Tek değişkenli polinomlar. Matematik Benzer terimleri azaltmayı severim

§ 13. Tüm fonksiyonlar (polinomlar) ve temel özellikleri. Karmaşık sayılar kümesinde cebirsel denklemleri çözme 165

13.1. Temel tanımlar 165

13.2. Tamsayı polinomlarının temel özellikleri 166

13.3. Cebirsel bir denklemin köklerinin temel özellikleri 169

13.4. Karmaşık sayılar kümesinde temel cebirsel denklemleri çözme 173

13.5. Bağımsız çalışmaya yönelik alıştırmalar 176

Kendi kendine test soruları 178

Sözlük 178

1. Temel tanımlar

Tam bir cebirsel fonksiyon veya cebirsel polinom (polinom )argüman X aşağıdaki türde bir fonksiyon denir

Burada N–polinom derecesi ( doğal sayı veya 0), X – değişken (gerçek veya karmaşık), A 0 , A 1 , …, A N –polinom katsayıları (gerçek veya karmaşık sayılar), A 0  0.

Örneğin,

;
;
,
– kare üç terimli;

,
;.

Sayı X 0 öyle ki P N (X 0)0, denir sıfır fonksiyonu P N (X) veya denklemin kökü
.

Örneğin,

onun kökleri
,
,
.

Çünkü
Ve
.

Açıklama (tüm cebirsel fonksiyonun sıfırlarının tanımı hakkında)

Literatürde fonksiyon sıfırları sıklıkla
kökleri denir. Örneğin sayılar
Ve
ikinci dereceden fonksiyonun kökleri denir
.

1. Tamsayı polinomlarının temel özellikleri

 Kimlik (3)  için geçerlidir X 
(veya X  ), bu nedenle aşağıdakiler için geçerlidir:
; ikame
, alıyoruz A N = B N. (3)'teki şartları karşılıklı olarak iptal edelim. A N Ve B N ve her iki parçayı da bölün X:

Bu özdeşlik aynı zamanda  için de geçerlidir. X ne zaman olacağı dahil X= 0, yani varsayıyoruz X= 0, şunu elde ederiz A N – 1 = B N – 1 .

(3")'deki şartları karşılıklı olarak iptal edelim. A N– 1 ve B N– 1 ve her iki tarafı da buna bölüyoruz X, sonuç olarak şunu elde ederiz

Akıl yürütmeyi benzer şekilde sürdürürsek şunu elde ederiz: A N – 2 = B N –2 , …, A 0 = B 0 .

Böylece, iki tamsayı polinomunun özdeş eşitliğinin, aynı kuvvetler için katsayılarının çakışması anlamına geldiği kanıtlanmıştır. X.

Tersi ifade oldukça açıktır; yani, iki polinomun tüm katsayıları aynıysa, o zaman bunlar kümede tanımlanan özdeş fonksiyonlardır.
bu nedenle değerleri argümanın tüm değerleri ile çakışıyor
, bu onların özdeş eşitliği anlamına gelir. Özellik 1 tamamen kanıtlanmıştır.

Örnek (polinomların özdeş eşitliği)

.

 Kalanlı bölme formülünü yazalım: P N (X) = (X – X 0)∙Q N – 1 (X) + A,

Nerede Q N – 1 (X) - derece polinomu ( N – 1), A- bir polinomu "sütundaki" bir binomla bölmek için iyi bilinen algoritmadan kaynaklanan bir sayı olan geri kalan.

Bu eşitlik  için doğrudur X ne zaman olacağı dahil X = X 0; inanmak
, alıyoruz

P N (X 0) = (X 0 – X 0)Q N – 1 (X 0) + A  A = P N (X 0) 

Kanıtlanmış özelliğin bir sonucu, Bezout teoremi olarak bilinen, bir polinomun geri kalanı olmadan binomla bölünmesine ilişkin bir ifadedir.

 Bezout teoreminin kanıtı, daha önce kanıtlanmış bir tamsayı polinomunu bölme özelliğini kullanmadan gerçekleştirilebilir
binom ile
. Aslında polinomu bölme formülünü yazalım.
binom ile
kalan A=0 ile:

Şimdi şunu dikkate alalım polinomun sıfırıdır
ve son eşitliği yazın
:

Örnekler (Bezout'un sözde yöntemini kullanarak bir polinomun çarpanlara ayrılması)

1) çünkü P 3(1)0;

2) çünkü P 4 (–2)0;

3) çünkü P 2 (–1/2)0.

