Ehtimolni qabul qilish. Ehtimollar nazariyasi. Hodisa ehtimoli, tasodifiy hodisalar (ehtimollar nazariyasi). Ehtimollar nazariyasida mustaqil va mos kelmaydigan hodisalar. Klassik ehtimollik masalalari yechimiga misollar

keyin tasodifiy o'zgaruvchini aytamiz ξ Unda bor ehtimollik taqsimot zichligi f(x).

Ta'rif. Mayli. Uzluksiz taqsimlash funktsiyasi uchun F nazariy a-kvantil tenglamaning yechimi deyiladi.

Bu yechim yagona bo'lmasligi mumkin.

Darajaning kvantili ½ nazariy deb ataladi median , darajali kvantlar ¼ va ¾ -pastki va yuqori kvartillar mos ravishda.

Aktuar ilovalarda muhim rol o'ynaydi Chebishev tengsizligi:

har qanday uchun

Matematik kutish belgisi.

U shunday o'qiladi: moduli kutilgan moduldan kichik yoki teng bo'lish ehtimoli ga bo'linadi.

Tasodifiy o'zgaruvchi sifatida umr ko'rish

O'lim momentining noaniqligi hayotni sug'urtalashda asosiy xavf omilidir.

Biror kishining o'limi haqida aniq hech narsa aytish mumkin emas. Ammo, agar biz katta bir hil odamlar guruhi bilan ishlayotgan bo'lsak va bu guruhdagi odamlarning taqdiri bilan qiziqmasa, biz chastota barqarorligi xususiyatiga ega bo'lgan ommaviy tasodifiy hodisalar haqidagi fan sifatida ehtimollik nazariyasi doirasidamiz.

Mos ravishda, biz umr ko'rish davomiyligi haqida tasodifiy o'zgaruvchi T sifatida gapirishimiz mumkin.

omon qolish funktsiyasi

Ehtimollar nazariyasida ular har qanday tasodifiy o'zgaruvchining stokastik tabiatini tavsiflaydi T tarqatish funktsiyasi F(x), tasodifiy o'zgaruvchining ehtimoli sifatida aniqlanadi T sonidan kam x:

.

Aktuar matematikada taqsimlash funktsiyasi bilan emas, balki qo'shimcha taqsimlash funktsiyasi bilan ishlash yoqimli. . Uzoq umr ko'rish nuqtai nazaridan, bu insonning yoshga qadar yashashi ehtimoli x yillar.

chaqirdi omon qolish funktsiyasi(omon qolish funktsiyasi):

Omon qolish funktsiyasi quyidagi xususiyatlarga ega:

Hayot jadvallarida odatda ba'zilari bor deb taxmin qilinadi yosh chegarasi (cheklovchi yosh) (qoida tariqasida, yillar) va shunga mos ravishda, da x>.

O'limni analitik qonunlar bilan tavsiflashda, odatda, umr ko'rish muddati cheksiz deb taxmin qilinadi, ammo qonunlarning turi va parametrlari ma'lum bir yoshdan oshgan hayot ehtimoli ahamiyatsiz bo'lishi uchun tanlangan.

Omon qolish funktsiyasi oddiy statistik ma'noga ega.

Aytaylik, biz bir guruh yangi tug'ilgan chaqaloqlarni (odatda ) kuzatmoqdamiz va ularni o'lim daqiqalarini yozib olishimiz mumkin.

Bu guruhning yashovchi vakillari sonini orqali belgilaymiz. Keyin:

.

Belgi E bu yerda va quyida matematik kutishni bildirish uchun ishlatiladi.

Shunday qilib, omon qolish funktsiyasi yangi tug'ilgan chaqaloqlarning ma'lum bir doimiy guruhidan yoshga qadar omon qolganlarning o'rtacha ulushiga teng.

Aktuar matematikada ko'pincha omon qolish funktsiyasi bilan emas, balki hozirgina kiritilgan qiymat bilan ishlaydi (guruhning boshlang'ich hajmini aniqlagan holda).

Omon qolish funktsiyasi zichlikdan tiklanishi mumkin:

Hayotning davomiyligi xususiyatlari

Amaliy nuqtai nazardan, quyidagi xususiyatlar muhimdir:

1 . O'rtacha hayot paytida

,
2 . Dispersiya hayot paytida

,
qayerda
,

Bugungi kunga qadar matematika bo'yicha USE muammolarining ochiq bankida (mathege.ru) taqdim etilgan bo'lib, uning echimi ehtimollikning klassik ta'rifi bo'lgan faqat bitta formulaga asoslangan.

