Manual Yu. N. Makarychev etc. Tema lecției: Întreguri ecuații. Ecuații în descompunere Metoda ecuațiilor în descompunere pentru soluția lor

Rămâne să luăm în considerare seturile date de ecuațiile (35.21), (35.23), (35.30), (35.31), (35.32), (47.7), (47.22) și (35.20)

Definiție 47.16.Suprafața de ordinul doi se numește în descompunere dacă este alcătuit din două suprafețe de ordinul întâi.

De exemplu, considerați suprafața dată de ecuație

Partea stângă a egalității (35.21) poate fi descompusă în factori

(47.36)

Astfel, un punct se află pe suprafața dată de ecuația (35.21) dacă și numai dacă coordonatele sale satisfac una dintre următoarele ecuații sau. Și acestea sunt ecuațiile a două planuri, care, conform paragrafului 36 (vezi paragraful 36.2, al 10-lea rând al tabelului), trec prin axa OZ. Prin urmare , ecuația (35.21) definește o suprafață care se dezintegrează, sau mai bine zis, două plane care se intersectează.

Sarcină: Dovediți că, dacă o suprafață este cilindrică și conică în același timp și constă, de asemenea, din mai multe linii drepte, atunci se dezintegrează, adică conține un anumit plan.

Luați în considerare acum ecuația (35.30)

Poate fi descompus în două ecuații liniare și. Astfel, dacă un punct se află pe suprafața dată de ecuația (35.30), atunci coordonatele sale trebuie să satisfacă una dintre următoarele ecuații: și. Și aceasta, conform paragrafului 36 (vezi p. 36.2 al șaselea rând al tabelului), este ecuația planurilor paralele cu planul. Prin urmare, ecuația (35.30) definește două plane paralele și este, de asemenea, o suprafață care se dezintegrează.

Rețineți că orice pereche de planuri și poate fi specificată prin următoarea ecuație de ordinul doi. Ecuațiile (35.21) și (35.30) sunt canonic ecuațiile a două planuri, adică ecuațiile lor într-un sistem de coordonate special selectat, unde ele (aceste ecuații) au forma cea mai simplă.

Ecuația la fel (35.31)

în general, este echivalent cu o ecuație liniară y \u003d 0 și reprezintă un plan (conform paragrafului 36 al articolului 36.2, al 12-lea rând al tabelului, această ecuație definește un plan).

Rețineți că orice plan poate fi specificat prin următoarea ecuație de ordinul doi.

Prin analogie cu ecuația (35.30) (at), se spune uneori că egalitatea (35.20) definește două planuri paralele combinate.

Acum ne întoarcem la cazuri degenerate.

1. Ecuație (35.20)

Rețineți că un punct M (x, y, z) aparține setului dat de ecuația (35.20) dacă și numai dacă primele sale două coordonate x \u003d y \u003d 0 (și a treia coordonată z poate fi orice). Aceasta înseamnă că ecuația (35.20) definește o linie dreaptă - axa aplicației OZ.

Rețineți că ecuația oricărei linii drepte (a se vedea punctul 40, punctul 40.1, precum și punctul 37, sistemul (37.3)) pot fi definite prin următoarea ecuație de ordinul doi. Egalitatea (35.20) este canonicecuația de ordinul doi pentru o linie dreaptă, adică ecuația sa de ordinul doi într-un sistem de coordonate special selectat, unde (această ecuație) are cea mai simplă.

2. Ecuația (47.7)

Ecuația (47.7) poate fi satisfăcută printr-un singur triplu al numerelor x \u003d y \u003d z \u003d 0. Astfel, egalitatea (47,7) în seturi de spațiu numai un punct О (0; 0; 0) - originea coordonatelor; coordonatele oricărui alt punct din spațiu nu pot satisface egalitatea (47.7). Rețineți, de asemenea, că un set format dintr-un punct poate fi specificat prin următoarea ecuație de ordinul doi:

3. Ecuația (35.23)

Și această ecuație nu poate fi deloc satisfăcută de coordonatele oricărui punct din spațiu, adică aceasta definește un set gol... Prin analogie cu ecuația (33.4)

(vezi Secțiunea 47.5, Definiția 47.8), se mai numește și cilindru eliptic imaginar.

4.Ecuația (35.32)

Coordonatele oricărui punct din spațiu, de asemenea, nu pot satisface această ecuație, deci ea definește un set gol. Prin analogie cu ecuația similară (35.30), această „suprafață” se mai numește planuri paralele imaginare.

5. Ecuația (47.22)

Și această ecuație nu poate fi satisfăcută de coordonatele oricărui punct din spațiu și, prin urmare, ea definește un set gol... Prin analogie cu egalitatea cu egalitatea (47.17) (vezi secțiunea 47.2), acest set este numit și elipsoid imaginar.

