C nuqtadan AB chizig'igacha bo'lgan masofa. Bir nuqtadan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofani aniqlaydi. Ikki to'g'ri chiziqning nisbiy holati

Ushbu maqolada mavzu haqida gap boradi « nuqtadan chiziqgacha masofa », koordinatalar usuli yordamida tasvirlangan misollar bilan bir nuqtadan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofani aniqlash Nazariyaning har bir bloki oxirida shunga o'xshash muammolarni hal qilish misollarini ko'rsatdi.

Nuqtadan to to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofa nuqtadan nuqtaga bo'lgan masofani aniqlash orqali aniqlanadi. Keling, batafsil ko'rib chiqaylik.

Berilgan chiziqqa tegishli bo'lmagan a va M 1 nuqtalari bo'lsin. A chizig'iga perpendikulyar bo'lgan b chiziqni chizamiz. Chiziqlarning kesishish nuqtasi H 1 sifatida olinadi. Biz M 1 H 1 perpendikulyar ekanligini aniqlaymiz, u M 1 nuqtadan a chizig'iga tushirildi.

1-ta'rif

M 1 nuqtadan a chizig'igacha bo'lgan masofa M 1 va H 1 nuqtalari orasidagi masofani chaqirdi.

Perpendikulyar uzunlikning raqami bilan belgilangan yozuvlar mavjud.

2-ta'rif

Nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofa berilgan nuqtadan berilgan tekis chiziqqa chizilgan perpendikulyar uzunlikdir.

Ta'riflar ekvivalentdir. Quyidagi rasmni ko'rib chiqing.

Ma'lumki, bir nuqtadan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofa eng kichik bo'lishi mumkin. Bir misolni ko'rib chiqaylik.

Agar biz M 1 nuqtaga to'g'ri kelmaydigan a to'g'ri chiziqda yotadigan Q nuqtani olsak, u holda M 1 Q kesma egri deyiladi, M M dan A chizig'iga tushadi. M 1 nuqtadan perpendikulyar boshqa nuqtadan chiziqqa chizilgan chiziqdan kamroq ekanligini ko'rsatish kerak.

Buni isbotlash uchun M 1 Q 1 H 1 uchburchagini ko'rib chiqing, bu erda M 1 Q 1 gipotenuzadir. Ma'lumki, uning uzunligi har doim har qanday oyoq uzunligidan kattaroqdir. Bizda M 1 H 1 bor< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Nuqtadan to'g'ri chiziqni topish uchun dastlabki ma'lumotlar bir nechta echim usullaridan foydalanishga imkon beradi: Pifagor teoremasi yordamida sinus, kosinus, burchak tangensini va boshqalarni aniqlash. Ushbu turdagi ko'pgina vazifalar maktabda geometriya darslarida hal qilinadi.

Nuqtadan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofani topganda, to'rtburchaklar koordinatalar tizimiga kirishingiz mumkin, keyin koordinatalar usuli qo'llaniladi. Ushbu paragrafda biz berilgan nuqtadan kerakli masofani topish uchun asosiy ikkita usulni ko'rib chiqamiz.

Birinchi usul masofani M 1 nuqtadan a to'g'ri chiziqqa perpendikulyar chiziq sifatida topishni o'z ichiga oladi. Ikkinchi usulda kerakli masofani topish uchun a to'g'ri chiziqning normal tenglamasi qo'llaniladi.

Agar to'rtburchaklar koordinatalar tizimida joylashgan a 1 tekis chiziqda joylashgan a M tekisligi (x 1, y 1) koordinatalari bilan tekislikda nuqta bo'lsa va siz M 1 H 1 masofani topishingiz kerak bo'lsa, siz ikkita usul bilan hisoblashingiz mumkin. Keling, ularni ko'rib chiqaylik.

Birinchi yo'l

Agar H 1 nuqtaning koordinatalari x 2, y 2 ga teng bo'lsa, u holda nuqtadan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofa M 1 H 1 \u003d (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 formulasidan koordinatalar bo'yicha hisoblanadi.

Endi H 1 nuqtaning koordinatalarini topishga o'tamiz.

Ma'lumki, O x y ichidagi to'g'ri chiziq tekislikdagi to'g'ri chiziq tenglamasiga to'g'ri keladi. To'g'ri chiziqning umumiy tenglamasini yoki qiyalik bilan bo'lgan tenglamani yozish orqali a to'g'ri chiziqni aniqlash usulini ko'rib chiqamiz. Biz berilgan 1 to'g'ri chiziqqa perpendikulyar bo'lgan M 1 nuqtadan o'tgan to'g'ri chiziq tenglamasini tuzamiz. To'g'ri chiziq b belgi bilan belgilanadi. H 1 a va b chiziqlarning kesishish nuqtasidir, ya'ni koordinatalarni aniqlash uchun siz ikkita chiziqning kesishish nuqtalari koordinatalari bilan shug'ullanadigan maqolani ishlatishingiz kerak.

Ko'rish mumkinki, berilgan nuqtadan M 1 (x 1, y 1) masofani topish algoritmi quyidagi nuqtalarga muvofiq amalga oshiriladi:

3-ta'rif

• a 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 shaklga ega bo'lgan a to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasini yoki y \u003d k 1 x + b 1 shaklga ega qiyalik bilan tenglamani toping;
• agar b chiziq M 1 nuqtasi bilan kesishsa va berilgan chiziqqa perpendikulyar bo'lsa, A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0 shaklga ega yoki y \u003d k 2 x + b 2 bilan tenglama mavjud bo'lgan b chizig'ining umumiy tenglamasini olish;
• a va b ning kesishish nuqtasi bo'lgan H 1 nuqtaning x 2, y 2 koordinatalarini aniqlash, buning uchun sistema hal qilinadi chiziqli tenglamalar A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0 yoki y \u003d k 1 x + b 1 y \u003d k 2 x + b 2;
• m 1 H 1 \u003d (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 formulasidan foydalanib, nuqtadan to'g'ri chiziqgacha kerakli masofani hisoblash.

Ikkinchi yo'l

Teorema berilgan nuqtadan tekislikda berilgan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofani topish haqidagi savolga javob berishga yordam beradi.

Teorema

To'rtburchaklar koordinatalar tizimida O x y M 1 (x 1, y 1) nuqta bor, shundan cos a \u003d x + cos β y - p \u003d 0 shakli bo'lgan tekislikning normal tenglamasi berilgan tekislikka to'g'ri chiziq tortiladi. x \u003d x 1, y \u003d y 1 deb hisoblangan normal chiziq tenglamasining chap tomonida olingan qiymat moduliga, bu M 1 H 1 \u003d cos a x 1 + cos β y 1 - p.

Dalillar

A chiziq tekislikning normal tenglamasiga to'g'ri keladi, u cos a x + cos β y - p \u003d 0 shaklga ega, keyin n → \u003d (cos α, cos a) chiziqning normal vektori nuqta bilan chiziqdan a pgacha bo'lgan birlik deb hisoblanadi. ... Rasmdagi barcha ma'lumotlarni ko'rsatish, M 1 (x 1, y 1) koordinatalari bilan nuqta qo'shish kerak, bu erda M 1 nuqtasining radius vektori - O M 1 → \u003d (x 1, y 1). M 1 H 1 tomonidan belgilab qo'yilgan nuqtadan to'g'ri chiziqqa to'g'ri chiziq chizish kerak. M 1 va N 2 nuqtalarining M 2 va N 2 proektsiyalarini O nuqtadan o'tib, n \u003d \u003d (cos a, cos β) shakl yo'nalishi bo'yicha vektorning to'g'ri proektsiyasini ko'rsatish kerak va vektorning raqamli proektsiyasi OM 1 → \u003d (x 1, y 1) n → \u003d (cos a, cos β) yo'nalishiga npn → OM 1 →.

O'zgarishlar M 1 nuqtasining o'zi joylashgan joyga bog'liq. Quyidagi rasmda ko'rib chiqing.

M 1 H 1 \u003d n p n → O M → 1 - p formulasi yordamida natijalarni aniqlaymiz. Keyin n p n → O M → 1 \u003d cos α x 1 + cos β y 1 ni olish uchun tenglikni ushbu formaga tushiramiz. M 1 H 1 \u003d cos a x 1 + cos β y 1 - p.

Natijada vektorlarning skalyar mahsuloti n →, OM shaklidagi koordinatali mahsulot bo'lgan n →, OM → 1 \u003d n → npn → OM 1 → \u003d 1 npn → OM 1 → \u003d npn → OM 1 → shaklining o'zgartirilgan formulasini beradi. 1 → \u003d cos a x 1 + cos β y 1. Demak, n p n → O M 1 → \u003d cos a x 1 + cos β y 1 ga ega bo'lamiz. Bundan kelib chiqadiki, M 1 H 1 \u003d n p n → O M 1 → - p \u003d cos a x 1 + cos β y 1 - p. Teorema isbotlangan.

M 1 (x 1, y 1) nuqtadan tekislikdagi a to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofani topish uchun biz bir necha harakatlarni bajarishingiz kerak bo'ladi.

4-ta'rif

• a cos a x + cos β y - p \u003d 0 to'g'ri chiziqning normal tenglamasini olish, agar u vazifada bo'lmasa;
• cos α · x 1 + cos β · y 1 - p ifodasini hisoblash, bunda olingan qiymat M 1 H 1 ni oladi.

Keling, ushbu usullarni nuqtadan tekislikka masofani topish bilan bog'liq muammolarni hal qilishda qo'llaymiz.

1-misol

M 1 (- 1, 2) koordinatalari bilan 4 x - 3 y + 35 \u003d 0 chiziqqa qadar bo'lgan masofani toping.

Qaror

Keling, hal qilish uchun birinchi usulni qo'llaylik.

