Y x uzayda. Uzayda düz bir çizginin denklemleri. Uzayda bir çizgi ayarlama

Uzaydaki Oxyz dikdörtgen koordinat sistemini düşünün.

Yüzey denklemi Yüzey üzerinde bulunan her noktanın koordinatları tarafından sağlanan ve yüzey üzerinde bulunmayan noktaların koordinatları tarafından sağlanmayan bir denklem F(x,y,z)=0 olarak adlandırılır.

Örneğin küre, kürenin merkezi adı verilen belirli bir noktadan eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yeridir. Yani denklemi sağlayan tüm noktalar
merkezi O(0.0.0) noktasında ve yarıçapı R olan bir küre üzerinde yer almaktadır (Şekil 1).

Belirli bir küre üzerinde yer almayan herhangi bir noktanın koordinatları bu denklemi sağlamaz.

Uzayda çizgi iki yüzeyin kesişme çizgisi olarak düşünülebilir. Yani Şekil 1'de kürenin Oksi düzlemiyle kesişimi, merkezi O noktasında ve yarıçapı R olan bir dairedir.

En basit yüzey uçak uzaydaki en basit çizgi dümdüz.

2. Uzayda uçak.

2.1. Bir nokta ve normal bir vektör kullanılarak bir düzlemin denklemi.

Oxyz koordinat sisteminde düzlemi düşünün (İncir. 2). Konumu vektör belirtilerek belirlenir bu düzleme dik ve sabit bir nokta
bu düzlemde yatıyor. Vektör
düzleme dik
isminde normal vektör(normal vektör). Düzlemin keyfi bir M(x,y,z) noktasını düşünün . Vektör
düz
normal vektöre dik olacak Vektör ortogonallik koşulunu kullanma
denklemi elde ederiz: nerede

Denklem ( 2.2.1 )

bir noktaya ve normal bir vektöre göre düzlem denklemi denir.

Denklem (2.1.1)'deki parantezleri açıp terimleri yeniden düzenlersek veya Ax + By + Cz + D = 0 denklemini elde ederiz; burada

d=
.

2.2. Düzlemin genel denklemi.

Denklem Ax + By + Cz +D = 0 ( 2.2.1 )

düzlemin genel denklemi denir; burada
- normal vektör.

Bu denklemin özel durumlarını ele alalım.

1).D = 0. Denklem şuna benzer: Ax + By + Cz = 0. Böyle bir düzlem orijinden geçer. Normal vektörü

2). C = 0:Ax + By + D = 0
düzlem oz eksenine paraleldir (Şekil 3).

3). B = 0: Ax + Cz + D = 0
düzlem oy eksenine paraleldir (Şekil 4).

4). A = 0: By + Cz + D = 0

düzlem öküz eksenine paraleldir (Şekil 5).

5). C = D = 0: Ax + By = 0
düzlem oz ekseninden geçer (Şekil 6).

6).B = D = 0: Ax + Cz = 0
düzlem oy ekseninden geçer (Şekil 7).

7). A = D = 0: By + Cz = 0
düzlem öküz ekseninden geçer (Şekil 8).

8).A = B = 0: Cz + D = 0

||oz
düzlem Oksi düzlemine paraleldir (Şekil 9).

9). B = C = 0: Ax + D = 0

||öküz
uçak

P Oyz düzlemine paraleldir (Şek. 10).

10).A = C = 0: + D = 0 ile

||oy
düzlem Oxz düzlemine paraleldir (Şekil 11).

Örnek 1. Bir noktadan geçen düzlemin denklemini yazın
vektöre dik
Bu düzlemin koordinat eksenleriyle kesişme noktalarını bulun.

Çözüm. Formül (2.1.1)'e göre elimizde

2x – y + 3z + 3 = 0.

Bu düzlemin öküz ekseniyle kesişimini bulmak için elde edilen denklemde y = 0, z = 0 yerine koyarız. 2x + 3 = 0; x = – 1,5.

İstenilen düzlemin öküz ekseni ile kesişme noktası şu koordinatlara sahiptir:

Düzlemin oy ekseniyle kesişimini bulalım. Bunu yapmak için x = 0'ı alalım; z = 0. Elimizde

– y + 3 = 0 y = 3. Yani,

Oz ekseniyle kesişme noktasını bulmak için x = 0'ı alın; y = 0
3z + 3 = 0
z = – 1. Yani,

Cevap: 2x – y + 3z + 3 = 0,
,
,
.

Örnek 2. Denklemlerle tanımlanan düzlemleri keşfedin:

A). 3x – y + 2z = 0

B). 2x + z – 1 = 0

V). – y + 5 = 0

Çözüm. A). Bu düzlem orijinden (D = 0) geçer ve normal bir vektöre sahiptir

B). Denklemde.
katsayısıB = 0. Bu nedenle,
Düzlem eksene paraleldir.

