Rezolvarea ecuațiilor exponențiale complexe în testele de examen. Ecuații exponențiale. Metoda logaritmului. Evidențierea unei expresii stabile

Nu te lăsa intimidat de cuvintele mele, ai întâlnit deja această metodă în clasa a VII-a, când studiai polinoame.

De exemplu, dacă aveți nevoie:

Să grupăm: primul și al treilea termen, precum și al doilea și al patrulea termen.

Este clar că primul și al treilea sunt diferența de pătrate:

iar al doilea și al patrulea au un factor comun de trei:

Atunci expresia originală este echivalentă cu aceasta:

Unde trebuie eliminat factorul comun nu mai este dificil:

Prin urmare,

Acesta este aproximativ modul în care vom acționa atunci când rezolvăm ecuații exponențiale: căutați „puncte comune” printre termeni și puneți-l în afara parantezelor, bine, atunci - ce s-ar întâmpla, cred că vom avea noroc \u003d))

Exemplul nr. 14

În dreapta este departe de un grad de șapte (l-am verificat!) Și în stânga - nu mult mai bine ...

Puteți, desigur, să „tăiați” factorul a din al doilea din primul termen și apoi să vă ocupați de rezultat, dar hai să o facem mai sensibil cu dvs.

Nu vreau să mă ocup de fracții, care provin inevitabil din „selecție”, deci nu ar fi mai bine să suport?

Atunci nu voi avea fracțiuni: așa cum se spune, atât lupii sunt hrăniți, cât și oile sunt în siguranță:

Numărați expresia dintre paranteze.

Într-un mod magic, magic, se dovedește că (surprinzător, deși la ce altceva ne putem aștepta?).

Apoi anulăm ambele părți ale ecuației cu acest factor. Primim :, de unde.

Iată un exemplu mai complicat (destul de puțin, într-adevăr):

Ce necaz! Nu avem un punct comun aici!

Nu este deloc clar ce să facem acum.

Să facem ce putem: mai întâi, să mutăm „patru” pe o parte, iar „cinci” pe cealaltă:

Acum, să mutăm „comunul” la stânga și la dreapta:

Și acum ce?

Care este beneficiul unui grup atât de prost? La prima vedere, nu este deloc vizibil, dar să privim mai adânc:

Ei bine, acum să o facem astfel încât în \u200b\u200bstânga să avem doar expresia cu și în dreapta - orice altceva.

Cum facem asta?

Iată cum: Împărțiți ambele părți ale ecuației mai întâi de (astfel scăpăm de puterea din dreapta), apoi împărțiți ambele părți la (astfel scăpăm de factorul numeric din stânga).

În sfârșit obținem:

Incredibil!

În stânga avem o expresie, iar în dreapta avem una simplă.

Apoi concluzionăm imediat că

Exemplul nr. 15

Voi da scurta sa soluție (nu mă deranjez prea mult cu explicații), încearcă să-ți dai seama singur toate „subtilitățile” soluției.

Acum consolidarea finală a materialului trecut.

Rezolvarea următoarelor 7 probleme independent (cu răspunsuri)

1. Să scoatem factorul comun din paranteze:
2. Reprezentăm prima expresie sub forma :, împărțiți ambele părți în și obțineți asta
3. , atunci ecuația originală este transformată în forma: Ei bine, acum un indiciu - căutați unde am rezolvat deja această ecuație!
4. Imaginați-vă cum, cum și, bine, apoi împărțiți ambele părți la, astfel încât să obțineți cea mai simplă ecuație exponențială.
5. Scoateți parantezele.
6. Scoateți parantezele.

ECUAȚII EXPLORATIVE. NIVEL MIJLOCIU

Presupun că după ce am citit primul articol, care a spus care sunt ecuațiile exponențiale și cum să le rezolvăm, ați stăpânit minimul necesar de cunoștințe necesare pentru a rezolva cele mai simple exemple.

Acum voi analiza o altă metodă de rezolvare a ecuațiilor exponențiale, aceasta ...

Metoda de introducere a unei noi variabile (sau înlocuire)

El rezolvă majoritatea problemelor „dificile” pe tema ecuațiilor exponențiale (și nu numai a ecuațiilor).

Această metodă este una dintre cel mai des folosit în practică. În primul rând, vă recomand să vă familiarizați cu subiectul.

După cum ați înțeles deja din nume, esența acestei metode este de a introduce o astfel de schimbare de variabilă, încât ecuația dvs. exponențială se transformă în mod miraculos într-una pe care o puteți rezolva cu ușurință.

Tot ce vă mai rămâne după rezolvarea acestei „ecuații simplificate” este să faceți o „înlocuire inversă”: adică să reveniți de la înlocuit la înlocuit.

Să ilustrăm ceea ce tocmai am spus cu un exemplu foarte simplu:

Exemplul 16. Metoda simplă de înlocuire

Această ecuație este rezolvată folosind „Înlocuire simplă”, așa cum o numesc cu dispreț matematicienii.

Într-adevăr, înlocuirea este cea mai evidentă aici. Trebuie doar să vedem asta

Apoi ecuația originală se va transforma în aceasta:

Dacă în plus vă imaginați cum, atunci este destul de clar ce trebuie înlocuit ...

Desigur, .

Ce se va transforma atunci ecuația originală? Și iată ce:

Puteți găsi cu ușurință rădăcinile pe cont propriu :.

Ce ar trebui să facem acum?

Este timpul să ne întoarcem la variabila originală.

Ce am uitat să indic?

Și anume: atunci când înlocuiesc un anumit grad cu o nouă variabilă (adică la schimbarea vizualizării), mă va interesa numai rădăcini pozitive!

Tu însuți poți răspunde cu ușurință de ce.

Astfel, tu și cu mine nu suntem interesați, dar a doua rădăcină este destul de potrivită pentru noi:

Atunci unde.

Răspuns:

După cum puteți vedea, în exemplul anterior, înlocuitorul ne cerea mâinile. Din păcate, acest lucru nu este întotdeauna cazul.

Cu toate acestea, să nu mergem direct la trist, ci să exersăm cu încă un exemplu cu un înlocuitor destul de simplu

Exemplul 17. Metoda simplă de înlocuire

Este clar că cel mai probabil va trebui înlocuit (acesta este cel mai mic dintre gradele incluse în ecuația noastră).

Cu toate acestea, înainte de a introduce înlocuirea, ecuația noastră trebuie să fie „pregătită” pentru aceasta, și anume:,.

Apoi, puteți înlocui, ca urmare, obțin următoarea expresie:

Oh groază: o ecuație cubică cu formule complet înfiorătoare pentru soluția sa (bine, vorbind în termeni generali).

Dar să nu disperăm imediat, ci să ne gândim la ce să facem.

Voi propune să trișăm: știm că, pentru a obține un răspuns „frumos”, trebuie să-l obținem sub forma unei puteri a unui triplu (de ce ar fi asta, nu?).

Să încercăm să ghicim cel puțin o rădăcină a ecuației noastre (voi începe să ghicesc cu puteri de trei).

Prima presupunere. Nu este o rădăcină. Vai și ah ...

.
Partea stângă este egală.
Partea dreaptă:!

Există! Ai ghicit prima rădăcină. Acum lucrurile vor deveni mai ușoare!

Știți despre schema de divizare „colț”? Desigur, știi, îl folosești atunci când împărțiți un număr la altul.