Bu teoremin ispatı dersimizin kapsamı dışındadır. Bu nedenle teoremi kanıt olmadan kabul ediyoruz.

Bu teorem ve Bezout teoremi üzerinde polinomla çalışalım P N (X):

sonrasında N-bu teoremlerin çoklu uygulamalarıyla şunu elde ederiz

Nerede A 0 katsayısıdır X N polinom gösteriminde P N (X).

Eşitlik varsa (6) k setteki sayılar X 1 ,X 2 , …X N birbirleriyle ve  sayısıyla çakışırsa sağdaki çarpımda çarpanı elde ederiz ( X–) k. Daha sonra numara X= denir polinomun k-kat kökü P N (X ) , veya çokluğun kökü k . Eğer k= 1, ardından sayı
isminde bir polinomun basit kökü P N (X ) .

Örnekler (polinom doğrusal çarpanlara ayırma)

1) P 4 (X) = (X – 2)(X – 4) 3  X 1 = 2 - basit kök, X 2 = 4 - üçlü kök;

2) P 4 (X) = (X – Ben) 4  X = Ben- çokluğun kökü 4.

Tanım gereği bir polinom, monomların toplamını temsil eden cebirsel bir ifadedir.

Örneğin: 2*a^2 + 4*a*x^7 - 3*a*b^3 + 4; 6 + 4*b^3 polinomlardır ve z/(x - x*y^2 + 4) ifadesi bir polinom değildir çünkü tek terimlilerin toplamı değildir. Bir polinom bazen polinom olarak da adlandırılır ve bir polinomun parçası olan monomlar bir polinomun veya monomiyallerin üyeleridir.

Polinomun karmaşık kavramı

Bir polinom iki terimden oluşuyorsa buna binom, üç terimden oluşuyorsa trinom denir. Fournomial, fivenomial ve diğerleri isimleri kullanılmaz ve bu gibi durumlarda sadece polinom denir. Bu tür isimler, terim sayısına bağlı olarak her şeyi yerine koyar.

Ve monomiyal terimi sezgisel hale geliyor. Matematiksel açıdan bakıldığında monom, polinomun özel bir durumudur. Monom, bir terimden oluşan bir polinomdur.

Tıpkı bir monom gibi, bir polinomun da kendi standart formu vardır. Bir polinomun standart formu, içinde terim olarak yer alan tüm monomların standart bir formda yazıldığı ve benzer terimlerin verildiği bir polinomun böyle bir gösterimidir.

Polinomun standart formu

Bir polinomu standart forma indirgeme prosedürü, monomların her birini standart forma indirgemek ve ardından tüm benzer monomları bir araya toplamaktır. Bir polinomun benzer terimlerinin toplanmasına benzerlerin indirgenmesi denir.
Örneğin 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*b polinomunda benzer terimleri verelim.

4*a*b^2*c^3 ve 6*a*b^2*c^3 terimleri burada benzerdir. Bu terimlerin toplamı 10*a*b^2*c^3 tek terimli olacaktır. Bu nedenle, orijinal polinom 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*b, 10*a*b^2*c^3 - a* olarak yeniden yazılabilir. B . Bu giriş bir polinomun standart formu olacaktır.

Herhangi bir mononomun standart bir forma indirgenebileceği gerçeğinden, aynı zamanda herhangi bir polinomun standart bir forma indirgenebileceği sonucu çıkar.

Bir polinom standart bir forma indirgendiğinde polinomun derecesi gibi bir kavramdan bahsedebiliriz. Bir polinomun derecesi, belirli bir polinomun içerdiği en yüksek monom derecesidir.
Yani, örneğin, 1 + 4*x^3 - 5*x^3*y^2 beşinci dereceden bir polinomdur, çünkü polinomun içerdiği monomların maksimum derecesi (5*x^3*y^) 2) beşincidir.

Tanım 3.3. Tek terimli sayıların, değişkenlerin ve doğal üslü kuvvetlerin çarpımı olan bir ifadedir.

Örneğin, ifadelerin her biri,
,
bir monomiyaldir.

