Pătrat ur. Ecuații pătratice. Rezolvarea ecuațiilor pătratice complete. Ecuații pătratice reduse și nereduse

Sper că, după studierea acestui articol, veți învăța cum să găsiți rădăcinile unei ecuații pătratice complete.

Cu ajutorul discriminantului, se rezolvă doar ecuațiile pătratice complete; se utilizează alte metode pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete, pe care le veți găsi în articolul „Rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete”.

Ce ecuații pătratice se numesc complete? aceasta ecuații de forma ax 2 + b x + c \u003d 0unde coeficienții a, b și c nu sunt egali cu zero. Deci, pentru a rezolva ecuația pătratică completă, trebuie să calculați D-ul discriminant.

D \u003d b 2 - 4ac.

În funcție de ce valoare are discriminantul, vom nota răspunsul.

Dacă discriminantul este negativ (D< 0),то корней нет.

Dacă discriminantul este zero, atunci x \u003d (-b) / 2a. Când discriminantul este un număr pozitiv (D\u003e 0),

apoi x 1 \u003d (-b - √D) / 2a și x 2 \u003d (-b + √D) / 2a.

De exemplu. Rezolvați ecuația x 2 - 4x + 4 \u003d 0.

D \u003d 4 2 - 4 4 \u003d 0

x \u003d (- (-4)) / 2 \u003d 2

Răspuns: 2.

Rezolvați ecuația 2 x 2 + x + 3 \u003d 0.

D \u003d 1 2 - 4 2 3 \u003d - 23

Răspuns: fără rădăcini.

Rezolvați ecuația 2 x 2 + 5x - 7 \u003d 0.

D \u003d 5 2 - 4 · 2 · (–7) \u003d 81

x 1 \u003d (-5 - √81) / (2 2) \u003d (-5 - 9) / 4 \u003d - 3.5

x 2 \u003d (-5 + √81) / (2 2) \u003d (-5 + 9) / 4 \u003d 1

Răspuns: - 3,5; 1.

Deci, să reprezentăm soluția ecuațiilor pătratice complete prin schema din Figura 1.

Orice ecuație pătratică completă poate fi rezolvată folosind aceste formule. Trebuie doar să fii atent pentru a te asigura de asta ecuația a fost scrisă ca un polinom standard

și x 2 + bx + c, în caz contrar, puteți face o greșeală. De exemplu, scriind ecuația x + 3 + 2x 2 \u003d 0, puteți decide în mod eronat asta

a \u003d 1, b \u003d 3 și c \u003d 2. Apoi

D \u003d 3 2 - 4 · 1 · 2 \u003d 1 și atunci ecuația are două rădăcini. Și acest lucru nu este adevărat. (A se vedea soluția la exemplul 2 de mai sus).

Prin urmare, dacă ecuația nu este scrisă ca polinom al formei standard, mai întâi ecuația pătratică completă trebuie scrisă ca polinom al formei standard (în primul rând ar trebui să fie monomiul cu cel mai mare exponent, adică și x 2 , apoi cu mai puțin – bxși apoi un membru liber din.

Când se rezolvă ecuația pătratică redusă și o ecuație pătratică cu un coeficient egal la al doilea termen, pot fi folosite și alte formule. Să facem cunoștință cu aceste formule. Dacă în ecuația pătratică completă pentru al doilea termen, coeficientul este egal (b \u003d 2k), atunci ecuația poate fi rezolvată folosind formulele prezentate în diagrama din Figura 2.

O ecuație pătratică completă se numește redusă dacă coeficientul la x 2 este egal cu unul și ecuația ia forma x 2 + px + q \u003d 0... O astfel de ecuație poate fi dată pentru soluție sau se obține prin împărțirea tuturor coeficienților ecuației la coeficientul șistând la x 2 .

Figura 3 prezintă o schemă pentru rezolvarea pătratului redus
ecuații. Să vedem un exemplu de aplicare a formulelor discutate în acest articol.

Exemplu. Rezolvați ecuația

3x 2 + 6x - 6 \u003d 0.

Să rezolvăm această ecuație folosind formulele prezentate în diagrama din Figura 1.

D \u003d 6 2 - 4 3 (- 6) \u003d 36 + 72 \u003d 108

√D \u003d √108 \u003d √ (363) \u003d 6√3

x 1 \u003d (-6 - 6√3) / (2 3) \u003d (6 (-1- √ (3))) / 6 \u003d –1 - √3

x 2 \u003d (-6 + 6√3) / (2 3) \u003d (6 (-1+ √ (3))) / 6 \u003d –1 + √3

Răspuns: -1 - √3; –1 + √3

Se poate observa că coeficientul la x în această ecuație este un număr par, adică b \u003d 6 sau b \u003d 2k, de unde k \u003d 3. Apoi vom încerca să rezolvăm ecuația conform formulelor prezentate în diagrama figurii D 1 \u003d 3 2 - 3 · (- 6 ) \u003d 9 + 18 \u003d 27

√ (D 1) \u003d √27 \u003d √ (9 3) \u003d 3√3

x 1 \u003d (-3 - 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 - √ (3))) / 3 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 + √ (3))) / 3 \u003d - 1 + √3

Răspuns: -1 - √3; –1 + √3... Observând că toți coeficienții acestei ecuații pătratice sunt împărțiți la 3 și efectuând diviziune, obținem ecuația pătratică redusă x 2 + 2x - 2 \u003d 0 Rezolvați această ecuație folosind formulele pentru pătraticul redus
figura de ecuație 3.

D 2 \u003d 2 2 - 4 (- 2) \u003d 4 + 8 \u003d 12

√ (D 2) \u003d √12 \u003d √ (4 3) \u003d 2√3

x 1 \u003d (-2 - 2√3) / 2 \u003d (2 (-1 - √ (3))) / 2 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-2 + 2√3) / 2 \u003d (2 (-1+ √ (3))) / 2 \u003d - 1 + √3

Răspuns: -1 - √3; –1 + √3.