V). – y + 5 = 0 denkleminde katsayılar A = 0, C = 0'dır. Bu şu anlama gelir:

Düzlem oxz düzlemine paraleldir.

G). x = 0 denklemi oyz düzlemini tanımlar, çünkü B = 0'da, C = 0 düzlemi oyz düzlemine paraleldir ve D = 0 koşulundan düzlemin orijinden geçtiği sonucu çıkar.

Örnek 3. A(2,3,1) noktasından geçen ve vektöre dik olan bir düzlemin denklemini yazın
burada B(1,0, –1), C(–2,2,0).

Çözüm. Vektörü bulalım

Vektör
A(2,3,1) noktasından geçen istenilen düzlemin normal vektörüdür. Formül (2.1.1)'e göre elimizde:

– 3x + 2y + z + 6 – 6 – 1 = 0
– 3x + 2y + z – 1 = 0 3x – 2y – z + 1 = 0.

Cevap: 3x – 2y – z + 1 = 0.

2.3. Üç noktadan geçen bir düzlemin denklemi.

Aynı doğru üzerinde yer almayan üç nokta tek bir düzlemi tanımlar (bkz. Şekil 12). Noktaların aynı doğru üzerinde olmamasına izin verin. Bir düzlemin denklemini oluşturmak için düzlemin bir noktasını ve normal vektörünü bilmeniz gerekir. Düzlemde yatan noktalar bilinmektedir:
Herhangi birini alabilirsin. Normal bir vektör bulmak için vektörlerin vektör çarpımının tanımını kullanırız. İzin vermek
O zaman bu nedenle,
Bir noktanın koordinatlarını bilmek
ve normal vektör Formül (2.1.1)'i kullanarak düzlemin denklemini bulalım.

Başka bir şekilde, verilen üç noktadan geçen bir düzlemin denklemi, üç vektörün eş düzlemlilik koşulu kullanılarak elde edilebilir. Gerçekten de vektörler
burada M(x,y,z) arzu edilen düzlemin eş düzlemli rastgele bir noktasıdır (bkz. Şekil 13). Bu nedenle karma çarpımları 0'dır:

Karışık ürün formülünü koordinat biçiminde uygulayarak şunu elde ederiz:

(2.3.1)

Örnek 1. Noktalardan geçen bir düzlemin denklemini yazın

Çözüm. Formül (2.3.1)'e göre elimizde

Determinantı genişletirsek şunu elde ederiz:

Ortaya çıkan düzlem oy eksenine paraleldir. Normal vektörü

Cevap: x + z – 4 = 0.

2.4. İki düz çizgi arasındaki açı.

Kesişen iki düzlem, çiftler halinde eşit dört dihedral açı oluşturur (bkz. Şekil 14). Dihedral açılardan biri bu düzlemlerin normal vektörleri arasındaki açıya eşittir.

Uçaklar verilsin:

Normal vektörlerinin koordinatları vardır:

Vektör cebirinden bilinmektedir ki
veya

(2.4.1)

Örnek: Düzlemler arasındaki açıyı bulun:

Çözüm: Normal vektörlerin koordinatlarını bulalım: Formül (2.4.1)'i kullanarak şunu elde ederiz:

Bu düzlemlerin kesişmesiyle elde edilen dihedral açılardan biri şuna eşittir:
Ayrıca ikinci açıyı da bulabilirsiniz:

Cevap:

2.5. İki düzlemin paralellik koşulu.

İki düzlem verilsin:

Ve

Bu düzlemler paralel ise normal vektörleri

eşdoğrusal (bkz. Şekil 15).

Vektörler eşdoğrusal ise, karşılık gelen koordinatları orantılıdır:

(2.5.1 )

Tersi ifade de doğrudur: Düzlemlerin normal vektörleri eşdoğrusal ise, o zaman düzlemler paraleldir.

Örnek 1. Aşağıdaki düzlemlerden hangisi paraleldir?

Çözüm: A). Normal vektörlerin koordinatlarını yazalım.

Doğrusallıklarını kontrol edelim:

Şunu takip ediyor

B). Koordinatları yazalım

Doğrusallığı kontrol edelim:

Vektörler
doğrusal değil, düzlemler
paralel değil.

Örnek 2. Bir noktadan geçen düzlemin denklemini yazın

M(2, 3, –2) düzleme paralel

Çözüm:İstenilen düzlem verilen düzleme paraleldir. Bu nedenle düzlemin normal vektörü istenilen düzlemin normal vektörü olarak alınabilir.
Denklemi (2.1.1) uygulayarak şunu elde ederiz:

Cevap:
.

Örnek 3. Hangi a ve b düzlemlerinin paralel olduğunu belirleyin:

Çözüm: Normal vektörlerin koordinatlarını yazalım:

Düzlemler paralel olduğundan vektörler
Koşula göre (2.5.1).
Dolayısıyla b = – 2; bir = 3.