Monomiyalin sahip olduğunu söylüyorlar standart görünüm , ilk etapta yalnızca bir sayısal faktör içeriyorsa ve içindeki özdeş değişkenlerin her çarpımı bir derece ile temsil ediliyorsa. Standart formda yazılan bir monomiyalin sayısal faktörüne denir monom katsayısı . Monomiyalin gücü adına tüm değişkenlerinin üslerinin toplamı denir.

Tanım 3.4. Polinom monomların toplamı denir. Bir polinomun oluşturulduğu monomlara denirpolinomun üyeleri .

Benzer terimlere (bir polinomdaki tek terimlilere) denir polinomun benzer terimleri .

Tanım 3.5. Standart formun polinomu tüm terimlerin standart formda yazıldığı ve benzer terimlerin verildiği polinom denir.Standart formdaki bir polinomun derecesi içerdiği monomların kuvvetlerinin en büyüğü olarak adlandırılır.

Örneğin, dördüncü derecenin standart formunun bir polinomudur.

Tek terimli ve polinomlarla ilgili eylemler

Polinomların toplamı ve farkı standart formda bir polinom haline dönüştürülebilir. İki polinom toplanırken tüm terimleri yazılır ve benzer terimler verilir. Çıkarma işlemi sırasında, çıkarılan polinomun tüm terimlerinin işaretleri tersine çevrilir.

Örneğin:

Bir polinomun terimleri gruplara ayrılabilir ve parantez içine alınabilir. Bu, parantezlerin açılmasının tersi olan özdeş bir dönüşüm olduğundan, aşağıdaki denklem kurulur: basamaklama kuralı: parantezlerin önüne artı işareti konulursa parantez içindeki tüm terimler işaretleriyle birlikte yazılır; Parantezlerin önüne eksi işareti konulursa parantez içindeki tüm terimler zıt işaretlerle yazılır.

Örneğin,

Bir polinomu bir polinomla çarpma kuralı: Bir polinomu bir polinomla çarpmak için, bir polinomun her terimini başka bir polinomun her terimiyle çarpmak ve elde edilen çarpımları eklemek yeterlidir.

Örneğin,

Tanım 3.6. Tek değişkenli polinom derece formun ifadesi denir

Nerede
- aranan herhangi bir numara polinom katsayıları , Ve
,– negatif olmayan tamsayı.

Eğer
, o zaman katsayı isminde polinomun baş katsayısı
, tek terimli
- onun Kıdemli Üye , katsayı – Ücretsiz Üye .

Bir değişken yerine bir polinoma
gerçek sayıyı değiştir , o zaman sonuç gerçek bir sayı olacaktır
buna denir polinomun değeri
en
.

Tanım 3.7. Sayı ismindepolinomun kökü
, Eğer
.

Bir polinomu bir polinoma bölmeyi düşünün;
Ve - tamsayılar. Polinom temettüsünün derecesi ise bölme mümkündür
bölen polinomun derecesinden az değil
, yani
.

Bir polinomu bölme
bir polinoma
,
, böyle iki polinomun bulunması anlamına gelir
Ve
, ile

Bu durumda polinom
derece
isminde polinom bölümü ,
– kalan ,
.

Açıklama 3.2. Bölen ise
–sıfır polinom değilse bölme
Açık
,
, her zaman mümkündür ve bölüm ve kalan benzersiz bir şekilde belirlenir.

Açıklama 3.3. Durumunda
herkesin önünde , yani

bunun bir polinom olduğunu söylüyorlar
tamamen bölünmüş(veya paylaşımlar)bir polinoma
.

Polinomların bölünmesi, çok basamaklı sayıların bölünmesine benzer şekilde gerçekleştirilir: önce, bölen polinomunun baş terimi, bölen polinomunun baş terimine bölünür, daha sonra bu terimlerin bölümünden elde edilen bölüm, bölüm polinomunun baş terimi bölen polinom ile çarpılır ve elde edilen ürün, bölen polinomundan çıkarılır. Sonuç olarak, bir polinom elde edilir - bölen polinomuna benzer şekilde bölünen ilk kalan ve bölüm polinomunun ikinci terimi bulunur. Bu işleme sıfır kalan elde edilene veya kalan polinomun derecesi bölen polinomun derecesinden küçük olana kadar devam edilir.

Bir polinomu bir binoma bölerken Horner şemasını kullanabilirsiniz.

Horner şeması

Diyelim ki bir polinomu bölmek istiyoruz

binom ile
. Bölme bölümünü polinom olarak gösterelim

ve geri kalanı . Anlam , polinom katsayıları
,
ve geri kalanı Bunu aşağıdaki formda yazalım:

Bu şemada katsayıların her biri
,
,
, …,alt satırdaki önceki sayının sayıyla çarpılmasıyla elde edilir ve ortaya çıkan sonuca, istenen katsayının üzerindeki üst satırda karşılık gelen sayının eklenmesi. Herhangi bir derece varsa polinomda yoksa karşılık gelen katsayı sıfırdır. Katsayıları verilen şemaya göre belirledikten sonra bölümü yazıyoruz

ve bölmenin sonucu ise
,

veya ,

Eğer
,

Teorem 3.1. İndirgenemez bir kesir elde etmek için (

,

)polinomun köküydü
tamsayı katsayıları ile sayının olması gerekir serbest terimin böleniydi ve numara - baş katsayının böleni .

Teorem 3.2. (Bezout'un teoremi ) Kalan bir polinomun bölünmesinden
binom ile
polinomun değerine eşit
en
, yani
.

Bir polinomu bölerken
binom ile
eşitliğimiz var

Bu özellikle şu durumlarda doğrudur:
, yani
.

Örnek 3.2. Bölünür
.

Çözüm. Horner'ın şemasını uygulayalım:

Buradan,

Örnek 3.3. Bölünür
.

Çözüm. Horner'ın şemasını uygulayalım:

Buradan,

,

Örnek 3.4. Bölünür
.

Çözüm.

Sonuç olarak elde ederiz

Örnek 3.5. Bölmek
Açık
.

Çözüm. Polinomları sütunlara bölelim:

Sonra alırız

.

Bazen bir polinomu iki veya daha fazla polinomun eşit çarpımı olarak temsil etmek yararlı olabilir. Böyle bir kimlik dönüşümüne denir bir polinomu çarpanlarına ayırma . Bu tür ayrıştırmanın ana yöntemlerini ele alalım.

Ortak çarpanı parantezlerden çıkarıyoruz. Ortak çarpanı parantezlerden çıkararak bir polinomu çarpanlara ayırmak için şunları yapmalısınız:

1) ortak çarpanı bulun. Bunun için polinomun tüm katsayıları tamsayı ise, polinomun tüm katsayılarının en büyük modulo ortak böleni, ortak faktörün katsayısı olarak kabul edilir ve polinomun tüm terimlerinde yer alan her değişken, en büyük ile alınır. bu polinomdaki üssü;

2) belirli bir polinomu ortak bir faktöre bölme bölümünü bulun;

3) Genel faktörün çarpımını ve ortaya çıkan bölümü yazın.

Üyelerin gruplandırılması. Gruplandırma yöntemini kullanarak bir polinomu çarpanlara ayırırken, terimleri iki veya daha fazla gruba bölünür, böylece her biri bir çarpıma dönüştürülebilir ve sonuçta ortaya çıkan çarpımların ortak bir çarpanı olur. Daha sonra yeni dönüştürülen terimlerin ortak çarpanlarının parantez içine alınması yöntemine geçilir.

Kısaltılmış çarpma formüllerinin uygulanması. Polinomun genişletileceği durumlarda çarpanlara ayırma, herhangi bir kısaltılmış çarpma formülünün sağ tarafı biçimindedir; çarpanlarına ayırma, farklı bir sırayla yazılmış karşılık gelen formül kullanılarak elde edilir.

İzin vermek

, o zaman aşağıdakiler doğrudur kısaltılmış çarpma formülleri:

Yeni yardımcı elemanların tanıtılması. Bu yöntem, bir polinomun, kendisine tamamen eşit olan ancak farklı sayıda terim içeren başka bir polinomla değiştirilmesinden, iki zıt terimin getirilmesinden veya herhangi bir terimin benzer tek terimlilerin aynı eşit toplamı ile değiştirilmesinden oluşur. Değiştirme, terimleri gruplandırma yönteminin elde edilen polinoma uygulanabileceği şekilde yapılır.

Örnek 3.6..

Çözüm. Bir polinomun tüm terimleri ortak bir faktör içerir
. Buradan,.

Cevap: .

Örnek 3.7.

