În direcția vitezei. Determinarea accelerației punctelor unei figuri plane folosind mtsu Metode pentru determinarea accelerației punctelor unei figuri plane

Considerând mișcarea plană a unei figuri plane ca suma mișcării de translație, în care toate punctele figurii se mișcă cu accelerația A A a polului A și rotație

mișcare în jurul acestui pol, obținem o formulă pentru determinarea accelerației oricărui punct B al unei figuri plate în formă

a B \u003d		un A +		a BA \u003d		a A + a BAв +	un BAc.
Aici un						accelerare	polii A; A		Accelerare

mișcarea de rotație a punctului B în jurul polului A, care, la fel ca în cazul rotației unui corp în jurul unei axe fixe, este vector

este suma accelerației de rotație a BA în și centru

accelerare rapidă a BA c ... Modulele acestor accelerații sunt determinate de formule

modul de accelerare unghiulară. Accelerația de rotație a BA în este direcționată perpendicular pe segmentul AB în direcția săgeții arcului ε, iar accelerația centripetă a BA c este direcționată de-a lungul liniei AB din punctul B până la polul A (Fig. 12). Modulul total de accelerație a BA al punctului B relativ la polul A datorat condiției a BA într-un BA q se calculează prin formula

Fig 12. Determinarea accelerației punctului B

folosind polul A.

Pentru a găsi accelerația a B după formula (2.18)

se recomandă utilizarea mod analitic... În această metodă, este introdus un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare (sistemul Bxy din Fig. 12) și proiecțiile a Bx, a By

accelerația necesară ca sume algebrice ale proiecțiilor accelerărilor incluse în partea dreaptă a egalității (2.18):

(o în

(a c

a cosα

c;

(o în

(a c

sinα

unde α este unghiul dintre vectorul a A

și axa Bx. Prin găsit

Metoda descrisă pentru determinarea accelerațiilor punctelor unei figuri plane este aplicabilă rezolvării problemelor în care sunt specificate mișcarea polului A și unghiul de rotație al figurii

ecuații (2.14). Dacă dependența unghiului de rotație de timp este necunoscută, atunci pentru o poziție dată a figurii este necesar să se determine viteza unghiulară instantanee și accelerația unghiulară instantanee. Metodele pentru determinarea lor sunt discutate în continuare în exemplele sarcinii 2.

Rețineți, de asemenea, că în determinarea accelerațiilor punctelor unei figuri plane, se poate utiliza centru de accelerare instantanee- un punct a cărui accelerație la un moment dat în timp este egală cu zero. Cu toate acestea, utilizarea centrului de accelerație instantanee este asociată cu metode destul de laborioase de găsire a poziției sale; prin urmare, se recomandă determinarea accelerațiilor punctelor unei figuri plate folosind formula

2.4 Sarcina 2. Determinarea vitezelor și accelerațiilor punctelor unui mecanism plat

Mecanismele (vezi p. 5) sunt numite plate dacă toate punctele sale se deplasează în planuri identice sau paralele, altfel mecanismele sunt numite spațiale

nym.

ÎN sarcina 2.1 se ocupăunelte planetare,

în sarcina 2.2 - mecanisme de poziționare a manivelei și în sarcină

2.3 în plus față de cele două tipuri numite, este studiată mișcarea mecanismelor altor tipuri. Majoritatea mecanismelor luate în considerare sunt mecanisme cu un singur grad de libertate,

în care să determinați mișcarea tuturor legăturilor, trebuie să setați legea mișcării unei legături.

Tema 2.1

În mecanismul planetar (Fig. 13), manivela 1 cu o lungime de OA \u003d 0,8 (m) se rotește în jurul unei axe fixe O, perpendiculară pe planul figurii, conform legii

ϕ OA (t) \u003d 6t - 2t 2 (rad). În punctul A, manivela este articulată

cu centrul discului 2 pe raza r \u003d 0,5 (m), care se află în angrenaj intern cu roata fixă \u200b\u200b3, coaxială cu

manivela OA. Punctul B este setat pe discul 2 la momentul t 1 \u003d 1 (s), a cărui poziție este determinată de distanța AB \u003d 0,5 (m) și unghiul α \u003d 135 °. (La un moment dat în timp, unghiul α este măsurat de pe axa Ax în sens invers acelor de ceasornic pentru α\u003e 0 sau în direcția opusă pentru

α < 0).

Fig 13. Mecanismul planetar și metoda de specificare a poziției punctului B.

Determinați la momentul t 1

1) viteza punctului B în două moduri: folosind centrul de viteze instantanee (IMC) al discului 2 și folosind polul A;

2) Accelerarea punctului B folosind polul A.

1) Determinarea vitezei punctului B.

Mai întâi trebuie să realizați o imagine grafică

mecanism în scala selectată (de exemplu, la 1 cm din figură - 0,1 m din segmentul OA și raza r) și arată poziția dată a punctului B (Fig. 14).

Fig 14. Determinarea vitezei punctului B folosind centrul instantaneu al vitezei P și polul A.

Conform legii date de rotație a manivelei OA, găsim viteza centrului A al discului 2. Determinăm viteza unghiulară a manivelei la un moment dat t 1 \u003d 1 (c):

ω OA \u003d ϕ! OA \u003d (6 t -				6 - 4 t;	ω OA (t 1) \u003d 2 (rad / s).

