Sprendžiant logaritminės nelygybės Kaip išspręsti. Viskas apie logaritminės nelygybės. Atpažinimo pavyzdžiai. Sprendžiant logaritminę nelygybę
Sprendžiant nelygybę internete
Prieš sprendžiant nelygybę, būtina įsisavinti, kaip išspręstos lygtys.
Nesvarbu, kaip nelygybė yra griežta () arba neįtikėtina (≤, ≥), pirmas dalykas - pradėti išspręsti lygtį, pakeičiant nelygybės ženklą lygybei (\u003d).
Paaiškinkime, ką reiškia nelygybė?
Studijuojant į galvos lygtis, studentas susideda iš šių paveikslėlio: būtina rasti tokias kintamojo vertes, kurioje abi lygties dalys užima tas pačias vertes. Kitaip tariant, surasti visus taškus, kuriuose atliekamas lygybė. Gerai!
Kai jie kalba apie nelygybę, jie reiškia intervalų (segmentų), dėl kurių vykdoma nelygybė, nustatymą. Jei nelygybė yra du kintamieji, tirpalas nebus intervalų, bet kai plotas ant plokštumos. Atspėk save, kas bus trijų kintamųjų nelygybės sprendimas?
Kaip išspręsti nelygybę?
Visuotinis būdas išspręsti nelygybę Apsvarstykite intervalo metodą (tai yra tas pats intervalų metodas), kuris slypi visų intervalų apibrėžime, kuris bus atliekamas nustatytos nelygybės ribose.
Nesikreipiant į nelygybės tipą, šiuo atveju tai nėra esmė, ji privalo išspręsti atitinkamą lygtį ir nustatyti savo šaknis po šių sprendimų nuoroda į skaitinėje ašyje.
Kaip įrašyti nelygybės sprendimą?
Nustačius intervalus nelygybės sprendimų, jums reikia teisingai užsirašyti pats sprendimas. Yra svarbus niuansas - atlikite sprendimo intervalų ribas?
Viskas yra paprasta čia. Jei lygties sprendimas atitinka OTZ ir nelygybė yra neįtikėtina, intervalo siena yra įtraukta į nelygybės tirpalą. Priešingu atveju - ne.
Atsižvelgiant į kiekvieną intervalą, nelygybės nutarimas gali būti pats intervalas arba pusiau intervalas (kai viena iš jos ribų atitinka nelygybę) arba segmentą - intervalą kartu su jos sienomis.
Svarbus momentas
Nemanykite, kad tik intervalai, pusiau intervalai ir segmentai gali būti sprendžiami nelygybė. Ne, tirpalas gali apimti atskirai.
Pavyzdžiui, nelygybė | X | ≤0 Tik vienas sprendimas yra 0 taškas.
Ir nelygybė | X |
Kodėl man reikia nelygybės skaičiuoklės?
Nelygybės skaičiuoklė išduoda teisingą galutinį atsakymą. Daugeliu atvejų pateikiama skaitmeninės ašies ar plokštumos iliustracija. Jis gali būti matomas, ar intervalų ribos yra įtrauktos į tirpalą arba ne - taškai rodomi dažais arba pradūravimais.
Dėl interneto nelygybės skaičiuoklės galite patikrinti, ar radote lygties šaknis, jie pažymėjo juos į skaitmeninę ašį ir patikrino intervalais (ir ribojančiais) nelygybės būklę?
Jei jūsų atsakymas yra išsklaidytas su skaičiuokle atsakymu, tada vienareikšmiškai reikia dukart patikrinti savo sprendimą ir atskleisti prisiimtą klaidą.
Tarp viso kolektoriaus logaritminės nelygybės Atskirai studijuoja nelygybę su kintama baze. Jie išspręsta speciali formulė, kad dėl kokių nors priežasčių retai kalbėjo su mokykla:
prisijungti k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) - g (x)) · (k (x) - 1) ∨ 0
Vietoj DAW "∨" galite įdėti bet kokį nelygybės ženklą: daugiau ar mažiau. Svarbiausia yra tai, kad abiem nelygybe požymiai buvo tokie patys.
Taigi mes atsikratytume logaritmų ir sumažintume racionalios nelygybės užduotį. Pastarasis yra priimtas daug lengviau, bet kai atsisakius logaritmus, gali atsirasti papildomų šaknų. Norėdami išjungti, pakanka rasti leistinų verčių plotą. Jei pamiršote otz logarithm, aš primygtinai rekomenduoju kartoti - žr. "Kas yra logaritmas".
Visa tai susiję su leistinų verčių srityje turi būti parašyta atskirai:
f (x)\u003e 0; g (x)\u003e 0; k (x)\u003e 0; k (x) ≠ 1.
Šios keturios nelygybės sudaro sistemą ir turi būti atliekama vienu metu. Kai yra nustatyta leistinų verčių plotas, ji lieka kirsti jį su sprendimu racionali nelygybė - ir atsakymas yra pasiruošęs.
Užduotis. Išspręskite nelygybę:
Norėdami pradėti, gerti otz logarithm:
Pirmosios dvi nelygybės atliekamos automatiškai, o pastarasis turės būti nudažytas. Kadangi skaičius skaičius yra nulis, jei ir tik tada, kai pats numeris yra nulis, mes turime:
x 2 + 1 ≠ 1;
x 2 ≠ 0;
x ≠ 0.
Pasirodo, kad nelyginis logaritmas yra visi numeriai, išskyrus nulio: x ∈ (-∞ 0) ∪ (0; + ∞). Dabar išsprendžiame pagrindinę nelygybę:
Atliekame perėjimą nuo logaritminės nelygybės racionalu. Pradinėje nelygyboje yra "mažiau" ženklas, tai reiškia, kad gauta nelygybė taip pat turėtų būti "mažiau" ženklas. Mes turime:
(10 - x 2 + 1)) · (x 2 + 1 - 1)< 0;
(9 - x 2) · x 2< 0;
(3 - x) · (3 + x) · x 2< 0.
Šios išraiškos nuliai: x \u003d 3; x \u003d -3; x \u003d 0. Be to, X \u003d 0 yra antrojo įvairovės šaknis, tai reiškia, kad funkcija nesikeičia per jį perjungiant jį. Mes turime:
Mes gauname x ∈ (-∞ -3) ∪ (3; + ∞). Šis rinkinys yra visiškai pateiktas OTZ logaritmmyje, tai yra atsakymas.
Logaritminės nelygybės transformavimas
Dažnai pradinė nelygybė skiriasi nuo pirmiau minėtų. Tai lengva teisinga pagal standartines darbo taisykles su logaritmais - žr. "Pagrindinės logaritmų savybės". Būtent:
- Bet koks skaičius yra idėja kaip logaritmas su tam tikra baze;
- Suma ir skirtumas tarp logaritmų su tomis pačiomis bazėmis gali būti pakeista vienu logaritmu.
Atskirai, noriu priminti apie leistinų verčių plotą. Kadangi pradinėje nelygyboje gali būti keletas logaritmų, reikia rasti OTZ kiekvieną iš jų. Taigi bendroji logaritminės nelygybės sprendimo schema yra tokia:
- Rasti kiekvieno nelygybės įtrauktų logaritmo otz;
- Sumažinti nelygybę standartinėms formulėms ir atimant logaritmus;
- Išspręskite gautą nelygybę pagal pirmiau pateiktą schemą.
Užduotis. Išspręskite nelygybę:
Mes surasime pirmojo logaritmo apibrėžimo sritį (OTZ):
Mes išsprendžiame intervalo metodą. Mes randame Numeratoriaus nulius:
3x - 2 \u003d 0;
x \u003d 2/3.
Tada - danominatoriaus nuliai:
x - 1 \u003d 0;
x \u003d 1.
Mes švenčiame ZEROS ir ženklus apie koordinačių rodykles:
Mes gauname x ∈ (-∞ 2/3) ∪ (1; + ∞). Antrasis OTZ logaritmas bus tas pats. Netikėkite - galite patikrinti. Dabar mes transformuojame antrą logaritmą, kad dvigubai stovintumėte į pagrindą:
Kaip matote, trijų ir priešais logaritmą sumažėjo. Gavo du logaritmą su ta pačia baze. Mes juos sulenkiame:
Žurnalas 2 (x - 1) 2< 2;
Žurnalas 2 (x - 1) 2< log 2 2 2 .
Gavo standartinę logaritminę nelygybę. Atsikratykite logaritms pagal formulę. Kadangi pradinėje nelygyboje yra "mažiau" ženklas, gauta racionali išraiška taip pat turėtų būti mažesnė už nulį. Mes turime:
(F (x) - g (x)) · (k (x) - 1)< 0;
((X - 1) 2 - 2 2) (2 - 1)< 0;
x 2 - 2x + 1 - 4< 0;
x 2 - 2x - 3< 0;
(x - 3) (x + 1)< 0;
x ∈ (-1; 3).
Gautos du rinkiniai:
- Otz: x ∈ (-∞ 2/3) ∪ (1; + ∞);
- Kandidatas: x ∈ (-1; 3).
Lieka kirsti šiuos rinkinius - mes gauname tikrą atsakymą:
Mes esame suinteresuoti rinkinių sankirta, todėl pasirinkome abiejų rodykles dažytus intervalus. Mes gauname x ∈ (-1; 2/3) ∪ (1; 3) - visus gyventojų taškus.
Ar manote, kad prieš egzaminą dar yra laiko, ir turite laiko pasiruošti? Galbūt tai yra. Bet bet kuriuo atveju, kuo greičiau mokytojas pradeda pasirengti, tuo sėkmingiau jis pateikia egzaminą. Šiandien nusprendėme skirti straipsnį į logaritminę nelygybę. Tai yra viena iš užduočių, o tai reiškia, kad galima gauti papildomą rezultatą.
Ar jau žinote, kas yra logaritmas (žurnalas)? Mes tikrai tikimės, kad taip. Bet net jei jūs neturite atsakyti į šį klausimą, tai nėra problema. Suprasti, ką logaritmas yra labai paprastas.
Kodėl tiksliai 4? Tokiu mastu jums reikia sukurti 3 numerį, kad galėtumėte dirbti 81. Kai suprantate principą, galite pradėti sudėtingesnius skaičiavimus.
Nelygybė, kurią praėjote prieš kelerius metus. Ir nuo tada jie nuolat susitinka su matematika. Jei turite problemų su nelygybės sprendimu, žr. Atitinkamą skyrių.
Dabar, kai susitiko su sąvokomis atskirai, mes kreipiamės į jų dėmesį apskritai.
Paprasčiausia logaritminė nelygybė.
Paprasčiausias logaritminės nelygybės neapsiriboja šiuo pavyzdžiu, yra dar trys, tik su kitais ženklais. Kodėl jums reikia? Visiškai suprasti, kaip išspręsti nelygybę su logaritmais. Dabar mes suteikiame daugiau taikytino pavyzdys, vis dar gana paprasta, sudėtinga logaritminė nelygybė bus palikti vėliau.
Kaip jį išspręsti? Viskas prasideda nuo Otz. Verta žinoti daugiau apie jį, jei noriu visada lengvai išspręsti bet kokią nelygybę.
Kas yra oz? OTZ logaritminės nelygybės
Santrumpa yra iššifruoti kaip leistinų verčių sritis. EE užduotyse ši formuluotė dažnai pasirodo. OST bus naudinga ne tik logaritminės nelygybės atveju.
