Formula matriceală inversă de ordinul doi. Matricea inversă și proprietățile ei. Alegerea aproximării inițiale

Similar cu inversele în multe proprietăți.

YouTube enciclopedic

1 / 5

✪ Matrice inversă (2 moduri de a găsi)

✪ Cum să găsiți matricea inversă - bezbotvy

✪ Matrice inversă #1

✪ Rezolvarea sistemului de ecuații prin metoda matrice inversă- bezbotvy

✪ Matrice inversă

Subtitrări

Proprietățile matricei inverse

• det A - 1 = 1 det A (\displaystyle \det A^(-1)=(\frac (1)(\det A))), Unde det (\displaystyle \ \det ) denotă un determinant.
• (A B) - 1 = B - 1 A - 1 (\displaystyle \ (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1)) pentru două matrici inversabile pătrate A (\displaystyle A)și B (\displaystyle B).
• (A T) - 1 = (A - 1) T (\displaystyle \ (A^(T))^(-1)=(A^(-1))^(T)), Unde (. . .) T (\displaystyle (...)^(T)) denotă matricea transpusă.
• (k A) − 1 = k − 1 A − 1 (\displaystyle \ (kA)^(-1)=k^(-1)A^(-1)) pentru orice coeficient k ≠ 0 (\displaystyle k\nu =0).
• E - 1 = E (\displaystyle \ E^(-1)=E).
• Dacă este necesar să se rezolve un sistem de ecuații liniare, (b este un vector diferit de zero) unde x (\displaystyle x) este vectorul dorit, iar dacă A - 1 (\displaystyle A^(-1)) există, atunci x = A - 1 b (\displaystyle x=A^(-1)b). În caz contrar, fie dimensiunea spațiului soluției este mai mare decât zero, fie nu există deloc.

Modalități de a găsi matricea inversă

Dacă matricea este inversabilă, atunci pentru a găsi inversul matricei, puteți utiliza una dintre următoarele metode:

Metode exacte (directe).

metoda Gauss-Jordan

Să luăm două matrice: el însuși A si singura E. Să aducem matricea A la matricea de identitate prin metoda Gauss-Jordan aplicând transformări în rânduri (puteți aplica și transformări în coloane, dar nu într-un mix). După aplicarea fiecărei operații la prima matrice, aplicați aceeași operație la a doua. Când se finalizează reducerea primei matrice la forma de identitate, a doua matrice va fi egală cu A -1.

Când se folosește metoda Gauss, prima matrice va fi înmulțită de la stânga cu una dintre matricele elementare Λ i (\displaystyle \Lambda _(i))(transvecție sau diagonal matrice cu cele pe diagonala principală, cu excepția unei poziții):

Λ 1 ⋅ ⋯ ⋅ Λ n ⋅ A = Λ A = E ⇒ Λ = A - 1 (\displaystyle \Lambda _(1)\cdot \dots \cdot \Lambda _(n)\cdot A=\Lambda A=E \Rightarrow \Lambda =A^(-1)). Λ m = [ 1 … 0 − a 1 m / a m m 0 … 0 … 0 … 1 − a m − 1 m / a m m 0 … 0 0 … 0 1 / a m m 0 … 0 0 … 0 − a m + 1 m / a m m 1 … 0 … 0 … 0 − a n m / a m m 0 … 1 ] (\displaystyle \Lambda _(m)=(\begin(bmatrix)1&\dots &0&-a_(1m)/a_(mm)&0&\dots &0\\ &&&\dots &&&\\0&\dots &1&-a_(m-1m)/a_(mm)&0&\dots &0\\0&\dots &0&1/a_(mm)&0&\dots &0\\0&\dots &0&-a_( m+1m)/a_(mm)&1&\dots &0\\&&&\dots &&&\\0&\dots &0&-a_(nm)/a_(mm)&0&\dots &1\end(bmatrix))).