Cevap: bir = 3; b = –2.

2.6. İki düzlemin diklik durumu.

Eğer uçak
dik ise normal vektörleri
aynı zamanda diktirler (bkz. Şekil 16). Buradan skaler çarpımlarının sıfıra eşit olduğu sonucu çıkar.
veya koordinatlarda:

Bu iki düzlemin dik olma durumudur. Tersi ifade de doğrudur, yani eğer koşul (2.6.1) karşılanırsa, o zaman vektörler
buradan,

Örnek 1. Aşağıdaki düzlemlerden hangisi diktir?

Çözüm: A). Normal vektörlerin koordinatlarını yazalım:

Dikliklerini kontrol edelim:

Şunu takip ediyor

B). Normal vektörlerin koordinatlarını yazalım:

yani uçaklar
dik değil.

Örnek 2. Düzlemler hangi m değerinde diktir?

Çözüm: Normal vektörlerin koordinatlarını yazalım:

Haydi bunların skaler çarpımını bulalım:

Düzlemler dik olduğundan
Dolayısıyla 4 – 2m = 0;

Cevap: m = 2.

2.7. Bir noktadan bir düzleme olan mesafe.

Bir puan verilsin
ve uçak

Aşağıdaki formülü kullanarak noktadan mesafeyi buluyoruz (bkz. Şekil 17):

(2.7.1 )

Örnek: M(3, 9, 1) noktasından düzleme olan mesafeyi bulun

Çözüm: A = 1, B = – 2, C = 2, D = –3 olmak üzere formül (2.7.1)'i uyguluyoruz,

Cevap:

Uzaydaki bir çizginin kanonik denklemleri, belirli bir noktadan yön vektörüne eşdoğrusal olarak geçen bir çizgiyi tanımlayan denklemlerdir.

Bir nokta ve yön vektörü verilsin. Bir doğru üzerinde rastgele bir nokta var ben yalnızca ve vektörleri doğrusalsa, yani onlar için koşul sağlanırsa:

.

Yukarıdaki denklemler düz çizginin kanonik denklemleridir.

Sayılar M , N Ve P yön vektörünün koordinat eksenlerine izdüşümleridir. Vektör sıfırdan farklı olduğundan tüm sayılar M , N Ve P aynı anda sıfıra eşit olamaz. Ancak bunlardan bir veya ikisi sıfır olabilir. Örneğin analitik geometride aşağıdaki girişe izin verilir:

,

bu, vektörün eksen üzerindeki izdüşümü anlamına gelir oy Ve Oz sıfıra eşittir. Bu nedenle kanonik denklemlerle tanımlanan hem vektör hem de düz çizgi eksenlere diktir. oy Ve Oz yani uçaklar yOz .

Örnek 1. Uzayda bir düzleme dik bir doğrunun denklemlerini yazın ve bu düzlemin eksenle kesişme noktasından geçerek Oz .

Çözüm. Bu düzlemin eksenle kesişme noktasını bulalım Oz. Eksen üzerinde bulunan herhangi bir nokta olduğundan Oz, koordinatlara sahiptir, o zaman verilen düzlem denkleminde varsayılırsak x = y = 0, 4 elde ederiz z- 8 = 0 veya z= 2 . Dolayısıyla bu düzlemin eksenle kesişme noktası Oz koordinatları vardır (0; 0; 2) . İstenilen doğru düzleme dik olduğundan normal vektörüne paraleldir. Bu nedenle düz çizginin yönlendirici vektörü normal vektör olabilir verilen uçak.

Şimdi bir noktadan geçen doğru için gerekli denklemleri yazalım. A= (0; 0; 2) vektör yönünde:

Verilen iki noktadan geçen doğrunun denklemleri

Düz bir çizgi, üzerinde bulunan iki noktayla tanımlanabilir Ve Bu durumda düz çizginin yönlendirici vektörü vektör olabilir. Daha sonra doğrunun kanonik denklemleri şu şekli alır:

.

Yukarıdaki denklemler verilen iki noktadan geçen bir doğruyu belirler.

Örnek 2. Uzayda ve noktalarından geçen bir doğrunun denklemini yazınız.

Çözüm. Gerekli düz çizgi denklemlerini yukarıda teorik referansta verilen formda yazalım:

.

O zamandan beri istenen düz çizgi eksene diktir oy .

Düzlemlerin kesişme çizgisi kadar düz

Uzaydaki düz bir çizgi, paralel olmayan iki düzlemin kesişme çizgisi olarak, yani iki doğrusal denklem sistemini sağlayan bir dizi nokta olarak tanımlanabilir.

Sistemin denklemlerine uzaydaki düz bir çizginin genel denklemleri de denir.

