Elipsoid. Hiperboloidler. Paraboloidler. Devrim paraboloitinin özellikleri Diğer sözlüklerde “Eliptik paraboloidin” ne olduğunu görün

Bir paraboloidin yüksekliği formülle belirlenebilir.

Tabana değen paraboloidin hacmi, taban yarıçapı R ve yüksekliği H olan bir silindirin hacminin yarısına eşittir, aynı hacim paraboloidin altındaki W' alanını kaplar (Şekil 4.5a).

Şekil 4.5. Bir paraboloitin dibe değen hacimlerinin oranı.

Wп – paraboloidin hacmi, W’ – paraboloidin altındaki hacim, Hп – paraboloidin yüksekliği

Şekil 4.6. Silindirin kenarlarına değen bir paraboloitteki hacimlerin oranı Hp, paraboloidin yüksekliğidir., R, kabın yarıçapıdır, Wl, dönmeye başlamadan önce kaptaki sıvının yüksekliğinin altındaki hacimdir, z 0, paraboloidin tepe noktasının konumudur, H, dönme başlamadan önce kaptaki sıvının yüksekliğidir.

Şekil 4.6a'da, dönme başlamadan önce silindirdeki sıvı seviyesi H'dir. Dönmeden önce ve sonra sıvı Wl'nin hacmi korunur ve yüksekliği z 0 olan silindirin hacmi Wt artı toplamına eşittir. paraboloitin altındaki sıvının hacmi, Hn yüksekliğine sahip paraboloitin Wp hacmine eşittir

Paraboloit silindirin üst kenarına değerse, H dönmeye başlamadan önce silindirdeki sıvının yüksekliği paraboloid Hn'nin yüksekliğini iki eşit parçaya böler, paraboloitin en alt noktası (tepe noktası) şu şekilde bulunur: tabana (Şekil 4.6c)

Ek olarak, H yüksekliği paraboloidi hacimleri W2 = W1'e eşit olan iki parçaya böler (Şekil 4.6c). Parabolik halka W2 ve parabolik kap W1'in hacimlerinin eşitliğinden, Şekil 4.6c

Paraboloidin yüzeyi kabın tabanıyla kesiştiğinde (Şekil 4.7) W 1 =W 2 =0,5W halkası

Şekil 4.7 Bir paraboloidin yüzeyi silindirin tabanıyla kesiştiğinde hacimler ve yükseklikler

Şekil 4.6'daki yükseklikler

Şekil 4.6'daki hacimler.

Kaptaki serbest yüzeyin konumu

Şekil 4.8. Rotasyon sırasında üç göreceli dinlenme durumu

1. Eğer kap açıksa Po = Ratm (Şekil 4.8a). Dönme sırasında paraboloitin tepesi başlangıç seviyesi H'nin altına düşer ve kenarlar başlangıç seviyesinin üzerine çıkar, tepenin konumu

2. Kap tamamen doluysa, bir kapakla kapatılmışsa, serbest yüzeyi yoksa, Po>Patm aşırı basınç altındaysa, dönmeden önce Po=Patm'nin kapak seviyesinin üzerinde bir yükseklikte olacağı yüzey (PP) h 0i =M/ ρg, H 1 =H+ M/ρg.

3. Kap tamamen doluysa vakum altındadır.<Ратм, до вращения поверхность П.П., на которой Ро=Ратм будет находиться под уровнем крышки на высоте h 0и =-V/ρg, Н 2 =Н-V/ρg ,

4.7. Yüksek açısal hızda dönüş (Şekil 4.9)

Sıvı içeren bir kap yüksek bir açısal hızla döndüğünde, yerçekimi kuvveti merkezkaç kuvvetlerine kıyasla ihmal edilebilir. Bir sıvıdaki basınç değişimi kanunu formülden elde edilebilir.

(4.22),

Seviyenin yüzeyleri, kabın etrafında döndüğü ortak bir eksene sahip silindirler oluşturur. Eğer tank dönüş başlamadan önce tamamen doldurulmamışsa, basınç P 0 yarıçap boyunca hareket edecek r = r 0 (4.22) ifadesi yerine elimizde olacak

burada g(z 0 - z) = 0 alırız,

Pirinç. 4.9 Yer çekimi olmadığında dönme yüzeylerinin konumu.

