Maktab o'quvchilari uchun matematika bo'yicha Butunrossiya olimpiadasining maktab bosqichi uchun vazifalar. Matematik olimpiadalar va olimpiada masalalari Nikolay 96 varaqli umumiy daftar sotib oldi.

16-topshiriq:

25 rublni 1, 3 va 5 rubllik nominaldagi o'nta banknotga almashtirish mumkinmi? Qaror:

Javob: Yo'q

Petya 96 varaqli umumiy daftar sotib oldi va uning barcha varaqlarini 1 dan 192 gacha raqamlar bilan tartibladi. Vasya bu daftardan 25 ta varaqni yirtib tashladi va ularga yozilgan barcha 50 ta raqamni qo'shib oldi. U 1990 yilni yarata olarmidi? Qaror:

Har bir varaqda varaq raqamlari yig'indisi toq, 25 ta toq raqamlar yig'indisi toq bo'ladi.

22 ta butun sonning ko‘paytmasi 1 ga teng. Ularning yig‘indisi nolga teng emasligini isbotlang. Qaror:

Bu raqamlar orasida - juft son"minus birliklar" va yig'indining nolga teng bo'lishi uchun ulardan aniq 11 tasi bo'lishi kerak.

Birinchi 36 ta tub sondan sehrli kvadrat yasash mumkinmi? Qaror:

Bu raqamlardan biri (2) juft, qolganlari esa toq. Demak, ikkilik bo'lgan qatorda sonlar yig'indisi toq, qolganlarida esa juft bo'ladi.

1 dan 10 gacha raqamlar qatorga yoziladi.Olingan ifodaning qiymati nolga teng bo'lishi uchun ular orasiga “+” va “-” belgilarini qo'yish mumkinmi?

Eslatma: manfiy raqamlar ham toq va juft bo'lishi mumkinligini yodda tuting. Qaror:

Darhaqiqat, 1 dan 10 gacha bo'lgan raqamlar yig'indisi 55 ga teng va undagi belgilarni o'zgartirib, biz butun ifodani juft songa o'zgartiramiz.

Chigirtka toʻgʻri chiziq boʻylab sakradi va birinchi marta u qaysidir yoʻnalishda 1 sm sakradi, ikkinchi marta 2 sm sakradi va hokazo. 1985 yilgi sakrashdan keyin u boshlagan joyida bo'lolmasligini isbotlang. Qaror:

Eslatma: 1 + 2 + … + 1985 yig'indisi toq.

Doskaga 1, 2, 3, ..., 1984, 1985 raqamlari yoziladi.Doskadan istalgan ikkita raqamni oʻchirib, oʻrniga ularning ayirma modulini yozishga ruxsat beriladi. Oxir-oqibat, doskada faqat bitta raqam qoladi. Bu nol bo'lishi mumkinmi? Qaror:

Ko'rsatilgan amallar doskada yozilgan barcha raqamlar yig'indisining paritetini o'zgartirmasligini tekshiring.

Shaxmat taxtasini faqat a1 va h8 katakchalari bo'sh qoladigan tarzda 1 × 2 domino bilan qoplash mumkinmi? Qaror:

Har bir domino bitta qora va bitta oq kvadratni qoplaydi va a1 va h8 kvadratlari tashqariga tashlanganda, oqdan 2 ta kamroq qora kvadrat qoladi.

17 xonali raqamga bir xil raqamlarda yozilgan raqam qo'shildi, lekin ichida teskari tartib. Olingan yig'indining kamida bitta raqami juft ekanligini isbotlang. Qaror:

Ikkita holatni tahlil qiling: sonning birinchi va oxirgi raqamlari yig'indisi 10 dan kichik, birinchi va oxirgi raqamlari yig'indisi esa 10 dan kam emas. Agar yig'indining barcha raqamlari toq deb faraz qilsak. , keyin birinchi holatda raqamlarda bitta tashish bo'lmasligi kerak (bu, shubhasiz, qarama-qarshilikka olib keladi) va ikkinchi holatda, o'ngdan chapga yoki chapdan o'ngga o'tishda ko'chirishning mavjudligi almashinadi. tashishning yo'qligi bilan va natijada biz to'qqizinchi raqamdagi yig'indining raqami shartli ravishda juft ekanligini olamiz.

Xalq otryadida 100 kishi bo‘lib, har oqshom ulardan uchtasi navbatchilikka chiqadi. Bir muncha vaqt o'tgach, hamma hamma bilan bir marta navbatchilik qilgani ma'lum bo'lishi mumkinmi? Qaror:

Chunki u ishtirok etadigan har bir vazifada bu odam, u yana ikkitasi bilan navbatchilik qiladi, keyin qolganlarning hammasi juftlarga bo'linishi mumkin. Biroq, 99 - toq raqam.

To'g'ri chiziqda AB segmentidan tashqarida joylashgan 45 ta nuqta bor. Bu nuqtalardan A nuqtagacha bo'lgan masofalar yig'indisi ushbu nuqtalardan B nuqtagacha bo'lgan masofalar yig'indisiga teng emasligini isbotlang. Qaror:

AB dan tashqarida joylashgan har qanday X nuqta uchun bizda AX - BX = ± AB mavjud. Agar masofalar yig’indisi teng deb faraz qilsak, unda 45 ta had ishtirok etgan ± AB ± AB ± … ± AB ifodasi nolga teng ekanligini olamiz. Lekin bu mumkin emas.

Doira ichida joylashgan 9 ta raqam - 4 ta birlik va 5 ta nol. Har soniyada raqamlar ustida quyidagi amal bajariladi: agar ular har xil bo'lsa, qo'shni sonlar orasiga nol, agar ular teng bo'lsa, bitta qo'yiladi; shundan keyin eski raqamlar o'chiriladi. Biroz vaqt o'tgach, barcha raqamlar bir xil bo'lishi mumkinmi? Qaror:

To'qqiz noldan oldin to'qqiztaning kombinatsiyasini olish mumkin emasligi aniq. Agar to'qqizta nol bo'lsa, oldingi harakatda nollar va birlar almashinishi kerak edi, bu mumkin emas, chunki ularning faqat toq soni bor.

25 o'g'il va 25 qiz davra stolida o'tirishadi. Stolda o'tirganlardan birining ikkala qo'shnisi o'g'il bolalar borligini isbotlang. Qaror:

Keling, qarama-qarshilik bilan isbotimizni bajaraylik. Biz stolda o'tirganlarning hammasini bir joydan boshlab tartib bilan raqamlaymiz. Agar yoqilgan bo'lsa k-o'rin o'g'il bola o'tirgan bo'lsa, (k - 2) - va (k + 2) - o'rinlarni qizlar egallashi aniq. Ammo o'g'il bolalar va qizlarning soni teng bo'lganligi sababli, n-o'rinda o'tirgan har qanday qiz uchun (n - 2) va (n + 2) o'rinlarni o'g'il bolalar egallashi haqiqatdir. Agar biz faqat "tekis" joylarda o'tirgan 25 kishini hisobga oladigan bo'lsak, ular orasida o'g'il va qizlar stol atrofida biron bir tomonga o'tishsa, ularni almashtiramiz. Ammo 25 - toq raqam.

Salyangoz samolyot bo'ylab doimiy tezlikda emaklaydi, har 15 daqiqada to'g'ri burchak ostida aylanadi. U butun soatlar sonidan keyin boshlang'ich nuqtaga qaytishi mumkinligini isbotlang. Qaror:

Ko'rinib turibdiki, salyangoz yuqoriga yoki pastga emaklagan bo'limlarning a soni uning o'ngga yoki chapga emaklagan qismlari soniga teng. Shuni ta'kidlash kerakki, a juft.

To'g'ri chiziqda uchta chigirtka sakrab o'ynashadi. Har safar ulardan biri ikkinchisidan sakrab o'tadi (lekin bir vaqtning o'zida ikkitadan emas!). 1991 yilgi sakrashdan keyin ular asl holatiga qaytishi mumkinmi? Qaror:

A, B va C chigirtkalarni belgilang. Keling, chigirtkalarning joylashishini ABC, BCA va CAB (chapdan o'ngga) to'g'ri, ACB, BAC va CBA noto'g'ri deb aytaylik. Har qanday sakrash bilan tartib turi o'zgarishini ko'rish oson.

101 ta tanga mavjud bo'lib, ulardan 50 tasi qalbaki bo'lib, og'irligi bo'yicha haqiqiysidan 1 grammga farq qiladi. Petya bitta tanga oldi va tarozida chashkalardagi og'irliklarning farqini ko'rsatadigan o'q bilan tortdi, u soxta ekanligini aniqlamoqchi. U qila oladimi? Qaror:

Siz bu tangani bir chetga surib qo'yishingiz kerak, keyin qolgan 100 ta tangani 50 tangadan iborat ikkita qoziqqa bo'ling va bu qoziqlarning og'irliklarini solishtiring. Agar ular teng miqdordagi gramm bilan farq qilsa, bizni qiziqtirgan tanga haqiqiydir. Agar og'irliklar orasidagi farq g'alati bo'lsa, u holda tanga soxta hisoblanadi.

Bir va ikki, ikki va uch, ..., sakkiz va to'qqiz orasida toq sonli raqamlar bo'lishi uchun 1 dan 9 gacha raqamlarni bir marta ketma-ket yozish mumkinmi? Qaror:

Aks holda, qatordagi barcha raqamlar bir xil paritet joylarida bo'ladi.

Ushbu ish Petya 96 varaqli umumiy daftarni sotib oldi va uning barcha sahifalarini 1 dan 192 gacha raqamlar bilan tartibladi. mutaxassislari ishtirok etdilar va muvaffaqiyatli himoyadan o‘tdilar. Ish - Petya hajmi 96 varaq bo'lgan umumiy daftarni sotib oldi va uning barcha sahifalarini 1 dan 192 gacha raqamlar bilan tartibladi. Vasya AHD mavzusini chiqarib tashladi va moliyaviy tahlil uning mavzusini va uni ochishning mantiqiy tarkibiy qismini aks ettiradi. o‘rganilayotgan masalaning mohiyati ochib berilgan, ushbu mavzuning asosiy qoidalari va yetakchi g‘oyalari yoritilgan.
Ish - Petya 96 varaqli umumiy daftar sotib oldi va uning barcha varaqlarini 1 dan 192 gacha raqamlar bilan tartibladi. Vasya uni yirtib tashladi, unda: jadvallar, chizmalar, eng so'nggi adabiy manbalar, topshirilgan va himoya qilingan yil. ish - 2017. Ishda Petya 96 varaqdan iborat umumiy daftarni sotib oldi va uning barcha sahifalarini 1 dan 192 gacha raqamlar bo'yicha raqamladi. Vasya chiqarib tashladi (AHD va moliyaviy tahlil) tadqiqot mavzusining dolzarbligi aniqlandi, ilmiy va chuqur baholash va tahlil qilish asosida muammoning rivojlanish darajasi aks ettiriladi uslubiy adabiyotlar, AHD va moliyaviy tahlil mavzusiga bag'ishlangan ishda tahlil ob'ekti va uning masalalari ham nazariy, ham har tomonlama ko'rib chiqiladi. amaliy tomoni, ko'rib chiqilayotgan mavzuning maqsadi va aniq vazifalari shakllantiriladi, materialni taqdim etish mantig'i va uning ketma-ketligi mavjud.

Bo'limlar: Matematika

Hurmatli olimpiada ishtirokchisi!

Maktab matematika olimpiadasi bir turda o‘tkaziladi.
Turli xil qiyinchilik darajasidagi 5 ta vazifa mavjud.
Ishning dizayni uchun maxsus talablar yo'q. Muammolarning yechimini taqdim etish shakli, shuningdek, uni hal qilish usullari har qanday bo'lishi mumkin. Agar sizda ma'lum bir vazifa haqida shaxsiy fikrlaringiz bo'lsa, lekin siz yechimni oxirigacha etkaza olmasangiz, barcha fikrlaringizni aytishdan tortinmang. Hatto qisman hal qilingan masalalar ham tegishli ball soni bilan baholanadi.
Sizga osonroq tuyulgan vazifalarni hal qilishni boshlang, keyin qolganiga o'ting. Shunday qilib, vaqtni tejaysiz.

Sizga muvaffaqiyatlar tilaymiz!

Matematika bo'yicha maktab o'quvchilari uchun Butunrossiya olimpiadasining maktab bosqichi

5-sinf

1-mashq. 1*2*3*4*5 ifodasida “*”ni harakat belgilari bilan almashtiring va qavslarni shunday joylashtiring. Qiymati 100 bo'lgan ifodani olish uchun.

Vazifa 2. Arifmetik tenglik yozuvini ochish talab qilinadi, unda raqamlar harflar bilan almashtiriladi va turli raqamlar turli harflar bilan almashtiriladi, bir xil bo'ladi.

BESH - UCH \u003d IKKI Ma'lumki, harf o'rniga LEKIN 2 raqamini qo'yishingiz kerak.

Vazifa 3. Qanday qilib 80 kg mixni ikki qismga bo'lish mumkin - 15 kg va 65 kg vaznsiz pan tarozi yordamida?

Vazifa 4. Rasmda ko'rsatilgan shaklni ikkita teng qismga kesib oling, shunda har bir qism bitta yulduzga ega bo'ladi. Siz faqat panjara chiziqlari bo'ylab kesishingiz mumkin.

Vazifa 5. Bir piyola va likopchaning narxi birgalikda 25 rubl, 4 stakan va 3 ta likopchaning narxi 88 rubl. Kosaning narxini va likopchaning narxini toping.

6-sinf.

1-mashq. Kasrlarni umumiy maxrajga keltirmasdan solishtiring.

Vazifa 2. Arifmetik tenglik yozuvini ochish talab qilinadi, unda raqamlar harflar bilan almashtiriladi va turli raqamlar turli harflar bilan almashtiriladi, bir xil bo'ladi. Dastlabki tenglik to'g'ri va odatiy arifmetika qoidalariga muvofiq yozilgan deb taxmin qilinadi.

ISH
+ BO'LADI
OMAD

Vazifa 3. DA Yozgi oromgoh Dam olish uchun uchta do'st keldi: Misha, Volodya va Petya. Ma'lumki, ularning har biri quyidagi familiyalardan biriga ega: Ivanov, Semenov, Gerasimov. Misha Gerasimov emas. Volodyaning otasi muhandis. Volodya 6-sinfda. Gerasimov 5-sinfda o‘qiydi. Ivanovning otasi o'qituvchi. Uch do'stning har birining familiyasi nima?

Vazifa 4. Shaklni panjara chiziqlari bo'ylab to'rtta bir xil qismga bo'ling, shunda har bir qism bitta nuqtaga ega bo'ladi.

Vazifa 5. Sakrab turgan ninachi qizil yozning har kunining yarmida uxladi, har kunning uchdan bir qismida raqsga tushdi va oltinchi qismda qo'shiq aytdi. Qolgan vaqtni u qishga tayyorgarlik ko'rishga bag'ishlashga qaror qildi. Ninachi qishga kuniga necha soat tayyorlandi?

7-sinf.

1-mashq. Agar siz kuchli sondagi eng katta raqam 5 ekanligini bilsangiz, rebusni yeching:

QAROR QILING
AGAR
KUCHLI

Vazifa 2. │7 - x│ = 9.3 tenglamani yeching

Vazifa 3. Etti yuvishdan keyin sovunning uzunligi, kengligi va qalinligi ikki barobarga qisqardi. Qolgan sovun qancha bir xil yuvishda davom etadi?

Vazifa 4 . Hujayralarning yon tomonlari bo'ylab 4 × 9 hujayradan iborat to'rtburchakni ikkita teng qismga bo'ling, shunda siz ulardan kvadrat yasashingiz mumkin.

Vazifa 5. Yog'och kub har tomondan oq bo'yoq bilan bo'yalgan va keyin 64 ta bir xil kublarga arralangan. Qancha kub uch tomondan rangli bo'lib chiqdi? Ikki tomondanmi?
Bir tomondan? Qancha kublar rangli emas?

8-sinf.

1-mashq. 13 raqami qanday ikki raqam bilan tugaydi!

Vazifa 2. Kasrni kamaytiring:

Vazifa 3. Maktab drama to'garagi A.S. ertagidan parcha tayyorlashga tayyorgarlik ko'rmoqda. Pushkin Tsar Saltan haqida, rollarni ishtirokchilar o'rtasida taqsimlashga qaror qildi.
- Men Chernomor bo'laman, - dedi Yura.
- Yo'q, men Chernomor bo'laman, - dedi Kolya.
- Yaxshi, - Yura unga tan berdi, - men Gvidonni o'ynay olaman.
- Xo'sh, men Saltan bo'lishim mumkin, - Kolya ham itoat ko'rsatdi.
- Men faqat Guidon bo'lishga roziman! - dedi Misha.
Yigitlarning tilaklari qondirildi. Rollar qanday taqsimlangan?

Vazifa 4. AD medianasi asosi AB = 8m boʻlgan ABC teng yonli uchburchakda chizilgan. ACD uchburchakning perimetri ABD uchburchak perimetridan 2 m ga katta. AS ni toping.

Vazifa 5. Nikolay 96 varaqdan iborat oddiy daftarni sotib oldi va sahifalarini 1 dan 192 gacha raqamladi. Uning jiyani Artur bu daftardan 35 varaqni yirtib tashladi va ularga yozilgan 70 ta raqamni qo'shib oldi. U 2010 yilni olishi mumkinmi?

9-sinf

1-mashq. 1989 1989 yil oxirgi raqamini toping.

Vazifa 2. Ba'zilarining ildizlari yig'indisi kvadrat tenglama 1 va ularning kvadratlari yig'indisi 2. Ularning kublari yig'indisi nechaga teng?

Vazifa 3. m a, m b va m c ∆ ABC uchta medianadan foydalanib, AC = b tomonining uzunligini toping.

Vazifa 4. Fraksiyani kamaytiring .

Vazifa 5. “Kamzol” so‘zida unli va undoshni necha xil usulda tanlash mumkin?

10-sinf.

1-mashq. Hozirda 1, 2, 5, 10 rubllik tangalar mavjud. Juft va toq tangalar bilan toʻlash mumkin boʻlgan barcha pul summalarini koʻrsating.

Vazifa 2. 5 + 5 2 + 5 3 + … + 5 2010 soni 6 ga boʻlinishini isbotlang.

Vazifa 3. To'rtburchakda A B C D diagonallar bir nuqtada kesishadi M. Ma'lumki AM = 1,
VM = 2, CM = 4. Qanday qadriyatlarda DM to'rtburchak A B C D trapezoidmi?

Vazifa 4. Tenglamalar tizimini yechish

Vazifa 5. O‘ttiz nafar maktab o‘quvchilari – o‘ninchi va o‘n birinchi sinf o‘quvchilari qo‘l berib ko‘rishdi. Shu bilan birga, har bir o‘ninchi sinf o‘quvchisi sakkiz nafar o‘n birinchi sinf o‘quvchisi bilan, har bir o‘n birinchi sinf o‘quvchisi yetti nafar o‘ninchi sinf o‘quvchisi bilan qo‘l berib ko‘rishgani ma’lum bo‘ldi. O'ninchi sinf o'quvchilari nechta va o'n birinchi sinf o'quvchilari nechta?