Örnek 3. Genel denklemlerle verilen uzaydaki bir doğrunun kanonik denklemlerini oluşturun

Çözüm. Bir doğrunun kanonik denklemlerini veya aynı anlama gelen iki noktadan geçen bir doğrunun denklemlerini yazmak için, doğru üzerindeki herhangi iki noktanın koordinatlarını bulmanız gerekir. Bunlar herhangi iki koordinat düzlemiyle düz bir çizginin kesişme noktaları olabilir, örneğin yOz Ve xOz .

Bir doğru ile bir düzlemin kesişme noktası yOz apsis var X= 0. Bu nedenle, bu denklem sisteminde varsayıldığında X= 0, iki değişkenli bir sistem elde ederiz:

Onun kararı sen = 2 , z= 6 ile birlikte X= 0 bir noktayı tanımlar A(0; 2; 6) istenilen satır. Daha sonra verilen denklem sisteminde varsayarsak sen= 0, sistemi elde ederiz

Onun kararı X = -2 , z= 0 ile birlikte sen= 0 bir noktayı tanımlar B(-2; 0; 0) bir doğrunun bir düzlemle kesişimi xOz .

Şimdi noktalardan geçen doğrunun denklemlerini yazalım. A(0; 2; 6) ve B (-2; 0; 0) :

,

veya paydaları -2'ye böldükten sonra:

,

DERS 6-7. Analitik geometrinin elemanları.

Yüzeyler ve denklemleri.

Örnek 1.

Küre

Örnek 2.

F(x,y,z)=0(*),

Bu - yüzey denklemi

Örnekler:

x 2 + y 2 – z 2 = 0 (koni)

Uçak.

Belirli bir vektöre dik olarak belirli bir noktadan geçen bir düzlemin denklemi.

Uzaydaki bir uçağı düşünelim. M 0 (x 0, y 0, z 0) P düzleminin belirli bir noktası olsun ve () düzlemine dik bir vektör olsun. normal vektör uçak).

(1) – düzlemin vektör denklemi.

Koordinat formunda:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0 (2)

Belirli bir noktadan geçen bir düzlemin denklemini elde ettik.

Düzlemin genel denklemi.

(2)'deki parantezleri açalım: Ax + By + Cz + (-Ax 0 – By 0 – Cz 0) = 0 veya

Ax + By + Cz + D = 0 (3)

Düzlemin ortaya çıkan denklemi doğrusal yani x, y, z koordinatlarına göre 1. derece denklem. Bu nedenle uçak birinci dereceden yüzey .

İfade: X, y, z'ye göre doğrusal olan herhangi bir denklem bir düzlemi tanımlar.

Herhangi bir uçak m.b. Denklem (3) ile verilir, buna denir Düzlemin genel denklemi.

Genel denklemin özel durumları.

a) D=0: Ax + By + Cz = 0. Çünkü O(0, 0, 0) noktasının koordinatları bu denklemi sağlıyorsa, onun tarafından belirtilen düzlem orijinden geçer.

b) С=0: Ax + By + D = 0. Bu durumda düzlemin normal vektörü dolayısıyla denklemle tanımlanan düzlem OZ eksenine paraleldir.

c) C=D=0: Ax + By = 0. Düzlem OZ eksenine paraleldir (C=0 olduğundan) ve koordinatların orijininden geçer (D=0 olduğundan). Bu da OZ ekseninden geçtiği anlamına geliyor.

d) B=C=0: Ax + D = 0 veya . Vektör, yani Ve . Sonuç olarak düzlem OY ve OZ eksenlerine paraleldir, yani. YOZ düzlemine paraleldir ve noktadan geçer.

Durumları kendiniz düşünün: B=0, B=D=0, A=0, A=D=0, A=C=0, A=B=0/

Verilen üç noktadan geçen bir düzlemin denklemi.

Çünkü dört noktanın tümü düzleme aitse, bu vektörler eş düzlemlidir, yani. karışık çarpımları sıfıra eşittir:

Üç noktadan geçen bir düzlemin denklemini elde ettik vektör formunda.

Koordinat formunda:

(7)

Determinantı genişletirsek düzlemin denklemini şu şekilde elde ederiz:

Ax + By + Cz + D = 0.

Örnek. M 1(1,-1,0) noktalarından geçen düzlemin denklemini yazınız;

M2 (-2,3,1) ve M3 (0,0,1).

, (x - 1) 3 - (y + 1)(-2) + z 1 = 0;

3x + 2y + z – 1 = 0.

Segmentlerdeki bir düzlemin denklemi

Düzlemin genel denklemi verilsin: Ax + By + Cz + D = 0 ve D ≠ 0, yani. düzlem orijinden geçmez. Her iki tarafı da –D'ye bölelim: ve şunu belirtir: ; ; . Daha sonra

var segmentlerde düzlem denklemi .

burada a, b, c koordinat eksenleri üzerinde düzlem tarafından kesilen bölümlerin değerleridir.