Bilinen H ve h için iç yüzeyin yarıçapı

Eliptik paraboloit

a=b=1 olan eliptik paraboloit

Eliptik paraboloit- formun bir fonksiyonuyla tanımlanan yüzey

Nerede A Ve B bir işaret. Yüzey, dalları yukarı doğru yönlendirilmiş, köşeleri bir parabolü tanımlayan ve dalları da yukarı doğru yönlendirilmiş bir paralel parabol ailesi tarafından tanımlanır.

Eğer A = B o zaman eliptik bir paraboloid, bir parabolün belirli bir parabolün tepe noktasından geçen dikey bir eksen etrafında dönmesiyle oluşan bir dönme yüzeyidir.

Hiperbolik paraboloit

a=b=1 olan hiperbolik paraboloit

Hiperbolik paraboloit(yapımında "hipar" olarak adlandırılır), form denklemiyle dikdörtgen koordinat sisteminde tanımlanan eyer şeklinde bir yüzeydir.

İkinci gösterimden hiperbolik bir paraboloidin regüleli bir yüzey olduğu açıktır.

Yüzey, birinci parabolün ikinci tepe noktasıyla temas halinde olması koşuluyla, dalları aşağıya doğru yönlendirilmiş bir parabolün, dalları yukarıya doğru yönlendirilmiş bir parabol boyunca hareketi ile oluşturulabilir.

Dünyadaki paraboloidler

Teknolojide

Sanatta

Literatürde

Mühendis Garin'in Hiperboloitinde anlatılan cihazın şu şekilde olması gerekiyordu: paraboloit.

Wikimedia Vakfı. 2010.

Elon Menachem
Eltang

Diğer sözlüklerde “Eliptik paraboloit” in ne olduğunu görün:

ELİPTİK PARABOLOİD Büyük Ansiklopedik Sözlük

eliptik paraboloit- iki tür paraboloitten biri. * * * ELİPTİK PARABOLOİD ELİPTİK PARABOLOİD, iki tip paraboloitten biridir (bkz. PARABOLOİDLER)... ansiklopedik sözlük

Eliptik paraboloit- iki tür paraboloitten biri (bkz. Paraboloidler) ... Büyük Sovyet Ansiklopedisi

ELİPTİK PARABOLOİD- ikinci dereceden açık bir yüzey. Kanonich. elektron alanının denklemi şu şekildedir: Elektrik alanı Oksi düzleminin bir tarafında bulunur (şekle bakın). Elektrik yüzeylerinin Oksi düzlemine paralel düzlemlerdeki bölümleri eşit dışmerkezliliğe sahip elipslerdir (eğer p ... Matematik Ansiklopedisi

ELİPTİK PARABOLOİD- iki tür paraboloitten biri... Doğal bilim. ansiklopedik sözlük

PARABOLOİD- (Yunanca, parabol, parabol ve eidos benzerliğinden). Dönen bir parabolün oluşturduğu cisim. Rus dilinde yer alan yabancı kelimeler sözlüğü. Chudinov A.N., 1910. PARABOLOID, bir parabolün dönmesinden oluşan geometrik bir cisimdir, yani... ... Rus dilinin yabancı kelimeler sözlüğü

PARABOLOİD- PARABOLOİD, paraboloit, koca. (bkz. parabol) (mat.). Merkezi olmayan ikinci dereceden bir yüzey. Devrim paraboloidi (bir parabolün kendi ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşturulur). Eliptik paraboloit. Hiperbolik paraboloit. Ushakov'un Açıklayıcı Sözlüğü... Ushakov'un Açıklayıcı Sözlüğü

PARABOLOİD- PARABOLOID, bir parabolün hareketiyle elde edilen, üst kısmı başka bir sabit parabol boyunca kayan (hareketli parabolün eksenine paralel bir simetri eksenine sahip) ve kendisine paralel hareket eden düzlemi kalan bir yüzey. .. ... Modern ansiklopedi

Paraboloit- - ikinci dereceden yüzey tipi. Bir paraboloid, açık, merkezi olmayan (yani simetri merkezi olmayan) ikinci dereceden bir yüzey olarak karakterize edilebilir. Kartezyen koordinatlarda bir paraboloitin kanonik denklemleri: eğer bir... ... Vikipedi

PARABOLOİD- ikinci dereceden açık, merkezi olmayan bir yüzey. Kanonich. Parabolik denklemler: eliptik paraboloid (p = q için dönme paraboloidi denir) ve hiperbolik paraboloid. A. B. Ivanov ... Matematik Ansiklopedisi