Formulani tushunishning eng oson yo'li misollardir.
1-misol Savatda 9 ta qizil va 3 ta ko'k to'p bor. To'plar faqat rangi bilan farqlanadi. Tasodifiy (qaramasdan) biz ulardan birini olamiz. Shu tarzda tanlangan to'pning ko'k bo'lish ehtimoli qanday?

Izoh. Ehtimollar nazariyasi masalalarida biror narsa sodir bo'ladi (bu holda, bizning to'pni tortib olish harakatimiz) boshqa natijaga olib kelishi mumkin - natija. Shuni ta'kidlash kerakki, natijani turli yo'llar bilan ko'rish mumkin. "Biz to'p chiqarib oldik" ham natija. "Biz ko'k to'pni chiqarib oldik" - natija. "Biz ushbu aniq to'pni barcha mumkin bo'lgan to'plardan tortib oldik" - natijaning eng kam umumlashtirilgan ko'rinishi elementar natija deb ataladi. Bu ehtimollikni hisoblash uchun formulada nazarda tutilgan elementar natijalardir.

Yechim. Endi biz ko'k to'pni tanlash ehtimolini hisoblaymiz.
A hodisasi: "tanlangan to'p ko'k bo'lib chiqdi"
Barcha mumkin bo'lgan natijalarning umumiy soni: 9+3=12 (biz chizishimiz mumkin bo'lgan barcha to'plar soni)
A hodisasi uchun qulay natijalar soni: 3 (A hodisasi sodir bo'lgan bunday natijalar soni - ya'ni ko'k sharlar soni)
P(A)=3/12=1/4=0,25
Javob: 0,25

Xuddi shu masala uchun qizil to'pni tanlash ehtimolini hisoblaylik.
Mumkin bo'lgan natijalarning umumiy soni bir xil bo'lib qoladi, 12. Qulay natijalar soni: 9. Istalgan ehtimollik: 9/12=3/4=0,75

Har qanday hodisaning ehtimoli har doim 0 dan 1 gacha.
Ba'zan kundalik nutqda (lekin ehtimollik nazariyasida emas!) Hodisalarning ehtimoli foiz sifatida baholanadi. Matematik va suhbat orqali baholash o'rtasidagi o'tish 100% ga ko'paytirish (yoki bo'lish) orqali amalga oshiriladi.
Shunday qilib,
Bunday holda, sodir bo'lishi mumkin bo'lmagan hodisalar uchun ehtimollik nolga teng - ehtimolsiz. Misol uchun, bizning misolimizda, bu savatdan yashil to'pni chizish ehtimoli bo'ladi. (Agar formula bo'yicha hisoblansa, qulay natijalar soni 0, P(A)=0/12=0)
1-ehtimolda variantlarsiz mutlaqo sodir bo'ladigan voqealar mavjud. Masalan, "tanlangan to'p qizil yoki ko'k bo'lishi" ehtimoli bizning muammomiz uchun. (Qulay natijalar soni: 12, P(A)=12/12=1)

Biz ehtimollik ta'rifini ko'rsatadigan klassik misolni ko'rib chiqdik. Ehtimollar nazariyasidagi barcha shunga o'xshash FOYDALANISH masalalari ushbu formula yordamida hal qilinadi.
Qizil va ko'k sharlar o'rniga olma va nok, o'g'il va qizlar, o'rganilgan va o'rganilmagan chiptalar, ma'lum bir mavzu bo'yicha savolni o'z ichiga olgan va unda bo'lmagan chiptalar (prototiplar , ), nuqsonli va sifatli sumkalar yoki bog 'nasoslari (prototiplar) bo'lishi mumkin. , ) - printsip bir xil bo'lib qoladi.

Ular USE ehtimollik nazariyasi muammosini shakllantirishda bir oz farq qiladi, bu erda siz ma'lum bir kunda sodir bo'lgan voqea ehtimolini hisoblashingiz kerak. ( , ) Oldingi vazifalarda bo'lgani kabi, elementar natija nima ekanligini aniqlashingiz kerak va keyin xuddi shu formulani qo'llashingiz kerak.

