Ağırlık merkezinin koordinatlarını belirleme yöntemleri. Bazı homojen cisimlerin ağırlık merkezinin koordinatları Kendi kendine test soruları

6.1. Genel bilgi

Paralel Kuvvetlerin Merkezi
Bir yöne yönlendirilmiş ve cisme belirli noktalarda uygulanan iki paralel kuvveti ele alalım. A 1 ve A 2 (Şek.6.1). Bu kuvvetler sisteminin, etki çizgisi belirli bir noktadan geçen bir bileşkesi vardır. İLE. Nokta konumu İLE Varignon teoremi kullanılarak bulunabilir:

Eğer kuvvetleri çevirirseniz ve noktaların yakınına giderseniz A 1 ve A 2'yi bir yönde ve aynı açıda yaparsak, aynı modüllere sahip yeni bir paralel salas sistemi elde ederiz. Bu durumda sonuçları da bu noktadan geçecektir. İLE. Bu noktaya paralel kuvvetlerin merkezi denir.
Katı bir cisme noktalarda uygulanan paralel ve aynı yönlendirilmiş kuvvetlerden oluşan bir sistemi düşünelim. Bu sistemin bir sonucu var.
Sistemin her kuvveti, uygulama noktalarının yakınında aynı yönde ve aynı açıda döndürülürse, aynı modüllere ve uygulama noktalarına sahip, aynı yönlendirilmiş paralel kuvvetlerden oluşan yeni sistemler elde edilecektir. Bu tür sistemlerin sonucu aynı modüle sahip olacaktır. R, ama her seferinde farklı bir yöne. Gücümü katladıktan F 1 ve F 2 sonuçlarının olduğunu görüyoruz R 1, her zaman noktadan geçecek İLE 1, konumu eşitlikle belirlenir. Daha fazla katlama R 1 ve F 3, her zaman noktadan geçecek olan sonuçlarını buluyoruz İLE 2 düz bir çizgi üzerinde uzanmak A 3 İLE 2. Kuvvetlerin eklenmesi işlemini sona erdirdikten sonra, tüm kuvvetlerin bileşkesinin aslında her zaman aynı noktadan geçeceği sonucuna varacağız. İLE, noktalara göre konumu değişmeyecektir.
Nokta İLE sonuçta ortaya çıkan paralel kuvvetler sisteminin etki çizgisinin, bu kuvvetlerin uygulanma noktalarının yakınında aynı yönde aynı açıda herhangi bir dönüşü için geçtiği paralel kuvvetlerin merkezi denir (Şekil 6.2).

Şekil 6.2

Paralel kuvvetlerin merkezinin koordinatlarını belirleyelim. Noktanın konumundan bu yana İLE vücuda göre değişmezse, koordinatları koordinat sistemi seçimine bağlı değildir. Uygulamaları etrafındaki tüm kuvvetleri eksene paralel olacak şekilde çevirelim. kuruluş birimi ve Varignon teoremini döndürülen kuvvetlere uygulayın. Çünkü R" bu kuvvetlerin bileşkesi ise Varignon teoremine göre elimizde , Çünkü , anladık

Buradan paralel kuvvetlerin merkezinin koordinatını buluruz zc:

Koordinatları belirlemek için xc Eksen etrafındaki kuvvetlerin momenti için bir ifade oluşturalım Oz.

Koordinatları belirlemek için yc tüm kuvvetleri eksene paralel olacak şekilde çevirelim Oz.

