Miejska Autonomiczna Ogólnokształcąca Instytucja Edukacyjna „Yarkovskaya Secondary School”

Projekt badawczy

Decyzja nierówności logarytmiczne metoda racjonalizacji

MAOU „Szkoła średnia Yarkovskaya”

Shanskikh Daria

Opiekun: nauczyciel matematyki

MAOU „Szkoła średnia Yarkovskaya”

Yarkovo 2013

1) Wprowadzenie ………………………………………………………… .2

2) Część główna ……………………………………………… ..3

3) Wniosek ………………………………………………… ..9

4) Lista wykorzystanej literatury …………… .10

5) Załączniki ………………………………………………… 11-12

1. Wprowadzenie

Często podczas rozwiązywania zadań USE z części „C”, a zwłaszcza w zadaniach C3, występują nierówności zawierające wyrażenia logarytmiczne z nieznanym u podstawy logarytmu. Na przykład, oto standardowa nierówność:

Z reguły do \u200b\u200brozwiązywania takich zadań stosuje się metodę klasyczną, czyli stosuje się przejście do równoważnego zestawu systemów

Przy standardowym podejściu przykład rozwiązuje się zgodnie ze schematem: iloczyn jest mniejszy od zera, gdy czynniki mają różne znaki. Oznacza to, że rozważany jest zestaw dwóch systemów nierówności, w których każda nierówność dzieli się na siedem kolejnych. Dlatego można zaproponować mniej pracochłonną metodę rozwiązywania tej standardowej nierówności. Jest to metoda racjonalizacji znana w literaturze matematycznej jako dekompozycja.

Realizując projekt stawiam sobie następujące cele :

1) Opanuj tę technikę podejmowania decyzji

2) Przećwiczenie umiejętności rozwiązywania zadań C3 z prac szkoleniowych i diagnostycznych w 2013 roku.

Zadanie projektujest nauką o teoretycznych podstawach metody racjonalizacji.

Stosowność pracy polega na tym, że metoda ta pozwala z sukcesem rozwiązać logarytmiczne nierówności części C3 egzaminu z matematyki.

2. Głównym elementem

Rozważmy logarytmiczną nierówność postaci

rozmiar czcionki: 14.0pt; wysokość linii: 150% "\u003e, (1)

gdzie font-size: 14.0pt; line-height: 150% "\u003e Standardowa metoda rozwiązywania takiej nierówności polega na przeanalizowaniu dwóch przypadków w zakresie dopuszczalnych wartości nierówności.

W pierwszym przypadkugdy podstawy logarytmów spełniają warunek

rozmiar czcionki: 14.0pt; line-height: 150% "\u003e, rysowany jest znak nierówności: font-size: 14.0pt; line-height: 150%"\u003e W drugim przypadku gdy podstawa spełnia warunekznak nierówności zostaje zachowany:

Na pierwszy rzut oka wszystko jest logiczne, rozważymy dwa przypadki, a następnie połączymy odpowiedzi. To prawda, że \u200b\u200brozważając drugi przypadek, pojawia się pewien dyskomfort - konieczne jest powtórzenie obliczeń z pierwszego przypadku o 90 procent (przekształcić, znaleźć pierwiastki równań pomocniczych, określić odstępy monotonii znaku). Powstaje naturalne pytanie - czy można to wszystko jakoś połączyć?

Odpowiedź na to pytanie zawiera następujące twierdzenie.

Twierdzenie 1. Nierówność logarytmiczna

font-size: 14.0pt; line-height: 150% "\u003e jest odpowiednikiem następującego systemu nierówności :

rozmiar czcionki: 14.0pt; wysokość linii: 150% "\u003e (2)

Dowód.

1. Zacznijmy od tego, że pierwsze cztery nierówności układu (2) definiują zbiór dopuszczalnych wartości początkowej nierówności logarytmicznej. Zwróćmy teraz uwagę na piątą nierówność. Jeśli rozmiar czcionki: 14.0pt; line-height: 150% "\u003e, to pierwszy czynnik tej nierówności będzie ujemny. Anulując przez to, będziesz musiał zmienić znak nierówności na przeciwny, wtedy otrzymasz nierówność .