După cum puteți vedea, atunci când rezolvăm această ecuație folosind diferite formule, am obținut același răspuns. Prin urmare, după ce ați însușit bine formulele prezentate în diagrama din Figura 1, puteți rezolva oricând orice ecuație pătratică completă.

site-ul, cu copierea completă sau parțială a materialului, este necesar un link către sursă.

Continuăm să studiem tema „ rezolvarea ecuațiilor". Ne-am întâlnit deja cu ecuații liniare și mergem mai departe pentru a ne familiariza cu ecuații pătratice.

În primul rând, vom analiza ce este o ecuație pătratică, cum este scrisă în formă generală și vom da definiții conexe. După aceea, folosind exemple, vom analiza în detaliu modul în care sunt rezolvate ecuațiile pătratice incomplete. Apoi trecem la rezolvarea ecuațiilor complete, obținem formula rădăcinilor, ne familiarizăm cu discriminantul ecuației pătratice și luăm în considerare soluțiile exemplelor tipice. În cele din urmă, să urmărim relația dintre rădăcini și coeficienți.

Navigare în pagină.

Ce este o ecuație pătratică? Tipurile lor

Mai întâi trebuie să înțelegeți clar ce este o ecuație pătratică. Prin urmare, este logic să începem să vorbim despre ecuații pătratice cu definiția unei ecuații pătratice, precum și definițiile asociate cu aceasta. După aceea, puteți lua în considerare principalele tipuri de ecuații pătratice: reduse și nereduse, precum și ecuații complete și incomplete.

Definiție și exemple de ecuații pătratice

Definiție.

Ecuația pătratică Este o ecuație a formei a x 2 + b x + c \u003d 0 , unde x este o variabilă, a, b și c sunt niște numere, iar a este diferită de zero.

Să spunem imediat că ecuațiile pătratice sunt adesea numite ecuații de gradul al doilea. Acest lucru se datorează faptului că ecuația pătratică este ecuație algebrică gradul II.

Definiția sunetată ne permite să oferim exemple de ecuații pătratice. Deci 2 x 2 + 6 x + 1 \u003d 0, 0,2 x 2 + 2,5 x + 0,03 \u003d 0 etc. Sunt ecuații pătratice.

Definiție.

Numere a, b și c se numesc coeficienții ecuației pătratice a x 2 + b x + c \u003d 0, iar coeficientul a se numește primul, sau cel mai mare, sau coeficientul la x 2, b este al doilea coeficient, sau coeficientul la x, și c este termenul liber.

De exemplu, să luăm o ecuație pătratică de forma 5 x 2 −2 x - 3 \u003d 0, aici coeficientul principal este 5, al doilea coeficient este −2, iar interceptarea este −3. Rețineți că atunci când coeficienții b și / sau c sunt negativi, ca în exemplul dat, forma scurtă a ecuației pătratice este 5 x 2 −2 x - 3 \u003d 0, nu 5 x 2 + (- 2 ) X + (- 3) \u003d 0.

Trebuie remarcat faptul că, atunci când coeficienții a și / sau b sunt egali cu 1 sau -1, atunci de obicei nu sunt prezenți în mod explicit în ecuația pătratică, care se datorează particularităților de scriere a acestora. De exemplu, într-o ecuație pătratică y 2 −y + 3 \u003d 0, coeficientul principal este unul, iar coeficientul la y este −1.

Ecuații pătratice reduse și nereduse

Ecuațiile pătratice reduse și non-reduse se disting în funcție de valoarea coeficientului principal. Să dăm definițiile corespunzătoare.

Definiție.

O ecuație pătratică în care coeficientul principal este 1 se numește ecuație pătratică redusă... În caz contrar, ecuația pătratică este neredus.

Conform această definiție, ecuații pătratice x 2 −3 x + 1 \u003d 0, x 2 −x - 2/3 \u003d 0 etc. - dat, în fiecare dintre ele primul coeficient este egal cu unul. Și 5 x 2 −x - 1 \u003d 0 etc. - ecuații pătratice nereduse, coeficienții lor de conducere sunt diferiți de 1.

Din orice ecuație pătratică neredusă, împărțind ambele părți ale acesteia la coeficientul principal, puteți merge la cea redusă. Această acțiune este o transformare echivalentă, adică ecuația pătratică redusă obținută în acest mod are aceleași rădăcini ca și ecuația pătratică neredusă inițială sau, ca și ea, nu are rădăcini.

Să analizăm prin exemplu cum se efectuează tranziția de la o ecuație pătratică neredusă la una redusă.

Exemplu.

Din ecuația 3 x 2 + 12 x - 7 \u003d 0, mergeți la ecuația pătratică redusă corespunzătoare.

Decizie.

Este suficient pentru noi să împărțim ambele părți ale ecuației inițiale la factorul principal 3, este diferit de zero, deci putem efectua această acțiune. Avem (3 x 2 + 12 x - 7): 3 \u003d 0: 3, care este același, (3 x 2): 3+ (12 x): 3-7: 3 \u003d 0 și mai mult (3: 3) x 2 + (12: 3) x - 7: 3 \u003d 0, de unde. Deci am obținut ecuația pătratică redusă, care este echivalentă cu cea originală.

Răspuns:

Ecuații pătratice complete și incomplete

Definiția unei ecuații pătratice conține condiția a ≠ 0. Această condiție este necesară pentru ca ecuația a x 2 + b x + c \u003d 0 să fie exact pătratică, deoarece la a \u003d 0 devine de fapt o ecuație liniară de forma b x + c \u003d 0.

În ceea ce privește coeficienții b și c, aceștia pot fi egali cu zero, atât separat, cât și împreună. În aceste cazuri, ecuația pătratică se numește incompletă.

Definiție.

Ecuația pătratică a x 2 + b x + c \u003d 0 se numește incompletdacă cel puțin unul dintre coeficienții b, c este egal cu zero.

La randul lui

Definiție.

Ecuație pătratică completă Este o ecuație în care toți coeficienții sunt diferiți de zero.

Aceste nume nu sunt date întâmplător. Acest lucru va deveni clar din următoarele considerații.

Dacă coeficientul b este egal cu zero, atunci ecuația pătratică ia forma a x 2 + 0 x + c \u003d 0 și este echivalentă cu ecuația a x 2 + c \u003d 0. Dacă c \u003d 0, adică ecuația pătratică are forma a x 2 + b x + 0 \u003d 0, atunci poate fi rescrisă ca a x 2 + b x \u003d 0. Și cu b \u003d 0 și c \u003d 0, obținem ecuația pătratică a · x 2 \u003d 0. Ecuațiile rezultate diferă de ecuația pătratică completă prin faptul că laturile lor din stânga nu conțin nici un termen cu variabilă x, nici un termen liber, sau ambele. De aici și numele lor - ecuații pătratice incomplete.

Deci ecuațiile x 2 + x + 1 \u003d 0 și −2 x 2 −5 x + 0.2 \u003d 0 sunt exemple de ecuații pătratice complete și x 2 \u003d 0, −2 x 2 \u003d 0.5 x 2 + 3 \u003d 0, −x 2 −5 · x \u003d 0 sunt ecuații pătratice incomplete.

Rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete

Din informațiile din paragraful anterior rezultă că există trei tipuri de ecuații pătratice incomplete:

• a x 2 \u003d 0, coeficienții b \u003d 0 și c \u003d 0 îi corespund;
• a x 2 + c \u003d 0 când b \u003d 0;
• și a x 2 + b x \u003d 0 când c \u003d 0.

Să analizăm în modul în care sunt rezolvate ecuațiile pătratice incomplete ale fiecăruia dintre aceste tipuri.

a x 2 \u003d 0

Să începem prin rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete în care coeficienții b și c sunt egali cu zero, adică cu ecuații de forma a · x 2 \u003d 0. Ecuația a · x 2 \u003d 0 este echivalentă cu ecuația x 2 \u003d 0, care se obține din original prin împărțirea ambelor părți la un număr nenul a. Evident, rădăcina ecuației x 2 \u003d 0 este zero, deoarece 0 2 \u003d 0. Această ecuație nu are alte rădăcini, ceea ce se explică, într-adevăr, pentru orice număr nenul p, se menține inegalitatea p 2\u003e 0, de unde rezultă că pentru p ≠ 0 egalitatea p 2 \u003d 0 nu este niciodată atinsă.

Deci, ecuația pătratică incompletă a · x 2 \u003d 0 are o singură rădăcină x \u003d 0.

De exemplu, să dăm soluția ecuației pătratice incomplete −4 · x 2 \u003d 0. Ecuația x 2 \u003d 0 este echivalentă cu aceasta, singura sa rădăcină este x \u003d 0, prin urmare, ecuația inițială are și o rădăcină zero unică.

O soluție scurtă în acest caz poate fi formulată după cum urmează:
−4 x 2 \u003d 0,
x 2 \u003d 0,
x \u003d 0.

a x 2 + c \u003d 0

Să analizăm acum cum sunt rezolvate ecuațiile pătratice incomplete, în care coeficientul b este zero și c ≠ 0, adică ecuațiile de forma a · x 2 + c \u003d 0. Știm că transferul unui termen dintr-o parte a ecuației în alta cu semnul opus, precum și împărțirea ambelor părți ale ecuației cu un număr diferit de zero, dau o ecuație echivalentă. Prin urmare, putem efectua următoarele transformări echivalente ale ecuației pătratice incomplete a x 2 + c \u003d 0:

• mutați c în partea dreaptă, ceea ce dă ecuația 2 \u003d −c,
• și împărțim ambele părți la a, obținem.

Ecuația rezultată ne permite să tragem concluzii despre rădăcinile sale. În funcție de valorile lui a și c, valoarea expresiei poate fi negativă (de exemplu, dacă a \u003d 1 și c \u003d 2, atunci) sau pozitivă (de exemplu, dacă a \u003d −2 și c \u003d 6, atunci), nu este egală cu zero , deoarece prin condiția c ≠ 0. Să examinăm separat cazurile și.

Dacă, atunci ecuația nu are rădăcini. Această afirmație rezultă din faptul că pătratul oricărui număr este un număr non-negativ. Rezultă din aceasta că atunci când, atunci pentru orice număr p, egalitatea nu poate fi adevărată.

Dacă, atunci situația cu rădăcinile ecuației este diferită. În acest caz, dacă vă amintiți despre, atunci rădăcina ecuației devine imediat evidentă, este un număr, deoarece. Este ușor de ghicit că numărul este, de asemenea, rădăcina ecuației. Această ecuație nu are alte rădăcini, ceea ce poate fi demonstrat, de exemplu, prin contradicție. S-o facem.

Să denotăm rădăcinile ecuației tocmai exprimate ca x 1 și −x 1. Să presupunem că ecuația are încă o rădăcină x 2 diferită de rădăcinile indicate x 1 și −x 1. Se știe că înlocuirea rădăcinilor sale într-o ecuație în loc de x transformă ecuația într-o adevărată egalitate numerică. Pentru x 1 și −x 1 avem, iar pentru x 2 avem. Proprietățile egalităților numerice ne permit să realizăm scăderea la termen a egalităților numerice adevărate, deci scăderea părților corespunzătoare ale egalităților dă x 1 2 - x 2 2 \u003d 0. Proprietățile acțiunilor cu numere vă permit să rescrieți egalitatea rezultată ca (x 1 - x 2) · (x 1 + x 2) \u003d 0. Știm că produsul a două numere este egal cu zero dacă și numai dacă cel puțin unul dintre ele este egal cu zero. Prin urmare, din egalitatea obținută rezultă că x 1 - x 2 \u003d 0 și / sau x 1 + x 2 \u003d 0, care este același, x 2 \u003d x 1 și / sau x 2 \u003d −x 1. Așa am ajuns la o contradicție, deoarece la început am spus că rădăcina ecuației x 2 este diferită de x 1 și −x 1. Acest lucru demonstrează că ecuația nu are alte rădăcini decât și.

Să rezumăm informațiile acestui articol. Ecuația pătratică incompletă a x 2 + c \u003d 0 este echivalentă cu ecuația care

• nu are rădăcini dacă,
• are două rădăcini și, dacă.

Luați în considerare exemple de rezolvare a ecuațiilor pătratice incomplete de forma a · x 2 + c \u003d 0.

Să începem cu ecuația pătratică 9 x 2 + 7 \u003d 0. După transferul termenului liber în partea dreaptă a ecuației, acesta va lua forma 9 · x 2 \u003d −7. Împărțind ambele părți ale ecuației rezultate cu 9, ajungem la. Deoarece există un număr negativ pe partea dreaptă, această ecuație nu are rădăcini, prin urmare, ecuația pătratică incompletă originală 9 · x 2 + 7 \u003d 0 nu are rădăcini.

Rezolvați o altă ecuație pătratică incompletă −x 2 + 9 \u003d 0. Mutați cele nouă spre dreapta: −x 2 \u003d −9. Acum împărțim ambele părți la -1, obținem x 2 \u003d 9. În partea dreaptă există un număr pozitiv, din care concluzionăm că sau. Apoi notăm răspunsul final: ecuația pătratică incompletă −x 2 + 9 \u003d 0 are două rădăcini x \u003d 3 sau x \u003d −3.

a x 2 + b x \u003d 0

Rămâne să ne ocupăm de soluția ultimului tip de ecuații pătratice incomplete pentru c \u003d 0. Ecuațiile pătratice incomplete ale formei a x 2 + b x \u003d 0 vă permit să rezolvați metoda de factorizare... Evident, putem, situate în partea stângă a ecuației, pentru care este suficient să calculăm factorul comun x. Acest lucru ne permite să trecem de la ecuația pătratică incompletă originală la o ecuație echivalentă de forma x · (a · x + b) \u003d 0. Și această ecuație este echivalentă cu un set de două ecuații x \u003d 0 și a x + b \u003d 0, ultima dintre care este liniară și are o rădăcină x \u003d −b / a.

Deci, ecuația pătratică incompletă a x 2 + b x \u003d 0 are două rădăcini x \u003d 0 și x \u003d −b / a.

Pentru consolidarea materialului, vom analiza soluția unui exemplu specific.

Exemplu.

Rezolvați ecuația.

Decizie.

Mutarea x din paranteze dă ecuația. Este echivalent cu două ecuații x \u003d 0 și. Rezolvăm cele primite ecuație liniară:, și după împărțirea numărului mixt la o fracție obișnuită, găsim. Prin urmare, rădăcinile ecuației inițiale sunt x \u003d 0 și.

După obținerea practicii necesare, soluțiile la astfel de ecuații pot fi scrise pe scurt:

Răspuns:

x \u003d 0 ,.

Discriminant, formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice

Există o formulă rădăcină pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice. Hai să scriem formula pătratică:, Unde D \u003d b 2 −4 a c - așa-zisul discriminant pătratic... Notarea înseamnă în esență că.

Este util să știm cum a fost obținută formula rădăcinii și cum se aplică atunci când găsim rădăcinile ecuațiilor pătratice. Să ne dăm seama.

Derivarea formulei pentru rădăcinile unei ecuații pătratice

Să presupunem că trebuie să rezolvăm ecuația pătratică a x 2 + b x + c \u003d 0. Să efectuăm câteva transformări echivalente:

• Putem împărți ambele părți ale acestei ecuații cu un număr nenul a, ca rezultat obținem ecuația pătratică redusă.
• Acum selectați un pătrat complet pe partea stângă :. După aceea, ecuația va lua forma.
• În această etapă, este posibil să se efectueze transferul ultimilor doi termeni în partea dreaptă cu semnul opus, avem.
• Și, de asemenea, transformăm expresia din partea dreaptă :.

Ca rezultat, ajungem la o ecuație care este echivalentă cu ecuația pătratică originală a x 2 + b x + c \u003d 0.

Am rezolvat deja ecuații similare în formă în paragrafele anterioare, când le-am analizat. Acest lucru ne permite să tragem următoarele concluzii cu privire la rădăcinile ecuației:

• dacă, atunci ecuația nu are soluții reale;
• dacă, atunci ecuația are forma, prin urmare, de unde este vizibilă singura sa rădăcină;
• dacă, atunci sau, care este același sau, adică ecuația are două rădăcini.

Astfel, prezența sau absența rădăcinilor ecuației și, prin urmare, ecuația pătratică originală, depinde de semnul expresiei din partea dreaptă. La rândul său, semnul acestei expresii este determinat de semnul numărătorului, deoarece numitorul 4 · a 2 este întotdeauna pozitiv, adică semnul expresiei b 2 −4 · a · c. Această expresie b 2 −4 a c a fost numită discriminantul ecuației pătratice și marcat cu litera D... Din aceasta, esența discriminantului este clară - prin valoarea și semnul său, se concluzionează dacă ecuația pătratică are rădăcini reale și, dacă da, care este numărul lor - una sau două.

