Kiekvieną dieną. Furjė eilutė: matematinio mechanizmo istorija ir įtaka mokslo raidai Furjė eilutės pastovioji dedamoji e lygi
Furjė serija yra savavališkai paimtos funkcijos su konkrečiu periodu atvaizdavimas kaip serija. AT bendras vaizdasšis sprendimas vadinamas elemento išskaidymu stačiakampiu pagrindu. Funkcijų išplėtimas Furjė serijoje yra gana galingas įrankis sprendžiant įvairias problemas dėl šios transformacijos savybių integruojant, diferencijuojant, taip pat keičiant išraišką argumente ir konvoliucijoje.
Asmuo, kuris nėra susipažinęs su aukštąja matematika, taip pat su prancūzų mokslininko Furjė darbais, greičiausiai nesupras, kas yra šios „serialai“ ir kam jos skirtos. Tuo tarpu ši transformacija mūsų gyvenime tapo gana tanki. Jį naudoja ne tik matematikai, bet ir fizikai, chemikai, medikai, astronomai, seismologai, okeanografai ir daugelis kitų. Taip pat atidžiau pažvelkime į didžiojo prancūzų mokslininko, kuris atrado anksčiau laiko, darbus.
Žmogus ir Furjė transformacija
Furjė serija yra vienas iš metodų (kartu su analize ir kitais) Šis procesas vyksta kiekvieną kartą, kai žmogus girdi bet kokį garsą. Mūsų ausis automatiškai transformuoja elementarias daleles į elastingą terpę, jos suskaidomos į eiles (išilgai spektro) nuoseklių garsumo verčių skirtingo aukščio tonams. Tada smegenys šiuos duomenis paverčia mums žinomais garsais. Visa tai vyksta be mūsų noro ar sąmonės, savaime, tačiau norint suprasti šiuos procesus, prireiks kelerių metų studijuoti aukštąją matematiką.
Daugiau apie Furjė transformaciją
Furjė transformaciją galima atlikti analitiniais, skaitiniais ir kitais metodais. Furjė serijos nurodo skaitinį bet kokių virpesių procesų skaidymo būdą – nuo vandenyno potvynių ir šviesos bangų iki saulės (ir kitų astronominių objektų) veiklos ciklų. Naudojant šiuos matematinius metodus, galima analizuoti funkcijas, vaizduojančias bet kokius svyravimo procesus kaip sinusinių komponentų seriją, kuri pereina nuo minimumo iki maksimumo ir atvirkščiai. Furjė transformacija yra funkcija, apibūdinanti tam tikrą dažnį atitinkančių sinusoidų fazę ir amplitudę. Šis procesas gali būti naudojamas išspręsti labai sudėtingos lygtys, kurie aprašo dinaminiai procesai atsirandantys veikiant šiluminei, šviesos ar elektros energijai. Taip pat Furjė serijos leidžia išskirti pastovius komponentus sudėtinguose svyruojančiuose signaluose, o tai leido teisingai interpretuoti gautus eksperimentinius stebėjimus medicinoje, chemijoje ir astronomijoje.
Istorijos nuoroda
Šios teorijos įkūrėjas yra prancūzų matematikas Jeanas Baptiste'as Josephas Fourier. Vėliau ši transformacija buvo pavadinta jo vardu. Iš pradžių mokslininkas savo metodą taikė tirdamas ir aiškindamas šilumos laidumo – šilumos plitimo viduje – mechanizmus kietosios medžiagos. Furjė pasiūlė, kad pradinis netaisyklingas pasiskirstymas gali būti suskaidytas į paprasčiausias sinusoidus, kurių kiekviena turės savo temperatūros minimumą ir maksimumą, taip pat savo fazę. Tokiu atveju kiekvienas toks komponentas bus matuojamas nuo minimumo iki maksimumo ir atvirkščiai. Matematinė funkcija, apibūdinanti viršutinę ir apatinę kreivės smailes, taip pat kiekvienos harmonikos fazę, vadinama temperatūros pasiskirstymo išraiškos Furjė transformacija. Teorijos autorius sumažino bendrą pasiskirstymo funkciją, o tai sunku matematinis aprašymas, į labai patogią kosinuso ir sinuso seriją, susumavus, kad būtų pateiktas pradinis skirstinys.
Transformacijos principas ir amžininkų pažiūros
Mokslininko amžininkai – XIX amžiaus pradžios pirmaujantys matematikai – šios teorijos nepriėmė. Pagrindinis prieštaravimas buvo Furjė tvirtinimas, kad nenutrūkstamą funkciją, apibūdinančią tiesią liniją arba nepertraukiamą kreivę, galima pavaizduoti kaip sinusoidinių išraiškų, kurios yra tolydžios, sumą. Kaip pavyzdį apsvarstykite Heaviside „žingsnį“: jo reikšmė yra nulis kairėje nuo tarpo ir viena dešinėje. Ši funkcija apibūdina elektros srovės priklausomybę nuo laiko kintamojo, kai grandinė uždaryta. To meto teorijos amžininkai niekada nebuvo susidūrę su tokia situacija, kai nenutrūkstamą išraišką apibūdintų nuolatinių, įprastų funkcijų, tokių kaip eksponentinė, sinusoidė, tiesinė ar kvadratinė, derinys.
Kas supainiojo prancūzų matematikus Furjė teorijoje?
Galų gale, jei matematikas buvo teisus savo teiginiuose, susumavus begalinę trigonometrinę Furjė eilutę, galima gauti tikslų laipsniškos išraiškos vaizdą, net jei ji turi daug panašių žingsnių. XIX amžiaus pradžioje toks teiginys atrodė absurdiškas. Tačiau nepaisant visų abejonių, daugelis matematikų išplėtė šio reiškinio tyrimo apimtį, perkeldami jį už šilumos laidumo tyrimų ribų. Tačiau daugumą mokslininkų ir toliau kankino klausimas: „Ar sinusoidinių eilučių suma gali susilyginti su tikslia nenutrūkstamos funkcijos verte?