Jeśli następnie pierwszy czynnik piątej nierówności jest dodatni, usuwamy go bez zmiany znaku nierówności, otrzymujemy nierównośćfont-size: 14.0pt; line-height: 150% "\u003e. Zatem piąta nierówność systemu obejmuje oba przypadki poprzedniej metody.

Terem jest sprawdzony.

Główne postanowienia teorii metody racjonalizacji.

Metoda racjonalizacji polega na zastąpieniu złożonego wyrażeniaF (x ) do prostszego wyrażeniaG (x ), dla których nierównośćG (x ) EN-US "style \u003d" font-size: 14.0pt; line-height: 150%; font-family: Calibri "\u003e F(x ) 0 w dziedzinie wyrażeniaF (x).

Podkreślmy kilka wyrażeńfa i odpowiadające im wyrażenia racjonalizująceG, gdzie u, v ,, p, q - wyrażenia z dwiema zmiennymi (u\u003e 0; u ≠ 1; v\u003e 0,\u003e 0), za - stała liczba (za > 0, za ≠ 1).

	Wyrażenie F	Wyrażenie G.
		(a –1) ( v - φ)
1 b
		)
2 b

Dowód

1. Niech logav - logaφ\u003e 0, to znaczy logav\u003e logaφ, Ponadto a\u003e 0, a ≠ 1, v\u003e 0,

φ > 0.

Jeśli 0< za < 1, то по свойству убывающей funkcja logarytmiczna mamyv < φ . Stąd system nierówności

za -1<0

v – φ < 0

Skąd wynika nierówność (za – 1)( v – φ ) > 0 prawda w dziedzinie wyrażeniafa = logav - logaφ.

Jeśli za > 1, następnie v > φ . Dlatego nierówność ( za – 1)( v – φ )> 0. I odwrotnie, jeśli nierówność ( za – 1)( v – φ )> 0 w zakresie dopuszczalnych wartości ( za > 0, za ≠ 1, v \u003e 0, φ\u003e 0),to w tym obszarze jest to równoznaczne z połączeniem dwóch systemów.

za – 1<0 za – 1 > 0

v – φ < 0 v – φ > 0

Każdy system implikuje nierównośćlogav > logaφ, to znaczy logav - logaφ > 0.

Podobnie nierównościfa< 0, F ≤ 0, F ≥ 0.

2. Niech jakaś liczba i\u003e 0 i i ≠ 1, to mamy

logu v- loguφ = PL-PL "style \u003d" font-size: 14.0pt; line-height: 150% "\u003e v - 1)( u - 1) (φ -u).

4. z nierówności uv- uφ > 0 powinien uv > uφ. Niech a\u003e 1loga uv > logauφ lub

( u – φ) loga u > 0.

Stąd biorąc pod uwagę substytucję 1b i warunekza > 1 dostajemy

( v – φ)( za – 1)( u – 1) > 0, ( v – φ)( u – 1) > 0. Podobnie nierównościfa< 0,

F ≤ 0, F ≥ 0.

5. Dowód jest podobny do Dowodu 4.

6. Dowód zastąpienia 6 wynika z równoważności nierówności |p | \u003e | q | ip 2\u003e q 2

(| p |< | q | и p 2 < q 2 ).

Porównajmy objętość rozwiązań nierówności zawierających zmienną u podstawy logarytmu przy użyciu metody klasycznej i metody racjonalizacji

3. Wniosek

Wierzę, że zadania, które postawiłem sobie wykonując pracę, zostały osiągnięte. Projekt ma znaczenie praktyczne, gdyż zaproponowana w pracy metoda pozwala znacznie uprościć rozwiązywanie nierówności logarytmicznych. W rezultacie liczba obliczeń prowadzących do odpowiedzi jest w przybliżeniu zmniejszona o połowę, co nie tylko oszczędza czas, ale także pozwala potencjalnie popełnić mniej błędów arytmetycznych i „nieuwagi”. Teraz rozwiązując problemy C3 używam tej metody.

4. Lista wykorzystanej literatury

1. , - Metody rozwiązywania nierówności z jedną zmienną. - 2011.

2. - Przewodnik po matematyce. - 1972.

3. - Matematyka dla wnioskodawcy. Moskwa: MCNMO, 2008.

Metoda racjonalizacji pozwala przejść od nierówności zawierającej złożone wykładnicze, logarytmiczne itp. wyrażeń do jej odpowiednika prostszej racjonalnej nierówności.

Zanim więc zaczniemy mówić o racjonalizacji nierówności, porozmawiajmy o równoważności.

Równorzędność

Równoważne lub równoważne to równania (nierówności), których zbiory pierwiastków pokrywają się. Równania (nierówności), które nie mają korzeni, są również uważane za równoważne.

Przykład 1. Równania i są równoważne, ponieważ mają te same korzenie.

Przykład 2. Równania i są również równoważne, ponieważ rozwiązaniem każdego z nich jest zbiór pusty.

Przykład 3. Nierówności i są równoważne, ponieważ rozwiązanie obu jest wiele.

Przykład 4. i - są nierówne. Rozwiązanie drugiego równania to tylko 4, a rozwiązanie pierwszego to zarówno 4, jak i 2.

Przykład 5. Nierówność jest równoznaczna z nierównością, ponieważ w obu nierównościach rozwiązaniem jest 6.

Oznacza to, że z pozoru równoważne nierówności (równania) mogą być dalekie od podobieństwa.

W rzeczywistości, kiedy rozwiązujemy złożone, długie równania (nierówności) w ten sposób i otrzymujemy odpowiedź, nie mamy w rękach nic więcej niż równanie (nierówność) równoważne pierwszemu. Widok jest inny, ale istota jest taka sama!

Przykład 6. Pamiętajmy, jak rozwiązaliśmy nierówności przed poznaniem metody interwałowej... Zastąpiliśmy pierwotną nierówność zbiorem dwóch systemów:

Oznacza to, że nierówność i ostatni zestaw są sobie równoważne.

Moglibyśmy też, mając w rękach agregat

zastąp ją nierównością, którą można szybko rozwiązać metodą interwałów.

Zbliżyliśmy się do metody racjonalizacji nierówności logarytmicznych.

Metoda racjonalizacji w nierównościach logarytmicznych

Rozważ nierówność.

Reprezentujemy 4 jako logarytm:

Mamy do czynienia ze zmienną podstawą logarytmu, dlatego w zależności od tego, czy podstawa logarytmu jest większa od 1 czy mniejsza od 1 (czyli mamy do czynienia z funkcją rosnącą lub malejącą) znak nierówności pozostanie lub zmieni się na „”. Dlatego powstaje zestaw (suma) dwóch systemów:

Ale UWAGA, ten system należy rozwiązać biorąc pod uwagę LDZ! Celowo nie załadowałem systemu ODZ, aby nie zgubić głównego pomysłu.

Spójrz, teraz przepiszemy nasz system w następujący sposób (przeniesiemy wszystko w każdym wierszu nierówności na lewą stronę):

Czy to ci coś przypomina? Analogicznie do przykład 6 zamieniamy ten zestaw systemów na nierówność:

Po rozwiązaniu tej nierówności na ODZ uzyskamy rozwiązanie nierówności.

Najpierw znajdźmy ODV pierwotnej nierówności:

Teraz zdecydujmy

Rozwiązanie ostatniej nierówności z uwzględnieniem DHS:

Oto więc ten „magiczny” stół:

Zauważ, że stół działa pod warunkiem

gdzie są funkcje,

- funkcja lub numer,

- jeden ze znaków

Zauważ również, że druga i trzecia linia tabeli są konsekwencjami pierwszej. W drugim wierszu 1 jest reprezentowane wcześniej jako, aw trzecim - 0 jest przedstawiane jako.