Valoarea obținută ω OA (t 1) este pozitivă, de aceea direcționăm săgeata arcului ω OA în sens invers acelor de ceasornic, adică în direcția pozitivă a unghiului ϕ.

Calculați modulul de viteză

v A \u003d ω OA (t 1) OA \u003d 2 0,8 \u003d 1,6 (m / s)

și construiți vectorul viteză v A perpendicular pe ОА spre săgeata arcului ω OA.

săgeata arcului ω OA și vectorul v A sunt trasate în direcția opusă, iar modulul este utilizat pentru a calcula v A

ω OA (t 1).

Centrul instantaneu de viteză (punctul P) al discului 2 este situat în punctul de contact al acestuia cu roata 3 (a se vedea articolul 5 de la p. 34). Să determinăm viteza unghiulară instantanee a discului din valoarea găsită a vitezei v A:

ω \u003d v A / AP \u003d v A / r \u003d 1,6 / 0,5 \u003d 3,2 (rad / s)

și descrieți săgeata arcului în figură (Fig. 14).

Pentru a determina viteza punctului B folosind MCS, găsim distanța BP conform teoremei cosinusului din triunghiul ABP:

BP \u003d AB2 + AP2 - 2 AB AP cos135 "\u003d

0,5 2 + 0,52 - 2 0,52 (- 2/2) ≈ 0,924 (m).

Viteza v B este egală în valoare absolută

v B \u003d ω PB \u003d 3,2 0,924 ≈ 2,956 (m / s)

și este direcționat perpendicular pe segmentul PB în direcția săgeții arc ω.

Același vector v B poate fi găsit folosind polul A conform formulei (2.15): v B \u003d v A + v BA. Transferăm vectorul v A în punctul B și construim un vector v BA, perpendicular pe segmentul AB și îndreptat spre săgeata arcului ω. Modul

că unghiul dintre vectorii v A și v BA este de 45 °. Apoi, prin formula (2.16), găsim

vB \u003d vA 2 + vBA 2 + 2 vA vBA cos 45 "\u003d

1,6 2 + 1,62 + 2 1,62 (2/2) ± 2,956 (m / s).

În figură, vectorul v B trebuie să coincidă cu diagonala paralelogramului, ale cărei laturi sunt vectorii v A și v BA. Acest lucru se realizează prin construirea vectorilor v A, v B și v BA în selectat

scara standard (de exemplu, 1 cm în figură corespunde la 0,5 m / s). Rețineți că scalele prezentate în exemplul considerat pot fi modificate și atribuite independent.

2). Determinarea accelerării punctului B.

Accelerația punctului B este determinată de formula (2.18) folosind polul A, a cărui accelerație este suma vectorului din accelerațiile tangențiale și normale:

a B \u003d a A + a BA в + a BA c \u003d a τ A + a A n + a BA в + a BA c.

Conform legii date de rotație a manivelei OA, găsim accelerația sa unghiulară:

ε OA \u003d ω! OA \u003d (6 - 4t!) \u003d - 4 (rad / s 2).

Valoarea obținută ε OA este negativă, prin urmare, direcționăm săgeata arcului ε OA în sensul acelor de ceasornic, atunci

este în direcția negativă, iar în calculul ulterior vom lua această valoare în modul.

Modulele accelerațiilor tangențiale și normale ale polului A la un moment dat t 1 se găsesc prin formulele (2.11):

a τ A \u003d ε OA OA \u003d 4 0,8 \u003d 3,2 (m / s 2); a n A \u003d ω OA 2 OA \u003d 22 0,8 \u003d 3,2 (m / s 2).

Accelerația tangențială a τ A este direcționată perpendicular pe manivela OA către săgeata arcului ε OA, iar accelerația normală a A n este direcționată de la dorul A până la punctul O în orice direcție a vitezei unghiulare a manivelei (Fig. 15). Nu este necesar să se determine accelerația totală a A.

Fig 15. Determinarea accelerației punctului B folosind polul A.

ω \u003d v A / r \u003d ω OA (OA / r).
	prin definiție unghiular	accelerare	disc (la
OA / r \u003d const) este egal cu
ε = ω ! =	ω! OA (OA / r) \u003d ε OA (OA / r) \u003d -	4 (0.8 / 0.5) =	- 6,4 (rad / s 2).

săgeata unghiulară ε este direcționată în direcția opusă săgeții arc ω.

Calculăm modulele de accelerații rotaționale și centripete ale punctului B în raport cu polul A prin formule

un BAв						AB \u003d	6,4 0,5 \u003d 3,2 (m / s 2);
a BAц						2 AB \u003d	3,22 0,5 \u003d 5,12 (m / s 2).

Vectorul în care BA este direcționat perpendicular pe segmentul AB către

săgeata arc ε și vectorul a BA c - de la punctul B la polul A

Găsim accelerarea punctului B prin proiecțiile sale pe axa sistemului de coordonate Axy:

a Bx \u003d (a τ A) x +					(a An) x + (a BAc) x + (a BAc) x \u003d
	0 - a n A -			un BA la cos 45 "+			a BAц	cos 45 "\u003d
		3.2 −				/ 2 + 5.12		2 / 2 ≈	- 1,84 (m / s 2);
a By \u003d (a τ A) y +					(a An) y + (a BAc) y + (a BAc) y \u003d
		a τ A +	0 −		un BAв	cos45 "	- a BA c cos 45 "\u003d
		3.2 −				/ 2 − 5.12		2 / 2 ≈	- 9,08 (m / s 2).
Modulul a B \u003d		a Bx2			a By2	≈ 9,27 (m / s 2).
					accelerare		a τ A,	a A n,	este necesar un BA c, un BA c

pentru a reprezenta în scara selectată și pentru a construi în aceeași scară vectorul a B conform proiecțiilor găsite (Fig. 15).