Örnek 1. A(3, 0, 0) noktalarından geçen düzlemin denklemini yazın;

B(0, 2, 0) ve C(0, 0, -3).

a=3; b=2; c=-3 veya 2x + 3y - 2z – 6 = 0.

Örnek 2. Düzlem tarafından kesilen bölümlerin değerlerini bulun

Koordinat eksenlerinde 4x – y – 3z – 12 = 0.

4x – y – 3z = 12 a=3, b=-12, c=-4.

Normal düzlem denklemi.

Belirli bir Q düzlemi verilsin. Koordinatların orijininden bu düzleme dik bir OP çizin. |OP|=p olsun ve vektör : olsun. Düzlemin mevcut M(x, y, z) noktasını alalım ve ve : vektörlerinin skaler çarpımını hesaplayalım.

M noktasını yöne yansıtırsak P.T.O. noktasına ulaşırız, denklemi elde ederiz.

(9).

Uzayda bir çizgi ayarlama.

Uzaydaki L çizgisi iki yüzeyin kesişimi olarak tanımlanabilir. L doğrusu üzerinde bulunan M(x, y, z) noktasının hem P1 yüzeyine hem de P2 yüzeyine ait olduğunu varsayalım. O halde bu noktanın koordinatları her iki yüzeyin denklemlerini sağlamalıdır. Bu nedenle, altında uzayda L çizgisinin denklemi Her biri karşılık gelen yüzeyin denklemi olan iki denklem kümesini anlayın:

L çizgisi, yalnızca koordinatları (*)'daki her iki denklemi de karşılayan noktaları içerir. Daha sonra uzayda çizgileri tanımlamanın diğer yollarına bakacağız.

Bir sürü uçak.

Bir sürü uçak– belirli bir düz çizgiden geçen tüm düzlemlerin kümesi – ışın ekseni.

Bir düzlem demetini tanımlamak için eksenini belirtmek yeterlidir. Bu doğrunun denklemi genel biçimde verilsin:

.

Bir ışın denklemi yazın- ek bir koşul altında, b.m hariç kirişin herhangi bir düzleminin denkleminin elde edilebileceği bir denklem oluşturmak anlamına gelir. bir. Denklem II'yi l ile çarpıp denklem I'e ekleyelim:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 + l(A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2) = 0 (1) veya

(A 1 + lA 2)x + (B 1 + lb 2)y + (C1 + lC 2)z + (D 1 + lD 2) = 0 (2).

l – parametre – gerçek değerleri alabilen bir sayı. Seçilen herhangi bir l değeri için denklemler (1) ve (2) doğrusaldır, yani; bunlar belirli bir düzlemin denklemleridir.

1. sana göstereceğiz bu düzlem L kiriş ekseninden geçer. Rasgele bir M 0 (x 0, y 0, z 0) L noktası alın. Sonuç olarak, M 0 P 1 ve M 0 P 2. Araç:

Sonuç olarak denklem (1) veya (2) ile tanımlanan düzlem kirişe aittir.

2. Tam tersi de kanıtlanabilir: L düz çizgisinden geçen herhangi bir düzlem, l parametresinin uygun seçimiyle denklem (1) ile tanımlanır.

örnek 1. x + y + 5z – 1 = 0 ve 2x + 3y – z + 2 = 0 düzlemlerinin kesişim çizgisinden ve M(3, 2, 1) noktasından geçen bir düzlemin denklemini yazın.

Işın denklemini yazıyoruz: x + y + 5z – 1 + l(2x + 3y – z + 2) = 0. l'yi bulmak için M R'yi dikkate alıyoruz:

Uzaydaki herhangi bir yüzey, tüm noktalarda ortak bazı özelliklere sahip noktaların yeri olarak düşünülebilir.

Örnek 1.

Küre – belirli bir C noktasından (merkez) eşit uzaklıktaki noktalar kümesi. C(x 0 ,y 0 ,z 0). Tanım gereği |CM|=R veya veya . Bu denklem kürenin tüm noktaları için ve sadece onlar için geçerlidir. Eğer x 0 =0, y 0 =0, z 0 =0 ise, o zaman .

Benzer şekilde, bir koordinat sistemi seçilirse herhangi bir yüzey için denklem oluşturabilirsiniz.

Örnek 2. x=0 – YOZ düzleminin denklemi.

Bir yüzeyin geometrik tanımını mevcut noktasının koordinatları cinsinden ifade ederek ve tüm terimleri tek bir parçada toplayarak formun eşitliğini elde ederiz.

F(x,y,z)=0(*),

Bu - yüzey denklemi , eğer yüzeydeki tüm noktaların koordinatları bu eşitliği sağlıyorsa, ancak yüzeyde yer almayan noktaların koordinatları uymuyorsa.

Böylece seçilen koordinat sistemindeki her yüzeyin kendine ait denklemi vardır. Ancak (*) formundaki her denklem tanım anlamında bir yüzeye karşılık gelmemektedir.