Bir elipsoid, belirli bir dikdörtgen Kartezyen koordinat sistemi Oxyz'deki denklemi a ^ b ^ c > 0 şeklinde olan bir yüzeydir. Bir elipsoidin neye benzediğini bulmak için aşağıdaki şekilde ilerliyoruz. Oxz düzleminde bir elips alalım ve onu Oz ekseni etrafında döndürelim (Şekil 46). Şekil 46 Ortaya çıkan yüzey bir Elipsoiddir. Hiperboloidler. Paraboloidler. Silindirler ve ikinci dereceden koni. - devrim elipsoidi - zaten genel bir elipsoidin nasıl yapılandırıldığına dair bir fikir veriyor. Denklemini elde etmek için, dönme elipsoidini Oy ekseni boyunca J ^!, t.c katsayısıyla eşit olarak sıkıştırmak yeterlidir. Denklemindeki y'yi Jt/5 ile değiştirin). 10.2. Hiperboloitler Hiperbolün döndürülmesi i! = a2 c2 1 Oz ekseni etrafında (Şek. 47), tek sayfalık devrim hiperboloidi adı verilen bir yüzey elde ederiz. Denklemi *2 + y'dir; bir elipsoid devrimi durumunda olduğu gibi aynı şekilde elde edilir. 5) +yJ + *J = l" küresinin Oz ekseni boyunca ~ ^ 1 katsayısıyla düzgün sıkıştırılmasıyla bir dönme elipsoidi elde edilebilir. Bu yüzeyin Oy ekseni boyunca 2 ^ 1 katsayısıyla düzgün sıkıştırılmasıyla Denklemi Elipsoid şeklindedir ve yukarıda tartışılan elipsoid durumunda olduğu gibi ikinci dereceden bir koni elde edilir. Eşlenik hiperbolün O ekseni etrafında döndürülmesiyle. , iki yapraklı bir devrim hiperboloidi elde ederiz (Şekil 48). Bu yüzeyi Oy'yu 2 ^ 1 katsayısıyla eşit şekilde sıkıştırarak, y'yi - ile değiştirerek iki yapraklı bir hiperboloit elde ederiz. y denklemini elde ederiz. Parabolü Oz ekseni etrafında döndürerek (Şekil 49), yj* ^ 1 katsayısıyla Oy ekseni boyunca dönme şeklinde bir paraboloit elde ederiz. Denklemi, dönme paraboloidinin denkleminden If değiştirilerek elde edilir, o zaman Şekil 2'de gösterilen formun bir paraboloitini elde ederiz. 50. 10.4. Hiperbolik paraboloit Bir hiperbolik paraboloit, belirli bir dikdörtgen Kartezyen koordinat sistemi Oxyz'deki denklemi p > 0, q > 0 şeklinde olan bir yüzeydir. Bu yüzeyin tipini, aşağıdakilerden oluşan sözde kesit yöntemini kullanarak belirleriz. : Koordinat düzlemlerine paralel olarak, incelenen yüzeyle kesişen düzlemler çizilir ve elde edilen düz eğrilerin konfigürasyonu değiştirilerek yüzeyin yapısı hakkında bir sonuca varılır. Oxy koordinat düzlemine paralel z = h = const düzlemlerindeki kesitlerle başlayalım. h > 0 için, h - eşlenik hiperboller için ve - bir çift kesişen düz çizgi için hiperboller elde ederiz. Bu düz çizgilerin tüm hiperboller için (yani herhangi bir h Ф 0 için) asimptot olduğuna dikkat edin. Ortaya çıkan eğrileri Oksi düzlemine yansıtalım. Aşağıdaki resmi elde ediyoruz (Şekil 51). Tek başına bu değerlendirme, söz konusu yüzeyin eyer şeklindeki yapısı hakkında bir sonuca varmamızı sağlar (Şekil 52). Şekil.51 Şekil.52 Şimdi düzlem kesitlerini ele alalım. Denklemdeki y yüzeylerini A ile değiştirerek parabol denklemlerini elde ederiz (Şekil 53). Belirli bir yüzey düzlemlerle kesildiğinde de benzer bir tablo ortaya çıkar. Bu durumda dalları aşağıya doğru yönlendirilen (y = h düzlemleriyle kesmede olduğu gibi yukarıya doğru olmayan) paraboller de elde edilir (Şekil 54). Yorum. Bölüm yöntemini kullanarak, daha önce dikkate alınan tüm ikinci dereceden yüzeylerin yapısını anlayabilirsiniz. Bununla birlikte, ikinci dereceden eğrileri döndürerek ve ardından tekdüze sıkıştırma yaparak, bunların yapısı daha kolay ve çok daha hızlı bir şekilde anlaşılabilir. Geriye kalan ikinci dereceden yüzeyler aslında daha önce ele alınmıştı. Bunlar silindirlerdir: eliptik ve hiperbolik 56 ve parabolik ve ikinci dereceden bir koni; bunun fikri, bir çift kesişen çizginin Oz ekseni etrafında döndürülmesi ve ardından sıkıştırılmasıyla veya bölüm yöntemiyle elde edilebilir. Elbette her iki durumda da incelenen yüzeyin Şekil 2'de gösterilen forma sahip olduğunu görüyoruz. 59. a) odakların koordinatlarını hesaplayın; , . b) eksantrikliği hesaplayın; . c) asimptot ve direktriks denklemlerini yazın; d) Eşlenik hiperbolün denklemini yazın ve dışmerkezliğini hesaplayın. 2. Odaktan köşeye olan mesafe 3 ise parabolün kanonik denklemini yazın. 3. Elipse teğet denklemini ^ + = 1 veto noktası M(4, 3) yazın. 4. Denklemde verilen eğrinin türünü ve konumunu belirleyin: Cevaplar: elips, ana eksen elipsoide paralel. Hiperboloidler. Paraboloidler. Silindirler ve ikinci dereceden koni. Öküz ekseni; b) hiperbol merkezi O (-1,2), ağırlıklı X ekseninin açısal katsayısı 3'tür; c) parabol У2 = , tepe noktası (3, 2), parabolün içbükeyliğine doğru yönlendirilen eksen vektörü (-2, -1)'e eşittir; d) merkezi olan hiperbol, koordinat eksenlerine paralel asimptotlar; e) bir çift kesişen çizgi f) bir çift paralel çizgi