Buni amalga oshirish uchun, 4 x - 3 y + 35 \u003d 0 to'g'ri chiziqqa perpendikulyar berilgan M 1 (- 1, 2) nuqtadan o'tadigan b to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasini topish kerak. Vaziyatdan ko'rinib turibdiki, b to'g'ri chiziq a to'g'ri chiziqqa perpendikulyar bo'lsa, uning yo'nalishi vektori (4, - 3) ga teng bo'lgan koordinatalar bo'ladi. Shunday qilib, b tekislikdagi b tekislikning kanonik tenglamasini yozish imkoniyatiga egamiz, chunki M 1 nuqtaning koordinatalari b b to'g'ri chizig'iga tegishli. B to'g'ri chiziqning yo'nalish vektorining koordinatalarini aniqlang. Biz x - (- 1) 4 \u003d y - 2 - 3 ⇔ x + 1 4 \u003d y - 2 - 3 olamiz. Olingan kanonik tenglama umumiy holatga o'tkazilishi kerak. Keyin biz bunga erishamiz

x + 1 4 \u003d y - 2 - 3 ⇔ - 3 (x + 1) \u003d 4 (y - 2) ⇔ 3 x + 4 y - 5 \u003d 0

Keling, H 1 belgisini oladigan to'g'ri chiziqlarning kesishish nuqtalarining koordinatalarini topaylik. O'zgarishlar quyidagicha:

4 x - 3 y + 35 \u003d 0 3 x + 4 y - 5 \u003d 0 ⇔ x \u003d 3 4 y - 35 4 3 x + 4 y - 5 \u003d 0 ⇔ x \u003d 3 4 y - 35 4 3 3 4 y. - 35 4 + 4 y - 5 \u003d 0 ⇔ ⇔ x \u003d 3 4 y - 35 4 y \u003d 5 ⇔ x \u003d 3 4 5 - 35 4 y \u003d 5 ⇔ x \u003d - 5 y \u003d 5

Yuqoridagilardan ko'rinib turibdiki, H 1 nuqtaning koordinatalari (- 5; 5).

M 1 nuqtadan a chizig'igacha bo'lgan masofani hisoblash kerak. Bizda M 1 (- 1, 2) va H 1 (- 5, 5) nuqtalarning koordinatalari bor, shunda biz masofani topish formulasida almashtiramiz va shu natijani olamiz.

M 1 H 1 \u003d (- 5 - (- 1) 2 + (5 - 2) 2 \u003d 25 \u003d 5

Ikkinchi yechim.

Boshqa yo'l bilan hal qilish uchun chiziqning normal tenglamasini olish kerak. Normallashtiruvchi omilni hisoblang va tenglamaning ikkala tomonini 4 x - 3 y + 35 \u003d 0 ga ko'paytiring. Bundan shuni olamizki, normallashtiruvchi omil - 1 4 2 + (- 3) 2 \u003d - 1 5, va normal tenglama quyidagi shaklda bo'ladi - 1 5 4 x - 3 y + 35 \u003d - 1 5 0 ⇔ - 4 5 x + 3 5 y - 7 \u003d 0.

Hisoblash algoritmiga ko'ra, to'g'ri chiziqning normal tenglamasini olish va uni x \u003d - 1, y \u003d 2 qiymatlari bilan hisoblash kerak. Keyin biz bunga erishamiz

4 5 - 1 + 3 5 2 - 7 \u003d - 5

Demak, M 1 (- 1, 2) nuqta bilan berilgan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofa 4 x - 3 y + 35 \u003d 0 - 5 \u003d 5 qiymatga ega ekanligini topamiz.

Javob: 5 .

Bu usulda to'g'ri chiziqning normal tenglamasidan foydalanish muhimligini ko'rish mumkin, chunki bu usul eng qisqa. Ammo birinchi usul qulay, chunki u ko'proq hisoblash nuqtalariga ega bo'lsa-da, izchil va mantiqiydir.

2-misol

Tekislikda M 1 (8, 0) nuqta va y \u003d 1 2 x + 1 to'g'ri chiziqli O x y to'rtburchaklar koordinatalar tizimi mavjud. Berilgan nuqtadan to to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofani toping.

Qaror

Birinchi yechim berilgan tenglamani qiyalik bilan umumiy tenglamaga keltirishni anglatadi. Oddiylik uchun siz uni boshqacha qilishingiz mumkin.

Agar perpendikulyar chiziqlar yonbag'irlarining hosilasi 1 ga teng bo'lsa, u holda berilgan y \u003d 1 2 x + 1 ga to'g'ri keladigan chiziqning qiyaligi 2 ga teng. Endi M 1 (8, 0) koordinatalari bilan nuqta orqali o'tadigan to'g'ri chiziq tenglamasini olamiz. Bizda y - 0 \u003d - 2 (x - 8) ⇔ y \u003d - 2 x + 16 bo'ladi.

H 1 nuqtaning koordinatalarini topishga murojaat qilamiz, ya'ni y \u003d - 2 x + 16 va y \u003d 1 2 x + 1. Biz tenglamalar tizimini tuzamiz va quyidagilarga ega bo'lamiz:

y \u003d 1 2 x + 1 y \u003d - 2 x + 16 ⇔ y \u003d 1 2 x + 1 1 2 x + 1 \u003d - 2 x + 16 ⇔ y \u003d 1 2 x + 1 x \u003d 6 ⇔ ⇔ y \u003d 1 2 6 + 1 x \u003d 6 \u003d y \u003d 4 x \u003d 6 ⇒ H 1 (6, 4)

Bundan kelib chiqadiki, M 1 (8, 0) koordinatalari bilan y \u003d 1 2 x + 1 to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofa M 1 (8, 0) va H 1 (6, 4) koordinatalari bilan boshlang'ich va oxirgi nuqtadan masofaga tengdir. ... M 1 H 1 \u003d 6 - 8 2 + (4 - 0) 2 20 \u003d 2 5 ni hisoblaymiz va olamiz.

Ikkinchi usuldagi echim koeffitsientli tenglamadan normal shaklga o'tishdir. Ya'ni, biz y \u003d 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 \u003d 0 olamiz, keyin normallashtiruvchi omilning qiymati - 1 1 2 2 + (- 1) 2 \u003d - 2 5 bo'ladi. Bundan kelib chiqadiki, chiziqning normal tenglamasi - 2 5 1 2 x - y + 1 \u003d - 2 5 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 \u003d 0 bo'ladi. Keling, M 1 8, 0 nuqtadan formulaning to'g'ri chizig'iga - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 \u003d 0 ni hisoblab chiqamiz. Biz olamiz:

M 1 H 1 \u003d - 1 5 8 + 2 5 0 - 2 5 \u003d - 10 5 \u003d 2 5

Javob: 2 5 .

3-misol

M 1 (- 2, 4) koordinatalari bilan 2 x - 3 \u003d 0 va y + 1 \u003d 0 bo'lgan to'g'ri chiziqlar orasidagi masofani hisoblash kerak.

Qaror

2 x - 3 \u003d 0 to'g'ri chiziqning normal shakli tenglamasini olamiz:

2 x - 3 \u003d 0 ⇔ 1 2 2 x - 3 \u003d 1 2 0 ⇔ x - 3 2 \u003d 0

Keyin M 1 - 2, 4 nuqtadan x - 3 2 \u003d 0 to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofani hisoblashda davom etamiz. Biz olamiz:

M 1 H 1 \u003d - 2 - 3 2 \u003d 3 1 2

Y + 1 \u003d 0 to'g'ri chiziqning tenglamasi normallashtiruvchi omil -1 ga ega. Demak, tenglama formulani oladi - y - 1 \u003d 0. M 1 (- 2, 4) nuqtadan to'g'ri chiziqgacha - y - 1 \u003d 0 masofani hisoblashda davom etamiz. U - 4 - 1 \u003d 5 ga teng ekanligini aniqlaymiz.

Javob: 3 1 2 va 5.

Samolyotning berilgan nuqtasidan O x va O y koordinata o'qlariga masofani topishni batafsil ko'rib chiqing.

To'rtburchaklar koordinatalar tizimida O y o'qida to'liq bo'lmagan tenglama x \u003d 0, O x - y \u003d 0 shakllari bor. Koordinata o'qlari uchun tenglamalar normaldir, keyin siz M 1 x 1, y 1 koordinatalari bilan to'g'ri chiziqlargacha bo'lgan masofani topishingiz kerak. Bu M 1 H 1 \u003d x 1 va M 1 H 1 \u003d y 1 formulalari asosida amalga oshiriladi. Quyidagi rasmda ko'rib chiqing.

4-misol

M 1 (6, - 7) nuqtadan O x y tekisligida joylashgan koordinata chiziqlarigacha bo'lgan masofani toping.

Qaror

Y \u003d 0 tenglamasi O x to'g'ri chizig'iga tegishli ekan, formuladan foydalanib, M 1 dan berilgan koordinatalar yordamida bu to'g'ri chiziqgacha masofani topishingiz mumkin. Biz bu 6 \u003d 6 ni olamiz.

X \u003d 0 tenglama O y to'g'ri chizig'iga tegishli ekan, formuladan foydalanib, M 1 dan ushbu to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofani topishingiz mumkin. Keyin biz buni olamiz - 7 \u003d 7.

Javob:m 1 dan O x gacha bo'lgan masofa 6 ga teng, M 1 dan O y gacha 7 bo'ladi.

Uch o'lchovli fazoda M 1 (x 1, y 1, z 1) koordinatalari bo'lgan nuqta mavjud bo'lganda, A nuqtadan a chizig'igacha bo'lgan masofani topish kerak.

