USE 2018. Matematică. nivel de profil. Rezolvarea ecuațiilor și inegalităților. Sadovnichiy Yu.V.

M.: 2018. - 96 p.

Această carte este dedicată sarcinilor similare sarcinii 15 a examenului de stat unificat la matematică (rezolvarea ecuațiilor și inegalităților). Sunt luate în considerare diferite metode de rezolvare a unor astfel de probleme, inclusiv cele originale. Cartea va fi utilă elevilor de liceu, profesorilor de matematică, tutorilor.

Format: pdf

Mărimea: 860 Kb

Urmăriți, descărcați:drive.google

CUPRINS
INTRODUCERE 4
CAPITOLUL 1. METODA INTERVALULUI DE SOLUȚIONARE A INEGALITĂȚILOR 6
Sarcini pentru solutie independenta 10
CAPITOLUL 2. RENUNȚAREA RESPONSABILITĂȚII A MODULELOR ÎN ECUAȚII ȘI INEGALITĂȚI 13
Sarcini pentru soluție independentă 23
CAPITOLUL 3. ECUAȚII IRAȚIONALE ȘI INEGALITATI 25
Sarcini pentru soluție independentă 33
CAPITOLUL 4. ECUAȚII ȘI INEGALITATI EXPONENȚIALE ȘI LOGARE 35
4.1. Formule de bază și rezolvarea celor mai simple ecuații și inegalități 35
4.2. Conversia sumei și diferenței logaritmilor 36
Sarcini pentru soluție independentă 41
4.3. Metoda substituției variabilelor 42
Sarcini pentru soluție independentă 47
4.4. Împărțirea inegalităților 49
Sarcini pentru soluție independentă 55
4.5. Tranziția la o nouă bază 56
Sarcini pentru soluție independentă 60
CAPITOLUL 5. ECUATII SI INEGALITATI DE TIP MIXTE 61
Sarcini pentru soluție independentă 68
CAPITOLUL 6
Sarcini pentru soluție independentă 75
CAPITOLUL 7. SISTEME DE ECUAȚII ȘI INEGALITATI ALGEBRICE 76
Sarcini pentru soluție independentă 84
RĂSPUNSURI LA SARCINI PENTRU SOLUȚIE INDEPENDENTĂ 88

Această carte este dedicată problemelor similare cu problema 15 examen de profil la matematică (ecuaţii şi inegalităţi). Cartea este împărțită pe capitole după subiect, materialul din fiecare capitol este prezentat „de la simplu la complex”.
Nu este un secret pentru nimeni că problemele 16-19 (planimetrie, problemă cu cuvinte, problemă cu parametri, problemă cu numere întregi) sunt dificile pentru marea majoritate a absolvenților liceu. Același lucru se poate spune despre problema 14 (stereometrie). Prin urmare, sarcina rezolvată 15 (împreună cu sarcina 13) este o oportunitate de a vă crește scorul la USE la un nivel bun.
Primele trei capitole sunt pregătitoare, se ocupă de rezolvarea inegalităților prin metoda intervalului, ecuații și inegalități care conțin modulul, ecuații iraționale și inegalități.
Al patrulea capitol este principalul din această carte, deoarece sarcinile din acesta sunt cel mai apropiate de sarcina reală a examenului de profil al 15-lea la matematică. Acest capitol este împărțit în mai multe secțiuni, fiecare dintre ele explorează o metodă de rezolvare a unei astfel de probleme.

În acest tutorial video, am analizat în detaliu sarcina destul de serioasă 15 de la Examenul de stat unificat la matematică, care conține atât logaritmul cât și inegalitatea rațională fracțională. O atenție deosebită este acordată teoremei lui Bezout (pentru găsirea rădăcinilor unui polinom), precum și metodei de împărțire a polinoamelor la un colț (pentru factorizare).

În această lecție, vom analiza un sistem de două inegalități din USE în matematică:

⎧⎩⎨⎪⎪ Buturuga7-2x(x+6) ≤0x− x−3x+6−X2 +27x+90X2 +8x+12≤−1 \left\( \begin(align)& ((\log )_(7-2x))\left(x+6 \right)\le 0 \\& x-\frac(x-3)(x+6 )-\frac(((x)^(2))+27x+90)(((x)^(2))+8x+12)\le -1 \\\end(align) \right.

Rezolvarea sistemului de inegalități

După cum puteți vedea, sistemul constă dintr-o inegalitate logaritmică, precum și o inegalitate rațională fracțională clasică, dar în procesul de rezolvare vom descoperi că această inegalitate nu este atât de simplă pe cât ar părea la prima vedere. Să începem cu logaritmul. Pentru a face acest lucru, scrieți-l separat:

Buturuga7-2x(x+6) ≤ 0

((\log )_(7-2x))\left(x+6 \right)\le \text( )0

Ca oricare inegalitatea logaritmică, această construcție se reduce la formă canonică, adică în stânga lăsăm totul neschimbat, dar în dreapta scriem astfel:

Buturuga7-2x(x+6) ≤ Buturuga7-2x 1

((\log )_(7-2x))\left(x+6 \right)\le ((\log )_(7-2x))1

Cum să utilizați metoda de raționalizare

Acum folosim metoda raționalizării. Permiteți-mi să vă reamintesc că dacă avem o inegalitate a formei

Buturugak (X) f(x) ⋃ Buturugak (X) g(x),

((\log )_(k\left(x \right)))f\left(x \right)\bigcup ((\log )_(k\left(x \right)))g\left(x \ dreapta),

apoi putem trece la ceva de genul acesta:

(f (x) −g(x) )(k (x) -1)⋃0

\left(f\left(x \right)-g\left(x \right) \right)\left(k\left(x \right)-1 \right)\bigcup 0

Desigur, această inegalitate nu ia în considerare domeniul logaritmului:

f (x) >0

f\stanga(x\dreapta)>0

g (x) >0

g\stanga(x\dreapta)>0

1≠k (x) >0

1\ne k\stanga(x\dreapta)>0

Deci, în rol f (X) f\stanga(x\dreapta) este funcție liniară x+6 x+6, iar în rol g (X) g\left(x \right) este pur și simplu 1. Prin urmare, rescriem inegalitatea sistemului nostru logaritmic după cum urmează:

(x+6−1) (7−2x−1)

\left(x+6-1 \right)\left(7-2x-1 \right)

Ultimul 1 este unul x−1 x-1, care se află în a doua paranteză. Toate acestea sunt mai mici sau egale cu 0. Semnul de inegalitate se păstrează la efectuarea acestei transformări. Iată cele similare din fiecare paranteză:

(x+5) (6−2x) ≤0

\left(x+5 \right)\left(6-2x \right)\le 0

Aplicarea metodei intervalului

Evident, avem cea mai simplă inegalitate, care se rezolvă ușor prin metoda intervalului. Setați fiecare paranteză la 0:

(+5) =0→= −5

\left(+5 \right)=0\la =-5

6−2=0→2=6

x=3

Marcam toate aceste puncte (există două astfel de puncte) pe linia de coordonate. Rețineți că sunt umbrite:

Observați semnele. Pentru a face acest lucru, luați orice număr mai mare de 3. Primul va fi „minus”. Atunci semnele alternează peste tot, pentru că nu există rădăcini ale multiplicității chiar. Ne interesează semnul mai mic sau egal, adică semnul minus. Vopsim peste zonele necesare. Permiteți-mi să vă reamintesc că atunci când rezolvăm inegalități folosind metoda intervalului, înlocuim cu 1 miliard în ultima expresie pe care am primit-o înainte de a trece la ecuații.

Deci am găsit seturi. Dar, după cum înțelegeți, aceasta nu este încă o soluție la inegalitate. Acum ni se cere să găsim domeniul logaritmului. Pentru a face acest lucru, scriem următoarele funcții:

Imbricarea eronată a structurilor ecuațiilor

\left[ \begin(align)& x+6>0 \\& 7-2x>0 \\& 7-2x\ne 1 \\\end(align) \right.=>\left[ \begin(align) )& x>-6 \\& 7>2x \\& 6\ne 2x \\\end(align) \right.=>\left[ \begin(align)& \\& x<\text{ }3,5 \\& x\ne \text{ }3 \\\end{align} \right.

Deci, am primit trei cerințe simultane, adică toate aceste inegalități trebuie să fie satisfăcute simultan. Să tragem o linie paralelă cu candidatul nostru de răspuns:

Am primit răspunsul final pentru primul element al sistemului:

(−6;−5] ⋃(3;3,5)

\left(-6;-5 \right]\bigcup \left(3;3,5 \right). În acest moment, mulți elevi au o întrebare. Uite, 3 este scos pe o parte, dar pe de altă parte , acest punct este completat. Deci, cum să-l marcați ca rezultat? Pentru a rezolva corect și o dată pentru totdeauna această problemă, amintiți-vă o regulă simplă.

Ce înseamnă intersecția mulțimilor? Acesta este un set care intră simultan atât în ​​primul set, cât și în al doilea. Cu alte cuvinte, completând imaginea de mai jos, căutăm puncte care aparțin atât primei cât și celei de-a doua linii în același timp. Prin urmare, dacă vreun punct nu aparține cel puțin uneia dintre aceste linii, atunci indiferent de cum arată pe a doua linie, nu ni se potrivește. Și, în special, cu 3, exact această poveste se întâmplă: pe de o parte, punctul 3 ni se potrivește în candidații pentru răspuns, pentru că este pictat peste, dar pe de altă parte, 3 este perforat din cauza domeniului logaritm și, prin urmare, în setul final acest punct trebuie eliminat. Totul, răspunsul la prima inegalitate logaritmică a sistemului este pe deplin justificat. Pentru a fi în siguranță, îl voi duplica din nou:

(−6;−5] ⋃(3;3,5)

\left(-6;-5 \right]\bigcup \left(3;3,5 \right)

Rezolvarea unei inegalități fracționale-raționale

x− x−3x+6−X2 +27x+90X2 +8x+12≤−1 x-\frac(x-3)(x+6)-\frac(((x)^(2))+27x+90)(((x)^(2))+8x+12)\le - 1

Acum mutați -1 la stânga:

x+1− x−3x+6−X2 +27x+90(x+6) (x+2)≤0 x+1-\frac(x-3)(x+6)-\frac(((x)^(2))+27x+90)(\left(x+6 \right)\left(x+2) \dreapta))\le 0

x+1 1 −x−3x+6−X2 +27x+90(x+6) (x+2)≤0 \frac(x+1)(1)-\frac(x-3)(x+6)-\frac(((x)^(2))+27x+90)(\left(x+6 \right) )\stanga(x+2 \dreapta))\le 0

Aducem întreaga structură la un numitor comun:

(x+1) (x+6) (x+2) −(x−3) (x+2) − (X2 +27x+90)(x+6) (x+2)≤0 \frac(\left(x+1 \right)\left(x+6 \right)\left(x+2 \right)-\left(x-3 \right)\left(x+2 \right)- \left(((x)^(2))+27x+90 \right))(\left(x+6 \right)\left(x+2 \right))\le 0

Să extindem parantezele:

(x+2) ( (x+1) (x+6) −(x−3) )−X2 −27x−90(x+6) (x+2)≤0 \frac(\left(x+2 \right)\left(\left(x+1 \right)\left(x+6 \right)-\left(x-3 \right) \right)-((x )^(2))-27x-90)(\left(x+6 \right)\left(x+2 \right))\le 0

X3 +6X2 +9x+2 X2 +12x+18− X2 −27x−90(x+6) (x+2)≤0 \frac(((x)^(3))+6((x)^(2))+9x+2((x)^(2))+12x+18-((x)^(2)) -27x-90)(\left(x+6\right)\left(x+2\right))\le 0

X3 +7X2 −6x−72(x+6) (x+2)≤0 \frac(((x)^(3))+7((x)^(2))-6x-72)(\left(x+6 \right)\left(x+2 \right))\le 0

Ce se poate spune despre inegalitatea rezultată? În primul rând, este fracțional rațional, iar numitorul a fost deja factorizat. Prin urmare, cea mai bună opțiune ar fi rezolvarea acestei inegalități prin metoda intervalului. Totuși, pentru a o rezolva prin metoda intervalului, este necesară și factorizarea numărătorului. Aceasta este principala dificultate, deoarece numărătorul este un polinom de gradul al treilea. Cine își amintește formula pentru rădăcinile de gradul trei? Personal, nu-mi amintesc. Dar nu vom avea nevoie de asta.

Tot ce ne trebuie este teorema lui Bezout, mai precis, nu teorema în sine, ci unul dintre cele mai importante corolare ale sale, care afirmă următoarele: dacă un polinom cu coeficienți întregi are rădăcină X1 ((x)_(1)), și este un număr întreg, atunci coeficientul liber (în cazul nostru 72) va fi în mod necesar divizibil cu X1 ((x)_(1)). Cu alte cuvinte, dacă vrem să găsim rădăcinile acestei ecuații cubice, atunci tot ce trebuie să facem este doar să „săpăm” factorii în care este descompus numărul 72.

Să factorăm numărul 72 în factori primi:

72=8⋅9=2⋅2⋅2⋅3⋅3

72=8\cdot 9=2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3

Deci, trebuie să trecem prin toate combinațiile de doi și triple pentru a obține cel puțin o rădăcină a expresiei noastre cubice. La prima vedere, poate părea că aceasta este o sarcină combinatorie, dar, de fapt, totul nu este atât de înfricoșător. Să începem cu numărul minim:

x=2

Să verificăm dacă 2 este răspunsul. Pentru a face acest lucru, amintiți-vă ce este o rădăcină. Acesta este un număr care, atunci când este înlocuit într-un polinom, îl transformă în 0. Să înlocuim:

(2) =8+28−12−72<0

\left(2\right)=8+28-12-72<0

Înțelegem asta x−2 x-2 nu este potrivit. Daţi-i drumul. Să luăm 4:

(4) =64+112−24−72>0

\left(4\right)=64+112-24-72>0

x=4 x=4 nu este, de asemenea, rădăcina construcției noastre.

Daţi-i drumul. Ce urmeaza X x vom analiza? Pentru a răspunde la această întrebare, să notăm un fapt interesant: când x−2 x-2 polinomul nostru a fost negativ, iar pentru x=4 x=4 sa dovedit a fi deja pozitiv. Aceasta înseamnă că undeva între punctele 2 și 4 polinomul nostru intersectează axa X X. Cu alte cuvinte, undeva pe acest segment, al nostru se transformă în 0. Asta înseamnă că acest punct va fi numărul dorit. Să ne gândim la ce număr întreg se află între 4 și 2. Evident, doar 3 și 3 sunt prezente în expansiune, deci poate fi într-adevăr rădăcina expresiei noastre. Luați în considerare această opțiune:

x=3

(3) =27+63−18−72=90−90=0

\left(3\right)=27+63-18-72=90-90=0

Super, ipoteza noastră a fost confirmată. Într-adevăr, x=3 x=3 este rădăcina construcției noastre. Dar cum ne ajută acest lucru să luăm în considerare un polinom dat? Foarte simplu. Toate din aceeași teoremă Bézout rezultă că dacă X1 ((x)_(1)) este o rădăcină a polinomului p (X) p\left(x \right), ceea ce înseamnă că putem scrie următoarele:

X1 :p(x)=Q(x) (x− X1 )

((x)_(1)):p\left(x \right)=Q\left(x \right)\left(x-((x)_(1)) \right)

Cu alte cuvinte, știind X1 ((x)_(1)) putem afirma că în factorizarea expresiei noastre va exista în mod necesar un factor X1 ((x)_(1)). În cazul nostru, putem scrie că polinomul nostru are în mod necesar un factor de expansiune (x−3)\left(x-3 \right) deoarece 3 este rădăcina sa.

X3 +7X2 −6x−72x−3=X2 +10x+24\frac(((x)^(3))+7((x)^(2))-6x-72)(x-3)=((x)^(2))+10x+24

Cu alte cuvinte, ne putem rescrie inegalitatea din sistem după cum urmează:

(x+3) (X2 +10x+24)(x+6) (x+2)≤0 \frac(\left(x+3 \right)\left(((x)^(2))+10x+24 \right))(\left(x+6 \right)\left(x+2 \right) ))\le 0

Rețineți că în a doua paranteză a numărătorului există un trinom pătrat, care este, de asemenea, foarte simplu factorizat, obținem:

(x+3) (x+6) (x+4)(x+6) (x+2)≤0 \frac(\left(x+3 \right)\left(x+6 \right)\left(x+4 \right))(\left(x+6 \right)\left(x+2 \right) )\le 0

Asta e tot, rămâne doar să scrieți rădăcinile:

x=3

≠−6(2k)

\ne -6\stânga(2k\dreapta)

=−4

≠−2

Să marchem toate aceste puncte, care pot fi o soluție a sistemului, pe linia de coordonate X X:

Pentru a determina semnele, luăm orice număr mai mare de 3, înlocuim în fiecare dintre aceste paranteze și obținem cinci numere pozitive, adică în dreapta lui 3 este semnul plus. Atunci semnele se schimbă peste tot, dar în -6 nu se schimbă nimic, pentru că -6 este rădăcina celei de-a doua multiplicități. Suntem interesați de acele zone în care semnul funcției este negativ, așa că umbrim „minusurile”.

În total, putem nota soluția inegalității noastre originale - va fi după cum urmează:

(−∞;−6) ⋃(−6;−4] ⋃(−2;3]

\left(-\infty ;-6 \right)\bigcup \left(-6;-4 \right]\bigcup \left(-2;3 \right]

Pasii finali

Am rezolvat a doua inegalitate a sistemului nostru și acum rămâne să rezolvăm sistemul în sine, adică să intersectăm mulțimile pe care le-am obținut. Pentru a face acest lucru, îmi propun să construim o altă linie paralelă cu cele două linii vechi ale noastre responsabile pentru inegalitatea logaritmică din sistem:

Putem scrie răspunsul final al celui de-al doilea element al sistemului de inegalități: (−6;−5] \left(-6;-5 \right]. Acum ne putem întoarce la sistemul nostru și scrie setul final:

x∈ (−6; −5]

x\în \left(-6;\text( )-5 \right]

Puncte cheie

Există mai multe puncte cheie în această sarcină simultan:

1. Trebuie să fiți capabil să rezolvați inegalitățile logaritmice folosind tranziția la forma canonică.
2. Trebuie să fii capabil să lucrezi cu inegalități raționale fracționale. Acesta este în general un material pentru clasele 8-9, deci dacă lucrați cu logaritmi, atunci veți înțelege inegalitățile raționale fracționale.
3. teorema lui Bezout. Cea mai importantă consecință a acestei teoreme este faptul că rădăcinile unui polinom cu coeficienți întregi sunt divizori ai termenului său liber.

În caz contrar, aceasta este o sarcină simplă, deși destul de voluminoasă, pentru rezolvarea unui sistem de ecuații. Anumite dificultăți în rezolvarea sistemului pot apărea și în intersecția tuturor mulțimilor, în special a celor asociate cu punctul 3. Totul este foarte simplu aici: nu uitați decât că intersecția înseamnă cerința ca toate inegalitățile să fie îndeplinite simultan, adică punctul dorit trebuie completat. pe toate cele trei axe. Dacă cel puțin pe o axă nu este completat sau perforat, atunci un astfel de punct nu poate face parte din răspuns.