Rozwiązywanie złożonych równań wykładniczych w testach egzaminacyjnych. Równania wykładnicze. Metoda logarytmiczna. Podkreślenie stabilnej ekspresji

Nie daj się zastraszyć moim słowom, zetknąłeś się już z tą metodą w 7 klasie, kiedy studiowałeś wielomiany.

Na przykład, jeśli potrzebujesz:

Pogrupujmy: pierwszy i trzeci termin, a także drugi i czwarty.

Oczywiste jest, że pierwsza i trzecia to różnica kwadratów:

a druga i czwarta mają wspólny współczynnik wynoszący trzy:

Wtedy oryginalne wyrażenie jest równoważne temu:

Gdzie usunąć wspólny czynnik, nie jest już trudne:

W związku z tym,

Oto w przybliżeniu, jak będziemy postępować przy rozwiązywaniu równań wykładniczych: poszukaj „wspólności” wśród terminów i umieść ją poza nawiasami, cóż - cokolwiek by się nie działo, wierzę, że będziemy mieli szczęście \u003d))

Przykład nr 14

Po prawej jest daleko od stopnia siódmego (sprawdziłem!), A po lewej - niewiele lepiej ...

Możesz oczywiście „odciąć” mnożnik a od drugiego z pierwszego członu, a następnie zająć się wynikiem, ale zróbmy to rozsądniej z tobą.

Nie chcę zajmować się ułamkami, które nieuchronnie pochodzą z „selekcji”, więc czy nie byłoby lepiej dla mnie wytrzymać?

Wtedy nie będę miał ułamków: jak mówią, wilki są karmione, a owce są bezpieczne:

Policz wyrażenie w nawiasach.

W magiczny, magiczny sposób okazuje się, że (zaskakujące, choć czego jeszcze możemy się spodziewać?).

Następnie anulujemy obie strony równania o ten czynnik. Otrzymujemy: skąd.

Oto bardziej skomplikowany przykład (naprawdę całkiem sporo):

Co za kłopot! Nie mamy tutaj jednej wspólnej płaszczyzny!

Nie jest do końca jasne, co teraz zrobić.

Zróbmy, co w naszej mocy: najpierw przesuńmy „czwórki” na jedną stronę, a „piątki” na drugą:

Teraz przesuńmy „wspólne” w lewo i w prawo:

Co teraz?

Jaka jest korzyść z takiej głupiej grupy? Na pierwszy rzut oka wcale tego nie widać, ale spójrzmy głębiej:

Cóż, teraz zróbmy to tak, że po lewej mamy tylko wyrażenie z, a po prawej - wszystko inne.

Jak to robimy?

Oto jak: Najpierw podziel obie strony równania przez (w ten sposób pozbędziemy się stopnia po prawej), a następnie podziel obie strony przez (w ten sposób pozbędziemy się czynnika liczbowego po lewej).

W końcu otrzymujemy:

Niesamowite!

Po lewej mamy wyrażenie, a po prawej proste.

Wtedy natychmiast to stwierdzimy

Przykład nr 15

Podam jego krótkie rozwiązanie (nie zawracając sobie zbytnio głowy wyjaśnieniami), spróbuję samodzielnie rozgryźć wszystkie „subtelności” rozwiązania.

Teraz ostateczna konsolidacja przekazanego materiału.

Samodzielne rozwiązywanie 7 następujących problemów (wraz z odpowiedziami)

1. Wyjmijmy wspólny czynnik z nawiasów:
2. Przedstawiamy pierwsze wyrażenie w postaci :, podziel obie części na i otrzymaj to
3. , następnie pierwotne równanie zostanie przekształcone do postaci: Cóż, teraz wskazówka - spójrz, gdzie ty i ja już rozwiązaliśmy to równanie!
4. Wyobraź sobie, jak, jak i, no cóż, następnie podziel obie części przez, aby otrzymać najprostsze równanie wykładnicze.
5. Wyjmij wsporniki.
6. Wyjmij wsporniki.

RÓWNANIA EKSPLORACYJNE. ŚREDNI POZIOM

Zakładam, że po przeczytaniu pierwszego artykułu, o którym opowiadałem czym są równania wykładnicze i jak je rozwiązać, opanowałeś niezbędne minimum wiedzy wymaganej do rozwiązania najprostszych przykładów.

Teraz przeanalizuję inną metodę rozwiązywania równań wykładniczych, to ...

Sposób wprowadzenia nowej zmiennej (lub zamiany)

Rozwiązuje większość „trudnych” problemów z zakresu równań wykładniczych (i nie tylko).

Ta metoda jest jedną z najczęściej stosowany w praktyce. Na początek radzę zapoznać się z tematem.

Jak już zrozumiałeś z nazwy, istotą tej metody jest wprowadzenie takiej zmiany zmiennej, że twoje równanie wykładnicze w cudowny sposób przekształca się w takie, które możesz łatwo rozwiązać.

Po rozwiązaniu tego bardzo „uproszczonego równania” pozostaje Ci tylko dokonanie „zamiany odwrotnej”: to znaczy powrót z zastąpionego do zastąpionego.

Zilustrujmy to, co właśnie powiedzieliśmy, na bardzo prostym przykładzie:

Przykład 16. Prosta metoda zamiany

To równanie rozwiązuje się za pomocą „Prosta wymiana”, jak matematycy nazywają to pogardliwie.

Rzeczywiście, wymiana jest tutaj najbardziej oczywista. Wystarczy to zobaczyć

Wtedy pierwotne równanie zamieni się w to:

Jeśli dodatkowo wyobrazisz sobie, jak to zrobić, to jest całkiem jasne, co należy wymienić ...

Oczywiście, .

Czym zatem stanie się pierwotne równanie? A oto co:

Możesz łatwo znaleźć jego korzenie samodzielnie:

Co powinniśmy teraz zrobić?

Czas wrócić do oryginalnej zmiennej.

O czym zapomniałem wskazać?

Mianowicie: przy zamianie pewnego stopnia na nową zmienną (czyli przy zmianie widoku) będę zainteresowany tylko pozytywne korzenie!

Sam możesz łatwo odpowiedzieć, dlaczego.

Tak więc ty i ja nie jesteśmy zainteresowani, ale drugi korzeń jest dla nas odpowiedni:

Więc gdzie.

Odpowiedź:

Jak widać, w poprzednim przykładzie zastępca prosił o nasze ręce. Niestety, nie zawsze tak jest.

Jednak nie przechodźmy od razu do smutku, ale przećwiczmy jeszcze jeden przykład z dość prostą zamianą

Przykład 17. Prosta metoda wymiany

Oczywiste jest, że najprawdopodobniej będzie musiał zostać wymieniony (jest to najmniejszy ze stopni zawartych w naszym równaniu).

Jednak przed wprowadzeniem zamiany należy „przygotować” do tego równanie, a mianowicie:,.

Następnie możesz zamienić, w rezultacie otrzymuję następujące wyrażenie:

O horror: sześcienne równanie z całkowicie przerażającymi formułami na jego rozwiązanie (no cóż, mówiąc ogólnie).

Ale nie rozpaczajmy od razu, ale zastanówmy się, co robić.

Proponuję oszukiwać: wiemy, że aby uzyskać „ładną” odpowiedź, musimy ją uzyskać w postaci jakiejś potęgi potrójnej (dlaczego miałoby to być, co?).

Spróbujmy odgadnąć co najmniej jeden pierwiastek naszego równania (zacznę zgadywać z potęgami trzech).

Pierwsze założenie. To nie jest korzeń. Niestety i ach ...

.
Lewa strona jest równa.
Prawa część:!

Jest! Zgadłeś pierwszy korzeń. Teraz będzie łatwiej!

Czy znasz schemat podziału „narożnego”? Oczywiście wiesz, że używasz go, dzieląc jedną liczbę przez drugą.

