Investigarea unei funcții liniare. Funcție liniară. Teorie detaliată cu exemple (2019) Protecția informațiilor personale

Confidențialitatea dumneavoastră este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să citiți politica noastră de confidențialitate și să ne spuneți dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Este posibil să vi se solicite să furnizați Informații personaleîn orice moment când ne contactați.

Următoarele sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și modul în care putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa dvs E-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a vă trimite notificări și comunicări importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o extragere cu premii, un concurs sau un stimulent similar, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• În cazul în care este necesar - în conformitate cu legea, ordinea judiciară, în cadrul procedurilor judiciare și/sau în baza cererilor publice sau a solicitărilor din partea organelor de stat de pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluiți informațiile dumneavoastră personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de interes public.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către succesorul terț relevant.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Menținerea confidențialității la nivel de companie

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri practicile de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

Clasă: 7

Funcția ocupă unul dintre locurile de frunte în cursul de algebră școlară și are numeroase aplicații în alte științe. La începutul studiului, pentru a motiva, actualiza problema, vă informez că nu poate fi studiat un singur fenomen, nici un singur proces din natură, nicio mașină nu poate fi proiectată, iar apoi să funcționeze fără o descriere matematică completă. Un instrument pentru aceasta este o funcție. Studiul său începe în clasa a VII-a, de regulă, copiii nu se adâncesc în definiție. Conceptele în special greu de atins sunt precum domeniul definiției și domeniul valorii. Folosind legăturile cunoscute dintre cantități în problemele de mișcare, costurile le transferă în limbajul funcției, păstrând legătura cu definiția acesteia. Astfel, la elevi conceptul de funcție se formează la nivel conștient. În aceeași etapă, se lucrează minuțios asupra noilor concepte: domeniul definiției, domeniul valorii, argumentul, valoarea unei funcții. Folosesc învățare avansată: introduc notația D(y), E(y), introduc conceptul de zero al unei funcții (analitic și grafic), la rezolvarea exercițiilor cu arii de semn constant. Cu cât elevii se confruntă mai devreme și mai des cu concepte dificile, cu atât sunt mai bine realizate la nivelul memoriei pe termen lung. Când se studiază o funcție liniară, este recomandabil să se arate legătura cu soluția ecuatii lineareși sisteme, iar mai târziu cu rezolvarea inegalităților liniare și a sistemelor acestora. La curs, studenții primesc un bloc mare (modul) de informații noi, astfel încât la sfârșitul prelegerii, materialul este „stors” și se întocmește un rezumat pe care studenții ar trebui să-l cunoască. Abilitățile practice sunt dezvoltate în procesul de efectuare a exercițiilor folosind diverse metode bazate pe munca individuală și independentă.

1. Câteva informații despre funcția liniară.

Funcția liniară este foarte comună în practică. Lungimea tijei este o funcție liniară a temperaturii. Lungimea șinelor, podurilor este, de asemenea, o funcție liniară a temperaturii. Distanța parcursă cu pietonul, trenul, mașina viteza constanta mișcarea, sunt funcții liniare ale timpului de mișcare.

O funcție liniară descrie un număr de dependențe fizice și legi. Să luăm în considerare unele dintre ele.

1) l \u003d l o (1 + at) - expansiunea liniară a solidelor.

2) v \u003d v o (1 + bt) - expansiunea volumetrică a solidelor.

3) p=p o (1+at) - dependența rezistivității conductoarelor solide de temperatură.

4) v \u003d v o + la - viteza mișcării uniform accelerate.

5) x= x o + vt este coordonata mișcării uniforme.

Sarcina 1. Definiți o funcție liniară din datele tabelare:

X	1	3
la	-1	3

Soluţie. y \u003d kx + b, problema se reduce la rezolvarea sistemului de ecuații: 1 \u003d k 1 + b și 3 \u003d k 3 + b

Răspuns: y \u003d 2x - 3.

Problema 2. Mișcându-se uniform și rectiliniu, corpul a trecut 14 m în primele 8 secunde și 12 m în alte 4. Compuneți o ecuație a mișcării pe baza acestor date.

Soluţie. În funcție de starea problemei, avem două ecuații: 14 \u003d x o +8 v o și 26 \u003d x o +12 v o, rezolvând sistemul de ecuații, obținem v \u003d 3, x o \u003d -10.

Răspuns: x = -10 + 3t.

Problema 3. O mașină care părăsește orașul se deplasează cu o viteză de 80 km/h. După 1,5 ore, a mers după el o motocicletă, a cărei viteză era de 100 km/h. Cât va dura până când bicicleta îl va depăși? Cât de departe de oraș se va întâmpla asta?

Răspuns: 7,5 ore, 600 km.

Sarcina 4. Distanța dintre două puncte la momentul inițial este de 300 m. Punctele se deplasează unul spre celălalt cu viteze de 1,5 m/s și 3,5 m/s. Când se vor întâlni? Unde se va întâmpla?

Răspuns: 60 s, 90 m.

Sarcina 5. O riglă de cupru la 0 ° C are o lungime de 1 m. Aflați creșterea lungimii sale cu o creștere a temperaturii cu 35 o, cu 1000 o C (punctul de topire al cuprului este de 1083 o C)

Răspuns: 0,6 mm.

2. Proporționalitate directă.

Multe legi ale fizicii sunt exprimate prin proporționalitate directă. În cele mai multe cazuri, se folosește un model pentru a scrie aceste legi.

in unele cazuri -

Să luăm câteva exemple.

1. S \u003d v t (v - const)

2. v = a t (a - const, a - accelerație).

3. F \u003d kx (Legea lui Hooke: F - forță, k - rigiditate (const), x - alungire).

4. E = F/q (E este puterea într-un punct dat al câmpului electric, E este const, F este forța care acționează asupra sarcinii, q este mărimea sarcinii).

Ca model matematic de proporționalitate directă, se poate folosi similaritatea triunghiurilor sau proporționalitatea segmentelor (teorema lui Thales).

Sarcina 1. Trenul a trecut pe lângă un semafor în 5 secunde și pe lângă un peron lung de 150 m, în 15 secunde. Care este lungimea trenului și viteza acestuia?

Soluţie. Fie x lungimea trenului, x+150 lungimea totală a trenului și a peronului. În această problemă, viteza este constantă, iar timpul este proporțional cu lungimea.

Avem o proporție: (x + 150): 15 = x: 5.

Unde x = 75, v = 15.

Răspuns. 75 m, 15 m/s.

Problema 2. Barca a mers în aval 90 km în ceva timp. În același timp, ar fi trecut 70 de km împotriva curentului. Cât de departe va călători pluta în acest timp?

Răspuns. 10 km.

Sarcina 3. Care a fost temperatura inițială a aerului dacă, atunci când este încălzit cu 3 grade, volumul acestuia a crescut cu 1% față de cel inițial.

Răspuns. 300 K (Kelvin) sau 27 0 C.

Prelegere pe tema „Funcția liniară”.

Algebră, clasa a VII-a

1. Luați în considerare exemple de sarcini folosind formule binecunoscute:

S = v t (formula cale), (1)

C \u003d c c (formula costului). (2)

Problema 1. Mașina, după ce s-a îndepărtat de punctul A la o distanță de 20 km, și-a continuat călătoria cu o viteză de 62 km/h. Cât de departe de punctul A va fi mașina după t ore? Compuneți o expresie pentru problemă, notând distanța S, găsiți-o la t = 1h, 2.5h, 4h.

1) Folosind formula (1), găsim calea parcursă de o mașină cu o viteză de 62 km/h în timpul t, S 1 = 62t;
2) Apoi din punctul A în t ore mașina va fi la o distanță S = S 1 + 20 sau S = 62t + 20, găsiți valoarea lui S:

la t = 1, S = 62*1 + 20, S = 82;
la t = 2,5, S = 62 * 2,5 + 20, S = 175;
la t = 4, S = 62*4+ 20, S = 268.

Observăm că la găsirea lui S, se modifică doar valoarea lui t și S, adică. t și S sunt variabile, iar S depinde de t, fiecare valoare a lui t corespunde unei singure valori a lui S. Notând variabila S pentru Y și t pentru x, obținem o formulă pentru rezolvarea acestei probleme:

Y= 62x + 20. (3)

Problema 2. Un manual a fost cumpărat dintr-un magazin pentru 150 de ruble și 15 caiete pentru n ruble fiecare. Cât ai plătit pentru achiziție? Faceți o expresie pentru problemă, notând costul C, găsiți-l pentru n = 5,8,16.

1) Folosind formula (2), găsim costul caietelor С 1 = 15n;
2) Atunci costul întregii achiziții este С= С1 +150 sau С= 15n+150, găsim valoarea lui C:

la n = 5, C = 15 5 + 150, C = 225;
la n = 8, C = 158 + 150, C = 270;
la n = 16, C = 15 16+ 150, C = 390.

În mod similar, observăm că C și n sunt variabile, pentru fiecare valoare a lui n îi corespunde o singură valoare a lui C. Notă variabila C pentru Y și n pentru x, obținem formula pentru rezolvarea problemei 2:

Y= 15x + 150. (4)

Comparând formulele (3) și (4), ne asigurăm că variabila Y se găsește prin variabila x conform unui algoritm. Am luat în considerare doar două probleme diferite care descriu fenomenele din jurul nostru în fiecare zi. De fapt, sunt multe procese care se modifică conform legilor obținute, așa că o astfel de relație între variabile merită studiată.

Soluțiile problemei arată că valorile variabilei x sunt alese în mod arbitrar, satisfăcând condițiile problemelor (pozitive în problema 1 și naturale în problema 2), adică x este o variabilă independentă (se numește argument), iar Y este o variabilă dependentă și există o corespondență unu-la-unu între ele și, prin definiție, o astfel de dependență este o funcție. Prin urmare, notând coeficientul la x cu litera k, iar termenul liber cu litera b, obținem formula

Y= kx + b.

Definiție.Funcția de vizualizare y= kx + b, unde k, b sunt niște numere, x este un argument, y este valoarea funcției, se numește funcție liniară.

Pentru a studia proprietățile unei funcții liniare, introducem definiții.

Definiție 1. Setul de valori admisibile ale unei variabile independente se numește domeniul de definire al funcției (admisibil - aceasta înseamnă acele valori numerice x pentru care se calculează y) și se notează cu D (y).

Definiție 2. Setul de valori ale variabilei dependente se numește intervalul funcției (acestea sunt valorile numerice pe care le ia y) și se notează cu E(y).

Definiția 3. Graficul unei funcții este o mulțime de puncte ale planului de coordonate, ale căror coordonate transformă formula într-o egalitate adevărată.

Definiția 4. Coeficientul k la x se numește pantă.

Luați în considerare proprietățile unei funcții liniare.

1. D(y) - toate numerele (înmulțirea este definită pe mulțimea tuturor numerelor).
2. E(y) - toate numerele.
3. Dacă y \u003d 0, atunci x \u003d -b / k, punctul (-b / k; 0) - punctul de intersecție cu axa Ox, se numește zero al funcției.
4. Dacă x= 0, atunci y= b, punctul (0; b) este punctul de intersecție cu axa Oy.
5. Aflați pe ce linie funcția liniară va alinia punctele plan de coordonate, adică care este graficul funcției. Pentru a face acest lucru, luați în considerare funcțiile

1) y= 2x + 3, 2) y= -3x - 2.

Pentru fiecare functie vom face un tabel de valori. Să setăm valori arbitrare pentru variabila x și să calculăm valorile corespunzătoare pentru variabila Y.

X	-1,5	-2	0	1	2
Y	0	-1	3	5	7

După ce am construit perechile rezultate (x; y) pe planul de coordonate și le-am conectat pentru fiecare funcție separat (am luat valorile lui x cu un pas de 1, dacă reduceți pasul, atunci punctele se vor alinia mai des , iar dacă pasul este aproape de zero, atunci punctele se vor îmbina într-o linie continuă ), observăm că punctele se aliniază în linie dreaptă în cazul 1) și în cazul 2). Datorită faptului că funcțiile sunt alese arbitrar (construiți-vă propriile grafice y= 0,5x - 4, y= x + 5), concluzionăm că că graficul unei funcții liniare este o dreaptă. Folosind proprietatea unei linii drepte: o singură linie dreaptă trece prin două puncte, este suficient să luați două puncte pentru a construi o linie dreaptă.

6. Din geometrie se știe că liniile se pot intersecta sau pot fi paralele. Explorând aranjament reciproc grafice ale mai multor funcții.

1) y= -x + 5, y= -x + 3, y= -x - 4; 2) y= 2x + 2, y= x + 2, y= -0,5x + 2.

Să construim grupuri de grafice 1) și 2) și să tragem concluzii.

Graficele funcțiilor 1) sunt amplasate în paralel, examinând formulele, observăm că toate funcțiile au aceiași coeficienți la x.

Graficele de funcții 2) se intersectează într-un punct (0;2). Examinând formulele, observăm că coeficienții sunt diferiți, iar numărul b = 2.

În plus, este ușor de observat că dreptele date de funcțiile liniare cu k › 0 formează un unghi ascuțit cu direcția pozitivă a axei Ox și un unghi obtuz cu k ‹ 0. Prin urmare, coeficientul k se numește coeficient de pantă.

7. Luați în considerare cazuri speciale ale unei funcții liniare, în funcție de coeficienți.

1) Dacă b=0, atunci funcția ia forma y= kx, atunci k = y/x (raportul arată de câte ori diferă sau ce parte este y de x).

O funcție de forma Y= kx se numește proporționalitate directă. Această funcție are toate proprietățile unei funcții liniare, caracteristica ei este că atunci când x=0 y=0. Graficul proporționalității directe trece prin punctul de origine (0; 0).

2) Dacă k = 0, atunci funcția ia forma y = b, ceea ce înseamnă că pentru orice valoare a lui x, funcția ia aceeași valoare.

O funcție de forma y = b se numește constantă. Graficul funcției este o dreaptă care trece prin punctul (0;b) paralel cu axa Ox, cu b=0 graficul funcției constante coincide cu axa absciselor.

Abstract

1. Definiție O funcție de forma Y= kx + b, unde k, b sunt niște numere, x este un argument, Y este valoarea funcției, se numește funcție liniară.

D(y) - toate numerele.

E(y) - toate numerele.

Graficul unei funcții liniare este o dreaptă care trece prin punctul (0;b).

2. Dacă b=0, atunci funcția ia forma y= kx, numită proporționalitate directă. Graficul de proporționalitate directă trece prin origine.

3. Dacă k = 0, atunci funcția ia forma y= b, se numește constantă. Graficul funcției constante trece prin punctul (0;b), paralel cu axa x.

4. Dispunerea reciprocă a graficelor funcțiilor liniare.

Sunt date funcțiile y= k 1 x + b 1 și y= k 2 x + b 2.

Dacă k 1 = k 2, atunci graficele sunt paralele;

Dacă k 1 și k 2 nu sunt egale, atunci graficele se intersectează.

5. Vezi mai sus exemple de grafice ale funcțiilor liniare.

Literatură.

1. Manual Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov și alții. „Algebră, 8”.
2. Materiale didactice la algebră pentru clasa a 8-a / V.I. Zhohov, Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk. - M .: Educație, 2006. - 144 p.
3. Supliment la ziarul 1 septembrie „Matematică”, 2001, nr.2, nr.4.

Instruire

Pentru a găsi coordonatele unui punct care aparține unei linii, selectați-l pe linie și plasați linii perpendiculare pe axa de coordonate. Determinați ce număr îi corespunde punctul de intersecție, intersecția cu axa x este valoarea abscisei, adică x1, intersecția cu axa y este ordonata, y1.

Încercați să alegeți un punct ale cărui coordonate pot fi determinate fără valori fracționale, pentru comoditatea și acuratețea calculelor. Pentru a construi o ecuație, aveți nevoie de cel puțin două puncte. Găsiți coordonatele altui punct aparținând acestei drepte (x2, y2).

Înlocuiți valorile coordonatelor în ecuația unei linii drepte, care are forma generală y=kx+b. Veți obține un sistem de două ecuații y1=kx1+b și y2=kx2+b. Rezolvați acest sistem, de exemplu, în felul următor.