Toate cazurile sunt luate în considerare.

RAPOARTELE ACADEMIEI DE ȘTIINȚE, 2008, volumul 420, nr.6, p. 744-745

FIZICA MATEMATICĂ

SOLUȚII DECĂDERE A ECUAȚIEI VESELOV-NOVIKOV

© 2008 Membru corespondent al RAS I. A. Taimanov, S. P. Tsarev

Primit la 14 februarie 2008

Ecuația Veselov-Novikov

u, \u003d e3 u + E3 u + s E (vu) + zE (vu) \u003d o, E V \u003d E u,

unde E \u003d (Ex - ¿Ey), E \u003d 1 (Ex + ¿Ey), este o generalizare bidimensională a ecuației Korteweg-de Vries (KdV)

u, \u003d 4 uhxx \u200b\u200b+ viih,

în care merge în limita unidimensională: V \u003d u \u003d u (x). Ecuația (1) definește deformările operatorului bidimensional Schrödinger

specifică transformarea soluției φ a ecuației Hf \u003d 0 în soluția b a ecuației H b \u003d 0, unde

H \u003d EE + u, u \u003d u + 2 EE 1n w.

În limita unidimensională, transformarea Moutard este redusă la binecunoscuta transformare Darboux.

Transformarea Moutard se extinde la transformarea soluțiilor de sistem

Hf \u003d 0, f (\u003d (E3 + E3 + 3 VE + 3 V * E) f, ^^^

unde Э V \u003d Эи, ЭV * \u003d Э и, care este invariant în transformare (transformare extinsă Moutard)

\u003d ~ | ((f Eyyu-Eph) dz- (f Eyu-Ef) dz +

de forma H1 \u003d HA + 5H, unde A, B sunt operatori diferențiali. Astfel de deformări păstrează „spectrul” operatorului H la nivelul de energie zero, transformând soluțiile ecuației

Hf \u003d (EE + u) f \u003d 0 (3)

conform (Ex + A) φ \u003d 0.

Există o metodă pentru construirea de soluții noi (u, φ) ale ecuației (3) din soluțiile vechi (u, φ) ale acestei ecuații, care este redusă la cvadraturi - transformarea Moutard. Constă în următoarele: să se dea un operator H cu un potențial u și o soluție w de ecuație (3): Hw \u003d 0. Apoi formula

W | [(f Esh - w Ef) dz - (f Esh - w Ef) dz]

Institutul de Matematică. S.L. Sobolev, filiala siberiană a Academiei de Științe din Rusia, Novosibirsk

Universitatea Pedagogică de Stat din Krasnoyarsk

+ [f E u - u E f + u E f - f E u +

2 2 "2 _ ~ _2 + 2 (E f Esh - Ef E w) -2 (E f Esh - Ef E w) +

3V (f Esh - w Ef) + 3 V * (w Ef - f Esh)] dt),

u ^ u + 2EE lnm, V ^ V + 2E21nm,

V * ^ u * + 2E21psh,

unde w satisface (4).

Ecuația Veselov-Novikov (1) este

condiția de compatibilitate pentru sistemul (4) la V * \u003d V.

Când soluția w este reală, condițiile u \u003d u u

V * \u003d V sunt păstrate și transformarea Moutard extinsă traduce soluții reale și

ecuația (1) în alte soluții reale și această ecuație.

Toți solitonii raționali ai ecuației KdV sunt obținuți prin iterarea transformării Darboux din potențialul u \u003d 0. Mai mult, toate potențialele rezultate sunt singulare.

În cazul bidimensional, o construcție similară poate duce la potențiale nesingulare și chiar la scădere rapidă deja după două iterații.

SOLUȚII DECADENTE LA ECUAȚIE

walkie-talkies. Și anume, fie u0 \u003d 0 și u0, ω2 sunt soluții reale ale sistemului (4):

u, \u003d Γ (z, z) + f (z, z), \u003d i (z, z) + i (z, z), (5)

unde / și π sunt holomorfe în r și satisfac ecuațiile

fg \u003d Yyyy "yag \u003d aaaa"

Fiecare dintre funcțiile uj u2 definește transformarea Moutard (extinsă) a potențialului u \u003d 0 și soluțiile corespunzătoare ale sistemului (4). Să-i desemnăm ca Mu și Ma. Potențialele rezultate suntem noi

notăm cu u1 \u003d Myu (u0), u2 \u003d Myu (u0).

Să fie δ1 e My (ω2), adică b1 se obține din ω2 prin transformarea lui M ω. Rețineți că transformarea Moutard pentru φ depinde de constanta integrării. Alegem o constantă astfel încât b1 să fie o funcție reală. Alegerea unei constante ne permite să controlăm frecvent nonsingularitatea potențialului iterat (vom folosi acest lucru în exemple specifice).