Çözüm. Katsayıyı içeren terimleri ayrı ayrı gruplandırıyoruz ve içeren terimler . Grupların ortak çarpanlarını parantez dışında alırsak şunu elde ederiz:

.

Cevap:
.

Örnek 3.8. Bir polinomu çarpanlara ayırın
.

Çözüm. Uygun kısaltılmış çarpma formülünü kullanarak şunu elde ederiz:

Cevap: .

Örnek 3.9. Bir polinomu çarpanlara ayırın
.

Çözüm. Gruplandırma yöntemini ve karşılık gelen kısaltılmış çarpma formülünü kullanarak şunu elde ederiz:

.

Cevap: .

Örnek 3.10. Bir polinomu çarpanlara ayırın
.

Çözüm. Değiştireceğiz Açık
, terimleri gruplandırın, kısaltılmış çarpma formüllerini uygulayın:

.

Cevap:
.

Örnek 3.11. Bir polinomu çarpanlara ayırın

Çözüm.Çünkü ,
,
, O

- polinomlar. Bu yazıda polinomlarla ilgili ilk ve gerekli tüm bilgileri sunacağız. Bunlar, öncelikle bir polinomun tanımını ve polinomun terimlerinin, özellikle de serbest terimin ve benzer terimlerin tanımlarını içerir. İkinci olarak standart formdaki polinomlar üzerinde duracağız, karşılık gelen tanımı vereceğiz ve bunlara örnekler vereceğiz. Son olarak bir polinomun derecesinin tanımını tanıtacağız, onu nasıl bulacağımızı bulacağız ve polinomun terimlerinin katsayıları hakkında konuşacağız.

Sayfada gezinme.

Polinom ve terimleri - tanımlar ve örnekler

7. sınıfta polinomlar tek terimlilerden hemen sonra incelenir, bu anlaşılabilir bir durumdur, çünkü polinom tanımı monomiyaller aracılığıyla verilir. Polinomun ne olduğunu açıklamak için bu tanımı verelim.

Tanım.

Polinom tek terimlilerin toplamıdır; Bir monom, bir polinomun özel bir durumu olarak kabul edilir.

Yazılı tanım, polinomlara istediğiniz kadar örnek vermenize olanak tanır. 5, 0, −1, x, 5 a b 3, x 2 0,6 x (−2) y 12, vb. tek terimlilerden herhangi biri. bir polinomdur. Ayrıca tanım gereği 1+x, a 2 +b 2 ve polinomlardır.

Polinomları tanımlamanın kolaylığı için, bir polinom teriminin tanımı eklenmiştir.

Tanım.

Polinom terimleri bir polinomun kurucu monomlarıdır.

Örneğin, 3 x 4 −2 x y+3−y 3 polinomu dört terimden oluşur: 3 x 4 , −2 x y , 3 ve −y 3 . Bir monom, bir terimden oluşan bir polinom olarak kabul edilir.

Tanım.

İki ve üç terimden oluşan polinomların özel isimleri vardır - binom Ve üç terimli sırasıyla.

Yani x+y bir binomdur ve 2 x 3 q−q x x x+7 b bir üç terimlidir.

Okulda çoğunlukla çalışmak zorunda kalıyoruz doğrusal binom a x+b , burada a ve b bazı sayılardır ve x bir değişkendir, ayrıca c ikinci dereceden üç terimli a·x 2 +b·x+c, burada a, b ve c bazı sayılardır ve x bir değişkendir. Doğrusal binom örnekleri: x+1, x 7,2−4 ve kare üç terimli örnekleri: x 2 +3 x−5 ve .

Gösterimlerindeki polinomlar benzer terimlere sahip olabilir. Örneğin, 1+5 x−3+y+2 x polinomunda benzer terimler 1 ve −3'ün yanı sıra 5 x ve 2 x'tir. Kendi özel adları vardır - bir polinomun benzer terimleri.

Tanım.

Bir polinomun benzer terimleri Bir polinomdaki benzer terimlere denir.

Önceki örnekte 1 ve −3 ile 5 x ve 2 x çifti polinomun benzer terimleridir. Benzer terimlere sahip polinomlarda, formlarını basitleştirmek için benzer terimlerin azaltılmasını gerçekleştirebilirsiniz.

Standart formun polinomu

Tek terimlilerde olduğu gibi polinomlar için de standart form adı verilen bir form vardır. İlgili tanımı seslendirelim.

Bu tanıma dayanarak standart formdaki polinomlara örnekler verebiliriz. Yani 3 x 2 −x y+1 polinomları ve standart formda yazılmıştır. Ve 5+3 x 2 −x 2 +2 x z ve x+x y 3 x z 2 +3 z ifadeleri standart biçimdeki polinomlar değildir, çünkü bunlardan ilki benzer 3 x 2 ve −x 2 terimlerini içerir ve ikincisi – biçimi standart olandan farklı olan bir tek terimli x·y 3 ·x·z 2.

Gerekirse polinomu her zaman standart forma indirebileceğinizi unutmayın.

Standart formdaki polinomlarla ilgili başka bir kavram, bir polinomun serbest terimi kavramıdır.

Tanım.

Bir polinomun serbest terimi harf kısmı olmayan standart formdaki bir polinomun üyesidir.

Başka bir deyişle, standart formdaki bir polinom bir sayı içeriyorsa buna serbest üye denir. Örneğin 5, x 2 z+5 polinomunun serbest terimidir, ancak 7 a+4 a b+b 3 polinomunun bir serbest terimi yoktur.

Bir polinomun derecesi - nasıl bulunur?

İlgili bir diğer önemli tanım ise bir polinomun derecesinin tanımıdır. Öncelikle standart formdaki bir polinomun derecesini tanımlarız; bu tanım, bileşimindeki monomların derecelerine dayanır.

Tanım.

Standart formdaki bir polinomun derecesi gösteriminde yer alan monomların kuvvetlerinin en büyüğüdür.

Örnekler verelim. 5 x 3 −4 polinomunun derecesi 3'e eşittir, çünkü içindeki 5 x 3 ve −4 monomları sırasıyla 3 ve 0 derecelerine sahiptir, bu sayıların en büyüğü polinomun derecesi olan 3'tür. tanım olarak. Ve polinomun derecesi 4 x 2 y 3 −5 x 4 y+6 x 2+3=5, 4+1=5 ve 1 sayılarından en büyüğüne yani 5'e eşittir.

Şimdi herhangi bir formdaki polinomun derecesini nasıl bulacağımızı öğrenelim.

Tanım.

Keyfi biçimdeki bir polinomun derecesi standart formun karşılık gelen polinomunun derecesini çağırın.

Dolayısıyla, bir polinom standart biçimde yazılmamışsa ve derecesini bulmanız gerekiyorsa, o zaman orijinal polinomu standart biçime indirmeniz ve ortaya çıkan polinomun derecesini bulmanız gerekir - bu gerekli olacaktır. Örnek çözüme bakalım.

Örnek.

Polinomun derecesini bulun 3 a 12 −2 a b c a c b+y 2 z 2 −2 a 12 −a 12.

Çözüm.

Öncelikle polinomu standart biçimde temsil etmeniz gerekir:
3 a 12 −2 a b c a c b+y 2 z 2 −2 a 12 −a 12 = =(3 a 12 −2 a 12 −a 12)− 2·(a·a)·(b·b)·(c·c)+y 2 ·z 2 = =−2 a 2 b 2 c 2 +y 2 z 2.

Ortaya çıkan standart form polinomu iki monom içerir: −2 · a 2 · b 2 · c 2 ve y 2 · z 2. Üslerini bulalım: 2+2+2=6 ve 2+2=4. Açıkçası, bu kuvvetlerin en büyüğü 6'dır ve bu tanım gereği standart formdaki bir polinomun kuvvetidir. −2 a 2 b 2 c 2 +y 2 z 2 ve dolayısıyla orijinal polinomun derecesi., 2 x−0,5 x y+3 x+7 polinomunun 3 x ve 7'si.

Kaynakça.

• Cebir: ders kitabı 7. sınıf için. Genel Eğitim kurumlar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; tarafından düzenlendi S. A. Telyakovsky. - 17. baskı. - M.: Eğitim, 2008. - 240 s. : hasta. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Mordkoviç A.G. Cebir. 7. sınıf. 2 saat içinde Bölüm 1. Genel eğitim kurumlarının öğrencileri için ders kitabı / A. G. Mordkovich. - 17. baskı, ekleyin. - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 s.: hasta. ISBN 978-5-346-02432-3.
• Cebir ve matematiksel analizin başlangıcı. 10. sınıf: ders kitabı. genel eğitim için kurumlar: temel ve profil. seviyeler / [Yu. M. Kolyagin, M.V. Tkacheva, N.E. Fedorova, M.I. Shabunin]; tarafından düzenlendi A. B. Zhizhchenko. - 3. baskı. - M.: Eğitim, 2010.- 368 s. : hasta. - ISBN 978-5-09-022771-1.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (teknik okullara girenler için bir el kitabı): Proc. ödenek.- M.; Daha yüksek okul, 1984.-351 s., hasta.