Pažvelkite į pirmiau pateiktą pavyzdį. Mes apsvarstysime OTZ, remiantis juo, kad suprastumėte principą, o logaritminės nelygybės sprendimas nesukėlė problemų. Nuo logaritmo apibrėžimo matyti, kad 2x + 4 turėtų būti didesnis nei nulis. Mūsų atveju tai reiškia.
Šis skaičius pagal apibrėžimą turėtų būti teigiamas. Išspręskite pirmiau pateiktą nelygybę. Tai galima padaryti net žodžiu, čia yra aišku, kad x negali būti mažesnis nei 2. nelygybės sprendimas ir bus nustatomas pagal leistinų verčių srityje.
Dabar pereisime prie paprasčiausios logaritminės nelygybės sprendimo.
Mes patys atsisakome logaritmų iš nelygybės dalių. Koks yra mūsų rezultatas? Paprasta nelygybė.
Tai lengva ją išspręsti. X turėtų būti labiau -0.5. Dabar sujungiame dvi gautas vertes. Taigi,
Tai bus leistinų logaritminės nelygybės verčių plotas.
Kodėl jums reikia otz? Tai yra gebėjimas nutraukti neteisingus ir neįmanomus atsakymus. Jei atsakymas neįtrauktas į leistinų verčių srityje, tai reiškia, kad atsakymas tiesiog nėra prasmingas. Verta prisiminti ilgą laiką, nes reikia ieškoti OTZ dažnai susitinka ir ne tik logaritminės nelygybės.
Logaritminės nelygybės algoritmo sprendimai
Sprendimas susideda iš kelių etapų. Pirma, būtina rasti leistinų verčių sritį. "Owz" bus dvi reikšmės, mes laikėme didesnę. Be to, būtina išspręsti pačią nelygybę. Sprendimo metodai yra šie:
- daugiklio pakeitimo metodas;
- skilimas;
- racionalizavimo metodas.
Priklausomai nuo situacijos, reikia taikyti vieną iš pirmiau minėtų metodų. Mes tiesiogiai kreipiamės į tirpalą. Mes atskleisime populiariausią metodą, kuris tinka panaudoti naudojimo užduotims beveik visais atvejais. Be to, mes laikome skilimo metodą. Jis gali padėti, jei buvo ypač "trūkumų" nelygybė. Taigi, logaritminės nelygybės sprendimo algoritmas.
Sprendimų pavyzdžiai. :
Mes ne veltui, kad tokia nelygybė užėmė! Atkreipkite dėmesį į pagrindą. Atminkite: jei tai yra daugiau nei vienas, ženklas išlieka toks pats, kai nustatyta leistinų verčių plotas; Priešingu atveju reikia pakeisti nelygybės ženklą.
Kaip rezultatas, mes gauname nelygybę:
Dabar mes suteikiame kairę pusę į lygtį, lygią nuliui. Vietoj "mažiau" ženklo "lygus" išspręstume lygtį. Taigi, mes surasime Otz. Tikimės, kad tai sprendžiame paprasta lygtis Jūs neturėsite jokių problemų. Atsakymai -4 ir -2. Tai ne viskas. Jūs turite rodyti šiuos taškus ant diagramos, pasirūpinti "+" ir "-". Ką reikia tai padaryti? Pakeiskite numerį iš intervalų. Jei vertės yra teigiamos, yra "+".
Atsakymas: X negali būti daugiau -4 ir mažiau -2.
Mes radome leistinų verčių plotą tik kairėje pusėje, dabar jums reikia rasti leistinų reikšmių plotą dešinėje pusėje. Tai nėra pavyzdys lengviau. Atsakymas: -2. Kirsti abi vietas.
Ir tik dabar pradėsime išspręsti pačią nelygybę.
Jis supaprastina jį kiek įmanoma išspręsti tai buvo lengviau.
Sprendime dar kartą taikome intervalo metodą. Mes mažiname skaičiavimus, su juo jau viskas yra aišku į ankstesnį pavyzdį. Atsakymas.
Tačiau šis metodas yra tinkamas, jei logaritminė nelygybė turi tokias pačias bazes.
Logaritminių lygčių ir nelygybės su skirtingomis bazėmis sprendimas apima pradinį derinimą su vienos bazės. Toliau taikyti pirmiau nurodytą metodą. Tačiau yra sunkiau. Apsvarstykite vieną iš sudėtingiausių logaritminių nelygybės tipų.
Logaritminės nelygybės su kintama baze
Kaip išspręsti tokių savybių nelygybę? Taip, ir toks gali susitikti egzaminui. Taip pat naudinga nelygybės sprendimas su šiuo būdu yra naudinga Švietimo procesas. Išsiaiškinsime jį išsamiu būdu. Mes išmesti teoriją, mes iš karto išvyksime į praktiką. Norėdami išspręsti logaritminę nelygybę, pakanka supažindinti save su pavyzdžiu.
Norėdami išspręsti logaritminę nelygybę pateikto požiūrio, būtina pareikšti dešinę pusę į logaritmą su ta pačia baze. Šis principas primena lygiaverčius perėjimus. Kaip rezultatas, nelygybė atrodys taip.
Tiesą sakant, ji lieka sukurti nelygybės sistemą be logaritmų. Naudojant racionalizavimo metodą, pereikite prie lygiavertės nelygybės sistemos. Jūs suprasite ir pati taisyklė, kai pakeisite atitinkamas vertes ir laikykitės jų pakeitimų. Sistema turės šią nelygybę.
Naudojant racionalumo metodą, sprendžiant nelygybę, būtina prisiminti: nuo pagrindo būtina atimti vienetą, x nustatyti abiejų nelygybės dalių logaritmą (iš kairės), dėkingi dvi išraiškos ir veikiami pagal pradinį ženklą, palyginti su nuliu.