Hiperbolik bir paraboloit de ikinci dereceden yüzeylere aittir. Bu yüzey, belirli bir çizginin sabit bir eksene göre dönüşünü kullanan bir algoritma kullanılarak elde edilemez.

Hiperbolik bir paraboloit oluşturmak için özel bir model kullanılır. Bu model, karşılıklı olarak dik iki düzlemde yer alan iki parabol içerir.

I parabolünün bir düzlemde ve hareketsiz olmasına izin verin. Parabol II karmaşık bir hareket yapar:

▫ başlangıç konumu düzlemle çakışıyor
ve parabolün tepe noktası koordinatların orijiniyle çakışıyor: =(0,0,0);

▫ o zaman bu parabol paralel ötelemeyle hareket eder ve tepe noktası
parabol I ile çakışan bir yörünge yapar;

▫ Parabol II'nin iki farklı başlangıç konumu dikkate alınır: biri – parabolün yukarı doğru dalları, ikincisi – aşağı doğru dalları.

Denklemleri yazalım: ilk parabol I için:
– her zaman; ikinci parabol II için:
– başlangıç konumu, hareket denklemi:
Asıl noktayı görmek zor değil
koordinatları vardır:
. Bir noktanın hareket yasasını göstermek gerekli olduğundan
: bu nokta parabol I'e aitse, o zaman aşağıdaki bağıntılar her zaman sağlanmalıdır: =
Ve
.

Modelin geometrik özelliklerinden hareketli parabolün süpürür biraz yüzey. Bu durumda parabol II ile tanımlanan yüzeyin denklemi şu şekildedir:

veya →
. (1)

Ortaya çıkan yüzeyin şekli parametre işaretlerinin dağılımına bağlıdır
. İki olası durum vardır:

1). Miktar işaretleri P Ve Qçakışır: I ve II parabolleri düzlemin aynı tarafında bulunur OKSİ. Kabul edelim: P = A 2 Ve Q = B 2 . Daha sonra bilinen yüzeyin denklemini elde ederiz:

→ eliptik paraboloit . (2)

2). Miktar işaretleri P Ve Q farklıdır: I ve II parabolleri düzlemin karşıt taraflarında bulunur OKSİ. İzin vermek P = A 2 Ve Q = - B 2 . Şimdi yüzey denklemini elde ediyoruz:

→hiperbolik paraboloit . (3)

Harekete dahil olan iki parabolün etkileşiminin kinematik modelini hatırlarsak, denklem (3) ile tanımlanan yüzeyin geometrik şeklini hayal etmek zor değildir.