Fazoda joylashgan nuqtadan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofani hisoblash imkonini beradigan ikkita usulni ko'rib chiqing. Birinchi holda, M 1 nuqtadan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofani ko'rib chiqamiz, bu erda to'g'ri chiziqdagi nuqta H 1 deb nomlanadi va M 1 nuqtadan a to'g'ri chiziqqa chizilgan perpendikulyar asosdir. Ikkinchi holat bu tekislikning nuqtalarini parallelogrammning balandligi sifatida izlash kerakligini anglatadi.

Birinchi yo'l

Ta'rifdan biz to'g'ri chiziqda joylashgan M 1 nuqta orasidagi masofa a perpendikulyar M 1 H 1 uzunligini aniqlaymiz, shunda H 1 nuqtaning topilgan koordinatalari bilan M 1 (x 1, y 1, z 1) orasidagi masofani topamiz. ) va H 1 (x 1, y 1, z 1) formulaga asoslanib, M 1 H 1 \u003d x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2.

Butun yechim M 1 dan a chizig'igacha chizilgan perpendikulyar poydevor koordinatalarini topishga qaratilganligini aniqlaymiz. Bu quyidagicha amalga oshiriladi: H 1 - bu to'g'ri chiziq berilgan nuqta orqali o'tadigan tekislik bilan kesishadigan nuqta.

Demak, M 1 nuqtadan (x 1, y 1, z 1) kosmosdagi a chiziqgacha bo'lgan masofani aniqlash algoritmi bir nechta fikrlarni nazarda tutadi.

5-ta'rif

• to'g'ri chiziqqa perpendikulyar bo'lgan berilgan nuqtadan o'tgan tekislikning tenglamasi sifatida χ tekislikning tenglamasini tuzish;
• a va tekislikning kesishish nuqtasi bo'lgan H 1 nuqtaga tegishli koordinatalarni (x 2, y 2, z 2) aniqlash;
• m 1 H 1 \u003d x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 formulasidan foydalanib, nuqtadan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofani hisoblash.

Ikkinchi yo'l

Agar biz a to'g'ri chiziqqa ega bo'lsak, u holda a vektorini aniqlay olamiz a \u003d \u003d a x, a, z koordinatalari x 3, y 3, z 3 va a to'g'ri chiziqqa tegishli M 3 nuqtasi. M 1 (x 1, y 1) va M 3 x 3, y 3, z 3 nuqtalarining koordinatalarini hisobga olgan holda M 3 M 1 → ni hisoblashingiz mumkin:

M 3 M 1 → \u003d (x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3)

A → \u003d a x, a y, a ve M 3 M 1 → \u003d x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 ni M 3 nuqtadan keyinga qoldiring, ulang va parallelogramma shaklini oling. M 1 H 1 - bu parallelogrammning balandligi.

Quyidagi rasmda ko'rib chiqing.

Bizda balandligi M 1 H 1 kerakli masofa bo'lishi kerak, keyin uni formula bo'yicha topish kerak. Ya'ni, biz M 1 H 1 ni qidiramiz.

Keling, S harfi uchun parallelogramma maydonini aniqlaymiz, a → \u003d (a x, a y, a z) vektor yordamida M 3 M 1 → \u003d x 1 - x 3 formulasi yordamida topiladi. y 1 - y 3, z 1 - z 3. Maydoning formulasi S \u003d a → × M 3 M 1 →. Shuningdek, rasmning maydoni balandliklar bo'yicha uning tomonlarining uzunliklari ko'paytmasiga teng bo'lsa, biz S \u003d a → M 1 H 1 ni a \u003d \u003d ax 2 + ay 2 + az 2, bu vektor uzunligi a → \u003d (ax, ay, az), parallelogrammaning yon tomoniga teng. Demak, M 1 H 1 - bu nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofa. M 1 H 1 \u003d a → × M 3 M 1 → a → formulasi bilan topiladi.

M 1 (x 1, y 1, z 1) koordinatalari bilan nuqta orasidagi masofani to'g'ri tekislikdagi a bo'shliqdagi masofani topish uchun siz algoritmning bir necha bosqichlarini bajarishingiz kerak:

6-ta'rif

• a - a → \u003d (a x, a y, a z) to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektorini aniqlash;
• yo'nalish vektorining uzunligini hisoblash a → \u003d a x 2 + a y 2 + a z 2;
• a to'g'ri chiziqda joylashgan M 3 nuqtasiga tegishli x 3, y 3, z 3 koordinatalarini olish;
• vektorning koordinatalarini hisoblash M 3 M 1 →;
• a → (ax, ay, az) va M 3 M 1 → \u003d x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 sifatida → × M 3 M 1 → \u003d i → vektorlarning vektor mahsulotini topish. j → k → axayazx 1 - x 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3 a → × M 3 M 1 → formula bo'yicha uzunlikni olish uchun;
• nuqtadan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofani hisoblash M 1 H 1 \u003d a → × M 3 M 1 → a →.

Fazoda berilgan nuqtadan berilgan tekis chiziqgacha masofani topish masalalarini hal qilish

5-misol

M 1 2, - 4, - 1 koordinatalari bilan x + 1 2 \u003d y - 1 \u003d z + 5 5 nuqtadan masofani toping.

Qaror

Birinchi usul M 1 orqali o'tuvchi va perpendikulyar bo'lgan tekislikning tenglamasini yozishdan boshlanadi belgilangan joy... Biz shaklning ifodasini olamiz:

2 (x - 2) - 1 (y - (- 4)) + 5 (z - (- 1)) \u003d 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 \u003d 0

Shart bilan ko'rsatilgan chiziq bilan plane tekislik bilan kesishish nuqtasi bo'lgan H 1 nuqtaning koordinatalarini topish kerak. Kanonikadan kesishganga o'tishingiz kerak. Keyin quyidagi tenglamalar sistemasini olamiz:

x + 1 2 \u003d y - 1 \u003d z + 5 5 ⇔ - 1 (x + 1) \u003d 2 y 5 (x + 1) \u003d 2 (z + 5) 5 y \u003d - 1 (z + 5) ⇔ x + 2 y + 1 \u003d 0 5 x - 2 z - 5 \u003d 0 5 y + z + 5 \u003d 0 ⇔ x + 2 y + 1 \u003d 0 5 x - 2 z - 5 \u003d 0

X + 2 y + 1 \u003d 0 5 x - 2 z - 5 \u003d 0 2 x - y + 5 z - 3 \u003d 0 ⇔ x + 2 y \u003d - 1 5 x - 2 z \u003d 5 2 x - y tizimni hisoblash kerak. Kramer usuliga ko'ra + 5 z \u003d 3, shunda biz quyidagicha olamiz:

∆ \u003d 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 \u003d - 60 ∆ x \u003d - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 \u003d - 60 ⇔ x \u003d ∆ x ∆ \u003d - 60 - 60 \u003d 1 ∆ y \u003d 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 \u003d 60 ⇒ y \u003d ∆ y ∆ \u003d 60 - 60 \u003d - 1 ∆ z \u003d 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 \u003d 0 ⇒ z \u003d ∆ z ∆ \u003d 0 - 60 \u003d 0

Demak, bizda H 1 (1, - 1, 0).

M 1 H 1 \u003d 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 \u003d 11

Ikkinchi usul - koordinatalarni qidirishdan boshlash kanonik tenglama... Buning uchun fraktsiyaning nominatorlariga e'tibor berish kerak. Keyin a → \u003d 2, - 1, 5 - bu x + 1 2 \u003d y - 1 \u003d z + 5 5 yo'nalishining vektori. A → \u003d 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 \u003d 30 formulasi bilan uzunlikni hisoblash kerak.

X + 1 2 \u003d y - 1 \u003d z + 5 5 chizig'i M 3 (- 1, 0, - 5) nuqta bilan kesishgani aniq, shuning uchun bizda M 3 (- 1, 0, - 5) vektor mavjud. va M 1 2, - 4, - 1 nuqtasida uning oxiri M 3 M 1 → \u003d 3, - 4, 4 bo'ladi. A → \u003d (2, - 1, 5) va M 3 M 1 → \u003d (3, - 4, 4) vektor mahsulotini toping.

Biz → → M 3 M 1 → \u003d i → j → k → 2 - 1 5 3 - 4 4 \u003d - 4 i → + 15 j → - 8 k → + 20 i → - 8 shaklidagi ifodani olamiz. J → \u003d 16 i → + 7 j → - 5 k →

vektor mahsulotining uzunligi → × M 3 M 1 → \u003d 16 2 + 7 2 + - 5 2 \u003d 330 ekanligini aniqlaymiz.

To'g'ri chiziq uchun nuqtadan masofani hisoblash uchun formuladan foydalanish uchun bizda barcha ma'lumotlar mavjud, shuning uchun biz uni qo'llaymiz va quyidagilarni olamiz:

M 1 H 1 \u003d a → × M 3 M 1 → a → \u003d 330 30 \u003d 11

Javob: 11 .

Agar siz matnda xato ko'rsangiz, uni tanlang va Ctrl + Enter ni bosing

Nuqtadan tekislikka to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofani hisoblash uchun formulalar

Agar Ax + By + C \u003d 0 to'g'ri chiziqning tenglamasi berilgan bo'lsa, M (M x, M y) nuqtadan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofani quyidagi formuladan foydalanib topish mumkin.

Bir tekislikdan tekis chiziqgacha bo'lgan nuqtadan masofani hisoblash uchun misollar

1-misol.

3x + 4y - 6 \u003d 0 chiziq va M (-1, 3) nuqtalar orasidagi masofani toping.