Furjė serijos konvergencija: pavyzdys
Konvergencijos klausimas keliamas kaskart, kai reikia susumuoti begalines skaičių eilutes. Norėdami suprasti šį reiškinį, apsvarstykite klasikinis pavyzdys. Ar kada nors galite pasiekti sieną, jei kiekvienas tolesnis žingsnis yra perpus mažesnis už ankstesnį? Tarkime, kad esate du metrai nuo tikslo, pirmas žingsnis priartina prie pusiaukelės, kitas – prie trijų ketvirčių žymos, o po penkto žingsnio įveiksite beveik 97 procentus kelio. Tačiau, kad ir kiek žingsnių atliktumėte, užsibrėžto tikslo griežtąja matematine prasme nepasieksite. Naudojant skaitinius skaičiavimus, galima parodyti, kad galiausiai galima priartėti prie savavališkai mažo nurodyto atstumo. Šis įrodymas prilygsta parodymui, kad bendra pusės, ketvirtadalio ir tt vertė bus viena.
Konvergencijos klausimas: antrasis atėjimas arba lordo Kelvino prietaisas
Šis klausimas vėl buvo iškeltas XIX amžiaus pabaigoje, kai Furjė serijomis buvo bandoma numatyti atoslūgių ir atoslūgių intensyvumą. Tuo metu lordas Kelvinas išrado įrenginį, kuris yra analoginis skaičiavimo įrenginys, leidžiantis kariuomenės ir prekybinio laivyno jūreiviams sekti šį gamtos reiškinį. Šis mechanizmas nustatė fazių ir amplitudių rinkinius iš potvynių aukščių lentelės ir atitinkamų laiko momentų, kruopščiai išmatuotų tam tikrame uoste per metus. Kiekvienas parametras buvo sinusoidinis potvynio aukščio išraiškos komponentas ir buvo vienas iš reguliarių komponentų. Matavimų rezultatai buvo įvesti į lordo Kelvino skaičiuotuvą, kuris susintetino kreivę, numatančią vandens aukštį kaip laiko funkciją kitiems metams. Labai greitai panašios kreivės buvo nubrėžtos visuose pasaulio uostuose.
O jei procesą nutraukia nepertraukiama funkcija?
Tuo metu atrodė akivaizdu, kad potvynio bangos prognozuotojas su daugybe skaičiavimo elementų gali apskaičiuoti daugybę fazių ir amplitudių ir taip pateikti tikslesnes prognozes. Nepaisant to, paaiškėjo, kad šio dėsningumo nepastebėta tais atvejais, kai sintezuojama potvynio išraiška turėjo staigų šuolį, tai yra, buvo nenutrūkstama. Tuo atveju, kai į įrenginį įvedami duomenys iš laiko momentų lentelės, jis apskaičiuoja kelis Furjė koeficientus. Sinusoidinių komponentų dėka (pagal rastus koeficientus) atkuriama pirminė funkcija. Neatitikimas tarp pradinės ir atkurtos išraiškos gali būti išmatuotas bet kuriame taške. Atliekant pakartotinius skaičiavimus ir palyginimus, matyti, kad vertė didžiausia klaida nesumažėja. Tačiau jie yra lokalizuoti regione, atitinkančiame nepertraukiamumo tašką, ir bet kuriame kitame taške linkę į nulį. 1899 metais šį rezultatą teoriškai patvirtino Joshua Willardas Gibbsas iš Jeilio universiteto.
Furjė eilučių konvergencija ir matematikos raida apskritai
Furjė analizė netaikoma išraiškoms, turinčioms begalinį skaičių serijų tam tikrame intervale. Apskritai Furjė serija, jei pradinė funkcija vaizduojama realios rezultatu fizinis matmuo, visada susilieja. Šio proceso konvergencijos konkrečioms funkcijų klasėms klausimai lėmė naujų matematikos skyrių, pavyzdžiui, apibendrintų funkcijų teorijos, atsiradimą. Ji siejama su tokiais vardais kaip L. Schwartz, J. Mikusinsky ir J. Temple. Šios teorijos rėmuose aiškiai ir tiksliai teorinis kontekstas pagal tokias išraiškas kaip Dirako delta funkcija (ji apibūdina vienos srities sritį, sutelktą be galo mažoje taško kaimynystėje) ir Heaviside'o "žingsnis". Šio darbo dėka Furjė serija tapo pritaikyta sprendžiant lygtis ir uždavinius, kuriuose atsiranda intuityvios sąvokos: taškinis krūvis, taškinė masė, magnetiniai dipoliai, taip pat koncentruota spindulio apkrova.
Furjė metodas
Furjė serijos, pagal trukdžių principus, prasideda sudėtingų formų skaidymu į paprastesnes. Pavyzdžiui, šilumos srauto pasikeitimas paaiškinamas jo praėjimu per įvairias kliūtis, pagamintas iš netaisyklingos formos šilumą izoliuojančios medžiagos, arba žemės paviršiaus pasikeitimu - žemės drebėjimu, orbitos pasikeitimu. dangaus kūnas- planetų įtaka. Paprastai panašios lygtys, apibūdinančios paprastas klasikines sistemas, elementariai išsprendžiamos kiekvienai atskirai bangai. Furjė tai parodė paprasti sprendimai Taip pat galima apibendrinti, kad būtų galima rasti sudėtingesnių problemų sprendimus. Išreikšta matematikos kalba, Furjė serija yra išraiškos kaip harmonikų - kosinuso ir sinusoidų - sumos vaizdavimo technika. Štai kodėl šią analizę taip pat žinomas kaip "harmoninė analizė".
Furjė serija – ideali technika prieš „kompiuterių amžių“
Prieš kuriant kompiuterines technologijas, Furjė technika buvo geriausias ginklas mokslininkų arsenale dirbant su mūsų pasaulio bangine prigimtimi. Sudėtinga Furjė serija leidžia išspręsti ne tik paprastas problemas, kurias galima tiesiogiai pritaikyti Niutono mechanikos dėsniams, bet ir pagrindines lygtis. Dauguma Niutono mokslo atradimų XIX amžiuje buvo įmanomi tik Furjė technika.
Furjė serija šiandien
Tobulėjant kompiuteriams Furjė transformacijos pakilo į kokybiškai naują lygį. Ši technika yra tvirtai įsitvirtinusi beveik visose mokslo ir technologijų srityse. Pavyzdys yra skaitmeninis garso ir vaizdo signalas. Ją įgyvendinti tapo įmanoma tik XIX amžiaus pradžioje prancūzų matematiko sukurtos teorijos dėka. Taigi Furjė serija sudėtinga forma leido padaryti proveržį kosminės erdvės tyrime. Be to, tai turėjo įtakos puslaidininkinių medžiagų ir plazmos fizikos, mikrobangų akustikos, okeanografijos, radaro ir seismologijos tyrimams.
Trigonometrinė Furjė serija
Matematikoje Furjė eilutė yra savavališko vaizdavimo būdas sudėtingos funkcijos paprastesnių suma. Paprastai tokių išraiškų skaičius gali būti begalinis. Be to, kuo labiau skaičiuojant atsižvelgiama į jų skaičių, tuo tikslesnis galutinis rezultatas. Dažniausiai trigonometrinės kosinuso arba sinuso funkcijos naudojamos kaip paprasčiausios. Šiuo atveju Furjė eilutės vadinamos trigonometrinėmis, o tokių išraiškų sprendimas – harmonikos išplėtimu. Šis metodas žaidžia svarbus vaidmuo matematikoje. Visų pirma, trigonometrinė serija suteikia vaizdą, taip pat funkcijų tyrimą, tai yra pagrindinis teorijos aparatas. Be to, tai leidžia išspręsti daugybę matematinės fizikos problemų. Galiausiai ši teorija prisidėjo prie vystymosi visa linija labai svarbios matematikos mokslo sekcijos (integralų teorija, periodinių funkcijų teorija). Be to, tai buvo atspirties taškas kuriant šias realaus kintamojo funkcijas, taip pat buvo harmoninės analizės pradžia.
Furjė periodinių funkcijų serija su periodu 2π.
Furjė serija leidžia tirti periodines funkcijas, jas skaidant į komponentus. Kintamos srovės ir įtampos, poslinkiai, švaistiklio mechanizmų greitis ir pagreitis bei akustinės bangos yra tipiški praktiniai periodinių funkcijų taikymo inžineriniuose skaičiavimuose pavyzdžiai.
Furjė eilutės išplėtimas grindžiamas prielaida, kad visos praktinės reikšmės funkcijos intervale -π ≤ x ≤ π gali būti išreikštos kaip konvergentinė trigonometrinė eilutė (eilutė laikoma konvergentine, jei dalinių sumų seka, sudaryta iš jos narių, konverguoja) :
Standartinis (= įprastas) žymėjimas per sinx ir cosx sumą
f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,
kur a o , a 1 ,a 2 ,...,b 1 ,b 2 ,.. yra tikrosios konstantos, t.y.
Kur diapazone nuo -π iki π Furjė eilutės koeficientai apskaičiuojami pagal formules:
Vadinami koeficientai a o ,a n ir b n Furjė koeficientai, o jei juos galima rasti, vadinasi serija (1). netoli Furjė, atitinkančią funkciją f(x). Serijai (1) terminas (a 1 cosx+b 1 sinx) vadinamas pirmuoju arba pagrindinė armonika,
Kitas būdas rašyti seriją yra naudoti santykį acosx+bsinx=csin(x+α)
f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)
Kur a o yra konstanta, c 1 \u003d (a 1 2 +b 1 2) 1/2, c n \u003d (a n 2 +b n 2) 1/2 yra įvairių komponentų amplitudės ir yra lygios a n \ u003d arctg a n /b n.
Serijoje (1) terminas (a 1 cosx + b 1 sinx) arba c 1 sin (x + α 1) vadinamas pirmuoju arba pagrindinė armonika,(a 2 cos2x+b 2 sin2x) arba c 2 sin(2x+α 2) vadinamas antroji harmonika ir taip toliau.
Norint tiksliai atvaizduoti sudėtingą signalą, paprastai reikia begalinio skaičiaus terminų. Tačiau daugelyje praktinių problemų pakanka atsižvelgti tik į keletą pirmųjų terminų.
Furjė neperiodinių funkcijų serija su periodu 2π.
Neperiodinių funkcijų išplėtimas Furjė serijoje.
Jei funkcija f(x) yra neperiodinė, ji negali būti išplėsta Furjė serijoje visoms x reikšmėms. Tačiau galima apibrėžti Furjė eilutę, vaizduojančią funkciją bet kuriame 2π pločio diapazone.
Atsižvelgiant į neperiodinę funkciją, galima sukurti naują funkciją pasirinkus f(x) reikšmes tam tikrame diapazone ir kartojant jas už šio diapazono 2π intervalais. Kadangi naujoji funkcija yra periodinė su 2π periodu, ją galima išplėsti Furjė serijoje visoms x reikšmėms. Pavyzdžiui, funkcija f(x)=x nėra periodinė. Tačiau, jei reikia išplėsti ją į Furjė eilutę intervale nuo 0 iki 2π, tada periodinė funkcija su 2π periodu sudaroma už šio intervalo ribų (kaip parodyta paveikslėlyje žemiau).
Neperiodinėms funkcijoms, pvz., f(x)=x, suma Furjė serija yra lygus f(x) reikšmei visuose nurodyto diapazono taškuose, tačiau jis nėra lygus f(x) taškams už diapazono ribų. Norint rasti neperiodinės funkcijos Furjė eilutes diapazone 2π, naudojama ta pati Furjė koeficientų formulė.
Lyginės ir nelyginės funkcijos.
Jie sako, kad funkcija y=f(x) net jei f(-x)=f(x) visoms x reikšmėms. Lyginių funkcijų grafikai visada yra simetriški y ašiai (tai yra, jie yra veidrodiniai). Du lyginių funkcijų pavyzdžiai: y=x 2 ir y=cosx.
Jie sako, kad funkcija y=f(x) keista, jei f(-x)=-f(x) visoms x reikšmėms. Nelyginių funkcijų grafikai visada yra simetriški kilmei.
Daugelis funkcijų nėra nei lyginės, nei nelyginės.
Furjė serijos išplėtimas kosinusais.
Lyginės periodinės funkcijos f(x) su periodu 2π Furjė eilutėje yra tik kosinuso nariai (t. y. nėra sinuso narių) ir gali būti pastovus narys. Vadinasi,
kur yra Furjė eilutės koeficientai,
Nelyginės periodinės funkcijos f(x) su periodu 2π Furjė eilutėje yra tik terminai su sinusais (t. y. nėra terminų su kosinusais).
Vadinasi,
kur yra Furjė eilutės koeficientai,
Furjė serija per pusę ciklo.
Jei funkcija apibrėžta diapazonui, tarkime, nuo 0 iki π, o ne tik nuo 0 iki 2π, ji gali būti išplėsta į eilę tik sinusų arba tik kosinusų atžvilgiu. Gauta Furjė serija vadinama netoli Furjė per pusę ciklo.
Jei norite gauti skaidymą Furjė per pusę ciklo kosinusais funkcijos f(x) diapazone nuo 0 iki π, tuomet reikia sudaryti lyginę periodinę funkciją. Ant pav. žemiau yra funkcija f(x)=x, pagrįsta intervalu nuo x=0 iki x=π. Kadangi lyginė funkcija yra simetriška f (x) ašiai, brėžiame liniją AB, kaip parodyta Fig. žemiau. Jei darysime prielaidą, kad už nagrinėjamo intervalo ribų gauta trikampio forma yra periodinė su 2π periodu, tada galutinis grafikas turi formą, ekraną. pav. žemiau. Kadangi Furjė plėtimąsi reikia gauti kosinusais, kaip ir anksčiau, apskaičiuojame Furjė koeficientus a o ir a n
Jei norite gauti funkcijas f (x) diapazone nuo 0 iki π, tuomet turite sudaryti nelyginę periodinę funkciją. Ant pav. žemiau yra funkcija f(x)=x, pagrįsta intervalu nuo x=0 iki x=π. Kadangi nelyginė funkcija yra simetriška kilmės atžvilgiu, mes sukuriame liniją CD, kaip parodyta Fig. Jei darysime prielaidą, kad už nagrinėjamo intervalo ribų gautas pjūklo signalas yra periodinis su 2π periodu, tada galutinis grafikas turi tokią formą, kaip parodyta Fig. Kadangi Furjė plėtimąsi reikia gauti per pusę ciklo sinusų atžvilgiu, kaip ir anksčiau, apskaičiuojame Furjė koeficientą. b
Furjė serija savavališkam intervalui.
Periodinės funkcijos išplėtimas L periodu.
Periodinė funkcija f(x) kartojasi x didėjant L, t.y. f(x+L)=f(x). Perėjimas nuo anksčiau nagrinėtų funkcijų su periodu 2π prie funkcijų su periodu L yra gana paprastas, nes tai galima padaryti naudojant kintamojo pakeitimą.
Norėdami rasti funkcijos f(x) Furjė eilutę diapazone -L/2≤x≤L/2, įvedame naują kintamąjį u, kad funkcijos f(x) periodas u atžvilgiu būtų 2π. Jei u=2πx/L, tai x=-L/2, kai u=-π ir x=L/2, kai u=π. Taip pat tegul f(x)=f(Lu/2π)=F(u). Furjė serija F(u) turi formą
Kur yra Furjė serijos koeficientai,
Tačiau dažniau aukščiau pateikta formulė lemia priklausomybę nuo x. Kadangi u=2πх/L, tai du=(2π/L)dx, o integravimo ribos yra nuo -L/2 iki L/2, o ne nuo -π iki π. Todėl priklausomybės nuo x Furjė eilutė turi formą
kur intervale nuo -L/2 iki L/2 yra Furjė eilutės koeficientai,
(Integravimo ribas galima pakeisti bet kokiu L ilgio intervalu, pavyzdžiui, nuo 0 iki L)
Furjė serija per pusę ciklo funkcijoms, pateiktoms intervale L≠2π.
Pakeitimui u=πx/L intervalas nuo x=0 iki x=L atitinka intervalą nuo u=0 iki u=π. Todėl funkcija gali būti išplėsta į eilutę tik kosinusų atžvilgiu arba tik sinusų atžvilgiu, t.y. in Furjė serija per pusę ciklo.
Išplėtimas kosinusais diapazone nuo 0 iki L turi formą
Funkcija apibrėžta visoms reikšmėms x paskambino periodinis leidinys, jei yra toks skaičius T (T≠ 0), kad už bet kokią vertę x lygybė f(x + T) = f(x). Skaičius Tšiuo atveju yra funkcijos laikotarpis.
Periodinių funkcijų savybės:
1) Periodinio laikotarpio funkcijų suma, skirtumas, sandauga ir koeficientas T yra periodinė laikotarpio funkcija T.
2) Jei funkcija f(x) turi laikotarpį T, tada funkcija f (kirvis) turi laikotarpį
Tikrai, dėl bet kokių argumentų X:
(argumento padauginimas iš skaičiaus reiškia šios funkcijos grafiko suspaudimą arba ištempimą išilgai ašies OI)
Pavyzdžiui, funkcija turi tašką, o funkcijos periodas yra
3) Jei f(x) periodinė periodinė funkcija T, tada bet kurie du šios funkcijos integralai yra lygūs, paimti ilgio intervalą T(manoma, kad šie integralai egzistuoja).
Furjė eilutė funkcijai su periodu T= .
Trigonometrinė serija yra šios formos serija:
arba trumpai tariant,
Kur , , , , , … , , , … yra realieji skaičiai, vadinami serijos koeficientais.
Kiekvienas trigonometrinės eilutės narys yra periodinė periodo funkcija (nes - turi bet kurią
taškas, o taškas () yra , taigi ir ). Kiekvienas terminas (), su n= 1,2,3… yra paprasto harmoninio virpesio analitinė išraiška, kur A- amplitudė,
Pradinė fazė. Atsižvelgdami į tai, kas išdėstyta aukščiau, gauname: jei trigonometrinė eilutė susilieja su periodo ilgio atkarpa, tada ji konverguoja visoje skaitinėje ašyje ir jos suma yra periodinė periodo funkcija.
Tegul trigonometrinė eilutė tolygiai susilieja atkarpoje (taigi ir bet kurioje atkarpoje) ir jos suma lygi . Norėdami nustatyti šios serijos koeficientus, naudojame šias lygybes:
Taip pat naudojame šias savybes.
1) Kaip žinoma, serijos, sudarytos iš ištisinių funkcijų, tolygiai susiliejančių tam tikrame atkarpoje, suma pati yra tolydžioji funkcija šiame segmente. Atsižvelgdami į tai, gauname, kad trigonometrinės eilutės, tolygiai konverguojančios atkarpoje, suma yra tolydžioji funkcija visoje realioje ašyje.
2) Tolygus eilučių konvergencija segmente nebus pažeista, jei visi eilutės nariai bus padauginti iš funkcijos, kuri yra ištisinė šiame segmente.
Visų pirma, vienoda konvergencija tam tikros trigonometrinės eilutės segmente nebus pažeista, jei visi eilutės nariai bus padauginti iš arba iš .
Pagal sąlygą
Integravus tolygiai konvergencines eilutes (4.2) ir atsižvelgiant į aukščiau pateiktas lygybes (4.1) (trigonometrinių funkcijų ortogonalumas), gauname:
Todėl koeficientas
Padauginus lygybę (4.2) iš , integruojant šią lygybę intervale nuo iki ir, atsižvelgiant į aukščiau pateiktas išraiškas (4.1), gauname:
Todėl koeficientas
Panašiai lygybę (4.2) padauginus iš ir integruojant ribose nuo iki , atsižvelgiant į lygybes (4.1), gauname:
Todėl koeficientas
Taigi gaunamos šios Furjė eilutės koeficientų išraiškos:
Pakankami funkcijos išplėtimo į Furjė eilutę kriterijai. Prisiminkite, kad esmė x o funkcijos pertrauka f(x) vadinamas pirmos rūšies nenutrūkstamumo tašku, jei funkcijos dešinėje ir kairėje yra baigtinės ribos f(x) taško apylinkėse.
Riba dešinėje
Kairė riba.
Teorema (Dirichlet). Jei funkcija f(x) turi periodą ir yra tęstinis atkarpoje arba turi baigtinį skaičių pirmos rūšies nenutrūkstamų taškų ir, be to, atkarpą galima padalyti į baigtinį skaičių atkarpų taip, kad kiekvienoje iš jų f(x) yra monotoniška, tada funkcijai Furjė serija f(x) sutampa visoms vertybėms x. Be to, funkcijos tęstinumo taškuose f(x) jo suma yra f(x), ir funkcijos nutrūkimo taškuose f(x) jo suma yra , t.y. kairėje ir dešinėje esančių ribinių verčių aritmetinis vidurkis. Be to, Furjė serija funkcijai f(x) tolygiai susilieja į bet kurį segmentą, kuris kartu su jo galais priklauso funkcijos tęstinumo intervalui f(x).
Pavyzdys: išplėsti funkciją Furjė serijoje
Sąlygos tenkinimas.
Sprendimas. Funkcija f(x) tenkina Furjė plėtimosi sąlygas, todėl galime rašyti:
Pagal (4.3) formules galima gauti šias Furjė serijos koeficientų vertes:
Skaičiuojant Furjė eilutės koeficientus, buvo naudojama formulė „integracija dalimis“.
Ir todėl
Furjė serijos lyginėms ir nelyginėms funkcijoms su periodu T = .
Mes naudojame šią integralo savybę, palyginti su simetriškumu x=0 tarpas:
Jeigu f(x)- nelyginė funkcija,
jeigu f(x) yra lygi funkcija.
Atkreipkite dėmesį, kad dviejų lyginių arba dviejų nelyginių funkcijų sandauga yra lyginė, o lyginės ir nelyginės funkcijos sandauga yra nelyginė. Leisk dabar f(x)- net periodinė funkcija su periodu , kuri tenkina išplėtimo į Furjė eilutę sąlygas. Tada, naudodamiesi aukščiau pateikta integralų savybe, gauname:
Taigi lyginės funkcijos Furjė eilutėje yra tik lyginės funkcijos - kosinusai ir rašoma taip:
ir koeficientus bn = 0.
Ginčiuodami panašiai gauname, kad jeigu f(x) – nelyginė periodinė funkcija, atitinkanti išplėtimo į Furjė eilutę sąlygas, todėl nelyginės funkcijos Furjė eilutėje yra tik nelyginės funkcijos - sinusai ir rašoma taip:
kurioje an=0 adresu n = 0, 1,…
Pavyzdys: Furjė serijoje išplėskite periodinę funkciją
Kadangi duota nelyginė funkcija f(x) tenkina Furjė plėtimosi sąlygas, tada
arba kas yra tas pats,
Ir Furjė serija šiai funkcijai f(x) galima parašyti taip:
Furjė serija bet kurio periodo funkcijoms T=2 l.
Leisti f(x)- periodinė bet kurio laikotarpio funkcija T=2l(l- pusperiodis), fragmentiškai lygus arba monotoniškas intervale [ -l,l]. Darant prielaidą x=at, gauti funkciją f(at) argumentas t, kurio laikotarpis yra . Rinksim a kad funkcijos laikotarpis f(at) buvo lygus , t.y. T = 2l
Sprendimas. Funkcija f(x)- nelyginis, tenkinantis išplėtimo į Furjė eilutę sąlygas, todėl, remiantis (4.12) ir (4.13) formulėmis, turime:
(skaičiuojant integralą buvo naudojama formulė „integracija dalimis“).
Furjė serijos lyginių ir nelyginių funkcijų išplėtimas segmente pateiktos funkcijos išplėtimas į eilę sinusais arba kosinusais Furjė eilutė, skirta funkcijai su savavališku periodu Kompleksinis Furjė serijos vaizdavimas bendrosiose ortogonaliose funkcijų sistemose Furjė eilutė stačiakampėje sistemoje Minimali Furjė koeficientų savybė Besselio nelygybė Lygybė Parseval Uždarosios sistemos Sistemų užbaigtumas ir uždarumas
Furjė serijos lyginių ir nelyginių funkcijų išplėtimas Funkcija f(x), apibrėžta atkarpoje \-1, kur I > 0, iškviečiama net jei lyginės funkcijos grafikas yra simetriškas y ašiai. Funkcija f(x), apibrėžta atkarpoje J, kur I > 0, vadinama nelygine, jei nelyginės funkcijos grafikas yra simetriškas pradžios atžvilgiu. Pavyzdys. a) Funkcija yra lyginė atkarpoje |-jt, jt), nes visiems x e b) Funkcija yra nelyginė, nes lyginių ir nelyginių funkcijų Furjė serijos išplėtimas yra funkcijos, nurodytos segmente, išplėtimas. sinusai arba kosinusai Furjė eilutės funkcijai su savavališku periodu Kompleksinis Furjė serijos žymėjimas bendrosiose stačiakampėse funkcijų sistemose Furjė eilutės stačiakampėje sistemoje Minimali Furjė koeficientų savybė Beselio nelygybė Parsevalinė lygybė Uždarosios sistemos Sistemų užbaigtumas ir uždarumas c) Funkcija f(x)=x2-x, kur nepriklauso nei lyginėms, nei nelyginėms funkcijoms, nes Tegul funkcija f(x), atitinkanti 1 teoremos sąlygas, yra lyginė atkarpoje x|. Tada visiems t.y. /(g) cos nx yra lyginė funkcija, o f(x)sinnx yra nelyginė. Todėl lyginės funkcijos Furjė koeficientai /(x) bus lygūs.Todėl lyginės funkcijos Furjė eilutės forma yra f(x) sin nx yra lyginė funkcija. Todėl turėsime Taigi nelyginės funkcijos Furjė eilutė turi formą Taikydami integraciją dalimis turime du kartus, gauname, kad Taigi šios funkcijos Furjė eilutė atrodo taip: arba, išplėstoje formoje, Ši lygybė galioja bet kokiam x €, nes taškuose x = ±ir yra serija sutampa su funkcijos f(x ) = x2 reikšmėmis, nes funkcijos f(x) = x grafikai ir gautų eilučių sumos pateiktos fig. komentuoti. Ši Furjė eilutė leidžia rasti vienos iš konvergencinių skaitinių eilučių sumą, būtent, jei x \u003d 0, mes gauname, kad Funkcija /(x) tenkina 1 teoremos sąlygas, todėl ją galima išplėsti į Furjė eilutę, kuri dėl šios funkcijos keistumo turės formą Integruojant dalimis, randame Furjė koeficientus Todėl Furjė Šios funkcijos serija turi formą Ši lygybė galioja visiems x В taškams x - ±tg Furjė eilutės suma nesutampa su funkcijos / (x) = x reikšmėmis, nes ji yra lygi Už segmentas [- *, n-] serijos suma yra periodinis funkcijos / (x) \u003d x tęsinys; jo grafikas parodytas fig. 6. § 6. Funkcijos, pateiktos intervale, išplėtimas į eilę sinusų arba kosinusų atžvilgiu. Šios funkcijos reikšmės intervale 0| galima apibrėžti įvairiais būdais. Pavyzdžiui, segmente mc] galima apibrėžti funkciją / taip, kad /. Šiuo atveju sakoma, kad) "yra pratęstas iki atkarpos 0] tolygiai"; jos Furjė serijoje bus tik kosinusai. Tačiau jei funkcija /(x) yra apibrėžta segmente [-x, mc] taip, kad /(, tada gaunama nelyginė funkcija, ir tada sakome, kad / "yra išplėsta iki atkarpos [-*, 0 ] nelyginiu būdu"; šiuo atveju Furjė eilutėje bus tik sinusai. Taigi kiekviena apribota dalimis monotoniška funkcija /(x), apibrėžta segmente , gali būti išplėsta į Furjė eilutę tiek pagal sinusai ir kosinusai.Pavyzdys 1. Išplėskite funkciją Furjė eilutėje: a) kosinusais; b) išilgai sinusų. M Ši funkcija su lyginiais ir nelyginiais segmento |-x, 0) plėtiniais bus ribota ir monotoniška. a) Tęsiame / (z) į atkarpą 0) a) Tęsiame j \ x) į atkarpą (-m, 0 | lygiu būdu (7 pav.), tada jos Furjė eilutė i turės formą P \u003d 1 kur Furjė koeficientai yra lygūs, atitinkamai, todėl b) Tęskime /(z) atkarpoje [-x,0] nelyginiu būdu (8 pav.). Tada jos Furjė serija §7. Furjė serija funkcijai su savavališku periodu Tegul funkcija fix) yra periodinė, kurios periodas yra 21,1 ^ 0. Norėdami išplėsti ją į Furjė seriją intervale, kuriame I > 0, pakeičiame kintamąjį nustatydami x = jt . Tada funkcija F(t) = / ^tj bus periodinė argumento t funkcija su tašku ir ji gali būti išplėsta Furjė serijos segmente Grįžtant prie kintamojo x, t.y. nustatant, gauname , lieka jėga taip pat ir periodinėms funkcijoms su savavališku periodu 21. Visų pirma, išlieka galioti ir pakankamas funkcijos išplėtimo į Furjė eilutę kriterijus. 1 pavyzdys. Furjė serijoje išplėskite periodinę funkciją su periodu 21, pateiktą atkarpoje [-/,/] pagal formulę (9 pav.). Kadangi ši funkcija yra lygi, jos Furjė serija turi formą Pakeičiant Furjė koeficientų reikšmes į Furjė eilutes, gauname vieną dalyką. svarbus turtas periodines funkcijas. 5 teorema. Jei funkcija turi periodą T ir yra integruojama, tai bet kuriam skaičiui a galioja lygybė m. y., atkarpos, kurios ilgis lygus periodui T, integralas turi tokią pačią reikšmę, nepaisant šio atkarpos padėties tikrojoje ašyje. Iš tiesų, antrojo integralo kintamąjį keičiame, darydami prielaidą Tai suteikia, todėl geometriškai ši savybė reiškia, kad ploto, užtamsinto Fig. 10 sričių yra lygios viena kitai. Konkrečiai, funkcijai f(x) su periodu, lyginių ir nelyginių funkcijų Furjė serijos išplėtimas gauname segmente pateiktos funkcijos išplėtimą į eilę sinusų arba kosinusų atžvilgiu Furjė serija funkcijai su savavališkas periodas Kompleksinis Furjė serijos vaizdavimas bendrosiose stačiakampių sistemų funkcijose Furjė serija stačiakampėje sistemoje Minimali Furjė koeficientų savybė Parsevalio lygybė Uždarosios sistemos Sistemų užbaigtumas ir uždarumas periodinės funkcijos Furjė koeficientai f(x) su periodu 21 galima apskaičiuoti naudojant formules, kur a yra savavališkas realusis skaičius (atkreipkite dėmesį, kad funkcijos cos - ir sin turi periodą 2/). 3 pavyzdys. Furjė eilutėje išplėskite funkciją, pateiktą intervale, kurio periodas yra 2x (11 pav.). 4 Raskite šios funkcijos Furjė koeficientus. Sudėjus formules, matome, kad Todėl Furjė serija atrodys taip: Taške x = jt (pirmojo tipo nenutrūkstamumo taškas) turime §8. Furjė serijos kompleksinis žymėjimas Šiame skyriuje naudojami kai kurie kompleksinės analizės elementai (žr. XXX skyrių, kur visos čia atliekamos operacijos su sudėtingomis išraiškomis yra griežtai pagrįstos). Tegul funkcija f(x) tenkina pakankamas sąlygas išplėtimui į Furjė eilutę. Tada atkarpoje x] jį galima pavaizduoti formos serija Naudojant Eilerio formules Pakeitus šias išraiškas į eilutes (1), o ne cos nx ir sin xy, mes turėsime Įvedame tokį žymėjimą Tada serija (2) įgauna formą Taigi Furjė serija (1) pateikiama kompleksine forma (3). Raskime koeficientų išraiškas integralais. Turime Panašiai randame Galiausiai с„, с_п ir с formules galima parašyti taip: . . Koeficientai cn vadinami kompleksiniais funkcijos Furjė koeficientais Periodinei funkcijai su periodu) Furjė serijos kompleksinė forma įgauna formos reikšmes w, jei yra ribos. Pavyzdys. Išplėsti periodo funkciją į sudėtingą Furjė eilutę Ši funkcija atitinka pakankamas sąlygas išplėsti Furjė seriją. Raskite šios funkcijos kompleksinius Furjė koeficientus. Mes turime nelyginį lyginį n, arba, trumpai tariant. Pakeitę reikšmes), galiausiai gauname Atkreipkite dėmesį, kad šią eilutę galima parašyti ir taip: Furjė eilutės bendrosiose stačiakampėse funkcijų sistemose 9.1. Stačiakampės funkcijų sistemos Žymėkite aibe visų (tikrųjų) funkcijų, kurios yra apibrėžtos kvadratu ir integruojamos intervale [a, 6], t. y. tas, kurioms yra integralas. Visų pirma, visos funkcijos f(x), kurios yra ištisiniai intervale [a , 6], priklauso 6], o jų Lebesgue integralų reikšmės sutampa su Riemann integralų reikšmėmis. Apibrėžimas. Funkcijų sistema, kur vadinama stačiakampe intervale [a, b\, jei sąlyga (1) visų pirma daro prielaidą, kad nė viena funkcija nėra identiškai lygi nuliui. Integralas suprantamas Lebesgue prasme. o dydį vadiname funkcijos norma.Jei stačiakampėje sistemoje bet kuriam n turime, tai funkcijų sistema vadinama ortonormalia. Jei sistema (y>n(x)) yra stačiakampė, tai sistema 1 pavyzdys. Trigonometrinė sistema yra statmena atkarpoje. Funkcijų sistema yra ortonormali funkcijų sistema, 2 pavyzdys. Kosinusų sistema ir sinusų sistema yra ortonormali. Įveskime žymėjimą, kad jos yra statmenos atkarpoje (0, f|, bet ne stačiakampės (I ↦ 2). Kadangi jų normos yra COS, tai funkcijos sudaro ortonormalią atkarpos funkcijų sistemą. Parodykime, pavyzdžiui, kad Legendre polinomai yra stačiakampiai. Tegul m > n. Šiuo atveju integruodami n kartų dalimis, randame, kadangi funkcijai t/m = (z2 - I)m visos išvestinės iki eilės m - I imtinai išnyksta atkarpos galuose [-1,1). Apibrėžimas. Funkcijų sistema (pn(x)) vadinama stačiakampe intervale (a, b) per iškyšą p(x), jei: 1) yra integralai visiems n = 1,2,... Čia daroma prielaida, kad svorio funkcija p(x) yra apibrėžta ir teigiama visur intervale (a, b), išskyrus baigtinį taškų skaičių, kur p(x) gali išnykti. Atlikę diferenciaciją (3) formulėje, randame. Galima parodyti, kad Čebyševo-Hermito daugianariai yra stačiakampiai intervale 4 pavyzdys. Beselio funkcijų sistema (jL(pix)^ yra stačiakampė Besselio funkcijos nulių intervalui. 5 pavyzdys. Apsvarstykite Čebyševo-Hermito daugianorius, kurią galima apibrėžti naudojant lygybę. Furjė eilutė stačiakampėje sistemoje Tegul stačiakampė funkcijų sistema intervale (a, 6) ir seka (cj = const) šiame intervale susilieja su funkcija f(x): Abi paskutinės lygybės puses padauginus iš - fiksuotas) ir integruojant per x nuo a iki 6, dėl sistemos ortogonalumo gauname, kad ši operacija paprastai yra grynai formalaus pobūdžio. Tačiau kai kuriais atvejais, pavyzdžiui, kai serija (4) konverguoja tolygiai, visos funkcijos yra tolydžios, o intervalas (a, 6) yra baigtinis, ši operacija yra teisėta. Bet mums dabar svarbi formali interpretacija. Tarkime, kad funkcija yra duota. Skaičius c * formuojame pagal formulę (5) ir užrašome Dešinėje pusėje esanti eilutė vadinama funkcijos f (x) Furjė serija sistemos atžvilgiu (^n (n)) - Skaičiai Cn yra šioje sistemoje vadinami funkcijos f (x) Furjė koeficientais. Ženklas ~ formulėje (6) reiškia tik tai, kad skaičiai Cn yra susieti su funkcija f(x) pagal (5) formulę (šiuo atveju nemanoma, kad dešinėje esančios eilutės išvis konverguoja, o tuo labiau konverguoja prie funkcijos f(x)). Todėl natūraliai kyla klausimas: kokios šios serijos savybės? Kokia prasme ji „vaizduoja“ funkciją f(x)? 9.3. Vidutinės konvergencijos apibrėžimas. Seka konverguoja į elementą ] vidutiniškai, jei norma yra erdvėje 6 teorema. Jei seka ) konverguoja tolygiai, tai ji taip pat konverguoja vidutiniškai. M Tegul seka ()) tolygiai konverguoja atkarpoje [a, b] į funkciją f(x). Tai reiškia, kad bet kuriam, visiems pakankamai dideliam n, turime Vadinasi, iš kurio išplaukia mūsų teiginys. Atvirkščiai netiesa: seka () gali susivesti vidutiniškai į /(x), bet ne būti tolygiai konverguojanti. Pavyzdys. Panagrinėkime seką nx Nesunku pastebėti, kad bet ši konvergencija nėra vienoda: egzistuoja, pavyzdžiui, toks, kad nesvarbu, koks n yra didelis, Furjė segmento eilutėje funkcijai su savavališku periodu. Furjė serija bendrosiose stačiakampėse funkcijų sistemose Furjė eilutė stačiakampėje sistemoje Minimali Furjė koeficientų savybė Besselio nelygybė Parsevalio lygybė Uždarosios sistemos Sistemų užbaigtumas ir uždarumas ir tegul) ortonormalioje sistemoje b Apsvarstykite tiesinę kombinaciją, kur n ^ 1 yra fiksuotas sveikasis skaičius ir raskite konstantų, kurių integralas turi mažiausią reikšmę, reikšmes. Parašykime išsamiau Integruodami terminą po termino, dėl sistemos ortonormalumo gauname Pirmieji du nariai dešinėje lygybės (7) pusėje yra nepriklausomi, o trečiasis – neneigiamas. Todėl integralas (*) įgauna mažiausią reikšmę, kai ak = sk. Integralas vadinamas funkcijos f(x) kvadratiniu aproksimacija kaip tiesine Tn(x) kombinacija. Taigi funkcijos /\ kvadratinio vidurkio aproksimacija įgyja mažiausią reikšmę, kai. kai Tn(x) yra 71-oji funkcijos /(x) Furjė serijos dalinė suma sistemoje (. Nustatant ak = ck, iš (7) gauname lygybę (9) vadinama Beselio tapatybe. Kadangi jos kairėje pusė yra neneigiama, tai iš jos išplaukia Besselio nelygybė Kadangi i čia savavališka, Besselio nelygybė gali būti pavaizduota sustiprinta forma, t.y., bet kuriai funkcijai / šios funkcijos kvadratinių Furjė koeficientų serija ortonormalioje sistemoje ) suartėja . Kadangi sistema yra ortonormali atkarpoje [-x, r], tai nelygybė (10), išversta į įprastą trigonometrinės Furjė eilutės žymėjimą, suteikia ryšį do, galiojantį bet kuriai funkcijai f(x) su integruojamu kvadratu. Jei f2(x) yra integruojamas, tai dėl būtina sąlyga eilučių konvergencija kairėje nelygybės (11) pusėje, gauname, kad. Parsevalio lygybė Kai kurioms sistemoms (^n(x)) nelygybės ženklą formulėje (10) galima pakeisti (visoms funkcijoms f(x) 6 x) lygybės ženklu. Gauta lygybė vadinama Parseval-Steklov lygybe (išsamumo sąlyga). Besselio tapatybė (9) leidžia mums įrašyti sąlygą (12) lygiaverte forma pagal erdvės normą 6]. Apibrėžimas. Ortonormali sistema (vadinama baigta b2[ay b], jei bet kurią funkciją galima bet kokiu tikslumu aproksimuoti vidutiniškai naudojant tiesinį formos derinį su pakankamai didelis skaičius terminai, ty jei bet kuriai funkcijai f(x) ∈ b2[a, b\ ir bet kuriai e > 0 egzistuoja natūralusis skaičius nq ir skaičiai a\, a2y..., kad ne Aukščiau pateiktas samprotavimas reiškia 7 teoremą. Jei ortonormalizuojant sistema ) yra baigta erdvėje, bet kurios funkcijos / Furjė serija šioje sistemoje konverguoja į f(x) vidutiniškai, t.y. pagal normą Galima parodyti, kad trigonometrinė sistema erdvėje yra užbaigta.Tai reiškia teiginį. 8 teorema. Jei funkcija /0 jos trigonometrinė Furjė eilutė konverguoja į ją vidutiniškai. 9.5. uždaros sistemos. Sistemų užbaigtumas ir uždarumas Apibrėžimas. Ortonormali funkcijų sistema \, vadinama uždara, jei erdvėje Li\a, b) nėra nulinės funkcijos, statmenos visoms funkcijoms Erdvės L2\a, b\ ortonormalių sistemų užbaigtumo ir uždarumo sąvokos sutampa. Pratimai 1. Išplėskite funkciją Furjė serijoje intervale (-i-, x) 2. Išplėskite funkciją Furjė eilutėje intervale (-r, r) 3. Išplėskite funkciją Furjė serijoje intervale (-r, r) 4. Išplėskite Furjė seriją intervalo (-jt, r) funkcijoje 5. Išplėskite Furjė serijoje intervale (-r, r) funkciją f (x) \u003d x + x . 6. Furjė serijoje intervale (-jt, r) išplėskite funkciją n. 7. Furjė serijoje intervale (-r, x) išplėskite funkciją / (x) \u003d sin2 x. 8. Furjė eilutėje intervale (-m, jt) išplėskite funkciją f(x) = y 9. Furjė eilutėje intervale (-mm, -k) išplėskite funkciją f(x) = | sinx|. 10. Furjė eilutėje intervale (-x-, r) išplėskite funkciją f(x) = g. 11. Išplėskite Furjė seriją intervale (-r, r) funkciją f (x) \u003d sin §. 12. Furjė eilutėje išplėskite funkciją f (x) = n -2x, pateiktą intervale (0, x), tęsdami ją intervale (-x, 0): a) lyginiu būdu; b) keistu būdu. 13. Furjė eilutėje sinusų atžvilgiu išplėskite funkciją / (x) \u003d x2, pateiktą intervale (0, x). 14. Furjė eilutėje išplėskite funkciją / (x) \u003d 3-x, pateiktą intervale (-2,2). 15. Furjė eilutėje išplėskite funkciją f (x) \u003d |x |, pateiktą intervale (-1,1). 16. Furjė eilutėje sinusais išplėskite funkciją f (x) \u003d 2x, nurodytą intervale (0,1).