Tolesnis sprendimas atliekamas intervalais, viskas yra paprasta čia. Svarbu suprasti sprendimų metodų skirtumus, tada viskas prasidės lengvai gauti.
Logaritminės nelygybės yra daug niuansų. Paprasčiausias iš jų yra lengva išspręsti. Kaip tai padaryti, kad išspręstumėte kiekvieną iš jų be problemų? Visi atsakymai, kuriuos jau gavote šiame straipsnyje. Dabar jums laukia ilga praktika. Nuolat praktika sprendžiant įvairias užduotis egzaminui ir galėsite gauti aukščiausią rezultatą. Jums sėkmės jūsų sudėtingame akte!
Logaritminės lygtys ir nelygybė į ambasados Matematikoje c3 užduotis. . Mokymasis išspręsti C3 užduotis iš EGE matematikos turėtų kiekvienas studentas, jei jis nori perduoti artėjantį egzaminą "gerai" arba "puikiai". Šiame straipsnyje pateikiama trumpa apžvalga dažnai vyksta logaritminės lygtys ir nelygybė, taip pat pagrindiniai jų sprendimo būdai.
Taigi šiandien analizuosime keletą pavyzdžių. logaritminės lygtys ir nelygybėkurie buvo pasiūlyti studentams pastarųjų metų matematikos EMES. Tačiau jis prasidės trumpai pagrindinių teorinių akimirkų santrauka, kurią turime išspręsti.
Logaritminė funkcija
Apibrėžimas
Typės funkcija
0, \\ t a ne 1] "pavadinimas \u003d" (! Lang: "QuickTex.com"">!}
skambinkite logaritminė funkcija.
Pagrindinės savybės
Pagrindinės savybės logaritminė funkcija y. \u003d Žurnalas. X.:
Logaritminės funkcijos grafikas yra logaritminė kreivė:
Logaritmo savybės
Logariths veikia Du teigiami skaičiai yra lygūs šių numerių logaritmų sumai:
Pavadinimas \u003d "(! Lang:" QuickTextex.com "">!}
Logarithm privati Du teigiami skaičiai yra lygūs šių numerių logaritmų skirtumui:
Pavadinimas \u003d "(! Lang:" QuickTextex.com "">!}
Jeigu a. ir. \\ T b. a. ≠ 1, tada už bet kokį skaičių r. sąžininga lygybė:
Pavadinimas \u003d "(! Lang:" QuickTextex.com "">!}
Lygybė. \\ T Žurnalas. a. t. \u003d Žurnalas. a. s.kur a. > 0, a. ≠ 1, t. > 0, s. \u003e 0, teisingai ir tik tada, kai t. = s.
Jeigu a., b., c. - teigiami skaičiai, ir a. ir. \\ T c. Puikus iš vieno, yra lygybė ( perėjimo prie naujos logaritmo pagrindo formulė):
Pavadinimas \u003d "(! Lang:" QuickTextex.com "">!}
1 teorija. Jeigu f.(x.)\u003e 0 ir g.(x.)\u003e 0, tada logaritminio lygties žurnalas F.(x.) \u003d Žurnalas. G.(x.) (kur. \\ T a. > 0, a. ≠ 1) lygiavertė lygtis f.(x.) = g.(x.).
Logaritminių lygčių ir nelygybės sprendimas
1 pavyzdys. Išspręskite lygtį:
Sprendimas. Leistinų verčių plotas apima tik tuos x.kurioje išraiška po logaritmo ženklu yra didesnė už nulį. Šias vertes lemia ši nelygybės sistema:
Pavadinimas \u003d "(! Lang:" QuickTextex.com "">!}
Atsižvelgiant į tai
Pavadinimas \u003d "(! Lang:" QuickTextex.com "">!}
mes gauname spragą, kuri lemia šios logaritminės lygties leistinų verčių plotą:
Remiantis 1 teoremu, kurios čia pateikiamos visos sąlygos, eikite į kitą lygiavertę kvadratinę lygtį:
Leistinų verčių plotas apima tik pirmąjį šaknį.
Atsakymas: x \u003d 7.
2 pavyzdys. Išspręskite lygtį:
Sprendimas. Leistinų lygties verčių plotą lemia nelygybės sistema:
ql-right-eqno "\u003e
Sprendimas.Lengvos vertės plotas yra lengvai nustatomas čia: x. > 0.
Mes naudojame pakeitimą:
Lygtis užima formą:
Grįžtamieji pakaitalai:
Abu atsakymas Dalyvavo lygties leistinų verčių srityje, nes jie yra teigiami.
4 pavyzdys. Išspręskite lygtį:
Sprendimas.Iš naujo pradėti tirpalą nuo lygties leistinų verčių ploto nustatymo. Tai lemia ši nelygybės sistema:
ql-right-eqno "\u003e
Logaritmų pagrindai yra vienodi, todėl leidžiamų verčių srityje galite eiti į kitą kvadratinę lygtį:
Pirmoji šaknis nėra įtraukta į lygties leistinų verčių plotą, antrasis - įeina.
Atsakymas: x. = -1.
5 pavyzdys. Išspręskite lygtį:
Sprendimas. Mes ieškosime sprendimų intervale x. > 0, x.≠ 1. Mes transformuojame lygtį lygiaverčiais:
Abu atsakymas įtraukta į leistinų lygties verčių plotą.
6 pavyzdys. Išspręskite lygtį:
Sprendimas. Nelygybės sistema, kuri lemia lygiavertės leistinų verčių plotą, turi šį kartą:
Pavadinimas \u003d "(! Lang:" QuickTextex.com "">!}
Naudodamiesi logaritmo savybėmis, mes transformuojame lygtį lygiaverčiais lygties leistinų verčių srityje:
Naudojant perėjimo formulę į naują logaritmo bazę, mes gauname:
Leistinų verčių srityje tik vienas atsakymas: x. = 4.