Puțină lume știe însă că același lucru se poate face și cu polinoame.

Există o mare teoremă:

Aplicat situației mele, acest lucru îmi spune ce este divizibil cu.

Cum se realizează divizarea? Așa:

Mă uit la ce monom trebuie să mă înmulțesc pentru a obține

Este clar că, atunci:

Scădeți expresia rezultată din, obțineți:

Acum, cu ce trebuie să mă înmulțesc pentru a obține?

Este clar că, atunci, voi primi:

și scade din nou expresia rezultată din cea rămasă:

Ei bine, ultimul pas, îl voi înmulți cu și voi scădea din expresia rămasă:

Ura, divizia s-a terminat! Ce am salvat în privat?

De la sine: .

Apoi am obținut următoarea descompunere a polinomului original:

Să rezolvăm a doua ecuație:

Are rădăcini:

Apoi ecuația originală:

are trei rădăcini:

Desigur, vom arunca ultima rădăcină, deoarece este mai mică decât zero.

Și primele două după înlocuirea inversă ne vor da două rădăcini:

Răspuns: ..

Nu am vrut să te sperii cu acest exemplu!

Dimpotrivă, scopul meu a fost să arăt că, deși am avut o înlocuire destul de simplă, a condus totuși la o ecuație destul de complexă, a cărei soluție a necesitat niște abilități speciale.

Ei bine, nimeni nu este imun la asta. Dar înlocuirea în acest caz a fost destul de evidentă.

Exemplul # 18 (cu un înlocuitor mai puțin evident)

Nu este deloc clar ce ar trebui să facem: problema este că în ecuația noastră există două baze diferite și o bază nu poate fi obținută de la cealaltă prin creșterea la orice grad (rezonabil, natural).

Cu toate acestea, ce vedem?

Ambele baze diferă numai în semn, iar produsul lor este diferența de pătrate egală cu una:

Definiție:

Astfel, numerele care stau la baza exemplului nostru sunt conjugate.

În acest caz, ar fi o mișcare inteligentă înmulțiți ambele părți ale ecuației cu numărul conjugat.

De exemplu, pe, atunci partea stângă a ecuației devine egală și dreapta.

Dacă facem o înlocuire, atunci ecuația noastră originală va deveni astfel:

rădăcinile sale, atunci, și amintindu-ne, obținem asta.

Răspuns:,.

De regulă, metoda de înlocuire este suficientă pentru a rezolva majoritatea ecuațiilor exponențiale „școlare”.

Următoarele sarcini cu un nivel crescut de complexitate sunt preluate din versiunile USE.

Trei sarcini de complexitate crescută din opțiunile examenului

Sunteți deja suficient de competent pentru a rezolva în mod independent aceste exemple. Voi da doar înlocuitorul necesar.

1. Rezolvați ecuația:
2. Găsiți rădăcinile ecuației:
3. Rezolvați ecuația :. Găsiți toate rădăcinile acestei ecuații care aparțin segmentului:

Și acum, explicații și răspunsuri scurte:

Exemplul nr. 19

Aici este suficient pentru noi să observăm că și.

Atunci ecuația originală va fi echivalentă cu aceasta:

Această ecuație este rezolvată prin înlocuirea

Faceți singur calculele ulterioare.

În cele din urmă, sarcina dvs. va fi redusă la rezolvarea celui mai simplu trigonometric (în funcție de sinus sau cosinus). Vom analiza soluția unor astfel de exemple în alte secțiuni.

Exemplul nr. 20

Aici puteți face chiar și fără înlocuire ...

Este suficient să mutați scăzut la dreapta și să reprezentați ambele baze prin puteri de două :, și apoi mergeți direct la ecuația pătratică.

Exemplul nr. 21

De asemenea, este rezolvat într-un mod destul de standard: imaginați-vă cum.

Apoi, înlocuind obținem o ecuație pătratică: apoi,

Știți deja ce este un logaritm? Nu? Citește apoi subiectul de urgență!

Prima rădăcină, evident, nu aparține segmentului, iar a doua este de neînțeles!

Dar vom afla foarte curând!

Deoarece, atunci (aceasta este o proprietate a logaritmului!)

Scădeți din ambele părți, apoi obținem:

Partea stângă poate fi reprezentată ca:

înmulțim ambele părți cu:

poate fi multiplicat cu, atunci

Atunci să comparăm:

de atunci:

Apoi a doua rădăcină aparține intervalului necesar

Răspuns:

Cum vedeți, selectarea rădăcinilor ecuațiilor exponențiale necesită o cunoaștere suficient de profundă a proprietăților logaritmilordeci te sfătuiesc să fii cât mai atent posibil atunci când rezolvi ecuațiile exponențiale.

După cum vă puteți imagina, în matematică, totul este interconectat!

După cum spunea profesorul meu de matematică: „matematica, la fel ca istoria, nu poți citi peste noapte”.

De regulă, toate dificultatea rezolvării problemelor cu un nivel crescut de complexitate este tocmai selectarea rădăcinilor ecuației.

Un alt exemplu pentru antrenament ...

Exemplul 22

Este clar că ecuația în sine este destul de simplu de rezolvat.

Prin efectuarea substituției, vom reduce ecuația noastră inițială la următoarele:

Mai întâi să luăm în considerare prima rădăcină.

Să comparăm și: de atunci, atunci. (proprietatea funcției logaritmice, la).

Atunci este clar că nici prima rădăcină nu aparține intervalului nostru.

Acum a doua rădăcină:. Este clar că (deoarece funcția la crește).

Rămâne de comparat și.

de când, atunci, în același timp.

În acest fel, pot conduce un picior între și.

Acest cârlig este un număr.

Prima expresie este mai mică, iar a doua este mai mare.

Apoi a doua expresie este mai mare decât prima și rădăcina aparține intervalului.

Răspuns:.

În cele din urmă, să analizăm un alt exemplu de ecuație în care substituția este destul de nestandardă.

Exemplul nr. 23 (ecuație cu substituție non-standard!)

Să începem imediat cu ce poți face și ce poți face, dar este mai bine să nu o faci.

Puteți - reprezenta totul prin puteri de trei, două și șase.

Unde duce?

Da, nu va duce la nimic: un amestec de grade, iar unele vor fi destul de greu de scăpat.

Și atunci de ce este nevoie?

Să observăm că a

Și ce ne va da?

Și faptul că putem reduce soluția acestui exemplu la soluția unei ecuații exponențiale destul de simple!

În primul rând, să rescriem ecuația noastră ca:

Acum împărțim ambele părți ale ecuației rezultate la:

Eureka! Acum putem înlocui, obținem:

Ei bine, acum este rândul tău să rezolvi problemele demonstrative și le voi oferi doar scurte comentarii pentru a nu te rătăci! Mult noroc!

Exemplul nr. 24

Cel mai dificil!

Nu este ușor să găsești un înlocuitor aici! Cu toate acestea, acest exemplu este complet rezolvabil folosind selectarea unui pătrat complet.

Pentru a o rezolva, este suficient să rețineți că:

Iată un înlocuitor pentru dvs.:

(Vă rugăm să rețineți că aici, în timpul înlocuirii noastre, nu putem renunța la rădăcina negativă !!! Și de ce credeți?)

Acum, pentru a rezolva exemplul, trebuie să rezolvați două ecuații:

Ambele sunt rezolvate prin „înlocuirea standard” (dar a doua într-un singur exemplu!)

Exemplul nr. 25

2. Rețineți acest lucru și efectuați un înlocuitor.

Exemplul nr. 26

3. Descompuneți numărul în factori de coprimă și simplificați expresia rezultată.

Exemplul nr. 27

4. Împarte numeratorul și numitorul fracției la (sau, dacă preferi) și înlocuiește sau.

Exemplul nr. 28

5. Rețineți că numerele și sunt conjugate.

SOLUȚIA ECUAȚIILOR EXPRESE PRIN METODA LOGARIFICĂRII. NIVEL AVANSAT

În plus, să luăm în considerare un alt mod - soluția ecuațiilor exponențiale prin metoda logaritmului.

Nu pot spune că soluția ecuațiilor exponențiale prin această metodă este foarte populară, dar în unele cazuri doar ea ne poate conduce la soluția corectă a ecuației noastre.

Este folosit mai ales pentru a rezolva așa-numitul „ ecuații mixte»: Adică acelea în care funcțiile de diferite tipuri se întâlnesc.

Exemplul nr. 29

în cazul general, se poate rezolva numai luând logaritmul ambelor părți (de exemplu, de bază), în care ecuația originală se transformă în următoarele:

Să luăm în considerare următorul exemplu:

Este clar că, conform ODZ a funcției logaritmice, ne interesează doar.

Cu toate acestea, acest lucru rezultă nu numai din ODZ-ul logaritmului, ci și din alt motiv.

Cred că nu vă va fi greu să ghiciți care dintre ele.

Să înregistrăm ambele părți ale ecuației noastre la bază:

După cum puteți vedea, luarea logaritmului ecuației noastre inițiale suficient de repede ne-a condus la răspunsul corect (și frumos!).

Să exersăm cu încă un exemplu.

Exemplul nr. 30

Și aici nu este nimic în neregulă: logaritmăm ambele părți ale ecuației cu baza, apoi obținem:

Să facem un înlocuitor:

Cu toate acestea, ne lipsește ceva! Ai observat unde am greșit? La urma urmei, atunci:

care nu îndeplinește cerința (gândiți-vă de unde a venit!)

Răspuns:

Încercați să notați soluția ecuațiilor exponențiale de mai jos:

Acum verificați decizia dvs. împotriva acestui lucru:

Exemplul nr. 31

Logaritm ambele părți la bază, ținând cont de faptul că:

(a doua rădăcină nu ne convine din cauza înlocuirii)

Exemplul nr. 32

Baza logaritmului:

Să transformăm expresia rezultată în următoarea formă:

ECUAȚII EXPLICATIVE. SCURTĂ DESCRIERE ȘI FORMULE DE BAZĂ

Ecuația exponențială

Ecuația formei:

numit cea mai simplă ecuație exponențială.

Proprietăți de putere

Abordări de soluție

• Constrângerea la aceeași bază
• Conversia la același exponent
• Înlocuire variabilă
• Simplificarea exprimării și aplicarea uneia dintre cele de mai sus.

Această lecție este destinată celor care abia încep să învețe ecuații exponențiale. Ca întotdeauna, să începem cu o definiție și exemple simple.

Dacă citești această lecție, atunci bănuiesc că ai deja cel puțin o înțelegere minimă a celor mai simple ecuații - liniare și pătrate: $ 56x-11 \u003d $ 0; $ ((x) ^ (2)) + 5x + 4 \u003d 0 $; $ ((x) ^ (2)) - 12x + 32 \u003d 0 $ etc. Este absolut necesar să poți rezolva astfel de construcții pentru a nu „bloca” subiectul care va fi discutat acum.

Deci, ecuațiile exponențiale. Permiteți-mi să vă dau câteva exemple imediat:

\\ [((2) ^ (x)) \u003d 4; \\ quad ((5) ^ (2x-3)) \u003d \\ frac (1) (25); \\ quad ((9) ^ (x)) \u003d - 3 \\]

Unele dintre ele vi se pot părea mai complicate, altele - dimpotrivă, prea simple. Dar toate sunt unite de o caracteristică importantă: în notația lor există o funcție exponențială $ f \\ left (x \\ right) \u003d ((a) ^ (x)) $. Astfel, introducem definiția:

O ecuație exponențială este orice ecuație care conține o funcție exponențială, adică expresie ca $ ((a) ^ (x)) $. Pe lângă funcția indicată, astfel de ecuații pot conține orice alte construcții algebrice - polinoame, rădăcini, trigonometrie, logaritmi etc.

Bine. Am descoperit definiția. Acum întrebarea este: cum să rezolvi toată această porcărie? Răspunsul este atât simplu, cât și complex.

Să începem cu veștile bune: din experiența mea de cursuri cu mulți studenți, pot spune că pentru majoritatea dintre ele ecuațiile exponențiale sunt mult mai ușor de dat decât aceleași logaritmi și cu atât mai mult trigonometria.

Există însă și vești proaste: uneori autorii problemelor pentru tot felul de manuale și examene sunt „inspirați”, iar creierul lor inflamat de droguri începe să emită ecuații atât de brutale, încât rezolvarea lor devine problematică nu numai pentru elevi - chiar și mulți profesori se blochează pe astfel de probleme.

Totuși, să nu vorbim despre lucruri triste. Și înapoi la acele trei ecuații care au fost date chiar la începutul poveștii. Să încercăm să le rezolvăm pe fiecare dintre ele.

Prima ecuație: $ ((2) ^ (x)) \u003d 4 $. Ei bine, în ce măsură ar trebui ridicat numărul 2 pentru a obține numărul 4? Probabil a doua? La urma urmei, $ ((2) ^ (2)) \u003d 2 \\ cdot 2 \u003d 4 $ - și am obținut egalitatea numerică corectă, adică într-adevăr $ x \u003d 2 $. Ei bine, mulțumesc, capac, dar această ecuație a fost atât de simplă încât chiar și pisica mea a putut să o rezolve. :)

Să vedem următoarea ecuație:

\\ [((5) ^ (2x-3)) \u003d \\ frac (1) (25) \\]

Și aici este deja puțin mai complicat. Mulți studenți știu că $ ((5) ^ (2)) \u003d 25 $ este un tabel de înmulțire. Unii suspectează, de asemenea, că $ ((5) ^ (- 1)) \u003d \\ frac (1) (5) $ este în esență o definiție a puterilor negative (similară cu formula $ ((a) ^ (- n)) \u003d \\ frac (1) (((a) ^ (n))) $).

În cele din urmă, doar câțiva selectați realizează că aceste fapte pot fi combinate și următorul rezultat poate fi obținut la ieșire:

\\ [\\ frac (1) (25) \u003d \\ frac (1) (((5) ^ (2))) \u003d ((5) ^ (- 2)) \\]

Astfel, ecuația noastră originală va fi rescrisă după cum urmează:

\\ [((5) ^ (2x-3)) \u003d \\ frac (1) (25) \\ Rightarrow ((5) ^ (2x-3)) \u003d ((5) ^ (- 2)) \\]

Dar acest lucru este deja destul de rezolvabil! În stânga în ecuație există o funcție exponențială, în dreapta în ecuație există o funcție exponențială, nu există altceva decât ele oriunde altundeva. Prin urmare, puteți „arunca” bazele și echivalează prost indicatorii:

Am obținut cea mai simplă ecuație liniară pe care orice student o poate rezolva în doar câteva linii. Bine, în patru rânduri:

\\ [\\ begin (align) & 2x-3 \u003d -2 \\\\ & 2x \u003d 3-2 \\\\ & 2x \u003d 1 \\\\ & x \u003d \\ frac (1) (2) \\\\\\ end (align) \\]

Dacă nu înțelegeți ce s-a întâmplat în ultimele patru rânduri, asigurați-vă că reveniți la subiectul „ecuații liniare” și repetați-l. Deoarece fără o înțelegere clară a acestui subiect, este prea devreme pentru a aborda ecuațiile exponențiale.

\\ [((9) ^ (x)) \u003d - 3 \\]

Ei bine, cum să rezolvi asta? Primul gând: $ 9 \u003d 3 \\ cdot 3 \u003d ((3) ^ (2)) $, deci ecuația originală poate fi rescrisă astfel:

\\ [((\\ left (((3) ^ (2)) \\ right)) ^ (x)) \u003d - 3 \\]

Apoi ne amintim că atunci când creșteți o putere la o putere, indicatorii se înmulțesc:

\\ [((\\ left (((3) ^ (2)) \\ right)) ^ (x)) \u003d ((3) ^ (2x)) \\ Rightarrow ((3) ^ (2x)) \u003d - (( 3) ^ (1)) \\]

\\ [\\ begin (align) & 2x \u003d -1 \\\\ & x \u003d - \\ frac (1) (2) \\\\\\ end (align) \\]

Și pentru o astfel de decizie, vom primi un merit cinstit. Căci noi, cu echanimitatea unui Pokemon, am trimis semnul minus în fața celor trei la gradul chiar al acestor trei. Și nu poți face asta. Si de aceea. Aruncați o privire la diferitele puteri ale tripletului:

\\ [\\ begin (matrix) ((3) ^ (1)) \u003d 3 & ((3) ^ (- 1)) \u003d \\ frac (1) (3) & ((3) ^ (\\ frac (1) ( 2))) \u003d \\ sqrt (3) \\\\ ((3) ^ (2)) \u003d 9 & ((3) ^ (- 2)) \u003d \\ frac (1) (9) & ((3) ^ (\\ 3) ^ (- \\ frac (1) (2))) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (3)) \\\\\\ end (matrix) \\]

Când am compilat această tabletă, am fost imediat pervertit: am considerat grade pozitive, negative și chiar fracționare ... ei bine, unde este cel puțin un număr negativ aici? El a plecat! Și nu poate fi, deoarece funcția exponențială $ y \u003d ((a) ^ (x)) $, în primul rând, ia întotdeauna numai valori pozitive (indiferent cât de mult se înmulțește sau se împarte la două, va fi totuși un număr pozitiv), și în al doilea rând, baza unei astfel de funcții - numărul $ a $ - este prin definiție un număr pozitiv!

Ei bine, cum să rezolvăm atunci ecuația $ ((9) ^ (x)) \u003d - 3 $? Dar în nici un fel: nu există rădăcini. Și în acest sens, ecuațiile exponențiale sunt foarte asemănătoare cu cele pătratice - s-ar putea să nu existe și rădăcini acolo. Dar dacă intră ecuații pătratice numărul rădăcinilor este determinat de discriminant (discriminant pozitiv - 2 rădăcini, negativ - fără rădăcini), apoi în cele exponențiale totul depinde de ceea ce este la dreapta semnului egal.

Astfel, formulăm concluzia cheie: cea mai simplă ecuație exponențială a formei $ ((a) ^ (x)) \u003d b $ are o rădăcină dacă și numai dacă $ b \\ gt 0 $. Cunoscând acest fapt simplu, puteți stabili cu ușurință dacă ecuația care vi se propune are sau nu rădăcini. Acestea. merită rezolvat deloc sau doar scrieți că nu există rădăcini.

Aceste cunoștințe ne vor ajuta de multe ori când trebuie să rezolvăm probleme mai complexe. Deocamdată, suficiente versuri - este timpul să studiați algoritmul de bază pentru rezolvarea ecuațiilor exponențiale.

Cum se rezolvă ecuațiile exponențiale

Deci, să formulăm problema. Este necesar să se rezolve ecuația exponențială:

\\ [((a) ^ (x)) \u003d b, \\ quad a, b \\ gt 0 \\]

Conform algoritmului „naiv”, conform căruia am acționat mai devreme, este necesar să reprezentăm numărul $ b $ ca o putere a numărului $ a $:

În plus, dacă în loc de variabila $ x $ există vreo expresie, vom obține o nouă ecuație, care poate fi deja rezolvată. De exemplu:

\\ [\\ begin (align) & ((2) ^ (x)) \u003d 8 \\ Rightarrow ((2) ^ (x)) \u003d ((2) ^ (3)) \\ Rightarrow x \u003d 3; \\\\ & ((3) ^ (- x)) \u003d 81 \\ Rightarrow ((3) ^ (- x)) \u003d ((3) ^ (4)) \\ Rightarrow -x \u003d 4 \\ Rightarrow x \u003d -4; \\\\ & ((5) ^ (2x)) \u003d 125 \\ Rightarrow ((5) ^ (2x)) \u003d ((5) ^ (3)) \\ Rightarrow 2x \u003d 3 \\ Rightarrow x \u003d \\ frac (3) ( 2). \\\\\\ end (align) \\]

Și, în mod ciudat, această schemă funcționează aproximativ 90% din timp. Și atunci ce rămâne cu restul de 10%? Restul de 10% sunt ecuații exponențiale ușor „schizofrenice” ale formei:

\\ [((2) ^ (x)) \u003d 3; \\ quad ((5) ^ (x)) \u003d 15; \\ quad ((4) ^ (2x)) \u003d 11 \\]

Ei bine, în ce măsură ar trebui crescut 2 pentru a obține 3? Primul? Dar nu: $ ((2) ^ (1)) \u003d 2 $ - insuficient. Al doilea? De asemenea, nu: $ ((2) ^ (2)) \u003d 4 $ - cam prea mult. Ce atunci?

Studenții cunoscuți probabil au ghicit deja: în astfel de cazuri, când este imposibil să se rezolve „frumos”, „artileria grea” - logaritmi - este implicată în această chestiune. Permiteți-mi să vă reamintesc că folosind logaritmi, orice număr pozitiv poate fi reprezentat ca o putere a oricărui alt număr pozitiv (cu excepția unuia):

Vă amintiți această formulă? Când le spun studenților mei despre logaritmi, vă avertizez întotdeauna: această formulă (este și identitatea logaritmică de bază sau, dacă doriți, definiția logaritmului) vă va bântui foarte mult timp și va „apărea” în cele mai neașteptate locuri. Ei bine, ea a ieșit la suprafață. Să aruncăm o privire la ecuația noastră și la această formulă:

\\ [\\ begin (align) & ((2) ^ (x)) \u003d 3 \\\\ & a \u003d ((b) ^ (((\\ log) _ (b)) a)) \\\\\\ end (align) \\]

Dacă presupunem că $ a \u003d 3 $ este numărul nostru original din dreapta, iar $ b \u003d 2 $ este chiar baza functie exponentiala, la care dorim să reducem partea dreaptă, primim următoarele:

\\ [\\ begin (align) & a \u003d ((b) ^ (((\\ log) _ (b)) a)) \\ Rightarrow 3 \u003d ((2) ^ ((\\ \\ log) _ (2)) 3 )); \\\\ & ((2) ^ (x)) \u003d 3 \\ Rightarrow ((2) ^ (x)) \u003d ((2) ^ (((\\ log) _ (2)) 3)) \\ Rightarrow x \u003d ( (\\ log) _ (2)) 3. \\\\\\ end (align) \\]

Am primit un răspuns puțin ciudat: $ x \u003d ((\\ log) _ (2)) 3 $. Într-o altă sarcină, mulți cu un astfel de răspuns s-ar fi îndoit și au început să-și verifice soluția: dacă ar fi existat o eroare undeva? Mă grăbesc să vă mulțumesc: nu există nicio greșeală aici, iar logaritmii de la rădăcinile ecuațiilor exponențiale sunt o situație destul de tipică. Așa că obișnuiește-te. :)

Acum, să rezolvăm cele două ecuații rămase prin analogie:

\\ [\\ begin (align) & ((5) ^ (x)) \u003d 15 \\ Rightarrow ((5) ^ (x)) \u003d ((5) ^ (((\\ log) _ (5)) 15)) \\ Rightarrow x \u003d ((\\ log) _ (5)) 15; \\\\ & ((4) ^ (2x)) \u003d 11 \\ Rightarrow ((4) ^ (2x)) \u003d ((4) ^ ((\\ \\ log) _ (4)) 11)) \\ Rightarrow 2x \u003d ( (\\ log) _ (4)) 11 \\ Rightarrow x \u003d \\ frac (1) (2) ((\\ log) _ (4)) 11. \\\\\\ end (align) \\]

Asta e tot! Apropo, ultimul răspuns poate fi scris diferit:

Am introdus factorul în argumentul logaritmului. Dar nimeni nu ne deranjează să introducem acest factor în bază:

Mai mult, toate cele trei opțiuni sunt corecte - sunt doar forme diferite de a scrie același număr. Ceea ce alegeți și scrieți în această soluție depinde de dvs.

Astfel, am învățat să rezolvăm orice ecuații exponențiale de forma $ ((a) ^ (x)) \u003d b $, unde numerele $ a $ și $ b $ sunt strict pozitive. Cu toate acestea, realitatea dură a lumii noastre este de așa natură încât astfel de sarcini simple te vor întâlni foarte, foarte rar. Mult mai des vei întâlni așa ceva:

\\ [\\ begin (align) & ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x-1)) \u003d ((4) ^ (x + 1)) - 11; \\\\ & ((7) ^ (x + 6)) \\ cdot ((3) ^ (x + 6)) \u003d ((21) ^ (3x)); \\\\ & ((100) ^ (x-1)) \\ cdot ((2.7) ^ (1-x)) \u003d 0,09. \\\\\\ end (align) \\]

Ei bine, cum să rezolvi asta? Se poate rezolva asta deloc? Și dacă da, cum?

Nu intra în panică. Toate aceste ecuații se reduc rapid și ușor la acele formule simple pe care le-am luat deja în considerare. Trebuie doar să știți și să vă amintiți câteva trucuri din cursul de algebră. Și, desigur, nu există nicăieri fără reguli pentru lucrul cu diplome. Vă spun acum despre toate astea. :)

Conversia ecuațiilor exponențiale

Primul lucru de reținut: orice ecuație exponențială, oricât de complexă ar fi ea, trebuie cumva să fie redusă la cele mai simple ecuații - aceleași pe care le-am considerat deja și pe care știm să le rezolvăm. Cu alte cuvinte, schema pentru rezolvarea oricărei ecuații exponențiale arată astfel:

1. Notați ecuația originală. De exemplu: $ ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x-1)) \u003d ((4) ^ (x + 1)) - 11 $;
2. Faceți un fel de porcărie de neînțeles. Sau chiar și câteva porcării numite „ecuație de transformare”;
3. La ieșire, obțineți cele mai simple expresii precum $ ((4) ^ (x)) \u003d 4 $ sau altceva de genul acesta. Mai mult, o ecuație originală poate da mai multe astfel de expresii simultan.

Cu primul punct, totul este clar - chiar și pisica mea poate scrie ecuația pe o bucată de hârtie. Și cu al treilea punct, se pare, este mai mult sau mai puțin clar - am rezolvat deja o grămadă de astfel de ecuații mai sus.

Dar ce zici de al doilea punct? Ce fel de transformare? Ce să transformi în ce? Si cum?

Ei bine, hai să ne dăm seama. În primul rând, aș dori să subliniez următoarele. Toate ecuațiile exponențiale sunt împărțite în două tipuri:

1. Ecuația este compusă din funcții exponențiale cu aceeași bază. Exemplu: $ ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x-1)) \u003d ((4) ^ (x + 1)) - 11 $;
2. Formula conține funcții exponențiale cu baze diferite. Exemple: $ ((7) ^ (x + 6)) \\ cdot ((3) ^ (x + 6)) \u003d ((21) ^ (3x)) $ și $ ((100) ^ (x-1) ) \\ cdot ((2.7) ^ (1-x)) \u003d 0.09 $.

Să începem cu ecuații de primul tip - acestea sunt cele mai ușor de rezolvat. Și în rezolvarea lor, vom fi ajutați de o astfel de tehnică precum evidențierea expresiilor stabile.

Evidențierea unei expresii stabile

Să aruncăm o altă privire asupra acestei ecuații:

\\ [((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x-1)) \u003d ((4) ^ (x + 1)) - 11 \\]

Ce vedem? Cei patru sunt crescuți în diferite grade. Dar toate aceste puteri sunt simple sume ale variabilei $ x $ cu alte numere. Prin urmare, este necesar să ne amintim regulile de lucru cu diplome:

\\ [\\ begin (align) & ((a) ^ (x + y)) \u003d ((a) ^ (x)) \\ cdot ((a) ^ (y)); \\\\ & ((a) ^ (xy)) \u003d ((a) ^ (x)): ((a) ^ (y)) \u003d \\ frac (((a) ^ (x))) (((a ) ^ (y))). \\\\\\ end (align) \\]

Pur și simplu, adăugarea exponenților poate fi convertită într-un produs de puteri, iar scăderea poate fi ușor convertită în diviziune. Să încercăm să aplicăm aceste formule puterilor din ecuația noastră:

\\ [\\ begin (align) & ((4) ^ (x-1)) \u003d \\ frac (((4) ^ (x))) (((4) ^ (1))) \u003d ((4) ^ (x)) \\ cdot \\ frac (1) (4); \\\\ & ((4) ^ (x + 1)) \u003d ((4) ^ (x)) \\ cdot ((4) ^ (1)) \u003d ((4) ^ (x)) \\ cdot 4. \\ Să rescriem ecuația originală luând în considerare acest fapt și apoi să colectăm toți termenii din stânga:

\\ [\\ begin (align) & ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x)) \\ cdot \\ frac (1) (4) \u003d ((4) ^ (x)) \\ cdot 4 -unsprezece; \\\\ & ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x)) \\ cdot \\ frac (1) (4) - ((4) ^ (x)) \\ cdot 4 + 11 \u003d 0. \\\\\\ end (align) \\]

Primii patru termeni conțin elementul $ ((4) ^ (x)) $ - să-l luăm în afara parantezei:

\\ [\\ begin (align) & ((4) ^ (x)) \\ cdot \\ left (1+ \\ frac (1) (4) -4 \\ right) + 11 \u003d 0; \\\\ & ((4) ^ (x)) \\ cdot \\ frac (4 + 1-16) (4) + 11 \u003d 0; \\\\ & ((4) ^ (x)) \\ cdot \\ left (- \\ frac (11) (4) \\ right) \u003d - 11. \\\\\\ end (align) \\]

{!LANG-34d2229edd09fb5bdb4babd7c818ddf2!}

Rămâne să împărțiți ambele părți ale ecuației în fracția $ - \\ frac (11) (4) $, adică înmulțiți în esență cu fracția inversată - $ - \\ frac (4) (11) $. Primim:

\\ [\\ begin (align) & ((4) ^ (x)) \\ cdot \\ left (- \\ frac (11) (4) \\ right) \\ cdot \\ left (- \\ frac (4) (11) \\ right ) \u003d - 11 \\ cdot \\ left (- \\ frac (4) (11) \\ right); \\\\ & ((4) ^ (x)) \u003d 4; \\\\ & ((4) ^ (x)) \u003d ((4) ^ (1)); \\\\ & x \u003d 1. \\\\\\ end (align) \\]

Asta e tot! Am redus ecuația originală la cea mai simplă și am obținut răspunsul final.

În același timp, în procesul de rezolvare, am găsit (și chiar am scos din paranteză) factorul comun $ ((4) ^ (x)) $ - aceasta este expresia stabilă. Poate fi notat ca o nouă variabilă sau poate fi pur și simplu exprimat cu exactitate și răspuns. În orice caz, principiul cheie al soluției este următorul:

Găsiți în ecuația originală o expresie stabilă care conține o variabilă care poate fi ușor distinsă de toate funcțiile exponențiale.

Vestea bună este că practic fiecare ecuație exponențială permite o expresie atât de stabilă.

Dar vestea proastă este că astfel de expresii pot fi destul de complicate și pot fi dificil de ales. Prin urmare, să analizăm încă o sarcină:

\\ [((5) ^ (x + 2)) + ((0,2) ^ (- x-1)) + 4 \\ cdot ((5) ^ (x + 1)) \u003d 2 \\]

Poate că cineva va avea acum o întrebare: „Pașa, ești lapidat? Există diferite baze aici - 5 și 0,2 ”. Dar să încercăm să convertim gradul de la baza 0.2. De exemplu, să scăpăm de fracția zecimală, aducând-o la cea obișnuită:

\\ [((0,2) ^ (- x-1)) \u003d ((0,2) ^ (- \\ left (x + 1 \\ right))) \u003d \u003d ((\\ left (\\ frac (2) (10 ) \\ right)) ^ (- \\ left (x + 1 \\ right))) \u003d ((\\ left (\\ frac (1) (5) \\ right)) ^ (- \\ left (x + 1 \\ right)) ) \\]

După cum puteți vedea, numărul 5 a apărut, deși în numitor. În același timp, indicatorul a fost rescris ca negativ. Acum să ne amintim una dintre cele mai importante reguli pentru lucrul cu diplome:

\\ [((a) ^ (- n)) \u003d \\ frac (1) ((((a) ^ (n))) \\ Rightarrow ((\\ left (\\ frac (1) (5) \\ right)) ^ ( - \\ left (x + 1 \\ right))) \u003d ((\\ left (\\ frac (5) (1) \\ right)) ^ (x + 1)) \u003d ((5) ^ (x + 1)) \\ Aici, desigur, am înșelat puțin. Pentru că pentru o înțelegere completă, formula pentru a scăpa de indicatorii negativi trebuia scrisă după cum urmează:

\\ [((a) ^ (- n)) \u003d \\ frac (1) (((()) ^ (n))) \u003d ((\\ left (\\ frac (1) (a) \\ right)) ^ (n )) \\ Rightarrow ((\\ left (\\ frac (1) (5) \\ right)) ^ (- \\ left (x + 1 \\ right))) \u003d ((\\ left (\\ frac (5) (1) \\ Pe de altă parte, nimic nu ne-a împiedicat să lucrăm cu o singură fracțiune:

\\ [((\\ left (\\ frac (1) (5) \\ right)) ^ (- \\ left (x + 1 \\ right))) \u003d ((\\ left (((5) ^ (- 1)) \\ )) \u003d ((5) ^ (x + 1)) \\]

{!LANG-864d2acd6e2c44f0816ab1138baac0d4!}

{!LANG-6579fb0af584a9a5f5d4d697e15834a6!}

Dar, în acest caz, trebuie să puteți ridica gradul la un grad diferit (amintiți-vă: în acest caz, indicatorii se adună). Dar nu a trebuit să „întorc” fracțiile - poate pentru unii va fi mai ușor. :)

În orice caz, ecuația exponențială originală va fi rescrisă ca:

\\ [\\ begin (align) & ((5) ^ (x + 2)) + ((5) ^ (x + 1)) + 4 \\ cdot ((5) ^ (x + 1)) \u003d 2; \\\\ & ((5) ^ (x + 2)) + 5 \\ cdot ((5) ^ (x + 1)) \u003d 2; \\\\ & ((5) ^ (x + 2)) + ((5) ^ (1)) \\ cdot ((5) ^ (x + 1)) \u003d 2; \\\\ & ((5) ^ (x + 2)) + ((5) ^ (x + 2)) \u003d 2; \\\\ & 2 \\ cdot ((5) ^ (x + 2)) \u003d 2; \\\\ & ((5) ^ (x + 2)) \u003d 1. \\\\\\ end (align) \\]

Deci, se pare că ecuația inițială este chiar mai ușor de rezolvat decât cea considerată anterior: aici nici nu trebuie să identificați o expresie stabilă - totul s-a redus. Rămâne doar să ne amintim că $ 1 \u003d ((5) ^ (0)) $, de unde obținem:

\\ [\\ begin (align) & ((5) ^ (x + 2)) \u003d ((5) ^ (0)); \\\\ & x + 2 \u003d 0; \\\\ & x \u003d -2. \\\\\\ end (align) \\]

Aceasta este întreaga soluție! Am primit răspunsul final: $ x \u003d -2 $. În același timp, aș dori să menționez o tehnică care a simplificat foarte mult toate calculele pentru noi:

În ecuațiile exponențiale, asigurați-vă că scăpați de fracțiile zecimale, le convertiți în cele obișnuite. Acest lucru vă va permite să vedeți aceleași baze ale gradelor și va simplifica foarte mult soluția.

Să trecem la mai multe ecuații complexe, în care există baze diferite, care în general nu sunt reductibile între ele folosind grade.

Folosind proprietatea gradului

Permiteți-mi să vă reamintesc că avem două ecuații mai dure:

\\ [\\ begin (align) & ((7) ^ (x + 6)) \\ cdot ((3) ^ (x + 6)) \u003d ((21) ^ (3x)); \\\\ & ((100) ^ (x-1)) \\ cdot ((2.7) ^ (1-x)) \u003d 0,09. \\\\\\ end (align) \\]

Principala dificultate aici este că nu este clar ce și ce motiv să conducă. Unde sunt expresiile setate? Unde sunt aceleași motive? Nu există nimic din toate acestea.

Dar să încercăm să mergem pe altă cale. Dacă nu există baze identice gata făcute, puteți încerca să le găsiți luând în calcul bazele existente.