Datele inițiale pentru auto-îndeplinirea sarcinii 2.1 sunt date în tabelul de la p. 44.

				Cinematica corpului rigid
		ϕ OA (t), rad				α, deg	t 1, s
		t2 + 3t
		8t - 3t2
		t2 - 4t
		3t - 2t2
		2t2 - t
		4t - t2
		2t2 - 6t
		2t - 3t2
		3t2 - 4t
		8t - 2t2
		4t2 - 6t
		3t - 4t2
		4t2 - 2t
		6t - t2
		2t2 - 4t
		4t - 3t2
		2t2 + t
		4t - 2t2
		3t2 - 10t
		t - 2t2
		3t2 + 2t
		6t - 3t2
		3t2 - 8t
		2t - 4t2

Determinarea vitezei punctelor unei figuri plate

S-a observat că mișcarea unei figuri plate poate fi considerată o componentă a mișcării de translație, în care toate punctele figurii se mișcă cu o vitezăstâlpi ȘI , și dintr-o mișcare de rotație în jurul acestui pol. Să arătăm că viteza oricărui punct Mfigurile sunt adăugate geometric din viteza pe care o primește punctul în fiecare dintre aceste mișcări.

Într-adevăr, poziția oricărui punct M formele sunt definite în raport cu axele Ooh vectorul razei(Fig. 3), unde este vectorul razei polului ȘI , - vector care definește poziția punctului Mrelativ la axedeplasându-se cu stâlpul ȘItranslațional (mișcarea figurii față de aceste axe este o rotație în jurul polului ȘI). Apoi

În egalitatea obținută, cantitateaeste viteza polului ȘI ; magnitudineaegal cu viteza care punct M ajunge la, adică relativ la axe, sau, cu alte cuvinte, când figura se rotește în jurul stâlpului ȘI... Astfel, rezultă cu adevărat din egalitatea anterioară că

Viteză care punct Mdevine atunci când figura se rotește în jurul stâlpului ȘI :

unde ω este viteza unghiulară a figurii.

Astfel, viteza oricărui punct M o figură plană este compusă geometric din viteza unui alt punct ȘI luată pentru stâlp și viteza pe care o atinge punctul M devine atunci când figura se rotește în jurul acestui pol. Modul de viteză și direcțiese găsesc prin construirea paralelogramului corespunzător (Fig. 4).

Fig. 3 Fig. 4

Teorema asupra proiecțiilor vitezei a două puncte ale unui corp

Determinarea vitezei punctelor unei figuri plane (sau a unui corp care se deplasează în mod plan-paralel) este de obicei asociată cu calcule destul de complexe. Cu toate acestea, puteți obține o serie de alte metode, practic mai convenabile și mai simple, pentru determinarea vitezei punctelor unei figuri (sau corp).

Fig. 5

Una dintre astfel de metode este dată de teoremă: proiecțiile vitezei a două puncte ale unui corp rigid pe o axă care trece prin aceste puncte sunt egale una cu cealaltă. Luați în considerare orice două puncte ȘI și ÎN figura plată (sau corpul). Luând ideea ȘI pentru pol (Fig. 5), obținem... Prin urmare, proiectarea ambelor părți ale egalității pe axa îndreptată de-a lungul AB, și având în vedere că vectorulperpendicular AB, găsim

iar teorema este dovedită.

Determinarea vitezelor punctelor unei figuri plane folosind centrul instantaneu al vitezelor.

O altă metodă simplă și intuitivă pentru determinarea vitezei punctelor unei figuri plane (sau a unui corp în mișcare plană) se bazează pe conceptul unui centru instantaneu de viteze.

Centrul de viteză instantanee se numește un punct al unei figuri plate, a cărui viteză la un moment dat este egală cu zero.

Este ușor să vă asigurați că dacă figura se mișcă implicit, apoi un astfel de punct în fiecare moment al timpului t există și, în plus, singurul. Lasă momentul în timp t puncte ȘI și ÎN figurile plate au vitezeși nu paralele între ele (Fig. 6). Apoi punctul Rîntins la intersecția perpendicularelor Aa a vectorși ÎN b a vector , și va fi centrul instantaneu al vitezei de atunci... Într-adevăr, dacă presupunem că, apoi prin teorema proiecției vitezei vectorultrebuie să fie simultan perpendiculare și AR (la fel de) și BP (la fel de), ceea ce este imposibil. Din aceeași teoremă se poate observa că niciun alt punct al figurii în acest moment nu poate avea o viteză egală cu zero.

Fig. 6

Dacă luăm acum ideea R pe pol, apoi viteza punctului ȘI va fi

la fel de ... Un rezultat similar se obține pentru orice alt punct din formă. În consecință, vitezele punctelor unei figuri plate sunt determinate la un moment dat în timp, ca și cum mișcarea figurii ar fi rotație în jurul centrului instantaneu de viteze. Unde

De asemenea, rezultă din egalități căpunctele unei figuri plate sunt proporționale cu distanțele lor față de MDC.

Rezultatele obținute conduc la următoarele concluzii.

1. Pentru a determina centrul instantaneu al vitezelor, trebuie doar să cunoașteți direcțiile vitezelorși două puncte ȘI și ÎN o figură plană (sau traiectoria acestor puncte); centrul instantaneu al vitezei se află la punctul de intersecție a perpendicularelor recuperate din puncte ȘI și ÎN la viteza acestor puncte (sau la tangențele la traiectorii).

2. Pentru a determina viteza oricărui punct al unei figuri plate, trebuie să cunoașteți modulul și direcția vitezei oricărui punct ȘI cifrele și direcția vitezei celuilalt punct al acestuia ÎN... Apoi, recuperându-mă din puncte ȘI și ÎN perpendiculare lași , construim centrul instant al vitezei R și spredetermina directia de rotatie a figurii. După aceea, știind, găsiți vitezaorice punct M figură plană. Vector regizatperpendicular RM spre rotația figurii.

3. Viteza unghiularăa unei figuri plate este egală la un moment dat cu raportul dintre viteza unui punct al figurii și distanța sa de centrul instantaneu de viteze R :

Să luăm în considerare câteva cazuri speciale de determinare a centrului instantaneu de viteze.

a) Dacă mișcarea plan-paralelă se efectuează prin rulare fără a aluneca un corp cilindric pe suprafața unui alt corp staționar, atunci punctul R unui corp de rulare, care atinge o suprafață fixă \u200b\u200b(Fig. 7), are la un moment dat, din cauza absenței alunecării, o viteză egală cu zero (), și, prin urmare, este centrul instantaneu al vitezei. Un exemplu este rularea unei roți pe o șină.

b) Dacă vitezele punctelor ȘI și ÎN figurile plane sunt paralele între ele și linia AB nu perpendiculare(Fig. 8, a), atunci centrul instantaneu al vitezei se află la infinit, iar vitezele tuturor punctelor sunt paralele... Mai mult, rezultă din teorema privind proiecțiile vitezei careadică ; se obține un rezultat similar pentru toate celelalte puncte. În consecință, în cazul analizat, vitezele tuturor punctelor figurii la un moment dat de timp sunt egale una cu cealaltă atât în \u200b\u200bmărime, cât și în direcție, adică figura are o distribuție translațională instantanee a vitezei (această stare de mișcare a corpului este numită și translație instantanee). Viteză unghiularăcorpul în acest moment, așa cum se vede, este zero.

Fig. 7

Fig. 8

c) Dacă vitezele punctelor ȘI și ÎN figurile plane sunt paralele între ele și linia ABperpendicular, apoi centrul instant al vitezei R este determinată de construcția prezentată în Fig. 8, b. Corecția construcțiilor rezultă din proporție. În acest caz, spre deosebire de cele anterioare, pentru a găsi centrul R în afară de direcții, trebuie să cunoașteți și modulele de viteză.

d) Dacă se cunoaște vectorul vitezăorice punct ÎN cifrele și viteza sa unghiulară, apoi poziția centrului instantaneu de viteze R întins pe perpendiculară pe(fig. 8, b), poate fi găsit ca.

Rezolvarea problemelor pentru determinarea vitezei.

Pentru a determina caracteristicile cinematice dorite (viteza unghiulară a unui corp sau viteza punctelor sale), este necesar să se cunoască modulul și direcția vitezei oricărui punct și direcția vitezei unui alt punct al secțiunii acestui corp. Soluția ar trebui să înceapă cu determinarea acestor caracteristici în funcție de sarcinile date.

Mecanismul, a cărui mișcare este investigată, trebuie să fie descris în desen în poziția pentru care este necesar pentru a determina caracteristicile corespunzătoare. La calcul, trebuie amintit că conceptul de centru instantaneu de viteze are loc pentru un corp rigid dat. Într-un mecanism format din mai multe corpuri, fiecare corp în mișcare non-translațional la un moment dat are propriul centru instantaneu de viteze R și viteza sa unghiulară.

Exemplul 1.Corpul, care are forma unei bobine, se rostogolește cu cilindrul de mijloc pe un plan fix, astfel încât(cm). Razele cilindrilor:R= 4 mass-media r\u003d 2 cm (Fig. 9). .

Fig. 9

Decizie. Definim viteza punctului A, Bși DIN.

Centrul instantaneu al vitezei se află în punctul în care bobina atinge planul.

Viteza polului DIN .

Viteza unghiulară a bobinei

Viteze punctuale ȘI și ÎNdirecționate perpendicular pe segmentele de linie care leagă aceste puncte de centrul instantaneu al vitezei. Mărimea vitezelor:

Exemplul 2. Roată cu raza R \u003d Rulouri de 0,6 m fără alunecare de-a lungul unei secțiuni drepte a pistei (Figura 9.1); viteza centrului său C este constantă și egală cuv c \u003d 12 m / s. Găsiți viteza unghiulară a roții și viteza capetelor M 1 , M 2 , M 3 , M 4 diametre verticale și orizontale ale roții.

Figura 9.1

Decizie. Roata face o mișcare plan-paralelă. Centrul instantaneu de viteză al roții este în punctul M1 de contact cu planul orizontal, adică

Viteza unghiulară a roții

Găsiți viteza punctelor M2, M3 și M4

Exemplu3 . Raza roții motrice R \u003d 0,5 m rulează cu alunecare (cu alunecare) de-a lungul unei secțiuni drepte a autostrăzii; viteza sa centrală DIN constantă și egalăv c = 4 m / s. Centrul de viteză instantaneu al roții se află la punctul respectiv R pe distanță h = 0,3 m de planul de rulare. Găsiți viteza unghiulară a roții și viteza punctelor ȘI și ÎN diametrul său vertical.

Figura 9.2

Decizie. Viteza unghiulară a roții

Găsiți viteza punctelor ȘI și ÎN

Exemplul 4.Găsiți viteza unghiulară a bielei AB și viteza punctelor ÎN și Din mecanismul manivelei (Fig. 9.3, și). Având în vedere viteza unghiulară a manivelei OA și dimensiuni: ω OA \u003d 2 s -1, OA = AB \u003d 0,36 m, LA FEL DE\u003d 0,18 m.

și) b)

Figura 9.3

Decizie. Manivelă OA face o mișcare de rotație, bielă AB - mișcare plan-paralel (Figura 9.3, b).

Găsiți viteza punctului ȘI legătură OA

Viteza punctului ÎN îndreptate orizontal. Cunoașterea direcției vitezei punctelor ȘI și ÎN bielă AB, determinați poziția centrului său instantaneu de viteze - punctul R AB.

Legați viteza unghiulară AB și viteza punctelor ÎN și C:

Exemplul 5. Nucleu ABglisează capetele sale de-a lungul liniilor drepte perpendiculare reciproc, astfel încât într-un unghiviteză (fig. 10). Lungimea bareiAB \u003d l... Determinați viteza sfârșitului ȘI iar viteza unghiulară a tijei.

Fig. 10

Decizie. Este ușor să se determine direcția vectorului vitezei punctului ȘI alunecând de-a lungul unei linii verticale. Apoieste la intersecția perpendicularelorși (fig. 10).

Viteză unghiulară

Viteza punctului ȘI :

Și viteza centrului tijei DIN de ex. dirijat perpendicularși este egal:

Plan de viteză.

Să se cunoască viteza mai multor puncte ale unei secțiuni plane a corpului (Fig. 11). Dacă aceste viteze sunt trasate la scară de la un moment dat DESPRE și conectați-le cu capete drepte, veți obține o imagine, care se numește plan de viteză. (Pe imagine) .

Fig. 11

Proprietățile planului de viteză.

a) Laturile triunghiurilor de pe planul vitezelor sunt perpendiculare potrivitdrept pe planul corpului.

Într-adevăr, ... Dar pe planul vitezelor. Mijloaceîn plus perpendicular AB, prin urmareDe asemenea, și.

b) Laturile planului de viteză sunt proporționale cu segmentele de linie corespunzătoare de pe planul corpului.

La fel de, apoi rezultă că laturile planului de viteză sunt proporționale cu segmentele de linie de pe planul corpului.

Combinând aceste proprietăți, putem concluziona că planul vitezelor este similar cu figura corespunzătoare și este rotit față de acesta cu 90˚ în direcția de rotație. Aceste proprietăți ale planului de viteze permit determinarea grafică a vitezei punctelor corpului.

Exemplul 6. Figura 12 este o ilustrare la scară a mecanismului. Viteza unghiulară cunoscutălegătură OA.

Fig. 12

Decizie.Pentru a construi un plan de viteze, trebuie cunoscută viteza unui punct, chiar dacă direcția vectorului vitezei unui altul. În exemplul nostru, puteți determina viteza punctului ȘI : și direcția vectorului.

Fig. 13

Punem deoparte (fig. 13) din punct despre în scarăEste cunoscută direcția vectorului vitezei crawlerului ÎN - orizontală. Desenați pe planul vitezelor din punct DESPRE dreptEu în direcția vitezeiunde ar trebui să fie punctulbdeterminând viteza acestui punct ÎN... Deoarece laturile planului de viteză sunt perpendiculare pe legăturile corespunzătoare ale mecanismului, punctele șiconduce drept perpendicular ABînainte de intersecția cu o linie dreaptă Eu... Punctul de intersecție va defini punctulb, și de aici viteza punctului ÎN : ... Conform celei de-a doua proprietăți a planului de viteză, laturile sale sunt similare cu legăturile unui mecanism. Punct DIN împarte AB la jumătate, ceea ce înseamnă din ar trebui să împartă și b în jumătate. Punct din va determina amploarea și direcția vitezei pe planul de viteze(în cazul în care un din conectați-vă la punct DESPRE).

Viteza punctului E egal cu zero, deci punctul e pe planul vitezelor coincide cu punctul DESPRE.

În continuare, ar trebui să existeși ... Tragem aceste linii, le găsim punctul de intersecțied.Secțiune despre d va determina vectorul vitezei.

Exemplul 7.În articulat cu patru legături OABS conduce manivelaOA cm se rotește uniform în jurul axei DESPRE viteză unghiularăω \u003d 4 s -1 și folosind o bielă AB \u003d 20 cm acționează manivela rotativă Soare în jurul axei DIN (Figura 13.1, și). Determinați viteza punctelor ȘI și ÎN, precum și vitezele unghiulare ale bielei ABși manivelă Soare.

și) b)

Figura 13.1

Decizie.Viteza punctului ȘI manivelă OA

Luând un punct ȘI pentru pol, compuneți ecuația vectorială

unde

O soluție grafică la această ecuație este dată în Figura 13.1. , b (plan de viteză).

Folosind planul de viteză, obținem

Viteza unghiulară a bielei AB

Viteza punctului ÎN poate fi găsit folosind teorema de pe proiecțiile vitezei a două puncte ale corpului pe linia care le leagă

B și viteza unghiulară a manivelei SV

Determinarea accelerației punctelor unei forme plane

Să arătăm că accelerația oricărui punct M a unei figuri plane (precum și a vitezei) este suma accelerațiilor pe care le primește punctul în timpul mișcărilor de translație și rotație ale acestei figuri. Poziția punctului M în raport cu axele DESPRE x y (vezi Figura 30) este determinată vectorul razeieste unghiul dintre vectorși un segment MA (fig. 14).

Astfel, accelerarea oricărui punct Mo figură plană este compusă geometric din accelerația unui alt punct ȘI luată pentru pol și accelerația, care este punctul Mdevine atunci când forma se rotește în jurul acestui pol. Modul și direcția de accelerație, se găsesc prin construirea paralelogramului corespunzător (Fig. 23).

Cu toate acestea, calculul și accelerație orice punct ȘI această cifră în acest moment; 2) traiectoria unui alt punct ÎN cifre. În unele cazuri, în loc de traiectoria celui de-al doilea punct al figurii, este suficient să cunoaștem poziția centrului instantaneu de viteze.

Când rezolvați probleme, corpul (sau mecanismul) trebuie să fie descris în poziția pentru care este necesar pentru a determina accelerația punctului corespunzător. Calculul începe cu determinarea punctului luat ca pol conform datelor problemei.

Planul soluției (dacă se specifică viteza și accelerația unui punct al figurii plane și direcțiile vitezei și accelerației unui alt punct al figurii):

1) Găsiți centrul instantaneu al vitezelor prin restabilirea perpendicularelor la vitezele a două puncte ale unei figuri plate.

2) Determinați viteza unghiulară instantanee a figurii.

3) Determinați accelerația centripetă a unui punct din jurul polului, echivalând cu zero suma proiecțiilor tuturor termenilor de accelerație pe axa perpendiculară pe direcția cunoscută de accelerație.

4) Găsiți modulul de accelerație de rotație echivalând la zero suma proiecțiilor tuturor termenilor de accelerație pe axa perpendiculară pe direcția de accelerație cunoscută.

5) Determinați accelerația unghiulară instantanee a unei figuri plane din accelerația de rotație găsită.

6) Găsiți accelerația unui punct al unei figuri plane folosind formula pentru distribuția accelerațiilor.

Când rezolvați probleme, puteți aplica „teorema asupra proiecțiilor vectorilor de accelerație a două puncte ale unui corp absolut rigid”:

„Proiecții ale vectorilor de accelerație a două puncte ale unui corp absolut rigid, care efectuează mișcare plan-paralelă, pe o linie dreaptă rotită relativ la o linie dreaptă care trece prin aceste două puncte, în planul de mișcare al acestui corp sub un unghiîn direcția accelerației unghiulare sunt egale. "

Este convenabil să se aplice această teoremă dacă accelerațiile numai a două puncte ale unui corp absolut rigid sunt cunoscute atât în \u200b\u200bvaloare absolută, cât și în direcție, sunt cunoscute doar direcțiile vectorilor de accelerație ale altor puncte ale acestui corp (nu se cunosc dimensiunile geometrice ale corpului)și - respectiv, proiecția vectorilor de viteză unghiulară și de accelerație unghiulară a acestui corp pe axa perpendiculară pe planul de mișcare, nu se cunosc vitezele punctelor acestui corp.

Există încă 3 metode pentru determinarea accelerației punctelor unei figuri plate:

1) Metoda se bazează pe diferențierea de două ori în timp a legilor mișcării plan-paralele ale unui corp absolut rigid.

2) Metoda se bazează pe utilizarea centrului de accelerare instantanee al unui corp absolut rigid (centrul de accelerare instantanee al unui corp absolut rigid va fi discutat mai jos).

3) Metoda se bazează pe utilizarea unui plan de accelerare a corpului absolut rigid.

Cursul 3. Mișcarea plan-paralelă a unui corp rigid. Determinarea vitezelor și accelerațiilor.

Această prelegere abordează următoarele probleme:

1. Mișcare plan-paralelă a unui corp rigid.

2. Ecuațiile mișcării plan-paralele.

3. Descompunerea mișcării în translație și rotație.

4. Determinarea vitezei punctelor unei figuri plate.

5. Teorema asupra proiecțiilor vitezei a două puncte ale corpului.

6. Determinarea vitezelor punctelor unei figuri plane folosind centrul instantaneu al vitezelor.

7. Rezolvarea problemelor pentru determinarea vitezei.

8. Plan de viteză.

9. Determinarea accelerației punctelor unei figuri plate.

10. Rezolvarea problemelor pentru accelerare.

11. Centru de accelerare instantanee.

Studiul acestor probleme este necesar în viitor pentru dinamica mișcării plane a unui corp rigid, dinamica mișcării relative a unui punct material, pentru rezolvarea problemelor din disciplinele „Teoria mașinilor și mecanismelor” și „Părțile mașinilor”.

Mișcare plan-paralelă a unui corp rigid. Ecuațiile mișcării plan-paralele.

Descompunerea mișcării în translație și rotație

Plan-paralel (sau plat) este o mișcare a unui corp rigid, la care toate punctele sale se deplasează paralel cu un plan fix P (fig. 28). Mișcarea plană este realizată de mai multe părți ale mecanismelor și mașinilor, de exemplu, o roată de rulare pe o linie dreaptă, o bielă într-un mecanism cu manivelă, etc. Un caz particular de mișcare plan-paralel este mișcarea de rotație a unui corp rigid în jurul unei axe fixe.

Fig. 28 Fig. 29

Luați în considerare secțiunea S corpul unui avion Oxyparalel cu planul P (fig. 29). Într-o mișcare plan-paralelă, toate punctele corpului situate pe o linie dreaptă MM'Perpendicular pe flux S, adică avionul P, mișcați identic.

Prin urmare, concluzionăm că pentru a studia mișcarea întregului corp, este suficient să studiem cum se mișcă în plan Oohsecțiune Sa acestui corp sau a unei figuri plate S... Prin urmare, în cele ce urmează, în loc de mișcarea plană a corpului, vom considera mișcarea unei figuri plane S în planul său, adică in avion Ooh.

Poziția figurii S in avion Ooheste determinată de poziția unui segment desenat pe această figură AB (fig. 28). La rândul său, poziția segmentului AB poate fi determinată prin cunoașterea coordonatelor x A și y A puncte ȘI și unghiul pe care îl are segmentul AB formează cu axa X... Punct ȘIselectat pentru a defini poziția figurii S, denumit în continuare un stâlp.

Când figura se mișcă, valorile x A și y A și se va schimba. Pentru a cunoaște legea mișcării, adică poziția figurii în plan Ooh în orice moment, trebuie să cunoașteți dependențele

Ecuațiile care determină legea mișcării în curs se numesc ecuațiile mișcării unei figuri plane în planul ei. Sunt, de asemenea, ecuații ale mișcării plan-paralele ale unui corp rigid.

Primele două dintre ecuațiile mișcării determină mișcarea pe care o va efectua figura la \u003d const; aceasta, evident, va fi o mișcare de translație în care toate punctele figurii se mișcă în același mod ca polul ȘI... A treia ecuație determină mișcarea pe care o va efectua figura și, adică când stâlpul ȘInemişcat; aceasta va roti figura în jurul stâlpului ȘI... Prin urmare, putem concluziona că, în cazul general, mișcarea unei figuri plate în planul său poate fi considerată ca o sumă a mișcării de translație, în care toate punctele figurii se mișcă în același mod ca polul ȘI, și dintr-o mișcare de rotație în jurul acestui pol.

Principalele caracteristici cinematice ale mișcării luate în considerare sunt viteza și accelerația mișcării de translație egale cu viteza și accelerația polului, precum și viteza unghiulară și accelerația unghiulară a mișcării de rotație în jurul polului.

Determinarea vitezei punctelor unei figuri plate

S-a observat că mișcarea unei figuri plate poate fi considerată o componentă a mișcării de translație, în care toate punctele figurii se mișcă cu viteza polului ȘI, și dintr-o mișcare de rotație în jurul acestui pol. Să arătăm că viteza oricărui punct Mfigurile sunt formate geometric din viteza pe care o primește punctul în fiecare dintre aceste mișcări.

Într-adevăr, poziția oricărui punct M formele sunt definite în raport cu axele Ooh vectorul razei (Fig. 30), unde este vectorul razei polului ȘI, este un vector care definește poziția punctului M relativ la axele care se mișcă odată cu stâlpul ȘItranslațional (mișcarea figurii față de aceste axe este o rotație în jurul polului ȘI). Apoi

Să arătăm că accelerația oricărui punct M a unei figuri plane (precum și a vitezei) este suma accelerațiilor pe care le primește punctul în timpul mișcărilor de translație și rotație ale acestei figuri. Poziția punctului M în raport cu axele Oxy(vezi Figura 30) este determinată de vectorul razei unde. Apoi

Pe partea dreaptă a acestei egalități, primul termen este accelerarea polului ȘI, iar al doilea termen determină accelerația pe care o primește punctul m când figura se rotește în jurul polului A... prin urmare,

Valoarea, ca accelerare a unui punct al unui corp rigid rotativ, este definită ca

unde și sunt viteza unghiulară și accelerația unghiulară a figurii și este unghiul dintre vector și segment MA (fig. 41).

Astfel, accelerarea oricărui punct Mo figură plană este compusă geometric din accelerația unui alt punct ȘIluată pentru pol și accelerația, care este punctul Mdevine atunci când figura se rotește în jurul acestui pol. Modulul și direcția de accelerație se găsesc prin trasarea paralelogramului corespunzător (Fig. 23).

Cu toate acestea, calculul utilizând paralelogramul prezentat în Fig. 23 complică calculul, deoarece va fi mai întâi necesar să se găsească valoarea unghiului și apoi unghiul dintre vectori și, Prin urmare, atunci când se rezolvă probleme, este mai convenabil să înlocuiți vectorul cu componentele sale tangente și normale și să îl reprezentați în formă

În acest caz, vectorul este direcționat perpendicular pe A.M în direcția de rotație, dacă este accelerată, și împotriva rotației, dacă este mai lentă; vectorul este întotdeauna direcționat din punct M la stâlp ȘI(fig. 42). Numeric

Dacă stâlpul ȘInu se mișcă în linie dreaptă, atunci accelerația sa poate fi reprezentată și ca suma componentelor tangente și normale, atunci

Fig. 41 Fig. 42

În cele din urmă, când punctul Mse mișcă curbiliniar și traiectoria sa este cunoscută, apoi poate fi înlocuită cu o sumă.

Întrebări de auto-testare

Ce mișcare a unui corp rigid se numește plat? Dați exemple de legături de mecanisme care fac mișcarea planului.

Care sunt mișcările simple care alcătuiesc mișcarea plană a unui corp rigid?

Cum se determină viteza unui punct arbitrar al unui corp în mișcare plană?

Ce mișcare a unui corp rigid se numește plan-paralel?

Mișcare punctuală complexă

Această prelegere abordează următoarele probleme:

1. Mișcarea complexă a unui punct.

2. Mișcare relativă, figurativă și absolută.

3. Teorema adaosului de viteză.

4. Teorema adăugării accelerațiilor. Accelerarea Coriolis.

5. Mișcarea complexă a unui corp rigid.

6. Angrenaje cilindrice.

7. Adăugarea mișcărilor de translație și rotație.

8. Mișcarea șurubului.

Studiul acestor probleme este necesar în viitor pentru dinamica mișcării plane a unui corp rigid, dinamica mișcării relative a unui punct material, pentru rezolvarea problemelor din disciplinele „Teoria mașinilor și mecanismelor” și „Părțile mașinilor”.

Centrul instantaneu de viteze.

Centrul de viteză instantanee - într-o mișcare plan-paralelă, un punct cu următoarele proprietăți: a) viteza sa la un moment dat este egală cu zero; b) corpul se rotește relativ la el la un moment dat.

Pentru a determina poziția centrului instantaneu de viteze, este necesar să cunoaștem direcțiile vitezei oricăror două puncte diferite ale corpului, ale căror viteze nu sunt paralele. Apoi, pentru a determina poziția centrului instantaneu de viteze, este necesar să se traseze perpendiculare pe linii drepte paralele cu viteza liniară a punctelor selectate ale corpului. În punctul de intersecție al acestor perpendiculare, va fi situat centrul instantaneu al vitezei.

În cazul în care vectorii vitezei liniare din două puncte diferite ale corpului sunt paralele unul cu celălalt, iar segmentul care leagă aceste puncte nu este perpendicular pe vectorii acestor viteze, atunci și perpendicularele pe acești vectori sunt paralele. În acest caz, ei spun că centrul instantaneu al vitezei este la infinit, iar corpul se mișcă instantaneu translațional.

Dacă se cunosc vitezele a două puncte, iar aceste viteze sunt paralele între ele și, în plus, punctele indicate se află pe o linie dreaptă perpendiculară pe viteze, atunci poziția centrului instantaneu de viteze este determinată așa cum se arată în Fig. 2.

Poziția centrului instantaneu de viteze în cazul general nu coincide cu poziția centrului instantaneu de accelerații. Cu toate acestea, în unele cazuri, de exemplu, cu o mișcare pur de rotație, pozițiile acestor două puncte pot coincide.

21. Determinarea accelerațiilor punctelor corpului.Metoda polului.Conceptul centrului instantaneu de accelerații.

Să arătăm că accelerația oricărui punct M a unei figuri plane (precum și a vitezei) este suma accelerațiilor pe care le primește punctul în timpul mișcărilor de translație și rotație ale acestei figuri. Poziția punctului M în raport cu axele Oxy(vezi Figura 30) este determinată de vectorul razei unde. Apoi

Pe partea dreaptă a acestei egalități, primul termen este accelerarea polului ȘI, iar al doilea termen determină accelerația pe care o primește punctul m când figura se rotește în jurul polului A... prin urmare,

Valoarea, ca accelerare a unui punct al unui corp rigid rotativ, este definită ca

unde și sunt viteza unghiulară și accelerația unghiulară a figurii și este unghiul dintre vector și segment MA (fig. 41).

Astfel, accelerarea oricărui punct Mo figură plană este compusă geometric din accelerația unui alt punct ȘIluată pentru pol și accelerația, care este punctul Mdevine atunci când figura se rotește în jurul acestui pol. Modulul și direcția de accelerație se găsesc prin trasarea paralelogramului corespunzător (Fig. 23).

Cu toate acestea, calculul utilizarea paralelogramului prezentat în Fig. 23 complică calculul, deoarece va fi mai întâi necesar să se găsească valoarea unghiului, apoi unghiul dintre vectori și, Prin urmare, atunci când se rezolvă probleme, este mai convenabil să se înlocuiască vectorul cu componentele sale tangente și normale și să se reprezinte în formă

În acest caz, vectorul este direcționat perpendicular pe A.M în direcția de rotație, dacă este accelerată, și împotriva rotației, dacă este mai lentă; vectorul este întotdeauna direcționat din punct M la stâlp ȘI(fig. 42). Numeric

Dacă stâlpul ȘInu se mișcă în linie dreaptă, atunci accelerația sa poate fi reprezentată și ca suma componentelor tangente și normale, atunci

Fig. 41 Fig. 42

În cele din urmă, când punctul Mse mișcă curbiliniar și traiectoria sa este cunoscută, apoi poate fi înlocuită cu o sumă.