Qaror. Formulada chiziq koeffitsientlarini va nuqta koordinatalarini o'zgartiring

Javob: bir nuqtadan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofa 0.6.

vektorga perpendikulyar bo'lgan nuqtalar orqali o'tuvchi tekislikning tenglamasi tekislikning umumiy tenglamasi

Berilgan tekislikka perpendikulyar bo'lgan nol bo'lmagan vektor deyiladi normal vektor (yoki, qisqasi, normal ) ushbu samolyot uchun

Koordinatalar maydoni (to'rtburchaklar koordinatalar tizimida) berilsin:

a) nuqta ;

b) nol bo'lmagan vektor (4.8-rasm, a).

Nuqtadan o'tgan tekislikning tenglamasini tuzish talab qilinadi vektorga perpendikulyar Isbotning oxiri.

Endi tekislikdagi to'g'ri chiziqning har xil tenglamalarini ko'rib chiqamiz.

1) tekislikning umumiy tenglamasiP .

Bu tenglamaning bir vaqtning o'zida kelib chiqishini anglatadi A, B va C 0 ga teng emas (sababini tushuntiring).

Nuqta samolyotga tegishli P faqat uning koordinatalari tekislik tenglamasini qanoatlantirsa. Imkoniyatlarga qarab A, B, C va Dtekislik P bir pozitsiyani egallaydi:

- tekislik koordinata tizimining kelib chiqishi orqali, - tekislik koordinata tizimining kelib chiqishi orqali o'tmaydi,

- tekislik o'qga parallel X,

X,

- tekislik o'qga parallel Y,

- tekislik o'qga parallel emas Y,

- tekislik o'qga parallel Z,

- tekislik o'qga parallel emas Z.

Ushbu gaplarni o'zingiz isbotlang.

Tenglama (6) osonlikcha (5) tenglamadan kelib chiqadi. Darhaqiqat, nuqta tekislikda yotsin P... Shunda uning koordinatalari (5) tenglamadan (7) ayiruvchi tenglamani qanoatlantiradi va atamalarni guruhlab, (6) tenglamani olamiz. Endi mos ravishda koordinatalari bo'lgan ikkita vektorni ko'rib chiqing. (6) formuladan kelib chiqadiki, ularning skalyar mahsuloti nolga teng. Shuning uchun vektor vektorga perpendikulyar bo'ladi. Oxirgi vektorning boshi va oxiri mos ravishda tekislikka tegishli bo'lgan nuqtalarda bo'ladi. P... Shuning uchun vektor tekislikka perpendikulyar bo'ladi P... Nuqtadan tekislikka masofa P, uning umumiy tenglamasi formula bo'yicha aniqlanadi Ushbu formulaning isboti nuqta va chiziq orasidagi masofani aniqlash uchun formulaning isbotiga mutlaqo o'xshashdir (2-rasmga qarang).
Shakl: 2. tekislik va to'g'ri chiziq orasidagi masofaning formulasini topishga.

Darhaqiqat, masofa d to'g'ri chiziq va tekislik o'rtasidagi

samolyotda yotadigan nuqta qayerda. Shunday qilib, 11-ma'ruzada bo'lgani kabi, yuqoridagi formuladan foydalaniladi. Agar normal vektorlari parallel bo'lsa, ikkita tekislik parallel bo'ladi. Bundan ikkita tekislikning parallelligi holatini olamiz - tekisliklarning umumiy tenglamalari koeffitsientlari. Ikki tekislik, agar ularning normal vektorlari perpendikulyar bo'lsa, perpendikulyar bo'ladi, demak, ikkita tekislikning perpendikulyarligi holatini, agar ularning umumiy tenglamalari ma'lum bo'lsa

Burchak f ikki tekislik orasidagi normal vektorlar orasidagi burchakka teng (3-rasmga qarang) va shuning uchun formulalar yordamida hisoblab chiqilishi mumkin.
Samolyotlar orasidagi burchakni aniqlash.

(11)

Nuqtadan tekislikka masofa va uni topish usullari

Nuqtadan masofa tekislik - bir tekislikdan perpendikulyar uzunlik tushdi. Nuqtadan samolyotgacha masofani topish uchun kamida ikkita usul mavjud: geometrik va algebraik.

Geometrik usul bilan avval siz perpendikulyar nuqtadan tekislikka qanday joylashganligini tushunishingiz kerak: ehtimol u biron bir qulay tekislikda yotadi, ba'zi qulay (yoki unchalik emas) uchburchaklardagi balandlikdir yoki ehtimol bu perpendikulyar ba'zi piramidadagi balandlikdir.

Ushbu birinchi va eng qiyin bosqichdan so'ng, vazifa bir nechta aniq planimetrik vazifalarga bo'linadi (ehtimol turli samolyotlarda).

Algebraik usulda Nuqtadan tekislikka masofani topish uchun siz koordinata tizimini kiritishingiz, nuqta koordinatalarini va tekislikning tenglamasini topishingiz kerak, so'ngra nuqtadan tekislikka masofa uchun formulani qo'llashingiz kerak.

OoooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooShuning uchun biz birinchi qismga o'tamiz, umid qilamanki, maqolaning oxirida men quvnoq fikrlar doirasini saqlab qolaman.

Ikki to'g'ri chiziqning nisbiy holati

Tomoshabinlar xor bilan birga kuylashganda. Ikkita to'g'ri chiziq mumkin:

1) gugurt;

2) parallel bo'ling:;

3) yoki bir nuqtada kesishgan:.

Dummies uchun yordam : iltimos, chorrahaning matematik belgisini eslang, u juda keng tarqalgan bo'ladi. Notation to'g'ri chiziq bir nuqtada to'g'ri chiziq bilan kesishishini anglatadi.

Ikki to'g'ri chiziqning nisbiy holatini qanday aniqlash mumkin?

Birinchi vaziyatdan boshlaylik:

Ikkita to'g'ri chiziqlar, agar ularning tegishli koeffitsientlari mutanosib bo'lsa va faqat mos keladi, ya'ni shunday "lambda" borki, ular tengliklarga ega

To'g'ri chiziqlarni ko'rib chiqing va tegishli koeffitsientlardan uchta tenglama tuzing:. Bu har bir tenglamadan kelib chiqadi, shuning uchun bu chiziqlar mos keladi.

Darhaqiqat, agar tenglamaning barcha koeffitsientlari -1 ga ko'paytiring (o'zgartirish belgilari) va tenglamaning barcha koeffitsientlarini 2 ga kamaytiring, keyin siz tenglamani olasiz:.

Ikkinchi holat, chiziqlar parallel bo'lganda:

Ikkala to'g'ri chiziqlar parallel bo'ladi, agar o'zgaruvchilar uchun koeffitsientlar mutanosib bo'lsa: lekin.

Misol tariqasida ikkita qatorni ko'rib chiqing. O'zgaruvchilar uchun mos keladigan koeffitsientlarning mutanosibligini tekshiramiz:

Biroq, bu aniq.

Uchinchi holat, chiziqlar kesishganda:

Ikkita to'g'ri chiziqlar kesishadi, agar o'zgaruvchilar uchun koeffitsientlar mutanosib bo'lmasa, ya'ni tengliklarni amalga oshirish uchun bunday "lambda" qiymati YO'Q

Shunday qilib, to'g'ri chiziqlar uchun biz tizimni tuzamiz:

Birinchi tenglamadan va ikkinchi tenglamadan quyidagilar keladi: tizim mos kelmaydi (echimlar yo'q). Shunday qilib, o'zgaruvchilarning koeffitsientlari mutanosib emas.

Xulosa: chiziqlar kesishadi

Amaliy muammolarda siz ko'rib chiqilgan echim sxemasidan foydalanishingiz mumkin. Aytgancha, biz darsda ko'rib chiqqan vektorlarni bir-biriga yaqinligini tekshirish algoritmiga juda o'xshash Vektorlarning chiziqli (bo'lmagan) bog'liqligi tushunchasi. Vektorli asos... Ammo yanada madaniyatli qadoqlash mavjud:

1-misol

To'g'ri chiziqlarning nisbiy holatini bilib oling:

Qaror to'g'ri chiziqlarning yo'nalish vektorlarini o'rganish asosida:

a) Tenglamalardan to'g'ri chiziqlarning yo'nalish vektorlarini topamiz: .

, shuning uchun vektorlar bir-biriga to'g'ri kelmaydi va chiziqlar kesishadi.

Shunchaki, men chorrahada ko'rsatgichlar bilan tosh qo'yaman:

Qolganlar tosh ustiga sakrab tushib, to'g'ri Kashchei tomon yurib, o'lmaslar \u003d)

b) to'g'ri chiziqlarning yo'nalish vektorlarini toping:

Chiziqlar bir xil yo'nalishdagi vektorga ega, ya'ni ular parallel yoki bir-biriga mos keladi. Bu erda determinantni hisoblashning hojati yo'q.

Ma'lumki, noma'lumlar uchun koeffitsientlar mutanosibdir.

Tenglik to'g'ri yoki yo'qligini bilib olamiz:

Shunday qilib,

c) to'g'ri chiziqlarning yo'nalish vektorlarini toping:

Ushbu vektorlarning koordinatalaridan tashkil topgan determinantni hisoblaylik:
shuning uchun yo'nalish vektorlari bir-biriga to'g'ri keladi. Chiziqlar parallel yoki mos keladi.

"Lambda" mutanosiblik koeffitsientini to'g'ridan-to'g'ri kollinear yo'nalish vektorlarining nisbati orqali ko'rish mumkin. Biroq, uni tenglamalarning koeffitsientlari orqali ham topish mumkin: .

Endi tenglik to'g'ri yoki yo'qligini bilib olaylik. Ikkala bepul shart ham nolga teng, shuning uchun:

Olingan qiymat ushbu tenglamani qondiradi (har qanday raqam odatda uni qondiradi).

Shunday qilib, chiziqlar bir-biriga mos keladi.