Şekilde parabol I geleneksel olarak kırmızıyla gösterilmiştir. Yalnızca koordinatların başlangıç noktasındaki yüzeyin komşuluğu gösterilmiştir. Yüzeyin şeklinin bir süvari eyerini belirgin bir şekilde ima etmesi nedeniyle, bu mahalleye genellikle - sele .

Fizikte, süreçlerin kararlılığını incelerken, denge türleri tanıtılır: kararlı - bir delik, aşağı doğru dışbükey, kararsız - yukarı doğru dışbükey bir yüzey ve orta - bir eyer. Üçüncü tip denge de bir tür kararsız denge olarak sınıflandırılır ve yalnızca kırmızı çizgide (parabol I) denge mümkündür.

§ 4. Silindirik yüzeyler.

Dönme yüzeylerini değerlendirirken, en basit silindirik yüzeyi tanımladık - bir dönme silindiri, yani dairesel bir silindir.

Temel geometride silindir, prizmanın genel tanımına benzetilerek tanımlanır. Oldukça karmaşık:

▫ uzayda düz bir çokgenimiz olsun
– olarak belirtelim ve poligon onunla çakışıyor
– olarak belirtelim
;

▫ çokgene uygulanabilir
hareket paralel öteleme: noktalar
belirli bir yöne paralel yörüngeler boyunca hareket etmek ;

▫ poligon aktarımını durdurursanız
, sonra onun uçağı
düzleme paralel ;

▫ prizmanın yüzeyine çokgenler topluluğu denir ,
– zemin prizmalar ve paralelkenarlar
,
,... – yan yüzey prizmalar.

İÇİNDE Bir prizmanın ve yüzeyinin daha genel bir tanımını oluşturmak için prizmanın temel tanımını kullanalım, yani şunları ayırt edeceğiz:

▫ sınırsız bir prizma, kenarlarla sınırlanmış çokyüzlü bir gövdedir ,,... ve bu kenarlar arasındaki düzlemler;

▫ sınırlı bir prizma, kenarlarla sınırlanmış çokyüzlü bir gövdedir ,,... ve paralelkenarlar
,
,...; bu prizmanın yan yüzeyi bir dizi paralelkenardır
,
,...; prizma tabanları - bir dizi çokgen ,
.

Sınırsız bir prizmamız olsun: ,,... Bu prizmayı keyfi bir düzlemle keselim . Aynı prizmayı başka bir düzlemle kesiştirelim
. Kesitte bir çokgen elde ediyoruz
. Genel olarak uçağın olduğunu varsayıyoruz.
düzleme paralel değil . Bu, prizmanın çokgenin paralel ötelenmesiyle oluşturulmadığı anlamına gelir. .

Bir prizmanın önerilen yapısı yalnızca düz ve eğimli prizmaları değil aynı zamanda kesik olanları da içerir.

Analitik geometride, silindirik yüzeyleri o kadar genel olarak anlayacağız ki, özel bir durum olarak sınırsız bir silindir sınırsız bir prizma içerir: çokgenin yalnızca kapalı olması gerekmeyen keyfi bir çizgi ile değiştirilebileceğini varsaymak gerekir - rehber silindir. Yön isminde nesil silindir.

Söylenenlerin hepsinden şu sonuç çıkıyor: Silindirik bir yüzeyi tanımlamak için, bir kılavuz çizgisini ve generatrisin yönünü belirtmek gerekir.

Silindirik yüzeyler, 2. dereceden düzlem eğrilere dayanarak elde edilir. kılavuzlar İçin şekillendirme .

Silindirik yüzeyleri incelemenin ilk aşamasında basitleştirici varsayımları kabul edeceğiz:

▫ silindirik yüzeyin kılavuzunun her zaman koordinat düzlemlerinden birinde bulunmasına izin verin;

▫ generatrix'in yönü koordinat eksenlerinden biriyle, yani kılavuzun tanımlandığı düzleme dik olarak çakışır.