Paralel kuvvetlerin merkezinin orijine göre konumu (Şekil 6.2), yarıçap vektörü ile belirlenebilir:

6.2. Katı bir cismin ağırlık merkezi

Ağırlık merkezi Katı bir cismin her zaman bu cisimle ilişkili bir noktası vardır İLE Belirli bir cismin uzaydaki herhangi bir konumu için bileşke yerçekimi kuvvetlerinin etki çizgisinin geçtiği yer.
Ağırlık merkezi, yerçekiminin etkisi altında cisimlerin ve sürekli ortamların denge konumlarının stabilitesinin incelenmesinde ve diğer bazı durumlarda, yani: malzemelerin gücünde ve yapısal mekanikte - Vereshchagin kuralını kullanırken kullanılır.
Bir cismin ağırlık merkezini belirlemenin iki yolu vardır: analitik ve deneysel. Ağırlık merkezini belirlemeye yönelik analitik yöntem doğrudan paralel kuvvetlerin merkezi kavramından kaynaklanır.
Paralel kuvvetlerin merkezi olarak ağırlık merkezinin koordinatları aşağıdaki formüllerle belirlenir:

Nerede R- tüm vücut ağırlığı; pk- vücut parçacıklarının ağırlığı; xk, yk, zk- vücut parçacıklarının koordinatları.
Homojen bir vücut için vücudun tamamının veya herhangi bir kısmının ağırlığı hacimle orantılıdır. P=Vγ, pk =vk γ, Nerede γ - birim hacim ağırlığı, V- vücut hacmi. İfadeleri değiştirme P, pk Ağırlık merkezinin koordinatlarını belirleyen ve ortak bir faktörle azaltan formüle γ , şunu elde ederiz:

Nokta İLE Koordinatları elde edilen formüllerle belirlenen şeye denir hacmin ağırlık merkezi.
Gövde ince homojen bir plaka ise ağırlık merkezi aşağıdaki formüllerle belirlenir:

Nerede S- tüm plakanın alanı; Sk- kendi kısmının alanı; xk, yk- plaka parçalarının ağırlık merkezinin koordinatları.
Nokta İLE bu durumda buna denir bölgenin ağırlık merkezi.
Düzlem şekillerin ağırlık merkezinin koordinatlarını belirleyen ifadelerin paylarına ne ad verilir? alanın statik momentleri eksenlere göre en Ve X:

Daha sonra alanın ağırlık merkezi aşağıdaki formüllerle belirlenebilir:

Uzunluğu kesit boyutlarından kat kat fazla olan cisimler için çizginin ağırlık merkezi belirlenir. Hattın ağırlık merkezinin koordinatları aşağıdaki formüllerle belirlenir:

Nerede L- hat uzunluğu; lk- parçalarının uzunluğu; xk, yk, zk- hattın bazı kısımlarının ağırlık merkezinin koordinatı.

6.3. Vücutların ağırlık merkezlerinin koordinatlarını belirleme yöntemleri

Elde edilen formüllere dayanarak cisimlerin ağırlık merkezlerinin belirlenmesine yönelik pratik yöntemler önermek mümkündür.
1. Simetri. Bir cismin simetri merkezi varsa ağırlık merkezi de simetri merkezindedir.
Vücudun bir simetri düzlemi varsa. Örneğin XOU düzleminde ağırlık merkezi bu düzlemde yer alır.
2. Bölme. Basit şekilli gövdelerden oluşan gövdeler için bölme yöntemi kullanılır. Vücut, ağırlık merkezi simetri yöntemiyle belirlenen parçalara bölünmüştür. Tüm vücudun ağırlık merkezi, hacim (alan) ağırlık merkezi formülleri ile belirlenir.

Örnek. Aşağıdaki şekilde gösterilen plakanın ağırlık merkezini belirleyin (Şekil 6.3). Plaka çeşitli şekillerde dikdörtgenlere bölünebilmekte ve her dikdörtgenin ağırlık merkezinin koordinatları ve alanı belirlenebilmektedir.

Şekil 6.3

Cevap: XC=17.0cm; senC=18.0cm.

3. Ek. Bu yöntem, bölümleme yönteminin özel bir durumudur. Gövdede kesikler, dilimler vb. olduğunda, kesiksiz gövdenin ağırlık merkezinin koordinatları biliniyorsa kullanılır.

Örnek. Kesme yarıçapına sahip dairesel bir plakanın ağırlık merkezini belirleyin R = 0,6 R(Şekil 6.4).