I jeszcze kilka przydatnych konsekwencji (mam nadzieję, że łatwo zrozumiesz, skąd się biorą):

gdzie są funkcje,

- funkcja lub numer,

- jeden ze znaków

Metoda racjonalizacji w nierównościach wykładniczych

Rozwiążmy nierówność.

Rozwiązanie pierwotnej nierówności jest równoznaczne z rozwiązaniem nierówności

Odpowiedź:.

Tabela do racjonalizacji w nierówności wykładniczeo:

- funkcje od, - funkcja lub liczba, - jeden z symboli Tabela działa warunkowo. Również w trzeciej, czwartej linii - dodatkowo -

W rzeczywistości musisz zapamiętać pierwszą i trzecią linię tabeli. Druga linia to szczególny przypadek pierwszej, a czwarta linia to szczególny przypadek trzeciej.

Metoda racjonalizacji nierówności zawierających moduł

Pracując z nierównościami typu, w których występują funkcje jakiejś zmiennej, możemy kierować się następującymi równoważnymi przejściami:

Rozwiążmy nierówność ”.

Itutaj proponuję więcej rozważ kilka przykładów na temat „Racjonalizacja nierówności”.

Sekcje: Matematyka

Praktyka sprawdzania arkuszy egzaminacyjnych pokazuje, że największą trudnością dla uczniów jest rozwiązanie nierówności transcendentalnych, zwłaszcza nierówności logarytmicznych o zmiennej podstawie. Dlatego podsumowanie lekcji, na którą zwrócono uwagę, jest prezentacją metody racjonalizacji (inne nazwy to metoda dekompozycji (Modenov V.P.), metoda zastępowania czynników (Golubev V.I.)), która pozwala zredukować złożone logarytmiczne, wykładnicze, połączone nierówności do systemu prostszego racjonalne nierówności... Z reguły metoda interwałów stosowana do racjonalnych nierówności do czasu studiowania tematu "Rozwiązywanie nierówności logarytmicznych" jest dobrze opanowana i opracowana. Dlatego studenci z dużym zainteresowaniem i entuzjazmem dostrzegają te metody, które pozwalają im uprościć rozwiązanie, skrócić je i ostatecznie zaoszczędzić czas na egzaminie na rozwiązywanie innych zadań.

Cele Lekcji:

• Edukacyjny: aktualizowanie podstawowej wiedzy przy rozwiązywaniu nierówności logarytmicznych; wprowadzenie nowego sposobu rozwiązywania nierówności; doskonalenie umiejętności rozwiązywania problemów
• Rozwijam się: rozwój horyzontów matematycznych, mowa matematyczna, myślenie analityczne
• Edukacyjny: edukacja dokładności i samokontroli.

PODCZAS ZAJĘĆ

1. Moment organizacyjny. Powitanie. Wyznaczanie celów lekcji.

2. Etap przygotowawczy:

Rozwiąż nierówności:

3. Sprawdzanie pracy domowej (Nr 11,81 * a)

Podczas rozwiązywania nierówności

Do rozwiązywania nierówności logarytmicznych ze zmienną podstawą trzeba było użyć następującego schematu:

Te. Należy wziąć pod uwagę 2 przypadki: podstawa jest większa niż 1 lub podstawa jest mniejsza niż 1.

4. Wyjaśnienie nowego materiału

Jeśli przyjrzysz się uważnie tym formułom, zauważysz, że jest to znak różnicy sol(x) – godz(x) odpowiada znakowi dziennika różnic fa(x) sol(x) - log fa(x) godz(x) w przypadku funkcji rosnącej ( fa(x)\u003e 1, tj. fa(x) - 1\u003e 0) i jest przeciwne do znaku logarytmu różnic fa(x) sol(x) - log fa(x) godz(x) w przypadku funkcji malejącej (0< fa(x) < 1, т.е. fa(x) – 1 < 0)

Dlatego zbiór ten można sprowadzić do systemu racjonalnych nierówności:

Na tym polega istota metody racjonalizacji - zastąpienie bardziej złożonego wyrażenia A prostszym wyrażeniem B, które jest racjonalne. W tym przypadku nierówność V V 0 będzie równoważna nierówności A V 0 w dziedzinie wyrażenia A.