Bir polinom ile bir polinom arasında eşitlik yapılması gariptir. Gerçi hatırladığım kadarıyla bunlar farklı şeyler. Burada yazdıkları şey bir polinomdur. Bir polinom 2 polinomun oranıdır. Sözlükte polinom kelimesinin İngilizce çevirisine baktım ve polinom olarak çevrildiğini gördüm, buna çok şaşırdım... Farkı bile göremedikleri ortaya çıktı. 1. örneğe gelince... Bunların hepsi iyi ama bilinmeyen katsayıları girmeden doğrudan dönüştürmenin bir yolu var mı? Bu yöntem çok iddialı... Polinomlar hakkında söylenecek çok şey var. Bu, ortaokulun kapsamının çok ötesine geçiyor. Araştırmalar halen devam ediyor! Onlar. Polinomlar konusu henüz tamamlanmadı. Radikallerdeki köklerle ilgili soruyu cevaplayabilirim. Genel olarak derecesi 4'ün üzerinde olan polinomların radikallerde çözümü olmadığı kanıtlanmıştır. Ve analitik olarak hiçbir şekilde çözülemezler. Her ne kadar bazı türler oldukça çözülebilir olsa da. Ama hepsi değil... 3. derece denklemin Cardano çözümü var. 4. dereceden bir denklemin 2 tür formülü vardır. Oldukça karmaşıktırlar ve genel olarak geçerli çözümlerin olup olmadığı önceden belli değildir; bunların hepsi karmaşık olabilir. Derecesi tek olan bir polinomun her zaman en az 1 gerçek kökü vardır. Teorik olarak, 3. veya 4. dereceden denklemleri çözmek için kullanılan formüller, karmaşıklıkları nedeniyle özellikle yaygın değildir. Ve hangi köklerin dikkate alınması gerektiği sorusu ortaya çıkıyor. Sonuçta, n'inci dereceden bir denklemin, çoklukları dikkate alındığında tam olarak n kökü vardır. Örneğin bir denklemi Newton yöntemini kullanarak sayısal olarak çözebilirsiniz. Orada her şey basit. Yineleme formülü yazılmıştır ve herhangi bir sorun yaşanmaz. Doğrusal yaklaşım. Düz çizgi OX ekseniyle yalnızca 1. noktada kesişir. Kesişmeyebilir, o zaman kök karmaşıktır. Ama aynı zamanda 1. Gerçek katsayılara sahip bir polinomun karmaşık bir kökü varsa, o zaman aynı zamanda karmaşık bir eşleniğinin de olduğu açıktır. Bununla birlikte, ikinci dereceden yaklaşımda zaten (bu yönteme parabol yöntemi denir ve bu Muller yönteminin önceki 2 noktaya dayanan diğer varyantları vb.) sorunlar ortaya çıkar. Öncelikle 2 kök var (ayırt edici > 0 ise MB) hangisini seçmeliyim? Denklem ikinci dereceden olmasına rağmen. Daha da ileri gidebilir, kübik yaklaşımı (Taylor serisindeki 4. terim, q için 3 alırız) ve hatta Taylor serisinin 5 terimini alarak 4. derece yaklaşımı alabilirsiniz. Yakınsama süper hızlı olacak. Her şey analitik olarak çözülebilir! Ancak matematik literatürünün hiçbir yerinde bu tür yöntemleri görmedim. Kural olarak Newton'un metodunu kullanıyorlar çünkü problemsiz! Ve teoride kübik veya dördüncü derece denklemlerin olduğu her yerde bu gerçekleşir. İsterseniz kendiniz deneyin! Memnun kalacağınızı düşünmüyorum. Tekrar etmeme rağmen her şey analitik olarak çözülür. Formüller çok karmaşık olacak. Ama konu bu değil. Karmaşıklıkla ilgili olmayan birçok başka sorun ortaya çıkar.