Ale niewiele osób wie, że to samo można zrobić z wielomianami.

Jest jedno wielkie twierdzenie:

W odniesieniu do mojej sytuacji to mówi mi, przez co można podzielić.

Jak przebiega podział? Właśnie tak:

Sprawdzam, który jednomian muszę pomnożyć, aby otrzymać

Jasne jest, że dalej:

Odejmij wynikowe wyrażenie od, pobierz:

Co teraz muszę pomnożyć, aby otrzymać?

Oczywiste jest, że dalej otrzymam:

i ponownie odejmij wynikowe wyrażenie od pozostałego:

Cóż, ostatni krok pomnożę przez i odejmę od pozostałego wyrażenia:

Hurra, podział się skończył! Co zaoszczędziliśmy prywatnie?

Samodzielnie: .

Następnie otrzymaliśmy następujący rozkład pierwotnego wielomianu:

Rozwiążmy drugie równanie:

Ma korzenie:

Następnie oryginalne równanie:

ma trzy korzenie:

Oczywiście odrzucimy ostatni pierwiastek, ponieważ jest on mniejszy od zera.

A pierwsze dwa po zamianie odwrotnej dadzą nam dwa pierwiastki:

Odpowiedź: ..

Nie chciałem cię przestraszyć tym przykładem!

Wręcz przeciwnie, moim celem było pokazanie, że chociaż mieliśmy dość prostą zamianę, to jednak doprowadziło to do dość złożonego równania, którego rozwiązanie wymagało od nas specjalnych umiejętności.

Cóż, nikt nie jest na to odporny. Ale wymiana w tym przypadku była dość oczywista.

Przykład # 18 (z mniej oczywistym zamiennikiem)

Nie jest wcale jasne, co powinniśmy zrobić: problem polega na tym, że w naszym równaniu są dwie różne podstawy i jednej podstawy nie można uzyskać z drugiej, podnosząc do jakiegokolwiek (rozsądnego, naturalnie) stopnia.

Co jednak widzimy?

Obie bazy różnią się tylko znakiem, a ich iloczynem jest różnica kwadratów równych jeden:

Definicja:

Zatem liczby, które są podstawami w naszym przykładzie, są sprzężone.

W tym przypadku mądrym posunięciem byłoby pomnóż obie strony równania przez liczbę sprzężoną.

Na przykład po włączeniu lewa strona równania staje się równa, a prawa.

Jeśli dokonamy podstawienia, nasze pierwotne równanie będzie wyglądać następująco:

to jego korzenie i pamiętając o tym, otrzymujemy to.

Odpowiedź:,.

Z reguły metoda zastępcza jest wystarczająca do rozwiązania większości „szkolnych” równań wykładniczych.

Poniższe zadania o podwyższonym stopniu złożoności zaczerpnięto z wersji USE.

Trzy zadania o zwiększonej złożoności z opcji egzaminu

Jesteś już wystarczająco kompetentny, aby samodzielnie rozwiązać te przykłady. Dam tylko wymagany zamiennik.

1. Rozwiązać równanie:
2. Znajdź korzenie równania:
3. Rozwiązać równanie:. Znajdź wszystkie korzenie tego równania, które należą do segmentu:

A teraz krótkie wyjaśnienia i odpowiedzi:

Przykład nr 19

Tutaj wystarczy, że zauważymy, że i.

Wtedy oryginalne równanie będzie równoważne temu:

To równanie rozwiązuje się, zastępując

Wykonaj dalsze obliczenia samodzielnie.

Ostatecznie twoje zadanie zostanie ograniczone do rozwiązania najprostszego trygonometrii (w zależności od sinusa lub cosinusa). Przeanalizujemy rozwiązanie takich przykładów w innych sekcjach.

Przykład nr 20

Tutaj możesz nawet obejść się bez wymiany ...

Wystarczy przesunąć odejmowaną w prawo i przedstawić obie podstawy potęgami dwójki :, a następnie przejść bezpośrednio do równania kwadratowego.

Przykład nr 21

Jest również rozwiązany w dość standardowy sposób: wyobraź sobie, jak.

Następnie zastępując otrzymujemy równanie kwadratowe: wtedy

Wiesz już, co to jest logarytm? Nie? Następnie pilnie przeczytaj temat!

Pierwszy korzeń oczywiście nie należy do segmentu, a drugi jest niezrozumiały!

Ale wkrótce się dowiemy!

Od tego czasu (jest to własność logarytmu!)

Odejmij od obu części, a otrzymamy:

Lewą stronę można przedstawić jako:

mnożymy obie części przez:

można więc pomnożyć przez

Następnie porównajmy:

od tego czasu:

Wtedy drugi pierwiastek należy do wymaganego przedziału

Odpowiedź:

Jak widzisz, wybór pierwiastków równań wykładniczych wymaga dostatecznie głębokiej znajomości własności logarytmówradzę więc zachować jak największą ostrożność podczas rozwiązywania równań wykładniczych.

Jak możesz sobie wyobrazić, w matematyce wszystko jest ze sobą powiązane!

Jak mawiał mój nauczyciel matematyki: „matematyka, podobnie jak historia, nie da się czytać z dnia na dzień”.

Z reguły wszystko trudność w rozwiązywaniu problemów o podwyższonym poziomie złożoności polega właśnie na wyborze pierwiastków równania.

Kolejny przykład do treningu ...

Przykład 22

Oczywiste jest, że samo równanie jest dość proste do rozwiązania.

Dokonując podstawienia, zredukujemy nasze pierwotne równanie do następującego:

Najpierw rozważmy pierwszy root.

Porównajmy i: od tego czasu. (właściwość funkcji logarytmicznej, at).

Wtedy jest jasne, że pierwszy pierwiastek również nie należy do naszego przedziału.

Teraz drugi root :. Oczywiste jest, że (ponieważ funkcja at rośnie).

Pozostaje porównać i.

od tego czasu w tym samym czasie.

W ten sposób mogę wbić kołek między a.

Ten kołek to liczba.

Pierwsze wyrażenie jest mniejsze, a drugie większe.

Wtedy drugie wyrażenie jest większe niż pierwsze, a pierwiastek należy do przedziału.

Odpowiedź:.

Na koniec spójrzmy na inny przykład równania, w którym podstawienie jest dość niestandardowe.

Przykład # 23 (Równanie z niestandardowym podstawieniem!)

Zacznijmy od razu od tego, co możesz zrobić i co możesz zrobić, ale lepiej tego nie robić.

Możesz - reprezentować wszystko za pomocą potęg trzech, dwóch i sześciu.

Dokąd to prowadzi?

I do niczego nie doprowadzi: mieszanina stopni, a niektórych z nich trudno będzie się pozbyć.

Co więc jest potrzebne?

Zwróćmy uwagę, że plik

A co nam to da?

I fakt, że możemy zredukować rozwiązanie tego przykładu do rozwiązania dość prostego równania wykładniczego!

Najpierw przepiszmy nasze równanie jako:

Teraz dzielimy obie strony wynikowego równania przez:

Eureka! Teraz możemy wymienić, otrzymujemy:

Cóż, teraz twoja kolej, aby rozwiązać problemy demonstracyjne, a ja dam im tylko krótkie komentarze, abyś nie zbłądził! Powodzenia!

Przykład nr 24

Najtrudniejszy!

Tutaj nie jest łatwo znaleźć zamiennik! Niemniej jednak możemy całkowicie rozwiązać ten przykład za pomocą wybór pełnego kwadratu.

Aby go rozwiązać, wystarczy zauważyć, że:

Oto zamiennik dla Ciebie:

(Zwróć uwagę, że tutaj, podczas naszej wymiany, nie możemy porzucić ujemnego pierwiastka !!! A jak myślisz?)