Dabar mes einame į K. logaritminės nelygybės . Tai tik tai, ką turite spręsti su egzaminu matematikos. Norėdami išspręsti tolesnius pavyzdžius, mums reikia šios teorijos:
2 teorija. Jeigu f.(x.)\u003e 0 ir g.(x.)\u003e 0, tada:
dėl a. \u003e 1 Logaritminė nelygybė Prisijunkite a f.(x.)\u003e Prisijunkite a g.(x.) Tai atitinka tos pačios reikšmės nelygybę: f.(x.) > g.(x.);
0.< a. < 1 логарифмическое неравенство log a f.(x.)\u003e Prisijunkite a g.(x.) Tai atitinka priešingos prasmės nelygybę: f.(x.) < g.(x.).
7 pavyzdys. Išspręskite nelygybę:
Sprendimas. Pradėkime nuo leistinų nelygybės vertybių ploto apibrėžimo. Sąvoka, stovinčiama pagal logaritminės funkcijos ženklą, turėtų būti tik teigiamos vertės. Tai reiškia, kad norimą leistinų verčių sritį lemia ši nelygybės sistema:
Pavadinimas \u003d "(! Lang:" QuickTextex.com "">!}
Kadangi logaritmo pagrindu yra mažesnis vienetas, atitinkama logaritminė funkcija bus mažėjanti, todėl perėjimas prie šių kvadratinės nelygybės bus lygiavertis 2 teorijai:
Galiausiai, atsižvelgiant į leistinų verčių plotą atsakymas:
8 pavyzdys. Išspręskite nelygybę:
Sprendimas. Pradėti nuo leistinų verčių ploto apibrėžimo:
Pavadinimas \u003d "(! Lang:" QuickTextex.com "">!}
Dėl leistinų nelygybės verčių rinkinio atliekame lygiaverčius transformacijas:
Po pjovimo ir perėjimo prie lygiavertės 2 teorijos nelygybės mes gauname:
Atsižvelgiant į leistinų verčių plotą, gauname galutinį atsakymas:
9 pavyzdys. Išspręskite logaritminę nelygybę:
Sprendimas. Leistinų nelygybės verčių plotą nustatoma pagal šią sistemą:
Pavadinimas \u003d "(! Lang:" QuickTextex.com "">!}
Galima matyti, kad leistinų verčių srityje logaritmo bazėje esanti išraiška visada yra didesnė už vienetą, todėl perėjimas prie šios nelygybės yra lygiavertis 2 teorijai:
Atsižvelgiant į priimtinų verčių plotą, gauname galutinį atsakymą:
10 pavyzdys. Išspręskite nelygybę:
Sprendimas.
Leistinų nelygybės verčių plotą nustatoma pagal nelygybės sistemą:
Pavadinimas \u003d "(! Lang:" QuickTextex.com "">!}
I METODAS. Mes naudosime pereinamojo laikotarpio formulę į naują logaritmo bazę ir kreipkitės į lygiavertį leistinų verčių srityje nelygybę.
Logaritminės nelygybės egzaminui
SECHIN MIKHAIL ALEXANDROVICH.
SMALL AKADEMIJA Studentų jaunimo RK "ieškotojas"
MBOU "Sovietų mokykla №1", 11 klasė, PGT. Sovietų Sovietų rajonas
Gunko Lyudmila Dmitrievna, mokytojas MBOU "Sovietų mokykla №1"
Sovietų rajonas
Darbo tikslas: Logaritminės nelygybės sprendimo mechanizmo tyrimas C3 naudojant nestandartinius metodus, identifikavimą Įdomūs faktai Logaritmas.
Tyrimo objektas:
3) Sužinokite, kaip išspręsti konkrečią logaritminę nelygybę C3, naudojant nestandartinius metodus.
Rezultatai:
Turinys
Įvadas ................................................. ................................... .4.
1 skyrius. Klausimo istorija ........................................... ............................... ... 5.
2 skyrius. Logaritminės nelygybės surinkimas .............................. 7
2.1. Lygiaverčiai perėjimai ir apibendrintas intervalo metodas ............... 7
2.2. Racionalizavimo metodas ............................................... ............ 15.
2.3. Nestandartinis pakeitimas .............................................. ................ ..... 22.
2.4. Užduotys su spąstų ............................................... ............. 27.
Išvada ................................................. ............................. 30.
Literatūra ............................................................................... 31.
ĮVADAS. \\ T
Aš studijuoju 11-ojoje klasėje ir planuoju užsiregistruoti universitete, kur profilio objektas yra matematika. Ir todėl mes dirbame su S. užduočių C3 užduotys jums reikia išspręsti nestandartinę nelygybę ar nelygybės sistemą, kaip taisyklė, susijusi su logaritms. Rengiant egzaminą, aš susidūriau su metodų ir metodų deficito problemą dėl egzaminų logaritminės nelygybės siūlomų C3 deficito problemą. Metodai, kurie yra tiriami mokyklos programa Pagal šią temą, nesuteikia pagrindo išspręsti užduotis C3. Matematikos mokytojas pakvietė mane dirbti su C3 uždaviniais savo vadovaujant. Be to, man buvo suinteresuotas kyla klausimas: ir mūsų gyvenime yra logaritmai?
Atsižvelgiant į tai, tema buvo pasirinkta:
"Logaritminė nelygybė egzaminui"
Darbo tikslas: Sprendžiant problemas C3 mechanizmo su nestandartinių metodų pagalba tyrimas, nustatant įdomių logaritmų faktus.
Tyrimo objektas:
1) Raskite reikalingą informaciją apie nestandartinius logaritminės nelygybės sprendimo būdus.
2) Raskite papildomos informacijos apie logaritmus.
3) išmokti išspręsti konkrečias C3 užduotis, naudojant nestandartinius metodus.
Rezultatai:
Praktinė reikšmė yra išplėsti aparatą, skirtą spręsti problemas C3. Ši medžiaga gali būti naudojama kai kurioms pamokoms, puodeliams, neprivalomoms matematikos klasėms.
Projekto produktas bus kolekcija "Logaritminė nelygybė C3 su sprendimais".
1. quesory istorija
Per 16 amžiuje apytiksruotas skaičiavimo skaičius, visų pirma astronomijoje, buvo sparčiai padidėjo. Pagerinti priemones, planetos judesių tyrimai ir kiti darbai, reikalingi COLOSSAL, kartais daugiamečiai, skaičiavimai. Astronomija kelia grėsmę realiam pavojui nuskęsti neįvykdytais skaičiavimais. Sunkumai kilo kitose srityse, pavyzdžiui, draudimo versle reikalingų stalų sudėtingų palūkanų už įvairias procentines vertes. Pagrindinis sunkumas buvo dauginimas, padalijimas daugivalytų skaičių, ypač trigonometrinių vertybių.
Logaritmų atidarymas rėmėsi pažangos savybėmis, žinomomis iki XVI a. Pabaigos. Dėl q, Q2, Q3 geometrinio progresavimo narių santykių ... ir jų rodiklių aritmetinis pažanga 1, 2, 3, ... kalbėjo "psist" archimed. Kita sąlyga buvo neigiami ir dalinių rodiklių laipsnio sklaida. Daugelis autorių nurodė, kad dauginimas, padalijimas, šaknų konstrukcija į geometrinį progresavimą į aritmetikos šaknies laipsnį ir ekstraktą - ta pačia tvarka - papildymas, atimtumas, dauginimas ir padalijimas.
Buvo logaritmo idėja kaip laipsnio rodiklis.
Mokymų apie logaritmus istorijoje praėjo kelis etapus.
1 etapas
Logaritmai buvo išradingi ne vėliau kaip 1594 nepriklausomai nuo Škotijos Baron Nera (1550-1617) ir dešimt metų Šveicarijos mechaniko Burggi (1552-1632). Abu norėjo suteikti naują patogų aritmetinį skaičiavimo įrankį, nors jie kreipėsi į šią problemą įvairiais būdais. Niekada kinematiškai išreiškė logaritminės funkcijos ir taip prisijungė prie naujos funkcijos teorijos srities. Biudžetas išliko remiantis diskretiškomis pažanga. Tačiau abiejų logaritmo apibrėžimas neatrodo modernus. Sąvoka "logarith" (logarithmas) priklauso Nepauriui. Jis kilęs iš graikų kalbos žodžių derinio: logotipai - "požiūris" ir "Ariqmo" - "numeris", kuris reiškė "santykių skaičių". Iš pradžių meistras naudojo kitą terminą: "Numeri Artificales" - "dirbtiniai numeriai", o ne Numeri Naturts - "Natūralus natūralus".
1615 m. Pokalbyje su matematikos profesoriumi, Sinst College Londone, Henry Brigse (1561-1631), Nezigūruotas logaritmui ir dešimties - 100 logaritmui arba, kuris yra sumažintas, tiesiog 1. Tai pasirodė dešimtainiai logaritmai ir buvo atspausdintos pirmosios logaritminės lentelės. Vėliau Brigsės lentelė pridėjo olandų knygų ir matematikos meilužis Andrian Flakk (1600-1667). Niekada ir brigai, nors jie atvyko į logaritmus prieš visus, paskelbė savo lenteles vėliau nei kiti - 1620 m. Žurnalo ir žurnalo ženklai buvo įvesti 1624 m. I. Kepler. Terminas "Natūralus logaritmas" buvo pristatytas Mengoli 1659 ir po jo N. Mercator 1668, ir paskelbė natūralių logaritmų skaičius nuo 1 iki 1000 pavadinimu "Nauji logaritmai" Londono mokytojas John Spreed.
Rusijos pirmosios logaritminės lentelės buvo paskelbtos 1703 m. Tačiau visose logaritminėse lentelėse buvo apskaičiuojant klaidas. Pirmieji klaidų neturintys lentelės išėjo į Berlyną Vokietijos matematikos K. Bremmeter (1804-1877) perdirbimo.
2 etapas
Tolesnė logaritmų teorijos plėtra yra susijusi su platesniu analitinės geometrijos ir skaičiavimo be galo mažų naudojimu. Iki to laiko nustatymas tarp lygių hiperbolių keturkampio ir natūralaus logaritmo. Šio laikotarpio logaritmų teorija yra susijusi su daugelio matematikų pavadinimais.
Vokiečių matematikas, astronomas ir inžinierius Nikolaus Mercator raštu
"Logarithwork" (1668) suteikia eilę, kuri suteikia plėtimui (x + 1)
laipsniai x:
Ši išraiška tiksliai atitinka jo minties judėjimą, nors jis, žinoma, patiko ne požymių d, ... ir sudėtingesnis simbolika. Atidarius logaritminės serijos atidarymą, logaritmų skaičiavimo metodas pasikeitė: jie pradėjo būti nustatomi naudojant begalines eilutes. Savo paskaitose "Pradinė matematika nuo aukščiausio lygio" Skaityta 1907-1908, F. Klein pasiūlė naudoti formulę kaip pradinę logaritmų teorijos kūrimo sąlygą.
