Square ur. Równania kwadratowe. Rozwiązywanie całych równań kwadratowych. Zredukowane i niezredukowane równania kwadratowe

Mam nadzieję, że po przestudiowaniu tego artykułu nauczysz się, jak znaleźć korzenie pełnego równania kwadratowego.

Za pomocą dyskryminatora rozwiązuje się tylko pełne równania kwadratowe, inne metody służą do rozwiązywania niekompletnych równań kwadratowych, które można znaleźć w artykule „Rozwiązywanie niepełnych równań kwadratowych”.

Jakie równania kwadratowe nazywamy kompletnymi? to równania w postaci ax 2 + b x + c \u003d 0gdzie współczynniki a, b i c nie są równe zeru. Tak więc, aby rozwiązać pełne równanie kwadratowe, musisz obliczyć dyskryminator D.

D \u003d b 2 - 4ac.

W zależności od tego, jaką wartość ma dyskryminator, zapiszemy odpowiedź.

Jeśli dyskryminator jest ujemny (D.< 0),то корней нет.

Jeśli dyskryminator ma wartość zero, to x \u003d (-b) / 2a. Gdy dyskryminator jest liczbą dodatnią (D\u003e 0),

wtedy x 1 \u003d (-b - √D) / 2a, a x 2 \u003d (-b + √D) / 2a.

Na przykład. Rozwiązać równanie x 2 - 4x + 4 \u003d 0.

D \u003d 4 2 - 4 4 \u003d 0

x \u003d (- (-4)) / 2 \u003d 2

Odpowiedź: 2.

Rozwiąż równanie 2 x 2 + x + 3 \u003d 0.

D \u003d 1 2 - 4 2 3 \u003d - 23

Odpowiedź: bez korzeni.

Rozwiąż równanie 2 x 2 + 5x - 7 \u003d 0.

D \u003d 5 2 - 4 · 2 · (–7) \u003d 81

x 1 \u003d (-5 - √81) / (2 2) \u003d (-5 - 9) / 4 \u003d - 3,5

x 2 \u003d (-5 + √81) / (2 2) \u003d (-5 + 9) / 4 \u003d 1

Odpowiedź: - 3,5; 1.

Przedstawimy więc rozwiązanie pełnych równań kwadratowych według obwodu na rysunku 1.

Każde pełne równanie kwadratowe można rozwiązać za pomocą tych wzorów. Musisz tylko uważać, aby to zapewnić równanie zostało zapisane jako standardowy wielomian

i x 2 + bx + c, w przeciwnym razie możesz popełnić błąd. Na przykład, pisząc równanie x + 3 + 2x 2 \u003d 0, możesz błędnie o tym zdecydować

a \u003d 1, b \u003d 3 i c \u003d 2. Następnie

D \u003d 3 2 - 4 · 1 · 2 \u003d 1 i wtedy równanie ma dwa pierwiastki. To nieprawda. (Zobacz rozwiązanie do przykładu 2 powyżej).

Dlatego też, jeśli równanie nie jest zapisane jako wielomian o postaci standardowej, najpierw całe równanie kwadratowe należy zapisać jako wielomian postaci standardowej (w pierwszej kolejności powinien to być jednomian o największym wykładniku, czyli i x 2 , a potem mniej – bxa następnie wolny członek z.

Podczas rozwiązywania zredukowanego równania kwadratowego i równania kwadratowego z parzystym współczynnikiem w drugim członie można również użyć innych wzorów. Poznajmy również te formuły. Jeśli w pełnym równaniu kwadratowym z drugim członem współczynnik jest parzysty (b \u003d 2k), to równanie można rozwiązać za pomocą wzorów przedstawionych na schemacie na rysunku 2.

Pełne równanie kwadratowe nazywa się zredukowanym, jeśli współczynnik w x 2 jest równa jeden, a równanie przyjmuje postać x 2 + px + q \u003d 0... Takie równanie można podać dla rozwiązania lub otrzymać je dzieląc wszystkie współczynniki równania przez współczynnik istojąc przy x 2 .

Rysunek 3 przedstawia schemat rozwiązania zredukowanego kwadratu
równania. Spójrzmy na przykład zastosowania formuł omówionych w tym artykule.

Przykład. Rozwiązać równanie

3x 2 + 6x - 6 \u003d 0.

Rozwiążmy to równanie, używając wzorów przedstawionych na schemacie na rysunku 1.

D \u003d 6 2 - 4 3 (- 6) \u003d 36 + 72 \u003d 108

√D \u003d √108 \u003d √ (363) \u003d 6√3

x 1 \u003d (-6 - 6√3) / (2 3) \u003d (6 (-1- √ (3))) / 6 \u003d –1 - √3

x 2 \u003d (-6 + 6√3) / (2 3) \u003d (6 (-1+ √ (3))) / 6 \u003d –1 + √3

Odpowiedź: -1 - √3; –1 + √3

Można zauważyć, że współczynnik przy x w tym równaniu jest liczbą parzystą, to znaczy b \u003d 6 lub b \u003d 2k, skąd k \u003d 3. Następnie spróbujemy rozwiązać równanie za pomocą wzorów przedstawionych na schemacie na rysunku D 1 \u003d 3 2 - 3 · (- 6 ) \u003d 9 + 18 \u003d 27

√ (D 1) \u003d √27 \u003d √ (9 3) \u003d 3√3

x 1 \u003d (-3 - 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 - √ (3))) / 3 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 + √ (3))) / 3 \u003d - 1 + √3

Odpowiedź: -1 - √3; –1 + √3... Zauważając, że wszystkie współczynniki w tym równaniu kwadratowym są podzielone przez 3 i wykonując dzielenie, otrzymujemy zredukowane równanie kwadratowe x 2 + 2x - 2 \u003d 0 Rozwiąż to równanie, używając wzorów na zredukowany kwadrat
rysunek równania 3.

D 2 \u003d 2 2 - 4 (- 2) \u003d 4 + 8 \u003d 12

√ (D 2) \u003d √12 \u003d √ (4 3) \u003d 2√3

x 1 \u003d (-2 - 2√3) / 2 \u003d (2 (-1 - √ (3))) / 2 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-2 + 2√3) / 2 \u003d (2 (-1+ √ (3))) / 2 \u003d - 1 + √3

Odpowiedź: -1 - √3; –1 + √3.