Javob bering:

Tez orada siz og'zaki ko'rib chiqilgan muammoni bir necha soniya ichida qanday hal qilishni bilib olasiz (yoki hatto bilib olgansiz). Shu munosabat bilan, men mustaqil echim uchun biron bir narsani taklif qilish uchun hech qanday sabab ko'rmayapman, geometrik poydevorga yana bir muhim g'ishtni qo'yish yaxshiroqdir:

Berilganga parallel ravishda to'g'ri chiziq qanday quriladi?

Ushbu oddiy vazifani bilmaslik uchun, Qaroqchi bulbuli qattiq jazolaydi.

2-misol

To'g'ri chiziq tenglama bilan berilgan. Nuqtadan o'tadigan parallel chiziqni tenglashtiring.

Qaror: Noma'lum to'g'ridan-to'g'ri xatni belgilaymiz. Vaziyat u haqida nima deydi? To'g'ri chiziq nuqta orqali o'tadi. Va agar to'g'ri chiziqlar parallel bo'lsa, demak, "tse" to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektori "de" to'g'ri chiziqni qurish uchun ham mos keladi.

Yo'nalish vektorini tenglamadan chiqaramiz:

Javob bering:

Misol geometriyasi oddiy ko'rinadi:

Tahliliy tekshirish quyidagi bosqichlardan iborat:

1) To'g'ri chiziqlar bir xil yo'nalishdagi vektorga ega ekanligini tekshiring (agar to'g'ri chiziq tenglamasi to'g'ri soddalashtirilmasa, vektorlar bir-biriga to'g'ri keladi).

2) Nuqtaning olingan tenglamaga mos kelishini tekshiring.

Ko'p hollarda tahliliy sharhni og'zaki bajarish oson. Ikkala tenglamani ko'rib chiqing va ko'pchiligingiz to'g'ri chiziqlarning parallelligini hech qanday chizmalarsiz tezda aniqlaydilar.

Bugungi kunda o'z-o'zini hal qilish uchun misollar ijodiy bo'ladi. Chunki siz hali ham Baba Yaga bilan raqobatlashishingiz kerak va u, bilasizmi, har xil jumboqlarni yaxshi ko'radi.

3-misol

Agar nuqta orqali to'g'ri chiziqqa parallel bo'lsa, to'g'ri chiziq tenglamasini tuzing

Bu erda oqilona va juda oqilona echim yo'q. Qisqa usul - dars oxirida.

Biz parallel chiziqlar bilan biroz ishladik va keyinchalik ularga qaytamiz. To'g'ri chiziqlarni bir-biriga to'g'ri keltirish holati unchalik qiziq emas, shuning uchun sizga ma'lum bo'lgan muammoni ko'rib chiqing maktab o'quv dasturi:

Ikki chiziqning kesishish nuqtasini qanday topish mumkin?

Agar to'g'ri bo'lsa bir nuqtada kesishadi, keyin uning koordinatalari echim bo'ladi chiziqli tenglamalar tizimlari

Chiziqlarning kesishish nuqtasini qanday topish mumkin? Tizimni hal qiling.

Siz uchun juda ko'p ikki noma'lum ikkita chiziqli tenglama tizimining geometrik ma'nosi Ikki kesishgan (ko'pincha) tekislikda.

4-misol

Chiziqlarning kesishish nuqtasini toping

Qaror: Yechishning ikki yo'li mavjud - grafik va analitik.

Grafik usul shunchaki ma'lumotlar chizig'ini chizish va to'g'ridan-to'g'ri chizmadan kesishish nuqtasini topishdir:

Mana bizning fikrimiz:. Tekshirish uchun siz uning koordinatalarini to'g'ri chiziqning har bir tenglamasiga almashtirishingiz kerak, ular ikkalasiga ham, u erga ham to'g'ri kelishi kerak. Boshqacha qilib aytganda, nuqta koordinatalari tizimning echimi. Asosan, biz echishning grafik usulini ko'rib chiqdik chiziqli tenglamalar tizimlari ikkita tenglama, ikkita noma'lum.

Grafik usul, shubhasiz, yomon emas, lekin sezilarli kamchiliklar mavjud. Yo'q, gap shundaki, ettinchi sinf o'quvchilari shunday qarorga kelishgan emas, nuqta shundaki, to'g'ri va EXACT rasmini olish uchun vaqt kerak bo'ladi. Bundan tashqari, ba'zi bir to'g'ri chiziqlarni qurish juda oson emas va kesishish nuqtasi daftar varag'ining tashqarisidagi o'ttiz qirollikda joylashgan bo'lishi mumkin.

Shuning uchun analitik usul yordamida kesishish nuqtasini izlash maqsadga muvofiqdir. Tizimni hal qilaylik:

Tizimni echish uchun davriy ravishda tenglamalarni qo'shish usuli ishlatilgan. Tegishli ko'nikmalarni shakllantirish uchun darsga tashrif buyuring. Tenglamalar tizimini qanday echish kerak?

Javob bering:

Tekshiruv arzimasdir - kesishish nuqtasining koordinatalari tizimdagi barcha tenglamalarni qondirishi kerak.

5-misol

Agar chiziqlar kesishsa, ularning kesishish nuqtasini toping.

Bu "do-it-o'zingiz" yechimi uchun namuna. Vazifani bir necha bosqichga bo'lish qulay. Vaziyat tahlili shuni talab qiladi:
1) To'g'ri chiziqning tenglamasini tuzing.
2) To'g'ri chiziqning tenglamasini tuzing.
3) To'g'ri chiziqlarning nisbiy holatini bilib oling.
4) Agar chiziqlar kesishsa, u holda kesishish nuqtasini toping.

Harakatlar algoritmini ishlab chiqish ko'plab geometrik muammolar uchun xosdir va men bu haqda bir necha bor to'xtalaman.

To'liq echim va darslikning oxiridagi javob:

Bir juft poyabzal hali eskirmagan, chunki darsning ikkinchi bo'limiga o'tdik:

Perpendikulyar tekis chiziqlar. Nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofa.
To'g'ri chiziqlar orasidagi burchak

Keling, odatiy va juda muhim vazifadan boshlaylik. Birinchi qismda biz unga parallel ravishda qanday qilib to'g'ri chiziq hosil qilishni bilib oldik va endi tovuq oyoqlarida kulba 90 darajaga aylanadi:

Berilganga perpendikulyar bo'lgan chiziqni qanday qurish kerak?

6-misol

To'g'ri chiziq tenglama bilan berilgan. Bir nuqta orqali perpendikulyar chiziqni tenglashtiring.

Qaror: Shart bilan, bu ma'lum. To'g'ri chiziqning yo'nalish vektorini topish yaxshi bo'lar edi. Chiziqlar perpendikulyar bo'lganligi sababli, hiyla oddiy:

Tenglamadan normal vektorni "olib tashlang": bu to'g'ri chiziqning yo'nalishi vektori bo'ladi.

Nuqtalar va yo'nalish vektorlari bo'yicha to'g'ri chiziq tenglamasini tuzamiz:

Javob bering:

Keling, geometrik eskizni kengaytiramiz:

Hmmm ... to'q sariq osmon, to'q sariq dengiz, to'q sariq tuya.

Yechimni analitik tekshirish:

1) Yo'nalish vektorlarini tenglamalardan chiqarib oling va yordami bilan vektorlarning nuqta mahsuloti to'g'ri chiziqlar chindan ham perpendikulyar ekanligi to'g'risida xulosaga kelamiz:.

Aytgancha, siz oddiy vektorlardan foydalanishingiz mumkin, bundan ham osonroq.

2) Nuqtaning olingan tenglamaga mos kelishini tekshiring .

Tekshiruvni yana og'zaki bajarish oson.

7-misol

Agar tenglama ma'lum bo'lsa, perpendikulyar chiziqlarning kesishish nuqtasini toping va nuqta.

Bu "do-it-o'zingiz" yechimi uchun namuna. Vazifada bir nechta harakatlar mavjud, shuning uchun echim nuqtasini nuqta bo'yicha chizish qulay.

Bizning qiziqarli sayohatimiz davom etadi:

Nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofa

Oldimizda daryoning to'g'ri chizig'i bor va bizning vazifamiz unga eng qisqa yo'l bilan erishish. Hech qanday to'siq yo'q va eng maqbul yo'nalish perpendikulyar bo'ylab harakatlanish bo'ladi. Ya'ni, bir nuqtadan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofa - perpendikulyar chiziqning uzunligi.

Geometriyada masofa an'anaviy ravishda yunoncha "ro" harfi bilan belgilanadi, masalan: - "em" nuqtasidan "de" to'g'ri chizig'igacha bo'lgan masofa.

Nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofa formula bilan ifodalanadi

8-misol

Nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofani toping

Qaror: sizga kerak bo'lgan narsa - raqamlarni ehtiyotkorlik bilan formulaga kiritish va hisoblarni bajarish.

Javob bering:

Chizimni bajaramiz:

Nuqtadan topilgan chiziqgacha bo'lgan masofa qizil chiziqning uzunligiga to'g'ri keladi. Agar siz 1 dona shkalada katakli qog'ozga rasm chizsangiz. \u003d 1 sm (2 katak), keyin masofani oddiy o'lchagich bilan o'lchash mumkin.

Xuddi shu reja uchun boshqa vazifani ko'rib chiqing:

Vazifa to'g'ri chiziqqa nisbatan nosimmetrik bo'lgan nuqtaning koordinatalarini topishdir ... Men harakatlarni o'zingiz bajarishni taklif qilaman, ammo men oraliq natijalar bilan echim algoritmini bayon qilaman:

1) Chiziqqa perpendikulyar bo'lgan chiziqni toping.

2) Chiziqlarning kesishish nuqtasini toping: .

Ikkala harakat ham ushbu darsda batafsil yoritilgan.

3) nuqta - chiziq segmentining o'rta nuqtasi. Biz o'rtaning va uchining birining koordinatalarini bilamiz. Muallif: o'rta nuqta koordinatalari uchun formulalar topamiz.

Masofa ham 2,2 birlik ekanligini tekshirish ortiqcha bo'lmaydi.

Hisoblashda bu erda qiyinchiliklar paydo bo'lishi mumkin, ammo minorada oddiy kasrlarni sanashga imkon beradigan mikro kalkulyator yordam beradi. Takroran maslahat beraman, maslahat beraman va yana.

Ikki parallel chiziqlar orasidagi masofani qanday topish mumkin?

9-misol

Ikki parallel chiziqlar orasidagi masofani toping

Bu mustaqil echim uchun yana bir misol. Sizga bir oz maslahat beraman: uni hal qilishning cheksiz ko'p usullari mavjud. Dars oxirida xafagarchilikni boshdan kechirish, lekin o'zingiz uchun taxmin qilishni sinab ko'rish yaxshiroq, menimcha, sizning zakovatingiz juda yaxshi tarqalib ketdi.

Ikki to'g'ri chiziq orasidagi burchak

Har bir burchak - bu murabbo:


Geometriyada ikkita to'g'ri chiziqlar orasidagi burchak SMALLEST burchagi sifatida olinadi, undan avtomatik ravishda hech narsa bo'lolmaydi. Rasmda qizil yoy bilan ko'rsatilgan burchak kesishgan to'g'ri chiziqlar orasidagi burchak deb hisoblanmaydi. Va uning "yashil" qo'shnisi shunday deb hisoblanadi yoki aksincha yo'naltirilgan "Qizil" burchagi.

Agar to'g'ri chiziqlar perpendikulyar bo'lsa, unda 4 burchakdan istalganini ular orasidagi burchak sifatida olish mumkin.

Burchaklar qanday farq qiladi? Yo'nalish. Birinchidan, burchakka "o'tish" yo'nalishi asosiy ahamiyatga ega. Ikkinchidan, salbiy yo'naltirilgan burchak minus belgisi bilan yoziladi, masalan, agar bo'lsa.

Buni nega aytdim? Ko'rinishidan, siz odatdagi burchak tushunchasiga murojaat qilishingiz mumkin. Haqiqat shundaki, biz burchaklarni topadigan formulalarda osongina salbiy natijaga erishishingiz mumkin va bu sizni ajablantirmasligi kerak. Minus belgisi bo'lgan burchak yomonroq emas va juda o'ziga xos geometrik ma'noga ega. Rasmda, salbiy burchak uchun, uning yo'nalishini strelka bilan ko'rsatganingizga ishonch hosil qiling (soat yo'nalishi bo'yicha).

Ikki to'g'ri chiziq orasidagi burchakni qanday topish mumkin? Ikkita ishlaydigan formulalar mavjud:

10-misol

To'g'ri chiziqlar orasidagi burchakni toping

Qaror va Birinchi usul

Umumiy holda tenglamalar bilan berilgan ikkita to'g'ri chiziqni ko'rib chiqing:

Agar to'g'ri bo'lsa perpendikulyar emaskeyin yo'naltirilgan ularning orasidagi burchakni quyidagi formula yordamida hisoblash mumkin:

Keling, denominatorga diqqat bilan qaraylik - bu aniq skalyar mahsulot to'g'ri chiziqlarning yo'naltirilgan vektorlari:

Agar bo'lsa, unda formulaning mohiyati yo'qoladi va vektorlar ortogonal bo'ladi va to'g'ri chiziqlar perpendikulyar bo'ladi. Shuning uchun formulada to'g'ri chiziqlarning perpendikulyar bo'lmaganligi haqida rezervatsiya qilingan.

Yuqorida aytilganlarga asoslanib, echimni ikki bosqichda tashkil etish qulay:

1) To'g'ri chiziqlarning yo'nalish vektorlarining skalyar hosilasini hisoblang:
, shuning uchun to'g'ri chiziqlar perpendikulyar emas.

2) To'g'ri chiziqlar orasidagi burchak quyidagi formula bilan topiladi:

Yordamida teskari funksiya burchakni o'zi topish oson. Bunday holda biz arktangentning g'alati xususiyatidan foydalanamiz (qarang). Elementar funktsiyalarning grafigi va xususiyatlari):

Javob bering:

Javobda biz aniq qiymatni, shuningdek, kalkulyator yordamida hisoblangan taxminiy qiymatni (iloji boricha daraja va radian bilan) ko'rsatamiz.

Xo'sh, minus, shuning uchun minus, bu yaxshi. Mana geometrik rasm:

Burchak salbiy yo'nalishga aylanganligi ajablanarli emas, chunki muammoning bayonida birinchi raqam to'g'ri chiziq bo'lib, burchakning "burish" u bilan boshlangan.

Agar chindan ham ijobiy burchakka ega bo'lishni istasangiz, to'g'ri chiziqlarni almashtirishingiz kerak, ya'ni ikkinchi tenglamadan koeffitsientlarni oling , va koeffitsientlar birinchi tenglamadan olinadi. Qisqasi, siz to'g'ri chiziq bilan boshlashingiz kerak .

Nuqtadan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofa - bu nuqtadan to'g'ri chiziqqa tushgan perpendikulyar uzunlik. Tasviriy geometriyada quyidagi algoritm yordamida grafik asosida aniqlanadi.

Algoritm

1. To'g'ri chiziq har qanday proektsion tekislikka parallel ravishda joylashadigan joyga o'tkaziladi. Buning uchun ortogonal proektsiyalarni o'zgartirish usullari qo'llaniladi.
2. Bir nuqtadan perpendikulyar to'g'ri chiziqqa tortiladi. Ushbu qurilish proektsion teoremaga asoslanadi to'g'ri burchak.
3. Perpendikulyar uzunlik uning proektsiyalarini o'zgartirish yoki to'g'ri uchburchak usuli yordamida aniqlanadi.

Quyidagi rasmda CD segmentida aniqlangan M va b chiziqlarining murakkab chizilgani ko'rsatilgan. Ularning orasidagi masofani topish talab qilinadi.

Bizning algoritmimizga ko'ra, birinchi narsa - chiziqni proektsion tekislikka parallel ravishda siljitish. O'zgarishlardan keyin nuqta va chiziq orasidagi haqiqiy masofa o'zgarmasligi kerakligini tushunish muhimdir. Shuning uchun samolyotlarni almashtirish usulini ishlatish qulaydir, bu kosmosda harakatlanuvchi raqamlarni o'z ichiga olmaydi.

Qurilishning birinchi bosqichi natijalari quyida keltirilgan. Rasmda b 4 ga parallel ravishda qo'shimcha frontal tekislikning qanday joylashtirilganligi ko'rsatilgan. Yangi tizimda (P 1, P 4) C "" 1, D "" 1, M "" 1 nuqtalari X o'qidan 1 C masofada bir xil masofada joylashgan "", D "", M "" o'qdan. X.

Algoritmning ikkinchi qismini bajarib, M "" 1 dan perpendikulyar M "" 1 N "" 1 to'g'ri chiziqqa b "" 1 tushiramiz, chunki b va MN o'rtasidagi MNDning to'g'ri burchagi P 4 tekisligiga to'liq hajmda proektsiyalanadi. Aloqa liniyasida biz "N" nuqtaning holatini aniqlaymiz va MN segmentining M "N" proektsiyasini bajaramiz.

Yakuniy bosqichda MN segmentining qiymatini uning M "N" va M "" 1 N "" 1 proektsiyalari bo'yicha aniqlash kerak. Buning uchun biz quramiz o'ng uchburchak M "" 1 N "" 1 N 0, bunda N "" 1 N 0 oyog'i farqga teng (Y M 1 - Y N 1) M "va N" nuqtalarini X 1 o'qidan olib tashlash. M uchburchagi M "" 1 N 0 gipotenuzasining uzunligi "1 N" "1 N 0 M dan b gacha bo'lgan masofaga to'g'ri keladi.

Ikkinchi yechim

• CDga parallel ravishda biz P 4 yangi frontal tekisligini taqdim etamiz. U P 1 ni X 1 o'qi va X 1 "C "D" bilan kesishadi. Samolyotlarni almashtirish usuliga muvofiq, rasmda ko'rsatilgandek C "" 1, D "" 1 va M "" 1 nuqtalarining proektsiyalarini aniqlaymiz.
• C "" 1 D "" 1 ga perpendikulyar ravishda biz qo'shimcha g 5 gorizontal tekislikni quramiz, uning ustiga b tekis chiziq C "2 \u003d b" 2 nuqtaga proektsiyalanadi.
• M nuqta va b chizig'i orasidagi masofa qizil rang bilan belgilangan M "2 C" 2 segmentining uzunligi bilan aniqlanadi.

O'xshash vazifalar:

155 *. AB chizig'ining haqiqiy holatini umumiy holatda aniqlang (153-rasm, a).

Qaror. Ma'lumki, har qanday tekislikda tekis chiziq kesimining proektsiyasi, agar u ushbu tekislikka parallel bo'lsa, segmentning o'zi bilan tengdir (chizilgan shkalasini hisobga olgan holda).

(153-rasm, b). Bundan kelib chiqadiki, chizilgan rasmni o'zgartirib, kvadratning ushbu segmentining parallelizmiga erishish kerak. V yoki pl. V yoki H sistemasini plga perpendikulyar bo'lgan boshqa tekislik bilan to'ldiring. V yoki to pl. H va ayni paytda ushbu segmentga parallel.

Shaklda 153 da, plaga perpendikulyar bo'lgan S qo'shimcha tekislikning kiritilishi ko'rsatilgan. H va AB segmentiga parallel.

A s b sektsiyaning proektsiyasi AB segmentining tabiiy qiymatiga teng.

Shaklda 153, d yana bir texnikani ko'rsatadi: AB segment B nuqtadan o'tib, plaga perpendikulyar bo'lgan to'g'ri chiziq atrofida aylanadi. H, parallel holatga

pl. V. Bu holda B nuqtasi joyida qoladi va A nuqta A 1 o'rnini egallaydi. Ufq yangi pozitsiyada. proektsiyasi a 1 b || x o'qi. A "1 b" proektsiyasi AB segmentining tabiiy qiymatiga teng.

156. SABCD piramidasi berilgan (154-rasm). Proektsion tekisliklarni o'zgartirish usuli va BS va DS qirralarini burish usulidan foydalanib, AS va CS piramidasi qirralarining haqiqiy hajmini aniqlang va kvadratga perpendikulyar bo'lgan aylanish o'qini oling. H

157 *. A nuqtadan miloddan avvalgi tekis chiziqgacha bo'lgan masofani aniqlang (155-rasm, a).

Qaror. Nuqtadan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofa bir nuqtadan to'g'ri chiziqqa tortilgan perpendikulyar segment bilan o'lchanadi.

Agar to'g'ri chiziq har qanday tekislikka perpendikulyar bo'lsa (155.6-rasm), u holda nuqtadan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofa nuqtaning proektsiyasi va orasidagi masofa bilan o'lchanadi. nuqta proektsiyasi to'g'ri chiziq. Agar to'g'ri chiziq V, H tizimida umumiy pozitsiyani egallasa, proektsion tekisliklarni o'zgartirib, bir nuqtadan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofani aniqlash uchun V, H tizimiga ikkita qo'shimcha tekislikni kiritish kerak.

Birinchidan (155-rasm, c) biz pl ga kiramiz. S BC ga parallel (yangi S / H o'qi bc proektsiyasiga parallel) va b s c s va s sektsiyalarini tuzing. Keyin (155-rasm, d) biz yana bir plni tanishtiramiz. BC chizig'iga perpendikulyar (yangi T / S o'qi b s c siga perpendikulyar). Biz chiziq va nuqta proektsiyalarini quramiz - t (b t) va a t bilan. A va c t (b t) nuqtalar orasidagi masofa A nuqtadan BC chizig'igacha bo'lgan masofaga teng.

Shaklda 155e, xuddi shu vazifa parallel harakat usuli deb ataladigan o'z shaklidagi aylanish usuli yordamida bajariladi. Birinchidan, BC to'g'ri chiziq va A nuqta, ularning o'zaro pozitsiyasini o'zgartirmasdan, pl (perpendikulyar) tekis chiziq atrofida aylaning. H, miloddan avvalgi chiziq kvadratga parallel bo'lishi uchun. V. Bu A, B, C tekisliklarni kvadratga parallel ravishda harakatlanadigan nuqtalarga tengdir. H. bu holda, ufq. Berilgan tizimning proektsiyasi (BC + A) kattalik yoki konfiguratsiyada ham o'zgarmaydi, faqat uning x o'qiga nisbatan pozitsiyasi o'zgaradi. Biz ufqni joylashtiramiz. BC to'g'ri chiziqning x o'qiga parallel ravishda proektsiyasi (b 1 c 1 holati) va a 1 proektsiyasini aniqlang, c 1 1 1 \u003d c-1 va a 1 1 1 \u003d a-1 va a 1 1 1 ⊥ c 1 1 1. X o'qiga parallel ravishda b "b" 1, a "a" 1, c "c" to'g'ri chiziqlarni chizamiz, ularning old qismini topamiz. b proektsiyasi b "1, a" 1, c "1. Keyinchalik, B 1, C 1 va A 1 nuqtalarini V kvadratiga parallel ravishda (shuningdek, ularning nisbiy pozitsiyalarini o'zgartirmasdan) B 2 C 2 get olish uchun qilamiz. kvadrat H. Bu holda to'g'ri chiziqning proektsiyasi perpendikulyar bo'ladi x, b o'qlari 2 c "2 \u003d b" 1 c "1 va proektsiyani qurish uchun" 2, b "2 2" 2 \u003d b "1 2" 1, 2 "a" 2 ⊥ b "2 c" 2 chizamiz va keyinroq qoldiring. a "2 2" 2 \u003d a "1 2" 1. Endi 1 dan 2 gacha va 1 dan 2 gacha bo'lgan vaqtdan keyin || x 1da biz b 2 va 2 bilan proektsiyalarni olamiz va A nuqtadan BC chizig'igacha kerakli masofani olamiz. A nuqtadan BC gacha bo'lgan tekislikni A tekisligi va BC chizig'i bilan ushbu tekislikning gorizontal atrofida T || holatiga burab, aniqlash mumkin. pl. H (155-rasm, f).

A nuqtasi va miloddan avvalgi tekis chizig'i bilan o'rnatilgan tekislikda A-1 gorizontal chiziqni chizing (155-rasm, g) va B nuqtani uning atrofida aylantiring, B nuqtasi kvadratga o'tadi. R (rasmda R h izi bilan berilgan), A-1 ga perpendikulyar; O nuqtada B nuqtaning aylanish markazi bo'lib, endi biz VO aylanish radiusining haqiqiy qiymatini aniqlaymiz (155-rasm, c). Kerakli holatda, ya'ni pl qachon. A nuqtasi va BC chizig'i bilan aniqlangan T, || bo'ladi pl. H, B nuqtasi R h Ob-n masofasida O nuqtadan chiqib ketadi (xuddi shu yo'lda R h bo'lishi mumkin, ammo O tomonning boshqa tomonida). B 1 nuqtasi - ufq. fazoda B nuqtaga ko'chirilgandan keyin B nuqtaning proektsiyasi, A nuqtasi va BC chizig'i bilan aniqlangan tekislik T pozitsiyasini olganida.

(155-rasm, i) b 1 1 tekis chiziqni chizib, ufqni olamiz. to'g'ri joylashgan chiziqning proektsiyasi, allaqachon joylashgan || pl. A bilan bir tekislikda H, bu holatda a dan b 1 1 gacha bo'lgan masofa kerakli masofaga teng l. Berilgan elementlar yotgan P tekislikni pl bilan birlashtirish mumkin. H (155-rasm, j), burama pl. Uning atrofidagi ufq. iz. Miloddan avval A nuqtadan va tekis chiziqdan BC va A-1 to'g'ri chiziqlarni belgilashga o'tishda (155-rasm, l) biz bu to'g'ri chiziqlarning izlarini topamiz va P ϑ va P h izlarini chizamiz. Biz quramiz (155-rasm, m) pl bilan birlashtirilgan. Old tomonning H holati. iz - P ϑ0.

A nuqtasi orqali ufqni chizing. frontal proektsiyalash; tekislangan frontal R h ϑ0 ga parallel ravishda R h yo'ldagi 2-nuqta orqali o'tadi. A 0 nuqtasi - pl bilan birlashtirilgan. H - A nuqtaning pozitsiyasi. Shunga o'xshab B nuqtani ham topamiz. To'g'ridan-to'g'ri quyosh pl bilan birlashtirilgan. H holati B 0 va m nuqtadan o'tadi (gorizontal chiziq izi).

A 0 nuqtadan B 0 C 0 chizig'igacha bo'lgan masofa kerakli l masofaga teng.

Belgilangan qurilishni P h faqat bitta izni topib bajarishingiz mumkin (155-rasm, n va o rasmlar). Butun qurilish gorizontal atrofida aylanishga o'xshaydi (155-rasm, g, c, i): R h izi maydonning kontur chiziqlaridan biridir. R

Ushbu muammoni hal qilish uchun berilgan chizmani o'zgartirish usullaridan gorizontal yoki frontal atrofida aylanish usuli afzal ko'riladi.

158. Berilgan SABC piramidasi (156-rasm). Masofalarni aniqlang:

a) poydevorning yuqorisidan B tomon tomonga parallel harakat bilan;

b) S piramidasining tepasidan gorizontal atrofida aylanib, poydevorning miloddan avvalgi va AB tomonlariga;

c) proektsion tekisliklarni o'zgartirib, yuqoridan S bazaning AC tomoniga.

159. Prizma berilgan (157-rasm). Masofalarni aniqlang:

a) proektsion tekisliklarni o'zgartirish orqali AD va CF qirralari o'rtasida;

b) BE va C qovurg'alari o'rtasida frontal atrofida aylanish orqali;

c) AD va BE qirralari o'rtasida parallel harakat bilan.

160. To'rtburchak ABCD-ning haqiqiy hajmini (158-rasm) pl bilan tekislab aniqlang. H. Faqat gorizontal tekislik izidan foydalaning.

161 *. AB va CD kesishgan chiziqlar orasidagi masofani aniqlang (159-rasm, a) va ularga perpendikulyar bo'lgan proektsiyalarni tuzing.

Qaror. Kesish chiziqlari orasidagi masofa ikkala chiziqqa perpendikulyar bo'lgan segment (MN) bilan o'lchanadi (159-rasm, b). Shubhasiz, agar to'g'ri chiziqlardan biri biron bir kvadratga perpendikulyar joylashtirilgan bo'lsa. T keyin

har ikki chiziqqa perpendikulyar bo'lgan MN segment kvadratga parallel bo'ladi. Ushbu tekislikdagi T proektsiyasi kerakli masofani ko'rsatadi. Maydondagi to'g'ri burchakli MN n AB proektsiyasi. T, shuningdek, m t n t va t b t o'rtasidagi to'g'ri burchak, chunki AMN to'g'ri burchakning tomonlaridan biri, ya'ni MN. parallel ravishda pl. T.