Przykład 1. Przepiszmy nierówność jako równoważny system racjonalnych nierówności.

Zwróć uwagę, że warunki (1) - (4) to warunki dla domeny nierówności, które polecam znaleźć na początku rozwiązania.

Przykład 2.Rozwiąż nierówności poprzez racjonalizację:

Dziedzinę nierówności wyznaczają warunki:

Otrzymujemy:

Pozostaje napisać nierówność (5)

Biorąc pod uwagę zakres

Odpowiedź: (3; 5)

5. Konsolidacja badanego materiału

I. Zapisz nierówność jako system racjonalnych nierówności:

II. Przedstaw prawą stronę nierówności jako logarytm wymaganej podstawy i przejdź do systemu równoważnego:

Nauczyciel wzywa uczniów, którzy zapisali na tablicy systemy z grup I i \u200b\u200bII, i sugeruje jednemu z najsilniejszych uczniów, aby rozwiązał nierówności w rodzinie (# 11.81 * a) poprzez racjonalizację.

6. Prace weryfikacyjne

opcja 1

Opcja 2

1. Napisz system racjonalnych nierówności do rozwiązywania nierówności:

2. Rozwiązuj nierówności poprzez racjonalizację

Kryteria oceniania:

3-4 punkty - „dostateczny”;
5-6 punktów - „dobry”;
7 punktów - ocena doskonała.

7. Refleksja

Odpowiedz na pytanie: która ze znanych metod rozwiązywania nierówności logarytmicznych o zmiennej podstawie pozwoli Ci efektywniej wykorzystać czas na egzaminie?

8. Zadanie domowe: №à 11,80 * (a, b), 11,81 * (a, b), 11,84 * (a, b), aby rozwiązać metodę racjonalizacji.

Bibliografia:

1. Algebra i początek analizy: Podręcznik. Dla 11 cl. ogólne wykształcenie. Instytucje / [S.M. Nikolsky, M.K. Potapov, N.N. Reshetnikov, A.V. Shevkin] - 5th ed. - M .: Edukacja, JSC "Podręczniki moskiewskie", 2006.
2. A.G. Koryanov, A.A. Prokofiew... Materiały szkoleniowe „Przygotowanie dobrych studentów do jednolitego egzaminu państwowego”: wykłady 1-4. - M .: Uniwersytet Pedagogiczny "Pierwszy września 2012".

Sekcje: Matematyka

Często przy rozwiązywaniu nierówności logarytmicznych napotykamy problemy ze zmienną podstawą logarytmu. A więc nierówność formy

to standardowa nierówność w szkole. Z reguły, aby go rozwiązać, stosuje się przejście do równoważnego zestawu systemów:

Wadą tej metody jest konieczność rozwiązania siedmiu nierówności, nie licząc dwóch układów i jednego zbioru. Już przy zadanych funkcjach kwadratowych rozwiązywanie zbioru może być czasochłonne.

Można zaproponować alternatywny, mniej pracochłonny sposób rozwiązania tej standardowej nierówności. W tym celu bierzemy pod uwagę następujące twierdzenie.

Twierdzenie 1. Niech ciągła funkcja rosnąca na zbiorze X. Wtedy na tym zbiorze znak przyrostu funkcji zbiegnie się ze znakiem przyrostu argumentu, czyli gdzie .

Uwaga: jeśli funkcja ciągłego zmniejszania na zbiorze X, to.

Wróćmy do nierówności. Przejdźmy do logarytmu dziesiętnego (możesz przejść do dowolnego o stałej podstawie większej niż jeden).

Teraz możesz użyć twierdzenia, odnotowując w liczniku przyrost funkcji iw mianowniku. Więc to prawda

W rezultacie liczba obliczeń prowadzących do odpowiedzi jest w przybliżeniu zmniejszona o połowę, co nie tylko oszczędza czas, ale także pozwala potencjalnie popełnić mniej błędów arytmetycznych i „nieuwagi”.

Przykład 1.

W porównaniu z (1) znajdujemy , , .

Przechodząc do (2) będziemy mieli:

Przykład 2.

W porównaniu z (1) znajdujemy ,,.

Przechodząc do (2) będziemy mieli:

Przykład 3.

Ponieważ lewa strona nierówności jest rosnącą funkcją dla i , wtedy odpowiedź jest ustawiona.

Zestaw przykładów, w których można zastosować Twierdzenie 1, można łatwo rozszerzyć, jeśli weźmie się pod uwagę Twierdzenie 2.

Niech na planie X funkcje ``, a na tym ustaw znaki i zbiegają się, tj. , to będzie sprawiedliwe.

Przykład 4.

Przykład 5.

Przy standardowym podejściu przykład rozwiązuje się zgodnie ze schematem: iloczyn jest mniejszy od zera, gdy czynniki mają różne znaki. Te. pod uwagę brany jest zestaw dwóch systemów nierówności, w których, jak wskazano na początku, każda nierówność dzieli się na siedem kolejnych.

Jeśli weźmiemy pod uwagę Twierdzenie 2, to każdy z czynników, biorąc pod uwagę (2), można zastąpić inną funkcją, która ma ten sam znak w tym przykładzie O.D.Z.

Metoda zamiany przyrostu funkcji na przyrost argumentu, uwzględniająca Twierdzenie 2, okazuje się bardzo wygodna przy rozwiązywaniu typowych problemów C3 egzaminu.

Przykład 6.

Przykład 7.

... Oznaczmy. Dostajemy

... Zauważ, że zamiana oznacza: Wracając do równania, otrzymujemy .

Przykład 8.

W twierdzeniach, których używamy, nie ma ograniczeń co do klas funkcji. Na przykład w tym artykule twierdzenia zostały zastosowane do rozwiązania nierówności logarytmicznych. Kilka następnych przykładów zademonstruje obiecującą metodę rozwiązywania innych rodzajów nierówności.

Yezhova Elena Sergeevna
Pozycja: nauczyciel matematyki
Instytucja edukacyjna: MOU „Liceum nr 77”
Miejscowość: Saratów
Nazwa materiału: metodyczny rozwój
Temat: Metoda racjonalizacji rozwiązywania nierówności w przygotowaniu do egzaminu "
Data publikacji: 16.05.2018
Sekcja: pełna edukacja

Oczywiście tę samą nierówność można rozwiązać na kilka sposobów. Powodzenia

w wybrany sposób lub, jak zwykliśmy mówić, w racjonalny sposób, w dowolny

nierówność zostanie rozwiązana szybko i łatwo, jej rozwiązanie okaże się piękne i interesujące.

Chciałbym bardziej szczegółowo rozważyć tak zwaną metodę racjonalizacji dla

rozwiązanie nierówności logarytmicznych i wykładniczych, a także nierówności zawierających

zmienna pod znakiem modułu.

Główna idea metody.

Metoda zastępowania czynników służy do rozwiązywania nierówności sprowadzonych do formy

Gdzie symbol "

»Oznacza jeden z czterech możliwych znaków nierówności:

Podczas rozwiązywania nierówności (1) interesuje nas tylko znak dowolnego czynnika w liczniku

lub mianownik, a nie jego wartość bezwzględna. Dlatego jeśli z jakiegoś powodu

praca z tym mnożnikiem jest niewygodna, możemy go zastąpić innym

zbieganie się z tym w dziedzinie definicji nierówności i posiadanie w tej dziedzinie

te same korzenie.

To determinuje główną ideę metody zamiany mnożnika. Ważne jest, aby to naprawić

fakt, że wymiana czynników odbywa się tylko w przypadku nierówności

do postaci (1), czyli gdy wymagane jest porównanie iloczynu z zerem.

Główna część zamiany wynika z następujących dwóch równoważnych stwierdzeń.

Stwierdzenie 1. Funkcja f (x) jest ściśle zwiększana wtedy i tylko wtedy, gdy dla

dowolne wartości t

) mecze

znak z różnicą (f (t

)), czyli f<=> (t

(↔ oznacza zbieg okoliczności)

Stwierdzenie 2. Funkcja f (x) jest ściśle malejąca wtedy i tylko wtedy, gdy dla

dowolne wartości t

z dziedziny funkcji różnica (t

) mecze

znak z różnicą (f (t

)), czyli f ↓<=> (t

Uzasadnienie tych stwierdzeń wynika bezpośrednio z definicji ściśle

funkcja monotoniczna. Zgodnie z tymi oświadczeniami można to ustalić

Różnica stopni wzdłuż tej samej podstawy zawsze pokrywa się ze znakiem

iloczyn różnicy między wskaźnikami tych stopni przez odchylenie podstawy od jedności,

Różnica logarytmów w tej samej podstawie zawsze pokrywa się w znaku z

a zatem iloczynem różnicy między liczbami tych logarytmów i odchylenia podstawy od jedności

Fakt, że różnica wielkości nieujemnych pokrywa się w znaku z różnicą

kwadraty tych wielkości, pozwala na następujące podstawienia:

Rozwiąż nierówności

Decyzja.

Przejdźmy do równoważnego systemu:

Z pierwszej nierówności otrzymujemy

Druga nierówność dotyczy wszystkich

Z trzeciej nierówności otrzymujemy

Zatem zestaw rozwiązań pierwotnej nierówności:

Rozwiąż nierówności

Decyzja.

Rozwiążmy nierówność:

Odpowiedź: (−4; −3)

Rozwiąż nierówności

Zmniejszmy nierówność do postaci, w której różnica wartości logarytmicznych

Zastąp różnicę w wartościach funkcji logarytmicznej różnicą w wartościach argumentu. W

funkcja rośnie w liczniku i maleje w mianowniku, a zatem znak nierówności

zmieni się na odwrotny. Ważne jest, aby nie zapomnieć o rozważeniu zakresu definicji

funkcja logarytmiczna, dlatego nierówność ta jest równoważna systemowi nierówności.

Pierwiastki licznika: 8; 8;

Korzeń mianownika: 1

Rozwiąż nierówności

W liczniku zastępujemy różnicę wartości bezwzględnych dwóch funkcji różnicą ich kwadratów i in

mianownikiem jest różnica wartości funkcji logarytmicznej przez różnicę argumentów.

W mianowniku funkcja maleje, co oznacza, że \u200b\u200bznak nierówności zmieni się na

naprzeciwko.

W takim przypadku należy wziąć pod uwagę dziedzinę definicji logarytmii

Pierwszą nierówność rozwiązujemy metodą interwałów.

Pierwiastki licznika:

Korzenie mianownika:

Rozwiąż nierówności

Zastąp w liczniku i mianowniku różnicę między wartościami funkcji monotonicznych

wartości argumentów z uwzględnieniem zakresu definicji funkcji i charakteru monotonii.

Pierwiastki licznika:

Korzenie mianownika:

Najczęściej używane podstawienia (z wyłączeniem O D Z).

a) Zastąpienie stałych współczynników znaku.

b) Zamiana niestałych mnożników na moduł.

c) Zamiana czynników niestałych na wykładnicze i logarytmiczne

wyrażenia.

Decyzja. ODZ:

Zastępowanie mnożników:

Mamy system:

W tej nierówności czynniki

uważane za różnice wielkości nieujemnych, ponieważ wyrażenia 1

ODZ może przyjmować zarówno wartości dodatnie, jak i ujemne.

Mamy system:

Zastępowanie mnożników:

Mamy system:

Zastępowanie mnożników:

Mamy system:

Zastępowanie mnożników:

Mamy system:

W rezultacie mamy: x

Metoda racjonalizacji(metoda dekompozycji, metoda zastępowania mnożnika, metoda wymiany

funkcje, zasada znaków) polega na zastąpieniu złożonego wyrażenia F (x) przez więcej

proste wyrażenie G (x), dla którego nierówność G (x)

0 jest równoważne nierówności F (x

0 w dziedzinie wyrażenia F (x).