Kabul edilen kısıtlamalar, kesitlerin uçaklar tarafından seçilmesi nedeniyle mümkün olduğundan genellik kaybına yol açmaz. Ve
keyfi geometrik şekiller oluşturun: düz, eğimli, kesik silindirler.

Eliptik silindir .

Silindirin kılavuzu olarak elipsi alalım :
, koordinat düzleminde bulunan

: eliptik silindir.

Hiperbolik silindir .

:

ve generatrisin yönü ekseni belirler
. Bu durumda silindirin denklemi doğrunun kendisidir. : hiperbolik silindir.

Parabolik silindir .

Silindirin kılavuzu olarak bir hiperbol alalım :
, koordinat düzleminde bulunan
ve generatrisin yönü ekseni belirler
. Bu durumda silindirin denklemi doğrunun kendisidir. : parabolik silindir.

Yorum: silindirik yüzeylerin denklemlerini oluşturmak için genel kuralların yanı sıra eliptik, hiperbolik ve parabolik silindirlerin sunulan belirli örneklerini dikkate alarak, şunu not ediyoruz: kabul edilen basitleştirme koşulları için başka herhangi bir generatrix için bir silindir oluşturmak herhangi bir şeye neden olmamalıdır. zorluklar!

Şimdi silindirik yüzeylerin denklemlerini oluşturmak için daha genel koşulları ele alalım:

▫ silindirik yüzeyin kılavuzu rastgele bir uzay düzleminde bulunur
;

▫ generatrix'in yönü benimsenen koordinat sisteminde keyfidir.

Kabul edilen koşulları şekilde gösteriyoruz.

▫ silindirik yüzey kılavuzu keyfi bir düzlemde yer alan uzay
;

▫ koordinat sistemi
koordinat sisteminden elde edilen
paralel aktarım;

▫ kılavuz konumu uçakta en çok tercih edileni: 2. dereceden bir eğri için koordinatların kökeninin olduğunu varsayacağız. ile çakışıyor merkez söz konusu eğrinin simetrisi;

▫ generatrix'in yönü keyfi (herhangi bir şekilde belirtilebilir: vektör, düz çizgi vb.).

Aşağıda koordinat sistemlerinin olduğunu varsayacağız.
Ve
eşleştir. Bu, paralel ötelemeyi yansıtan silindirik yüzeyler oluşturmak için genel algoritmanın 1. adımının şu olduğu anlamına gelir:
→
, daha önce tamamlandı.

Basit bir örnek üzerinden paralel aktarımın genel durumda nasıl dikkate alındığını hatırlayalım.

Örnek 6–13 : Koordinat sisteminde
gibi:
=0. Bu kılavuzun denklemini sisteme yazın
.

Çözüm:

1). İsteğe bağlı bir nokta belirleyelim
: sistemde
Nasıl
ve sistemde
Nasıl
.

2). Vektör eşitliğini yazalım:
=
+
. Koordinat formunda bu şu şekilde yazılabilir:
=
+
. Veya formda:
=
–
, veya:
=.

3). Silindir kılavuzunun denklemini yazalım koordinat sisteminde
:

Cevap: dönüştürülmüş kılavuz denklemi: =0.

Dolayısıyla, silindir kılavuzunu temsil eden eğrinin merkezinin her zaman sistem koordinatlarının başlangıç noktasında bulunduğunu varsayacağız.
uçakta .

Pirinç. İÇİNDE . Silindir oluşturmak için temel çizim.

Silindirik bir yüzey oluşturmanın son adımlarını basitleştiren bir varsayım daha yapalım. Koordinat sisteminin dönüşünü kullanarak eksenin yönünü hizalamak zor olmadığından
koordinat sistemleri
düzlem normali ile ve eksenlerin yönleri
Ve
kılavuz simetri eksenleri ile , o zaman bunu kılavuzun başlangıç konumu olarak varsayacağız düzlemde yer alan bir eğrimiz var
ve simetri eksenlerinden biri eksenle çakışıyor
ve ikincisi eksenle birlikte
.

Yorum: Paralel öteleme ve sabit bir eksen etrafında dönme işlemleri oldukça basit olduğundan, kabul edilen varsayımlar, en genel durumda silindirik bir yüzey oluşturmak için geliştirilen algoritmanın uygulanabilirliğini sınırlamaz!

Kılavuzun olduğu durumda silindirik bir yüzey oluştururken bunu gördük. uçakta bulunan
ve generatrix eksene paraleldir
sadece kılavuzu belirlemeniz yeterli .