2-misol Konferensiya uch kun davom etadi. Birinchi va ikkinchi kunlarda har birida 15 tadan, uchinchi kunda 20. Maʼruzalarni topshirish tartibi lotereya orqali aniqlansa, uchinchi kunga professor M.ning maʼruzasi tushishi ehtimoli qanday?

Bu erda elementar natija nima? - Professor ma'ruzasini nutq uchun barcha mumkin bo'lgan seriya raqamlaridan biriga belgilash. O'yinda 15+15+20=50 kishi ishtirok etadi. Shunday qilib, professor M.ning hisoboti 50 ta raqamdan birini olishi mumkin. Bu shuni anglatadiki, faqat 50 ta elementar natijalar mavjud.
Qanday ijobiy natijalar bor? - Professor uchinchi kuni nutq so'zlashi ma'lum bo'lganlar. Ya'ni oxirgi 20 ta raqam.
Formulaga ko'ra, ehtimollik P(A)= 20/50=2/5=4/10=0,4
Javob: 0,4

Bu erda qur'a tashlash - bu odamlar va buyurtma qilingan joylar o'rtasida tasodifiy yozishmalarni o'rnatish. 2-misolda, ma'lum bir shaxsning qaysi joyni egallashi mumkinligi nuqtai nazaridan moslik ko'rib chiqildi. Xuddi shu vaziyatga boshqa tomondan yondashishingiz mumkin: odamlardan qaysi biri ma'lum bir joyga qanday ehtimollik bilan etib borishi mumkin (prototiplar , , , ):

3-misol Qura tashlashda 5 nafar nemis, 8 nafar frantsuz va 3 nafar estoniyalik ishtirok etmoqda. Birinchi (/ikkinchi/ettinchi/oxirgi - bu muhim emas) frantsuz bo'lish ehtimoli qanday?

Elementar natijalar soni - qur'a bo'yicha ma'lum bir joyga etib borishi mumkin bo'lgan barcha odamlar soni. 5+8+3=16 kishi.
Qulay natijalar - frantsuzlar. 8 kishi.
Kerakli ehtimollik: 8/16=1/2=0,5
Javob: 0,5

Prototip biroz boshqacha. Tangalar () va zarlar () haqida biroz ijodiyroq vazifalar mavjud. Ushbu muammolarning echimlarini prototip sahifalarida topish mumkin.

Mana, tanga otish yoki zar otishning ba'zi misollari.

4-misol Biz tanga tashlaganimizda, dumlar paydo bo'lish ehtimoli qanday?
Natijalar 2 - boshlar yoki quyruqlar. (tanga hech qachon chetiga tushmaydi, deb ishoniladi) Qulay natija - dumlar, 1.
Ehtimollik 1/2=0,5
Javob: 0,5.

5-misol Agar tangani ikki marta aylantirsak nima bo'ladi? Ikkala marta ham yuqoriga ko'tarilish ehtimoli qanday?
Asosiysi, ikkita tanga tashlashda qaysi elementar natijalarni hisobga olishimizni aniqlash. Ikki tanga uloqtirgandan so'ng, quyidagi natijalardan biri paydo bo'lishi mumkin:
1) PP - ikkala marta ham dumlari chiqdi
2) PO - birinchi marta quyruqlar, ikkinchi marta boshlar
3) OP - birinchi marta boshlar, ikkinchi marta dumlar
4) OO - ikkala marta ham bosh ko'taradi
Boshqa variantlar yo'q. Bu shuni anglatadiki, 4 ta elementar natija mavjud.Faqat birinchisi qulay, 1.
Ehtimollik: 1/4=0,25
Javob: 0,25

Ikkita tanga otilishi dumga tushish ehtimoli qanday?
Elementar natijalar soni bir xil, 4. Qulay natijalar ikkinchi va uchinchi, 2.
Bir dumini olish ehtimoli: 2/4=0,5

Bunday muammolarda boshqa formula yordam berishi mumkin.
Agar tangani bir marta otishda bizda 2 ta natija bo‘lishi mumkin bo‘lsa, unda ikkita otish uchun 2 2=2 2 =4 (5-misoldagi kabi), uchta otish uchun 2 2 2=2 3 =8, to‘rtta otish uchun natija bo‘ladi. : 2·2·2·2=2 4 =16, … mumkin boʻlgan natijalarning N ta otish uchun 2·2·...·2=2 N boʻladi.