Shaklda 159, c va d kerakli masofa l proektsion tekisliklarni o'zgartirish usuli bilan aniqlanadi. Birinchidan, biz qo'shimcha kvadratni taqdim etamiz. proektsiyalari S, plaga perpendikulyar H va to'g'ri chiziqli CDga parallel (159-rasm, c). Keyin yana bir qo'shimcha maydonni tanishtiramiz. T, plga perpendikulyar S va bir xil to'g'ri chiziqli CDga perpendikulyar (159-rasm, d). Endi m t n t nuqtadan c t (d t) proektsiyasiga a t b t nuqtadan chizib, umumiy perpendikulyar proektsiyani tuzishingiz mumkin. M t va n t nuqtalar bu perpendikulyar AB va CD to'g'ri chiziqlar bilan kesishgan nuqtalarning proektsiyalari. M t nuqtada (159-rasm, e) m s s s sida topamiz: m s n s proektsiyasi T / S o'qiga parallel bo'lishi kerak. Keyinchalik m s va n s orqali ab va cd va m "n" va "b" va "d" harflari bo'yicha m va n ni topamiz.

Shaklda 159, c bu muammoning echimini parallel harakatlar usuli bilan ko'rsatadi. Birinchidan, kvadratga parallel ravishda to'g'ri CD qo'ying. V: proektsiyalash c 1 d 1 || x. Keyinchalik, biz CD va AB chiziqlarini C 1 D 1 va A 1 B 1 pozitsiyalaridan C 2 B 2 va A 2 B 2 holatlariga o'tkazamiz, shunda C 2 D 2 H ga perpendikulyar bo'ladi: proektsiyani "2 d" 2 ⊥ x. Izlanayotgan perpendikulyar segment ||. | pl. H, va shuning uchun m 2 n 2 AB va CD orasidagi kerakli l masofani bildiradi. A "2 b" 2 va c "2 d" 2 ustidagi m "2 va n" 2 proektsiyalarining o'rnini toping, keyin proektsiyalar va m 1 va m "1, n 1 va n" 1, va nihoyat m "va n" proektsiyalari. ", m va n.

162. Berilgan SABC piramidasi (160-rasm). SB qirrasi va piramida asosining AC tomoni orasidagi masofani aniqlang va proektsion tekisliklarni almashtirish usulini qo'llagan holda SB va AC ga perpendikulyar bo'lgan proektsiyalarni tuzing.

163. Berilgan SABC piramidasi (161-rasm). Piramida asosining SH qirrasi va BC tomoni orasidagi masofani aniqlang va parallel harakat usulini qo'llagan holda SX va BC ga perpendikulyar bo'lgan proektsiyani tuzing.

164 *. Agar tekislik berilgan bo'lsa, A nuqtadan tekislikka masofani aniqlang: a) BCD uchburchagi bilan (162-rasm, a); b) izlar (162-rasm, b).

Qaror. Ma'lumki, bir nuqtadan tekislikka masofa bir nuqtadan tekislikka chizilgan perpendikulyar qiymat bilan o'lchanadi. Bu masofa har qanday kvadratga proektsiyalanadi. to'liq tekislikdagi proektsiyalar, agar bu tekislik kvadratga perpendikulyar bo'lsa. proektsiyalar (162-rasm, c). Bunday vaziyatga rasmni o'zgartirish orqali erishish mumkin, masalan, maydonni o'zgartirish orqali. prognozlar. Pl bilan tanishtiramiz. S (16c-rasm, d), plga perpendikulyar. uchburchak BCD. Buning uchun biz plda sarflaymiz. uchburchagi gorizontal B-1 va gorizontal b-1 proektsiyasiga perpendikulyar S proektsion o'qini joylashtiring. Biz nuqta va tekislikning proektsiyalarini quramiz - s s va segment s s d s. S dan s s d s gacha bo'lgan masofa, nuqtaning tekislikdan kerakli l masofasiga teng.

Riyoda 162, e parallel harakat usuli qo'llaniladi. Biz butun tizimni B-1 tekisligining gorizontal qismi V tekisligiga perpendikulyar bo'lguncha siljitamiz: b 1 1 1 proektsiyasi x o'qiga perpendikulyar bo'lishi kerak. Bu holatda uchburchakning tekisligi oldinga proektsiyalanadi va A nuqtadan unga masofa to'rtburchak bo'ladi. V buzilishsiz.

Shaklda 162, b tekislik izlar bilan aniqlanadi. Biz (162-rasm, e) qo'shimcha kvadratni kiritamiz. S, plaga perpendikulyar P: S / H o'qi P h ga perpendikulyar. Qolganlari rasmdan aniq. Shaklda 162, muammo bitta harakat bilan hal qilindi: pl. P 1 pozitsiyasiga o'tadi, ya'ni old proektsiyaga aylanadi. Kuzatish R 1s x o'qiga perpendikulyar. Biz samolyotning bu holatida jabhani quramiz. gorizontal iz - n "1, n 1. nuqta. P 1ϑ izi P 1x va n 1. orqali o'tadi. A" 1 dan P 1ϑ gacha bo'lgan masofa l masofaga teng.

165. SABC piramidasi berilgan (160-rasmga qarang). Paralel harakat usulidan foydalanib, A nuqtadan piramidaning SBC yuzigacha bo'lgan masofani aniqlang.

166. SABC piramidasi berilgan (161-rasmga qarang). Parallel harakat usulidan foydalanib, piramidaning balandligini aniqlang.

167 *. AB va CD kesishgan chiziqlar orasidagi masofani ushbu chiziqlar orqali chizilgan parallel tekisliklar orasidagi masofani aniqlang (159-rasm, a).

Qaror. Shaklda 163 va P va Q parallel tekisliklarni ko'rsatadi, ulardan pl. Q CD ga AB va parallel ravishda amalga oshiriladi. R - AB orqali plaga parallel. Bunday samolyotlar orasidagi masofa AB va CD kesishgan chiziqlar orasidagi masofa. Biroq, siz o'zingizni faqat bitta tekislikni, masalan, AB ga parallel ravishda qurish bilan cheklab qo'yishingiz mumkin va keyin kamida A nuqtadan bu tekislikka masofani aniqlashingiz mumkin.

Shaklda 163c CD-ga AB-ga parallel ravishda chizilgan Q tekislikni ko'rsatadi; "e" bilan chizilgan proektsiyalarda || a "b" va ce || ab. Maydonni o'zgartirish usulini qo'llash. proektsiyalari (163-rasm, c), biz qo'shimcha kvadratni kiritamiz. S, plaga perpendikulyar V va bir vaqtning o'zida

plga perpendikulyar. S / V o'qini chizish uchun, ushbu tekislikda frontal D-1 oling. Endi biz S / V-ni d "1" ga perpendikulyar chizamiz (163-rasm, c). Pl. Q plada namoyish qilinadi. S d s bilan tekis chiziq sifatida. Qolganlari rasmdan aniq.

168. SABC piramidasini hisobga olgan holda (160-rasmga qarang). SC va AB qovurg'alar orasidagi masofani aniqlang Qo'llang: 1) kvadratni o'zgartirish usuli. proektsiyalar, 2) parallel harakat qilish usuli.

169 *. Parallel tekisliklar orasidagi masofani aniqlang, ulardan biri AB va AC tekis chiziqlar bilan, ikkinchisi DE va \u200b\u200bDF tekis chiziqlar bilan berilgan (164-rasm, a). Shuningdek, samolyotlar izlar bilan belgilangan bo'lsa, qurilishni amalga oshiring (164-rasm, b).

Qaror. Parallel tekisliklar orasidagi masofani (164-rasm, c) bitta tekislikning har qanday nuqtasidan boshqa tekislikka perpendikulyar chizish orqali aniqlash mumkin. Shaklda 164, g qo'shimcha plani taqdim etdi. S ga perpendikulyar. H va berilgan ikkala samolyot uchun. S.H o'qi ufqqa perpendikulyar. gorizontal proektsiyasi tekisliklardan birida chizilgan. Biz bu tekislikning proektsiyasini tuzamiz va maydonni boshqa tekislikda belgilaymiz. 5. d s nuqtasining to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofasi l s a s parallel tekisliklar orasidagi kerakli masofaga teng.

Shaklda 164, d boshqa qurilish berilgan (parallel harakat usuliga ko'ra). AB va AC to'g'ri chiziqlarni kesishgan tekislikning plga perpendikulyar bo'lishi uchun. V, ufq x tekisligiga perpendikulyar bo'lgan ushbu tekislikning gorizontal proektsiyasini qo'yamiz: 1 1 2 1 ⊥ x. Old tomondan masofa. proektsiyali d "1 nuqta D va tekis chiziq" 1 2 "1 (oldingi. tekislikning proektsiyasi) samolyotlar orasidagi kerakli masofaga teng.

Shaklda 164, e qo'shimcha plning kiritilishini ko'rsatadi. S, H maydoniga va P va Q tekisliklarga perpendikulyar (S / H o'qi P h va Q h izlariga perpendikulyar). Biz P s va Q s izlarini quramiz. Ularning orasidagi masofa (164-rasm, s) P va Q tekisliklari orasidagi kerakli l masofaga teng.

Shaklda 164, g P 1 n Q 1 tekisliklarining ufqqa chiqqanda P 1 va Q 1 pozitsiyalariga harakatini ko'rsatadi. izlar x o'qiga perpendikulyar ravishda aylanadi. Yangi front orasidagi masofa. izlar bo'yicha P 1ϑ va Q 1ϑ kerakli masofa l ga teng.

170. Parallelepiped ABCDEFGH berilgan (165-rasm). Masofalarni aniqlang: a) parallelepiped asoslari orasidagi - l 1; b) ABFE va DCGH yuzalari o'rtasida - l 2; c) ADHE va BCGF-l 3 qirralari o'rtasida.