Jak widać, rozwiązując to równanie za pomocą różnych wzorów, otrzymaliśmy tę samą odpowiedź. Dlatego dobrze opanowawszy formuły pokazane na schemacie na rysunku 1, zawsze możesz rozwiązać dowolne pełne równanie kwadratowe.

strona, przy pełnym lub częściowym kopiowaniu materiału, wymagany jest link do źródła.

Kontynuujemy badanie tematu „ rozwiązywanie równań”. Spotkaliśmy się już z równaniami liniowymi i przechodzimy do zapoznania się z nimi równania kwadratowe.

Najpierw przeanalizujemy, czym jest równanie kwadratowe, jak jest napisane w ogólnej formie i podamy powiązane definicje. Następnie, korzystając z przykładów, przeanalizujemy szczegółowo, jak rozwiązuje się niepełne równania kwadratowe. Następnie przechodzimy do rozwiązywania całych równań, uzyskujemy wzór na pierwiastki, zapoznamy się z dyskryminatorem równania kwadratowego i rozważamy rozwiązania typowych przykładów. Na koniec prześledźmy związek między pierwiastkami i współczynnikami.

Nawigacja po stronach.

Co to jest równanie kwadratowe? Ich typy

Najpierw musisz jasno zrozumieć, czym jest równanie kwadratowe. Dlatego logiczne jest rozpoczęcie rozmowy o równaniach kwadratowych z definicją równania kwadratowego, a także definicjami z nim związanymi. Następnie możesz rozważyć główne typy równań kwadratowych: zredukowane i niezredukowane, a także pełne i niekompletne równania.

Definicja i przykłady równań kwadratowych

Definicja.

Równanie kwadratowe Jest równaniem formy a x 2 + b x + c \u003d 0 , gdzie x jest zmienną, a, b i c to kilka liczb, a a jest niezerowe.

Powiedzmy od razu, że równania kwadratowe nazywane są często równaniami drugiego stopnia. Dzieje się tak, ponieważ równanie kwadratowe jest równanie algebraiczne drugi stopień.

Brzmiała definicja pozwala podać przykłady równań kwadratowych. Czyli 2 x 2 + 6 x + 1 \u003d 0, 0,2 x 2 + 2,5 x + 0,03 \u003d 0 itd. Są równaniami kwadratowymi.

Definicja.

Liczby a, b i c są nazywane współczynniki równania kwadratowego a x 2 + b x + c \u003d 0, a współczynnik a nazywany jest pierwszym lub najwyższym, albo współczynnikiem przy x 2, b jest drugim współczynnikiem, lub współczynnikiem przy x, ic jest terminem wolnym.

Na przykład, weźmy równanie kwadratowe w postaci 5 x 2 −2 x - 3 \u003d 0, tutaj współczynnik wiodący wynosi 5, drugi współczynnik to −2, a punkt przecięcia z osią to −3. Zwróć uwagę, że gdy współczynniki b i / lub c są ujemne, jak w podanym przykładzie, wówczas krótka postać równania kwadratowego to 5 x 2 −2 x - 3 \u003d 0, a nie 5 x 2 + (- 2 ) X + (- 3) \u003d 0.

Należy zauważyć, że gdy współczynniki a i / lub b są równe 1 lub -1, to zwykle nie są one wyraźnie obecne w równaniu kwadratowym, co wynika ze specyfiki pisania takich. Na przykład w równaniu kwadratowym y 2 −y + 3 \u003d 0, współczynnik wiodący wynosi jeden, a współczynnik przy y wynosi −1.

Zredukowane i niezredukowane równania kwadratowe

W zależności od wartości współczynnika wiodącego rozróżnia się zredukowane i niezredukowane równania kwadratowe. Podajmy odpowiednie definicje.

Definicja.

Nazywa się równanie kwadratowe, w którym wiodący współczynnik wynosi 1 zredukowane równanie kwadratowe... W przeciwnym razie równanie kwadratowe to niezredukowany.

Według ta definicja, równania kwadratowe x 2 −3 x + 1 \u003d 0, x 2 −x - 2/3 \u003d 0 itd. - podane, w każdym z nich pierwszy współczynnik jest równy jeden. I 5 x 2 −x - 1 \u003d 0 itd. - niezredukowane równania kwadratowe, ich wiodące współczynniki są różne od 1.

Z dowolnego niezredukowanego równania kwadratowego, dzieląc obie jego części przez współczynnik wiodący, możesz przejść do zredukowanego. To działanie jest równoważną transformacją, to znaczy, uzyskane w ten sposób zredukowane równanie kwadratowe ma te same pierwiastki, co pierwotne niezredukowane równanie kwadratowe lub, podobnie jak to, nie ma pierwiastków.

Przeanalizujmy na przykładzie, jak przebiega przejście od niezredukowanego równania kwadratowego do zredukowanego.

Przykład.

Z równania 3 x 2 + 12 x - 7 \u003d 0 przejdź do odpowiedniego zredukowanego równania kwadratowego.

Decyzja.

Wystarczy, że podzielimy obie strony pierwotnego równania przez współczynnik wiodący 3, jest on niezerowy, abyśmy mogli wykonać tę czynność. Mamy (3 x 2 + 12 x - 7): 3 \u003d 0: 3, czyli to samo, (3 x 2): 3+ (12 x): 3−7: 3 \u003d 0 i dalej (3: 3) x 2 + (12: 3) x - 7: 3 \u003d 0, skąd. Otrzymaliśmy więc zredukowane równanie kwadratowe, które jest równoważne pierwotnemu.

Odpowiedź:

Pełne i niepełne równania kwadratowe

Definicja równania kwadratowego zawiera warunek a ≠ 0. Warunek ten jest konieczny, aby równanie a x 2 + b x + c \u003d 0 było dokładnie kwadratowe, ponieważ przy a \u003d 0 w rzeczywistości staje się równaniem liniowym postaci b x + c \u003d 0.

Jeśli chodzi o współczynniki b i c, mogą one być równe zero, zarówno osobno, jak i razem. W takich przypadkach równanie kwadratowe nazywa się niekompletnym.

Definicja.

Nazywa się równanie kwadratowe a x 2 + b x + c \u003d 0 niekompletnyjeśli przynajmniej jeden ze współczynników b, c jest równy zero.

Z kolei

Definicja.

Pełne równanie kwadratowe Jest równaniem, w którym wszystkie współczynniki są niezerowe.

Nazwy te nie są przypadkowe. Wynika to jasno z następujących rozważań.

Jeśli współczynnik b jest równy zero, to równanie kwadratowe przyjmuje postać a x 2 + 0 x + c \u003d 0 i jest równoważne równaniu a x 2 + c \u003d 0. Jeśli c \u003d 0, to znaczy równanie kwadratowe ma postać a x 2 + b x + 0 \u003d 0, to można je przepisać jako a x 2 + b x \u003d 0. A gdy b \u003d 0 ic \u003d 0, otrzymujemy równanie kwadratowe a · x 2 \u003d 0. Wynikowe równania różnią się od pełnego równania kwadratowego tym, że ich lewa strona nie zawiera ani terminu ze zmienną x, ani terminu wolnego, ani obu. Stąd ich nazwa - niepełne równania kwadratowe.

Zatem równania x 2 + x + 1 \u003d 0 i −2 x 2 −5 x + 0,2 \u003d 0 są przykładami pełnych równań kwadratowych, a x 2 \u003d 0, −2 x 2 \u003d 0,5 x 2 + 3 \u003d 0, −x 2 −5 · x \u003d 0 to niekompletne równania kwadratowe.

Rozwiązywanie niepełnych równań kwadratowych

Z informacji zawartych w poprzednim akapicie wynika, że \u200b\u200btak trzy rodzaje niepełnych równań kwadratowych:

• a x 2 \u003d 0, odpowiadają mu współczynniki b \u003d 0 ic \u003d 0;
• a x 2 + c \u003d 0, gdy b \u003d 0;
• i a x 2 + b x \u003d 0, gdy c \u003d 0.

Przeanalizujmy w kolejności, w jaki rozwiązuje się niepełne równania kwadratowe każdego z tych typów.

a x 2 \u003d 0

Zacznijmy od rozwiązania niekompletnych równań kwadratowych, w których współczynniki b i c są równe zero, czyli równaniami postaci a · x 2 \u003d 0. Równanie a · x 2 \u003d 0 jest równoważne równaniu x 2 \u003d 0, które jest otrzymywane z oryginału przez podzielenie obu jego części przez niezerową liczbę a. Oczywiście pierwiastek równania x 2 \u003d 0 wynosi zero, ponieważ 0 2 \u003d 0. To równanie nie ma innych pierwiastków, co jest rzeczywiście wyjaśnione dla dowolnej niezerowej liczby p nierówność p 2\u003e 0, stąd wynika, że \u200b\u200bdla p ≠ 0 równość p 2 \u003d 0 nigdy nie jest osiągnięta.

Tak więc niepełne równanie kwadratowe a · x 2 \u003d 0 ma pojedynczy pierwiastek x \u003d 0.

Jako przykład podajmy rozwiązanie niepełnego równania kwadratowego −4 · x 2 \u003d 0. Równanie x 2 \u003d 0 jest mu równoważne, jego jedynym pierwiastkiem jest x \u003d 0, dlatego oryginalne równanie ma również unikalne zero.

Krótkie rozwiązanie w tym przypadku można sformułować następująco:
−4 x 2 \u003d 0,
x 2 \u003d 0,
x \u003d 0.

a x 2 + c \u003d 0

Teraz rozważymy, jak rozwiązuje się niepełne równania kwadratowe, w których współczynnik b wynosi zero, a c c 0, czyli równania postaci a · x 2 + c \u003d 0. Wiemy, że przeniesienie terminu z jednej strony równania na drugą z przeciwnym znakiem, a także podzielenie obu stron równania przez liczbę niezerową, daje równanie równoważne. Dlatego możemy przeprowadzić następujące równoważne przekształcenia niepełnego równania kwadratowego a x 2 + c \u003d 0:

• przesuń c na prawą stronę, co daje równanieax 2 \u003d −c,
• i podziel obie części przez a, otrzymamy.

Wynikowe równanie pozwala wyciągnąć wnioski na temat jego korzeni. W zależności od wartości a i c wartość wyrażenia może być ujemna (na przykład, jeśli a \u003d 1 i c \u003d 2, to) lub dodatnia (na przykład, jeśli a \u003d −2 i c \u003d 6, to), nie jest równa zeru , ponieważ według warunku c ≠ 0. Przeanalizujmy oddzielnie przypadki i.

Jeśli, to równanie nie ma korzeni. To stwierdzenie wynika z faktu, że kwadrat dowolnej liczby jest liczbą nieujemną. Wynika z tego, że kiedy, to dla dowolnej liczby p równość nie może być prawdziwa.

Jeśli, to sytuacja z korzeniami równania jest inna. W tym przypadku, jeśli pamiętasz, pierwiastek równania natychmiast staje się oczywisty, jest to liczba, ponieważ. Łatwo zgadnąć, że liczba jest rzeczywiście podstawą równania. To równanie nie ma innych pierwiastków, co można wykazać na przykład przez zaprzeczenie. Zróbmy to.

Oznaczmy pierwiastki równania wyrażone właśnie jako x 1 i −x 1. Załóżmy, że równanie ma jeszcze jeden pierwiastek x 2 różniący się od wskazanych pierwiastków x 1 i -x 1. Wiadomo, że podstawienie jego pierwiastków w równaniu zamiast x zamienia równanie w prawdziwą równość liczbową. Dla x 1 i −x 1 mamy, a dla x 2 mamy. Właściwości równości liczbowych pozwalają nam odejmować okres po członie prawdziwych równości liczbowych, więc odejmowanie odpowiednich części równości daje x 1 2 −x 2 2 \u003d 0. Własności akcji z liczbami pozwalają przepisać wynikową równość na (x 1 - x 2) · (x 1 + x 2) \u003d 0. Wiemy, że iloczyn dwóch liczb jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jedna z nich jest równa zero. Dlatego z uzyskanej równości wynika, że \u200b\u200bx 1 - x 2 \u003d 0 i / lub x 1 + x 2 \u003d 0, czyli to samo, x 2 \u003d x 1 i / lub x 2 \u003d −x 1. W ten sposób doszliśmy do sprzeczności, ponieważ na początku powiedzieliśmy, że pierwiastek równania x 2 jest różny od x 1 i −x 1. Dowodzi to, że równanie nie ma innych pierwiastków niż i.

Podsumujmy informacje dotyczące tej pozycji. Niekompletne równanie kwadratowe a x 2 + c \u003d 0 jest równoważne równaniu, które

• nie ma korzeni, jeśli
• ma dwa korzenie i, jeśli.

Rozważ przykłady rozwiązywania niepełnych równań kwadratowych postaci a · x 2 + c \u003d 0.

Zacznijmy od równania kwadratowego 9 x 2 + 7 \u003d 0. Po przeniesieniu terminu wolnego na prawą stronę równania przyjmie on postać 9 · x 2 \u003d −7. Dzieląc obie strony otrzymanego równania przez 9, dochodzimy do. Ponieważ po prawej stronie znajduje się liczba ujemna, to równanie nie ma pierwiastków, dlatego pierwotne niepełne równanie kwadratowe 9 · x 2 + 7 \u003d 0 nie ma pierwiastków.

Rozwiąż inne niepełne równanie kwadratowe −x 2 + 9 \u003d 0. Przesuń dziewiątkę w prawo: −x 2 \u003d −9. Teraz dzielimy obie strony przez -1, otrzymujemy x 2 \u003d 9. Po prawej stronie znajduje się liczba dodatnia, z której wnioskujemy, że lub. Następnie zapisujemy ostateczną odpowiedź: niepełne równanie kwadratowe −x 2 + 9 \u003d 0 ma dwa pierwiastki x \u003d 3 lub x \u003d −3.

a x 2 + b x \u003d 0

Pozostaje zająć się rozwiązaniem ostatniego typu niekompletnych równań kwadratowych dla c \u003d 0. Niepełne równania kwadratowe w postaci a x 2 + b x \u003d 0 pozwalają rozwiązać metoda faktoryzacji... Oczywiście możemy, znajdując się po lewej stronie równania, dla którego wystarczy rozliczyć wspólny czynnik x. To pozwala nam przejść od pierwotnego niepełnego równania kwadratowego do równania równoważnego postaci x · (a · x + b) \u003d 0. Równanie to jest równoważne kombinacji dwóch równań x \u003d 0 i a x + b \u003d 0, z których ostatnie jest liniowe i ma pierwiastek x \u003d −b / a.

Zatem niekompletne równanie kwadratowe a x 2 + b x \u003d 0 ma dwa pierwiastki x \u003d 0 i x \u003d −b / a.

Aby skonsolidować materiał, przeanalizujemy rozwiązanie konkretnego przykładu.

Przykład.

Rozwiązać równanie.

Decyzja.

Wyprowadzenie x z nawiasów daje równanie. Odpowiada dwóm równaniom x \u003d 0 i. Rozwiązujemy otrzymane równanie liniowe:, a po podzieleniu liczby mieszanej przez zwykły ułamek znajdujemy. Dlatego pierwiastki pierwotnego równania to x \u003d 0 i.

Po zdobyciu niezbędnej praktyki rozwiązania takich równań można krótko napisać:

Odpowiedź:

x \u003d 0 ,.

Dyskryminator, wzór na pierwiastki równania kwadratowego

Istnieje wzór do rozwiązywania równań kwadratowych. Napiszmy równanie kwadratowe:, gdzie D \u003d b 2-4 a c - tak zwana kwadratowy dyskryminator... Notacja zasadniczo to oznacza.

Warto wiedzieć, w jaki sposób uzyskano wzór na pierwiastek i jak jest on stosowany podczas znajdowania pierwiastków równań kwadratowych. Zrozummy to.

Wyprowadzenie wzoru na pierwiastki równania kwadratowego

Załóżmy, że musimy rozwiązać równanie kwadratowe a x 2 + b x + c \u003d 0. Wykonajmy równoważne przekształcenia:

• Możemy podzielić obie strony tego równania przez niezerową liczbę a, w wyniku czego otrzymamy zredukowane równanie kwadratowe.
• Teraz wybierz cały kwadrat po jego lewej stronie: Następnie równanie przyjmie postać.
• Na tym etapie możliwe jest przeniesienie dwóch ostatnich terminów na prawą stronę z przeciwnym znakiem, jaki mamy.
• Przekształcamy również wyrażenie po prawej stronie:

W rezultacie dochodzimy do równania, które jest równoważne pierwotnemu równaniu kwadratowemu a x 2 + b x + c \u003d 0.

Rozwiązaliśmy już równania o podobnej formie w poprzednich akapitach, kiedy je analizowaliśmy. To pozwala nam wyciągnąć następujące wnioski dotyczące pierwiastków równania:

• jeśli, to równanie nie ma rzeczywistych rozwiązań;
• jeśli, to równanie ma postać, stąd widoczny jest jego jedyny pierwiastek;
• jeśli, to lub, który jest taki sam lub, to znaczy, równanie ma dwa pierwiastki.

Zatem obecność lub brak pierwiastków równania, a tym samym pierwotnego równania kwadratowego, zależy od znaku wyrażenia po prawej stronie. Z kolei znak tego wyrażenia jest określany przez znak licznika, ponieważ mianownik 4 · a 2 jest zawsze dodatni, czyli znak wyrażenia b 2 −4 · a · c. Wyrażenie b 2 −4 a c zostało wywołane dyskryminator równania kwadratowego i oznaczone literą re... Z tego jasno wynika istota dyskryminatora - z jego wartości i znaku można wywnioskować, czy równanie kwadratowe ma rzeczywiste pierwiastki, a jeśli tak, jaka jest ich liczba - jeden czy dwa.

Wracając do równania, przepisujemy je używając notacji dyskryminacyjnej: I wyciągamy wnioski:

• jeśli D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• jeśli D \u003d 0, to równanie to ma pojedynczy pierwiastek;
• wreszcie, jeśli D\u003e 0, to równanie ma dwa pierwiastki lub, które z racji można przepisać w postaci lub, a po rozszerzeniu i zredukowaniu ułamków do wspólnego mianownika otrzymujemy

Więc wyprowadziliśmy wzory na pierwiastki równania kwadratowego, mają one postać, w której dyskryminator D jest obliczany ze wzoru D \u003d b 2 −4 · a · c.

Z ich pomocą, z dodatnim dyskryminatorem, możesz obliczyć oba rzeczywiste pierwiastki równania kwadratowego. Gdy dyskryminator jest równy zero, obie formuły podają tę samą wartość pierwiastkową odpowiadającą unikalnemu rozwiązaniu równania kwadratowego. Z ujemnym dyskryminatorem, próbując użyć wzoru na pierwiastki równania kwadratowego, mamy do czynienia z ekstrakcją pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej, która prowadzi nas poza i program nauczania... W przypadku dyskryminatora ujemnego równanie kwadratowe nie ma rzeczywistych pierwiastków, ale ma parę złożony koniugat korzenie, które można znaleźć za pomocą tych samych wzorów korzeni, które otrzymaliśmy.

Algorytm rozwiązywania równań kwadratowych z wykorzystaniem wzorów na pierwiastki

W praktyce przy rozwiązywaniu równań kwadratowych można od razu skorzystać ze wzoru na pierwiastek, za pomocą którego można obliczyć ich wartości. Ale chodzi bardziej o znajdowanie złożonych korzeni.

Jednak na szkolnym kursie algebry zwykle nie chodzi o złożone, ale o rzeczywiste pierwiastki równania kwadratowego. W takim przypadku wskazane jest, aby najpierw znaleźć dyskryminator przed użyciem wzorów na pierwiastki równania kwadratowego, upewnić się, że jest on nieujemny (w przeciwnym razie możemy wywnioskować, że równanie nie ma rzeczywistych pierwiastków), a dopiero potem obliczyć wartości pierwiastków.

Powyższe rozumowanie pozwala nam pisać rozwiązywanie równań kwadratowych... Aby rozwiązać równanie kwadratowe a x 2 + b x + c \u003d 0, potrzebujesz:

• korzystając ze wzoru dyskryminacyjnego D \u003d b 2 −4 · a · c obliczyć jego wartość;
• wywnioskować, że równanie kwadratowe nie ma rzeczywistych pierwiastków, jeśli dyskryminator jest ujemny;
• obliczyć jedyny pierwiastek równania według wzoru, jeśli D \u003d 0;
• znajdź dwa rzeczywiste pierwiastki równania kwadratowego za pomocą wzoru na pierwiastek, jeśli dyskryminator jest dodatni.

Tutaj tylko zauważamy, że jeśli dyskryminator jest równy zero, można również użyć formuły, która da taką samą wartość jak.

Możesz przejść do przykładów wykorzystania algorytmu do rozwiązywania równań kwadratowych.

Przykłady rozwiązywania równań kwadratowych

Rozważ rozwiązania trzech równań kwadratowych z dyskryminacją dodatnią, ujemną i zerową. Mając do czynienia z ich rozwiązaniem, przez analogię będzie można rozwiązać dowolne inne równanie kwadratowe. Zaczynajmy.

Przykład.

Znajdź pierwiastki równania x 2 + 2 x - 6 \u003d 0.

Decyzja.

W tym przypadku mamy następujące współczynniki równania kwadratowego: a \u003d 1, b \u003d 2 ic \u003d −6. Zgodnie z algorytmem, najpierw należy obliczyć dyskryminator, w tym celu podstawiamy wskazane a, b i c do wzoru dyskryminatora, który mamy D \u003d b 2 −4 a c \u003d 2 2 −4 1 (−6) \u003d 4 + 24 \u003d 28... Ponieważ 28\u003e 0, to znaczy dyskryminator jest większy od zera, równanie kwadratowe ma dwa rzeczywiste pierwiastki. Znajdujemy je według wzoru na pierwiastek, otrzymujemy, tutaj możesz uprościć wyrażenia uzyskane przez wykonanie rozróżniając znak korzenia z późniejszą redukcją frakcji:

Odpowiedź:

Przejdźmy do następnego typowego przykładu.

Przykład.

Rozwiąż równanie kwadratowe −4x2 + 28x - 49 \u003d 0.

Decyzja.

Rozpoczynamy od znalezienia dyskryminatora: D \u003d 28 2 −4 (−4) (−49) \u003d 784−784 \u003d 0... Dlatego to równanie kwadratowe ma jeden pierwiastek, który znajdujemy jako, to znaczy

Odpowiedź:

x \u003d 3,5.

Pozostaje rozważyć rozwiązanie równań kwadratowych z ujemną dyskryminacją.

Przykład.

Rozwiąż równanie 5 y 2 + 6 y + 2 \u003d 0.

Decyzja.

Oto współczynniki równania kwadratowego: a \u003d 5, b \u003d 6 ic \u003d 2. Zastępując te wartości formułą dyskryminacyjną, mamy D \u003d b 2 −4 a c \u003d 6 2 −4 5 2 \u003d 36−40 \u003d −4... Dyskryminator jest ujemny, dlatego to równanie kwadratowe nie ma prawdziwych korzeni.

Jeśli chcesz wskazać złożone pierwiastki, stosujemy dobrze znany wzór na pierwiastki równania kwadratowego i wykonujemy operacje na liczbach zespolonych:

Odpowiedź:

nie ma prawdziwych korzeni, złożone korzenie są następujące:

Po raz kolejny zauważamy, że jeśli dyskryminator równania kwadratowego jest ujemny, to zwykle w szkole zwykle natychmiast zapisują odpowiedź, w której wskazują, że nie ma prawdziwych korzeni i nie znaleziono złożonych korzeni.

Wzór na pierwiastek nawet dla drugich współczynników

Wzór na pierwiastki równania kwadratowego, gdzie D \u003d b 2 −4 a c, umożliwia uzyskanie formuły o bardziej zwartej postaci, która pozwala na rozwiązywanie równań kwadratowych z parzystym współczynnikiem przy x (lub po prostu ze współczynnikiem o postaci np. 2 n lub 14 ln5 \u003d 2 7 ln5). Wyjmijmy to.

Powiedzmy, że musimy rozwiązać równanie kwadratowe postaci a x 2 + 2 n x + c \u003d 0. Znajdźmy jego korzenie za pomocą znanego nam wzoru. Aby to zrobić, oblicz dyskryminację D \u003d (2 n) 2 −4 a c \u003d 4 n 2 −4 a c \u003d 4 (n 2 −a c), a następnie użyj formuły głównej:

Oznaczmy wyrażenie n 2 −a · c jako D 1 (czasami jest to oznaczane przez D "). Wtedy wzór na pierwiastki rozważanego równania kwadratowego z drugim współczynnikiem 2 n przyjmuje postać , gdzie D 1 \u003d n 2 - a · c.

Łatwo zauważyć, że D \u003d 4 · D 1 lub D 1 \u003d D / 4. Innymi słowy, D 1 jest czwartą częścią dyskryminatora. Jest jasne, że znak D 1 jest taki sam jak znak D. Oznacza to, że znak D 1 jest również wskaźnikiem obecności lub braku pierwiastków równania kwadratowego.

Tak więc, aby rozwiązać równanie kwadratowe z drugim współczynnikiem 2 n, potrzebujesz

• Oblicz D 1 \u003d n 2 −a · c;
• Jeśli D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Jeśli D 1 \u003d 0, oblicz jedyny pierwiastek równania według wzoru;
• Jeśli D 1\u003e 0, znajdź dwa rzeczywiste pierwiastki według wzoru.

Rozważmy rozwiązanie przykładu wykorzystującego wzór pierwiastka uzyskany w tym akapicie.

Przykład.

Rozwiąż równanie kwadratowe 5x2 −6x - 32 \u003d 0.

Decyzja.

Drugi współczynnik tego równania można przedstawić jako 2 · (−3). Oznacza to, że możesz przepisać oryginalne równanie kwadratowe w postaci 5 x 2 + 2 (−3) x - 32 \u003d 0, tutaj a \u003d 5, n \u003d −3 ic \u003d −32, i obliczyć czwartą część dyskryminatora: D 1 \u003d n 2 −a c \u003d (- 3) 2 −5 (−32) \u003d 9 + 160 \u003d 169... Ponieważ jego wartość jest dodatnia, równanie ma dwa prawdziwe pierwiastki. Znajdźmy je za pomocą odpowiedniej formuły głównej:

Zwróć uwagę, że można było użyć zwykłego wzoru na pierwiastki równania kwadratowego, ale w tym przypadku należałoby wykonać więcej pracy obliczeniowej.

Odpowiedź:

Upraszczanie równań kwadratowych

Czasami przed przystąpieniem do obliczania pierwiastków równania kwadratowego za pomocą wzorów nie zaszkodzi zadać pytanie: „Czy można uprościć postać tego równania”? Zgadzam się, że z punktu widzenia obliczeń łatwiej będzie rozwiązać równanie kwadratowe 11 · x 2 −4 · x - 6 \u003d 0 niż 1100 · x 2 −400 · x - 600 \u003d 0.

Zwykle uproszczenie postaci równania kwadratowego uzyskuje się przez pomnożenie lub podzielenie obu jego części przez pewną liczbę. Na przykład w poprzednim akapicie udało nam się uprościć równanie 1100x2 −400x - 600 \u003d 0, dzieląc obie strony przez 100.

Podobną transformację przeprowadza się za pomocą równań kwadratowych, których współczynniki nie są. W takim przypadku obie strony równania są zwykle dzielone przez wartości bezwzględne jego współczynniki. Na przykład weźmy równanie kwadratowe 12 x 2 −42 x + 48 \u003d 0. wartości bezwzględne jej współczynników: GCD (12, 42, 48) \u003d GCD (GCD (12, 42), 48) \u003d GCD (6, 48) \u003d 6. Dzieląc obie strony pierwotnego równania kwadratowego przez 6, otrzymujemy równoważne równanie kwadratowe 2 x 2 −7 x + 8 \u003d 0.

Mnożenie obu stron równania kwadratowego jest zwykle wykonywane, aby pozbyć się współczynników ułamkowych. W tym przypadku mnożenie odbywa się za pomocą mianowników jego współczynników. Na przykład, jeśli obie strony równania kwadratowego zostaną pomnożone przez LCM (6, 3, 1) \u003d 6, to przyjmie prostszą postać x 2 + 4 x - 18 \u003d 0.

Podsumowując ten punkt, zauważamy, że prawie zawsze pozbywamy się minusa przy wiodącym współczynniku równania kwadratowego, zmieniając znaki wszystkich wyrazów, co odpowiada pomnożeniu (lub podzieleniu) obu części przez -1. Na przykład, zwykle z równania kwadratowego −2x2 −3x + 7 \u003d 0 przechodzi się do rozwiązania 2x2 + 3x - 7 \u003d 0.

Zależność między pierwiastkami i współczynnikami równania kwadratowego

Wzór na pierwiastki równania kwadratowego wyraża pierwiastki równania w kategoriach jego współczynników. Na podstawie wzoru na pierwiastek można uzyskać inne zależności między pierwiastkami a współczynnikami.

Najbardziej znane i mające zastosowanie wzory pochodzą z twierdzenia Viety o postaci i. W szczególności dla danego równania kwadratowego suma pierwiastków jest równa drugiemu współczynnikowi o przeciwnym znaku, a iloczyn pierwiastków jest równy wolnemu członowi. Na przykład za pomocą równania kwadratowego 3 x 2 −7 x + 22 \u003d 0 możemy od razu powiedzieć, że suma jego pierwiastków wynosi 7/3, a iloczyn pierwiastków to 22/3.

Korzystając z już napisanych wzorów, możesz uzyskać szereg innych zależności między pierwiastkami a współczynnikami równania kwadratowego. Na przykład możesz wyrazić sumę kwadratów pierwiastków równania kwadratowego poprzez jego współczynniki:

Lista referencji.

• Algebra: badanie. za 8 cl. ogólne wykształcenie. instytucje / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; wyd. S. A. Telyakovsky. - 16th ed. - M .: Edukacja, 2008. - 271 str. : chory. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• A. G. Mordkovich Algebra. Klasa 8. 14.00 Część 1. Podręcznik dla uczniów szkół wyższych / A. G. Mordkovich. - 11 wyd., Skasowane. - M .: Mnemozina, 2009. - 215 str.: Chory. ISBN 978-5-346-01155-2 .Linki zewnętrzne

Właśnie. Według wzorów i jasnych, prostych zasad. Na pierwszym etapie

konieczne jest zredukowanie podanego równania do standardowy widokczyli patrzeć:

Jeśli równanie zostało już podane w tej formie, nie musisz wykonywać pierwszego kroku. Najważniejsze jest właściwe

określić wszystkie współczynniki, i, b i do.

Wzór na znajdowanie pierwiastków równania kwadratowego.

Wywoływane jest wyrażenie pod znakiem root dyskryminujący ... Jak widać, aby znaleźć x, my

posługiwać się tylko a, b i c. Te. współczynniki z równanie kwadratowe... Po prostu ostrożnie zastąp

znaczenie a, b i c do tego wzoru i policz. Zastąp przez ich oznaki!

na przykład, w równaniu:

i =1; b = 3; do = -4.

Zastąp wartości i napisz:

Przykład jest prawie rozwiązany:

To jest odpowiedź.

Najczęstsze błędy to pomylenie ze znakami znaczenia. a, bi z... Raczej z substytucją

wartości ujemne do wzoru na obliczanie pierwiastków. Tutaj zapisuje szczegółowy zapis wzoru

z określonymi numerami. Jeśli masz problemy obliczeniowe, zrób to!

Załóżmy, że musisz rozwiązać ten przykład:

Tutaj za = -6; b = -5; do = -1

Malujemy wszystko szczegółowo, starannie, nie tracąc niczego ze wszystkimi znakami i nawiasami:

Równania kwadratowe często wyglądają nieco inaczej. Na przykład tak:

Teraz zwróć uwagę na najlepsze praktyki, które radykalnie zmniejszą liczbę błędów.

Pierwsze przyjęcie... Nie bądź leniwy wcześniej rozwiązanie równania kwadratowego doprowadzić go do standardowej formy.

Co to znaczy?

Powiedzmy, że po każdej transformacji otrzymałeś następujące równanie:

Nie spiesz się, aby napisać formułę root! Prawie na pewno pomylisz szanse. a, b i c.

Zbuduj przykład poprawnie. Najpierw X jest podniesiony do kwadratu, następnie bez kwadratu, a następnie wyraz wolny. Lubię to:

Pozbądź się minusa. W jaki sposób? Musisz pomnożyć całe równanie przez -1. Otrzymujemy:

Ale teraz możesz bezpiecznie zapisać wzór na pierwiastki, obliczyć dyskryminację i uzupełnić przykład.

Zrób to sam. Powinieneś mieć korzenie 2 i -1.

Odbiór drugi. Sprawdź korzenie! Przez twierdzenie Viety.

Aby rozwiązać podane równania kwadratowe, tj. jeśli współczynnik

x 2 + bx + c \u003d 0,

następnie x 1 x 2 \u003d ok

x 1 + x 2 \u003d -b

Dla pełnego równania kwadratowego, w którym a ≠ 1:

x 2 +bx +do=0,

podziel całe równanie przez i:

→ →

gdzie x 1 i x 2 - pierwiastki równania.

Recepcja trzecia... Jeśli twoje równanie zawiera współczynniki ułamkowe, pozbądź się ułamków! Zwielokrotniać

równanie na wspólny mianownik.

Wynik. Praktyczne porady:

1. Przed rozwiązaniem sprowadzamy równanie kwadratowe do standardowej postaci, budujemy je dobrze.

2. Jeśli przed x w kwadracie występuje ujemny współczynnik, eliminujemy go mnożąc wynik

równań o -1.

3. Jeśli współczynniki są ułamkowe, eliminujemy ułamki mnożąc całe równanie przez odpowiednie

czynnik.

4. Jeśli x kwadrat jest czysty, współczynnik przy nim jest równy jeden, rozwiązanie można łatwo sprawdzić

Równania kwadratowe... Informacje ogólne.

W kwadratowy X musi być obecny w kwadracie (dlatego jest nazywany

"Plac"). Oprócz niego równanie może, ale nie musi, zawierać tylko x (w pierwszym stopniu) i

tylko liczba (wolny Członek). I nie powinno być żadnych x w stopniu większym niż dwa.

Ogólne równanie algebraiczne.

gdzie x - zmienna dowolna, za, b, do - współczynniki i za≠0 .

na przykład:

Wyrażenie nazywa kwadratowy trójmian.

Elementy równania kwadratowego mają swoje nazwy:

Nazywany pierwszym lub najwyższym współczynnikiem,

Nazywany drugim lub współczynnikiem w,

· Nazwany wolnym członkiem.

Uzupełnij równanie kwadratowe.

Te równania kwadratowe mają pełny zestaw terminów po lewej stronie. X do kwadratu

współczynnik i, x do pierwszej potęgi ze współczynnikiem b i wolny członek z. Wwszystkie szanse

musi być różna od zera.

Niekompletny nazywa się równaniem kwadratowym, w którym co najmniej jeden ze współczynników oprócz

najwyższy (albo drugi współczynnik, albo wolny wyraz) jest równy zero.

Udawajmy, że b \u003d 0, - x znika w pierwszym stopniu. Okazuje się na przykład:

2x 2 -6x \u003d 0,

Itp. A jeśli oba współczynniki, b i do równa zero, to wszystko jest jeszcze prostsze, na przykład:

2x 2 \u003d 0,

Zauważ, że x do kwadratu jest obecny we wszystkich równaniach.

Czemu i nie może być zero? Następnie x kwadrat znika i staje się równanie liniowy .

I decyduje się w zupełnie inny sposób ...

Niekompletne równanie kwadratowe różni się od klasycznych (kompletnych) równań tym, że jego współczynniki lub punkt przecięcia z osią są równe zeru. Wykres takich funkcji to parabole. W zależności od ogólnego wyglądu dzielą się na 3 grupy. Zasady rozwiązywania wszystkich typów równań są takie same.

Nie ma nic trudnego w określeniu typu niepełnego wielomianu. Najlepiej rozważyć główne różnice za pomocą ilustracyjnych przykładów:

1. Jeśli b \u003d 0, to równanie to ax 2 + c \u003d 0.
2. Jeśli c \u003d 0, to wyrażenie ax 2 + bx \u003d 0 powinno zostać rozwiązane.
3. Jeśli b \u003d 0 ic \u003d 0, to wielomian staje się równością typu ax 2 \u003d 0.

Ten ostatni przypadek jest bardziej teoretyczną możliwością i nigdy nie występuje w zadaniach testowania wiedzy, ponieważ jedyna poprawna wartość zmiennej x w wyrażeniu wynosi zero. W przyszłości rozważone zostaną metody i przykłady rozwiązywania niepełnych równań kwadratowych 1) i 2).

Ogólny algorytm znajdowania zmiennych i przykładów z rozwiązaniem

Niezależnie od rodzaju równania algorytm rozwiązania sprowadza się do następujących kroków:

1. Zredukuj wyrażenie do formy wygodnej do znajdowania korzeni.
2. Wykonaj obliczenia.
3. Nagraj swoją odpowiedź.

Najłatwiejszym sposobem rozwiązania niekompletnych równań jest uwzględnienie lewej strony i pozostawienie zera po prawej stronie. Zatem wzór na niepełne równanie kwadratowe do znajdowania pierwiastków sprowadza się do obliczenia wartości x dla każdego z czynników.

Możesz się tylko nauczyć, jak rozwiązać to w praktyce, więc rozważmy konkretny przykład znajdowania korzeni niekompletnego równania:

Jak widać, w tym przypadku b \u003d 0. Rozważmy lewą stronę i otrzymamy wyrażenie:

4 (x - 0,5) ⋅ (x + 0,5) \u003d 0.

Oczywiście iloczyn wynosi zero, gdy przynajmniej jeden z czynników wynosi zero. Wartości zmiennej x1 \u003d 0,5 i (lub) x2 \u003d -0,5 spełniają te wymagania.

Aby łatwo i szybko poradzić sobie z problemem rozłożenia trójmianu kwadratowego na czynniki, należy pamiętać o następującym wzorze:

Jeśli w wyrażeniu nie ma wolnego terminu, zadanie jest znacznie uproszczone. Wystarczy znaleźć i wyjąć wspólny mianownik. Dla jasności rozważ przykład rozwiązywania niepełnych równań kwadratowych w postaci ax2 + bx \u003d 0.

Wyjmijmy zmienną x z nawiasów i otrzymamy następujące wyrażenie:

x ⋅ (x + 3) \u003d 0.

Kierując się logiką, dochodzimy do wniosku, że x1 \u003d 0, a x2 \u003d -3.

Tradycyjne rozwiązanie i niepełne równania kwadratowe

Co się stanie, jeśli zastosujesz formułę dyskryminacyjną i spróbujesz znaleźć pierwiastki wielomianu o współczynnikach równych zero? Weźmy przykład ze zbioru typowych zadań do egzaminu z matematyki w 2017 roku, rozwiążmy go za pomocą standardowych wzorów i metody faktoringu.

7x 2 - 3x \u003d 0.

Obliczmy wartość dyskryminatora: D \u003d (-3) 2 - 4 ⋅ (-7) ⋅ 0 \u003d 9. Okazuje się, że wielomian ma dwa pierwiastki:

Teraz rozwiążmy równanie, rozkładając na czynniki i porównując wyniki.

X ⋅ (7x + 3) \u003d 0,

2) 7x + 3 \u003d 0,
7x \u003d -3,
x \u003d -.

Jak widać, obie metody dają ten sam wynik, ale rozwiązanie równania drugą metodą okazało się znacznie łatwiejsze i szybsze.

Twierdzenie Viety

A co zrobić z ukochanym twierdzeniem Vieta? Czy można zastosować tę metodę z niepełnym trójmianem? Spróbujmy zrozumieć aspekty sprowadzania niepełnych równań do postaci klasycznej ax2 + bx + c \u003d 0.

W rzeczywistości w tym przypadku można zastosować twierdzenie Viety. Konieczne jest tylko doprowadzenie wyrażenia do ogólnej formy, zastępując brakujące elementy zerem.

Na przykład dla b \u003d 0 i a \u003d 1, aby wyeliminować prawdopodobieństwo pomyłki, zadanie należy zapisać w postaci: ax2 + 0 + c \u003d 0. Wtedy stosunek sumy i iloczynu pierwiastków i współczynników wielomianu można wyrazić następująco:

Obliczenia teoretyczne pomagają zapoznać się z istotą zagadnienia i zawsze wymagają przećwiczenia umiejętności rozwiązywania konkretnych problemów. Wróćmy ponownie do podręcznika zawierającego typowe zadania do egzaminu i znajdźmy odpowiedni przykład:

Napiszmy wyrażenie w postaci dogodnej do zastosowania twierdzenia Viety:

x 2 + 0-16 \u003d 0.

Kolejnym krokiem jest stworzenie systemu warunków:

Oczywiście pierwiastki wielomianu kwadratowego będą wynosić x 1 \u003d 4 i x 2 \u003d -4.

Teraz poćwiczmy sprowadzenie równania do postaci ogólnej. Weźmy następujący przykład: 1/4 × x 2 - 1 \u003d 0

Aby zastosować twierdzenie Viety do wyrażenia, konieczne jest pozbycie się ułamka. Pomnóż lewą i prawą stronę przez 4 i spójrz na wynik: x2– 4 \u003d 0. Wynikowa równość jest gotowa do rozwiązania za pomocą twierdzenia Viety, ale znacznie łatwiej i szybciej uzyskać odpowiedź, po prostu przesuwając c \u003d 4 na prawą stronę równania: x2 \u003d 4.

Podsumowując, należy stwierdzić, że najlepszym sposobem rozwiązywania niekompletnych równań jest faktoryzacja, która jest najprostszą i najszybszą metodą. Jeśli napotkasz trudności w procesie wyszukiwania korzeni, możesz zwrócić się do tradycyjnej metody znajdowania korzeni przez dyskryminatora.