Teraz, aby rozwiązać przykład, musisz rozwiązać dwa równania:

Oba są rozwiązywane przez „standardową wymianę” (ale druga w jednym przykładzie!)

Przykład nr 25

2. Zwróć na to uwagę i dokonaj wymiany.

Przykład nr 26

3. Rozłóż liczbę na czynniki względnie pierwsze i uprość otrzymane wyrażenie.

Przykład nr 27

4. Podziel licznik i mianownik ułamka przez (lub, jeśli wolisz) i zamień lub.

Przykład nr 28

5. Zwróć uwagę, że liczby i są sprzężone.

ROZWIĄZANIE RÓWNAŃ WYRAŻONYCH METODĄ LOGARYTMU. POZIOM ZAAWANSOWANY

Ponadto rozważmy inny sposób - rozwiązywanie równań wykładniczych metodą logarytmów.

Nie mogę powiedzieć, że rozwiązywanie równań wykładniczych tą metodą jest bardzo popularne, ale tylko w niektórych przypadkach może nas doprowadzić do prawidłowego rozwiązania naszego równania.

Jest szczególnie często używany do rozwiązywania tzw. mieszane równania„: To znaczy takie, w których spotykają się funkcje różnych typów.

Przykład nr 29

w ogólnym przypadku można to rozwiązać tylko poprzez logarytm obu stron (na przykład przez podstawę), w którym pierwotne równanie zamienia się w następujące:

Rozważmy następujący przykład:

Oczywiste jest, że zgodnie z ODZ funkcji logarytmicznej jesteśmy tylko zainteresowani.

Wynika to jednak nie tylko z ODZ logarytmu, ale z innego powodu.

Myślę, że nie będzie ci trudno odgadnąć, który.

Zapiszmy obie strony naszego równania do podstawy:

Jak widać, dostatecznie szybkie obliczenie logarytmu naszego pierwotnego równania doprowadziło nas do prawidłowej (i pięknej!) Odpowiedzi.

Poćwiczmy jeszcze jeden przykład.

Przykład nr 30

Tutaj również nie ma nic złego: logarytmujemy obie strony równania przez podstawę, a następnie otrzymujemy:

Zróbmy wymianę:

Jednak czegoś nam brakuje! Czy zauważyłeś, gdzie popełniłem błąd? W końcu więc:

który nie spełnia wymagania (pomyśl, skąd się wziął!)

Odpowiedź:

Spróbuj zapisać rozwiązanie równań wykładniczych poniżej:

Teraz sprawdź swoją decyzję przeciwko temu:

Przykład nr 31

Logarytmuj obie strony do podstawy, biorąc pod uwagę, że:

(drugi korzeń nam nie odpowiada z powodu wymiany)

Przykład nr 32

Podstawa logarytmu:

Przekształćmy wynikowe wyrażenie w następującą postać:

RÓWNANIA EKSPLORACYJNE. KRÓTKI OPIS I PODSTAWOWE WZORY

Równanie wykładnicze

Równanie postaci:

nazywa najprostsze równanie wykładnicze.

Właściwości mocy

Podejście do rozwiązania

• Przymuszanie do tej samej bazy
• Konwersja na ten sam wykładnik
• Zmienna wymiana
• Uproszczenie wyrażenia i zastosowanie jednego z powyższych.

Ta lekcja jest przeznaczona dla tych, którzy dopiero zaczynają uczyć się równań wykładniczych. Jak zwykle zacznijmy od definicji i prostych przykładów.

Jeśli czytasz tę lekcję, to podejrzewam, że masz już przynajmniej minimalne zrozumienie najprostszych równań - liniowych i kwadratowych: 56x-11 \u003d 0 dolarów; $ ((x) ^ (2)) + 5x + 4 \u003d 0 $; $ ((x) ^ (2)) - 12x + 32 \u003d 0 $ itd. Umiejętność rozwiązywania takich konstrukcji jest absolutnie niezbędna, aby nie „utknąć” w temacie, który będzie teraz omawiany.

A więc równania wykładnicze. Pozwólcie, że podam od razu kilka przykładów:

\\ [((2) ^ (x)) \u003d 4; \\ quad ((5) ^ (2x-3)) \u003d \\ frac (1) (25); \\ quad ((9) ^ (x)) \u003d - 3 \\]

Niektóre z nich mogą ci się wydawać bardziej skomplikowane, inne - wręcz przeciwnie, zbyt proste. Ale wszystkie łączy jedna ważna cecha: ich notacja zawiera funkcję wykładniczą $ f \\ left (x \\ right) \u003d ((a) ^ (x)) $. Dlatego wprowadzamy definicję:

Równanie wykładnicze to dowolne równanie, które zawiera funkcję wykładniczą, tj. wyrażenie takie jak $ ((a) ^ (x)) $. Oprócz wskazanej funkcji równania takie mogą zawierać dowolne inne konstrukcje algebraiczne - wielomiany, pierwiastki, trygonometrię, logarytmy itp.

No cóż. Wymyśliliśmy definicję. Teraz pytanie brzmi: jak rozwiązać te wszystkie bzdury? Odpowiedź jest prosta i złożona.

Zacznijmy od dobrych wiadomości: z moich doświadczeń na zajęciach z wieloma studentami mogę powiedzieć, że dla większości z nich równania wykładnicze są znacznie łatwiejsze do podania niż te same logarytmy, a tym bardziej trygonometria.

Ale jest też zła wiadomość: czasami autorzy zadań do wszelkiego rodzaju podręczników i egzaminów są „natchnieni”, a ich mózg zaogniony narkotykami zaczyna układać tak brutalne równania, że \u200b\u200bich rozwiązanie staje się problematyczne nie tylko dla uczniów - nawet wielu nauczycieli utknęło na takich problemach.

Nie mówmy jednak o smutnych rzeczach. Wróćmy do tych trzech równań, które podano na samym początku opowieści. Spróbujmy rozwiązać każdy z nich.

Pierwsze równanie: $ ((2) ^ (x)) \u003d 4 $. W jakim stopniu należy podnieść liczbę 2, aby uzyskać liczbę 4? Prawdopodobnie drugi? W końcu $ ((2) ^ (2)) \u003d 2 \\ cdot 2 \u003d 4 $ - i otrzymaliśmy poprawną równość liczbową, tj. naprawdę $ x \u003d 2 $. Cóż, dzięki czapce, ale to równanie było tak proste, że nawet mój kot mógł je rozwiązać. :)

Spójrzmy na następujące równanie:

\\ [((5) ^ (2x-3)) \u003d \\ Frac (1) (25) \\]

I tutaj jest już trochę bardziej skomplikowane. Wielu uczniów wie, że $ ((5) ^ (2)) \u003d 25 $ to tabliczka mnożenia. Niektórzy podejrzewają również, że $ ((5) ^ (- 1)) \u003d \\ frac (1) (5) $ jest w istocie definicją ujemnych mocy (podobnie do wzoru $ ((a) ^ (- n)) \u003d \\ frac (1) (((a) ^ (n))) $).

Wreszcie, tylko nieliczni przypuszczają, że te fakty można łączyć, a na wyjściu można uzyskać następujący wynik:

\\ [\\ Frac (1) (25) \u003d \\ Frac (1) (((5) ^ (2))) \u003d ((5) ^ (- 2)) \\]

W związku z tym nasze pierwotne równanie zostanie przepisane w następujący sposób:

\\ [((5) ^ (2x-3)) \u003d \\ frac (1) (25) \\ Rightarrow ((5) ^ (2x-3)) \u003d ((5) ^ (- 2)) \\]

Ale to już jest do rozwiązania! Po lewej stronie równania znajduje się funkcja wykładnicza, po prawej w równaniu funkcja wykładnicza, nigdzie indziej nie ma ich tylko. Dlatego możesz „odrzucić” podstawy i głupio zrównać wskaźniki:

Mamy najprostsze równanie liniowe, które każdy student może rozwiązać w zaledwie kilku wierszach. OK, w czterech wierszach:

\\ [\\ begin (align) & 2x-3 \u003d -2 \\\\ & 2x \u003d 3-2 \\\\ & 2x \u003d 1 \\\\ & x \u003d \\ frac (1) (2) \\\\\\ end (align) \\]

Jeśli nie rozumiesz, co się działo w ostatnich czterech wierszach, koniecznie wróć do tematu „równania liniowe” i powtórz to. Ponieważ bez jasnego zrozumienia tego tematu jest za wcześnie, aby zająć się równaniami wykładniczymi.