Exprimați b din prima ecuație și conectați în a doua, găsiți k, conectați în orice ecuație și găsiți b. De exemplu, soluția sistemului 1=2k+b și 3=5k+b va arăta astfel: b=1-2k, 3=5k+(1-2k); 3k=2, k=1,5, b=1-2*1,5=-2. Astfel, ecuația unei drepte are forma y=1,5x-2.

Cunoscând două puncte pe o linie dreaptă, încercați să utilizați ecuație canonică linie dreaptă, arată astfel: (x - x1) / (x2 - x1) \u003d (y - y1) / (y2 - y1). Înlocuiți valorile (x1; y1) și (x2; y2), simplificați. De exemplu, punctele (2;3) și (-1;5) aparțin dreptei (x-2)/(-1-2)=(y-3)/(5-3); -3(x-2)=2(y-3); -3x+6=2y-6; 2y=12-3x sau y=6-1,5x.

Pentru a găsi ecuația unei funcții care are un grafic neliniar, procedați după cum urmează. Vedeți toate diagramele standard y=x^2, y=x^3, y=√x, y=sinx, y=cosx, y=tgx etc. Dacă unul dintre ei îți amintește de programul tău, ia-l ca bază.

Desenați un grafic al funcției de bază standard pe aceeași axă de coordonate și găsiți-l din graficul dvs. Dacă graficul este mutat în sus sau în jos cu mai multe unități, atunci acest număr a fost adăugat funcției (de exemplu, y=sinx+4). Dacă graficul este mutat la dreapta sau la stânga, atunci numărul este adăugat la argument (de exemplu, y \u003d sin (x + P / 2).

Un grafic alungit în înălțime indică faptul că funcția argument este înmulțită cu un anumit număr (de exemplu, y=2sinx). Dacă graficul, dimpotrivă, este redus în înălțime, atunci numărul din fața funcției este mai mic decât 1.

Comparați graficul funcției de bază și funcția dvs. în lățime. Dacă este mai îngust, atunci x este precedat de un număr mai mare decât 1, larg - un număr mai mic decât 1 (de exemplu, y=sin0,5x).

Notă

Poate că graficul corespunde ecuației găsite doar pe un anumit segment. În acest caz, indicați pentru ce valori ale lui x este valabilă egalitatea rezultată.

O linie dreaptă este o linie algebrică de ordinul întâi. ÎN Sistemul cartezian coordonate pe plan, ecuația unei drepte este dată de o ecuație de gradul I.

Vei avea nevoie

• Cunoștințe pe geometrie analitică. Cunoștințe de bază de algebră.

Instruire

Ecuația este dată de doi pe , pe care această linie trebuie să treacă. Compuneți raportul dintre coordonatele acestor puncte. Fie primul punct să aibă coordonatele (x1,y1), iar al doilea (x2,y2), atunci ecuația dreptei se va scrie după cum urmează: (x-x1)/(x2-x1) = (y-y1) (y2-y1).

Transformăm ecuația obținută a unei drepte și exprimăm explicit y în termeni de x. După această operație, ecuația dreptei va lua forma finală: y=(x-x1)/((x2-x1)*(y2-y1))+y1.

Videoclipuri asemănătoare

Notă

Dacă unul dintre numerele din numitor este zero, atunci linia este paralelă cu una dintre axele de coordonate.

Sfaturi utile

După ce ați făcut ecuația unei linii drepte, verificați corectitudinea acesteia. Pentru a face acest lucru, înlocuiți coordonatele punctelor în loc de coordonatele corespunzătoare și asigurați-vă că este valabilă egalitatea.

Se știe adesea că y depinde liniar de x și este dat un grafic al acestei dependențe. În acest caz, este posibil să aflați ecuația unei linii drepte. Mai întâi trebuie să selectați două puncte pe linie.

Instruire

Localizați punctele selectate. Pentru a face acest lucru, coborâți perpendicularele din punctele de pe axa de coordonate și notați numerele de pe scară. Deci, pentru punctul B din exemplul nostru, coordonata x este -2, iar coordonata y este 0. În mod similar, pentru punctul A, coordonatele vor fi (2; 3).

Se știe că linia are forma y = kx + b. Inlocuim coordonatele punctelor selectate in ecuatie in forma generala, apoi pentru punctul A obtinem urmatoarea ecuatie: 3 = 2k + b. Pentru punctul B, obținem o altă ecuație: 0 = -2k + b. Evident, avem un sistem de două ecuații cu două necunoscute: k și b.

Apoi rezolvăm sistemul în orice mod convenabil. În cazul nostru, putem adăuga ecuațiile sistemului, deoarece necunoscuta k intră în ambele ecuații cu coeficienți care sunt la fel ca valoare absolută, dar dipuși ca semn. Atunci obținem 3 + 0 = 2k - 2k + b + b, sau, care este același: 3 = 2b. Astfel b = 3/2. Înlocuim valoarea găsită a lui b în oricare dintre ecuații pentru a găsi k. Atunci 0 = -2k + 3/2, k = 3/4.

Înlocuiți k și b găsite în ecuație vedere generalași obținem ecuația dorită a dreptei: y = 3x/4 + 3/2.

Videoclipuri asemănătoare

Notă

Coeficientul k se numește panta dreptei și este egal cu tangenta unghiului dintre linie și axa x.

O linie dreaptă poate fi trasă din două puncte. Coordonatele acestor puncte sunt „ascunse” în ecuația unei linii drepte. Ecuația va spune toate secretele despre linie: cum este rotită, în ce parte a planului de coordonate se află etc.