A doua matrice după aplicarea tuturor operațiilor va fi egală cu Λ (\displaystyle \Lambda ), adică va fi cea dorită. Complexitatea algoritmului - O(n 3) (\displaystyle O(n^(3))).

Folosind matricea adunărilor algebrice

Matrice Matrice inversă A (\displaystyle A), reprezintă sub formă

A - 1 = adj (A) det (A) (\displaystyle (A)^(-1)=(((\mbox(adj))(A)) \over (\det(A))))

Unde adj (A) (\displaystyle (\mbox(adj))(A))- matrice  atașată ;

Complexitatea algoritmului depinde de complexitatea algoritmului de calcul al determinantului O det și este egală cu O(n²) O det .

Folosind descompunerea LU/LUP

Ecuația matriceală A X = eu n (\displaystyle AX=I_(n)) pentru matrice inversă X (\displaystyle X) poate fi privit ca o colecție n (\displaystyle n) sisteme de formă A x = b (\displaystyle Ax=b). Denota i (\displaystyle i)-a coloană a matricei X (\displaystyle X) prin X i (\displaystyle X_(i)); apoi A X i = e i (\displaystyle AX_(i)=e_(i)), i = 1 , … , n (\displaystyle i=1,\ldots ,n),pentru că i (\displaystyle i)-a coloană a matricei eu n (\displaystyle I_(n)) este vectorul unitar e i (\displaystyle e_(i)). cu alte cuvinte, găsirea matricei inverse se reduce la rezolvarea n ecuații cu aceeași matrice și părți din dreapta diferite. După rularea expansiunii LUP (timp O(n³)), fiecare dintre ecuațiile n are nevoie de timp O(n²) pentru a se rezolva, astfel încât această parte a lucrării necesită și timp O(n³).

Dacă matricea A este nesingulară, atunci putem calcula descompunerea LUP pentru ea PA = L U (\displaystyle PA=LU). Lăsa PA = B (\displaystyle PA=B), B - 1 = D (\displaystyle B^(-1)=D). Apoi, din proprietățile matricei inverse, putem scrie: D = U − 1 L − 1 (\displaystyle D=U^(-1)L^(-1)). Dacă înmulțim această egalitate cu U și L, atunci putem obține două egalități de formă U D = L - 1 (\displaystyle UD=L^(-1))și D L = U - 1 (\displaystyle DL=U^(-1)). Prima dintre aceste egalități este un sistem de n² ecuatii lineare pentru n (n + 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n+1))(2))) dintre care se cunosc laturile din dreapta (din proprietăţile matricelor triunghiulare). Al doilea este, de asemenea, un sistem de n² ecuații liniare pentru n (n - 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n-1))(2))) dintre care se cunosc laturile din dreapta (tot din proprietatile matricelor triunghiulare). Împreună formează un sistem de n² egalități. Folosind aceste egalități, putem determina recursiv toate n² elemente ale matricei D. Apoi din egalitatea (PA) −1 = A −1 P −1 = B −1 = D. obținem egalitatea A - 1 = D P (\displaystyle A^(-1)=DP).

În cazul utilizării descompunerii LU, nu este necesară nicio permutare a coloanelor matricei D, dar soluția poate diverge chiar dacă matricea A este nesingulară.

Complexitatea algoritmului este O(n³).

Metode iterative

Metodele Schultz

( Ψ k = E - A U k , U k + 1 = U k ∑ i = 0 n Ψ k i (\displaystyle (\begin(cases)\Psi _(k)=E-AU_(k)),\\U_() k+1)=U_(k)\sum _(i=0)^(n)\Psi _(k)^(i)\end(cases)))

Estimarea erorii

Alegerea aproximării inițiale

Problema alegerii aproximării inițiale în procesele de inversare iterativă a matricei luate în considerare aici nu ne permite să le tratăm ca metode universale independente care concurează cu metodele de inversare directă bazate, de exemplu, pe descompunerea LU a matricelor. Există câteva recomandări pentru alegere U 0 (\displaystyle U_(0)), asigurând îndeplinirea condiţiei ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1} (raza spectrală a matricei este mai mică decât unitatea), ceea ce este necesar și suficient pentru convergența procesului. Totuși, în acest caz, în primul rând, este necesar să se cunoască de mai sus estimarea pentru spectrul matricei inversabile A sau a matricei A A T (\displaystyle AA^(T))(și anume, dacă A este o matrice definită pozitivă simetrică și ρ (A) ≤ β (\displaystyle \rho (A)\leq \beta), atunci poți lua U 0 = α E (\displaystyle U_(0)=(\alpha )E), Unde ; dacă A este o matrice nesingulară arbitrară și ρ (A A T) ≤ β (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq \beta), atunci să presupunem U 0 = α A T (\displaystyle U_(0)=(\alpha )A^(T)), unde de asemenea α ∈ (0 , 2 β) (\displaystyle \alpha \in \left(0,(\frac (2)(\beta ))\right)); Desigur, situația poate fi simplificată și, folosind faptul că ρ (A A T) ≤ k A A T k (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq (\mathcal (k))AA^(T)(\mathcal (k))), a pune U 0 = A T ‖ A A T ‖ (\displaystyle U_(0)=(\frac (A^(T))(\|AA^(T)\|)))). În al doilea rând, cu o astfel de specificare a matricei inițiale, nu există nicio garanție că ‖ Ψ 0 ‖ (\displaystyle \|\Psi _(0)\|) va fi mic (poate chiar ‖ Ψ 0 ‖ > 1 (\displaystyle \|\Psi _(0)\|>1)), iar o rată de convergență de ordin ridicat nu va fi imediat evidentă.

Exemple

Matrice 2x2

Nu se poate analiza expresia (eroare de sintaxă): (\displaystyle \mathbf(A)^(-1) = \begin(bmatrix) a & b \\ c & d \\ \end(bmatrix)^(-1) = \ frac (1)(\det(\mathbf(A))) \begin& \!\!-b \\ -c & \,a \\ \end(bmatrix) = \frac(1)(ad - bc) \ începe (bmatrix) \,\,\,d & \!\!-b\\ -c & \,a \\ \end(bmatrix).)

Inversarea unei matrice 2x2 este posibilă numai cu condiția ca a d - b c = det A ≠ 0 (\displaystyle ad-bc=\det A\neq 0).

Să existe o matrice pătrată de ordinul al n-lea

Se numește matricea A -1 matrice inversăîn raport cu matricea A, dacă A * A -1 = E, unde E este matricea de identitate de ordinul al n-lea.

Matrice de identitate- o astfel de matrice pătrată, în care toate elementele de-a lungul diagonalei principale, care trec din colțul din stânga sus în colțul din dreapta jos, sunt unul, iar restul sunt zerouri, de exemplu:

matrice inversă poate exista numai pentru matrice pătrată acestea. pentru acele matrice care au același număr de rânduri și coloane.

Teorema condiției de existență a matricei inverse

Pentru ca o matrice să aibă o matrice inversă, este necesar și suficient ca aceasta să fie nedegenerată.

Se numește matricea A = (A1, A2,...A n). nedegenerat dacă vectorii coloanei sunt liniar independenţi. Numărul de vectori coloană liniar independenți ai unei matrice se numește rangul matricei. Prin urmare, putem spune că pentru ca o matrice inversă să existe, este necesar și suficient ca rangul matricei să fie egal cu dimensiunea acesteia, adică. r = n.

Algoritm pentru găsirea matricei inverse

1. Scrieți matricea A în tabelul pentru rezolvarea sistemelor de ecuații prin metoda Gauss și în dreapta (în locul părților din dreapta ale ecuațiilor) atribuiți-i matricea E.
2. Folosind transformările Jordan, aduceți matricea A într-o matrice formată din coloane simple; în acest caz, este necesară transformarea simultană a matricei E.
3. Dacă este necesar, rearanjați rândurile (ecuațiile) ultimului tabel astfel încât matricea de identitate E să fie obținută sub matricea A a tabelului original.
4. Scrieți matricea inversă A -1, care se află în ultimul tabel sub matricea E a tabelului original.

Exemplul 1

Pentru matricea A, găsiți matricea inversă A -1

Rezolvare: Notam matricea A si in dreapta atribuim matricea de identitate E. Folosind transformarile Jordan, reducem matricea A la matricea de identitate E. Calculele sunt prezentate in Tabelul 31.1.

Să verificăm corectitudinea calculelor înmulțind matricea originală A și matricea inversă A -1.

Ca rezultat al înmulțirii matricei, se obține matricea de identitate. Prin urmare, calculele sunt corecte.

Răspuns:

Rezolvarea ecuațiilor matriceale

Ecuațiile matriceale pot arăta astfel:

AX = B, XA = B, AXB = C,

unde A, B, C sunt date matrice, X este matricea dorită.

Ecuațiile matriceale se rezolvă prin înmulțirea ecuației cu matrici inverse.

De exemplu, pentru a găsi matricea dintr-o ecuație, trebuie să înmulțiți această ecuație cu din stânga.

Prin urmare, pentru a găsi o soluție la ecuație, trebuie să găsiți matricea inversă și să o înmulțiți cu matricea din partea dreaptă a ecuației.

Alte ecuații se rezolvă în mod similar.

Exemplul 2

Rezolvați ecuația AX = B dacă

Soluţie: Deoarece inversul matricei este egal (vezi exemplul 1)

Metoda matriceală în analiza economică

Alături de alții, își găsesc și aplicație metode matriceale. Aceste metode se bazează pe algebră liniară și vector-matrice. Astfel de metode sunt utilizate în scopul analizării fenomenelor economice complexe și multidimensionale. Cel mai adesea, aceste metode sunt utilizate atunci când este necesar să se compare funcționarea organizațiilor și diviziunile lor structurale.

În procesul de aplicare a metodelor matriceale de analiză se pot distinge mai multe etape.

La prima etapă se realizează formarea unui sistem de indicatori economici și pe baza acestuia este compilată o matrice de date inițiale, care este un tabel în care numerele de sistem sunt afișate în rândurile sale individuale (i = 1,2,....,n), iar de-a lungul graficelor verticale - numere de indicatori (j = 1,2,....,m).

La a doua etapă pentru fiecare coloană verticală, este dezvăluită cea mai mare dintre valorile disponibile ale indicatorilor, care este luată ca unitate.

După aceea, toate sumele reflectate în această coloană sunt împărțite la cea mai mare valoareși se formează o matrice de coeficienți standardizați.

La a treia etapă toate componentele matricei sunt la pătrat. Dacă au semnificații diferite, atunci fiecărui indicator al matricei i se atribuie un anumit coeficient de ponderare k. Valoarea acestuia din urmă este determinată de un expert.

Pe ultimul a patra etapă au găsit valori ale ratingurilor Rj grupate în ordinea crescătoare sau descrescătoare.

Metodele matriceale de mai sus ar trebui utilizate, de exemplu, când analiza comparativa diverse proiecte de investiții, precum și la evaluarea altor indicatori de performanță economică a organizațiilor.

În acest articol, vom vorbi despre metoda matricei pentru rezolvarea unui sistem de ecuații algebrice liniare, vom găsi definiția acestuia și vom oferi exemple de soluție.

Definiția 1

Metoda matricei inverse este metoda folosită pentru a rezolva SLAE atunci când numărul de necunoscute este egal cu numărul de ecuații.

Exemplul 1

Găsiți o soluție la un sistem de n ecuații liniare cu n necunoscute:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 n x n = b 1 a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + . . . + a n n x n = b n

Vizualizare înregistrări matrice : A × X = B

unde A = a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a n 1 a n 2 ⋯ a n n este matricea sistemului.

X = x 1 x 2 ⋮ x n - coloana de necunoscute,

B = b 1 b 2 ⋮ b n - coloana de coeficienți liberi.

Din ecuația pe care o obținem, trebuie să exprimăm X. Pentru a face acest lucru, înmulțiți ambele părți ale ecuației matriceale din stânga cu A - 1:

A - 1 × A × X = A - 1 × B .

Deoarece A - 1 × A = E, atunci E × X = A - 1 × B sau X = A - 1 × B.

cometariu

Matricea inversă față de matricea A are dreptul de a exista numai dacă condiția d e t A nu este egală cu zero. Prin urmare, la rezolvarea SLAE prin metoda matricei inverse, în primul rând se găsește d e t A.

În cazul în care d e t A nu este egal cu zero, sistemul are o singură soluție: folosind metoda matricei inverse. Dacă d e t A = 0, atunci sistemul nu poate fi rezolvat prin această metodă.

Un exemplu de rezolvare a unui sistem de ecuații liniare folosind metoda matricei inverse

Exemplul 2

Rezolvăm SLAE prin metoda matricei inverse:

2 x 1 - 4 x 2 + 3 x 3 = 1 x 1 - 2 x 2 + 4 x 3 = 3 3 x 1 - x 2 + 5 x 3 = 2

Cum să decizi?

• Scriem sistemul sub forma unei ecuații matriceale А X = B , unde

A \u003d 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5, X \u003d x 1 x 2 x 3, B \u003d 1 3 2.

• Exprimăm din această ecuație X:

• Găsim determinantul matricei A:

d e t A = 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5 = 2 × (- 2) × 5 + 3 × (- 4) × 4 + 3 × (- 1) × 1 - 3 × (- 2) × 3 - - 1 × (- 4) × 5 - 2 × 4 - (- 1) = - 20 - 48 - 3 + 18 + 20 + 8 = - 25

d e t А nu este egal cu 0, prin urmare, metoda soluției cu matrice inversă este potrivită pentru acest sistem.

• Găsim matricea inversă A - 1 folosind matricea de unire. Se calculează adunările algebrice A i j la elementele corespunzătoare ale matricei A:

A 11 \u003d (- 1) (1 + 1) - 2 4 - 1 5 \u003d - 10 + 4 \u003d - 6,

A 12 \u003d (- 1) 1 + 2 1 4 3 5 \u003d - (5 - 12) \u003d 7,

A 13 \u003d (- 1) 1 + 3 1 - 2 3 - 1 \u003d - 1 + 6 \u003d 5,

A 21 \u003d (- 1) 2 + 1 - 4 3 - 1 5 \u003d - (- 20 + 3) \u003d 17,

A 22 \u003d (- 1) 2 + 2 2 3 3 5 - 10 - 9 \u003d 1,

A 23 \u003d (- 1) 2 + 3 2 - 4 3 - 1 \u003d - (- 2 + 12) \u003d - 10,

A 31 \u003d (- 1) 3 + 1 - 4 3 - 2 4 \u003d - 16 + 6 \u003d - 10,

A 32 \u003d (- 1) 3 + 2 2 3 1 4 \u003d - (8 - 3) \u003d - 5,

A 33 \u003d (- 1) 3 + 3 2 - 4 1 - 2 \u003d - 4 + 4 \u003d 0.

• Notăm matricea de unire A * , care este compusă din complemente algebrice ale matricei A:

A * = - 6 7 5 17 1 - 10 - 10 - 5 0

• Scriem matricea inversă după formula:

A - 1 \u003d 1 d e t A (A *) T: A - 1 \u003d - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0,

• Înmulțim matricea inversă A - 1 cu coloana de termeni liberi B și obținem soluția sistemului:

X = A - 1 × B = - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0 1 3 2 = - 1 25 - 6 + 51 - 20 7 + 3 - 10 5 - 30 + 0 = - 1 0 1

Răspuns : x 1 = - 1; x 2 \u003d 0; x 3 = 1

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Inițială conform formulei: A^-1 = A*/detA, unde A* este matricea asociată, detA este matricea originală. Matricea atașată este matricea transpusă de adăugiri la elementele matricei originale.

În primul rând, găsiți determinantul matricei, acesta trebuie să fie diferit de zero, deoarece atunci determinantul va fi folosit ca divizor. Să fie dată, de exemplu, o matrice a treia (formată din trei rânduri și trei coloane). După cum puteți vedea, determinantul matricei nu este egal cu zero, deci există o matrice inversă.

Aflați complementul fiecărui element al matricei A. Complementul la A este determinantul submatricei obținut din cea originală prin ștergerea rândului i și coloanei j, iar acest determinant se ia cu semn. Semnul se determină înmulțind determinantul cu (-1) la puterea lui i+j. Astfel, de exemplu, complementul la A va fi determinantul considerat în figură. Semnul s-a dovedit astfel: (-1)^(2+1) = -1.

Ca rezultat vei primi matrice completări, acum transpuneți-o. Transpunerea este o operație care este simetrică față de diagonala principală a matricei, coloanele și rândurile sunt schimbate. Astfel, ați găsit matricea asociată A*.

O matrice inversă pentru una dată este o astfel de matrice, multiplicarea celei inițiale prin care dă o matrice de identitate: O condiție obligatorie și suficientă pentru prezența unei matrice inverse este inegalitatea determinantului celei originale (care la rândul său implică că matricea trebuie să fie pătrată). Dacă determinantul unei matrice este egal cu zero, atunci se numește degenerat și o astfel de matrice nu are inversă. În matematica superioară, matricele inverse sunt importante și sunt folosite pentru a rezolva o serie de probleme. De exemplu, pe aflarea matricei inverse se construieşte o metodă matriceală pentru rezolvarea sistemelor de ecuaţii. Site-ul nostru de servicii permite calcula inversul matricei online două metode: metoda Gauss-Iordan și folosind matricea adunărilor algebrice. Prima implică un număr mare de transformări elementare în cadrul matricei, a doua - calculul determinantului și adunărilor algebrice la toate elementele. Pentru a calcula determinantul unei matrice online, puteți utiliza celălalt serviciu al nostru - Calcularea determinantului unei matrice online

.

Găsiți matricea inversă pe site

site-ul web vă permite să găsiți matrice inversă online rapid și gratuit. Pe site se fac calcule de către serviciul nostru și se afișează un rezultat cu o soluție detaliată de găsire matrice inversă. Serverul oferă întotdeauna doar răspunsul exact și corect. În sarcini prin definiție matrice inversă online, este necesar ca determinantul matrici era diferit de zero, altfel site-ul web va raporta imposibilitatea de a găsi matricea inversă datorită faptului că determinantul matricei originale este egal cu zero. Găsirea sarcinii matrice inversăîntâlnit în multe ramuri ale matematicii, fiind unul dintre cele mai de bază concepte ale algebrei și un instrument matematic în problemele aplicate. Independent definirea matricei inverse necesită efort considerabil, mult timp, calcule și mare grijă pentru a nu face o derapaj sau o mică eroare în calcule. Prin urmare, serviciul nostru găsirea matricei inverse online vă va facilita foarte mult sarcina și va deveni un instrument indispensabil pentru rezolvare probleme de matematică. Chiar daca tu găsiți matricea inversă dvs., vă recomandăm să vă verificați soluția pe serverul nostru. Introduceți matricea dumneavoastră originală în Calculate Inverse Matrix Online și verificați răspunsul. Sistemul nostru nu greșește niciodată și găsește matrice inversă dimensiune dată în mod pe net imediat! Pe site site-ul web intrările de caractere sunt permise în elemente matrici, în acest caz matrice inversă online vor fi prezentate sub formă simbolică generală.