Shunday qilib, siz 5 ta tanga otishdan 5 ta dum olish ehtimolini topishingiz mumkin.
Elementar natijalarning umumiy soni: 2 5 =32.
Qulay natijalar: 1. (RRRRRR - barcha 5 marta quyruq)
Ehtimollik: 1/32=0,03125

Xuddi shu narsa zar uchun ham amal qiladi. Bir otishda 6 ta natija bor.Demak, ikki otish uchun: 6 6=36, uchta otish uchun 6 6 6=216 va hokazo.

6-misol Biz zar tashlaymiz. Juft sonni olish ehtimoli qanday?

Jami natijalar: 6, yuzlar soniga ko'ra.
Qulay: 3 ta natija. (2, 4, 6)
Ehtimollik: 3/6=0,5

7-misol Ikki zar tashlang. Hammasi 10 ta aylanish ehtimoli qanday? (yuzdan birgacha)

Bitta o'lim uchun 6 ta mumkin bo'lgan natijalar mavjud. Demak, ikkita uchun, yuqoridagi qoidaga ko'ra, 6·6=36.
Jami 10 taning yiqilib tushishi uchun qanday natijalar qulay bo'ladi?
10 ni 1 dan 6 gacha bo'lgan ikkita sonning yig'indisiga ajratish kerak. Buni ikki usulda bajarish mumkin: 10=6+4 va 10=5+5. Shunday qilib, kublar uchun variantlar mumkin:
(birinchida 6, ikkinchisida 4)
(Birinchida 4, ikkinchisida 6)
(birinchida 5, ikkinchisida 5)
Hammasi bo'lib, 3 ta variant. Kerakli ehtimollik: 3/36=1/12=0,08
Javob: 0,08

B6 muammolarining boshqa turlari quyidagi "Qanday hal qilish kerak" maqolalaridan birida muhokama qilinadi.

ehtimollik 0 dan 1 gacha bo'lgan raqam bo'lib, tasodifiy hodisa sodir bo'lish ehtimolini aks ettiradi, bu erda 0 - voqea sodir bo'lish ehtimolining to'liq yo'qligi va 1 - ko'rib chiqilayotgan hodisaning aniq sodir bo'lishini anglatadi.

E hodisaning ehtimoli 1 dan 1 gacha bo'lgan sondir.
Bir-birini istisno qiladigan hodisalarning ehtimoli yig'indisi 1 ga teng.

empirik ehtimollik- tarixiy ma'lumotlarni tahlil qilish natijasida olingan o'tmishdagi hodisaning nisbiy chastotasi sifatida hisoblangan ehtimollik.

Juda kam uchraydigan hodisalar ehtimolini empirik tarzda hisoblash mumkin emas.

sub'ektiv ehtimollik- tarixiy ma'lumotlardan qat'i nazar, voqeani shaxsiy sub'ektiv baholashga asoslangan ehtimollik. Aktsiyalarni sotib olish va sotish to'g'risida qaror qabul qiladigan investorlar ko'pincha sub'ektiv ehtimollik asosida harakat qilishadi.

oldingi ehtimollik -

Hodisaning ehtimollik kontseptsiyasi orqali sodir bo'lishining ... dan 1 ta imkoniyati. Voqea sodir bo'lish ehtimoli ehtimollik bilan quyidagicha ifodalanadi: P/(1-P).

Masalan, agar voqea ehtimoli 0,5 ga teng bo'lsa, u holda hodisaning ehtimoli 2 dan 1 ga teng, chunki 0,5/(1-0,5).

Hodisa sodir bo'lmasligi ehtimoli (1-P) / P formulasi bilan hisoblanadi

Mos kelmaydigan ehtimollik- masalan, A kompaniyasining aktsiyalari narxida mumkin bo'lgan E hodisasining 85%, B kompaniyasining aktsiyalari narxida esa atigi 50% hisobga olinadi. Bunga mos kelmaydigan ehtimollik deyiladi. Gollandiyalik tikish teoremasiga ko'ra, mos kelmaydigan ehtimollik foyda olish uchun imkoniyatlar yaratadi.

Shartsiz ehtimollik“Hodisa sodir bo‘lish ehtimoli qanday?” degan savolga javobdir.

Shartli ehtimollik savoliga javob bo'ladi: "Agar B hodisasi sodir bo'lgan bo'lsa, A hodisaning ehtimoli qanday bo'ladi". Shartli ehtimollik P(A|B) bilan belgilanadi.

Birgalikda ehtimollik A va B hodisalarning bir vaqtning o'zida sodir bo'lish ehtimoli. P(AB) sifatida belgilangan.

P(A|B) = P(AB)/P(B) (1)

P(AB) = P(A|B)*P(B)

Ehtimollarni yig'ish qoidasi:

A yoki B hodisaning sodir bo'lish ehtimoli

P(A yoki B) = P(A) + P(B) - P(AB) (2)

Agar A va B hodisalari bir-birini istisno qilsa, u holda

P(A yoki B) = P(A) + P(B)

Mustaqil hodisalar- agar A va B hodisalar mustaqil bo'lsa

P(A|B) = P(A), P(B|A) = P(B)

Ya'ni, ehtimollik qiymati bir hodisadan ikkinchisiga o'zgarmas bo'lgan natijalar ketma-ketligidir.
Tanga otish bunday hodisaga misol bo'la oladi - har bir keyingi otish natijasi avvalgisining natijasiga bog'liq emas.

Bog'liq hodisalar Bular birining sodir bo'lish ehtimoli ikkinchisining yuzaga kelish ehtimoliga bog'liq bo'lgan hodisalardir.

Mustaqil hodisalar ehtimolini ko'paytirish qoidasi:
Agar A va B hodisalar mustaqil bo'lsa, u holda

P(AB) = P(A) * P(B) (3)

Umumiy ehtimollik qoidasi:

P(A) = P(AS) + P(AS") = P(A|S")P(S) + P(A|S")P(S") (4)

S va S" bir-birini istisno qiladigan hodisalardir

kutilgan qiymat tasodifiy o'zgaruvchi - tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan natijalarining o'rtacha qiymati. X hodisasi uchun kutish E(X) sifatida belgilanadi.

Aytaylik, bizda ma'lum bir ehtimolga ega bo'lgan bir-birini istisno qiladigan hodisalarning 5 ta qiymati bor (masalan, kompaniyaning daromadi bunday ehtimollik bilan falon miqdorni tashkil etdi). Kutish - bu barcha natijalar yig'indisi ularning ehtimolliklariga ko'paytiriladi:

Tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasi - bu tasodifiy o'zgaruvchining kutilgan qiymatidan kvadrat og'ishlarining kutilgan qiymati:

s 2 = E( 2 ) (6)

Shartli kutilgan qiymat - S hodisasi allaqachon sodir bo'lgan bo'lsa, X tasodifiy o'zgaruvchini kutish.

Amaliy nuqtai nazardan, hodisa ehtimoli ko'rib chiqilayotgan hodisa sodir bo'lgan kuzatuvlar sonining kuzatuvlarning umumiy soniga nisbati. Etarlicha ko'p miqdordagi kuzatishlar yoki tajribalar bo'lsa, bunday talqinga yo'l qo'yiladi. Misol uchun, agar siz ko'chada uchragan odamlarning yarmiga yaqini ayollar bo'lsa, u holda siz ko'chada uchragan odamning ayol bo'lish ehtimoli 1/2 ekanligini aytishingiz mumkin. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, tasodifiy tajribani mustaqil takrorlashning uzoq ketma-ketligida uning paydo bo'lish chastotasi hodisaning ehtimolini taxmin qilish uchun xizmat qilishi mumkin.

Matematikada ehtimollik

Zamonaviy matematik yondashuvda klassik (ya'ni kvant emas) ehtimollik Kolmogorov aksiomatikasi tomonidan berilgan. Ehtimollik o'lchovdir P, bu to'plamda o'rnatiladi X, ehtimollik maydoni deb ataladi. Ushbu chora quyidagi xususiyatlarga ega bo'lishi kerak:

Bu shartlardan kelib chiqadiki, ehtimollik o'lchanadi P mulki ham bor qo'shilish: o'rnatilgan bo'lsa A 1 va A 2 kesishmaydi, keyin . Buni isbotlash uchun hamma narsani qo'yish kerak A 3 , A 4 , … bo‘sh to‘plamga teng va sanaladigan qo‘shiluvchanlik xossasini qo‘llang.