Şekil 6.4

Yuvarlak plakanın bir simetri merkezi vardır. Koordinatların başlangıç ​​noktasını plakanın merkezine yerleştirelim. Kesimsiz plaka alanı, kesme alanı. Kesikli kare plaka; .
Kesikli plakanın simetri ekseni vardır О1 x, buradan, yc=0.

4. Entegrasyon. Eğer vücut, ağırlık merkezlerinin konumları bilinen sonlu sayıda parçaya bölünemiyorsa, vücut keyfi olarak küçük hacimlere bölünür ve bunun için bölme yöntemini kullanan formül şu şekli alır: .
Daha sonra temel hacimleri sıfıra yönlendirerek sınıra giderler, yani. hacimleri noktalara daraltıyoruz. Toplamlar, vücudun tüm hacmine yayılan integrallerle değiştirilir, ardından hacmin ağırlık merkezinin koordinatlarını belirleme formülleri şu şekli alır:

Bir alanın ağırlık merkezinin koordinatlarını belirlemek için formüller:

Plakaların dengesi incelenirken, yapı mekaniğinde Mohr integrali hesaplanırken alanın ağırlık merkezinin koordinatları belirlenmelidir.

Örnek. Yarıçaplı bir dairesel yayın ağırlık merkezini belirleyin R merkezi açılı AOB= 2α (Şekil 6.5).

Pirinç. 6.5

Bir dairenin yayı eksene simetriktir Ah dolayısıyla yayın ağırlık merkezi eksen üzerinde yer alır Ah, yс = 0.
Bir çizginin ağırlık merkezi formülüne göre:

6.Deneysel yöntem. Karmaşık konfigürasyondaki homojen olmayan cisimlerin ağırlık merkezleri deneysel olarak belirlenebilir: asma ve tartma yöntemiyle. İlk yöntem gövdeyi çeşitli noktalardan bir kabloya asmaktır. Vücudun asılı olduğu kablonun yönü yerçekimi yönünü verecektir. Bu yönlerin kesiştiği nokta cismin ağırlık merkezini belirler.
Tartma yöntemi, öncelikle araba gibi bir cismin ağırlığının belirlenmesini içerir. Daha sonra aracın arka aksının desteğe uyguladığı basınç terazi üzerinde belirlenir. Örneğin ön tekerleklerin ekseni gibi bir noktaya göre bir denge denklemi çizerek, bu eksenden arabanın ağırlık merkezine olan mesafeyi hesaplayabilirsiniz (Şekil 6.6).

Şekil 6.6

Bazen problemleri çözerken ağırlık merkezinin koordinatlarını belirlemek için farklı yöntemleri aynı anda kullanmak gerekir.

6.4. Bazı basit geometrik şekillerin ağırlık merkezleri

Sıklıkla ortaya çıkan şekillerdeki (üçgen, dairesel yay, sektör, segment) cisimlerin ağırlık merkezlerini belirlemek için referans verilerinin kullanılması uygundur (Tablo 6.1).

Tablo 6.1

Bazı homojen cisimlerin ağırlık merkezinin koordinatları

№	Şeklin adı	Çizim
	Bir dairenin yayı: Düzgün bir daire yayının ağırlık merkezi simetri ekseni üzerindedir (koordinat) uc=0). R- dairenin yarıçapı.
	Homojen dairesel sektör uc=0). burada α merkez açının yarısıdır; R- dairenin yarıçapı.
	Segment: ağırlık merkezi simetri ekseninde bulunur (koordinat) uc=0). burada α merkez açının yarısıdır; R- dairenin yarıçapı.
	Yarım daire:
	Üçgen: Homojen bir üçgenin ağırlık merkezi kenarortaylarının kesiştiği noktadadır. Nerede x1, y1, x2, y2, x3, y3- üçgenin köşelerinin koordinatları
	Koni: Düzgün dairesel bir koninin ağırlık merkezi, koninin yüksekliğinde bulunur ve koninin tabanından yüksekliğin 1/4'ü kadar uzaklıkta bulunur.