O verificare simplă arată că b2 \u003d - b1 f

e mu (yuh). Este cunoscută lema, ceea ce este adevărat pentru un potențial arbitrar u0.

Lema 1. Fie u12 \u003d M01 (u2) și u21 \u003d M02 (u2). Atunci u12 \u003d u21.

Pentru cazul u0 \u003d 0, avem Lema 2. Fie ω1 și ω2 să aibă forma (5). Atunci potențialul u \u003d Mb (My (u0)), unde u0 \u003d 0 și b1 e My (u2), este dat de formula

u \u003d 2EE 1nI ((/ I - fya) +) ((f "I - fя") dg + + (GY - GI) dr) +1 (G "I - fя" "+ 2 (f" I " - GZ) + + GY "" - G "" z + 2 (zi - zi ")) dz).

Rețineți că, chiar și pentru soluțiile inițiale staționare ω1, ω2 ale sistemului (4), putem obține o soluție a ecuației Veselov-Novikov cu dinamică netrivială în r.

Teorema 1. Fie U (z, z) potențialul rațional obținut prin transformarea dublă a lui Moutard din ω1 \u003d iz2 - i ~ z, ffl2 \u003d z2 + (1 +

I) z + ~ z + (1 - i) z. Potențialul U este nesingular și scade ca r-3 pentru r ^ Soluția ecuației Veselov-Novikov (1) cu date inițiale

U \\ t \u003d 0 \u003d U devine singular într-un timp finit și are o singularitate a formei

(3 x4 + 4 x3 + 6 x2 y2 + 3 y4 + 4 y3 + 30 - 12 t)

Cometariu. Ecuația Veselov-Novikov este invariantă sub transformarea t ^ -t, z ^ -z. Este ușor de văzut că soluția la acest lucru

ecuația cu datele inițiale U (z, z, 0) \u003d U (-z, - z) este regulată pentru toate t\u003e 0.

Potențialul rațional (1) dat în lucrare scade ca r-6 și oferă o soluție staționară nesingulară a ecuației Veselov-Novikov. Alegând f (z) \u003d a3z3 + a2z2 + a1z2 + a0 + 6a3t, g (z) \u003d b3z3 + b2z2 + b1z2 + b0 + 6b3t, este ușor să obțineți soluții ale ecuației Veselov-Novikov, scăzând la infinit, non-singular la t \u003d 0 și având singularități la timp finit t\u003e t0.

Rețineți că soluțiile ecuației Korteweg-de Vries cu date inițiale netede, care scad rapid, rămân nesingulare pentru t\u003e 0 (a se vedea, de exemplu,).

Această lucrare a fost realizată cu sprijin financiar parțial din partea Fundației Ruse pentru Cercetare de Bază (coduri de proiect 06-01-00094 pentru I.A.T. și 06-01-00814 pentru S.P.Ts.).

LISTA DE REFERINTE

1. Veseloe AP, Novikov SP // DAN. 1984. T. 279, nr. 1. S. 20-24.

2. Dubrovin B A., Krichever I. M., Novikov SP. // DAN. 1976. T. 229. Nr. 1. S. 15-19.

Profesorul salută elevii și anunță:

Astăzi vom continua să lucrăm cu dvs. pe tema: ecuații întregi

Trebuie să consolidăm abilitățile de rezolvare a ecuațiilor cu un grad mai mare decât al doilea; aflați despre cele trei clase principale de ecuații întregi, stăpâniți modalități de a le rezolva

Pe spatele tabloului, doi studenți au pregătit deja soluția # 273 și sunt gata să răspundă la întrebările elevilor

Băieți, vă propun să reamintim puțin informațiile teoretice pe care le-am învățat în lecția anterioară. Vă rog să răspundeți la întrebări

Care ecuație cu o singură variabilă se numește întreg? Dă exemple

Cum găsești gradul unei ecuații întregi?

În ce formă se poate reduce ecuația primului grad

Care va fi soluția la o astfel de ecuație

În ce formă se poate reduce o ecuație de gradul al doilea?

Cum se rezolvă o astfel de ecuație?

Câte rădăcini va avea?

În ce formă se poate reduce ecuația gradului al treilea?

Ecuația gradului al patrulea?

Câte rădăcini pot avea?

Astăzi, băieți, vom afla mai multe despre ecuații întregi: vom studia modalități de a rezolva 3 clase principale de ecuații:

1) Ecuații bicadrate

Acestea sunt ecuații ale formei
, unde x este o variabilă, a, b, c sunt niște numere și a ≠ 0.

2) Ecuații în descompunere, care sunt reduse la forma A (x) * B (x) \u003d 0, unde A (x) și B (x) sunt polinoame față de X.

Ați rezolvat deja parțial ecuațiile în descompunere din lecția anterioară.

3) Ecuații rezolvate prin schimbarea variabilei.

INSTRUCȚIUNI

Acum fiecare grup va primi carduri care descriu în detaliu metoda de rezolvare, trebuie să analizați împreună aceste ecuații și să finalizați sarcinile pe acest subiect. În grupul dvs., verificați răspunsurile cu cele ale camarazilor dvs., găsiți greșeli și veniți la un răspuns comun.

După ce fiecare grup și-a elaborat ecuațiile, va trebui să fie explicate celorlalte grupuri de pe tablă. Gândiți-vă pe cine delegați de la grup.

MUNCAȚI ÎN GRUPURI

În timpul lucrului în grup, profesorul observă cum raționează copiii dacă echipele s-au format, dacă copiii au lideri.

Oferă asistență dacă este necesar. Dacă un grup a făcut față sarcinii mai devreme decât altele, atunci profesorul are în stoc ecuațiile din această carte de complexitate crescută.

PROTECȚIA CARDURILOR

Profesorul se oferă să decidă, dacă băieții nu au făcut încă acest lucru, cine va apăra cartea la tablă.

În timpul activității conducătorilor, profesorul își poate corecta discursul dacă greșesc.

Așadar, băieți, v-ați ascultat, ecuațiile pentru propria soluție sunt scrise pe tablă. Sa trecem la afaceri

Ur. Igr.

IIgr.

IIIgr.

Trebuie să rezolvați acele ecuații pe care nu le aveți.

Nr. 276 (b, d), 278 (b, d), 283 (a)

Deci băieți, astăzi am studiat soluția noilor ecuații în grupuri. Crezi că munca noastră a decurs bine?

Ne-am atins scopul?

Ce te-a oprit în munca ta?

Profesorul evaluează cei mai activi copii.

MULTUMESC PENTRU LECȚIE !!!

În viitorul apropiat, este recomandabil să efectuați o lucrare independentă care să conțină ecuațiile analizate în această lecție.

„Rezolvarea ecuațiilor de grade superioare” - Ce înseamnă rezolvarea unei ecuații? Sarcinile primei etape. Încălzire (verificați d / h). Rezolvarea ecuațiilor de grade superioare. Ce fel de ecuații sunt scrise pe tablă? Educație fizică. Etapa II Opțiunea de lucru independent 1 opțiunea 2. Ce se numește rădăcina ecuației? Schema soluției ecuație liniară ecuație pătratică ecuație biquadratică.

„Metode de rezolvare a ecuațiilor și inegalităților” - Egiptul antic. Ecuații cubice. Metode nestandardizate pentru rezolvarea ecuațiilor și inegalităților. Ideea de omogenitate. Un mod grafic de a rezolva ecuațiile care conțin un modul. Inegalități cu modulul. Rezolvarea ecuațiilor pentru coeficienți. Inegalitatea inițială nu conține nicio soluție. Suma pătratului.

„Ecuații și inegalități” - înlocuire. Găsiți abscisa punctului de intersecție a graficelor funcționale. La ce valoare a este numărul rădăcinilor ecuației. "Metoda grafică. Constă în următoarele: reprezentarea graficelor a două funcții într-un singur sistem de coordonate. Soluții de ecuații și inegalități." Găsiți cea mai mică soluție naturală la inegalitate.

„Ecuații fracționare” - Rezolvați ecuația rezultată. Ecuația pătratică are 2 rădăcini dacă ...... Excludeți rădăcinile care nu sunt incluse în valorile admisibile ale fracțiilor ecuației. … Scrisoarea ta. Suflet înalt ". Algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor raționale fracționate. Și amintiți-vă - care este principalul lucru la o persoană? Ecuații raționale fracționare. Câte rădăcini are această ecuație? 4. Care este numele acestei ecuații?

„Rezolvarea ecuațiilor logaritmice” - Dacă ecuația conține logaritmi cu baze diferite, atunci în primul rând, ar trebui să reduceți toți logaritmii la o singură bază folosind formulele de tranziție. Calculați valorile expresiei. Definiție: Pentru a rezuma materialul cu privire la proprietățile logaritmilor, funcția logaritmică; ia în considerare metodele de bază pentru rezolvarea ecuațiilor logaritmice; dezvolta abilități orale.

"Metode de rezolvare a ecuațiilor logaritmice" - Găsiți. Rezolvarea ecuațiilor logaritmice. Ceea ce se numește logaritm. Sistematizați cunoștințele elevilor. Munca creativa... Găsiți eroarea. Sistem de ecuații. Rezolvarea ecuațiilor logaritmice prin diferite metode. Opțiunea I Opțiunea II. Funcția dată. Metoda de introducere a unei noi variabile. Comparaţie. Metode de rezolvare a ecuațiilor logaritmice.

Sunt 49 de prezentări în total