Silindirik bir yüzey, bu yüzeyin kesitinde elde edilen herhangi bir çizginin rastgele bir düzlemle belirtilmesiyle benzersiz bir şekilde belirlenebileceğinden, sorunu çözmek için aşağıdaki genel algoritmayı kabul edeceğiz:

1 ▫ . Generatrix'in yönüne izin verin vektör tarafından verilen silindirik yüzey . Bir rehber tasarlayalım , denklemle verilir:
=0, generatrix yönüne dik bir düzleme yani uçağa binmek
. Sonuç olarak silindirik yüzey koordinat sisteminde belirtilecektir.
denklem:
=0.

2 ▫
eksen etrafında
bir açıyla
: açının anlamı
sistemle uyumlu
ve konik yüzeyin denklemi denkleme dönüştürülür:
=0.

3 ▫ . Koordinat sisteminin dönüşünü uygulama
eksen etrafında
bir açıyla
: açının anlamı şekilden oldukça açıktır. Döndürme sonucunda koordinat sistemi
sistemle uyumlu
ve konik yüzeyin denklemi şuna dönüştürülür:
=0. Bu, kılavuzun verildiği silindirik bir yüzeyin denklemidir ve jeneratör koordinat sisteminde
.

Aşağıda sunulan örnek, yazılı algoritmanın uygulanmasını ve bu tür problemlerin hesaplama zorluklarını göstermektedir.

Örnek 6–14 : Koordinat sisteminde
silindir kılavuzu denklemi verilmiştir gibi:
=9. Jeneratörleri vektöre paralel olan bir silindir için denklem yazın =(2,–3,4).

R
karar:

1). Silindir kılavuzunu silindire dik bir düzleme yansıtalım. . Böyle bir dönüşümün belirli bir daireyi eksenleri şöyle olacak bir elipse dönüştürdüğü bilinmektedir: büyük =9 ve küçük =
.

Bu şekil bir düzlemde tanımlanmış bir dairenin tasarımını göstermektedir
koordinat düzlemine
.

2). Bir daire tasarlamanın sonucu bir elipstir:
=1 veya
. Bizim durumumuzda:
, Nerede
==.

3
). Yani, koordinat sistemindeki silindirik bir yüzeyin denklemi
kabul edilmiş. Problemin koşullarına göre bu silindirin denkleminin koordinat sisteminde bulunması gerekir.
, daha sonra koordinat sistemini dönüştüren bir koordinat dönüşümü uygulamak kalır
koordinat sistemine
, aynı zamanda silindirin denklemi:
değişkenler cinsinden ifade edilen bir denkleme
.

4). Haydi yararlanalım temel sorunu çözmek için gerekli tüm trigonometrik değerleri çizin ve yazın:

==,
==,
==.

5). Sistemden hareket ederken koordinatları dönüştürmek için formülleri yazalım
sisteme
:
(İÇİNDE)

6). Sistemden hareket ederken koordinatları dönüştürmek için formülleri yazalım
sisteme
:
(İLE)

7). Değişkenleri Değiştirmek
sistemden (B) sisteme (C) ve ayrıca kullanılan trigonometrik fonksiyonların değerlerini de dikkate alarak şunu yazıyoruz:

=
=
.

8). Bulunan değerleri değiştirmeye devam ediyor Ve silindir kılavuzu denklemine :
koordinat sisteminde
. Tamamlanmış dikkatlice tüm cebirsel dönüşümlerde koordinat sisteminde konik bir yüzeyin denklemini elde ederiz
: =0.

Cevap: koni denklemi: =0.

Örnek 6–15 : Koordinat sisteminde
silindir kılavuzu denklemi verilmiştir gibi:
=9, =1. Jeneratörleri vektöre paralel olan bir silindir için denklem yazın =(2,–3,4).

Çözüm:

1). Bu örneğin öncekinden yalnızca kılavuzun paralel olarak 1 birim yukarıya doğru hareket ettirilmesiyle farklı olduğunu görmek kolaydır.

2). Bu, (B) ilişkilerinde aşağıdakilerin kabul edilmesi gerektiği anlamına gelir: =-1. Sistem (C) ifadelerini dikkate alarak değişkenin girişini düzelteceğiz. :

=
.

3). Önceki örnekteki silindir için son denklem ayarlanarak değişiklik kolaylıkla hesaba katılabilir: