Скалярні твори векторів. Записи з міткою "скалярний твір векторів" Елементи аналітичної геометрії у просторі

24. Спростимо цю функцію. За теоремою Вієта знайдемо коріння квадратного тричлена x 2 -x-6(x 1 = -2 , x 2 = 3 ), розкладемо знаменник дробу на лінійні множники (х-3)(х+2)і скоротимо дріб на (х-3). Знайдемо первісну Н(х)отриманої функції 1/(х+2).

25. Отже, 126 гравців зіграють 63 ігри, з яких 63 учасники вийдуть переможцями у другий тур. Загалом у другому турі боротимуться 63+1=64 учасники. Вони зіграють 32 ігри, звідси ще 32 переможці, які зіграють 16 ігор. 16 переможців зіграють 8 ігор, 8 переможців зіграють 4 ігри. Четверо переможених проведуть 2 ігри, і, нарешті, двом переможцям потрібно буде зіграти останню гру. Вважаємо матчі: 63+32+16+8+4+2+1=126.

Бажаєте краще володіти комп'ютером?

Сервіс публікацій Slideshare дозволяє конвертувати презентації Power Point, текстові документи, PDF-файли (50 Мб) у формат flash. В освітній діяльності цей сервіс можна використовувати як для створення портфоліо учнів та вчителів, так і для звичайної демонстрації презентацій, оформлення проектних робіт.

Читайте нові статті

Якщо ви — вчитель, то звичайно запитували себе: які книги необхідно прочитати, щоб робота приносила радість і задоволення? Безперечно, що зараз можна знайти море інформації з цього питання в Інтернеті. Але в такому різноманітті дуже важко розібратися. А з'ясувати, які книги справді стануть вашими помічниками, вимагатиме багато часу. У цій статті ви дізнаєтесь про те, які книги має прочитати кожен учитель.

Наочність матеріалу мотивує дітей початкової школи до вирішення навчальної задачі та підтримує інтерес до предмета. Тому одним із найефективніших методів навчання є використання карток. Картки можна використовувати при навчанні будь-якого предмета, у тому числі і в гуртковій діяльності, і позаурочної. Наприклад, ті самі картки з овочами та фруктами підійдуть для навчання рахунку на уроках математики, і для вивчення теми дикі та садові рослини на уроках навколишнього світу.

Скалярним твором a  b двох ненульових векторів a і b називається число, що дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними. У разі рівності нулю хоча б одного з цих векторів скалярний добуток дорівнює нулю. Таким чином, за визначенням маємо

де  – кут між векторами a і b .

Скалярне твір векторів a , b позначається також за допомогою символів ab .

Знак скалярного твору визначається величиною :

якщо 0    то a  b  0,

якщо ж    , то a  b  0.

Скалярне твір визначається лише двох векторів.

Операції над векторами у координатній формі

Нехай у системі координат Охудані вектори a = (x 1 ; y 1) = x 1 i + y 1 j і b = (x 2 ; y 2) = x 2 i + y 2 j .

1. Кожна координата суми двох (або більше) векторів дорівнює сумі відповідних координат векторів-доданків, тобто. a + b = = (x 1 + x 2 ; y 1 + y 2).

2. Кожна координата різниці двох векторів дорівнює різниці відповідних координат цих векторів, тобто. a – b = (x 1 – x 2 ; y 1 – y 2).

3. Кожна координата твору вектора на число  дорівнює добутку відповідної координати цього вектора на , тобто  а = ( х 1 ;  у 1).

4. Скалярне твір двох векторів дорівнює сумі творів відповідних координат цих векторів, тобто. a  b = x 1  x 2 + + y 1  y 2 .

Наслідок.Довжина вектора а = (x; y) дорівнює кореню квадратному із суми квадратів його координат, тобто.

=
(5)

Приклад 4. Дані вектори
b = 3i – j .

Потрібно:

1. Знайти

2. Знайти скалярний добуток векторів з , d .

3. Знайти довжину вектора з .

Рішення

1. За якістю 3 знаходимо координати векторів 2 а , –а , 3b , 2b : 2а = = 2(–2; 3) = (–4; 6), –а = –(–2; 3) = (2; –3), 3b = 3(3; –1) = (9; –3), 2b = = 2(3; –1) = = (6; –2).

За властивостями 2, 1 знаходимо координати векторів з , d : з = 2a – 3b = = (–4; 6) – (9; –3) = (–13; 9), d = –a + 2b = (2; –3) + (6; –2) = (8; –5).

2. За якістю 4 сd = –13  8 + 9  (–5) = –104 – 45 = –149.

3. Наслідком з якості 4 | з | =
=
.

Тест 3 . Визначити координати вектора а + b , якщо а = (–3; 4), b = = (5; –2):

Тест 4. Визначити координати вектора а – b , якщо а = (2; –1), b = = (3; –4):

Тест 5 . Знайти координати вектора 3 а , якщо а = (2; –1):

Тест 6 . Знайти скалярний твір a , b векторів а = (1; –4), b = (–2; 3):

Тест 7 . Знайти довжину вектора а = (–12; 5):

3)
;

Відповіді на тестові завдання

1.3. Елементи аналітичної геометрії у просторі

Прямокутна система координат у просторі складається з трьох взаємно перпендикулярних осей координат, що перетинаються в одній і тій же точці (початок координат 0) і мають напрямок, а також одиниці масштабу кожної осі (рисунок 17).

Малюнок 17

Положення точки Мна площині визначається єдиним чином трьома числами – її координатами M(х т ; у т ; z т), де х т- Абсцис, у т- ордината, z т- Аплікату.

Кожна з них дає відстань від точки Мдо однієї з площин координат зі знаком, що враховує, по який бік від цієї площини розташована точка: взята вона у бік позитивного або негативного напрямку третьої осі.

Три координатні площини ділять простір на 8 частин (октантів).

Відстань між двома точками A(х А ; у А ; z А) та B(х В ; у В ; z В) обчислюється за формулою

Нехай дані точки A(х 1 ; у 1 ; z 1) та B(х 2 ; у 2 ; z 2). Тоді координати точки З(х; у; z), що ділить відрізок
щодо, виражаються такими формулами:

Приклад 1 . Знайти відстань АВ, якщо А(3; 2; -10) та В(–1; 4; –5).

Рішення

Відстань АВобчислюється за формулою

Сукупність всіх точок, координати яких задовольняють рівняння з трьома змінними, становить певну поверхню.

Сукупність точок, координати яких задовольняють двом рівнянням, становить певну лінію – лінію перетину відповідних двох поверхонь.

Будь-яке рівняння першого ступеня зображує площину, і, будь-яка площина може бути представлена ​​рівняннями першого ступеня.

Параметри A, B, C є координатами нормального вектора, перпендикулярного до площини, тобто. n = (A; B; C).

Рівняння площини у відрізках, що відсікаються на осях: a– по осі ОX, b– по осі ОY, з– по осі ОZ:

Нехай дані дві площини A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 z + + D 2 = 0.

Умови паралельності площин:
.

Умови перпендикулярності площин:

Кут між площинами визначається за такою формулою:

.

Нехай площина проходить через точки M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1), M 2 (x 2 ; y 2 ; z 2), M 3 (x 3 ; y 3 ; z 3).

Тоді її рівняння має вигляд:

Відстань від точки M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0) до площини Ax + By + Cz + D= 0 знаходиться за формулою

.

Тест 1. Площина
проходить через точку:

1) A(–1; 6; 3);

2) B(3; –2; –5);

3) C(0; 4; –1);

4) D(2; 0; 5).

Тест 2 . Рівняння площини ОXYнаступне:

1) z = 0;

2) x = 0;

3) y = 0.

Приклад 2 . Написати рівняння площини, паралельної площині ОXYі проходить через точку (2; -5; 3).

Рішення

Оскільки площина паралельна площині ОXY, її рівняння має вигляд Cz+D= 0 (вектор  = (0; 0; З)  ОХY).

Оскільки площина проходить через точку (2; -5; 3), то C  3 + D= 0 або як D = –3C.

Таким чином, CZ – 3C= 0. Оскільки З≠ 0, то z – 3 = 0.

Відповідь: z – 3 = 0.

Тест 3 . Рівняння площини, яка проходить через початок координат і перпендикулярна вектору (3; -1; -4), має вигляд:

1)

2)

3)

4)

Тест 4 . Величина відрізка, що відсікається по осі ОYплощиною
дорівнює:

Приклад 3 . Написати рівняння площини:

1. Паралельної площини
і проходить через точку A(2; 0; –1).

2. Перпендикулярна площина
і проходить через точку B(0; 2; 0).

Рішення

Рівняння площин шукатимемо у вигляді A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0.

1. Оскільки площини паралельні, то
Звідси A= 3t,B= –t,C= 2t, де tR. Нехай t= 1. Тоді A = 3, B = –1, C= 2. Тому рівняння набуває вигляду
Координати точки А, Що належить площині, звертають рівняння на справжню рівність. Отже, 32 – 10 + 2(–1) + D= 0. Звідки D= 4.

Відповідь:

2. Оскільки площини перпендикулярні, то 3  A – 1  B + 2  C = 0.

Так як змінних три, а рівняння одне, то дві змінні приймають довільні одночасно не рівні нулю значення. Нехай A = 1, B= 3. Тоді C= 0. Рівняння набуває вигляду
D= –6.

Відповідь:

Тест 5 . Вказати площину, паралельну площині x – 2y + 7z – 2 = 0:

1)

4)

Тест 6 . Вказати площину, перпендикулярну до площини x– 2y+ + 6z– 2 = 0:

1)

4)

Тест 7 . Косинус кута між площинами 3 x + y – z- 1 = 0 і x – 4y – – 5z+ 3 = 0 визначається за формулою:

1)

2)

3)

Тест 8 . Відстань від точки (3; 1; -1) до площини 3 x – y + 5z+ 1 = 0 визначається за формулою:

1)

2)

Цей тест може бути використаний на заняттях проміжного, узагальнюючого або підсумкового контролю знань учнів. Для коректної роботи тесту необхідно встановити низький рівень безпеки (сервіс-макрос-безпека)

Завантажити:

Попередній перегляд:

Щоб користуватися попереднім переглядом презентацій, створіть собі обліковий запис Google і увійдіть до нього: https://accounts.google.com

Підписи до слайдів:

Варіант 1 Варіант 2 Використаний шаблон створення тестів у PowerPoint МКОУ «Погорельська ЗОШ» Кощеєв М.М.

Результат тесту Вірно: 14 Помилки: 0 Позначка: 5 Час: 3 хв. 29 сек. ще виправити

Варіант 1 б) 360 ° а) 180 ° в) 246 ° г) 274 ° д) 454 °

Варіант 1 в) 22 а) -22 б) 0 г) 8 д) 1

Варіант 1 д) 5 г) 0 а) 7

Варіант 1 б) тупий д) не існують, тому що їх початки не збігаються в) 0° г) гострий а) прямий

Варіант 1 б) 10,5 д) за жодних а) -10,5

Варіант 1 а) -10,5 б) 10,5 д) ні за яких

Варіант 1 д) 0 б) неможливо визначити а) -6 г) 4 в) 6

Варіант 1 б) 28 д) неможливо визначити а) 70 г) -45,5 в) 91

Варіант 1 9. Дві сторони трикутника дорівнюють 16 і 5, а кут між ними дорівнює 120°. Якому із зазначених проміжків належить довжина третьої сторони? г) д) (19; 31] а) (0 ; 7 ] б) (7; 11] в) а) (0 ; 7 ] б) (7; 11] г)

Варіант 1 13. Радіус кола, описаного біля трикутника АВС, дорівнює 0,5. Знайдіть відношення синуса кута В ​​до довжини сторони АС. д) 1 в) 1,3 а) 0,5 г) 2

Варіант 1 14. У трикутнику АВС довжини сторін ВС та АВ рівні відповідно 5 та 7, а

Варіант 2 в) 360 ° а) 180 ° б) 246 ° г) 274 ° д) 454 °

Варіант 2 д) 22 а) -22 б) 0 г) 8 в) 4

Варіант 2 а) 10 г) 17 д) 15

Варіант 2 в) дорівнює 0° д) не існують, тому що їх початки не збігаються в) тупий г) гострий а) прямий

Варіант 2 б) 10,5 д) за жодних а) -10,5

Варіант 2 а) - 10,5 д) за жодних в) 10,5

Варіант 2 г) 0 б) неможливо визначити а) -6 д) 4 в) 6

Варіант 2 а) 70 д) неможливо визначити б) 28 г) -45,5 в) 91

Варіант 2 9. Дві сторони трикутника дорівнюють 12 і 7, а кут між ними дорівнює 60°. Якому із зазначених проміжків належить довжина третьої сторони? д) (7; 11) г) (19; 31] а) (0 ; 7 ) б) в) д) (19; 31] в)

Варіант 2 13. Радіус кола, описаного біля трикутника АВС, дорівнює 2 . Знайдіть відношення синуса кута В ​​до довжини сторони АС. а) 0,25 в) 1,3 д) 1 г) 2

Варіант 2 14. У трикутнику АВС довжини сторін АС та АВ рівні відповідно 9 та 7, а

Ключі до тесту: Скалярне твір векторів. Теореми трикутника». 1 варіант 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Відп. б вд б в а д б г а в в г 2 варіант 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Відп. в д а в г б г а д г в а а г Література Л.І. Звавіч, Е,В. Потоскуєв Тести з геометрії 9 клас до підручника Л.С. Атанасяна та ін. М.: видавництво «Іспит» 2013р.- 128с.