Ehtimollik o'lchovi to'plamning barcha kichik to'plamlari uchun aniqlanmasligi mumkin X. Uni to'plamning ba'zi kichik to'plamlaridan tashkil topgan sigma-algebrada aniqlash kifoya X. Bunday holda, tasodifiy hodisalar fazoning o'lchanadigan kichik to'plamlari sifatida aniqlanadi X, ya'ni sigma algebrasining elementlari sifatida.

Ehtimollik hissi

Mumkin bo'lgan ba'zi bir haqiqatning sabablari aslida qarama-qarshi sabablardan ustun ekanligini aniqlaganimizda, biz bu haqiqatni ko'rib chiqamiz. ehtimol, aks holda - aql bovar qilmaydigan. Ijobiy asoslarning salbiylardan ustunligi va aksincha, noaniq darajalar to'plamini ifodalashi mumkin, buning natijasida ehtimollik(va ehtimolsizlik) sodir bo'ladi Ko'proq yoki Kamroq .

Murakkab yagona faktlar ularning ehtimollik darajalarini aniq hisoblash imkonini bermaydi, lekin bu erda ham ba'zi katta bo'linmalarni yaratish muhimdir. Demak, masalan, huquq sohasida guvohlarning ko‘rsatmalari asosida sudga tortilishi lozim bo‘lgan shaxsiy fakt aniqlanganda, u har doim, qat’iy aytganda, faqat ehtimol bo‘lib qoladi va bu ehtimolning qanchalik ahamiyatli ekanligini bilish zarur; Rim huquqida bu erda to'rtta bo'linish qabul qilingan: probatio plena(bu erda ehtimollik amalda aylanadi haqiqiylik), Keyinchalik - probatio minus plena, keyin - probatio semiplena major va nihoyat, probatio semiplena minor .

Ishning ehtimolligi haqidagi savolga qo'shimcha ravishda, huquq sohasida ham, axloq sohasida ham (ma'lum bir axloqiy nuqtai nazar bilan) ma'lum bir faktning qanchalik ehtimoli borligi haqidagi savol tug'ilishi mumkin. umumiy qonunning buzilishi hisoblanadi. Talmud diniy huquqshunosligida asosiy motiv boʻlib xizmat qiladigan bu savol Rim-katolik axloqiy ilohiyotida (ayniqsa, 16-asr oxiridan) juda murakkab tizimli tuzilmalar va ulkan dogmatik va polemik adabiyotlar paydo boʻlishiga sabab boʻldi (qarang Ehtimollik). ).

Ehtimollik tushunchasi ma'lum bir sonli ifodani faqat ma'lum bir jinsli qatorlarning bir qismi bo'lgan faktlarga qo'llashda qabul qiladi. Shunday qilib (eng oddiy misolda), kimdir tangani ketma-ket yuz marta tashlaganida, biz bu erda ikkita xususiy yoki kichikroqdan tashkil topgan bitta umumiy yoki katta seriyani (tanganing barcha tushishlari yig'indisi) topamiz. holat soni teng, ketma-ket (tushadi "burgut" va tushgan "dumlar"); Bu safar tanganing dumlari tushishi ehtimoli, ya'ni umumiy qatorning bu yangi a'zosi ikkita kichik qatorga tegishli bo'lishi, bu kichik qator va kattaroq qator o'rtasidagi son nisbatni ifodalovchi kasrga teng, ya'ni 1/2, ya'ni bir xil ehtimollik ikkita xususiy qatorning biriga yoki boshqasiga tegishli. Kamroq oddiy misollarda, xulosani to'g'ridan-to'g'ri muammoning ma'lumotlaridan chiqarish mumkin emas, lekin oldindan induksiyani talab qiladi. Shunday qilib, masalan, so'raladi: yangi tug'ilgan chaqaloqning 80 yilgacha yashashi ehtimoli qanday? Bu erda o'xshash sharoitlarda tug'ilgan va turli yoshda o'layotgan ma'lum miqdordagi odamlarning umumiy yoki katta qatori bo'lishi kerak (bu raqam tasodifiy og'ishlarni bartaraf etish uchun etarlicha katta bo'lishi kerak va qatorning bir xilligini saqlab qolish uchun etarlicha kichik bo'lishi kerak, chunki shaxs, masalan, Sankt-Peterburgda badavlat madaniy oilada tug'ilgan, shaharning butun million aholisi, ularning muhim qismi bevaqt o'lishi mumkin bo'lgan turli guruhlardagi odamlardan iborat - askarlar, jurnalistlar , xavfli kasblardagi ishchilar - ehtimollikning haqiqiy ta'rifi uchun juda heterojen guruhni ifodalaydi); bu umumiy qator o'n ming inson hayotidan iborat bo'lsin; u yoki bu yoshga qadar yashaydiganlar sonini ifodalovchi kichikroq qatorlarni o'z ichiga oladi; bu kichik qatorlardan biri 80 yoshgacha yashaydiganlar sonini bildiradi. Ammo bu kichikroq seriyaning hajmini aniqlash mumkin emas (shuningdek, barcha boshqalar). a priori; bu faqat induktiv usulda, statistika orqali amalga oshiriladi. Aytaylik, statistik tadqiqotlar shuni ko'rsatdiki, o'rta sinfdagi 10 000 Peterburglikdan faqat 45 nafari 80 yoshga qadar omon qoladi; Shunday qilib, bu kichikroq qator kattaroq bilan 45 dan 10 000 gacha bog'liq bo'lib, ma'lum bir odamning ushbu kichikroq qatorga tegishli bo'lish ehtimoli, ya'ni 80 yoshga to'lishi 0,0045 ning kasri sifatida ifodalanadi. Ehtimollarni matematik nuqtai nazardan o'rganish maxsus fanni, ehtimollar nazariyasini tashkil qiladi.