Örnekler:

2x – y + z – 3 = 0 (düzlem)

x 2 + y 2 – z 2 = 0 (koni)

x 2 + y 2 +3 = 0 – hiçbir noktanın koordinatları sağlanmıyor.

x 2 + y 2 + z 2 =0 – tek nokta (0,0,0).

x 2 = 3y 2 = 0 – düz çizgi (OZ ekseni).

Bu dersimizde determinantın nasıl kullanılacağına bakacağız. düzlem denklemi. Determinantın ne olduğunu bilmiyorsanız dersin ilk kısmına gidin: “Matrisler ve determinantlar”. Aksi takdirde günümüzün materyallerinden hiçbir şey anlamama riskiyle karşı karşıya kalırsınız.

Üç noktayı kullanan bir düzlemin denklemi

Neden bir düzlem denklemine ihtiyacımız var? Çok basit: Bunu bilerek C2 problemindeki açıları, mesafeleri ve diğer saçmalıkları kolayca hesaplayabiliriz. Genel olarak bu denklem olmadan yapamazsınız. Bu nedenle sorunu formüle ediyoruz:

Görev. Uzayda aynı doğru üzerinde olmayan üç nokta verilmiştir. Koordinatları:

M = (x 1, y 1, z 1);
N = (x 2, y 2, z 2);
K = (x3, y3, z3);

Bu üç noktadan geçen düzlem için denklem oluşturmanız gerekiyor. Ayrıca denklem şu şekilde görünmelidir:

Ax + By + Cz + D = 0

burada A, B, C ve D sayıları aslında bulunması gereken katsayılardır.

Peki, sadece noktaların koordinatları biliniyorsa bir düzlemin denklemi nasıl elde edilir? En kolay yol, koordinatları Ax + By + Cz + D = 0 denkleminde yerine koymaktır. Sonuç, kolaylıkla çözülebilen üç denklemden oluşan bir sistemdir.

Birçok öğrenci bu çözümü son derece sıkıcı ve güvenilmez bulmaktadır. Geçen yıl matematikte yapılan Birleşik Devlet Sınavı, hesaplama hatası yapma olasılığının gerçekten yüksek olduğunu gösterdi.

Bu nedenle en ileri düzeydeki öğretmenler daha basit ve daha zarif çözümler aramaya başladı. Ve onu buldular! Doğru, elde edilen teknik daha çok yüksek matematikle ilgilidir. Şahsen, bu tekniği herhangi bir gerekçe veya kanıt olmadan kullanma hakkına sahip olduğumuzdan emin olmak için Federal Ders Kitapları Listesinin tamamını karıştırmak zorunda kaldım.

Bir düzlemin determinant üzerinden denklemi

Bu kadar şarkı sözü yeter, hadi işimize dönelim. Başlangıç ​​olarak, bir matrisin determinantı ile düzlem denkleminin nasıl ilişkili olduğuna dair bir teoremle başlayalım.

Teorem. Düzlemin çizilmesi gereken üç noktanın koordinatları verilsin: M = (x 1, y 1, z 1); N = (x 2, y 2, z 2); K = (x 3, y 3, z 3). O zaman bu düzlemin denklemi determinant aracılığıyla yazılabilir:

Örnek olarak, C2 probleminde gerçekten ortaya çıkan bir çift düzlem bulmaya çalışalım. Bakın her şey ne kadar hızlı hesaplanıyor:

bir 1 = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C1 = (1, 1, 1);

Bir determinant oluşturuyoruz ve onu sıfıra eşitliyoruz:

Determinantı genişletiyoruz:

a = 1 1 (z − 1) + 0 0 x + (−1) 1 y = z − 1 − y;
b = (−1) 1 x + 0 1 (z − 1) + 1 0 y = −x;
d = a − b = z − 1 − y − (−x ) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
d = 0 ⇒ x - y + z - 1 = 0;

Gördüğünüz gibi d sayısını hesaplarken x, y ve z değişkenlerinin doğru sırada olması için denklemi biraz "tardım". Bu kadar! Düzlem denklemi hazır!

Görev. Noktalardan geçen bir düzlem için bir denklem yazın:

bir = (0, 0, 0);
B1 = (1, 0, 1);
D1 = (0, 1, 1);

Noktaların koordinatlarını hemen determinantın yerine koyarız:

Determinantı tekrar genişletiyoruz:

a = 1 1 z + 0 1 x + 1 0 y = z;
b = 1 1 x + 0 0 z + 1 1 y = x + y;
d = a - b = z - (x + y ) = z - x - y;
d = 0 ⇒ z - x - y = 0 ⇒ x + y - z = 0;

Böylece düzlemin denklemi yeniden elde edilir! Yine son adımda daha “güzel” bir formül elde etmek için içindeki işaretleri değiştirmek zorunda kaldık. Bu çözümde bunu yapmak hiç gerekli değildir, ancak yine de sorunun daha ileri çözümünü basitleştirmek için tavsiye edilir.