Revenind la ecuație, rescrieți-o folosind notația discriminantă :. Și tragem concluzii:

• dacă D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• dacă D \u003d 0, atunci această ecuație are o singură rădăcină;
• în cele din urmă, dacă D\u003e 0, atunci ecuația are două rădăcini sau, care, în virtutea lor, pot fi rescrise sub forma sau și, după extinderea și reducerea fracțiilor la un numitor comun, obținem.

Deci, am derivat formule pentru rădăcinile unei ecuații pătratice, acestea având forma, unde discriminantul D este calculat prin formula D \u003d b 2 −4 · a · c.

Cu ajutorul lor, cu un discriminant pozitiv, puteți calcula ambele rădăcini reale ale ecuației pătratice. Când discriminantul este egal cu zero, ambele formule dau aceeași valoare rădăcină corespunzătoare unei soluții unice ecuației pătratice. Și cu un discriminant negativ, atunci când încercăm să folosim formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice, ne confruntăm cu extracția rădăcină pătrată dintr-un număr negativ, care ne duce dincolo și curiculumul scolar... Cu discriminant negativ, ecuația pătratică nu are rădăcini reale, ci are o pereche conjugare complexa rădăcini, care pot fi găsite folosind aceleași formule de rădăcină pe care le-am obținut.

Algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice folosind formule de rădăcină

În practică, atunci când rezolvați ecuații pătratice, puteți utiliza imediat formula rădăcină, cu care le puteți calcula valorile. Dar aceasta este mai mult despre găsirea rădăcinilor complexe.

Cu toate acestea, în cursul de algebră școlară, de obicei nu este vorba despre complexe, ci despre rădăcini reale ale unei ecuații pătratice. În acest caz, este recomandabil să găsiți mai întâi discriminantul înainte de a utiliza formulele pentru rădăcinile ecuației pătratice, asigurați-vă că nu este negativă (în caz contrar, putem concluziona că ecuația nu are rădăcini reale) și numai după aceea calculați valorile rădăcinilor.

Raționamentul de mai sus ne permite să scriem rezolvator de ecuații pătratice... Pentru a rezolva ecuația pătratică a x 2 + b x + c \u003d 0, aveți nevoie de:

• după formula discriminantă D \u003d b 2 −4 · a · c calculați valoarea acestuia;
• concluzionează că ecuația pătratică nu are rădăcini reale dacă discriminantul este negativ;
• calculați singura rădăcină a ecuației după formula dacă D \u003d 0;
• găsiți două rădăcini reale ale unei ecuații pătratice folosind formula rădăcinii dacă discriminantul este pozitiv.

Aici observăm doar că, dacă discriminantul este egal cu zero, se poate folosi și formula, va da aceeași valoare ca.

Puteți trece la exemple de utilizare a algoritmului pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice.

Exemple de rezolvare a ecuațiilor pătratice

Luați în considerare soluțiile la trei ecuații pătratice cu discriminanți pozitivi, negativi și zero. Având în vedere soluția lor, prin analogie va fi posibil să se rezolve orice altă ecuație pătratică. Să începem.

Exemplu.

Găsiți rădăcinile ecuației x 2 + 2 x - 6 \u003d 0.

Decizie.

În acest caz, avem următorii coeficienți ai ecuației pătratice: a \u003d 1, b \u003d 2 și c \u003d −6. Conform algoritmului, mai întâi trebuie să calculați discriminantul, pentru aceasta înlocuim indicele a, b și c în formula discriminantă, avem D \u003d b 2 −4 a c \u003d 2 2 −4 1 (−6) \u003d 4 + 24 \u003d 28... Deoarece 28\u003e 0, adică discriminantul este mai mare decât zero, ecuația pătratică are două rădăcini reale. Le găsim după formula rădăcină, obținem, aici puteți simplifica expresiile obținute luând în considerare semnul rădăcinii cu reducerea ulterioară a fracției:

Răspuns:

Să trecem la următorul exemplu tipic.

Exemplu.

Rezolvați ecuația pătratică −4x2 + 28x - 49 \u003d 0.

Decizie.

Începem prin a găsi discriminantul: D \u003d 28 2 −4 (−4) (−49) \u003d 784−784 \u003d 0... Prin urmare, această ecuație pătratică are o singură rădăcină, pe care o găsim ca, adică

Răspuns:

x \u003d 3,5.

Rămâne să luăm în considerare soluția ecuațiilor pătratice cu discriminant negativ.

Exemplu.

Rezolvați ecuația 5 y 2 + 6 y + 2 \u003d 0.

Decizie.

Iată coeficienții ecuației pătratice: a \u003d 5, b \u003d 6 și c \u003d 2. Înlocuind aceste valori în formula discriminantă, avem D \u003d b 2 −4 a c \u003d 6 2 −4 5 2 \u003d 36−40 \u003d −4... Discriminantul este negativ, prin urmare, această ecuație pătratică nu are rădăcini reale.

Dacă trebuie să indicați rădăcini complexe, atunci aplicăm formula binecunoscută pentru rădăcinile ecuației pătratice și performăm operații de număr complex:

Răspuns:

nu există rădăcini reale, rădăcinile complexe sunt după cum urmează :.

Încă o dată, observăm că, dacă discriminantul ecuației pătratice este negativ, atunci la școală, de obicei, notează imediat un răspuns în care indică faptul că nu există rădăcini reale și că nu se găsesc rădăcini complexe.

Formula rădăcină pentru coeficienți secundari chiar

Formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice, unde D \u003d b 2 −4 a c, face posibilă obținerea unei formule cu o formă mai compactă care permite rezolvarea ecuațiilor pătratice cu un coeficient egal la x (sau pur și simplu cu un coeficient având forma 2 n, de exemplu, sau 14 ln5 \u003d 2 7 ln5). Să o scoatem.

Să presupunem că trebuie să rezolvăm o ecuație pătratică de forma a x 2 + 2 n x + c \u003d 0. Să-i găsim rădăcinile folosind formula pe care o cunoaștem. Pentru a face acest lucru, calculați discriminantul D \u003d (2 n) 2 −4 a c \u003d 4 n 2 −4 a c \u003d 4 (n 2 −a c), și apoi utilizați formula rădăcină:

Să notăm expresia n 2 −a · c ca D 1 (uneori este notată cu D "). Atunci formula pentru rădăcinile ecuației pătratice considerate cu al doilea coeficient 2 n ia forma , unde D 1 \u003d n 2 - a · c.

Este ușor de văzut că D \u003d 4 · D 1 sau D 1 \u003d D / 4. Cu alte cuvinte, D 1 este a patra parte a discriminantului. Este clar că semnul lui D 1 este același cu semnul lui D. Adică, semnul lui D 1 este, de asemenea, un indicator al prezenței sau absenței rădăcinilor unei ecuații pătratice.

Deci, pentru a rezolva ecuația pătratică cu al doilea coeficient 2 n, aveți nevoie

• Calculați D 1 \u003d n 2 −a · c;
• Dacă D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Dacă D 1 \u003d 0, atunci calculați singura rădăcină a ecuației cu formula;
• Dacă D 1\u003e 0, atunci găsiți două rădăcini reale după formula.

Să luăm în considerare soluția unui exemplu folosind formula rădăcină obținută în acest paragraf.

Exemplu.

Rezolvați ecuația pătratică 5x2 −6x - 32 \u003d 0.

Decizie.

Al doilea coeficient al acestei ecuații poate fi reprezentat ca 2 · (−3). Adică, puteți rescrie ecuația pătratică originală sub forma 5 x 2 + 2 (−3) x - 32 \u003d 0, aici a \u003d 5, n \u003d −3 și c \u003d −32 și puteți calcula a patra parte a discriminantului: D 1 \u003d n 2 −a c \u003d (- 3) 2 −5 (−32) \u003d 9 + 160 \u003d 169... Deoarece valoarea sa este pozitivă, ecuația are două rădăcini reale. Să le găsim folosind formula rădăcină corespunzătoare:

Rețineți că a fost posibil să se utilizeze formula obișnuită pentru rădăcinile unei ecuații pătratice, dar în acest caz ar trebui să se facă mai multă muncă de calcul.

Răspuns:

Simplificarea ecuațiilor pătratice

Uneori, înainte de a începe calculul rădăcinilor unei ecuații pătratice prin formule, nu strică să puneți întrebarea: "Este posibil să simplificați forma acestei ecuații?" De acord că în ceea ce privește calculele va fi mai ușor să rezolvați ecuația pătratică 11 · x 2 −4 · x - 6 \u003d 0 decât 1100 · x 2 −400 · x - 600 \u003d 0.

De obicei, o simplificare a formei unei ecuații pătratice se realizează prin înmulțirea sau împărțirea ambelor părți ale acesteia cu un anumit număr. De exemplu, în paragraful anterior, am reușit să simplificăm ecuația 1100x2 −400x - 600 \u003d 0 împărțind ambele părți la 100.

O transformare similară se realizează cu ecuații pătratice, ai căror coeficienți nu sunt. În acest caz, ambele părți ale ecuației sunt de obicei împărțite la valori absolute coeficienții săi. De exemplu, să luăm ecuația pătratică 12 x 2 −42 x + 48 \u003d 0. valorile absolute ale coeficienților săi: GCD (12, 42, 48) \u003d GCD (GCD (12, 42), 48) \u003d GCD (6, 48) \u003d 6. Împărțind ambele fețe ale ecuației pătratice originale cu 6, ajungem la ecuația pătratică echivalentă 2 x 2 −7 x + 8 \u003d 0.

Și multiplicarea ambelor părți ale unei ecuații pătratice se face de obicei pentru a scăpa de coeficienții fracționari. În acest caz, înmulțirea este efectuată de numitorii coeficienților săi. De exemplu, dacă ambele părți ale ecuației pătratice sunt înmulțite cu LCM (6, 3, 1) \u003d 6, atunci va lua o formă mai simplă x 2 + 4 x - 18 \u003d 0.

În concluzia acestui punct, observăm că aproape întotdeauna scăpați de minus la coeficientul principal al ecuației pătratice, schimbând semnele tuturor termenilor, ceea ce corespunde multiplicării (sau împărțirii) ambelor părți cu -1. De exemplu, de obicei din ecuația pătratică −2x2 −3x + 7 \u003d 0 se trece la soluția 2x2 + 3x - 7 \u003d 0.

Relația dintre rădăcini și coeficienții unei ecuații pătratice

Formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice exprimă rădăcinile unei ecuații în ceea ce privește coeficienții acesteia. Pe baza formulei rădăcină, puteți obține alte dependențe între rădăcini și coeficienți.

Cele mai faimoase și aplicabile formule sunt din teorema formei Vieta și. În special, pentru ecuația pătratică dată, suma rădăcinilor este egală cu al doilea coeficient cu semnul opus, iar produsul rădăcinilor este egal cu termenul liber. De exemplu, prin forma ecuației pătratice 3 x 2 −7 x + 22 \u003d 0, putem spune imediat că suma rădăcinilor sale este 7/3, iar produsul rădăcinilor este 22/3.

Folosind formulele deja scrise, puteți obține o serie de alte relații între rădăcini și coeficienții ecuației pătratice. De exemplu, puteți exprima suma pătratelor rădăcinilor unei ecuații pătratice prin coeficienții săi :.

Lista de referinte.

• Algebră: studiu. pentru 8 cl. educatie generala. instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - ediția a XVI-a - M .: Educație, 2008. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• A. G. Mordkovich Algebră. clasa a 8-a. La ora 14:00 Partea 1. Manual pentru studenții instituțiilor de învățământ / A. G. Mordkovich. - ediția a XI-a, șters. - M.: Mnemozina, 2009 .-- 215 p.: Bolnav. ISBN 978-5-346-01155-2.

Doar. Prin formule și reguli clare și simple. În prima etapă

este necesar să se reducă ecuația dată la vedere standard, adică A se uita:

Dacă ecuația vi se oferă deja în acest formular, nu este necesar să faceți primul pas. Cel mai important lucru este corect

determinați toți coeficienții, și, b și c.

Formula pentru găsirea rădăcinilor unei ecuații pătratice.

O expresie sub semnul rădăcină se numește discriminant ... După cum puteți vedea, pentru a găsi x, noi

utilizare numai a, b și c. Acestea. coeficienți din ecuație pătratică... Doar înlocuiți cu atenție

sens a, b și c în această formulă și numără. Înlocuiți cu de către ei semne!

de exemplu, în ecuație:

și =1; b = 3; c = -4.

Înlocuiți valorile și scrieți:

Exemplul este aproape rezolvat:

Acesta este răspunsul.

Cele mai frecvente greșeli sunt confuzia cu semnele de semnificație. a, bși din... Mai degrabă, cu înlocuire

valori negative în formula de calcul a rădăcinilor. Aici o notare detaliată a formulei salvează

cu numere specifice. Dacă aveți probleme de calcul, faceți-o!

Să presupunem că trebuie să rezolvați acest exemplu:

Aici a = -6; b = -5; c = -1

Vopsim totul în detaliu, cu atenție, fără a pierde nimic cu toate semnele și parantezele:

Ecuațiile pătratice arată adesea ușor diferite. De exemplu, astfel:

Acum, ia act de cele mai bune practici care vor reduce dramatic erorile.

Prima recepție... Nu fi leneș înainte soluția ecuației pătratice aduceți-l la formularul standard.

Ce inseamna asta?

Să presupunem că, după orice transformare, ați obținut următoarea ecuație:

Nu vă grăbiți să scrieți formula rădăcină! Aproape sigur veți amesteca șansele. a, b și c.

Construiți exemplul corect. În primul rând, X este pătrat, apoi fără pătrat, apoi termenul liber. Asa:

Scapă de minus. Cum? Trebuie să multiplicați întreaga ecuație cu -1. Primim:

Dar acum puteți scrie în siguranță formula rădăcinilor, calculați discriminantul și completați exemplul.

Fă-o singur. Ar trebui să aveți rădăcinile 2 și -1.

Recepția în al doilea rând. Verificați rădăcinile! De teorema lui Vieta.

Pentru a rezolva ecuațiile pătratice date, adică dacă coeficientul

x 2 + bx + c \u003d 0,

apoi x 1 x 2 \u003d c

x 1 + x 2 \u003d -b

Pentru o ecuație pătratică completă în care a ≠ 1:

x 2 +bx +c=0,

împărțiți întreaga ecuație la și:

→ →

unde x 1 și x 2 - rădăcinile ecuației.

Primirea a treia... Dacă ecuația dvs. conține coeficienți fracționari, scăpați de fracțiuni! Multiplica

ecuația numitorului comun.

Ieșire. Sfaturi practice:

1. Înainte de rezolvare, aducem ecuația pătratică la forma standard, construim-o dreapta.

2. Dacă există un coeficient negativ în fața x-ului în pătrat, îl eliminăm înmulțind totalul

ecuații cu -1.

3. Dacă coeficienții sunt fracționari, eliminăm fracțiile înmulțind întreaga ecuație cu cea corespunzătoare

factor.

4. Dacă x pătrat este pur, coeficientul este egal cu unul, soluția poate fi ușor verificată de

Ecuații pătratice... Informatii generale.

ÎN pătratic X trebuie să fie prezent în pătrat (de aceea se numește

"Pătrat"). În plus față de el, ecuația poate fi sau nu doar x (în gradul I) și

doar un număr (membru liber). Și nu ar trebui să existe x-uri într-un grad mai mare de două.

Ecuație algebrică generală.

unde x - variabilă gratuită, a, b, c - coeficienți și a≠0 .

de exemplu:

Expresie numit trinom pătrat.

Elementele ecuației pătratice au nume proprii:

Numit primul sau cel mai mare coeficient,

Numit al doilea sau coeficient la,

· A sunat un membru gratuit.

Completați ecuația pătratică.

Aceste ecuații pătratice au un set complet de termeni în stânga. X pătrat cu

coeficient și, x la prima putere cu un coeficient b și liber membru din. ÎNtoate cotele

trebuie să fie diferit de zero.

Incomplet se numește ecuație pătratică în care cel puțin unul dintre coeficienți, cu excepția

cel mai mare (fie al doilea coeficient, fie termenul liber) este egal cu zero.

Să ne prefacem asta b \u003d 0, - x dispare în primul grad. Se pare, de exemplu:

2x 2 -6x \u003d 0,

Etc. Și dacă ambii coeficienți, b și c egal cu zero, atunci totul este și mai simplu, de exemplu:

2x 2 \u003d 0,

Rețineți că x pătratul este prezent în toate ecuațiile.

De ce și nu poate fi zero? Apoi x pătratul dispare și ecuația devine liniar .

Și se decide într-un mod complet diferit ...

O ecuație pătratică incompletă diferă de ecuațiile clasice (complete) prin faptul că factorii sau interceptarea ei sunt egali cu zero. Graficul acestor funcții sunt parabole. În funcție de aspectul lor general, acestea sunt împărțite în 3 grupe. Principiile rezolvării pentru toate tipurile de ecuații sunt aceleași.

Nu este nimic dificil în determinarea tipului unui polinom incomplet. Cel mai bine este să luați în considerare principalele diferențe folosind exemple ilustrative:

1. Dacă b \u003d 0, atunci ecuația este ax 2 + c \u003d 0.
2. Dacă c \u003d 0, atunci ar trebui rezolvată expresia ax 2 + bx \u003d 0.
3. Dacă b \u003d 0 și c \u003d 0, atunci polinomul devine o egalitate de tipul ax 2 \u003d 0.

Ultimul caz este mai mult o posibilitate teoretică și nu apare niciodată în sarcinile de testare a cunoștințelor, deoarece singura valoare validă a variabilei x din expresie este zero. În viitor, vor fi luate în considerare metodele și exemplele de rezolvare a tipurilor de ecuații pătratice incomplete 1) și 2).

Algoritm general pentru găsirea de variabile și exemple cu o soluție

Indiferent de tipul de ecuație, algoritmul soluției se reduce la următorii pași:

1. Aduceți expresia într-o formă convenabilă pentru găsirea rădăcinilor.
2. Efectuați calcule.
3. Înregistrați-vă răspunsul.

Cea mai ușoară modalitate de a rezolva ecuații incomplete este luând în considerare partea stângă și lăsând zero la dreapta. Astfel, formula pentru o ecuație pătratică incompletă pentru găsirea rădăcinilor se reduce la calcularea valorii lui x pentru fiecare dintre factori.

Puteți învăța cum să o rezolvați în practică, deci să luăm în considerare un exemplu specific de găsire a rădăcinilor unei ecuații incomplete:

După cum puteți vedea, în acest caz b \u003d 0. Factorizăm partea stângă și obținem expresia:

4 (x - 0,5) ⋅ (x + 0,5) \u003d 0.

Evident, produsul este zero atunci când cel puțin unul dintre factori este zero. Valorile variabilei x1 \u003d 0,5 și (sau) x2 \u003d -0,5 îndeplinesc aceste cerințe.

Pentru a face față cu ușurință și rapid problemei factorizării unui trinom pătrat în factori, ar trebui să vă amintiți următoarea formulă:

Dacă nu există un termen liber în expresie, sarcina este mult simplificată. Va fi suficient doar pentru a găsi și a scoate numitorul comun. Pentru claritate, luați în considerare un exemplu de rezolvare a ecuațiilor pătratice incomplete de forma ax2 + bx \u003d 0.

Să scoatem variabila x din paranteze și să obținem următoarea expresie:

x ⋅ (x + 3) \u003d 0.

Ghidați de logică, ajungem la concluzia că x1 \u003d 0 și x2 \u003d -3.

Soluție tradițională și ecuații pătratice incomplete

Ce se va întâmpla dacă aplicați formula discriminantă și încercați să găsiți rădăcinile polinomului, cu coeficienții egali cu zero? Să luăm un exemplu dintr-o colecție de sarcini tipice pentru examenul de matematică din 2017, să îl rezolvăm folosind formule standard și metoda de factorizare.

7x 2 - 3x \u003d 0.

Să calculăm valoarea discriminantului: D \u003d (-3) 2 - 4 ⋅ (-7) ⋅ 0 \u003d 9. Se pare că polinomul are două rădăcini:

Acum, să rezolvăm ecuația prin factorizare și să comparăm rezultatele.

X ⋅ (7x + 3) \u003d 0,

2) 7x + 3 \u003d 0,
7x \u003d -3,
x \u003d -.

După cum puteți vedea, ambele metode dau același rezultat, dar rezolvarea ecuației prin a doua metodă sa dovedit a fi mult mai ușoară și mai rapidă.

Teorema lui Vieta

Și ce să faci cu iubita teoremă Vieta? Poate fi utilizată această metodă cu un trinom incomplet? Să încercăm să înțelegem aspectele reducerii ecuațiilor incomplete la forma clasică ax2 + bx + c \u003d 0.

De fapt, este posibil să se aplice teorema lui Vieta în acest caz. Este necesar doar să aduceți expresia într-o formă generală, înlocuind membrii lipsă cu zero.

De exemplu, cu b \u003d 0 și a \u003d 1, pentru a elimina probabilitatea confuziei, sarcina trebuie scrisă în forma: ax2 + 0 + c \u003d 0. Apoi, raportul dintre suma și produsul rădăcinilor și factorii polinomului poate fi exprimat după cum urmează:

Calculele teoretice ajută la familiarizarea cu esența problemei și necesită întotdeauna practicarea abilităților în rezolvarea problemelor specifice. Să trecem din nou la cartea de referință a sarcinilor tipice pentru examen și să găsim un exemplu adecvat:

Să scriem expresia într-o formă convenabilă pentru aplicarea teoremei lui Vieta:

x 2 + 0 - 16 \u003d 0.

Următorul pas este crearea unui sistem de condiții:

Evident, rădăcinile unui polinom pătrat vor fi x 1 \u003d 4 și x 2 \u003d -4.

Acum, să practicăm aducerea ecuației la o formă generală. Luați următorul exemplu: 1/4 × x 2 - 1 \u003d 0

Pentru a aplica teorema lui Vieta la o expresie, este necesar să scăpați de fracțiune. Înmulțiți laturile stânga și dreapta cu 4 și priviți rezultatul: x2– 4 \u003d 0. Egalitatea rezultată este gata să fie rezolvată prin teorema lui Vieta, dar este mult mai ușor și mai rapid să obțineți răspunsul pur și simplu transferând c \u003d 4 în partea dreaptă a ecuației: x2 \u003d 4.

Rezumând, trebuie spus că cel mai bun mod de a rezolva ecuațiile incomplete este factorizarea, care este cea mai simplă și mai rapidă metodă. Dacă întâmpinați dificultăți în procesul de găsire a rădăcinilor, puteți apela la metoda tradițională de a găsi rădăcini prin discriminant.