Shuningdek qarang

Eslatmalar

Adabiyot

Wikimedia fondi. 2010 yil.

Antonimlar:

Boshqa lug'atlarda "Ehtimollik" nima ekanligini ko'ring:

Umumiy ilmiy va falsafiy. qat'iy kuzatuv sharoitida ommaviy tasodifiy hodisalarning ro'y berish imkoniyatining miqdoriy darajasini bildiruvchi, ularning nisbiy chastotalarining barqarorligini tavsiflovchi kategoriya. Mantiqda semantik daraja ...... Falsafiy entsiklopediya

EXHTIMOLLIK, noldan birgacha bo'lgan oraliqdagi son, shu jumladan, ushbu hodisaning sodir bo'lish ehtimolini ifodalaydi. Hodisaning yuzaga kelishi ehtimoli hodisa sodir bo'lish ehtimoli sonining mumkin bo'lgan ... ... umumiy soniga nisbati sifatida aniqlanadi. Ilmiy-texnik entsiklopedik lug'at

Har ehtimolga qarshi .. Ruscha sinonimlar va ma'noga o'xshash iboralar lug'ati. ostida. ed. N. Abramova, M.: Ruscha lug'atlar, 1999. ehtimollik, ehtimollik, ehtimollik, tasodif, ob'ektiv imkoniyat, maza, qabul qilish, xavf. Chumoli. imkonsizlik...... Sinonim lug'at

ehtimollik- Voqea sodir bo'lishi mumkin bo'lgan o'lchov. Eslatma Ehtimollikning matematik ta'rifi "tasodifiy hodisa bilan bog'liq 0 dan 1 gacha bo'lgan haqiqiy son". Raqam bir qator kuzatuvlardagi nisbiy chastotani aks ettirishi mumkin ... ... Texnik tarjimon uchun qo'llanma

Ehtimollik- "cheksiz ko'p marta takrorlanishi mumkin bo'lgan ma'lum bir aniq sharoitlarda har qanday hodisaning yuzaga kelish ehtimoli darajasining matematik, raqamli tavsifi". Ushbu klassika asosida ...... Iqtisodiy va matematik lug'at

- (ehtimollik) Hodisa yoki ma'lum bir natijaning yuzaga kelish ehtimoli. Uni 0 dan 1 gacha bo'linishlar bilan shkala sifatida ko'rsatish mumkin. Agar hodisaning ehtimoli nolga teng bo'lsa, uning yuzaga kelishi mumkin emas. 1 ga teng ehtimol bilan, boshlanishi ... Biznes atamalarining lug'ati

Matematika bo'yicha USE topshiriqlarida ham murakkabroq ehtimollik muammolari mavjud (biz 1-qismda ko'rib chiqqanimizdan), bu erda siz qo'shish, ehtimollarni ko'paytirish qoidasini qo'llashingiz va qo'shma va mos kelmaydigan hodisalarni farqlashingiz kerak.

Demak, nazariya.

Qo'shma va qo'shma tadbirlar

Hodisalar bir-biriga mos kelmaydigan hodisa deyiladi, agar ulardan birining sodir bo'lishi boshqalarining sodir bo'lishini istisno qilsa. Ya'ni, faqat bitta yoki boshqa voqea sodir bo'lishi mumkin.

Misol uchun, o'limni otish orqali siz juft sonli va toq sonli nuqtalar kabi hodisalarni farqlashingiz mumkin. Bu hodisalar mos kelmaydi.

Agar ulardan birining sodir bo'lishi ikkinchisining sodir bo'lishini istisno qilmasa, hodisalar qo'shma deyiladi.

Misol uchun, o'limni uloqtirganda, toq sonli ochkolarning paydo bo'lishi va uchga karrali bo'lgan bir nechta nuqtalarning yo'qolishi kabi hodisalarni farqlay olasiz. Uchtasi aylantirilganda, ikkala hodisa ham amalga oshadi.

Voqealar yig'indisi

Bir nechta hodisalarning yig'indisi (yoki birlashishi) bu hodisalardan kamida bittasining sodir bo'lishidan iborat hodisadir.

Qayerda ikkita ajratilgan hodisaning yig'indisi bu hodisalarning ehtimoli yig'indisi:

Misol uchun, bir otishda zarda 5 yoki 6 ball olish ehtimoli ikkala hodisa (5 tomchi, 6 tomchi) mos kelmasligi va bir yoki ikkinchi hodisaning ehtimoli quyidagicha hisoblanganligi sababli bo'ladi:

Ehtimollik ikkita qo'shma hodisaning yig'indisi bu hodisalarning birgalikda sodir bo'lishini hisobga olmagan holda ularning ehtimoli yig'indisiga teng:

Misol uchun, savdo markazida ikkita bir xil savdo avtomatlari qahva sotadi. Mashinada kun oxirigacha qahva tugashi ehtimoli 0,3 ga teng. Ikkala mashinada ham kofe tugashi ehtimoli 0,12 ga teng. Keling, kun oxirigacha qahva kamida bitta mashinada (ya'ni, birida yoki boshqasida yoki ikkalasida bir vaqtning o'zida) tugashi ehtimolini topaylik.

Birinchi hodisaning "kofe birinchi mashinada tugaydi" ehtimoli, shuningdek ikkinchi "kofe ikkinchi mashinada tugaydi" hodisasining ehtimolligi shart bo'yicha 0,3 ga teng. Tadbirlar hamkorlikda.

Birinchi ikkita hodisani birgalikda amalga oshirish ehtimoli shartga ko'ra 0,12 ga teng.

Bu shuni anglatadiki, kun oxirigacha kamida bitta mashinada qahva tugashi ehtimoli bor.

Bog'liq va mustaqil hodisalar

Ikki tasodifiy A va B hodisalar, agar ulardan birining paydo bo'lishi ikkinchisining sodir bo'lish ehtimolini o'zgartirmasa, mustaqil deyiladi. Aks holda, A va B hodisalar bog'liq deb ataladi.

Misol uchun, bir vaqtning o'zida ikkita zar tashlanganda, ulardan biri, deylik, 1, ikkinchisi 5, mustaqil hodisalardir.

Ehtimollar mahsuloti

Bir nechta hodisalarning mahsuloti (yoki kesishishi) bu barcha hodisalarning birgalikda sodir bo'lishidan iborat hodisadir.

Agar ikkita bo'lsa mustaqil hodisalar P(A) va P(B) ehtimolliklari mos ravishda A va B bo'lsa, u holda A va B hodisalarining ro'yobga chiqish ehtimoli bir vaqtning o'zida ehtimollar mahsulotiga teng bo'ladi:

Misol uchun, biz ketma-ket ikki marta zarda oltitani yo'qotishdan manfaatdormiz. Ikkala hodisa ham mustaqil va ularning har birining alohida sodir bo'lish ehtimoli. Bu ikkala hodisaning yuzaga kelish ehtimoli yuqoridagi formula yordamida hisoblab chiqiladi: .

Mavzuni ishlab chiqish uchun topshiriqlar tanloviga qarang.