Instruire

Mai des este necesar să se construiască într-un avion. Fiecare punct va avea două coordonate: x, y. Acordați atenție ecuației, se supune formei generale: y \u003d k * x ±b, unde k, b sunt numere libere și y, x sunt chiar coordonatele tuturor punctelor dreptei. Din ecuația generală, că pentru a găsi coordonata y trebuie să cunoașteți coordonata x. Cel mai interesant lucru este că puteți alege orice valoare a coordonatei x: din întreaga infinitate de numere cunoscute. Introduceți x în ecuație și rezolvați-l pentru a găsi y. Exemplu. Să fie dată ecuația: y=4x-3. Gândiți-vă la oricare două valori pentru coordonatele a două puncte. De exemplu, x1 = 1, x2 = 5. Înlocuiți aceste valori în ecuații pentru a găsi coordonatele y. y1 \u003d 4 * 1 - 3 \u003d 1. y2 \u003d 4 * 5 - 3 \u003d 17. Am obținut două puncte A și B, A (1; 1) și B (5; 17).

Ar trebui să construiți punctele găsite în axa de coordonate, să le conectați și să vedeți linia foarte dreaptă care a fost descrisă de ecuație. Pentru a construi o linie dreaptă, trebuie să lucrați într-un sistem de coordonate carteziene. Desenați axele X și Y. Setați punctul de intersecție la zero. Pune numere pe axe.

În sistemul construit, marcați cele două puncte găsite în primul pas. Principiul stabilirii punctelor specificate: punctul A are coordonatele x1 = 1, y1 = 1; selectați numărul 1 pe axa x, numărul 1 pe axa y. Punctul A este situat în acest punct. Punctul B este stabilit de x2 = 5, y2 = 17. Prin analogie, găsiți punctul B pe grafic. Conectați A și B pentru a face o linie dreaptă.

Videoclipuri asemănătoare

Termenul soluție a unei funcții ca atare nu este folosit în matematică. Această formulare trebuie înțeleasă ca efectuarea unor acțiuni asupra unei anumite funcții pentru a găsi o caracteristică specifică, precum și pentru a afla datele necesare pentru trasarea graficului unei funcții.

Instruire

Puteți lua în considerare o schemă aproximativă conform căreia comportamentul funcției este oportun și să construiți graficul acesteia.
Găsiți domeniul de aplicare al funcției. Determinați dacă o funcție este pară sau impară. Dacă găsiți răspunsul corect, continuați doar pe semiaxa dorită. Determinați dacă funcția este periodică. În cazul unui răspuns pozitiv, continuați studiul pe o singură perioadă. Găsiți puncte și determinați-i comportamentul în vecinătatea acestor puncte.

Găsiți punctele de intersecție ale graficului funcției cu axele de coordonate. Aflați dacă sunt. Folosiți prima derivată pentru a explora funcția pentru intervale extreme și monotonice. De asemenea, testați derivata a doua pentru convexitate, concavitate și puncte de inflexiune. Selectați puncte pentru a rafina funcția și calculați valorile funcției la ele. Construiți un grafic al funcției, ținând cont de rezultatele obținute pentru toate studiile.

Punctele caracteristice trebuie distinse pe axa 0X: puncte de discontinuitate, x=0, zerouri ale funcției, puncte extreme, puncte de inflexiune. În aceste asimptote, și va da o schiță a graficului funcției.

Deci, pe un exemplu specific al funcției y=((x^2)+1)/(x-1) efectuați un studiu folosind derivata întâi. Rescrieți funcția ca y=x+1+2/(x-1). Prima derivată va fi egală cu y’=1-2/((x-1)^2).
Găsiți punctele critice de primul fel: y'=0, (x-1)^2=2, ca rezultat veți obține două puncte: x1=1-sqrt2, x2=1+sqrt2. Marcați valorile obținute în zona de definire a funcției (Fig. 1).
Determinați semnul derivatei pe fiecare dintre intervale. Pe baza regulii alternării semnelor de la „+” la „-” și de la „-” la „+”, obțineți că punctul maxim al funcției este x1=1-sqrt2, iar punctul minim este x2=1+sqrt2 . Aceeași concluzie se poate trage din semnul derivatei a doua.

Maslova Angelina

Lucrări de cercetare în matematică. Angelina a compilat un model de calculator al unei funcții liniare, cu ajutorul căruia a efectuat studiul.

Descarca:

Previzualizare:

Autonomă Municipală instituție educațională liceu Nr. 8 al cartierului urban al orașului Bor, regiunea Nijni Novgorod

Lucrări de cercetare în informatică și matematică

Completat de o elevă de clasa 7A, Maslova Angelina

Conducător: profesor de informatică, Voronina Anna Alekseevna.

Cartierul Bor - 2015

Introducere

1. Examinarea unei funcții liniare în foile de calcul

Concluzie

Bibliografie

Introducere

Anul acesta, la lecțiile de algebră, ne-am familiarizat cu o funcție liniară. Am învățat cum să graficăm o funcție liniară, am determinat cum ar trebui să se comporte graficul funcției în funcție de coeficienții săi. Puțin mai târziu, la o lecție de informatică, am aflat că aceste acțiuni pot fi luate în considerare modelare matematică. Am decis să văd dacă este posibil să explorez o funcție liniară folosind foi de calcul.

Scopul lucrării: explorați funcția liniară în foile de calcul

Obiectivele cercetării:

• găsiți și studiați informații despre o funcție liniară;
• construiți un model matematic al unei funcții liniare într-o foaie de calcul;
• explorați o funcție liniară folosind modelul construit.

Obiectul de studiu:modelare matematică.

Subiect de studiu:modelul matematic al unei funcții liniare.

Modelarea ca metodă de cunoaştere

Omul cunoaște lumea aproape de la naștere. Pentru a face acest lucru, o persoană folosește modele care pot fi foarte diverse.

Model este un obiect nou care reflectă unele proprietăți esențiale ale unui obiect real.

Modelele de obiecte reale sunt utilizate într-o varietate de situații:

1. Când un obiect este foarte mare (de exemplu, Pământul - un model: un glob sau o hartă) sau, dimpotrivă, prea mic (o celulă biologică).
2. Când obiectul este foarte complex în structura sa (mașină - model: mașină pentru copii).
3. Când un obiect este periculos de studiat (vulcan).
4. Când obiectul este foarte departe.

Modelare este procesul de creare și studiere a unui model.

Creăm și folosim noi înșine modele, uneori fără să ne gândim la asta. De exemplu, facem poze cu un eveniment din viața noastră și apoi le arătăm prietenilor noștri.

În funcție de tipul de informații, toate modelele pot fi împărțite în mai multe grupuri:

1. modele verbale. Aceste modele pot exista oral sau în scris. S-ar putea să fie descriere verbală un obiect sau o poezie, sau poate un articol dintr-un ziar sau un eseu - toate acestea sunt modele verbale.
2. Modele grafice. Acestea sunt desenele, fotografiile, diagramele și graficele noastre.
3. modele iconice. Acestea sunt modele scrise în limbajul semnelor: note, formule matematice, fizice sau chimice.

Funcția liniară și proprietățile acesteia

Funcție liniarăse numește o funcție a formei

Graficul unei funcții liniare este o linie dreaptă.

1 . Pentru a reprezenta o funcție, avem nevoie de coordonatele a două puncte aparținând graficului funcției. Pentru a le găsi, trebuie să luați două valori x, să le înlocuiți în ecuația funcției și să calculați valorile y corespunzătoare din ele.

De exemplu, pentru a reprezenta grafic funcția, convenabil de luat și , atunci ordonatele acestor puncte vor fi egaleȘi .

Obținem punctele A(0;2) și B(3;3). Conectați-le și obțineți graficul funcției:

2 . În ecuația funcției y=kx+b, coeficientul k este responsabil pentru panta graficului funcției:

Coeficientul b este responsabil pentru deplasarea graficului de-a lungul axei OY:

Figura de mai jos prezintă graficele funcțiilor; ;

Rețineți că în toate aceste funcții coeficientul mai mare decât zero la dreapta . Mai mult, cu cât valoarea este mai mare, cu cât linia dreaptă este mai abruptă.

În toate funcțiile- și vedem că toate graficele intersectează axa OY în punctul (0; 3)

Acum luați în considerare graficele funcțiilor; ;

De data aceasta în toate funcțiile coeficientul mai putin de zero , iar toate graficele funcțiilor sunt denaturate La stânga . Coeficientul b este același, b=3, iar graficele, ca și în cazul precedent, traversează axa OY în punctul (0;3)

Luați în considerare graficele funcției; ;

Acum, în toate ecuațiile de funcții coeficiențiisunt egale. Și avem trei linii paralele.

Dar coeficienții b sunt diferiți, iar aceste grafice intersectează axa OY în puncte diferite:

Graficul funcției (b=3) traversează axa OY în punctul (0;3)

Graficul funcției (b=0) traversează axa OY în punctul (0;0) - originea.

Graficul funcției (b=-2) traversează axa OY în punctul (0;-2)

Deci, dacă cunoaștem semnele coeficienților k și b, atunci ne putem imagina imediat cum arată graficul funcției.

Dacă k 0 , apoi graficul funcției se pare ca:

Dacă k>0 și b>0, apoi graficul funcției se pare ca:

Dacă k>0 și b , apoi graficul funcției se pare ca:

Dacă k, apoi graficul funcției se pare ca:

Dacă k=0, atunci funcția se transformă într-o funcțieiar graficul său arată astfel:

Ordinatele tuturor punctelor graficului funcției egal

Dacă b=0 , apoi graficul funcțieitrece prin origine:

4. Condiție pentru paralelismul a două linii:

Graficul funcției paralel cu graficul funcției, Dacă

5. Condiția perpendicularității a două drepte:

Graficul funcției perpendicular pe graficul funcției dacă sau

6 . Punctele de intersecție ale graficului funcțieicu axe de coordonate.

cu axa OY. Abscisa oricărui punct aparținând axei OY este egală cu zero. Prin urmare, pentru a găsi punctul de intersecție cu axa OY, trebuie să înlocuiți zero în loc de x în ecuația funcției. Obținem y=b. Adică, punctul de intersecție cu axa OY are coordonatele (0;b).

Cu axa OX: Ordonata oricărui punct aparținând axei OX este zero. Prin urmare, pentru a găsi punctul de intersecție cu axa OX, trebuie să înlocuiți zero în loc de y în ecuația funcției. Se obține 0=kx+b. De aici. Adică, punctul de intersecție cu axa OX are coordonate (;0):

Examinarea unei funcții liniare în foile de calcul

Pentru a explora o funcție liniară într-un mediu de foi de calcul, am compilat următorul algoritm:

1. Construiți un model matematic al funcției Liniare într-o foaie de calcul.
2. Completați tabelul de urmărire a valorilor argumentelor și funcției.
3. Trasează o funcție liniară utilizând expertul diagramă.
4. Explorați funcția liniară în funcție de valorile coeficienților.

Pentru a studia funcția liniară, am folosit programul Microsoft Office Excel 2007. Pentru a compila tabele cu valorile argumentelor și ale funcției, am folosit formule. Am primit următorul tabel de valori:

Pe un astfel de model matematic, se pot urmări cu ușurință modificările din graficul unei funcții liniare prin modificarea valorilor coeficienților din tabel.

De asemenea, folosind foi de calcul, am decis să urmăresc cum se modifică poziția relativă a graficelor a două funcții liniare. Prin construirea unui nou model matematic în foaia de calcul, am obținut următorul rezultat:

Schimbând coeficienții a două funcții liniare, am fost clar convins de validitatea informațiilor studiate despre proprietățile funcțiilor liniare.

Concluzie

Funcția liniară din algebră este considerată cea mai simplă. Dar, în același timp, are multe proprietăți care nu sunt imediat clare. După ce am construit un model matematic al unei funcții liniare în foi de calcul și l-am studiat, proprietățile unei funcții liniare mi-au devenit mai clare. Am putut vedea clar cum se schimbă graficul atunci când se modifică coeficienții funcției.

Cred că modelul matematic pe care l-am construit îi va ajuta pe elevii de clasa a șaptea să exploreze în mod independent funcția liniară și să o înțeleagă mai bine.

Bibliografie

1. Manual de algebră pentru clasa a VII-a.
2. Manual de informatică pentru clasa a VII-a
3. wikipedia.org

Previzualizare:

Pentru a utiliza previzualizarea prezentărilor, creați un cont Google (cont) și conectați-vă: https://accounts.google.com

Subtitrări slide-uri:

Obiectul cercetării: funcția liniară. Obiectul de studiu: modelul matematic al unei funcții liniare.

Scopul lucrării: explorarea unei funcții liniare în foi de calcul Obiectivele cercetării: găsirea și studierea informațiilor despre o funcție liniară; construiți un model matematic al unei funcții liniare într-o foaie de calcul; explorați o funcție liniară folosind modelul construit.

O functie liniara este o functie de forma y= k x+ b, unde x este un argument, iar k si b sunt niste numere (coeficienti).Graficul unei functii liniare este o dreapta.

Se consideră o funcție y=kx+b astfel încât k 0 , b=0 . Vedere: y=kx Într-un sistem de coordonate, construim grafice ale acestor funcții: y=3x y=x y=-7x Construim fiecare grafic cu culoarea corespunzătoare x 0 1 y 0 3 x 0 1 y 0 1 x 0 1 y 0 7

Graficul unei funcții liniare de forma y \u003d k x trece prin origine. y=x y=3x y=-7x y x

Concluzie: Graficul unei funcții liniare de forma y = kx + b intersectează axa O Y în punctul (0; b).

Se consideră funcția y=kx+b , unde k=0. Vedere: y=b Într-un sistem de coordonate, construiți grafice ale funcțiilor: y=4 y=-3 y=0 Construim fiecare grafic cu culoarea corespunzătoare

Graficul unei funcții liniare de forma y = b este paralel cu axa OX și intersectează axa O Y în punctul (0; b). y=4 y=-3 y=0 y x

Într-un sistem de coordonate, construiți grafice ale funcțiilor: Y=2x Y=2x+ 3 Y=2x-4 Construim fiecare grafic cu culoarea corespunzătoare x 0 1 y 0 2 x 0 1 y 3 5 x 0 1 y -4 -2

Graficele funcțiilor liniare de forma y=kx+b sunt paralele dacă coeficienții la x sunt aceiași. y \u003d 2x + 3 y \u003d 2x y \u003d 2x-4 y x

Într-un sistem de coordonate, construim grafice ale funcțiilor: y=3x+4 Y= - 2x+4 Construim grafice cu culoarea corespunzătoare x 0 1 y 4 7 x 0 1 y 4 2

Graficele a două funcții liniare de forma y=kx+b se intersectează dacă coeficienții la x sunt diferiți. y x

Într-un sistem de coordonate, construim grafice ale funcțiilor: y=0, 5x-2 y=-2x-4 y= 4 x-1 y=- 0, 2 5 x- 3 x 0 4 y x 0 -2 y -4 0 x 0 4 y -2 0 x 0 1 y -1 3 x 0 - 4 y -3 -2

y=0, 5x-2 y=-2x-4 y= 4 x-1 y=- 0, 2 5 x- 1" .

Prin urmare, coeficientul k se numește panta dreptei - graficul funcției y \u003d kx + b. Dacă k 0 , atunci unghiul de înclinare a graficului față de axa O X este ascuțit. Funcția este în creștere. y x y x

Foaie de calcul

Foaie de calcul

Ecuații liniare Condiție algebrică Derivare geometrică 1 * până la 2 = -1 Dreptele sunt paralele Liniile coincid Liniile sunt perpendiculare Liniile se intersectează

Modelul matematic pe care l-am construit îi va ajuta pe elevii de clasa a șaptea să exploreze în mod independent funcția liniară și să o înțeleagă mai bine.

Rezumași sistematizarea cunoștințelor pe tema „Funcția liniară”:

• consolidarea capacității de a citi și construi grafice ale funcțiilor date prin formulele y = kx + b, y = kx;
• consolidarea capacității de a determina poziția relativă a graficelor funcțiilor liniare;
• dezvoltarea abilităților de lucru cu grafice ale funcțiilor liniare.

Dezvolta capacitatea de a analiza, compara, trage concluzii. Dezvoltarea interesului cognitiv pentru matematică, vorbire matematică orală competentă, acuratețe și acuratețe în construcție.

Cresterea atenție, independență în muncă, capacitatea de a lucra în perechi.

Echipament: riglă, creion, cartonașe, creioane colorate.

Tip de lecție: o lecție de consolidare a materialului studiat.

Planul lecției:

1. Organizarea timpului.
2. munca orală. Dictare matematică cu autoexaminare și autoevaluare. Excursie istorică.
3. Exerciții de antrenament.
4. Muncă independentă.
5. Rezumatul lecției.
6. Teme pentru acasă.

În timpul orelor

1. Comunicarea scopului lecției.

Scopul lecției este generalizarea și sistematizarea cunoștințelor pe tema „Funcția liniară”.

2. Să începem prin a-ți testa cunoștințele teoretice.

- Definiți funcția. Ce este o variabilă independentă? Variabilă dependentă?

- Definiți graficul unei funcții.

– Formulați definiția unei funcții liniare.

Care este graficul unei funcții liniare?

Cum se trasează o funcție liniară?

- Formulați definiția proporționalității directe. Ce este un grafic? Cum se construiește un grafic? Cum este situat graficul funcției y = kx în planul de coordonate pentru k > 0 și pentru k< 0?

Dictare matematică cu autoexaminare și autoevaluare.

Priveste imaginile si raspunde la intrebari.

1) Graficul cărei funcție este de prisos?

2) Care figură prezintă un grafic al proporționalității directe?

3) În ce figură graficul unei funcții liniare are pantă negativă?

4) Determinați semnul numărului b. (Scrieți răspunsul ca o inegalitate)

Verificarea muncii. Evaluare.

Lucrați în perechi.

Descifrează numele matematicianului care a folosit primul termenul funcție. Pentru a face acest lucru, în casete, introduceți litera corespunzătoare graficului funcției date. În pătratul rămas, introduceți litera C. Completați desenul cu un grafic al funcției corespunzătoare acestei litere.

Poza 1

Figura 2

Figura 3

Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646-1716, filozof, matematician, fizician și lingvist german. El și omul de știință englez I. Newton au creat (independent unul de celălalt) bazele unei ramuri importante a matematicii - analiza matematică. Leibniz a introdus multe concepte și simboluri folosite în matematică astăzi.

3. 1. Având în vedere funcţiile date de formulele: y = x-5; y=0,5x; y = – 2x; y=4.

Denumiți funcțiile. Indicați graficele care dintre aceste funcții vor trece prin punctul M (8; 4). Arată schematic cum va fi desenul dacă prezintă grafice ale funcțiilor care trec prin punctul M.

2. Graficul proporționalității directe trece prin punctul C (2; 1). Scrieți o formulă pentru proporționalitate directă. La ce valoare a lui m va trece graficul prin punctul B (-4;m).

3. Trasează funcția dată de formula y=1/2X. Cum puteți obține un grafic al funcției date de formula y=1/2X – 4 și y = 1/2X+3 din graficul acestei funcții. Analizați graficele rezultate.

4. Funcțiile sunt date prin formule:

1) y \u003d 4x + 9 și y \u003d 6x-5;
2) y=1/2x-3 și y=0,5x+2;
3) y \u003d x și y \u003d -5x + 2,4;
4) y= 3x+6 și y= -2,5x+6.

Care este poziția relativă a graficelor funcțiilor? Fără a construi, găsiți coordonatele punctului de intersecție al primei perechi de grafice. (Autotestare)

4. Munca independentă în perechi. (efectuați pe ml. hârtie). Comunicarea între subiecte.

Este necesar să construiți grafice ale funcțiilor și să selectați acea parte a acesteia, pentru punctele pentru care inegalitatea corespunzătoare este adevărată:

y \u003d x + 6,	4 < X < 6;
y \u003d -x + 6,	-6 < X < -4;
y \u003d - 1/3 x + 10,	-6 < X < -3;
y \u003d 1/3 x +10,	3 < X < 6;
y \u003d -x + 14,	0 < X < 3;
y \u003d x + 14,	-3 < X < 0;
y \u003d 9x - 18,	2 < X < 4;
y \u003d - 9x - 18	-4 < X < -2;
y = 0,	-2 < X < 2.

Ce desen ai primit? ( Lalea.)

Câteva despre lalele:

Sunt cunoscute aproximativ 120 de specii de lalele, distribuite în principal în Asia Centrală, de Est și de Sud și Europa de Sud. Botanistii cred ca cultura lalelelor isi are originea in Turcia in secolul 12. Planta si-a castigat faima mondiala departe de patria sa, in Olanda, numita pe buna dreptate Tara Lalelelor.

Iată legenda lalelei. Fericirea era cuprinsă în mugurele auriu al unei lalele galbene. Nimeni nu putea atinge această fericire, pentru că nu exista o asemenea forță care să-și deschidă mugurele. Dar într-o zi o femeie cu un copil se plimba prin poiană. Băiatul a scăpat din brațele mamei sale, a alergat spre floare cu un râs sonor, iar bobocul de aur s-a deschis. Râsul copilăresc fără griji a făcut ceea ce nicio putere nu putea face. De atunci, s-a obișnuit să dăm lalele doar celor care experimentează fericirea.

Creativ teme pentru acasă. Creați un desen într-un sistem de coordonate dreptunghiular, format din segmente și realizați modelul analitic al acestuia.

6. Munca independentă. Sarcină diferențiată (în două versiuni)

eu optiunea:

Desenați diagrame schematice ale funcțiilor:

varianta II:

Desenați schematic graficele funcțiilor pentru care sunt îndeplinite condițiile:

7. Rezumatul lecției

Analiza muncii depuse. Notare.