Gördüğünüz gibi bir düzlemin denklemini oluşturmak artık çok daha kolay. Noktaları matrise yerleştiriyoruz, determinantı hesaplıyoruz - işte bu, denklem hazır.

Bu dersi bitirebilir. Ancak birçok öğrenci determinantın içinde ne olduğunu sürekli unutuyor. Örneğin hangi satır x 2 veya x 3'ü içeriyor ve hangi satır yalnızca x içeriyor. Bunu gerçekten aradan çıkarmak için her sayının nereden geldiğine bakalım.

Determinantlı formül nereden geliyor?

Öyleyse, determinantlı bu kadar sert bir denklemin nereden geldiğini bulalım. Bu, onu hatırlamanıza ve başarılı bir şekilde uygulamanıza yardımcı olacaktır.

Problem C2'de görünen tüm düzlemler üç noktayla tanımlanır. Bu noktalar her zaman çizim üzerinde işaretlenir, hatta doğrudan problemin metninde belirtilir. Her durumda, bir denklem oluşturmak için koordinatlarını yazmamız gerekecek:

M = (x 1, y 1, z 1);
N = (x 2, y 2, z 2);
K = (x 3, y 3, z 3).

Düzlemimizde rastgele koordinatlara sahip başka bir noktayı ele alalım:

T = (x, y, z)

İlk üç noktadan herhangi bir noktayı alın (örneğin M noktası) ve bu noktadan kalan üç noktaya vektörler çizin. Üç vektör elde ediyoruz:

MN = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1 );
MK = (x 3 - x 1 , y 3 - y 1 , z 3 - z 1 );
MT = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1 ).

Şimdi bu vektörlerden bir kare matris oluşturalım ve determinantını sıfıra eşitleyelim. Vektörlerin koordinatları matrisin satırları haline gelecek ve teoremde belirtilen determinantı elde edeceğiz:

Bu formül, MN, MK ve MT vektörleri üzerine kurulu bir paralelyüzün hacminin sıfıra eşit olduğu anlamına gelir. Bu nedenle üç vektörün tümü aynı düzlemde yer alır. Özellikle, rastgele bir T = (x, y, z) noktası tam olarak aradığımız şeydir.

Bir determinantın noktalarını ve çizgilerini değiştirme

Determinantların bunu daha da kolaylaştıran birçok harika özelliği vardır. C2 sorununun çözümü. Örneğin vektörleri hangi noktadan çizdiğimiz bizim için önemli değil. Bu nedenle aşağıdaki determinantlar yukarıdakiyle aynı düzlem denklemini verir:

Ayrıca determinantın çizgilerini de değiştirebilirsiniz. Denklem değişmeden kalacaktır. Örneğin, birçok kişi en üstte T = (x; y; z) noktasının koordinatlarını içeren bir çizgi yazmayı sever. Eğer sizin için uygunsa lütfen:

Bazı insanlar, satırlardan birinin, noktaları değiştirirken kaybolmayan x, y ve z değişkenlerini içermesi gerçeğiyle karıştırılıyor. Ama kaybolmamalılar! Sayıları determinantın yerine koyarsak şu yapıyı elde etmeliyiz:

Daha sonra dersin başında verilen diyagrama göre determinant genişletilir ve düzlemin standart denklemi elde edilir:

Ax + By + Cz + D = 0

Bir örneğe göz atın. Bugünkü dersin sonuncusu. Cevabın düzlemin aynı denklemini vereceğinden emin olmak için çizgileri kasıtlı olarak değiştireceğim.

Görev. Noktalardan geçen bir düzlem için bir denklem yazın:

B1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1).

Yani 4 noktayı göz önünde bulunduruyoruz:

B1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D1 = (0, 1, 1);
T = (x, y, z).

Öncelikle standart bir determinant oluşturalım ve onu sıfıra eşitleyelim:

Determinantı genişletiyoruz:

a = 0 1 (z − 1) + 1 0 (x − 1) + (−1) (−1) y = 0 + 0 + y;
b = (−1) 1 (x − 1) + 1 (−1) (z − 1) + 0 0 y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
d = a - b = y - (2 - x - z ) = y - 2 + x + z = x + y + z - 2;
d = 0 ⇒ x + y + z - 2 = 0;

İşte bu, cevabı bulduk: x + y + z − 2 = 0.

