.

Prima întrebare de studiu ACȚIUNI PE MATRICI

DEFINIȚIE 1. Masă dreptunghiulară dinm, n numere care conținm - linii șin - coloane, tastați:

numit matrice de dimensiuni m ´ n

Numerele care alcătuiesc matricea sunt numite elemente matrice.

Poziția articolului și eu j în matrice sunt caracterizate printr-un indice dublu:

primul eu - numărul liniei;

al doilea j - numărul coloanei la intersecția căruia stă elementul.

În formă prescurtată, matricile sunt notate cu majuscule: A, B, C ...

Pe scurt, puteți scrie astfel:

DEFINIȚIE 2.O matrice cu numărul de rânduri egal cu numărul de coloane, adicăm = n se numește pătrat.

Numărul de rânduri (coloane) ale unei matrice pătrate se numește ordinea matricei.

EXEMPLU.

OBSERVAȚIE 1. Vom lua în considerare matricile ale căror intrări sunt numere. În matematică și aplicațiile sale, există matrici ale căror elemente sunt alte obiecte, de exemplu, funcții, vectori.

OBSERVAȚIE 2. Matricea este un concept matematic special. Cu ajutorul matricelor, este convenabil să scrieți diverse transformări, sisteme liniare etc., prin urmare matricile se găsesc adesea în literatura matematică și tehnică.

DEFINIȚIE 3.Matrice de dimensiuni1 nse numește o linie matrice - șir.

Matrice de dimensiuni T.1 format dintr-o coloană se numește matrice - coloană.

DEFINIȚIE 4. Zero Matrix numită matrice, ale cărei elemente sunt egale cu zero.

Luați în considerare o matrice pătrată de ordine n:

diagonală laterală

diagonala principală

Se numește diagonala unei matrice pătrate care merge de la elementul stânga sus al tabelei la dreapta jos diagonala principală a matricei (diagonala principală conține elemente ale formularului și eu eu).

Se numește diagonala care merge de la elementul din dreapta sus la stânga jos de diagonala laterală a matricei.

Să luăm în considerare câteva tipuri speciale de matrice pătrate.

1) Se numește o matrice pătrată diagonalădacă toate elementele care nu sunt pe diagonala principală sunt egale cu zero.

2) Se numește o matrice diagonală în care toate elementele diagonalei principale sunt egale cu una singur... Este indicat:

3) Se numește o matrice pătrată triunghiular, dacă toate elementele de pe aceeași parte a diagonalei principale sunt zero:

inferior superior

matrice triunghiulară matrice triunghiulară

Pentru o matrice pătrată, se introduce conceptul: determinant al unei matrice... Este un determinant compus din elemente matrice. Este indicat:

Este clar că determinantul matricei de identitate este egal cu 1: 1 E½ \u003d 1

COMETARIU. O matrice non-pătrată nu are determinant.

Dacă determinantul unei matrice pătratice este diferit de zero, atunci se numește matricea nedegenerat, dacă determinantul este zero, atunci se numește matricea degenerat.

DEFINIȚIE 5. Se numește matricea obținută din aceasta prin înlocuirea rândurilor sale cu coloane cu aceleași numere transpusă la cea dată.

Matricea transpusă în ȘI, denotați A T.

EXEMPLU.

3 3 2

DEFINIȚIE.Se numesc două matrice de aceeași dimensiune egal, dacă toate elementele lor corespunzătoare sunt egale .

Să luăm în considerare operațiile pe matrice.

ADĂUGAȚI MATRICE.

Operația de adăugare este introdusă numai pentru matrici de aceeași dimensiune.

DEFINIȚIE 7. Suma a două matrice A \u003d (a eu j ) și B \u003d ( b i j ) aceeasi dimensiune matricea С \u003d (cu eu j) de aceeași dimensiune, ale cărei elemente sunt egale cu sumele elementelor corespunzătoare ale termenilor matriciali, adică din i j \u003d a i j + b i j

Suma matricilor este notată A + B.

EXEMPLU.

MULTIPLICAREA REALĂ A MATRICILOR

DEFINIȚIE 8.Pentru a multiplica o matrice cu un numărk, trebuie să înmulțiți fiecare element al matricei cu acest număr:

în cazul în care un A \u003d(și eu j )apoi k · A= (k · a eu j )

EXEMPLU.

PROPRIETĂȚI DE ADĂUGARE ȘI MULTIPLICARE A MATRICEI PE NUMĂR

1. Proprietatea de deplasare: A + B \u003d B + A

2. Proprietate combinată: (A + B) + C \u003d A + (B + C)

3. Proprietate de distribuție: k · (A + B) = k A + k BUnde k – număr

MULTIPLICAȚIA MATRICEI

Matricea ȘIse va numi globulă cu matrice ÎNdacă numărul coloanelor matricei ȘI este egal cu numărul de rânduri ale matricei ÎN, adică pentru matrice consistente matricea ȘI are o dimensiune m ´ n , matrice ÎN are o dimensiune n ´ k . Matricile pătrate sunt consistente dacă sunt de același ordin.

DEFINIȚIE 9.Produsul matricei A de dimensiunim ´ n pe dimensiunea matricei B.n ´ k numită matrice C de mărimem ´ kal cărui element a eu j situat îneu -A linie șij - coloana a, este egală cu suma produselor elementeloreu - al treilea rând al matricei A la elementele corespunzătoarej - coloana matricei B, adică

c eu j = a eu 1 b 1 j + a eu 2 b 2 j +……+ a eu n b n j

Notăm: C \u003d A· ÎN.

apoi

Compoziţie ÎN´ ȘI nu are sens, pentru că matrici

nu este de acord.

NOTĂ 1. Dacă ȘI´ ÎN are sens atunci ÎN´ ȘI s-ar putea să nu aibă sens.

OBSERVAȚIE 2. Dacă are sens ȘI´ ÎN și ÎN´ ȘI, apoi, în general vorbind

ȘI´ ÎN ¹ ÎN´ ȘI, adică multiplicarea matricei nu are o lege de transpunere.

NOTĂ 3. Dacă ȘIEste o matrice pătrată și EMatricea identității este de aceeași ordine, atunci ȘI´ E= E´ A \u003d A.

Din aceasta rezultă că matricea identitară joacă rolul unității în multiplicare.

EXEMPLE... Găsiți, dacă este posibil, ȘI´ ÎN și ÎN´ ȘI.

Decizie: Matricile pătrate de aceeași a doua ordine sunt potrivite în aceeași ordine, deci ȘI´ ÎN și ÎN´ ȘI exista.