Hesaplamaların sonucu yalnızca kesit alanına bağlı değildir, bu nedenle malzemelerin mukavemeti ile ilgili problemleri çözerken, belirlemeden yapamazsınız. figürlerin geometrik özellikleri: statik, eksenel, kutupsal ve merkezkaç atalet momentleri. Bölümün ağırlık merkezinin konumunu belirleyebilmek zorunludur (listelenen geometrik özellikler ağırlık merkezinin konumuna bağlıdır). Ek olarak Basit şekillerin geometrik özellikleri: dikdörtgen, kare, ikizkenar ve dik üçgenler, daire, yarım daire. Kiriş malzemesinin homojen olması şartıyla ağırlık merkezi ve ana merkezi eksenlerin konumu belirtilir ve bunlara göre geometrik özellikler belirlenir.

Dikdörtgen ve karenin geometrik özellikleri

Bir dikdörtgenin (kare) eksenel atalet momentleri

Dik üçgenin geometrik özellikleri

Bir dik üçgenin eksenel atalet momentleri

İkizkenar üçgenin geometrik özellikleri

Bir ikizkenar üçgenin eksenel atalet momentleri

Üçgenin ağırlık merkezi. Bölümleme yöntemini kullanalım ve üçgeni bölelim ABC kenara paralel çizgiler çizerek temel şeritler halinde ACüçgen. Bu tür şeritlerin her biri bir dikdörtgen olarak alınabilir; bu dikdörtgenlerin ağırlık merkezleri ortadadır, yani. orta noktada BDüçgen. Bu nedenle üçgenin ağırlık merkezinin aynı kenar kenar üzerinde bulunması gerekir. BD.

Şimdi üçgeni yanlara paralel çizgilerle temel şeritlere bölüyoruz ABüçgenin ağırlık merkezinin medyan üzerinde olması gerektiği sonucuna varıyoruz AB.

Buradan, üçgenin ağırlık merkezi kenarortaylarının kesiştiği noktadadır . Bu nokta, bilindiği gibi, medyanların her birini orandaki parçalara böler; .

Yamuğun ağırlık merkezi.Öncekine benzer şekilde yamuğu bölelim ABCD tabanlara paralel temel şeritlere Güneş Ve reklam. Şeritlerin ağırlık merkezleri düz bir çizgi üzerinde yer alacaktır. KL yamuğun tabanlarının orta noktalarını birleştirmek. Sonuç olarak yamuğun ağırlık merkezi bu düz çizgi üzerinde yer alır. Alt tabana olan mesafesini bulmak için yamuğu üçgenlere bölüyoruz ABC Ve AKD. Bu üçgenler için sırasıyla , , , .

Formül (8.20)'yi kullanarak şunu elde ederiz:

.

Dairesel bir yayın ağırlık merkezi. Yayı düşünün ADV merkezi bir açıya sahip yarıçaplı daireler. Koordinatların başlangıç ​​noktasını dairenin merkezine yerleştirin ve ekseni kirişe dik olacak şekilde yönlendirin AB.

Şeklin eksene göre simetrisi nedeniyle ağırlık merkezi bu eksen üzerinde yer alacaktır, yani. , o zaman geriye kalan tek şey ağırlık merkezinin apsisini bulmaktır; bunun için (8.18) formülünü kullanıyoruz.

Şek. elimizde , ve bu nedenle,

, (8.22) burada radyan cinsinden merkez açının yarısıdır.

Özellikle yarım daire yayı için elimizde olacak

Dairesel bir sektörün ağırlık merkezi. Dairesel bir sektörün ağırlık merkezinin konumunu belirlemek için onu Şekil 2'de gösterildiği gibi temel sektörlere ayırıyoruz. Her temel sektör, yüksekliği eşit olan bir ikizkenar üçgen olarak alınabilir. Ancak bir ikizkenar üçgenin yüksekliği aynı zamanda onun ortancasıdır; bu nedenle, her temel üçgenin ağırlık merkezi başlangıç ​​noktasından belli bir mesafede yer alır. HAKKINDA. Buna göre, tüm temel üçgenlerin ağırlık merkezlerinin geometrik yeri, yarıçaplı bir dairenin yayıdır.