Şimdi determinanttaki birkaç doğruyu yeniden düzenleyelim ve ne olacağını görelim. Örneğin x, y, z değişkenlerinin altta değil üstte olduğu bir satır yazalım:

Ortaya çıkan determinantı tekrar genişletiyoruz:

a = (x − 1) 1 (−1) + (z − 1) (−1) 1 + y 0 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
b = (z − 1) 1 0 + y (−1) (−1) + (x − 1) 1 0 = y;
d = a - b = 2 - x - z - y;
d = 0 ⇒ 2 - x - y - z = 0 ⇒ x + y + z - 2 = 0;

Tamamen aynı düzlem denklemini elde ettik: x + y + z − 2 = 0. Bu, gerçekte satırların sırasına bağlı olmadığı anlamına gelir. Geriye sadece cevabı yazmak kalıyor.

Dolayısıyla düzlem denkleminin çizgilerin sırasına bağlı olmadığına inanıyoruz. Benzer hesaplamalar yaparak düzlemin denkleminin, koordinatlarını başka noktalardan çıkardığımız noktaya bağlı olmadığını kanıtlayabiliriz.

Yukarıda ele alınan problemde B 1 = (1, 0, 1) noktasını kullandık, ancak C = (1, 1, 0) veya D 1 = (0, 1, 1) almak oldukça mümkündü. Genel olarak istenen düzlemde yer alan koordinatları bilinen herhangi bir nokta.

Aşağıdaki paragraflarda tartışılacak olan düzlemin tüm denklemleri, düzlemin genel denkleminden elde edilebileceği gibi, düzlemin genel denklemine de indirgenebilir. Dolayısıyla bir düzlemin denkleminden bahsettiklerinde, aksi belirtilmedikçe, bir düzlemin genel denklemini kastediyorlar.

Bir düzlemin segmentlerdeki denklemi.

Düzlem denklemini görüntüle a, b ve c'nin sıfırdan farklı gerçek sayılar olduğu sayıya denir düzlemin segmentlerdeki denklemi.

Bu isim tesadüfi değildir. A, b ve c sayılarının mutlak değerleri, düzlemin sırasıyla Ox, Oy ve Oz koordinat eksenlerinde kestiği ve orijinden itibaren sayılan bölümlerin uzunluklarına eşittir. A, b ve c rakamlarının işareti, bölümlerin koordinat eksenlerinde hangi yönde (pozitif veya negatif) çizilmesi gerektiğini gösterir.

Örneğin, segmentlerdeki düzlem denklemiyle tanımlanan Oxyz dikdörtgen koordinat sisteminde bir düzlem inşa edelim. . Bunu yapmak için, apsis ekseninin negatif yönünde orijinden 5 birim, ordinat ekseninin negatif yönünde 4 birim ve uygulama ekseninin pozitif yönünde 4 birim uzaklıkta bir nokta işaretleyin. Geriye sadece bu noktaları düz çizgilerle bağlamak kalıyor. Ortaya çıkan üçgenin düzlemi, formun bölümlerindeki düzlemin denklemine karşılık gelen düzlemdir. .

Daha kapsamlı bilgi için, parçalı bir düzlemin denklemi makalesine bakın; parçalı bir düzlemin denkleminin bir düzlemin genel denklemine indirgenmesini gösterir ve burada ayrıca tipik örneklere ve problemlere ilişkin ayrıntılı çözümler bulacaksınız.

Normal düzlem denklemi.

Formdaki bir düzlemin genel denklemine denir normal düzlem denklemi, Eğer bire eşit yani , Ve .

Bir düzlemin normal denkleminin şu şekilde yazıldığını sıklıkla görebilirsiniz. Burada belirli bir birim uzunluktaki düzlemin normal vektörünün yön kosinüsleri verilmiştir ve p, başlangıç ​​noktasından düzleme olan mesafeye eşit, negatif olmayan bir sayıdır.

Oxyz dikdörtgen koordinat sistemindeki bir düzlemin normal denklemi, bu düzlemin normal vektörünün pozitif yönünde p kadar orijinden uzaklaştırılan bir düzlemi tanımlar. . Eğer p=0 ise düzlem orijinden geçer.

Normal düzlem denklemine bir örnek verelim.

Düzlemin, form düzleminin genel denklemi ile Oxyz dikdörtgen koordinat sisteminde belirtilmesine izin verin. . Düzlemin bu genel denklemi, düzlemin normal denklemidir. Aslında bu düzlemin normal vektörü uzunluğu birliğe eşittir, çünkü .

Normal formdaki bir düzlemin denklemi, bir noktadan düzleme olan mesafeyi bulmanızı sağlar.

Bu tür düzlem denklemlerini daha ayrıntılı olarak anlamanızı, tipik örnek ve problemlerin ayrıntılı çözümlerine bakmanızı ve ayrıca genel düzlem denklemini normal forma nasıl indireceğinizi öğrenmenizi öneririz. Bunu makaleye başvurarak yapabilirsiniz.

Kaynakça.

• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometri. Ortaokul 10-11. sınıflar için ders kitabı.
• Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Yüksek Matematik. Birinci cilt: doğrusal cebir ve analitik geometrinin unsurları.
• Ilyin V.A., Poznyak E.G. Analitik Geometri.