3 etapai
Logaritminės funkcijos apibrėžimas kaip atvirkštinė funkcija
orientacinis, logaritmas kaip šios bazės laipsnio rodiklis
jis nebuvo iš karto nebuvo suformuluotas. Leonardo Euler Esė (1707-1783)
"Įvadas į begalinio mažo" (1748) analizę
logaritminės funkcijos teorijos kūrimas. Taigi,
134 praėjo nuo pirmojo logaritmų įvedimo
(skaičiavimas nuo 1614), kol matematikai atėjo į apibrėžimą
logaritmo sąvokos, kuri dabar yra pagrįsta mokyklos kursu.
2 skyrius. Logaritminės nelygybės rinkimas
2.1. Lygiaverčiai perėjimai ir apibendrintas intervalo metodas.
Įrangos perėjimai
Jei a\u003e 1
Jei 0. <
а <
1
Apibendrinis intervalas
Šis metodas yra labiausiai universalus sprendžiant beveik bet kokio tipo nelygybę. Sprendimo schema yra tokia:
1. Pateikite nelygybę šiai rūšiai, kur funkcija yra kairėje dalyje 
ir dešinėje 0.
2. Raskite lauko apibrėžimo sritį .
3. Ieškoti nulio funkcijų tai yra - išspręsti lygtį 
(Ir lygtis paprastai yra lengviau išspręsti nei spręsti nelygybę).
4. Paveikslėlis ant skaitmeninio tiesioginio lauko apibrėžimo ir nulio.
5. Nustatykite funkcijos funkcijas Gavo intervalais.
6. Pasirinkite intervalus, kai funkcija užima reikiamas vertes ir užrašykite atsakymą.
1 pavyzdys.
Sprendimas:
Taikyti intervalo metodą
nuo.
Su šiomis vertėmis visos logaritmų požymių išraiškos yra teigiamos.
Atsakymas:
2 pavyzdys.
Sprendimas:
1-Y. metodas. \\ T . OST nustatoma pagal nelygybę x. \u003e 3. Logariting su tokiu x. Remdamiesi 10, mes gauname
Paskutinė nelygybė galėtų būti išspręsta taikant skilimo taisykles, t. Y. Lyginant su nuliu veiksniais. Tačiau šiuo atveju lengva nustatyti simbolio funkcijos intervalus
todėl galite taikyti intervalo metodą.
Funkcija f.(x.) = 2x.(x.- 3,5) LG | x.- 3 | Nuolatinis x. \u003e 3 ir nulinės taškuose x. 1 = 0, x. 2 = 3,5, x. 3 = 2, x. 4 \u003d 4. Taigi, nustatykite simbolio funkcijos intervalus f.(x.):
Atsakymas:
2 kelias . Tiesiogiai taikyti pradinę intervalo metodo idėjos nelygybę.
Tai primena, kad išraiškos a. B - a. C ir ( a. - 1)(b. - 1) turi vieną ženklą. Tada mūsų nelygybė x. \u003e 3 yra lygiavertė nelygybei
arba. \\ T
Nelygybė, nelygybė išspręsta intervalais
Atsakymas:
3 pavyzdys.
Sprendimas:
Taikyti intervalo metodą
Atsakymas:
4 pavyzdys.
Sprendimas:
Nuo 2. x. 2 - 3x. + 3\u003e 0 su visa galiojančiais x.T.
Norėdami išspręsti antrą nelygybę, naudojame intervalo metodą
Pirmojoje nelygybe mes pakeisime
tada mes atvykome į nelygybę 2y 2 - y. - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те y.Kas patenkina nelygybę -0,5< y. < 1.
Kur
mes gauname nelygybę
kuris atliekamas su tais x.Dėl kurių 2 x. 2 - 3x. - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов
Dabar, atsižvelgiant į antrosios sistemos nelygybės sprendimą, mes pagaliau gauname
Atsakymas:
5 pavyzdys.
Sprendimas:
Nelygybė yra lygiavertė sistemoms
arba. \\ T
Taikyti intervalo metodą arba
Atsakymas:
6 pavyzdys.
Sprendimas:
Nelygybė yra lygiavertė sistemai
Leisti būti
tada y. > 0,
ir pirmoji nelygybė
sistemos žiūri
arba, sulankstoma
square tris kartus dauginant,
Taikant intervalo metodą iki paskutinės nelygybės
matome, kad jo sprendimai atitinka būklę y. \u003e 0 bus viskas y. > 4.
Taigi pradinė nelygybė yra lygiavertė sistemai:
Taigi, nelygybės sprendimai yra visi
2.2. Racionalizavimo metodas.
Anksčiau nelygybės racionalumo metodas nebuvo išspręstas, jie nežinojo. Tai yra "naujas modernus veiksmingas būdas išspręsti orientacines ir logaritmines nelygybę" (citata iš Kolesnikovaja C.I.)
Ir net jei mokytojas jį žinojo, ji buvo kojos - bet ar jo ekspertų egzaminas suteikia ir kodėl gi ne duoti jam mokykloje? Buvo situacijų, kai mokytojas kalbėjo studentui: "Kur tu gavai? Sit - 2."
Dabar metodas yra visur juda. Ir ten ekspertams metodiniai nurodymaiSusijęs su šiuo metodu, ir "Papildomiausi tipiškų parinkčių leidiniai ..." C3 sprendžiant šį metodą.
Puikus metodas!
"Magic Stalo"
Kitais šaltiniais
jeigu a\u003e 1 ir b\u003e 1, tada prisijunkite A B\u003e 0 ir (A -1) (B -1)\u003e 0;
jeigu a\u003e 1 ir 0 jei 0.<a.<1 и b
>1, tada prisijunkite prie b<0 и (a
-1)(b
-1)<0;
jei 0.<a.<1 и 00 ir (A -1) (B -1)\u003e 0. Atlikti argumentai yra paprasti, tačiau pastebimai supaprastinant logaritminės nelygybės sprendimą. 4 pavyzdys.
lOG X (x 2 -3)<0
Sprendimas:
5 pavyzdys.
Žurnalas 2 x (2x 2 -4x +6) ≤Log 2 x (x 2 + x) Sprendimas: 6 pavyzdys.
Norėdami išspręsti šią nelygybę, o ne vardiklį, rašyti (X - 1-1) (x - 1), o vietoj skaitiklio - darbas (x - 1) (x-3-9 + x). 7 pavyzdys.
8 pavyzdys.
2.3. Nestandartinis pakeitimas. 1 pavyzdys.
2 pavyzdys.
3 pavyzdys.
4 pavyzdys.
5 pavyzdys.
6 pavyzdys.
7 pavyzdys.
lOG 4 (3 x -1) Prisijungti 0,25 Mes pakeisime y \u003d 3 x -1; Tada ši nelygybė bus peržiūrėta LOG 4 Prisijungti 0,25 Nes. Žurnalas 0,25. Mes pakeisime t \u003d log 4 y ir mes gauname nelygybę t 2 -2t + ≥0, kurio tirpalas yra intervalai - Taigi, norėdami rasti vertybes, mes turime dviejų paprastų nelygybės derinį Todėl pradinė nelygybė yra lygi dviejų demonstracinių nelygybės visai, Pagal pirmosios šio visumos nelygybės sprendimą, atotrūkį 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+ 8 pavyzdys.
Sprendimas:
Nelygybė yra lygiavertė sistemai Pagal antros nelygybės sprendimą, kuris lemia OTZ, bus daug x.,
kuriam x. > 0.
Norėdami išspręsti pirmąją nelygybę, mes pakeisime Tada mes gauname nelygybę arba. \\ T Daugelis paskutinės nelygybės sprendimų yra metodas intervalai: -1.< t. < 2. Откуда, возвращаясь к переменной x.Gauti arba. \\ T Daug technologijų x.Kas patenkina paskutinę nelygybę priklauso otz ( x. \u003e 0) Todėl yra sistemos sprendimas, taigi, pradinė nelygybė. Atsakymas: 2.4. Užduotys su spąstų. 1 pavyzdys.
Sprendimas. OST nelygybė yra X, atitinkanti būklė 0 2 pavyzdys.
Žurnalas 2 (2 x + 1-x 2)\u003e Žurnalas 2 (2 x - 1 + 1-x) +1.
Atsakymas. (0; 0,5) u.
Atsakymas :
(3;6)
.
\u003d -LOG 4. \u003d - (log 4 y -log 4 16) \u003d 2-log 4 y, tada perrašykite paskutinę nelygybę 2Log 4 y -Log 4 2 y ≤.
Šios visumos sprendimas yra spragas 0<у≤2 и 8≤у<+.
Tai yra, suvestinė 
. Taigi, pradinė nelygybė atliekama visoms reikšmėms x nuo spragų 0<х≤1 и 2≤х<+.
.
. Todėl visi x iš intervalo 0
Išvada
Nebuvo lengva rasti specialius metodus sprendžiant C3 problemas nuo didelio gausos įvairių mokymo šaltinių. Atlikdama darbą, aš sugebėjau ištirti nestandartinius metodus sprendžiant sudėtingą logaritminę nelygybę. Tai yra: lygiaverčiai perėjimai ir bendras intervalo metodas, racionalizavimo metodas , nestandartinis pakeitimas , užduotys su spąstų Otz. Mokyklos programoje šie metodai nėra.
Skirtingi metodai, kuriuos išsprendžiau 27 C dalyje, būtent C3 egzaminą. Šie nelygybė su sprendimais pagal metodus sudarė "logaritminių IC3 logaritmų su sprendimais", kuris tapo mano veiklos projekto produktu. Man buvo patvirtinta hipotezė projekto pradžioje: C3 užduotys gali būti veiksmingai sprendžiamos, žinant šiuos metodus.
Be to, aš atskleidau įdomius logaritmų faktus. Mane domina tai padaryti. Mano dizaino produktai bus naudingi tiek studentams, tiek mokytojams.
Išvados:
Taigi pasiekiamas projekto tikslas, problema išspręsta. Ir aš gavau išsamiausią ir universalią patirtį projekto veiklos visais darbo etapais. Darbe dėl projekto metu turėjau pagrindinį vystymosi poveikį psichinei kompetencijai, veiklai, susijusi su loginio mąstymo operacijomis, kūrybinės kompetencijos, asmeninės iniciatyvos, atsakomybės atkaklumo, veiklos plėtra.
Garantijos sėkmė kuriant mokslinių tyrimų projektą Aš tapau: didelė mokyklos patirtis, gebėjimas išgauti informaciją iš įvairių šaltinių, patikrinkite jo tikslumą, tai yra svarbus.
Be tiesioginių žinių apie matematiką, išplėtė savo praktinius įgūdžius informatikos srityje, gavo naujų žinių ir patirties psichologijos srityje, nustatė kontaktus su klasės draugais, išmoko bendradarbiauti su suaugusiais. Projekto veikla, organizaciniai, intelektiniai ir komunikaciniai bendrieji mokslininkai ir įgūdžiai.
Literatūra
1. Koryanov A. G., Prokofiev A. A. nelygybės sistema su vienu kintamuoju (tipinės užduotys C3).
2. Malkova A. G. Pasiruošimas egzaminui matematikoje.
3. Samarova S. S. Logaritminės nelygybės sprendimas.
4. Matematika. Mokymo darbų rinkimas pagal A.L redaktorius. Semenova ir I.V. Yashchenko. -M.: MCNMO, 2009. - 72 S.-