Bu, dairesel bir sektörün alanının ağırlık merkezinin, bu sektörün ağırlığının sürekli ve düzgün bir şekilde dağıtıldığı malzeme hattının ağırlık merkezi olarak aranabileceği anlamına gelir. Formül (8.22)'yi uygulayarak sektör alanının ağırlık merkezinin koordinatını elde ederiz.

, (8.23) burada radyan cinsinden merkez açının yarısıdır. Özellikle yarım daire şeklindeki bir sektör için elde ettiğimiz

Sorun 8.3. Plaka, kenarı eşit olan bir kareden, köşe noktası merkezli yarıçaplı bir dairenin dörtte birini oluşturan bir parça kesildikten sonra elde edilir. A kare. Plakanın ağırlık merkezini belirleyin.

veya uygun değerleri değiştirerek,

.

En basit homojen cisimlerden bazılarının ağırlık merkezlerinin konumlarını belirleyen formülleri türetmeden sunalım.

Ağırlık merkezi, temel yerçekimi kuvvetlerinin bileşkesinin etki çizgisinin geçtiği noktadır. Paralel güçlerin merkezi özelliğine sahiptir (E.M. Nikitin, § 42). Bu yüzden çeşitli cisimlerin ağırlık merkezinin konumunu belirlemek için formüllerşu forma sahip:
x c = (∑ G ben x ben) / ∑ G ben ;
(1) y c = (∑ G ben y ben) / ∑ G ben;
z c = (∑ G ben z ben) / ∑ G ben .

Ağırlık merkezinin belirlenmesi gereken cisim, çizgilerden oluşan bir şekille tanımlanabiliyorsa (örneğin, Şekil 173'teki gibi telden yapılmış kapalı veya açık bir kontur), o zaman her bir segmentin ağırlığı G i li i ürün olarak temsil edilebilir
G ben = l ben d,
burada d, şeklin tamamı için malzemenin birim uzunluğunun sabit ağırlığıdır.

L i d değerlerini G i yerine formül (1)'e yerleştirdikten sonra pay ve paydanın her bir dönemindeki sabit d faktörü parantezlerden çıkarılabilir (toplamın işaretinin ötesinde) ve azaltılabilir. Böylece, çizgi parçalarından oluşan bir şeklin ağırlık merkezinin koordinatlarını belirlemek için formüller, şu formu alacaktır:
x c = (∑ l ben x ben) / ∑ l ben ;
(2) y c = (∑ l ben y ben) / ∑ l ben;
z c = (∑ l ben z ben) / ∑ l ben .

Gövde, çeşitli şekillerde düzenlenmiş düzlemlerden veya kavisli yüzeylerden oluşan bir şekil biçimine sahipse (Şekil 174), o zaman her bir düzlemin (yüzeyin) ağırlığı aşağıdaki şekilde temsil edilebilir:
G ben = F ben p,
burada F i her yüzeyin alanıdır ve p, şeklin birim alanı başına ağırlığıdır.

G i'nin bu değerini formül (1)'e yerleştirdikten sonra şunu elde ederiz: alanlardan oluşan bir şeklin ağırlık merkezinin koordinatları için formüller:
x c = (∑ F ben x ben) / ∑ F ben ;
(3) y c = (∑ F ben y ben) / ∑ F ben ;
z c = (∑ F ben z ben) / ∑ F ben .

Homojen bir gövde belirli bir geometrik şeklin basit parçalarına bölünebiliyorsa (Şekil 175), o zaman her parçanın ağırlığı
G ben = V ben γ,
burada V i her parçanın hacmidir ve γ gövdenin birim hacmi başına ağırlığıdır.

G i değerlerini formül (1)'e yerleştirdikten sonra, şunu elde ederiz: homojen hacimlerden oluşan bir cismin ağırlık merkezinin koordinatlarını belirlemek için formüller:
x c = (∑ V ben x ben) / ∑ V ben ;
(4) y c = (∑ V ben y ben) / ∑ V ben;
z c = (∑ V ben z ben) / ∑ V ben .

Cisimlerin ağırlık merkezinin konumunu belirlemeye ilişkin bazı problemleri çözerken, bazen bir daire yayının, dairesel bir sektörün veya bir üçgenin ağırlık merkezinin nerede olduğunu bilmek gerekir.

Yayın yarıçapı r ve yayın kapsadığı ve radyan cinsinden ifade edilen merkez açısı 2a biliniyorsa, o zaman C ağırlık merkezinin (Şekil 176, a) yayın O merkezine göre konumu şu şekilde belirlenir: formül:
(5) x c = (r sin α)/α.

Yayın AB=b akoru verilirse, formül (5)'te değiştirmeyi yapabilirsiniz.
günah α = b/(2r)
ve daha sonra
(5a) x c = b/(2α).

Yarım daire özel durumunda, her iki formül de şu formu alacaktır (Şekil 176, b):
(5b) x c = OC = 2r/π = d/π.

Yarıçapı r verilirse (Şekil 176, c), dairesel bir sektörün ağırlık merkezinin konumu aşağıdaki formül kullanılarak belirlenir:
(6) x c = (2r sin α)/(3α).

Sektör akoru verilirse, o zaman:
(6a) x c = b/(3α).

Yarım daire özel durumunda, her iki son formül de şu şekli alacaktır (Şekil 176, d)
(6b) x c = OC = 4r/(3π) = 2d/(3π).

Herhangi bir üçgenin alanının ağırlık merkezi, herhangi bir taraftan karşılık gelen yüksekliğin üçte birine eşit bir mesafede bulunur.

Dik bir üçgende ağırlık merkezi, dik açının tepe noktasından sayılarak, bacakların uzunluğunun üçte biri kadar uzaklıkta bulunan noktalardan bacaklara kaldırılan dik çizgilerin kesişme noktasında bulunur (Şekil 177).

İnce çubuklardan (çizgilerden), plakalardan (alanlardan) veya hacimlerden oluşan herhangi bir homojen cismin ağırlık merkezinin konumunu belirleme problemlerini çözerken, aşağıdaki sıraya uyulması tavsiye edilir:

1) ağırlık merkezinin konumunun belirlenmesi gereken bir gövde çizin. Genellikle tüm vücut ölçüleri bilindiğinden ölçeğe dikkat edilmelidir;

2) gövdeyi bileşen parçalarına (çizgi parçaları veya alanlar veya hacimler) ayırın; ağırlık merkezlerinin konumu, gövdenin boyutuna göre belirlenir;

3) bileşen parçalarının uzunluklarını, alanlarını veya hacimlerini belirlemek;

4) koordinat eksenlerinin konumunu seçin;

5) bileşenlerin ağırlık merkezlerinin koordinatlarını belirleyin;

6) bulunan uzunlukların, alanların veya bireysel parçaların hacimlerinin yanı sıra ağırlık merkezlerinin koordinatlarını uygun formüllerle değiştirin ve tüm vücudun ağırlık merkezinin koordinatlarını hesaplayın;

7) Bulunan koordinatları kullanarak, şekilde vücudun ağırlık merkezinin konumunu belirtin.

§ 23. İnce homojen çubuklardan oluşan bir gövdenin ağırlık merkezinin konumunun belirlenmesi

§ 24. Plakalardan oluşan şekillerin ağırlık merkezi konumunun belirlenmesi

Bir önceki paragrafta verilen problemlerde olduğu gibi son problemde de şekilleri bileşenlerine ayırmak herhangi bir zorluk yaratmamaktadır. Ancak bazen şeklin, çeşitli şekillerde bileşen parçalarına bölünmesine izin veren bir formu vardır, örneğin üçgen kesikli ince dikdörtgen bir plaka (Şekil 183). Böyle bir plakanın ağırlık merkezinin konumu belirlenirken, alanı çeşitli şekillerde dört dikdörtgene (1, 2, 3 ve 4) ve bir dik üçgene (5) bölünebilir. Şekil 2'de iki seçenek gösterilmektedir. 183, a ve b.

Bir figürü kendisini oluşturan parçalara ayırmanın en akılcı yolu, en az sayıda parçayı üreten yöntemdir. Şekilde kesikler varsa, bunlar da şeklin bileşen parçalarına dahil edilebilir, ancak kesilen kısmın alanı negatif kabul edilir. Bu nedenle bu bölmeye negatif alanlar yöntemi adı verilir.

Resimdeki plaka. 183, bu yöntemle yalnızca iki parçaya bölünmüştür: tüm plakanın alanı sanki bütünmüş gibi olan dikdörtgen 1 ve negatif olduğunu düşündüğümüz alanla birlikte üçgen 2.

§ 26. Basit geometrik şekle sahip parçalardan oluşan bir gövdenin ağırlık merkezinin konumunun belirlenmesi

Basit geometrik şekle sahip parçalardan oluşan bir cismin ağırlık merkezinin konumunu belirleme problemlerini çözmek için, çizgilerden veya alanlardan oluşan şekillerin ağırlık merkezinin koordinatlarını belirleme becerisine sahip olmanız gerekir.

Dairesel bir yayın ağırlık merkezi

Yayın bir simetri ekseni vardır. Ağırlık merkezi bu eksende yer alır, yani. sen C = 0 .

dl– ark elemanı, dl = Rdφ, R– dairenin yarıçapı, x = Rcosφ, L= 2αR,

Buradan:

X C = R(sinα/α).

Dairesel bir sektörün ağırlık merkezi

Yarıçap sektörü R merkez açılı 2 α simetri ekseni vardır Öküz ağırlık merkezinin bulunduğu yer.

Sektörü üçgen sayılabilecek temel sektörlere ayırıyoruz. Temel sektörlerin ağırlık merkezleri, yarıçaplı (2/3) dairesel bir yay üzerinde bulunur. R.

Sektörün ağırlık merkezi yayın ağırlık merkezi ile çakışıyor AB:

Yarım daire:

37. Kinematik. Bir noktanın kinematiği. Bir noktanın hareketini belirleme yöntemleri.

Kinematik- maddi cisimlerin hareketinin, kütle ve onlara etki eden kuvvetler dikkate alınmaksızın geometrik açıdan incelendiği bir mekanik dalı. Bir noktanın hareketini belirtmenin yolları: 1) doğal, 2) koordinat, 3) vektör.

Bir noktanın kinematiği- maddi noktaların hareketinin matematiksel tanımını inceleyen kinematik dalı. Kinematiğin temel görevi, bu harekete neden olan nedenleri belirlemeden, hareketi matematiksel bir aygıt kullanarak açıklamaktır.

Doğal sp. noktanın yörüngesi, bu yörünge boyunca hareketinin yasası, yay koordinatının başlangıcı ve yönü belirtilir: s=f(t) – noktanın hareketinin yasası. Doğrusal hareket için: x=f(t).

Koordinat sp. uzayda bir noktanın konumu üç koordinat tarafından belirlenir; değişiklikler noktanın hareket yasasını belirler: x=f 1 (t), y=f 2 (t), z=f 3 (t).

Hareket bir düzlemde ise iki hareket denklemi vardır. Hareket denklemleri yörünge denklemini parametrik biçimde tanımlar. t parametresini denklemlerden hariç tutarak, yörünge denklemini olağan biçimde elde ederiz: f(x,y)=0 (bir düzlem için).

vektör sp. Bir noktanın konumu, bir merkezden çizilen yarıçap vektörü tarafından belirlenir. Bir vektörün sonuna çizilen eğriye denir. hodograf bu vektör. Onlar. yörünge – yarıçap vektör hodografı.