\\ [((9) ^ (x)) \u003d - 3 \\]

Jak to rozwiązać? Pierwsza myśl: 9 $ \u003d 3 \\ cdot 3 \u003d ((3) ^ (2)) $, więc oryginalne równanie można przepisać w ten sposób:

\\ [((\\ lewo (((3) ^ (2)) \\ prawo)) ^ (x)) \u003d - 3 \\]

Wtedy pamiętamy, że podnosząc potęgę do potęgi, wskaźniki są mnożone:

\\ [((\\ left (((3) ^ (2)) \\ right)) ^ (x)) \u003d ((3) ^ (2x)) \\ Rightarrow ((3) ^ (2x)) \u003d - (( 3) ^ (1)) \\]

\\ [\\ begin (align) & 2x \u003d -1 \\\\ & x \u003d - \\ frac (1) (2) \\\\\\ end (align) \\]

I za taką decyzję otrzymamy uczciwie zasłużoną dwójkę. Bo my, ze spokojem Pokemona, wysłaliśmy znak minus przed trójką do stopnia tej samej trójki. Nie możesz tego zrobić. I własnie dlatego. Spójrz na różne potęgi trójki:

\\ [\\ begin (matrix) ((3) ^ (1)) \u003d 3 & ((3) ^ (- 1)) \u003d \\ frac (1) (3) & ((3) ^ (\\ frac (1) ( 2))) \u003d \\ sqrt (3) \\\\ ((3) ^ (2)) \u003d 9 & ((3) ^ (- 2)) \u003d \\ Frac (1) (9) & ((3) ^ (\\ 3) ^ (- \\ frac (1) (2))) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (3)) \\\\\\ end (macierz) \\]

Kiedy kompilowałem tę tabliczkę, byłem jak tylko zboczony: brałem pod uwagę stopnie dodatnie i ujemne, a nawet ułamkowe ... no cóż, gdzie jest tutaj przynajmniej jedna liczba ujemna? On odszedł! I nie może tak być, ponieważ funkcja wykładnicza $ y \u003d ((a) ^ (x)) $, po pierwsze, zawsze przyjmuje tylko wartości dodatnie (bez względu na to, ile jeden mnoży lub dzieli przez dwa, nadal będzie to liczba dodatnia), a po drugie, podstawa takiej funkcji - liczba $ a $ - jest z definicji liczbą dodatnią!

Jak więc rozwiązać równanie $ ((9) ^ (x)) \u003d - 3 $? Ale w żaden sposób: nie ma korzeni. W tym sensie równania wykładnicze są bardzo podobne do równań kwadratowych - tam też mogą nie być pierwiastków. Ale jeśli w równania kwadratowe liczba pierwiastków jest określana przez dyskryminator (dyskryminator jest dodatni - 2 pierwiastki, ujemny - nie ma pierwiastków), a następnie w wykładniczych wszystko zależy od tego, co znajduje się na prawo od znaku równości.

Zatem formułujemy kluczowy wniosek: najprostsze równanie wykładnicze w postaci $ ((a) ^ (x)) \u003d b $ ma pierwiastek wtedy i tylko wtedy, gdy $ b \\ gt 0 $. Znając ten prosty fakt, możesz łatwo określić, czy proponowane równanie ma korzenie, czy nie. Te. czy warto to w ogóle rozwiązać, czy po prostu napisać, że nie ma korzeni.

Ta wiedza pomoże nam wiele razy, gdy będziemy musieli rozwiązać bardziej złożone problemy. Na razie wystarczająca ilość tekstów - czas przestudiować podstawowy algorytm rozwiązywania równań wykładniczych.

Jak rozwiązywać równania wykładnicze

Sformułujmy więc problem. Konieczne jest rozwiązanie równania wykładniczego:

\\ [((a) ^ (x)) \u003d b, \\ quad a, b \\ gt 0 \\]

Zgodnie z „naiwnym” algorytmem, zgodnie z którym działaliśmy wcześniej, konieczne jest przedstawienie liczby $ b $ jako potęgi liczby $ a $:

Dodatkowo, jeśli zamiast zmiennej $ x $ pojawi się jakieś wyrażenie, otrzymamy nowe równanie, które można już rozwiązać. Na przykład:

\\ [\\ begin (align) & ((2) ^ (x)) \u003d 8 \\ Rightarrow ((2) ^ (x)) \u003d ((2) ^ (3)) \\ Rightarrow x \u003d 3; \\\\ & ((3) ^ (- x)) \u003d 81 \\ Rightarrow ((3) ^ (- x)) \u003d ((3) ^ (4)) \\ Rightarrow -x \u003d 4 \\ Rightarrow x \u003d -4; \\\\ & ((5) ^ (2x)) \u003d 125 \\ Rightarrow ((5) ^ (2x)) \u003d ((5) ^ (3)) \\ Rightarrow 2x \u003d 3 \\ Rightarrow x \u003d \\ frac (3) ( 2). \\\\\\ koniec (wyrównaj) \\]

I co dziwne, ten schemat działa w około 90% przypadków. A co z pozostałymi 10%? Pozostałe 10% to lekko „schizofreniczne” równania wykładnicze o postaci:

\\ [((2) ^ (x)) \u003d 3; \\ quad ((5) ^ (x)) \u003d 15; \\ quad ((4) ^ (2x)) \u003d 11 \\]

Do jakiego stopnia należy podnieść 2, aby uzyskać 3? Pierwszy? Ale nie: $ ((2) ^ (1)) \u003d 2 $ - za mało. Drugi? Również nie: $ ((2) ^ (2)) \u003d 4 $ - trochę za dużo. Który więc?

Wprawni studenci zapewne już zgadli: w takich przypadkach, kiedy nie da się „pięknie” rozwiązać, w grę wchodzi „ciężka artyleria” - logarytmy. Przypomnę, że używając logarytmów, każdą liczbę dodatnią można przedstawić jako potęgę dowolnej innej liczby dodatniej (z wyjątkiem jednej):

Pamiętasz tę formułę? Kiedy mówię moim studentom o logarytmach, zawsze ostrzegam: ta formuła (jest to również podstawowa tożsamość logarytmiczna lub, jeśli wolisz, definicja logarytmu) będzie cię prześladować przez bardzo długi czas i „pojawiać się” w najbardziej nieoczekiwanych miejscach. Cóż, wypłynęła. Przyjrzyjmy się naszemu równaniu i tej formule:

\\ [\\ begin (align) & ((2) ^ (x)) \u003d 3 \\\\ & a \u003d ((b) ^ (((\\ log) _ (b)) a)) \\\\\\ end (align) \\]

Jeśli przyjmiemy, że $ a \u003d 3 $ to nasza pierwotna liczba po prawej stronie, a $ b \u003d 2 $ to sama podstawa funkcja wykładnicza, do którego tak bardzo chcemy zredukować prawą stronę, otrzymujemy:

\\ [\\ begin (align) & a \u003d ((b) ^ (((\\ log) _ (b)) a)) \\ Rightarrow 3 \u003d ((2) ^ (((\\ log) _ (2)) 3 )); \\\\ & ((2) ^ (x)) \u003d 3 \\ Rightarrow ((2) ^ (x)) \u003d ((2) ^ (((\\ log) _ (2)) 3)) \\ Rightarrow x \u003d ( (\\ log) _ (2)) 3. \\\\\\ koniec (wyrównaj) \\]

Otrzymaliśmy trochę dziwną odpowiedź: $ x \u003d ((\\ log) _ (2)) 3 $. W innym zadaniu wielu z taką odpowiedzią zwątpiłoby i zaczęło dwukrotnie sprawdzać swoje rozwiązanie: a co, jeśli gdzieś był błąd? Pośpieszę, aby cię zadowolić: nie ma tu błędu, a logarytmy u podstaw równań wykładniczych są dość typową sytuacją. Więc przyzwyczaj się do tego. :)

Rozwiążmy teraz pozostałe dwa równania przez analogię:

\\ [\\ start (wyrównaj) & ((5) ^ (x)) \u003d 15 \\ Rightarrow ((5) ^ (x)) \u003d ((5) ^ (((\\ log) _ (5)) 15)) \\ Rightarrow x \u003d ((\\ log) _ (5)) 15; \\\\ & ((4) ^ (2x)) \u003d 11 \\ Rightarrow ((4) ^ (2x)) \u003d ((4) ^ (((\\ log) _ (4)) 11)) \\ Rightarrow 2x \u003d ( (\\ log) _ (4)) 11 \\ Rightarrow x \u003d \\ frac (1) (2) ((\\ log) _ (4)) 11. \\\\\\ koniec (wyrównaj) \\]

To wszystko! Nawiasem mówiąc, ostatnią odpowiedź można zapisać inaczej:

Wprowadziliśmy współczynnik do argumentu logarytmu. Ale nikt nam nie przeszkadza, aby wprowadzić ten czynnik do bazy:

Co więcej, wszystkie trzy opcje są poprawne - są to po prostu różne formy zapisu tej samej liczby. Który z nich wybrać i zapisać w tym rozwiązaniu, zależy od Ciebie.

W ten sposób nauczyliśmy się rozwiązywać równania wykładnicze o postaci $ ((a) ^ (x)) \u003d b $, gdzie liczby $ a $ i $ b $ są ściśle dodatnie. Jednak surowa rzeczywistość naszego świata jest taka, że \u200b\u200btakie proste zadania będą cię spotkać bardzo, bardzo rzadko. Znacznie częściej natkniesz się na coś takiego:

\\ [\\ start (wyrównaj) & ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x-1)) \u003d ((4) ^ (x + 1)) - 11; \\\\ & ((7) ^ (x + 6)) \\ cdot ((3) ^ (x + 6)) \u003d ((21) ^ (3x)); \\\\ & ((100) ^ (x-1)) \\ cdot ((2,7) ^ (1-x)) \u003d 0,09. \\\\\\ koniec (wyrównaj) \\]

Jak to rozwiązać? Czy można to w ogóle rozwiązać? A jeśli tak, to w jaki sposób?

Nie panikuj. Wszystkie te równania szybko i łatwo sprowadzają się do prostych wzorów, które już rozważaliśmy. Musisz tylko poznać i zapamiętać kilka sztuczek z kursu algebry. I oczywiście nie ma nigdzie bez zasad pracy ze stopniami. Teraz opowiem o tym wszystkim. :)

Konwersja równań wykładniczych

Pierwsza rzecz do zapamiętania: każde równanie wykładnicze, bez względu na to, jak bardzo może być złożone, musi zostać w jakiś sposób zredukowane do najprostszych równań - tych samych, które już rozważaliśmy i które umiemy rozwiązać. Innymi słowy, schemat rozwiązywania dowolnego równania wykładniczego wygląda następująco:

1. Zapisz oryginalne równanie. Na przykład: $ ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x-1)) \u003d ((4) ^ (x + 1)) - 11 $;
2. Zrób jakieś niezrozumiałe bzdury. Albo nawet kilka bzdur zwanych „równaniem transformacji”;
3. Na wyjściu uzyskaj najprostsze wyrażenia, takie jak $ ((4) ^ (x)) \u003d 4 $ lub coś podobnego. Co więcej, jedno pierwotne równanie może dać kilka takich wyrażeń jednocześnie.

Jeśli chodzi o pierwszy punkt, wszystko jest jasne - nawet mój kot może zapisać równanie na kartce papieru. Jeśli chodzi o trzeci punkt, wydaje się, że jest mniej więcej jasny - rozwiązaliśmy już całą masę takich równań powyżej.

Ale co z drugim punktem? Jaki rodzaj transformacji? Co konwertować na co? I jak?

Cóż, wymyślmy to. Przede wszystkim chciałbym zwrócić uwagę na następujące kwestie. Wszystkie równania wykładnicze są podzielone na dwa typy:

1. Równanie składa się z funkcji wykładniczych o tej samej podstawie. Przykład: $ ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x-1)) \u003d ((4) ^ (x + 1)) - 11 $;
2. Formuła zawiera funkcje wykładnicze o różnych zasadach. Przykłady: $ ((7) ^ (x + 6)) \\ cdot ((3) ^ (x + 6)) \u003d ((21) ^ (3x)) $ i $ ((100) ^ (x-1) ) \\ cdot ((2,7) ^ (1-x)) \u003d 0,09 $.

Zacznijmy od równań pierwszego typu - są one najłatwiejsze do rozwiązania. W ich rozwiązaniu pomoże nam taka technika, jak podkreślanie stabilnych wyrażeń.

Podkreślenie stabilnej ekspresji

Spójrzmy jeszcze raz na to równanie:

\\ [((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x-1)) \u003d ((4) ^ (x + 1)) - 11 \\]

Co widzimy Czwórka jest budowana w różnym stopniu. Ale wszystkie te potęgi są prostymi sumami zmiennej $ x $ z innymi liczbami. Dlatego musisz pamiętać o zasadach pracy ze stopniami:

\\ [\\ begin (align) & ((a) ^ (x + y)) \u003d ((a) ^ (x)) \\ cdot ((a) ^ (y)); \\\\ & ((a) ^ (xy)) \u003d ((a) ^ (x)): ((a) ^ (y)) \u003d \\ frac (((a) ^ (x))) (((a) ) ^ (y))). \\\\\\ koniec (wyrównaj) \\]

Mówiąc najprościej, dodawanie potęg można zamienić na iloczyn potęg, a odejmowanie można łatwo przekształcić w dzielenie. Spróbujmy zastosować te wzory do potęg z naszego równania:

\\ [\\ start (wyrównaj) & ((4) ^ (x-1)) \u003d \\ frac (((4) ^ (x))) (((4) ^ (1))) \u003d ((4) ^ (x)) \\ cdot \\ frac (1) (4); \\\\ & ((4) ^ (x + 1)) \u003d ((4) ^ (x)) \\ cdot ((4) ^ (1)) \u003d ((4) ^ (x)) \\ cdot 4. \\ Przepiszmy pierwotne równanie, biorąc pod uwagę ten fakt, a następnie zbierzmy wszystkie wyrazy po lewej stronie:

\\ [\\ begin (align) & ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x)) \\ cdot \\ frac (1) (4) \u003d ((4) ^ (x)) \\ cdot 4 -jedenaście; \\\\ & ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x)) \\ cdot \\ frac (1) (4) - ((4) ^ (x)) \\ cdot 4 + 11 \u003d 0. \\\\\\ koniec (wyrównaj) \\]

Pierwsze cztery wyrazy zawierają element $ ((4) ^ (x)) $ - wyjdźmy poza nawias:

\\ [\\ begin (align) & ((4) ^ (x)) \\ cdot \\ left (1+ \\ frac (1) (4) -4 \\ right) + 11 \u003d 0; \\\\ & ((4) ^ (x)) \\ cdot \\ frac (4 + 1-16) (4) + 11 \u003d 0; \\\\ & ((4) ^ (x)) \\ cdot \\ left (- \\ frac (11) (4) \\ right) \u003d - 11. \\\\\\ koniec (wyrównaj) \\]

{!LANG-34d2229edd09fb5bdb4babd7c818ddf2!}

Pozostaje podzielić obie strony równania na ułamek $ - \\ frac (11) (4) $, tj. zasadniczo pomnóż przez ułamek odwrócony - $ - \\ frac (4) (11) $. Otrzymujemy:

\\ [\\ begin (align) & ((4) ^ (x)) \\ cdot \\ left (- \\ frac (11) (4) \\ right) \\ cdot \\ left (- \\ frac (4) (11) \\ right ) \u003d - 11 \\ cdot \\ left (- \\ frac (4) (11) \\ right); \\\\ & ((4) ^ (x)) \u003d 4; \\\\ & ((4) ^ (x)) \u003d ((4) ^ (1)); \\\\ & x \u003d 1. \\\\\\ koniec (wyrównaj) \\]

To wszystko! Zredukowaliśmy pierwotne równanie do najprostszego i otrzymaliśmy ostateczną odpowiedź.

Jednocześnie w trakcie rozwiązywania znaleźliśmy (a nawet wyjęliśmy z nawiasu) wspólny czynnik $ ((4) ^ (x)) $ - to jest stabilne wyrażenie. Można go określić jako nową zmienną lub po prostu dokładnie wyrazić i odpowiedzieć. W każdym razie kluczowa zasada rozwiązania jest następująca:

Znajdź w pierwotnym równaniu stabilne wyrażenie zawierające zmienną, którą można łatwo odróżnić od wszystkich funkcji wykładniczych.

Dobra wiadomość jest taka, że \u200b\u200bpraktycznie każde równanie wykładnicze pozwala na tak stabilne wyrażenie.

Ale zła wiadomość jest taka, że \u200b\u200bwyrażenia takie jak te mogą być dość skomplikowane i trudne do wychwycenia. Dlatego przeanalizujmy jeszcze jedno zadanie:

\\ [((5) ^ (x + 2)) + ((0,2) ^ (- x-1)) + 4 \\ cdot ((5) ^ (x + 1)) \u003d 2 \\]

Może teraz ktoś zada pytanie: „Pasza, czy jesteś ukamienowany? Są tutaj różne bazy - 5 i 0,2 ”. Ale spróbujmy przeliczyć stopień z podstawy 0,2. Na przykład pozbądźmy się ułamka dziesiętnego, sprowadzając go do zwykłego:

\\ [((0,2) ^ (- x-1)) \u003d ((0,2) ^ (- \\ lewo (x + 1 \\ prawo))) \u003d ((\\ lewo (\\ Frac (2) (10 ) \\ prawo)) ^ (- \\ lewo (x + 1 \\ prawo))) \u003d ((\\ lewo (\\ Frac (1) (5) \\ prawo)) ^ (- \\ lewo (x + 1 \\ prawo)) ) \\]

Jak widać, liczba 5 nadal się pojawiała, choć w mianowniku. W tym samym czasie wskaźnik został przepisany na ujemny. Zapamiętajmy teraz jedną z najważniejszych zasad pracy ze stopniami:

\\ [((a) ^ (- n)) \u003d \\ Frac (1) (((a) ^ (n))) \\ Rightarrow ((\\ left (\\ Frac (1) (5) \\ right)) ^ ( - \\ left (x + 1 \\ right))) \u003d ((\\ left (\\ frac (5) (1) \\ right)) ^ (x + 1)) \u003d ((5) ^ (x + 1)) \\ Tutaj oczywiście trochę oszukałem. Ponieważ dla pełnego zrozumienia formuła pozbycia się negatywnych wskaźników musiała zostać napisana w ten sposób:

\\ [((a) ^ (- n)) \u003d \\ Frac (1) (((a) ^ (n))) \u003d ((\\ lewo (\\ Frac (1) (a) \\ prawo)) ^ (n )) \\ Rightarrow ((\\ left (\\ frac (1) (5) \\ right)) ^ (- \\ left (x + 1 \\ right))) \u003d ((\\ left (\\ frac (5) (1) \\ Z drugiej strony nic nie przeszkodziło nam pracować tylko z jedną frakcją:

\\ [((\\ lewo (\\ Frac (1) (5) \\ prawo)) ^ (- \\ lewo (x + 1 \\ prawo))) \u003d ((\\ lewo (((5) ^ (- 1)) \\ )) \u003d ((5) ^ (x + 1)) \\]

{!LANG-864d2acd6e2c44f0816ab1138baac0d4!}

{!LANG-6579fb0af584a9a5f5d4d697e15834a6!}

Ale w tym przypadku musisz być w stanie podnieść stopień do innego stopnia (pamiętaj: w tym przypadku wskaźniki się sumują). Nie było jednak potrzeby „przewracania” ułamków - może dla niektórych będzie to łatwiejsze. :)

W każdym razie oryginalne równanie wykładnicze zostanie przepisane jako:

\\ [\\ begin (align) & ((5) ^ (x + 2)) + ((5) ^ (x + 1)) + 4 \\ cdot ((5) ^ (x + 1)) \u003d 2; \\\\ & ((5) ^ (x + 2)) + 5 \\ cdot ((5) ^ (x + 1)) \u003d 2; \\\\ & ((5) ^ (x + 2)) + ((5) ^ (1)) \\ cdot ((5) ^ (x + 1)) \u003d 2; \\\\ & ((5) ^ (x + 2)) + ((5) ^ (x + 2)) \u003d 2; \\\\ & 2 \\ cdot ((5) ^ (x + 2)) \u003d 2; \\\\ & ((5) ^ (x + 2)) \u003d 1. \\\\\\ koniec (wyrównaj) \\]

Okazuje się więc, że pierwotne równanie jest jeszcze łatwiejsze do rozwiązania niż poprzednio rozważane: tutaj nie trzeba nawet wyróżniać stabilnego wyrażenia - wszystko się zmniejszyło. Pozostaje tylko pamiętać, że $ 1 \u003d ((5) ^ (0)) $, skąd otrzymujemy:

\\ [\\ start (wyrównaj) & ((5) ^ (x + 2)) \u003d ((5) ^ (0)); \\\\ & x + 2 \u003d 0; \\\\ & x \u003d -2. \\\\\\ koniec (wyrównaj) \\]

To całe rozwiązanie! Otrzymaliśmy ostateczną odpowiedź: $ x \u003d -2 $. Jednocześnie chciałbym zwrócić uwagę na jedną technikę, która znacznie uprościła nam wszystkie obliczenia:

W równaniach wykładniczych pamiętaj, aby pozbyć się ułamków dziesiętnych, zamień je na zwykłe. Pozwoli to zobaczyć te same podstawy stopni i znacznie uprości rozwiązanie.

Przejdźmy do więcej złożone równania, w którym istnieją różne bazy, które na ogół nie dają się zredukować do siebie za pomocą stopni.

Korzystanie z właściwości stopnia

Przypomnę, że mamy dwa bardziej szczególnie trudne równania:

\\ [\\ start (wyrównaj) & ((7) ^ (x + 6)) \\ cdot ((3) ^ (x + 6)) \u003d ((21) ^ (3x)); \\\\ & ((100) ^ (x-1)) \\ cdot ((2,7) ^ (1-x)) \u003d 0,09. \\\\\\ koniec (wyrównaj) \\]

Główna trudność polega na tym, że nie jest jasne, do czego i do jakiego powodu prowadzić. Gdzie są ustawione wyrażenia? Gdzie są te same powody? Nic z tego nie ma.

Ale spróbujmy pójść w drugą stronę. Jeśli nie ma gotowych identycznych podstaw, możesz spróbować je znaleźć, uwzględniając istniejące bazy.

Zacznijmy od pierwszego równania:

\\ [\\ start (wyrównaj) & ((7) ^ (x + 6)) \\ cdot ((3) ^ (x + 6)) \u003d ((21) ^ (3x)); \\\\ & 21 \u003d 7 \\ cdot 3 \\ Rightarrow ((21) ^ (3x)) \u003d ((\\ left (7 \\ cdot 3 \\ right)) ^ (3x)) \u003d ((7) ^ (3x)) \\ \\\\\\ koniec (wyrównaj) \\]

Ale możesz zrobić odwrotnie - uzupełnij liczbę 21 z liczb 7 i 3. Jest to szczególnie łatwe do zrobienia po lewej stronie, ponieważ wskaźniki obu stopni są takie same:

\\ [\\ start (wyrównaj) & ((7) ^ (x + 6)) \\ cdot ((3) ^ (x + 6)) \u003d ((\\ lewo (7 \\ cdot 3 \\ prawo)) ^ (x + 6)) \u003d ((21) ^ (x + 6)); \\\\ & ((21) ^ (x + 6)) \u003d ((21) ^ (3x)); \\\\ & x + 6 \u003d 3x; \\\\ & 2x \u003d 6; \\\\ & x \u003d 3. \\\\\\ koniec (wyrównaj) \\]

To wszystko! Przesunąłeś wykładnik poza iloczyn i od razu otrzymałeś piękne równanie, które można rozwiązać w kilku wierszach.

Zajmijmy się teraz drugim równaniem. Tutaj wszystko jest znacznie bardziej skomplikowane:

\\ [((100) ^ (x-1)) \\ cdot ((2,7) ^ (1-x)) \u003d 0,09 \\]

\\ [((100) ^ (x-1)) \\ cdot ((\\ left (\\ Frac (27) (10) \\ right)) ^ (1-x)) \u003d \\ Frac (9) (100) \\]

W tym przypadku ułamki okazały się nieredukowalne, ale jeśli coś można było zmniejszyć, pamiętaj, aby to zmniejszyć. Często stworzy to ciekawe podstawy do pracy.

Niestety w naszym kraju tak naprawdę nic nie pojawiło się. Ale widzimy, że wykładniki po lewej stronie iloczynu są odwrotne:

Przypomnę: aby pozbyć się znaku minus we wskaźniku, wystarczy „odwrócić” ułamek. Cóż, przepiszmy oryginalne równanie:

\\ [\\ begin (align) & ((100) ^ (x-1)) \\ cdot ((\\ left (\\ frac (10) (27) \\ right)) ^ (x-1)) \u003d \\ frac (9 ) (sto); \\\\ & ((\\ left (100 \\ cdot \\ frac (10) (27) \\ right)) ^ (x-1)) \u003d \\ frac (9) (100); \\\\ & ((\\ left (\\ frac (1000) (27) \\ right)) ^ (x-1)) \u003d \\ frac (9) (100). \\\\\\ koniec (wyrównaj) \\]

W drugim wierszu po prostu przenieśliśmy całkowity wykładnik z iloczynu poza nawias zgodnie z regułą $ ((a) ^ (x)) \\ cdot ((b) ^ (x)) \u003d ((\\ left (a \\ cdot b \\ right)) ^ (x)) $, aw drugim po prostu pomnożono liczbę 100 przez ułamek.

Teraz zauważ, że liczby po lewej (u dołu) i po prawej stronie są nieco podobne. Niż? Ale jest oczywiste: są to potęgi tej samej liczby! Mamy:

\\ [\\ begin (align) & \\ frac (1000) (27) \u003d \\ frac (((10) ^ (3))) (((3) ^ (3))) \u003d ((\\ left (\\ frac ( 10) (3) \\ prawo)) ^ (3)); \\\\ & \\ Frac (9) (100) \u003d \\ Frac (((3) ^ (2))) (((10) ^ (3))) \u003d ((\\ left (\\ Frac (3) (10)) \\ right)) ^ (2)). \\\\\\ koniec (wyrównaj) \\]

Zatem nasze równanie zostanie przepisane w następujący sposób:

\\ [((\\ left (((\\ left (\\ Frac (10) (3) \\ right)) ^ (3)) \\ right)) ^ (x- 1)) \u003d ((\\ left (\\ Frac (3) ) (10) \\ prawo)) ^ (2)) \\]

\\ [((\\ left (((\\ left (\\ Frac (10) (3) \\ right)) ^ (3)) \\ right)) ^ (x- 1)) \u003d ((\\ left (\\ Frac (10 ) (3) \\ right)) ^ (3 \\ left (x-1 \\ right))) \u003d ((\\ left (\\ frac (10) (3) \\ right)) ^ (3x-3)) \\]

W tym przypadku po prawej stronie można również uzyskać stopień o tej samej podstawie, dla którego wystarczy „odwrócić” ułamek:

\\ [((\\ left (\\ Frac (3) (10) \\ right)) ^ (2)) \u003d ((\\ left (\\ Frac (10) (3) \\ right)) ^ (- 2)) \\]

Na koniec nasze równanie przyjmie postać:

\\ [\\ begin (align) & ((\\ left (\\ frac (10) (3) \\ right)) ^ (3x-3)) \u003d ((\\ left (\\ frac (10) (3) \\ right)) ^ (- 2)); \\\\ & 3x-3 \u003d -2; \\\\ & 3x \u003d 1; \\\\ & x \u003d \\ frac (1) (3). \\\\\\ koniec (wyrównaj) \\]

To całe rozwiązanie. Jej główna idea sprowadza się do tego, że nawet przy różnych gruntach próbujemy haczykiem lub oszustem zredukować te grunty do tego samego. Pomagają nam w tym elementarne przekształcenia równań i zasady pracy ze stopniami.

Ale jakie zasady i kiedy stosować? Jak zrozumieć, że w jednym równaniu trzeba przez coś podzielić obie strony, aw drugiej - rozliczyć podstawę funkcji wykładniczej?

Odpowiedź na to pytanie przyjdzie wraz z doświadczeniem. Najpierw spróbuj swoich sił proste równania, a następnie stopniowo komplikuj zadania - i już wkrótce Twoje umiejętności wystarczą do rozwiązania dowolnego równania wykładniczego z tego samego egzaminu lub dowolnej pracy samodzielnej / testowej.

Aby pomóc Ci w tym trudnym zadaniu, proponuję pobrać na mojej stronie zestaw równań do samodzielnego rozwiązania. Wszystkie równania mają odpowiedzi, więc zawsze możesz się sprawdzić.

Ogólnie życzę udanego szkolenia. Do zobaczenia na następnej lekcji - tam przeanalizujemy naprawdę złożone równania wykładnicze, w których metody opisane powyżej już nie wystarczają. Prosty trening też nie wystarczy. :)

Wstecz do przodu

Uwaga! Podgląd slajdu służy wyłącznie do celów informacyjnych i może nie reprezentować wszystkich opcji prezentacji. Jeśli jesteś zainteresowany tą pracą, pobierz pełną wersję.

Rodzaj lekcji

: lekcja uogólniania i złożonych zastosowań wiedzy, umiejętności i zdolności na temat „ Równania wykładnicze i sposoby ich rozwiązania ”.

Cele Lekcji.

Edukacyjny:

powtórzyć i usystematyzować główny materiał z tematu „Równania wykładnicze, ich rozwiązania”; utrwalenie umiejętności korzystania z odpowiednich algorytmów przy rozwiązywaniu równań wykładniczych różnego typu; przygotowanie do egzaminu.

Rozwijanie:

rozwijać logiczne i asocjacyjne myślenie uczniów; przyczyniają się do rozwoju umiejętności samodzielnego stosowania wiedzy.

Edukacyjny:

kształcić celowość, uwagę i dokładność podczas rozwiązywania równań.

Ekwipunek:

komputer i projektor multimedialny.

Lekcja używa technologia informacyjna : wsparcie metodyczne lekcji - prezentacja w programie Microsoft Power Point.

Podczas zajęć

Każdą umiejętność daje praca

JA. Wyznaczanie celów lekcji(Slajd nr 2 )

W tej lekcji podsumujemy i uogólnimy temat „Równania wykładnicze i ich rozwiązania”. Zapoznajmy się z typowymi zadaniami USE z różnych lat na ten temat.

Zadania rozwiązywania równań wykładniczych można znaleźć w dowolnej części zadań egzaminacyjnych. W części " W " zwykle oferują rozwiązanie najprostszych równań wykładniczych. W części " Z " można znaleźć bardziej złożone równania wykładnicze, których rozwiązanie jest zwykle jednym z etapów zadania.

Na przykład ( Slajd nr 3 ).

• Unified State Exam - 2007

Pytanie 4 - Znajdź największą wartość wyrażenia x ygdzie ( x; w) - rozwiązanie systemowe:

• Unified State Exam - 2008

B 1 - Rozwiąż równania:

i) x 6 3x – 36 6 3x = 0;

b) 4 x +1 + 8 4 x= 3.

• Unified State Exam - 2009

Pytanie 4 - Znajdź znaczenie wyrażenia x + ygdzie ( x; w) - rozwiązanie systemowe:

• Unified State Exam - 2010

– Rozwiąż równanie: 7 x– 2 = 49. - Znajdź korzenie równania: 4 x2 + 3x – 2 - 0,5 2x2 + 2x – 1 = 0. - Rozwiąż układ równań:

II. Aktualizacja podstawowej wiedzy. Ponowienie

(Slajdy numer 4-6 prezentacje na lekcję)

Na ekranie pojawi się uzupełniające podsumowanie materiału teoretycznego w tym temacie.

Omówiono następujące kwestie:

1. Jakie są nazywane równania orientacyjny?
2. Wymień główne sposoby ich rozwiązania. Podaj przykłady ich typów ( Slajd nr 4 )

(Rozwiąż samodzielnie proponowane równania dla każdej metody i wykonaj autotest przy użyciu slajdu)

3. Które twierdzenie służy do rozwiązywania najprostszych równań wykładniczych postaci: i f (x) \u003d a g (x)?
4. Jakie są inne metody rozwiązywania równań wykładniczych? ( Slajd nr 5 )

• Metoda faktoringowa
(na podstawie właściwości stopni z te same podstawy, wstęp: stopień z najmniejszym wykładnikiem jest usuwany z nawiasu).
• Przyjmowanie dzielenia (mnożenia) przez wyrażenie wykładnicze inne niż zero, przy rozwiązywaniu jednorodnych równań wykładniczych
.

• Rada:

przy rozwiązywaniu równań wykładniczych warto najpierw przeprowadzić transformacje, uzyskując po obu stronach równania potęgi o tych samych podstawach.

1. Rozwiązywanie równań dwiema ostatnimi metodami z komentarzami

(Slajd nr 6 ).

. 4 x+ 1 – 2 4 x– 2 = 124, 4 x– 2 (4 3 - 2) = 124, 4 x– 2 62 = 124,

4 x– 2 = 2, 4 x– 2 = 4 0,5 , x– 2 = 0,5, x \u003d 2,5 .

2 2 2x - 3 2 x 5 x - 5 5 2x \u003d 0¦: 5 2 x0,

2 (2/5) 2x - 3 (2/5) x - 5 = 0,

t \u003d (2/5) x, t > 0, 2t 2 - 3 t - 5 = 0, t= -1(?...), t \u003d 5/2; 5/2 \u003d (2/5) x, x= ?...

III. Rozwiązanie zadań egzaminu 2010

Uczniowie samodzielnie rozwiązują zadania zaproponowane na początku lekcji na slajdzie nr 3, korzystając z instrukcji rozwiązania, sprawdzają przebieg ich rozwiązania i odpowiedzi na nie korzystając z prezentacji ( Slajd nr 7 ). W trakcie pracy omawia się opcje i sposoby rozwiązania, zwraca się uwagę na możliwe błędy w rozwiązaniu.

: a) 7 x- 2 \u003d 49, b) (1/6) 12 - 7 x = 36. Odpowiedź: i) x\u003d 4, b) x = 2. : 4 x2 + 3x – 2 - 0,5 2x2 + 2x - 1 \u003d 0 (można zamienić 0,5 \u003d 4 - 0,5)

Decyzja. ,

x 2 + 3x – 2 = -x 2 - 4x + 0,5 …

Odpowiedź: x= -5/2, x = 1/2.

: 5 5 tg y + 4 \u003d 5 -tg y , z cos y< 0.

Wskazanie rozwiązania

... 5 5 tg y + 4 \u003d 5 -tg y ¦ 5 tg y 0,

5 5 2g y + 4 5 tg y - 1 \u003d 0. Niech x\u003d 5 tg y , …

5 tg y = -1 (?...), 5 tg y \u003d1/5.

Ponieważ tg y\u003d -1 i cos y< 0, więc w II kwartał współrzędnych

Odpowiedź: w= 3/4 + 2k, k N.

IV. Współpracuj przy tablicy

Rozważane jest zadanie wysokiego poziomu szkolenia - Slajd nr 8 ... Za pomocą tego slajdu odbywa się dialog między nauczycielem a uczniami, przyczyniając się do opracowania rozwiązania.

- Przy jakim parametrze i równanie 2 2 x – 3 2 x + i 2 – 4i \u003d 0 ma dwa pierwiastki?

Zostawiać t= 2 x gdzie t > 0 ... Dostajemy t 2 – 3t + (i 2 – 4i) = 0 .

1). Ponieważ równanie ma dwa pierwiastki, to D\u003e 0;

2). Tak jak t 1,2\u003e 0, więc t 1 t To znaczy 2\u003e 0 i 2 – 4i> 0 (?...).

Odpowiedź: i(- 0,5; 0) lub (4; 4,5).

V. Prace weryfikacyjne

(Slajd nr 9 )

Studenci występują praca weryfikacyjna na kartkach, ćwiczenie samokontroli i samooceny wykonanej pracy za pomocą prezentacji, akceptacja tematu. Samodzielnie ustalają dla siebie program regulacji i korygowania wiedzy na podstawie błędów popełnianych w zeszytach ćwiczeń. Arkusze z wykonaną samodzielną pracą przekazywane są nauczycielowi do weryfikacji.

Podkreślone liczby - poziom podstawowy, z gwiazdką - podwyższona trudność.

Rozwiązanie i odpowiedzi.

0,3 2x + 1 = 0,3 – 2 , 2x + 1 = -2, x= -1,5.

(1; 1).

3. 2 x– 1 (5 2 4 - 4) = 19, 2 x– 1 76 = 19, 2 x– 1 = 1/4, 2 x– 1 = 2 – 2 , x– 1 = -2,

x \u003d -1.

4 * .3 9 x \u003d 2 3 x 5 x+ 5 25 x | : 25 x ,

3 (9/25) x \u003d 2 (3/5) x+ 5,

3 (9/27) x = 2 (3/5) x + 5 = 0,

3 (3/5) 2x – 2 (3/5) x - 5 = 0,…, (3/5) x = -1 (nie pasuje),

(3/5) x = 5, x \u003d -1.

Vi. Praca domowa

(Slajd nr 10 )

• Powtórz § 11, 12.
• Z materiały egzaminacyjne 2008 - 2010, aby wybrać zadania na dany temat i je rozwiązać.
• Domowa praca testowa
: