Ceea ce se numește coeficientul unui monom. Definiția unui monom: concepte conexe, exemple. Reducerea unui monomial la forma standard

1. Un coeficient întreg pozitiv. Să presupunem că avem un monomial + 5a, deoarece numărul pozitiv +5 este considerat a coincide cu numărul aritmetic 5, atunci

5a \u003d a ∙ 5 \u003d a + a + a + a + a.

De asemenea, + 7xy² \u003d xy² ∙ 7 \u003d xy² + xy² + xy² + xy² + xy² + xy² + xy²; + 3a³ \u003d a³ ∙ 3 \u003d a³ + a³ + a³; + 2abc \u003d abc ∙ 2 \u003d abc + abc și așa mai departe.

Pe baza acestor exemple, putem stabili că un coeficient întreg pozitiv indică de câte ori un factor literal (sau: produsul factorilor de literă) al unui monomiu este repetat cu un termen.

Ar trebui să ne obișnuim cu atât de mult încât să apară imediat în imaginație, de exemplu, în polinom

3a + 4a² + 5a³

se reduce la faptul că mai întâi a² se repetă de 3 ori prin sumand, apoi a³ se repetă de 4 ori prin sumand și apoi a se repetă de 5 ori prin sumand.

De asemenea: 2a + 3b + c \u003d a + a + b + b + b + c
x³ + 2xy² + 3y³ \u003d x³ + xy² + xy² + y³ + y³ + y³ etc.

2. Factorul fracțional pozitiv. Să avem un monomial + a. Deoarece un număr pozitiv + coincide cu un număr aritmetic, atunci + a \u003d a ∙, ceea ce înseamnă: trebuie să luați trei sferturi din numărul a, adică

Prin urmare: un coeficient fracțional pozitiv arată de câte ori și ce parte a factorului de literă al unui monomiu se repetă prin termen.

Polinom ar trebui să fie ușor de imaginat sub forma:

etc.

3. Coeficient negativ. Cunoscând înmulțirea numerelor relative, putem stabili cu ușurință că, de exemplu, (+5) ∙ (–3) \u003d (–5) ∙ (+3) sau (–5) ∙ (–3) \u003d (+5) ∙ (+ 3) sau în general a a (–3) \u003d (–a) ∙ (+3); de asemenea a ∙ (-) \u003d (–a) ∙ (+) etc.

Prin urmare, dacă luăm un monomial cu un coeficient negativ, de exemplu, –3a, atunci

–3a \u003d a ∙ (–3) \u003d (–a) ∙ (+3) \u003d (–a) ∙ 3 \u003d - a - a - a (–a este luat ca termen de 3 ori).

Din aceste exemple, vedem că un coeficient negativ arată de câte ori litera parte a unui monomiu sau o anumită fracțiune a acestuia, luată cu un semn minus, este repetată de termen.

În această lecție vom oferi o definiție strictă a unui monom, luăm în considerare diverse exemple din manual. Să ne amintim regulile pentru înmulțirea gradelor cu aceleași baze. Să dăm o definiție a formei standard a unui monomiu, a coeficientului unui monomiu și a părții sale litere. Să luăm în considerare două acțiuni tipice de bază pe monomii, și anume reducerea la o formă standard și calcularea unei valori numerice specifice a unui monomial pentru valori date ale variabilelor sale alfabetice. Să formulăm o regulă pentru reducerea unui monomial la o formă standard. Vom învăța cum să rezolvăm probleme tipice cu orice monomii.

Subiect:Monomii. Operații aritmetice pe monomii

Lecţie:Conceptul de monomiu. Tipul standard de monomiu

Luați în considerare câteva exemple:

3. ;

Să găsim caracteristici comune pentru expresiile de mai sus. În toate cele trei cazuri, expresia este produsul numerelor și variabilelor ridicate la o putere. Pe baza acestui lucru, oferim definiție monomială : Un monomiu este o expresie algebrică care constă din produsul de grade și numere.

Acum vom da exemple de expresii care nu sunt monomii:

Să găsim diferența dintre aceste expresii față de cele anterioare. Constă în faptul că în exemplele 4-7 există operații de adunare, scădere sau divizare, în timp ce în exemplele 1-3, care sunt monomii, aceste operații nu sunt.

Iată câteva exemple suplimentare:

Expresia 8 este un monomial, deoarece este produsul unei puteri de un număr, în timp ce Exemplul 9 nu este un monomial.