38. Koordinat ve vektör arasındaki ilişki, koordinat ve bir noktanın hareketini belirlemenin doğal yöntemleri.

VEKTÖR YÖNTEMİNİN KOORDİNAT VE DOĞAL YÖNTEMLE İLİŞKİSİ oranlarla ifade edilir:

belirli bir noktada yörüngeye teğetin birim birimi mesafe referansına doğru yönlendirilir ve belirli bir noktada eğriliğin merkezine doğru yönlendirilmiş yörüngeye normalin birim birimidir (bkz. Şekil 3) .

KOORDİNAT YÖNTEMİNİN DOĞAL İLE BAĞLANTISI. Yörünge denklemi f(x, y)=z; f 1 (x, z)=y, koordinat formundaki hareket denklemlerinden t süresinin ortadan kaldırılmasıyla elde edilir. Bir noktanın koordinatlarının alabileceği değerlerin ek analizi, eğrinin yörünge olan bölümünü belirler. Örneğin, bir noktanın hareketi şu denklemlerle veriliyorsa: x=sin t; y=sin 2 t=x 2 ise, noktanın yörüngesi y=x 2 parabolünün -1≤x≤+1, 0≤x≤1 olduğu bölümü olur. Mesafe sayımının başlangıcı ve yönü keyfi olarak seçilir; bu ayrıca hızın işaretini ve başlangıç ​​mesafesinin (s0) büyüklüğünü ve işaretini belirler.

Hareket kanunu bağımlılıkla belirlenir:

+ veya - işareti, mesafe ölçümünün kabul edilen yönüne bağlı olarak belirlenir.

Nokta hızı söz konusu referans sistemindeki bu noktanın yarıçap vektörünün zamana göre türevine eşit olan hareketinin kinematik bir ölçüsüdür. Hız vektörü, hareket yönünde noktanın yörüngesine teğet olarak yönlendirilir

Hız vektörü (v) bir cismin birim zamanda belirli bir yönde kat ettiği mesafedir. Lütfen tanımın hız vektörüönemli bir fark dışında hızın tanımına çok benzer: Bir cismin hızı hareketin yönünü göstermez, ancak bir cismin hız vektörü hem hızını hem de hareketin yönünü gösterir. Bu nedenle cismin hız vektörünü tanımlayan iki değişkene ihtiyaç vardır: hız ve yön. Bir değeri ve yönü olan fiziksel büyüklüklere vektör büyüklükleri denir.

Hız vektörü vücut zaman zaman değişebilir. Hızı veya yönü değişirse cismin hızı da değişir. Sabit hız vektörü, sabit bir hız ve sabit bir yön anlamına gelirken, sabit hız terimi, yön dikkate alınmaksızın yalnızca sabit bir değer anlamına gelir. "Hız vektörü" terimi sıklıkla "hız" terimi ile birbirinin yerine kullanılır. Her ikisi de bir cismin birim zamanda kat ettiği mesafeyi ifade eder

Nokta ivmesi bu noktanın hızının zamana göre türevine veya noktanın yarıçap vektörünün zamana göre ikinci türevine eşit olan hızındaki değişimin bir ölçüsüdür. İvme, hız vektöründeki büyüklük ve yön değişimini karakterize eder ve yörüngenin içbükeyliğine doğru yönlendirilir.

Hızlanma vektörü

Bu, hızdaki değişimin, bu değişimin meydana geldiği zaman dilimine oranıdır. Ortalama ivme aşağıdaki formülle belirlenebilir:

Nerede - ivme vektörü.

İvme vektörünün yönü, hızdaki değişimin yönü Δ = - 0 ile çakışmaktadır (burada 0, başlangıç ​​hızıdır, yani vücudun hızlanmaya başladığı hızdır).

t1 zamanında (bkz. Şekil 1.8) cismin hızı 0'dır. T2 anında vücudun hızı vardır. Vektör çıkarma kuralına göre hız değişimi vektörünü Δ = - 0 olarak buluruz. Daha sonra ivmeyi şu şekilde belirleyebilirsiniz: