Cunoașterea adevărată în orice moment s-a bazat pe stabilirea unui tipar și demonstrarea veridicității acestuia în anumite circumstanțe. Pentru o perioadă atât de lungă de existență a raționamentului logic, au fost date formulările regulilor, iar Aristotel a alcătuit chiar o listă de „raționament corect”. Din punct de vedere istoric, se obișnuiește să se împartă toate inferențe în două tipuri - de la concret la plural (inducție) și invers (deducție). Trebuie remarcat faptul că tipurile de probe de la particular la general și de la general la particular există numai în interconexiune și nu pot fi interschimbate.

Inductia in matematica

Termenul „inducție” (inducție) are rădăcini latine și se traduce literal ca „îndrumare”. La un studiu mai atent, se poate distinge structura cuvântului, și anume prefixul latin - in- (indică acțiune direcționată spre interior sau fiind în interior) și -ducție - introducere. Este de remarcat faptul că există două tipuri - inducție completă și incompletă. Forma completă este caracterizată de concluzii extrase din studiul tuturor subiectelor dintr-o anumită clasă.

Incomplete - concluzii aplicate tuturor disciplinelor clasei, dar realizate pe baza studiului doar a unor unități.

Inducția matematică completă este o concluzie bazată pe o concluzie generală despre întreaga clasă a oricăror obiecte care sunt legate funcțional prin relații ale seriei naturale de numere bazate pe cunoașterea acestei conexiuni funcționale. În acest caz, procesul de proba are loc în trei etape:

• în prima etapă se demonstrează corectitudinea enunţului de inducţie matematică. Exemplu: f = 1, inducție;
• următoarea etapă se bazează pe presupunerea că poziţia este valabilă pentru toate numerele naturale. Adică f=h, aceasta este presupunerea inductivă;
• la a treia etapă se dovedește validitatea poziției pentru numărul f=h+1, pe baza corectitudinii poziției din paragraful anterior - aceasta este o tranziție de inducție, sau o etapă de inducție matematică. Un exemplu este așa-numitul dacă primul os din rând cade (bază), apoi toate oasele din rând cad (tranziție).

Atat in gluma cat si in serios

Pentru ușurința percepției, exemple de soluții prin metoda inducției matematice sunt denunțate sub formă de probleme de glumă. Aceasta este sarcina Polite Queue:

• Regulile de conduită interzic unui bărbat să ia o tură în fața unei femei (într-o astfel de situație, aceasta este lăsată în față). Pe baza acestei afirmații, dacă ultimul din rând este un bărbat, atunci toți ceilalți sunt bărbați.

Un exemplu izbitor al metodei de inducție matematică este problema „Zbor fără dimensiuni”:

• Este necesar să se demonstreze că în microbuz încap oricâte persoane. Este adevărat că o persoană poate încăpea în interiorul transportului fără dificultate (bază). Dar oricât de plin ar fi microbuzul, în el va încăpea întotdeauna 1 pasager (pas de inducție).

cercuri familiare

Exemplele de rezolvare a problemelor și ecuațiilor prin inducție matematică sunt destul de comune. Ca o ilustrare a acestei abordări, putem lua în considerare următoarea problemă.

Condiție: h cercuri sunt plasate pe plan. Se cere să se demonstreze că, pentru orice aranjare a figurilor, harta formată de acestea poate fi colorată corect cu două culori.

Soluţie: pentru h=1 adevărul enunțului este evident, deci demonstrația se va construi pentru numărul de cercuri h+1.

Să presupunem că afirmația este adevărată pentru orice hartă, iar h + 1 cercuri sunt date pe plan. Prin eliminarea unuia dintre cercuri din total, puteți obține o hartă colorată corect cu două culori (alb și negru).

La restaurarea unui cerc șters, culoarea fiecărei zone se schimbă la opus (în acest caz, în interiorul cercului). Se dovedește o hartă colorată corect în două culori, care trebuia să fie dovedită.

Exemple cu numere naturale

Aplicarea metodei inducției matematice este prezentată clar mai jos.

Exemple de soluții:

Demonstrați că pentru orice h egalitatea va fi corectă:

1 2 +2 2 +3 2 +…+h 2 =h(h+1)(2h+1)/6.

1. Fie h=1, atunci:

R 1 \u003d 1 2 \u003d 1 (1 + 1) (2 + 1) / 6 \u003d 1

De aici rezultă că pentru h=1 afirmația este corectă.

2. Presupunând că h=d se obține următoarea ecuație:

R 1 \u003d d 2 \u003d d (d + 1) (2d + 1) / 6 \u003d 1

3. Presupunând că h=d+1, rezultă:

R d+1 =(d+1) (d+2) (2d+3)/6

R d+1 = 1 2 +2 2 +3 2 +…+d 2 +(d+1) 2 = d(d+1)(2d+1)/6+ (d+1) 2 =(d( d+1)(2d+1)+6(d+1) 2)/6=(d+1)(d(2d+1)+6(k+1))/6=

(d+1)(2d 2 +7d+6)/6=(d+1)(2(d+3/2)(d+2))/6=(d+1)(d+2)( 2d+3)/6.

Astfel, validitatea egalității pentru h=d+1 a fost dovedită, deci afirmația este adevărată pentru orice număr natural, ceea ce este arătat în exemplul de soluție prin inducție matematică.

O sarcină

Condiție: este necesară dovada că pentru orice valoare a lui h, expresia 7 h -1 este divizibil cu 6 fără rest.

Soluţie:

1. Să spunem h=1, în acest caz:

R 1 \u003d 7 1 -1 \u003d 6 (adică împărțit la 6 fără rest)

Prin urmare, pentru h=1 afirmația este adevărată;

2. Fie h=d și 7 d -1 este divizibil cu 6 fără rest;

3. Dovada validității enunțului pentru h=d+1 este formula:

R d +1 =7 d +1 -1=7∙7 d -7+6=7(7 d -1)+6

În acest caz, primul termen este divizibil cu 6 prin ipoteza primului paragraf, iar al doilea termen este egal cu 6. Afirmația că 7 h -1 este divizibil cu 6 fără rest pentru orice h natural este adevărată.

Eroare de judecată

Adesea, în dovezi este folosită raționamentul incorect, din cauza inexactității construcțiilor logice folosite. Practic, acest lucru se întâmplă atunci când structura și logica dovezii sunt încălcate. Un exemplu de raționament incorect este ilustrația următoare.

O sarcină

Condiție: necesită o dovadă că orice morman de pietre nu este un morman.

Soluţie:

1. Să zicem h=1, în acest caz există 1 piatră în grămadă și afirmația este adevărată (bază);

2. Să fie adevărat pentru h=d că un morman de pietre nu este un morman (presupune);

3. Fie h=d+1, din care rezultă că atunci când se mai adaugă o piatră, mulțimea nu va fi o grămadă. Concluzia sugerează în sine că ipoteza este valabilă pentru toate h naturale.

Eroarea constă în faptul că nu există o definiție a câte pietre formează o grămadă. O astfel de omisiune se numește generalizare grăbită în metoda inducției matematice. Un exemplu arată clar acest lucru.

Inducția și legile logicii

Din punct de vedere istoric, ei întotdeauna „merg mână în mână”. Discipline științifice precum logica, filozofia le descriu sub formă de contrarii.

Din punctul de vedere al legii logicii, definițiile inductive se bazează pe fapte, iar veridicitatea premiselor nu determină corectitudinea enunțului rezultat. Adesea, concluziile sunt obținute cu un anumit grad de probabilitate și plauzibilitate, care, desigur, trebuie verificate și confirmate prin cercetări suplimentare. Un exemplu de inducție în logică ar fi afirmația:

Secetă în Estonia, secetă în Letonia, secetă în Lituania.

Estonia, Letonia și Lituania sunt statele baltice. Secetă în toate statele baltice.

Din exemplu, putem concluziona că noi informații sau adevăruri nu pot fi obținute folosind metoda inducției. Tot ceea ce se poate conta este o posibilă veridicitate a concluziilor. Mai mult, adevărul premiselor nu garantează aceleași concluzii. Cu toate acestea, acest fapt nu înseamnă că inducția vegetează în curtea din spate a deducției: un număr imens de prevederi și legi științifice sunt fundamentate prin metoda inducției. Matematica, biologia și alte științe pot servi drept exemplu. Acest lucru se datorează în principal metodei de inducție completă, dar în unele cazuri este aplicabilă și parțială.

Vârsta venerabilă a inducției ia permis să pătrundă în aproape toate sferele activității umane - aceasta este știința, economia și concluziile de zi cu zi.

Inducția în mediul științific

Metoda de inducție necesită o atitudine scrupuloasă, deoarece prea mult depinde de numărul de particularități studiate ale întregului: cu cât numărul studiat este mai mare, cu atât rezultatul este mai de încredere. Pe baza acestei caracteristici, legile științifice obținute prin metoda inducției sunt testate pentru un timp suficient de lung la nivelul ipotezelor probabilistice pentru a izola și a studia toate elementele structurale, conexiunile și influențele posibile.

În știință, concluzia inductivă se bazează pe caracteristici semnificative, cu excepția prevederilor aleatorii. Acest fapt este important în legătură cu specificul cunoștințelor științifice. Acest lucru se vede clar în exemplele de inducție în știință.

Există două tipuri de inducție în lumea științifică (în legătură cu metoda de studiu):

1. inductie-selecție (sau selecție);
2. inducție – excludere (eliminare).

Primul tip se distinge prin eșantionarea metodică (scrutinoasă) a unei clase (subclase) din diferitele sale zone.

Un exemplu de acest tip de inducție este următorul: argintul (sau sărurile de argint) purifică apa. Concluzia se bazează pe observații pe termen lung (un fel de selecție a confirmărilor și infirmărilor - selecție).

Al doilea tip de inducție se bazează pe concluzii care stabilesc relații de cauzalitate și exclud circumstanțe care nu corespund proprietăților sale, și anume, universalitatea, respectarea succesiunii temporale, necesitatea și neambiguitatea.

Inducția și deducția din punct de vedere al filosofiei

Dacă te uiți la retrospectiva istorică, termenul „inducție” a fost menționat pentru prima dată de Socrate. Aristotel a descris exemple de inducție în filozofie într-un dicționar terminologic mai aproximativ, dar problema inducției incomplete rămâne deschisă. După persecutarea silogismului aristotelic, metoda inductivă a început să fie recunoscută drept rodnică și singura posibilă în știința naturii. Bacon este considerat părintele inducției ca o metodă specială independentă, dar nu a reușit să separe, așa cum au cerut contemporanii săi, inducția de metoda deductivă.

Dezvoltarea ulterioară a inducției a fost realizată de J. Mill, care a considerat teoria inducției din punctul de vedere a patru metode principale: acord, diferență, reziduuri și modificări corespunzătoare. Nu este de mirare că astăzi metodele enumerate, atunci când sunt luate în considerare în detaliu, sunt deductive.

Conștientizarea inconsecvenței teoriilor lui Bacon și Mill i-a determinat pe oamenii de știință să investigheze baza probabilistică a inducției. Totuși, chiar și aici au existat câteva extreme: s-au încercat reducerea inducției la teoria probabilității, cu toate consecințele care au urmat.

Inducția primește un vot de încredere în aplicarea practică în anumite domenii și datorită acurateței metrice a bazei inductive. Un exemplu de inducție și deducție în filozofie poate fi considerat legea gravitației universale. La data descoperirii legii, Newton a putut să o verifice cu o precizie de 4%. Și la verificarea după mai mult de două sute de ani, corectitudinea a fost confirmată cu o precizie de 0,0001 la sută, deși verificarea a fost efectuată prin aceleași generalizări inductive.

Filosofia modernă acordă mai multă atenție deducției, care este dictată de dorința logică de a extrage noi cunoștințe (sau adevăr) din ceea ce este deja cunoscut, fără a recurge la experiență, intuiție, ci folosind raționamentul „pur”. Când ne referim la premise adevărate în metoda deductivă, în toate cazurile, rezultatul este o afirmație adevărată.

Această caracteristică foarte importantă nu trebuie să umbrească valoarea metodei inductive. Întrucât inducția, bazată pe realizările experienței, devine și un mijloc de prelucrare a acesteia (inclusiv generalizarea și sistematizarea).

Aplicarea inducției în economie

Inducția și deducția au fost de multă vreme folosite ca metode de studiere a economiei și de previziune a dezvoltării acesteia.

Gama de utilizare a metodei inducției este destul de largă: studiul îndeplinirii indicatorilor de prognoză (profit, amortizare etc.) și o evaluare generală a stării întreprinderii; formarea unei politici eficiente de promovare a întreprinderii bazată pe fapte și relațiile dintre acestea.

Aceeași metodă de inducție este utilizată în diagramele lui Shewhart, unde, în ipoteza că procesele sunt împărțite în controlate și negestionate, se afirmă că cadrul procesului controlat este inactiv.

Trebuie remarcat faptul că legile științifice sunt fundamentate și confirmate prin metoda inducției, iar din moment ce economia este o știință care utilizează adesea analiza matematică, teoria riscului și date statistice, nu este surprinzător faptul că inducția este inclusă în lista principalelor metode.

Următoarea situație poate servi ca exemplu de inducție și deducție în economie. O creștere a prețului alimentelor (din coșul consumatorului) și al bunurilor esențiale îl împinge pe consumator să se gândească la costul ridicat în curs de dezvoltare în stat (inducție). În același timp, din faptul costului ridicat, folosind metode matematice, se pot deriva indicatori de creștere a prețurilor pentru bunuri individuale sau categorii de bunuri (deducere).

Cel mai adesea, personalul de conducere, managerii și economiștii apelează la metoda inducției. Pentru a putea prezice dezvoltarea unei întreprinderi, comportamentul pieței și consecințele concurenței cu suficientă veridicitate, este necesară o abordare inductiv-deductivă a analizei și procesării informațiilor.

Un exemplu ilustrativ de inducție în economie, referitor la judecăți greșite:

• profitul companiei a scăzut cu 30%;
  un concurent și-a extins linia de produse;
  nimic altceva nu s-a schimbat;
• politica de producție a unei companii concurente a determinat o reducere a profitului cu 30%;
• prin urmare, aceeași politică de producție trebuie implementată.

Exemplul este o ilustrare colorată a modului în care utilizarea ineptă a metodei de inducție contribuie la ruinarea unei întreprinderi.

Deducția și inducția în psihologie

Întrucât există o metodă, atunci, în mod logic, există și o gândire bine organizată (pentru folosirea metodei). Psihologia ca știință care studiază procesele mentale, formarea, dezvoltarea, relațiile, interacțiunile lor, acordă atenție gândirii „deductive” ca una dintre formele de manifestare a deducției și inducției. Din păcate, pe paginile de psihologie de pe Internet, practic nu există nicio justificare pentru integritatea metodei deductiv-inductive. Deși psihologii profesioniști sunt mai susceptibili de a întâlni manifestări de inducție, sau mai degrabă, concluzii eronate.

Un exemplu de inducție în psihologie, ca ilustrare a judecăților eronate, este afirmația: mama mea este o înșelătoare, prin urmare, toate femeile sunt înșelătoare. Există și mai multe exemple „eronate” de inducție din viață:

• un student nu este capabil de nimic dacă a primit un deuce la matematică;
• este un prost;
• el este destept;
• Pot sa fac orice;

Și multe alte judecăți de valoare bazate pe mesaje absolut aleatorii și uneori nesemnificative.

Trebuie remarcat: atunci când eroarea judecăților unei persoane ajunge la punctul de absurditate, pentru psihoterapeut apare un front de lucru. Un exemplu de inducție la o întâlnire cu un specialist:

„Pacientul este absolut sigur că culoarea roșie prezintă doar pericol pentru el în orice manifestare. Drept urmare, o persoană a exclus această schemă de culori din viața sa - pe cât posibil. În mediul de acasă, există multe oportunități de viață confortabilă. Puteți refuza toate articolele roșii sau le puteți înlocui cu analogi realizate într-o schemă de culori diferită. Dar în locuri publice, la serviciu, în magazin - este imposibil. Ajuns într-o situație stresantă, pacientul experimentează de fiecare dată o „vale” de stări emoționale complet diferite, care pot fi periculoase pentru ceilalți.”

Acest exemplu de inducție, și în mod inconștient, se numește „idei fixe”. Dacă acest lucru se întâmplă unei persoane sănătoase mintal, putem vorbi despre o lipsă de organizare a activității mentale. Dezvoltarea elementară a gândirii deductive poate deveni o modalitate de a scăpa de stările obsesive. În alte cazuri, psihiatrii lucrează cu astfel de pacienți.

Exemplele de inducție de mai sus indică faptul că „necunoașterea legii nu scutește de consecințe (judecăți eronate).”

Psihologii, care lucrează pe tema gândirii deductive, au întocmit o listă de recomandări menite să ajute oamenii să stăpânească această metodă.

Primul pas este rezolvarea problemelor. După cum se vede, forma de inducție folosită în matematică poate fi considerată „clasică”, iar utilizarea acestei metode contribuie la „disciplina” minții.

Următoarea condiție pentru dezvoltarea gândirii deductive este extinderea orizonturilor (cei care gândesc clar, afirmă clar). Această recomandare direcționează „suferința” către tezaururile științei și informațiilor (biblioteci, site-uri web, inițiative educaționale, călătorii etc.).

Separat, trebuie menționată așa-numita „inducție psihologică”. Acest termen, deși rar, poate fi găsit pe Internet. Toate sursele nu dau cel puțin o scurtă definiție a acestui termen, ci se referă la „exemple din viață”, în timp ce transmit fie sugestia, unele forme de boală mintală, fie stările extreme ale psihicului uman drept un nou tip de inducție. Din toate cele de mai sus, este clar că o încercare de a deriva un „termen nou” bazat pe premise false (adesea neadevărate) condamnă experimentatorul să primească o declarație eronată (sau pripită).

Trebuie remarcat faptul că referirea la experimentele din 1960 (fără a indica locul, numele experimentatorilor, eșantionul de subiecți și, cel mai important, scopul experimentului) pare, pentru a spune ușor, neconvingătoare, iar afirmația că creierul percepe informații ocolind toate organele de percepție (expresia „experimentată” în acest caz s-ar potrivi mai organic), ne face să ne gândim la credulitatea și necriticitatea autorului afirmației.

În loc de o concluzie

Regina științelor - matematica, folosește nu în zadar toate rezervele posibile ale metodei de inducție și deducție. Exemplele luate în considerare ne permit să concluzionam că aplicarea superficială și ineptă (necugetată, după cum se spune) chiar și a celor mai precise și fiabile metode duce întotdeauna la rezultate eronate.

În conștiința de masă, metoda deducției este asociată cu faimosul Sherlock Holmes, care în construcțiile sale logice folosește adesea exemple de inducție, folosind deducția în situații necesare.

Articolul a luat în considerare exemple de aplicare a acestor metode în diverse științe și sfere ale vieții umane.

Inducția matematică stă la baza uneia dintre cele mai comune metode de demonstrații matematice. Cu ajutorul ei, puteți demonstra majoritatea formulelor cu numere naturale n, de exemplu, formula pentru aflarea sumei primilor termeni ai progresiei S n = 2 a 1 + n - 1 d 2 n, formula binomială a lui Newton + b n = C n 0 a n C n 1 a n - 1 b + . . . + C n n - 1 a b n - 1 + C n n b n .

În primul paragraf, vom analiza conceptele de bază, apoi vom lua în considerare elementele de bază ale metodei în sine și apoi vă vom spune cum să o folosiți pentru a demonstra egalitățile și inegalitățile.

Concepte de inducție și deducție

În primul rând, să vedem ce sunt inducția și deducția în general.

Definiția 1

Inducţie este trecerea de la particular la general și deducere dimpotrivă, de la general la particular.

De exemplu, avem o afirmație: 254 poate fi împărțit în două complet. Din ea putem trage multe concluzii, printre care vor fi atât adevărate, cât și false. De exemplu, afirmația că toate numerele întregi care au numărul 4 la sfârșit pot fi împărțite la două fără rest este adevărată, dar că orice număr de trei cifre este divizibil cu 2 este falsă.

În general, se poate spune că cu ajutorul raționamentului inductiv se pot obține multe concluzii dintr-un raționament cunoscut sau evident. Inducția matematică ne permite să stabilim cât de valide sunt aceste concluzii.

Să presupunem că avem o succesiune de numere precum 1 1 2 , 1 2 3 , 1 3 4 , 1 4 5 , . . . , 1 n (n + 1) , unde n denotă un număr natural. În acest caz, la adăugarea primelor elemente ale secvenței, obținem următoarele:

S 1 \u003d 1 1 2 \u003d 1 2, S 2 \u003d 1 1 2 + 1 2 3 \u003d 2 3, S 3 \u003d 1 1 2 + 1 2 3 + 1 3 4 \u003d 4 4, S 3 = 1 1 2 + 1 2 3 + 1 3 4 + 1 4 5 = 4 5 , . . .

Folosind inducția, putem concluziona că S n = n n + 1 . În partea a treia vom demonstra această formulă.

Care este metoda de inducție matematică

Această metodă se bazează pe principiul cu același nume. Este formulat astfel:

Definiția 2

O anumită afirmație va fi adevărată pentru o valoare naturală n când 1) va fi adevărată pentru n = 1 și 2) din faptul că această expresie este adevărată pentru o valoare naturală arbitrară n = k , rezultă că va fi și adevărată pentru n = k + 1 .

Aplicarea metodei inducției matematice se realizează în 3 etape:

1. În primul rând, verificăm corectitudinea enunțului original în cazul unei valori naturale arbitrare a lui n (de obicei testul se face pentru unitate).
2. După aceea, verificăm fidelitatea la n = k .
3. Și atunci demonstrăm validitatea enunțului dacă n = k + 1 .

Cum se aplică metoda inducției matematice la rezolvarea inegalităților și ecuațiilor

Să luăm exemplul despre care am vorbit mai devreme.

Exemplul 1

Demonstrați formula S n = 1 1 2 + 1 2 3 + . . . + 1 n (n + 1) = n n + 1 .

Soluţie

După cum știm deja, pentru a aplica metoda inducției matematice trebuie parcurși trei pași consecutivi.

1. În primul rând, verificăm dacă această egalitate va fi valabilă pentru n egal cu unu. Obținem S 1 \u003d 1 1 2 \u003d 1 1 + 1 \u003d 1 2. Totul este corect aici.
2. În plus, presupunem că formula S k = k k + 1 este corectă.
3. În a treia etapă, trebuie să demonstrăm că S k + 1 = k + 1 k + 1 + 1 = k + 1 k + 2 , pe baza validității egalității anterioare.

Putem reprezenta k + 1 ca suma primilor termeni ai șirului original și k + 1:

S k + 1 = S k + 1 k + 1 (k + 2)

Deoarece în a doua etapă am obținut că S k = k k + 1, putem scrie următoarele:

S k + 1 = S k + 1 k + 1 (k + 2) .

Acum efectuăm transformările necesare. Va trebui să reducem fracția la un numitor comun, să reducem termeni similari, să aplicăm formula de înmulțire prescurtată și să reducem ceea ce sa întâmplat:

S k + 1 = S k + 1 k + 1 (k + 2) = k k + 1 + 1 k + 1 (k + 2) = = k (k + 2) + 1 k + 1 (k + 2) = k 2 + 2 k + 1 k + 1 (k + 2) = (k + 1) 2 k + 1 (k + 2) = k + 1 k + 2

Astfel, am demonstrat egalitatea în al treilea punct prin efectuarea tuturor celor trei pași ai metodei inducției matematice.

Răspuns: ipoteza despre formula S n = n n + 1 este adevărată.

Să luăm o problemă mai complexă cu funcțiile trigonometrice.

Exemplul 2

Dați o dovadă a identității cos 2 α · cos 4 α · . . . cos 2 n α \u003d sin 2 n + 1 α 2 n sin 2 α.

Soluţie

După cum ne amintim, primul pas ar trebui să fie verificarea corectitudinii egalității atunci când n este egal cu unu. Pentru a afla, trebuie să ne amintim formulele trigonometrice de bază.

cos 2 1 = cos 2 α sin 2 1 + 1 α 2 1 sin 2 α = sin 4 α 2 sin 2 α = 2 sin 2 α cos 2 α 2 sin 2 α = cos 2 α

Prin urmare, pentru n egal cu unu, identitatea va fi adevărată.

Acum să presupunem că valabilitatea sa este păstrată pentru n = k , adică. va fi adevărat că cos 2 α · cos 4 α · . . . cos 2 k α \u003d sin 2 k + 1 α 2 k sin 2 α.

Demonstrăm egalitatea cos 2 α · cos 4 α · . . . cos 2 k + 1 α = sin 2 k + 2 α 2 k + 1 sin 2 α pentru cazul în care n = k + 1, pe baza ipotezei anterioare.

Conform formulei trigonometrice,

sin 2 k + 1 α cos 2 k + 1 α = = 1 2 (sin (2 k + 1 α + 2 k + 1 α) + sin (2 k + 1 α - 2 k + 1 α)) = = 1 2 sin (2 2 k + 1 α) + sin 0 = 1 2 sin 2 k + 2 α

Prin urmare,

cos 2 α cos 4 α . . . · cos 2 k + 1 α = = cos 2 α · cos 4 α · . . . cos 2 k α cos 2 k + 1 α = = sin 2 k + 1 α 2 k sin 2 α cos 2 k + 1 α = 1 2 sin 2 k + 1 α 2 k sin 2 α = sin 2 k + 2 α 2 k + 1 sin 2 α

Un exemplu de rezolvare a problemei demonstrării unei inegalități folosind această metodă este dat în articolul despre metoda celor mai mici pătrate. Citiți paragraful în care sunt derivate formulele pentru aflarea coeficienților de aproximare.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Liceul MBOU „Tehnic și Economic”

METODA INDUCȚIEI MATEMATICĂ

METODA INDUCȚIEI MATEMATICĂ.

NOTĂ EXPLICATIVĂ

Dezvoltarea metodologică „Metoda inducției matematice” a fost întocmită pentru elevii clasei a X-a a profilului matematic.

Obiective primare: familiarizarea elevilor cu metoda inducției matematice și predarea modului de aplicare a acesteia în rezolvarea diferitelor probleme.

În dezvoltarea metodologică se au în vedere chestiuni de matematică elementară: probleme de divizibilitate, dovezi de identități, dovezi de inegalități, se propun probleme de diferite grade de complexitate, inclusiv problemele oferite la olimpiade.

Rolul inferențelor inductive în științele experimentale este foarte mare. Acestea dau acele dispoziții, din care se fac apoi concluzii ulterioare prin deducere. Nume metoda de inductie matematicaînșelător – de fapt, această metodă este deductivă și dă o dovadă riguroasă a afirmațiilor ghicite prin inducție. Metoda inducției matematice ajută la identificarea legăturilor dintre diferitele secțiuni ale matematicii, ajută la dezvoltarea culturii matematice a elevului.

Definirea metodei de inducție matematică. Inductie completă și incompletă. Dovada inegalităților. Dovada identităților. Rezolvarea problemelor de divizibilitate. Rezolvarea diverselor probleme pe tema „Metoda inducției matematice”.

LITERATURA PENTRU PROFESOR

1. M.L.Galiţki. Studiu aprofundat al cursului de algebră și analiză matematică. - M. Iluminismul.1986.

2. L.I.Zvavici. Algebra și începuturile analizei. Materiale didactice. M. Drofa.2001.

3. N.Ya. Vilenkin. Algebră și analiză matematică. Iluminismul M. 1995.

4. Yu.V. Mihaiev. Metoda inducției matematice. NGU.1995.

LITERATURA PENTRU STUDENTI

1. N.Ya. Vilenkin. Algebră și analiză matematică. Iluminismul M. 1995.

2. Yu.V. Mihaiev. Metoda inducției matematice. NGU.1995.

CUVINTE CHEIE

Inducția, axioma, principiul inducției matematice, inducția completă, inducția incompletă, afirmația, identitatea, inegalitatea, divizibilitatea.

ANEXA DIDACTIC LA TEMA

„METODĂ DE INDUCȚIE MATEMATICĂ”.

Lectia 1

Definirea metodei de inducție matematică.

Metoda inducției matematice este una dintre metodele extrem de eficiente pentru a găsi noi rezultate și a dovedi adevărul ipotezelor prezentate. Deși această metodă nu este nouă în matematică, interesul pentru ea nu scade. Pentru prima dată într-o prezentare clară, metoda inducției matematice a fost aplicată în secolul al XVII-lea de remarcabilul om de știință francez Blaise Pascal pentru a demonstra proprietățile unui triunghi numeric, care de atunci a fost numit după el. Cu toate acestea, ideea inducției matematice era cunoscută de grecii antici. Metoda inducției matematice se bazează pe principiul inducției matematice, care este acceptat ca axiomă. Vom lua în considerare ideea inducției matematice cu exemple.

Exemplul #1.

Pătratul este împărțit de un segment în două părți, apoi una dintre părțile rezultate este împărțită în două părți și așa mai departe. Determinați în câte părți este împărțit pătratul P pași?

Soluţie.

După primul pas, noi, prin condiție, obținem 2 părți. În al doilea pas, lăsăm o parte neschimbată și împărțim a doua în 2 părți și obținem 3 părți. În al treilea pas, lăsăm 2 părți neschimbate și împărțim a treia în două părți și obținem 4 părți. În al patrulea pas, lăsăm 3 părți neschimbate și împărțim ultima parte în două părți și obținem 5 părți. În al cincilea pas, vom obține 6 părți. Sugestia este făcută prin P pașii pe care îi primim (n+1) parte. Dar această propunere trebuie dovedită. Să presupunem că prin la trepte în care este împărțit pătratul (k+1) parte. Apoi (k+1) pas noi la părțile vor rămâne neschimbate și (k+1)împărțiți partea în două părți și obțineți (k+2) părți. Observați că puteți argumenta așa atâta timp cât doriți, la infinit. Adică presupunerea noastră este că P pătratul de trepte va fi împărțit în (n+1) parte, devine dovedit.

Exemplul #2.

Bunica mea avea o nepoată care era foarte îndrăgită de dulceață și mai ales de cea la borcan de litru. Dar bunica nu i-a permis să se atingă. Iar nepoatele au decis să-și înșele bunica. A decis să mănânce în fiecare zi 1/10 litru din acest borcan și să-l completeze cu apă, amestecând bine. După câte zile va descoperi bunica înșelăciunea dacă dulceața rămâne la fel ca aspect când este diluată cu apă la jumătate?

Soluţie.

Aflați câtă dulceață pură va rămâne după aceea în borcan P zile. După prima zi, amestecul va rămâne în borcan, format din 9/10 gem și 1/10 apă. După două zile, 1/10 din amestecul de apă și dulceață va dispărea din borcan și va rămâne (1 litru de amestec conține 9/10 litri de dulceață, 1/10 litri de amestec conține 9/100 de litri de dulceață)

9/10 - 9/100=81/100=(9/10) 2 litri de dulceata. În a treia zi, din borcan va dispărea 1/10 litru dintr-un amestec format din 81/100 gem și 19/100 apă. In 1 litru de amestec sunt 81/100 litri de dulceata, in 1/10 litri de amestec 81/1000 litri de dulceata. 81/100 – 81/1000=

729/1000=(9/10) 3 litri de dulceata vor ramane dupa 3 zile, iar restul va fi preluat de apa. Apare un model. Prin P zile rămase în bancă (9/10) P eu gem. Dar din nou, aceasta este doar presupunerea noastră.

Lăsa la este un număr natural arbitrar. Să presupunem că prin la zilele în bancă vor rămâne (9/10) la l gem. Să vedem ce va fi în bancă în altă zi, adică în (k+1) zi. Va dispărea de la bancă 1/10l un amestec de (9/10) la l dulceata si apa. LA 1l amestecul este (9/10) la l dulceata, in 1/10l amestecuri (9/10) k+1 l gem. Acum putem spune asta în siguranță P zile rămase în bancă (9/10) P l gem. In 6 zile banca va avea 531444/1000000l gemuri, dupa 7 zile - 4782969/10000000l dulceata, adica mai putin de jumatate.

Răspuns: după 7 zile, bunica va descoperi înșelăciunea.

Să încercăm să le evidențiem pe cele mai elementare în soluțiile problemelor luate în considerare. Am început să rezolvăm fiecare dintre ele luând în considerare cazuri separate sau, după cum se spune, speciale. Apoi, pe baza observațiilor noastre, am făcut câteva presupuneri P(n), in functie de firesc P.

afirmaţia a fost verificată, adică dovedită P(1), P(2), P(3);

a sugerat că P(n) valabil pentru n=kși a dedus că atunci va fi valabil pentru următorul n, n=k+1.

Și apoi au argumentat ceva de genul: P(1) dreapta, P(2) dreapta, P(3) dreapta, P(4) corect... asa e P(n).

Principiul inducției matematice.

Afirmație P(n), in functie de firesc P, este valabil pentru toate naturale P, dacă

1) validitatea afirmaţiei pentru n=1;

2) din asumarea validității enunțului P(n) la n=k ar trebui să

justiţie P(n) la n=k+1.

În matematică, principiul inducției matematice este ales, de regulă, ca una dintre axiomele care definesc seria naturală a numerelor și, prin urmare, este acceptat fără dovezi. Metoda demonstrației prin principiul inducției matematice este de obicei numită metoda inducției matematice. Rețineți că această metodă este utilizată pe scară largă în demonstrarea teoremelor, identităților, inegalităților în rezolvarea problemelor de divizibilitate și a multor alte probleme.

Lectia 2

Inductie completă și incompletă.

În cazul în care o afirmație matematică se referă la un număr finit de obiecte, aceasta poate fi demonstrată verificând pentru fiecare obiect, de exemplu, afirmația „Fiecare număr par de două cifre este suma a două numere prime”. Metoda de demonstrare prin care testăm o afirmație pentru un număr finit de cazuri se numește inducție matematică completă. Această metodă este folosită relativ rar, deoarece declarațiile sunt cel mai adesea considerate pe mulțimi infinite. De exemplu, teorema „Orice număr par este egal cu suma a două numere prime” nu a fost nici dovedită, nici infirmată până acum. Chiar dacă am testa această teoremă pentru primul miliard, nu ne-ar aduce cu un pas mai aproape de a o demonstra.

În științele naturii se folosește inducția incompletă, testând experimentul de mai multe ori, transferând rezultatul în toate cazurile.

Exemplul #3

Ghiciți folosind formula de inducție incompletă pentru suma cuburilor numerelor naturale.

Soluţie.

1 3 =1; 1 3 +2 3 =(1+2) 2 ; 1 3 +2 3 +3 3 =(1+2+3) 2 ; 1 3 +2 3 +3 3 +4 3 =(1+2+3+4) 2 ;

1 3 +2 3 +3 3 +4 3 +5 3 =(1+2+3+4+5) 2 ; …; 1 3 +2 3 +…+n 3 =(1+2+…+n) 2 .

Dovada.

Să fie adevărat pentru n=k.

Să demonstrăm că este adevărat pentru n=k+1.

Concluzie: formula pentru suma cuburilor de numere naturale este adevărată pentru orice natură P.

Exemplul #4

Luați în considerare egalitățile și ghiciți la ce lege generală conduc aceste exemple.

Soluţie.

1=0+1

2+3+4=1+8

5+6+7+8+9=8+27

10+11+12+13+14+15+16=27+64

17+18+19+20+21+22+23+24+25=64+125

……………………………………………………………..

Exemplul #5

Scrieți următoarele expresii ca o sumă:

1)
2)
3)
; 4)
.

Litera greacă „sigma”.

Exemplul #6.

Scrieți următoarele sume folosind semnul
:

2)

Exemplul #7.

Scrieți următoarele expresii ca produse:

1)

3)
4)

Exemplul #8.

Notează următoarele lucrări folosind semnul

(litera greacă majusculă „pi”)

1)
2)

Exemplul #9.

Calcularea valorii unui polinom f ( n )= n 2 + n +11 , la n=1,2,3,4,5,6,7 se poate presupune că pentru orice firescP număr f ( n ) simplu.

Este corectă această presupunere?

Soluţie.

Dacă fiecare sumand este divizibil cu un număr, atunci suma este divizibilă cu acel număr,
nu este un număr prim pentru niciun număr naturalP.

Analiza unui număr finit de cazuri joacă un rol important în matematică: fără a da o dovadă a uneia sau alteia afirmații, ajută la ghicirea formulării corecte a acestei afirmații, dacă nu este încă cunoscută. Așa se face că Goldbach, membru al Academiei de Științe din Sankt Petersburg, a ajuns la presupunerea că orice număr natural, începând de la doi, este suma a nu mai mult de trei numere prime.

Lecția #3

Metoda inducției matematice ne permite să dovedim diferite identități.

Exemplul #10. Să dovedim asta tuturor P identitatea

Soluţie.

Sa punem

Trebuie să dovedim asta

Să demonstrăm că Atunci din adevărul identității

urmează adevărul identităţii

Prin principiul inducției matematice, adevărul identității pentru toți P.

Exemplul #11.

Să dovedim identitatea

Dovada.

egalități termen cu termen.

;
. Deci această identitate este adevărată pentru toțiP .

Lecția numărul 4.

Dovada identităților prin inducție matematică.

Exemplul #12. Să dovedim identitatea

Dovada.

Aplicând principiul inducției matematice, am demonstrat că egalitatea este adevărată pentru toți P.

Exemplul #13. Să dovedim identitatea

Dovada.

Aplicând principiul inducției matematice, am demonstrat că afirmația este adevărată pentru orice natură P.

Exemplul #14. Să dovedim identitatea

Dovada.

Exemplul #15. Să dovedim identitatea

1) n=1;

2) pentru n=k egalitate

3) să demonstreze că egalitatea este valabilă pentru n=k+1:

Concluzie: identitatea este valabilă pentru orice firesc P.

Exemplul #16. Să dovedim identitatea

Dovada.

În cazul în care un n=1 , apoi

Lasă identitatea să țină pentru n=k.

Să demonstrăm că identitatea este valabilă pentru n=k+1.

Atunci identitatea este valabilă pentru orice firesc P.

Lecția numărul 5.

Dovada identităților prin inducție matematică.

Exemplul #17. Să dovedim identitatea

Dovada.

În cazul în care un n=2 , atunci obținem egalitatea corectă:

Fie ca egalitatea să fie adevărată pentrun=k:

Să dovedim validitatea afirmației pentru n=k+1.

Conform principiului inducției matematice, identitatea este dovedită.

Exemplul #18. Să dovedim identitatea
pentru n≥2.

La n=2 această identitate poate fi rescrisă într-o formă foarte simplă

si evident adevarat.

Lasă la n=kîntr-adevăr

.

Să dovedim validitatea afirmației pentrun=k+1, adică egalitatea este satisfăcută: .

Deci, am demonstrat că identitatea este adevărată pentru orice firesc n≥2.

Exemplul #19. Să dovedim identitatea

La n=1 obținem egalitatea corectă:

Să presupunem că la n=k obținem și egalitatea corectă:

Să demonstrăm că se respectă valabilitatea egalității pentru n=k+1:

Atunci identitatea este valabilă pentru orice firesc P.

Lecția numărul 6.

Rezolvarea problemelor de divizibilitate.

Exemplul #20. Demonstrați prin inducție matematică că

impartit de 6 fără urmă.

Dovada.

La n=1 există o împărţire în6 fără urmă,
.

Lasă la n=k expresie
multiplu6.

Să demonstrăm că atunci când n=k+1 expresie
multiplu6 .

Fiecare termen este un multiplu 6 , deci suma este un multiplu al 6 .

Exemplul numărul 21.
pe5 fără urmă.

Dovada.

La n=1 expresia este divizibilă
.

Lasă la n=k expresie
de asemenea împărțit în5 fără urmă.

La n=k+1 impartit de 5 .

Exemplul #22. Demonstrați divizibilitatea unei expresii
pe16.

Dovada.

La n=1 multiplu 16 .

Lasă la n=k
multiplu16.

La n=k+1

Toți termenii sunt divizibili cu 16: primul este evident al doilea prin presupunere, iar al treilea are un număr par între paranteze.

Exemplul #23. Dovediți divizibilitatea
pe676.

Dovada.

Să demonstrăm mai întâi asta
impartit de
.

La n=0
.

Lasă la n=k
impartit de26 .

Apoi la n=k+1 impartit de 26 .

Să demonstrăm acum afirmația formulată în condiția problemei.

La n=1 impartit de 676.

La n=k este adevarat ca
impartit de26 2 .

La n=k+1 .

Ambii termeni sunt divizibili cu 676 ; prima este pentru că am demonstrat divizibilitatea prin 26 expresie între paranteze, iar al doilea este divizibil prin ipoteza inductivă.

Lecția numărul 7.

Rezolvarea problemelor de divizibilitate.

Exemplul numărul 24.

Demonstrează asta
impartit de5 fără urmă.

Dovada.

La n=1
impartit de5.

La n=k
impartit de5 fără urmă.

La n=k+1 fiecare termen este divizibil cu5 fără urmă.

Exemplul #25.

Demonstrează asta
impartit de6 fără urmă.

Dovada.

La n=1
impartit de6 fără urmă.

Lasă la n=k
impartit de6 fără urmă.

La n=k+1 impartit de 6 fără rest, deoarece fiecare termen este divizibil cu6 fără rest: primul termen, prin presupunerea inductivă, al doilea, evident, al treilea, pentru că
număr par.

Exemplul #26.

Demonstrează asta
la împărțirea la9 dă restul 1 .

Dovada.

Să demonstrăm asta
impartit de9 .

La n=1
impartit de 9 . Lasă la n=k
impartit de9 .

La n=k+1 impartit de 9 .

Exemplul numărul 27.

Demonstrați că este divizibil cu15 fără urmă.

Dovada.

La n=1 impartit de 15 .

Lasă la n=k impartit de 15 fără urmă.

La n=k+1

Primul termen este un multiplu15 prin ipoteza de inducție, al doilea termen este un multiplu al15 – evident, al treilea termen este un multiplu al15 , deoarece
multiplu5 (demonstrat în exemplul nr. 21), termenii al patrulea și al cincilea sunt, de asemenea, multipli5 , ceea ce este evident, atunci suma este un multiplu al15 .

Lecția numărul 8-9.

Dovada inegalităților prin inducție matematică

Exemplul #28.
.

La n=1 avem
- dreapta.

Lasă la n=k
este o adevărată inegalitate.

La n=k+1

Atunci inegalitatea este valabilă pentru orice natural P.

Exemplul #29. Demonstrați că inegalitatea este adevărată
pentru orice P.

La n=1 obținem inegalitatea corectă 4 >1.

Lasă la n=k inegalitatea
.

Să demonstrăm că atunci când n=k+1 inegalitatea

Pentru orice natural la se observă inegalitatea.

În cazul în care un
la
apoi

Exemplul #30.

pentru orice firesc Pși orice

Lăsa n=1
, dreapta.

Să presupunem că inegalitatea este valabilă pentru n=k:
.

La n=k+1

Exemplul numărul 31. Demonstrați validitatea inegalității

pentru orice firesc P.

Să demonstrăm mai întâi că pentru orice natură t inegalitatea

Înmulțiți ambele părți ale inegalității cu
. Obținem o inegalitate echivalentă sau
;
; - această inegalitate este valabilă pentru orice natural t.

La n=1 inegalitatea originală este adevărată
;
;
.

Să țină inegalitatea n=k:
.

La n=k+1

Lecția numărul 10.

Rezolvarea problemelor pe tema

Metoda inducției matematice.

Exemplul #32. Demonstrați inegalitatea lui Bernoulli.

În cazul în care un
, apoi pentru toate valorile naturaleP inegalitatea

Dovada.

La n=1 inegalitatea care se dovedeşte ia forma
si evident corect. Să presupunem că este adevărat pentrun=k , adică ce
.

Întrucât după condiție
, apoi
, și prin urmare inegalitatea nu își schimbă sensul atunci când ambele părți sunt înmulțite cu
:

pentru că
, atunci obținem asta

.

Deci inegalitatea este adevărată pentru n=1, iar din adevărul ei la n=k rezultă că este adevărat şi n=k+1. Prin urmare, prin inducție matematică, este valabil pentru toate cele naturale P.

De exemplu,

Exemplul numărul 33. Găsiți toate valorile naturaleP , pentru care inegalitatea

Soluţie.

La n=1 inegalitatea este corectă. La n=2 inegalitatea este de asemenea adevărată.

La n=3 inegalitatea nu mai este satisfăcută. Doar cand n=6 inegalitatea este valabilă, astfel încât pentru baza de inducție putem lua n=6.

Să presupunem că inegalitatea este adevărată pentru unele naturale la:

Luați în considerare inegalitatea

Ultima inegalitate este valabilă dacă
Lucrarea de testare pe tema n=1 este dată în mod recurent: n≥5 , unde P- -numar natural.

Ministerul Educației din Regiunea Saratov

Universitatea Socio-Economică de Stat din Saratov

Concurs regional de lucrări de matematică și informatică ale școlarilor

"Vector al viitorului - 2007"

„Metoda inducției matematice.

Aplicația sa la rezolvarea problemelor algebrice”

(secțiunea „matematică”)

munca creativa

Elevii clasei 10 "A".

MOU „Gimnaziul nr. 1”

districtul Oktyabrsky din Saratov

Harutyunyan Gayane.

Manager de munca:

profesor de matematică

Grishina Irina Vladimirovna

Saratov

2007

Introducere…………………………………………………………………………………………… 3

Principiul inducției matematice și a acestuia

dovada…………………………………………………………………………………..4

Exemple de rezolvare a problemelor…………………………………………………………………..9

Concluzie……………………………………………………………………………………..16

Literatură…………………………………………………………………………………17

Introducere.

Metoda inducției matematice poate fi comparată cu progresul. Pornim de la cel mai de jos, ca urmare a gândirii logice ajungem la cel mai înalt. Omul s-a străduit întotdeauna pentru progres, pentru capacitatea de a-și dezvolta gândirea în mod logic, ceea ce înseamnă că însăși natura i-a destinat să gândească inductiv și să-și susțină gândirea cu dovezi realizate după toate regulile logicii.
În prezent, domeniul de aplicare al metodei de inducție matematică a crescut, dar, din păcate, i se alocă puțin timp în programa școlară. Dar acest lucru este atât de important - să poți gândi inductiv.

Principiul inducției matematice și demonstrarea acestuia

Să ne întoarcem la esența metodei inducției matematice. Să luăm în considerare diverse afirmații. Ele pot fi împărțite în general și particular.Să dăm exemple de enunțuri generale.

Toți cetățenii ruși au dreptul la educație.

În orice paralelogram, diagonalele din punctul de intersecție sunt bisectate.

Toate numerele care se termină cu zero sunt divizibile cu 5.

Exemple relevante de declarații private:

Petrov are dreptul la educație.

În paralelogramul ABCD, diagonalele din punctul de intersecție sunt bisectate.

140 e divizibil cu 5.

Trecerea de la afirmațiile generale la cele particulare se numește deducție (din latină deducere - concluzie după regulile logicii).

Luați în considerare un exemplu de inferență deductivă.

Toți cetățenii ruși au dreptul la educație. (unu)

Petrov este cetățean al Rusiei. (2)

Petrov are dreptul la educație. (3)

Din afirmaţia generală (1) cu ajutorul lui (2) se obţine aserţiunea particulară (3).

Tranziția inversă de la enunțuri particulare la enunțuri generale se numește inducție (din latină inducţie - îndrumare).

Inducția poate duce atât la concluzii corecte, cât și la concluzii incorecte.

Să explicăm acest lucru cu două exemple.

140 este divizibil cu 5. (1)

Toate numerele care se termină cu zero sunt divizibile cu 5. (2)

140 este divizibil cu 5. (1)

Toate numerele din trei cifre sunt divizibile cu 5. (2)

Din enunțul particular (1) se obține enunțul general (2). Afirmația (2) este adevărată.

Al doilea exemplu arată cum o afirmație generală (3) poate fi obținută dintr-o anumită afirmație (1) , în plus, afirmația (3) nu este adevărată.

Să ne punem întrebarea cum să folosim inducția în matematică pentru a obține doar concluzii corecte. Să luăm în considerare câteva exemple de inducție, ceea ce este inacceptabil în matematică.

Exemplul 1.

Să considerăm un trinom pătrat de următoarea formă Р(x)= x 2 + x + 41, căruia Leonard Euler a acordat atenție.

P(0) = 41, P(1) = 43, P(2) = 47, P(3) = 53, P(4) = 61, P(5) = 71, P(6) = 83, P (7) = 97, P(8) = 113, P(9)=131, P(10) = 151.

Vedem că de fiecare dată valoarea trinomului este un număr prim. Pe baza rezultatelor obținute, afirmăm că la substituirea în trinomul luat în considerare, în loc de x Orice număr întreg nenegativ are ca rezultat întotdeauna un număr prim.

Cu toate acestea, concluzia trasă nu poate fi considerată de încredere. Ce s-a întâmplat? Faptul este că, în raționament, se fac afirmații generale despre orice x numai pe baza faptului că această afirmație s-a dovedit a fi adevărată pentru unele valori ale lui x.

Într-adevăr, la o examinare mai atentă a trinomului P(x), numerele P(0), P(1), ..., P(39) sunt numere prime, dar P(40) = 41 2 este un număr compus. Și destul de clar: P(41) = 41 2 +41+41 este un multiplu al lui 41.

În acest exemplu, ne-am întâlnit cu o declarație care este adevărată în 40 de cazuri speciale și totuși s-a dovedit a fi nedreaptă în general.

Să ne uităm la câteva exemple suplimentare.

Exemplul 2

În secolul al XVII-lea V.G. Leibniz a demonstrat că pentru orice n natural, numerele de forma n 3 - n sunt multipli ai lui 3, n 5 - n sunt multipli ai lui 5, n 7 - n sunt multipli ai lui 7. Pe baza acestui lucru, el a sugerat că pentru orice k impar și natural n, numărul n k - n multiplu al lui k, dar curând el însuși a observat că 2 9 -2=510, care, evident, nu este divizibil cu 9.

Exemplele luate în considerare ne permit să tragem o concluzie importantă: o afirmație poate fi adevărată într-o serie de cazuri speciale și, în același timp, nedreaptă în general.

Se pune firesc întrebarea: există o afirmație care este adevărată în mai multe cazuri speciale; este imposibil să luăm în considerare toate cazurile speciale; de unde știi dacă această afirmație este adevărată?

Această întrebare poate fi uneori rezolvată prin aplicarea unei metode speciale de raționament numită metoda inducției matematice. Această metodă se bazează pe principiul inducției matematice, concluzionat în următoarele: afirmația este adevărată pentru orice n natural dacă:

este valabil pentru n = 1;

din validitatea enunțului pentru unele naturale arbitrare n =k , rezultă că este adevărată pentru n = k +1.

Dovada.

Să presupunem contrariul, adică să fie afirmația adevărată nu pentru fiecare n natural. Atunci există un număr natural m astfel încât

afirmația pentru n =m nu este adevărată,

pentru toate n

Este evident că m >1, deoarece afirmația este adevărată pentru n =1 (condiția 1). Prin urmare, m -1 este un număr natural. Pentru un număr natural m -1 afirmația este adevărată, dar pentru următorul număr natural m nu este adevărată. Aceasta contrazice condiția 2. Contradicția rezultată arată că presupunerea este greșită. Prin urmare, afirmația este adevărată pentru orice n natural, h.e.d.

O demonstrație bazată pe principiul inducției matematice se numește demonstrație prin metoda inducției matematice. O astfel de demonstrație ar trebui să fie compusă din două părți, din demonstrarea a două teoreme independente.

Teorema 1. Afirmația este adevărată pentru n =1.

Teorema 2. Afirmația este adevărată pentru n =k +1 dacă este adevărată pentru n=k, unde k este un număr natural arbitrar.

Dacă ambele teoreme sunt dovedite, atunci, pe baza principiului inducției matematice, afirmația este adevărată pentru orice
natural n .

Trebuie subliniat că demonstrarea prin inducție matematică necesită cu siguranță demonstrarea ambelor Teoreme 1 și 2. Neglijarea Teoremei 2 duce la concluzii incorecte (exemplele 1-2). Să arătăm printr-un exemplu cât de necesară este demonstrarea teoremei 1.

Exemplul 3. „Teorema”: fiecare număr natural este egal cu numărul natural care îl urmează.

Demonstrarea se va realiza prin metoda inducției matematice.

Să presupunem că k =k +1 (1).

Să demonstrăm că k +1=k +2 (2). Pentru a face acest lucru, adăugați 1 la fiecare parte din „egalitatea” (1), obținem „egalitatea” (2). Se dovedește că dacă afirmația este adevărată pentru n =k , atunci este adevărată și pentru n =k +1., etc.

O „consecință” evidentă din „teoremă”: toate numerele naturale sunt egale.

Eroarea constă în faptul că Teorema 1, care este necesară pentru aplicarea principiului inducției matematice, nu a fost demonstrată și nu este adevărată, ci doar a doua teoremă a fost demonstrată.

Teoremele 1 și 2 sunt de o importanță deosebită.

Teorema 1 creează baza pentru inducție. Teorema 2 dă dreptul la extinderea automată nelimitată a acestei baze, dreptul de a trece de la acest caz particular la următorul, de la n la n + 1.

Dacă Teorema 1 nu a fost dovedită, dar Teorema 2 a fost demonstrată, atunci, prin urmare, baza pentru conducerea inducției nu a fost creată și atunci nu are sens să se aplice Teorema 2, deoarece nu există, de fapt, nimic de extins. .

Dacă Teorema 2 nu a fost demonstrată și doar Teorema 1 a fost demonstrată, atunci, deși a fost creată baza pentru efectuarea inducției, dreptul de a extinde această bază lipsește.

Observatii.

Uneori, a doua parte a demonstrației se bazează pe validitatea afirmației nu numai pentru n =k, ci și pentru n =k -1. În acest caz, declarația din prima parte trebuie testată pentru următoarele două valori ale lui n.

Uneori afirmația este dovedită nu pentru orice n natural, ci pentru n > m , unde m este un număr întreg. În acest caz, în prima parte a demonstrației, aserția este verificată pentru n =m +1 și, dacă este necesar, pentru mai multe valori ulterioare ale lui n.

Rezumând cele spuse, avem: metoda inducției matematice permite, în căutarea unei legi generale, să testăm ipotezele care apar în acest caz, să le respingem pe cele false și să le afirmăm pe cele adevărate.

Toată lumea cunoaște rolul proceselor de generalizare a rezultatelor observațiilor și experimentelor individuale (adică, inducția) pentru științele empirice, experimentale. Matematica, pe de altă parte, a fost mult timp considerată un exemplu clasic de implementare a metodelor pur deductive, deoarece se presupune întotdeauna în mod explicit sau implicit că toate propozițiile matematice (cu excepția celor acceptate ca inițiale - axiome) sunt dovedite și aplicații specifice. dintre aceste propoziții sunt derivate din dovezi potrivite pentru cazuri generale (deducție).

Ce înseamnă inducția în matematică? Ar trebui să fie înțeleasă ca o metodă nu tocmai de încredere și cum să căutați un criteriu pentru fiabilitatea unor astfel de metode inductive? Sau certitudinea concluziilor matematice de aceeași natură cu generalizările experimentale ale științelor experimentale, astfel încât să nu fie rău să „verificăm” vreun fapt dovedit? În realitate, nu este cazul.

Inducția (îndrumarea) asupra unei ipoteze joacă un rol foarte important, dar pur euristic în matematică: permite cuiva să ghicească care ar trebui să fie soluția. Dar propozițiile matematice sunt stabilite doar deductiv. Iar metoda inducției matematice este o metodă pur deductivă de demonstrare. Într-adevăr, proba efectuată prin această metodă constă din două părți:

așa-numita „bază” - o dovadă deductivă a propoziției dorite pentru unul (sau mai multe) numere naturale;

o etapă inductivă constând într-o demonstraţie deductivă a unui enunţ general. Teorema este dovedită cu precizie pentru toate numerele naturale. Din baza dovedită, de exemplu, pentru numărul 0, obținem, prin pasul de inducție, demonstrația pentru numărul 1, apoi în același mod pentru 2, pentru 3 ... - și deci afirmația poate fi justificată pentru orice număr natural.

Cu alte cuvinte, denumirea de „inducție matematică” se datorează faptului că această metodă este pur și simplu asociată în mintea noastră cu raționamentul inductiv tradițional (la urma urmei, baza este într-adevăr dovedită doar pentru un anumit caz); pasul inductiv, spre deosebire de criteriile de plauzibilitate ale raționamentului inductiv bazat pe experiența din științele naturale și sociale, este o afirmație generală care nu are nevoie de nicio premisă anume și se dovedește conform canoanelor stricte ale raționamentului deductiv. Prin urmare, inducția matematică este numită „completă” sau „perfectă”, deoarece este o metodă deductivă, complet de încredere.

Exemple de soluții de probleme

Inducția în algebră

Luați în considerare câteva exemple de probleme algebrice, precum și demonstrarea diferitelor inegalități care pot fi rezolvate folosind metoda inducției matematice.

Sarcina 1. Ghiciți formula pentru suma și dovediți-o.

DAR( n )= 2  1 2 + 3 2 2 + …..+(n +1) n 2 .

Soluţie.

1. Să transformăm expresia pentru suma А(n):

A(n)= 2  1 2 + 3  2 2 + ….+ (n+1) n 2 = (1+1) 1 2 + (2+1) 2 2 + …. + (n+1) n 2 = =1  1 2 + 2  2 2 + …+n  n 2 + 1 2 + 2 2 +… +n 2 =1 3 + 2 3 +… +n 3 +1 2 + 2 2 +… +n 2 = В(n) + C(n), unde B(n) = 1 3 + 2 3 + …..+ n 3 , C(n)= 1 2 + 2 2 + …+ n 2 .

2. Se consideră sumele C (n) și B (n).

a) C( n ) = 1 2 + 2 2 +…+ n 2 . Una dintre problemele frecvent întâlnite cu privire la metoda inducției matematice este de a demonstra că pentru orice n natural, egalitatea

1 2 + 2 2 +…+ n 2 = (1)

Să presupunem că (1) este adevărată pentru toate n  N.

b ) B(n) = 1 3 + 2 3 + …..+ n 3 . Să observăm cum se schimbă valorile lui B (n) în funcție de n.

B(1) = 1 3 = 1 .

B(2) = 1 3 + 2 3 = 9 = 3 2 = (1 + 2) 2

B(3) = 1 3 + 2 3 + 3 3 = 36 =

Astfel, se poate presupune că
B (n) = (1 + 2 + ….+ n) 2 =
(2)

c) Ca urmare, pentru suma А(n) obținem

DAR( n) ==

= (*)

3. Să demonstrăm formula obţinută (*) prin metoda inducţiei matematice.

a) verificați egalitatea (*) pentru n = 1.

A(1) = 2  =2,

În mod evident, formula (*) este adevărată pentru n = 1.

b) să presupunem că formula (*) este adevărată pentru n=k , unde k N, adică egalitatea

A(k)=

Pe baza ipotezei, vom demonstra validitatea formulei pentru n =k +1. Într-adevăr,

A(k+1)=

Deoarece formula (*) este adevărată pentru n =1, iar din ipoteza că este adevărată pentru unele k naturale, rezultă că este adevărată pentru n =k +1, pe baza principiului inducției matematice concluzionăm că egalitate

este valabil pentru orice n natural.

Sarcina 2.

Calculați suma 1-2 + 3-4 +…(-1) n -1 n .

Soluţie.

Să notăm succesiv valorile sumelor pentru diferite valori ale lui n.

A(1)=1, A(2)=1-2= -1, A(3)=1-2+3=2, A(4)=1-2+3-4= -2,

A(5)=1-2+3-4+5=3, A(6)=1-2+3-4+5-6= -3.

Observând modelul, putem presupune că A (n)= - pentru n chiar și A (n)=
pentru n. impar. Să combinăm ambele rezultate într-o singură formulă:

A(n) =
, unde r este restul împărțirii lui n la 2.

Și r , este în mod evident determinată de următoarea regulă

0 dacă n este par,

r=

1 dacă n este impar.

Apoi r(poate fi ghicit) poate fi reprezentat ca:

În cele din urmă obținem formula pentru A (n):

A(n)=

(*)

Să demonstrăm egalitatea (*) pentru toți n  N metoda de inductie matematica.

2. a) Verificați egalitatea (*) pentru n =1. A(1) = 1=

Egalitatea este corectă

b) Să presupunem că egalitatea

1-2+3-4+…+(-1) n-1 n=

adevărat la n=k. Să demonstrăm că este valabil și pentru n =k + 1, adică.

A(k+1)=

Intr-adevar,

A(k+1)=A(k)+(-1) k (k+1) =

=

Q.E.D.

Metoda inducției matematice este folosită și pentru rezolvarea problemelor de divizibilitate.

Sarcina 3.

Demonstrați că numărul N (n)=n 3 + 5n este divizibil cu 6 pentru orice n natural.

Dovada.

La n =1 numărul N (1)=6 și deci afirmația este adevărată.

Fie ca numărul N (k )=k 3 +5k să fie divizibil cu 6 pentru un k natural. Să demonstrăm că N (k +1)= (k +1) 3 + 5(k +1) este divizibil cu 6. Într-adevăr, avem
N (k +1)= (k +1) 3 + 5(k +1)=(k 3 +5k )+3k (k +1)+6.

Pentru că k și k +1 sunt numere naturale adiacente, atunci unul dintre ele este în mod necesar par, deci expresia 3k (k +1) este divizibil cu 6. Astfel, obținem că N (k +1) este și el divizibil cu 6. Ieșire numărul N (n)=n 3 + 5n este divizibil cu 6 pentru orice n natural.

Luați în considerare soluția unei probleme de divizibilitate mai complexe, când metoda inducției matematice complete trebuie aplicată de mai multe ori.

Sarcina 4.

Demonstrați că pentru orice număr natural n
nici măcar nu este divizibil cu 2 n +3 .

Dovada.

Imagina
sub forma unei opere
=

= (*)

Prin presupunere, primul factor din (*) nu este divizibil egal cu numărul 2 k +3 , adică în reprezentarea unui număr compus
sub forma unui produs al numerelor prime, numărul 2 se repetă de cel mult (k + 2) ori. Deci pentru a demonstra că numărul
nu este divizibil cu 2 k +4 , trebuie să demonstrăm că
nu este divizibil cu 4.

Pentru a demonstra această aserțiune, demonstrăm o aserțiune auxiliară: pentru orice n natural, numărul 3 2 n +1 nu este divizibil cu 4. Pentru n =1, aserția este evidentă, deoarece 10 nu este divizibil cu 4 fără rest. Presupunând că 3 2 k +1 nu este divizibil cu 4, demonstrăm că nici 3 2(k +1) +1 nu este divizibil
cu 4. Să reprezentăm ultima expresie ca o sumă:

3 2(k+1) +1=3 2k+2 +1=3 2k * 9+1=(3 2k +1)+8 * 3 2k . Al doilea termen al sumei este divizibil cu 4, dar primul nu este divizibil. Prin urmare, întreaga sumă nu este divizibilă cu 4 fără rest. Afirmația auxiliară este dovedită.

Acum e clar că
nu este divizibil cu 4 deoarece 2k este un număr par.

În cele din urmă, obținem acel număr
nu este divizibil egal cu 2 n +3 pentru orice n natural.

Luați în considerare acum un exemplu de aplicare a inducției la demonstrarea inegalităților.

Sarcina 5.

Pentru care n natural este valabilă inegalitatea 2 n > 2n + 1?

Soluţie.

1. Când n=1 2 1< 2*1+1,

la n=2 2 2< 2*2+1,

la n =3 2 3 > 2*3+1,

la n =4 2 4 > 2*4+1.

Aparent, inegalitatea este valabilă pentru orice n natural  3. Să demonstrăm această afirmație.

2. Când n =3 validitatea inegalității a fost deja demonstrată. Acum să fie valabilă inegalitatea pentru n =k , unde k este un număr natural nu mai mic de 3, adică.

2 k > 2k+1 (*)

Să demonstrăm că atunci inegalitatea este valabilă și pentru n =k +1, adică 2 k +1 >2(k +1)+1. Înmulțind (*) cu 2, obținem 2 k +1 >4k +2. Să comparăm expresiile 2(k +1)+1 și 4k +2.

4k+2-(2(k+1)+1)=2k-1. Evident, 2k -1>0 pentru orice k natural. Atunci 4k +2>2(k +1)+1, adică. 2k+1 >2(k+1)+1. Afirmația a fost dovedită.

Sarcina 6.

Inegalitatea pentru media aritmetică și media geometrică a n numere nenegative (inegalitatea lui Cauchy)., obținem =

Dacă cel puţin unul dintre numere
este egal cu zero, atunci este valabilă și inegalitatea (**).

Concluzie.

Când am făcut munca, am studiat esența metodei de inducție matematică și demonstrarea acesteia. Lucrarea prezintă probleme în care un rol important l-a jucat inducția incompletă care duce la rezolvarea corectă, iar apoi se realizează o demonstrație obținută prin metoda inducției matematice.

Literatură.

Boltyansky V.G., Sidorov Yu.V., Shaburin M.I. Prelegeri și probleme de matematică elementară; Știință, 1974.

Vilenkin N.Ya. , Shvartburd S.I. Analiza matematica.-
M.: Educație, 1973.

Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Studiu aprofundat al cursului de algebră și analiză matematică.- M .: Educație, 1990.

Potapov M.K., Aleksandrov V.V., Pasichenko P.I. Algebra si analiza functiilor elementare.- M.: Nauka, 1980.

Sominsky I.S., Golovina M.L., Yaglom I.M. Despre inducția matematică. - M.: Nauka, 1967.

Dacă propoziția A(n), care depinde de un număr natural n, este adevărată pentru n=1, iar din faptul că este adevărată pentru n=k (unde k este orice număr natural), rezultă că este și adevărată pentru următorul număr n=k +1, atunci ipoteza A(n) este adevărată pentru orice număr natural n.

Într-un număr de cazuri, poate fi necesar să se dovedească validitatea unei anumite afirmații nu pentru toate numerele naturale, ci numai pentru n>p, unde p este un număr natural fix. În acest caz, principiul inducției matematice este formulat după cum urmează.

Dacă propoziția A(n) este adevărată pentru n=p și dacă A(k) X A(k+1) pentru orice k>p, atunci propoziția A(n) este adevărată pentru orice n>p.

Demonstrarea prin metoda inducției matematice se realizează după cum urmează. În primul rând, aserția care trebuie demonstrată este verificată pentru n=1, adică, se stabileşte adevărul afirmaţiei A(1). Această parte a demonstrației se numește bază de inducție. Aceasta este urmată de o parte a demonstrației numită pasul de inducție. În această parte, validitatea afirmației pentru n=k+1 este dovedită sub ipoteza că afirmația este adevărată pentru n=k (ipoteza de inducție), i.e. demonstrați că A(k) ~ A(k+1)

Demonstrați că 1+3+5+…+(2n-1)=n 2 .

• 1) Avem n=1=1 2 . Prin urmare, afirmația este adevărată pentru n=1, adică. A(1) adevărat
• 2) Să demonstrăm că A(k) ~ A(k+1)

Fie k orice număr natural și fie afirmația adevărată pentru n=k, adică.

1+3+5+…+(2k-1)=k 2

Să demonstrăm că atunci afirmația este adevărată și pentru următorul număr natural n=k+1, adică. ce

• 1+3+5+…+(2k+1)=(k+1) 2 Într-adevăr,
• 1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=k 2 +2k+1=(k+1) 2

Deci, A(k) X A(k+1). Pe baza principiului inducției matematice, concluzionăm că ipoteza A(n) este adevărată pentru orice n О N

Demonstrează asta

1 + x + x 2 + x 3 + ... + x n \u003d (x n + 1 -1) / (x-1), unde x nr. 1

• 1) Pentru n=1 obținem
• 1+x=(x 2 -1)/(x-1)=(x-1)(x+1)/(x-1)=x+1

prin urmare, pentru n=1 formula este adevărată; A(1) adevărat

• 2) Fie k orice număr natural și fie formula adevărată pentru n=k,
• 1+x+x 2 +x 3 +…+x k =(x k+1 -1)/(x-1)

Să demonstrăm că atunci egalitatea

• 1+x+x 2 +x 3 +…+x k +x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1) Într-adevăr
• 1+х+х 2 +x 3 +…+х k +x k+1 =(1+x+x 2 +x 3 +…+x k)+x k+1 =

=(x k+1 -1)/(x-1)+x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1)

Deci A(k) ⋅ A(k+1). Pe baza principiului inducției matematice, concluzionăm că formula este adevărată pentru orice număr natural n

Demonstrați că numărul de diagonale ale unui n-gon convex este n(n-3)/2

Rezolvare: 1) Pentru n=3, afirmația este adevărată, deoarece în triunghi

A 3 \u003d 3 (3-3) / 2 \u003d 0 diagonale; A 2 A(3) adevărat

2) Să presupunem că în orice k-gon convex are A 1 sya A k \u003d k (k-3) / 2 diagonale. A k Să demonstrăm că atunci într-un convex A k+1 (k+1)-gon numărul de diagonale A k+1 =(k+1)(k-2)/2.

Fie А 1 А 2 А 3 …A k A k+1 -convex (k+1)-gon. Să desenăm în ea o diagonală A 1 A k. Pentru a calcula numărul total de diagonale ale acestui (k + 1)-gon, trebuie să numărați numărul de diagonale din k-gon A 1 A 2 ...A k , adăugați k-2 la numărul rezultat, adică. numărul de diagonale ale unui (k+1)-gon care emană de la vârful А k+1 , și, în plus, ar trebui să se țină cont de diagonala А 1 А k

În acest fel,

G k+1 =G k +(k-2)+1=k(k-3)/2+k-1=(k+1)(k-2)/2

Deci A(k) ⋅ A(k+1). Datorită principiului inducției matematice, afirmația este adevărată pentru orice n-gon convex.

Demonstrați că pentru orice n afirmația este adevărată:

1 2 +2 2 +3 2 +…+n 2 =n(n+1)(2n+1)/6

Rezolvare: 1) Fie n=1, atunci

X 1 \u003d 1 2 \u003d 1 (1 + 1) (2 + 1) / 6 \u003d 1

2) Să presupunem că n=k

X k \u003d k 2 \u003d k (k + 1) (2k + 1) / 6

3) Considerați această afirmație pentru n=k+1

Xk+1 =(k+1)(k+2)(2k+3)/6

X k+1 =1 2 +2 2 +3 2 +…+k 2 +(k+1) 2 =k(k+1)(2k+1)/6+ +(k+1) 2

=(k(k+1)(2k+1)+6(k+1) 2)/6=(k+1)(k(2k+1)+

6(k+1))/6=(k+1)(2k 2 +7k+6)/6=(k+1)(2(k+3/2)(k+

2))/6=(k+1)(k+2)(2k+3)/6

Am demonstrat validitatea egalității pentru n=k+1, prin urmare, în virtutea metodei de inducție matematică, afirmația este adevărată pentru orice n natural.

Demonstrați că pentru orice n natural egalitatea este adevărată:

1 3 +2 3 +3 3 +…+n 3 =n 2 (n+1) 2 /4

Rezolvare: 1) Fie n=1

Atunci X 1 =1 3 =1 2 (1+1) 2 /4=1. Vedem că pentru n=1 afirmația este adevărată.

2) Să presupunem că egalitatea este adevărată pentru n=k

X k \u003d k 2 (k + 1) 2 / 4

3) Să demonstrăm adevărul acestei afirmații pentru n=k+1, i.e.

X k+1 =(k+1) 2 (k+2) 2 /4. X k+1 =1 3 +2 3 +…+k 3 +(k+1) 3 =k 2 (k+1) 2 /4+(k+1) 3 =(k 2 (k++1) 2 +4(k+1) 3)/4=(k+1) 2 (k 2 +4k+4)/4=(k+1) 2 (k+2) 2 /4

Din demonstrația de mai sus se poate observa că afirmația este adevărată pentru n=k+1, prin urmare, egalitatea este adevărată pentru orice n natural.

Demonstrează asta

((2 3 +1)/(2 3 -1)) ґ ((3 3 +1)/(3 3 -1)) ґ … ґ ((n 3 +1)/(n 3 -1))= 3n(n+1)/2(n2 +n+1), unde n>2

Soluție: 1) Pentru n=2, identitatea arată astfel:

• (2 3 +1)/(2 3 -1)=(3 ґ 2 ґ 3)/2(2 2 +2+1), i.e. este adevarat
• 2) Să presupunem că expresia este adevărată pentru n=k
• (2 3 +1) / (2 3 -1) ґ ... ґ (k 3 +1) / (k 3 -1) \u003d 3k (k + 1) / 2 (k 2 + k + 1)
• 3) Vom demonstra corectitudinea expresiei pentru n=k+1
• (((2 3 +1)/(2 3 -1)) ґ … ґ ((k 3 +1)/(k 3 -1))) ґ (((k+1) 3 +

1)/((k+1) 3 -1))=(3k(k+1)/2(k 2 +k+1)) ґ ((k+2)((k+

1) 2 -(k+1)+1)/k((k+1) 2 +(k+1)+1))=3(k+1)(k+2)/2 ґ

ґ ((k+1) 2 +(k+1)+1)

Am demonstrat validitatea egalității pentru n=k+1, prin urmare, în virtutea metodei de inducție matematică, afirmația este adevărată pentru orice n>2

Demonstrează asta

1 3 -2 3 +3 3 -4 3 +…+(2n-1) 3 -(2n) 3 =-n 2 (4n+3) pentru orice n natural

Rezolvare: 1) Fie n=1, atunci

• 1 3 -2 3 =-1 3 (4+3); -7=-7
• 2) Să presupunem că n=k, atunci
• 1 3 -2 3 +3 3 -4 3 +…+(2k-1) 3 -(2k) 3 =-k 2 (4k+3)
• 3) Vom demonstra adevărul acestei afirmații pentru n=k+1
• (1 3 -2 3 +…+(2k-1) 3 -(2k) 3)+(2k+1) 3 -(2k+2) 3 =-k 2 (4k+3)+

+(2k+1) 3 -(2k+2) 3 =-(k+1) 3 (4(k+1)+3)

Se dovedește și validitatea egalității pentru n=k+1, prin urmare afirmația este adevărată pentru orice n natural.

Demonstrați validitatea identității

(1 2 /1 ґ 3)+(2 2 /3 ґ 5)+…+(n 2 /(2n-1) ґ (2n+1))=n(n+1)/2(2n+1) pentru orice n natural

• 1) Pentru n=1 identitatea este adevărată 1 2 /1 ґ 3=1(1+1)/2(2+1)
• 2) Să presupunem că pentru n=k
• (1 2 /1 ґ 3)+…+(k 2 /(2k-1) ґ (2k+1))=k(k+1)/2(2k+1)
• 3) Demonstrăm că identitatea este adevărată pentru n=k+1
• (1 2 /1 ґ 3)+…+(k 2 /(2k-1)(2k+1))+(k+1) 2 /(2k+1)(2k+3)=(k(k+ 1) )/2(2k+1))+((k+1) 2 /(2k+1)(2k+3))=((k+1)/(2k+1)) ґ ((k/2 ) +((k+1)/(2k+3)))=(k+1)(k+2) ґ (2k+1)/2(2k+1)(2k+3)=(k+1 ) (k+2)/2(2(k+1)+1)

Din demonstrația de mai sus se poate observa că afirmația este adevărată pentru orice număr întreg pozitiv n.

Demonstrați că (11 n+2 +12 2n+1) este divizibil cu 133 fără rest

Rezolvare: 1) Fie n=1, atunci

11 3 +12 3 =(11+12)(11 2 -132+12 2)=23 ґ 133

Dar (23 ґ 133) este divizibil cu 133 fără rest, deci pentru n=1 afirmația este adevărată; A(1) este adevărată.

• 2) Să presupunem că (11 k+2 +12 2k+1) este divizibil cu 133 fără rest
• 3) Să demonstrăm că în acest caz (11 k+3 +12 2k+3) este divizibil cu 133 fără rest. Intr-adevar
• 11 k+3 +12 2k+3 =11 ґ 11 k+2 +12 2 ґ 12 2k+1 =11 ґ 11 k+2 +

+(11+133) ґ 12 2k+1 =11(11 k+2 +12 2k+1)+133 ґ 12 2k+1

Suma rezultată este divizibilă cu 133 fără rest, deoarece primul său termen este divizibil cu 133 fără rest prin presupunere, iar în al doilea dintre factori este 133. Deci, A (k) Yu A (k + 1). În virtutea metodei inducției matematice, afirmația este dovedită

Demonstrați că pentru orice n 7 n -1 este divizibil cu 6 fără rest

• 1) Fie n=1, atunci X 1 \u003d 7 1 -1 \u003d 6 este împărțit la 6 fără rest. Deci pentru n=1 afirmația este adevărată
• 2) Să presupunem că pentru n \u003d k 7 k -1 este divizibil cu 6 fără rest
• 3) Să demonstrăm că afirmația este adevărată pentru n=k+1

X k+1 \u003d 7 k + 1 -1 \u003d 7 ґ 7 k -7 + 6 \u003d 7 (7 k -1) + 6

Primul termen este divizibil cu 6, deoarece 7 k -1 este divizibil cu 6 prin presupunere, iar al doilea termen este 6. Deci 7 n -1 este un multiplu de 6 pentru orice n natural. În virtutea metodei inducției matematice, afirmația este dovedită.

Demonstrați că 3 3n-1 +2 4n-3 pentru un întreg pozitiv arbitrar n este divizibil cu 11.

1) Fie n=1, atunci

X 1 \u003d 3 3-1 +2 4-3 \u003d 3 2 +2 1 \u003d 11 se împarte la 11 fără rest.

Deci pentru n=1 afirmația este adevărată

• 2) Să presupunem că pentru n=k X k =3 3k-1 +2 4k-3 este divizibil cu 11 fără rest
• 3) Demonstrăm că afirmația este adevărată pentru n=k+1

X k+1 =3 3(k+1)-1 +2 4(k+1)-3 =3 3k+2 +2 4k+1 =3 3 3 3k-1 +2 4 2 4k-3 =

27 3 3k-1 +16 2 4k-3 =(16+11) 3 3k-1 +16 2 4k-3 =16 3 3k-1 +

11 3 3k-1 +16 2 4k-3 =16(3 3k-1 +2 4k-3)+11 3 3k-1

Primul termen este divizibil cu 11 fără rest, deoarece 3 3k-1 +2 4k-3 este divizibil cu 11 prin presupunere, al doilea este divizibil cu 11, deoarece unul dintre factorii săi este numărul 11. Prin urmare, suma este de asemenea, divizibil cu 11 fără rest pentru orice n natural. În virtutea metodei inducției matematice, afirmația este dovedită.

Demonstrați că 11 2n -1 pentru un întreg pozitiv arbitrar n este divizibil cu 6 fără rest

• 1) Fie n=1, atunci 11 2 -1=120 este divizibil cu 6 fără rest. Deci pentru n=1 afirmația este adevărată
• 2) Să presupunem că pentru n=k 1 2k -1 este divizibil cu 6 fără rest
• 11 2(k+1) -1=121 ґ 11 2k -1=120 ґ 11 2k +(11 2k -1)

Ambii termeni sunt divizibili cu 6 fără rest: primul conține un multiplu de 6 număr 120, iar al doilea este divizibil cu 6 fără rest prin presupunere. Deci suma este divizibilă cu 6 fără rest. În virtutea metodei inducției matematice, afirmația este dovedită.

Demonstrați că 3 3n+3 -26n-27 pentru un întreg pozitiv arbitrar n este divizibil cu 26 2 (676) fără rest

Să demonstrăm mai întâi că 3 3n+3 -1 este divizibil cu 26 fără rest

• 1. Când n=0
• 3 3 -1=26 este divizibil cu 26
• 2. Să presupunem că pentru n=k
• 3 3k+3 -1 este divizibil cu 26
• 3. Să demonstrăm că afirmația este adevărată pentru n=k+1
• 3 3k+6 -1=27 ґ 3 3k+3 -1=26 ґ 3 3k+3 +(3 3k+3 -1) - este divizibil cu 26

Să demonstrăm acum afirmația formulată în condiția problemei

• 1) Este evident că pentru n=1 afirmația este adevărată
• 3 3+3 -26-27=676
• 2) Să presupunem că pentru n=k expresia 3 3k+3 -26k-27 este divizibil cu 26 2 fără rest
• 3) Să demonstrăm că afirmația este adevărată pentru n=k+1
• 3 3k+6 -26(k+1)-27=26(3 3k+3 -1)+(3 3k+3 -26k-27)

Ambii termeni sunt divizibili cu 26 2 ; primul este divizibil cu 26 2 deoarece am demonstrat că expresia dintre paranteze este divizibil cu 26, iar al doilea este divizibil prin ipoteza inductivă. În virtutea metodei inducției matematice, afirmația este dovedită

Demonstrați că dacă n>2 și х>0, atunci inegalitatea (1+х) n >1+n ґ х

• 1) Pentru n=2, inegalitatea este adevărată, deoarece
• (1+x) 2 =1+2x+x 2 >1+2x

Deci A(2) este adevărată

• 2) Să demonstrăm că A(k) ⋅ A(k+1) dacă k> 2. Să presupunem că A(k) este adevărată, adică că inegalitatea
• (1+х) k >1+k ґ x. (3)

Să demonstrăm că atunci A(k+1) este și adevărată, adică că inegalitatea

(1+x) k+1 >1+(k+1) x

Într-adevăr, înmulțind ambele părți ale inegalității (3) cu un număr pozitiv 1+x, obținem

(1+x) k+1 >(1+k ґ x)(1+x)

Luați în considerare partea dreaptă a ultimei inegalități; avem

(1+k ґ x)(1+x)=1+(k+1) ґ x+k ґ x 2 >1+(k+1) ґ x

Ca rezultat, obținem că (1+х) k+1 >1+(k+1) ґ x

Deci A(k) ⋅ A(k+1). Pe baza principiului inducției matematice, se poate susține că inegalitatea lui Bernoulli este valabilă pentru orice n> 2

Demonstrați că inegalitatea (1+a+a 2) m > 1+m ґ a+(m(m+1)/2) ґ a 2 este adevărată pentru a> 0

Rezolvare: 1) Pentru m=1

• (1+a+a 2) 1 > 1+a+(2/2) ґ a 2 ambele părți sunt egale
• 2) Să presupunem că pentru m=k
• (1+a+a 2) k >1+k ґ a+(k(k+1)/2) ґ a 2
• 3) Să demonstrăm că pentru m=k+1 neegalitatea este adevărată
• (1+a+a 2) k+1 =(1+a+a 2)(1+a+a 2) k >(1+a+a 2)(1+k ґ a+

+(k(k+1)/2) ґ a 2)=1+(k+1) ґ a+((k(k+1)/2)+k+1) ґ a 2 +

+((k(k+1)/2)+k) ґ a 3 +(k(k+1)/2) ґ a 4 > 1+(k+1) ґ a+

+((k+1)(k+2)/2) ґ a 2

Am demonstrat validitatea inegalității pentru m=k+1, prin urmare, datorită metodei de inducție matematică, inegalitatea este valabilă pentru orice m natural.

Demonstrați că pentru n>6 inegalitatea 3 n >n ґ 2 n+1

Să rescriem inegalitatea în forma (3/2) n >2n

• 1. Pentru n=7 avem 3 7 /2 7 =2187/128>14=2 ґ 7 inegalitatea este adevărată
• 2. Să presupunem că pentru n=k (3/2) k >2k
• 3) Să demonstrăm validitatea inegalității pentru n=k+1
• 3k+1 /2k+1 =(3k /2k) ґ (3/2)>2k ґ (3/2)=3k>2(k+1)

Deoarece k>7, ultima inegalitate este evidentă.

Datorită metodei inducției matematice, inegalitatea este valabilă pentru orice n natural

Demonstrați că pentru n>2 inegalitatea

1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/n 2)<1,7-(1/n)

• 1) Pentru n=3 inegalitatea este adevărată
• 1+(1/2 2)+(1/3 2)=245/180
• 2. Să presupunem că pentru n=k
• 1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/k 2)=1,7-(1/k)
• 3) Să demonstrăm validitatea inegalității pentru n=k+1
• (1+(1/2 2)+…+(1/k 2))+(1/(k+1) 2)

Să demonstrăm că 1,7-(1/k)+(1/(k+1) 2)<1,7-(1/k+1) Ы

S (1/(k+1) 2)+(1/k+1)<1/k Ы (k+2)/(k+1) 2 <1/k Ы

s k(k+2)<(k+1) 2 Ы k 2 +2k

Acesta din urmă este evident și, prin urmare

1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/(k+1) 2)<1,7-(1/k+1)

În virtutea metodei inducției matematice se dovedește inegalitatea.