Acum să aflăm acțiuni asupra monomiilor .

1. Simplificare. Luați în considerare exemplul nr. 3 ; și exemplul # 2 /

În al doilea exemplu, vedem un singur coeficient -, fiecare variabilă apare o singură dată, adică variabila „ și„Este prezentat într-un singur exemplar, ca„ ”, în mod similar, variabilele„ „și„ „apar doar o singură dată.

În exemplul №3, dimpotrivă, există doi coeficienți diferiți - și, vedem variabila "" de două ori - ca "" și ca "", în mod similar, variabila "" apare de două ori. Adică, această expresie ar trebui simplificată, așa că ajungem la prima acțiune efectuată asupra monomiilor este reducerea monomiului la forma standard ... Pentru a face acest lucru, vom aduce expresia din Exemplul 3 într-o formă standard, apoi vom defini această operațiune și vom învăța cum să aducem orice monomial într-o formă standard.

Deci, ia în considerare un exemplu:

Primul pas în operația de conversie la formularul standard este întotdeauna multiplicarea tuturor factorilor numerici:

;

Rezultatul acestei acțiuni va fi chemat coeficient monomial .

Apoi, trebuie să multiplicați gradele. Înmulțim puterile variabilei " x„Conform regulii pentru înmulțirea gradelor cu aceleași baze, care spune că atunci când se înmulțesc exponenții se adaugă:

acum înmulțim puterile " la»:

;

Deci, iată o expresie simplificată:

;

Orice monomiu poate fi redus la o formă standard. Să formulăm regula de standardizare :

Înmulțiți toți factorii numerici;

Puneți coeficientul rezultat în primul rând;

Înmulțiți toate gradele, adică obțineți partea literei;

Adică, orice monomiu este caracterizat printr-un coeficient și o parte literă. Privind în perspectivă, observăm că monomiile care au aceeași parte de literă se numesc similare.

Acum trebuie să te antrenezi tehnica de reducere a monomiilor la o formă standard ... Luați în considerare exemple din tutorial:

Sarcină: aduceți monomiul la forma standard, denumiți coeficientul și partea literei.

Pentru a finaliza sarcina, vom folosi regula pentru a reduce monomiul la forma standard și proprietățile gradelor.

1. ;

3. ;

Comentarii la primul exemplu: În primul rând, vom stabili dacă această expresie este într-adevăr un monomiu, pentru aceasta vom verifica dacă conține operații pentru înmulțirea numerelor și puterilor și dacă există operații de adunare, scădere sau divizare. Putem spune că această expresie este un monomial, deoarece condiția de mai sus este îndeplinită. Mai mult, conform regulii de reducere a monomiului la forma standard, înmulțim factorii numerici:

- am găsit coeficientul unui monomiu dat;

; ; ; adică se primește partea literală a expresiei:;

notează răspunsul :;

Comentarii la al doilea exemplu: Urmând regula, executăm:

1) multiplicați factorii numerici:

2) multiplicați puterile:

Variabilele sunt prezentate într-un singur exemplar, adică nu pot fi multiplicate cu nimic, sunt rescrise fără modificări, gradul este înmulțit:

notează răspunsul:

;

În acest exemplu, coeficientul monomului este egal cu unul, iar partea alfabetică este.

Comentarii la al treilea exemplu: ataxând exemplele anterioare, efectuăm acțiunile:

1) înmulțiți factorii numerici:

;

2) multiplicați puterile:

;

scrieți răspunsul :;

În acest caz, coeficientul monomiului este „”, iar partea literei .

Acum ia în considerare a doua operație standard pe monomii ... Deoarece un monomiu este o expresie algebrică constând din variabile literale care pot lua valori numerice specifice, avem o expresie numerică aritmetică care trebuie calculată. Adică, următoarea operație pe polinoame este calculând valoarea lor numerică specifică .

Să vedem un exemplu. Se dă un monom:

acest monomiu a fost deja redus la forma standard, coeficientul său este egal cu unul, iar partea literei

Mai devreme am spus că o expresie algebrică nu poate fi întotdeauna calculată, adică variabilele care sunt incluse în ea nu pot lua nici o valoare. În cazul unui monomial, variabilele incluse în acesta pot fi oricare, aceasta este o caracteristică a monomiului.

Deci în dat exemplu este necesar să se calculeze valoarea monomiului pentru ,,,.

Monomiile sunt unul dintre principalele tipuri de expresii studiate la cursul de algebră școlară. În acest articol, vă vom spune care sunt aceste expresii, le vom defini forma standard și vom arăta exemple, precum și vom aborda concepte conexe, cum ar fi gradul unui monomiu și coeficientul acestuia.

Ce este un monom

În manualele școlare, următoarea definiție a acestui concept este de obicei dată:

Definiția 1

Monomiile includ numere, variabile, precum și puterile lor cu indicator natural și diferite tipuri de lucrări compuse din ele.

Pe baza acestei definiții, putem da exemple de astfel de expresii. Deci, toate numerele 2, 8, 3004, 0, - 4, - 6, 0, 78, 1 4, - 4 3 7 se vor referi la monomii. Toate variabilele, de exemplu, x, a, b, p, q, t, y, z, vor fi, de asemenea, monomii prin definiție. Aceasta include, de asemenea, gradele de variabile și numere, de exemplu, 6 3, (- 7, 41) 7, x 2 și t 15, precum și expresii de forma 65 x, 9 (- 7) x y 3 6, x x y 3 x y 2 z etc. Vă rugăm să rețineți că un monomiu poate include un număr sau o variabilă sau mai multe și pot fi menționate de mai multe ori ca parte a unui polinom.

Astfel de tipuri de numere ca întreg, rațional, natural se referă și la monomii. Poate include și numere reale și complexe. Deci, expresiile formei 2 + 3 i x z 4, 2 x, 2 π x 3 vor fi și monomii.

Care este forma standard a unui monom și cum se poate converti o expresie în acesta

Pentru confortul muncii, toate monomiile duc mai întâi la o formă specială numită standard. Să formulăm în mod specific ce înseamnă acest lucru.

Definiția 2

Tipul standard de monomiu numiți-o astfel de formă în care este produsul unui factor numeric și a puterilor naturale ale diferitelor variabile. Factorul numeric, numit și coeficientul unui monomiu, este de obicei scris mai întâi pe partea stângă.

Pentru claritate, selectăm mai multe monomii de formă standard: 6 (acesta este un monomial fără variabile), 4 · a, - 9 · x 2 · y 3, 2 3 5 · x 7. Aceasta poate include și expresia X y (aici coeficientul va fi egal cu 1), - x 3 (aici coeficientul este - 1).

Acum vom da exemple de monomii care trebuie reduși la forma standard: 4 a a 2 a 3 (aici trebuie să combinați aceleași variabile), 5 x (- 1) 3 y 2 (aici trebuie să combinați factorii numerici din stânga).

De obicei, atunci când un monomial are mai multe variabile scrise în litere, factorii literelor sunt scrise în ordine alfabetică. De exemplu, este preferabil să scrieți 6 a b 4 c z 2decât b 4 6 a z 2 c... Cu toate acestea, ordinea poate fi diferită dacă scopul calculului o impune.

Orice monomiu poate fi redus la o formă standard. Pentru a face acest lucru, trebuie să efectuați toate transformările identice necesare.

Conceptul gradului unui monom

Conceptul însoțitor al gradului unui monom este foarte important. Să notăm definiția acestui concept.

Definiție 3

Grad monomial, scris în formă standard, este suma exponenților tuturor variabilelor care sunt incluse în înregistrarea sa. Dacă nu există nicio variabilă în ea, iar monomiul în sine este diferit de 0, atunci gradul său va fi zero.

Să dăm exemple de grade ale unui monom.

Exemplul 1

Astfel, un monomiu a are gradul 1, deoarece a \u003d a 1. Dacă avem un monomial 7, atunci acesta va avea gradul zero, deoarece nu există variabile în el și este diferit de 0. Și iată intrarea 7 a 2 x y 3 a 2 va fi un monomial de gradul 8, deoarece suma exponenților tuturor gradelor variabilelor incluse în acesta va fi egală cu 8: 2 + 1 + 3 + 2 = 8 .

Monomiul redus la forma standard și polinomul original vor avea același grad.

Exemplul 2

Să arătăm cum să calculăm gradul unui monom 3 x 2 y 3 x (- 2) x 5 y... În forma sa standard, poate fi scris ca - 6 x 8 y 4 ... Calculăm gradul: 8 + 4 = 12 ... Prin urmare, gradul polinomului original este, de asemenea, 12.

Conceptul coeficientului unui monom

Dacă avem un monomiu redus la o formă standard, care include cel puțin o variabilă, atunci vorbim despre el ca pe un produs cu un singur factor numeric. Acest factor se numește coeficient numeric sau coeficientul monomiului. Să notăm definiția.

Definiția 4

Coeficientul unui monomial este factorul numeric al unui monomial redus la o formă standard.

Luați, de exemplu, coeficienții diferitelor monomii.

Exemplul 3

Deci, în expresie 8 la 3 coeficientul va fi numărul 8 și în (- 2, 3) x y zei vor − 2 , 3 .

O atenție deosebită trebuie acordată coeficienților egali cu unul și minus unul. De regulă, acestea nu sunt indicate în mod explicit. Se crede că într-un monomiu de formă standard, în care nu există factor numeric, coeficientul este egal cu 1, de exemplu, în expresiile a, x z 3, a t x, deoarece pot fi considerate ca 1 a, x z 3 - la fel de 1 x z 3 etc.

La fel, în monomiile care nu au un factor numeric și încep cu un semn minus, putem considera coeficientul - 1.

Exemplul 4

De exemplu, expresiile - x, - x 3 y z 3 vor avea un astfel de coeficient, deoarece pot fi reprezentate ca - x \u003d (- 1) x, - x 3 y z 3 \u003d (- 1) x 3 y z 3 etc.

Dacă un monomiu nu are deloc un singur factor de literă, atunci putem vorbi despre un coeficient și în acest caz. Coeficienții acestor numere monomiale sunt numerele în sine. Deci, de exemplu, coeficientul unui monomial 9 va fi 9.

Dacă observați o eroare în text, selectați-l și apăsați Ctrl + Enter

Lecție pe tema: "Forma standard a unui monomiu. Definiție. Exemple"

Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să vă lăsați comentariile, recenziile, dorințele. Toate materialele au fost verificate de un program antivirus.

Mijloace de învățământ și simulatoare în magazinul online „Integral” pentru clasa a 7-a
Ghid electronic de studiu „Geometrie clară” pentru clasele 7-9
Ghid de studiu multimedia „Geometria în 10 minute” pentru clasele 7-9

Monomial. Definiție

Monomial este o expresie matematică care este produsul unui factor prim și a uneia sau mai multor variabile.

Monomiile includ toate numerele, variabilele, gradele lor cu un exponent natural:
42; 3; 0; 6 2; 2 3; b 3; toporul 4; 4x 3; 5a 2; 12xyz 3.

Este adesea dificil să se determine dacă o anumită expresie matematică se referă la un monomiu sau nu. De exemplu, $ \\ frac (4a ^ 3) (5) $. Este monom sau nu? Pentru a răspunde la această întrebare este necesar să simplificați expresia, adică reprezentați sub forma: $ \\ frac (4) (5) * a ^ 3 $.
Putem spune cu siguranță că această expresie este un monom.

Tipul standard de monomiu

Atunci când calculați, este de dorit să aduceți monomiul într-o formă standard. Aceasta este cea mai concisă și mai ușoară notație pentru un monom.

Ordinea de reducere a monomiului la forma standard este următoarea:
1. Înmulțiți coeficienții monomiului (sau factorilor numerici) și plasați rezultatul pe primul loc.
2. Selectați toate gradele cu aceeași literă de bază și multiplicați-le.
3. Repetați pasul 2 pentru toate variabilele.

Exemple.
I. Reduceți monomiul dat $ 3x ^ 2zy ^ 3 * 5y ^ 2z ^ 4 $ la forma standard.

Decizie.
1. Înmulțiți coeficienții monomiului $ 15x ^ 2y ^ 3z * y ^ 2z ^ 4 $.
2. Acum oferim termeni similari $ 15x ^ 2y ^ 5z ^ 5 $.

II. Reduceți monomiul dat $ 5a ^ 2b ^ 3 * \\ frac (2) (7) a ^ 3b ^ 2c $ la forma standard.

Decizie.
1. Să înmulțim coeficienții monomiului $ \\ frac (10) (7) a ^ 2b ^ 3 * a ^ 3b ^ 2c $.
2. Acum dăm termeni similari $ \\ frac (10) (7) a ^ 5b ^ 5c $.