Să începem cu prima ecuație:

\\ [\\ begin (align) & ((7) ^ (x + 6)) \\ cdot ((3) ^ (x + 6)) \u003d ((21) ^ (3x)); \\\\ & 21 \u003d 7 \\ cdot 3 \\ Rightarrow ((21) ^ (3x)) \u003d ((\\ left (7 \\ cdot 3 \\ right)) ^ (3x)) \u003d ((7) ^ (3x)) \\ \\\\\\ end (align) \\]

Dar puteți face contrariul - compuneți numărul 21 din numerele 7 și 3. Acest lucru este deosebit de ușor de făcut în stânga, deoarece indicatorii ambelor grade sunt aceiași:

\\ [\\ begin (align) & ((7) ^ (x + 6)) \\ cdot ((3) ^ (x + 6)) \u003d ((\\ left (7 \\ cdot 3 \\ right)) ^ (x + 6)) \u003d ((21) ^ (x + 6)); \\\\ & ((21) ^ (x + 6)) \u003d ((21) ^ (3x)); \\\\ & x + 6 \u003d 3x; \\\\ & 2x \u003d 6; \\\\ & x \u003d 3. \\\\\\ end (align) \\]

Asta e tot! Ați mutat exponentul în afara produsului și ați obținut imediat o ecuație frumoasă care poate fi rezolvată în câteva rânduri.

Acum să ne ocupăm de a doua ecuație. Totul este mult mai complicat aici:

\\ [((100) ^ (x-1)) \\ cdot ((2.7) ^ (1-x)) \u003d 0,09 \\]

\\ [((100) ^ (x-1)) \\ cdot ((\\ left (\\ frac (27) (10) \\ right)) ^ (1-x)) \u003d \\ frac (9) (100) \\]

În acest caz, fracțiile s-au dovedit a fi ireductibile, dar dacă ceva ar putea fi redus, asigurați-vă că îl reduceți. De multe ori acest lucru va crea fundații interesante cu care să lucrați.

Din păcate, nimic nu a apărut cu adevărat în țara noastră. Dar vedem că exponenții din stânga produsului sunt opuși:

Permiteți-mi să vă reamintesc: pentru a scăpa de semnul minus din indicator, trebuie doar să „răsturnați” fracția. Ei bine, hai să rescriem ecuația originală:

\\ [\\ begin (align) & ((100) ^ (x-1)) \\ cdot ((\\ left (\\ frac (10) (27) \\ right)) ^ (x-1)) \u003d \\ frac (9 )(o sută); \\\\ & ((\\ left (100 \\ cdot \\ frac (10) (27) \\ right)) ^ (x-1)) \u003d \\ frac (9) (100); \\\\ & ((\\ left (\\ frac (1000) (27) \\ right)) ^ (x-1)) \u003d \\ frac (9) (100). \\\\\\ end (align) \\]

În a doua linie, am mutat pur și simplu exponentul total din produs în afara parantezei conform regulii $ ((a) ^ (x)) \\ cdot ((b) ^ (x)) \u003d ((\\ left (a \\ cdot b \\ right)) ^ (x)) $, iar în acesta din urmă au înmulțit pur și simplu numărul 100 cu o fracție.

Acum rețineți că numerele din stânga (la bază) și din dreapta sunt oarecum similare. Decât? Dar este evident: sunt puteri de același număr! Noi avem:

\\ [\\ begin (align) & \\ frac (1000) (27) \u003d \\ frac ((((10) ^ (3))) (((3) ^ (3))) \u003d ((\\ left (\\ frac ( 10) (3) \\ dreapta)) ^ (3)); \\\\ & \\ frac (9) (100) \u003d \\ frac (((3) ^ (2))) (((10) ^ (3))) \u003d ((\\ left (\\ frac (3) (10) \\ dreapta)) ^ (2)). \\\\\\ end (align) \\]

Astfel, ecuația noastră va fi rescrisă după cum urmează:

\\ [((\\ left (((\\ left (\\ frac (10) (3) \\ right)) ^ (3)) \\ right)) ^ (x-1)) \u003d ((\\ left (\\ frac (3 ) (10) \\ dreapta)) ^ (2)) \\]

\\ [((\\ left (((\\ left (\\ frac (10) (3) \\ right)) ^ (3)) \\ right)) ^ (x-1)) \u003d ((\\ left (\\ frac (10 ) (3) \\ right)) ^ (3 \\ left (x-1 \\ right))) \u003d ((\\ left (\\ frac (10) (3) \\ right)) ^ (3x-3)) \\]

În acest caz, în dreapta, puteți obține, de asemenea, un grad cu aceeași bază, pentru care este suficient doar să "întoarceți" fracția:

\\ [((\\ left (\\ frac (3) (10) \\ right)) ^ (2)) \u003d ((\\ left (\\ frac (10) (3) \\ right)) ^ (- 2)) \\]

În cele din urmă, ecuația noastră va lua forma:

\\ [\\ begin (align) & ((\\ left (\\ frac (10) (3) \\ right)) ^ (3x-3)) \u003d ((\\ left (\\ frac (10) (3) \\ right)) ^ (- 2)); \\\\ & 3x-3 \u003d -2; \\\\ & 3x \u003d 1; \\\\ & x \u003d \\ frac (1) (3). \\\\\\ end (align) \\]

Aceasta este întreaga soluție. Ideea sa principală se reduce la faptul că, chiar și cu motive diferite, încercăm cu cârlig sau cu escroc să reducem aceste terenuri la același lucru. În aceasta suntem ajutați de transformări elementare ale ecuațiilor și regulilor de lucru cu grade.

Dar ce reguli și când să le folosești? Cum să înțelegeți că într-o ecuație trebuie să împărțiți ambele părți la ceva, iar în cealaltă - pentru a calcula baza funcției exponențiale?

Răspunsul la această întrebare va veni cu experiență. Încearcă mâna la început ecuații simple, și apoi complică treptat sarcinile - și foarte curând abilitățile tale vor fi suficiente pentru a rezolva orice ecuație exponențială din același examen sau orice lucrare independentă / de testare.

Și pentru a vă ajuta în această sarcină dificilă, vă sugerez să descărcați pe site-ul meu un set de ecuații pentru soluții independente. Toate ecuațiile au răspunsuri, astfel încât să vă puteți testa oricând.

În general, vă doresc un antrenament de succes. Și ne vedem în lecția următoare - acolo vom analiza ecuații exponențiale foarte complexe, în care metodele descrise mai sus nu mai sunt suficiente. Și nici un antrenament simplu nu va fi suficient. :)

Inapoi inainte

Atenţie! Previzualizarea diapozitivelor este utilizată numai în scop informativ și este posibil să nu reprezinte toate opțiunile de prezentare. Dacă sunteți interesat de această lucrare, vă rugăm să descărcați versiunea completă.

Tipul lecției

: o lecție de generalizare și aplicații complexe de cunoștințe, abilități și abilități pe tema „ Ecuații exponențiale și modalități de a le rezolva ”.

Obiectivele lecției.

Educational:

să repete și să sistematizeze materialul principal al temei „Ecuații exponențiale, soluțiile lor”; să consolideze capacitatea de a utiliza algoritmi adecvați la rezolvarea ecuațiilor exponențiale de diferite tipuri; pregătirea pentru examen.

În curs de dezvoltare:

dezvolta gândirea logică și asociativă a elevilor; contribuie la dezvoltarea abilităților de aplicare independentă a cunoștințelor.

Educational:

pentru a educa intenția, atenția și acuratețea la rezolvarea ecuațiilor.

Echipament:

proiector computer și multimedia.

Lecția folosește tehnologia de informație : suport metodologic pentru lecție - prezentare în programul Microsoft Power Point.

În timpul orelor

Fiecare abilitate este dată de muncă

I. Stabilirea obiectivelor lecției(Glisați numărul 2 )

În această lecție, vom rezuma și vom generaliza tema „Ecuațiile exponențiale, soluțiile lor”. Să facem cunoștință cu sarcinile tipice ale USE din anii diferiți pe această temă.

Sarcinile pentru rezolvarea ecuațiilor exponențiale pot fi găsite în orice parte a sarcinilor examenului. În partea „ IN " de obicei, ele oferă rezolvarea celor mai simple ecuații exponențiale. În partea „ DE LA " puteți găsi ecuații exponențiale mai complexe, a căror soluție este de obicei una dintre etapele sarcinii.

De exemplu ( Glisați numărul 3 ).

• Examen de stat unificat - 2007

Q 4 - Găsiți cea mai mare valoare a expresiei x yUnde ( x; la) - soluție de sistem:

• Examen de stat unificat - 2008

B 1 - Rezolvați ecuațiile:

și) X 6 3x – 36 6 3x = 0;

b) 4 x +1 + 8 4 X= 3.

• Examen de stat unificat - 2009

Î 4 - Găsiți semnificația expresiei x + yUnde ( x; la) - soluție de sistem:

• Examen de stat unificat - 2010

– Rezolvați ecuația: 7 x– 2 = 49. - Găsiți rădăcinile ecuației: 4 x2 + 3x – 2 - 0,5 2x2 + 2x – 1 = 0. - Rezolvați sistemul de ecuații:

II. Actualizarea cunoștințelor de bază. Reiterare

(Diapozitive cu numărul 4 - 6 prezentări pentru lecție)

Se afișează ecranul rezumatul de bază al materialului teoretic pe această temă.

Sunt discutate următoarele aspecte:

1. Ce ecuații se numesc indicativ?
2. Numiți principalele modalități de a le rezolva. Dați exemple de tipurile lor ( Glisați numărul 4 )

(Rezolvați singuri ecuațiile propuse pentru fiecare metodă și faceți un autotest folosind un diapozitiv)

3. Care teoremă este utilizată pentru a rezolva cele mai simple ecuații exponențiale ale formei: și f (x) \u003d a g (x)?
4. Ce alte metode de rezolvare a ecuațiilor exponențiale există? ( Glisați numărul 5 )

• Metoda de factoring
(pe baza proprietăților gradelor cu aceleași baze, admitere: gradul cu cel mai mic exponent este scos din paranteză).
• Recepția diviziunii (înmulțirii) printr-o expresie exponențială alta decât zero, la rezolvarea ecuațiilor exponențiale omogene
.

• Sfat:

atunci când rezolvați ecuații exponențiale, este util să efectuați mai întâi transformări, obținând puteri cu aceleași baze în ambele părți ale ecuației.

1. Rezolvarea ecuațiilor cu ultimele două metode urmate de comentarii

(Glisați numărul 6 ).

. 4 x+ 1 – 2 4 x– 2 = 124, 4 x– 2 (4 3 - 2) = 124, 4 x– 2 62 = 124,

4 x– 2 = 2, 4 x– 2 = 4 0,5 , x– 2 = 0,5, x \u003d 2,5 .

2 2 2x - 3 2 x 5 X - 5 5 2x \u003d 0¦: 5 2 x0,

2 (2/5) 2x - 3 (2/5) X - 5 = 0,

t \u003d (2/5) x, t > 0, 2t 2 - 3 t - 5 = 0, t= -1(?...), t \u003d 5/2; 5/2 \u003d (2/5) x, x= ?...

III. Rezolvarea sarcinilor examenului 2010

Elevii rezolvă independent sarcinile propuse la începutul lecției de pe diapozitivul nr. 3, folosind instrucțiunile pentru soluție, verifică cursul soluției și răspund la acestea folosind prezentarea ( Glisați numărul 7 ). În timpul lucrului, sunt discutate opțiunile și metodele de soluționare, se atrage atenția asupra posibilelor erori ale soluției.

: a) 7 x- 2 \u003d 49, b) (1/6) 12 - 7 x = 36. Răspuns: și) x\u003d 4, b) x = 2. : 4 x2 + 3x – 2 - 0,5 2x2 + 2x - 1 \u003d 0. (Puteți înlocui 0,5 \u003d 4 - 0,5)

Decizie. ,

x 2 + 3x – 2 = -x 2 - 4x + 0,5 …

Răspuns: x= -5/2, x = 1/2.

: 5 5 tg y + 4 \u003d 5 -tg y , cu cos y< 0.

Indicația soluției

... 5 5 tg y + 4 \u003d 5 -tg y ¦ 5 tg y 0,

5 5 2g y + 4 5 tg y - 1 \u003d 0. Fie x\u003d 5 tg y , …

5 tg y = -1 (?...), 5 tg y \u003d1/5.

Din moment ce tg y\u003d -1 și cos y< 0, apoi la II trimestru de coordonate

Răspuns: la= 3/4 + 2k, k N.

IV. Colaborați la tablă

Este luată în considerare sarcina unui nivel înalt de formare - Glisați numărul 8 ... Cu ajutorul acestei diapozitive, are loc un dialog între profesor și elevi, contribuind la dezvoltarea soluției.

- La ce parametru și ecuația 2 2 x – 3 2 x + și 2 – 4și \u003d 0 are două rădăcini?

Lasa t= 2 x Unde t > 0 ... Primim t 2 – 3t + (și 2 – 4și) = 0 .

1). Deoarece ecuația are două rădăcini, atunci D\u003e 0;

2). La fel de t 1,2\u003e 0, apoi t 1 t 2\u003e 0, adică și 2 – 4și> 0 (?...).

Răspuns: și(- 0,5; 0) sau (4; 4,5).

V. Lucrări de verificare

(Glisați numărul 9 )

Elevii performează munca de verificare pe bucăți de hârtie, exercitând autocontrolul și autoevaluarea muncii efectuate cu ajutorul unei prezentări, afirmând subiectul. Ei stabilesc în mod independent un program pentru reglementarea și corectarea cunoștințelor pe baza greșelilor făcute în registrele de lucru. Fișele cu lucrări independente finalizate sunt predate profesorului pentru verificare.

Numere subliniate - nivel de bază, cu asterisc - dificultate crescută.

Soluție și răspunsuri.

0,3 2x + 1 = 0,3 – 2 , 2x + 1 = -2, x= -1,5.

(1; 1).

3. 2 x– 1 (5 2 4 - 4) = 19, 2 x– 1 76 = 19, 2 x– 1 = 1/4, 2 x– 1 = 2 – 2 , x– 1 = -2,

x \u003d -1.

4 * .3 9 x \u003d 2 3 x 5 X+ 5 25 x | : 25 x ,

3 (9/25) x \u003d 2 (3/5) X+ 5,

3 (9/27) x = 2 (3/5) x + 5 = 0,

3 (3/5) 2x – 2 (3/5) x - 5 = 0,…, (3/5) x = -1 (nu se potriveste),

(3/5) x = 5, x \u003d -1.

Vi. Teme pentru acasă

(Glisați numărul 10 )

• Repetați § 11, 12.
• De materialele examenului 2008 - 2010 pentru a selecta sarcini pe subiect și a le rezolva.
• Munca de testare la domiciliu
: