MGA KATANGIAN NG PAGKALAT

Mula sa mga katangian ng posisyon - inaasahan sa matematika, median, mode - lumipat tayo sa mga katangian ng pagkalat ng isang random na variable x. pagpapakalat D(X)= a 2 , ang standard deviation a at ang koepisyent ng variation v. Ang kahulugan at katangian ng pagkakaiba-iba para sa mga discrete random variable ay isinasaalang-alang sa nakaraang kabanata. Para sa tuluy-tuloy na random variable

Ang standard deviation ay ang hindi negatibong halaga ng square root ng variance:

Ang coefficient ng variation ay ang ratio ng standard deviation sa mathematical expectation:

Coefficient of variation - inilapat kapag M(X)> O - sinusukat ang spread sa mga relatibong unit, habang ang standard deviation - sa absolute.

Halimbawa 6. Para sa isang pare-parehong ibinahagi na random variable X hanapin ang variance, standard deviation at coefficient ng variation. Ang dispersion ay:

Pagpapalit ng variable ginagawang posible na magsulat:

saan kasama = f - aU2.

Samakatuwid, ang karaniwang paglihis ay at ang koepisyent ng pagkakaiba-iba ay:

MGA PAGBABAGO NG RANDOM NA HALAGA

Para sa bawat random na variable X tukuyin ang tatlo pang dami - nakasentro Y, na-normalize V at binigay U. Nakasentro random variable Y ay ang pagkakaiba sa pagitan ng ibinigay na random variable X at ang mathematical expectation nito M(X), mga. Y=X - M(X). Pag-asa sa matematika ng isang nakasentro na random na variable Y ay katumbas ng 0, at ang pagkakaiba ay ang pagkakaiba ng ibinigay na random na variable:

function ng pamamahagi Fy(x) nakasentro random variable Y nauugnay sa function ng pamamahagi F(x) ng orihinal na random variable X ratio:

Para sa mga densidad ng mga random na variable na ito, ang pagkakapantay-pantay

Normalized random variable V ay ang ratio ng ibinigay na random variable X sa standard deviation nito a, i.e. V = Xio. Pag-asa sa matematika at pagkakaiba-iba ng isang normalized na random variable V ipinahayag sa pamamagitan ng mga katangian X Kaya:

kung saan ang v ay ang coefficient ng variation ng orihinal na random variable x. Para sa function ng pamamahagi Fv(x) at densidad fv(x) normalized random variable V meron kami:

saan F(x)- distribution function ng orihinal na random variable x; ayusin) ay ang probability density nito.

Nabawasan ang random variable U ay isang nakasentro at normalized na random variable:

Para sa pinababang random variable

Ang normalized, centered at reduced random variable ay patuloy na ginagamit kapwa sa teoretikal na pananaliksik at sa mga algorithm, software na produkto, regulasyon at teknikal at nakapagtuturo at metodolohikal na dokumentasyon. Sa partikular, dahil ang pagkakapantay-pantay M(U) = 0, D(lf) = 1 ginagawang posible na pasimplehin ang pagpapatibay ng mga pamamaraan, mga pormulasyon ng mga teorema, at mga pormula sa pagkalkula.

Ang mga pagbabagong-anyo ng mga random na variable at mas pangkalahatang plano ay ginagamit. Kaya, kung U = aX + b, saan a at b ay ilang mga numero, kung gayon

Halimbawa 7. Kung a= 1/G, b = -M(X)/G, pagkatapos ang Y ay isang pinababang random na variable, at ang mga formula (8) ay binago sa mga formula (7).

Sa bawat random na variable X posibleng ikonekta ang hanay ng mga random na variable Y na ibinigay ng formula Y = Oh + b sa iba't-ibang isang > 0 at b. Ang set na ito ay tinatawag na pamilya ng scale-shear, nabuo ng isang random na variable x. Mga function ng pamamahagi Fy(x) ay bumubuo ng isang scale-shift na pamilya ng mga distribusyon na nabuo ng function ng pamamahagi F(x). Sa halip na Y= aX + b madalas na ginagamit na notasyon

Numero kasama ay tinatawag na shift parameter, at ang numero d- parameter ng sukat. Ang formula (9) ay nagpapakita na X- ang resulta ng pagsukat ng isang tiyak na halaga - napupunta sa K - ang resulta ng pagsukat ng parehong halaga, kung ang simula ng pagsukat ay inilipat sa isang punto kasama, at pagkatapos ay gamitin ang bagong yunit ng sukat, sa d beses na mas malaki kaysa sa dati.

Para sa pamilya ng scale-shift (9), ang pamamahagi X tinatawag na pamantayan. Sa probabilistic-statistical na mga pamamaraan ng paggawa ng desisyon at iba pang inilapat na pananaliksik, ang karaniwang normal na pamamahagi, ang karaniwang pamamahagi ng Weibull-Gnedenko, ang karaniwang pamamahagi ng gamma ay ginagamit.

pamamahagi, atbp. (tingnan sa ibaba).

Ginagamit din ang iba pang pagbabago ng mga random na variable. Halimbawa, para sa isang positibong random na variable X isaalang-alang Y = IgX, saan IgX- decimal logarithm ng isang numero x. Kadena ng pagkakapantay-pantay

nauugnay ang mga function ng pamamahagi X at Y.

Sa itaas ay nakilala namin ang mga batas ng pamamahagi ng mga random na variable. Ang bawat batas sa pamamahagi ay lubos na naglalarawan ng mga katangian ng mga probabilidad ng isang random na variable at ginagawang posible na kalkulahin ang mga probabilidad ng anumang mga kaganapan na nauugnay sa isang random na variable. Gayunpaman, sa maraming mga katanungan ng pagsasanay ay hindi na kailangan para sa ganoong kumpletong paglalarawan at kadalasan ay sapat na upang ipahiwatig lamang ang mga indibidwal na numerical na parameter na nagpapakilala sa mga mahahalagang katangian ng pamamahagi. Halimbawa, ang average, kung saan nakakalat ang mga halaga ng isang random na variable, ay ilang numero na nagpapakilala sa laki ng pagkalat na ito. Ang mga numerong ito ay inilaan upang ipahayag sa isang maigsi na anyo ang pinakamahalagang katangian ng pamamahagi, at tinatawag numerical na katangian ng isang random variable.

Kabilang sa mga numerical na katangian ng mga random na variable, una sa lahat, isinasaalang-alang nila ang mga katangian na nag-aayos ng posisyon ng isang random na variable sa numero ng axis, i.e. ilang average na halaga ng isang random na variable sa paligid kung saan ang mga posibleng halaga nito ay pinagsama-sama. Sa mga katangian ng posisyon sa teorya ng posibilidad, ang pinakadakilang papel ay ginagampanan ng inaasahang halaga, na kung minsan ay tinatawag na mean value ng random variable.

Ipagpalagay natin na ang discrete SW?, ay kumukuha ng mga halaga x ( , x 2 ,..., x p may probabilidad R j, p 2 ,...y Ptv mga. ibinigay ng serye ng pamamahagi

Posible na sa mga eksperimentong ito ang halaga x x sinusunod N( beses, halaga x 2 - N 2 beses,..., halaga x n - N n minsan. Sabay + N 2 +... + N n =N.

Arithmetic mean ng mga resulta ng pagmamasid

Kung ang N malaki, i.e. N- "oh, kung gayon

naglalarawan sa sentro ng pamamahagi. Ang average na halaga ng isang random na variable na nakuha sa paraang ito ay tatawaging mathematical expectation. Magbigay tayo ng pandiwang pagbabalangkas ng kahulugan.

Kahulugan 3.8. inaasahan sa matematika (MO) discrete SV% ay isang numero na katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng lahat ng posibleng halaga nitoat ang mga probabilities ng mga value na ito (notation M;):

Ngayon isaalang-alang ang kaso kapag ang bilang ng mga posibleng halaga ng discrete CV? ay mabibilang, i.e. may RR kami

Ang formula para sa mathematical na inaasahan ay nananatiling pareho, tanging sa itaas na limitasyon ng kabuuan P ay pinalitan ng oo, i.e.

Sa kasong ito, nakakakuha na kami ng isang serye na maaaring magkaiba, i.e. ang kaukulang CV ^ ay maaaring walang mathematical na inaasahan.

Halimbawa 3.8. CB?, na ibinigay ng serye ng pamamahagi

Hanapin natin ang MO nitong SW.

Desisyon. A-prioryo. mga. Mt, ay wala.

Kaya, sa kaso ng isang mabibilang na bilang ng mga halaga ng SW, nakuha namin ang sumusunod na kahulugan.

Kahulugan 3.9. inaasahan sa matematika, o ang average na halaga, discrete SW, ang pagkakaroon ng mabibilang na bilang ng mga halaga, ay tinatawag na isang numero na katumbas ng kabuuan ng isang serye ng mga produkto ng lahat ng posibleng halaga nitoat ang kaukulang mga probabilidad, sa kondisyon na ang seryeng ito ay ganap na nagtatagpo, i.e.

Kung ang seryeng ito ay nag-iiba o nagko-converge nang may kondisyon, sasabihin namin na ang CV ^ ay walang inaasahan sa matematika.

Ipasa natin mula sa discrete hanggang sa tuloy-tuloy na SW na may density p(x).

Kahulugan 3.10. inaasahan sa matematika, o ang average na halaga, tuloy-tuloy na SW tinatawag na isang numero na katumbas ng

sa kondisyon na ang integral na ito ay ganap na nagtatagpo.

Kung ang integral na ito ay diverge o converges conditional, kung gayon sinasabi nila na ang tuluy-tuloy na CB? ay walang mathematical expectation.

Puna 3.8. Kung ang lahat ng posibleng mga halaga ng random variable J;

nabibilang lamang sa pagitan ( a; b) pagkatapos

Ang pag-asa sa matematika ay hindi lamang ang katangian ng posisyon na ginagamit sa teorya ng posibilidad. Minsan tulad ng mode at median ang ginagamit.

Kahulugan 3.11. Fashion CB ^ (pagtatalaga Mot,) ang pinaka-malamang na halaga nito ay tinatawag, i.e. isa kung saan ang posibilidad pi o probability density p(x) umabot sa pinakamataas na halaga.

Kahulugan 3.12. Median SV?, (pagtatalaga nakilala) ay tinatawag na tulad ng isang halaga para sa kung saan P(t> Nakilala) = P(? > nakilala) = 1/2.

Sa geometriko, para sa tuluy-tuloy na SW, ang median ay ang abscissa ng puntong iyon sa axis oh kung saan ang mga lugar sa kaliwa at sa kanan nito ay pareho at katumbas ng 1/2.

Halimbawa 3.9. SWt,may numero ng pamamahagi

Hanapin natin ang mathematical expectation, mode at median ng SW

Desisyon. Mb,= 0-0.1 + 1 0.3 + 2 0.5 + 3 0.1 = 1.6. L/o? = 2. Ako(?) ay wala.

Halimbawa 3.10. Ang patuloy na CB % ay may density

Hanapin natin ang mathematical expectation, median at mode.

Desisyon.

p(x) umabot sa maximum, pagkatapos Malinaw, ang median ay pantay din, dahil ang mga lugar sa kanan at kaliwang bahagi ng linyang dumadaan sa punto ay pantay.

Bilang karagdagan sa mga katangian ng posisyon sa teorya ng posibilidad, ang isang bilang ng mga numerical na katangian para sa iba't ibang layunin ay ginagamit din. Kabilang sa mga ito, ang mga sandali - una at sentral - ay partikular na kahalagahan.

Kahulugan 3.13. Ang unang sandali ng kth order SW?, ay tinatawag na mathematical expectation k-ika antas ng halagang ito: =M(t > k).

Ito ay sumusunod mula sa mga kahulugan ng matematikal na inaasahan para sa discrete at tuloy-tuloy na random variable na

Puna 3.9. Malinaw, ang paunang sandali ng 1st order ay ang mathematical na inaasahan.

Bago tukuyin ang gitnang sandali, ipinakilala namin ang isang bagong konsepto ng isang nakasentro na random na variable.

Kahulugan 3.14. Nakasentro Ang CV ay ang paglihis ng isang random na variable mula sa inaasahan nitong matematika, i.e.

Madaling i-verify iyon

Ang pagsentro sa isang random na variable, malinaw naman, ay katumbas ng paglilipat ng pinagmulan sa puntong M;. Ang mga sandali ng isang nakasentro na random variable ay tinatawag gitnang mga punto.

Kahulugan 3.15. Ang gitnang sandali ng kth order Ang SW % ay tinatawag na mathematical expectation k-ika antas ng isang nakasentro na random na variable:

Ito ay sumusunod mula sa kahulugan ng matematikal na inaasahan na

Malinaw, para sa anumang random na variable ^ ang gitnang sandali ng 1st order ay katumbas ng zero: kasama ang x= M(? 0) = 0.

Ang partikular na kahalagahan para sa pagsasanay ay ang pangalawang sentral na punto mula sa 2. Ito ay tinatawag na dispersion.

Kahulugan 3.16. pagpapakalat CB?, ay tinatawag na mathematical expectation ng parisukat ng katumbas na nakasentro na halaga (notation D?)

Upang kalkulahin ang pagkakaiba, ang mga sumusunod na formula ay maaaring makuha nang direkta mula sa kahulugan:

Pagbabago ng formula (3.4), maaari nating makuha ang sumusunod na formula para sa pagkalkula D.L.

Ang pagpapakalat ng TK ay isang katangian nakakalat, ang pagkalat ng mga halaga ng isang random na variable sa paligid ng kanyang inaasahan sa matematika.

Ang pagkakaiba ay may sukat ng parisukat ng isang random na variable, na hindi palaging maginhawa. Samakatuwid, para sa kalinawan, bilang isang katangian ng pagpapakalat, ito ay maginhawang gumamit ng isang numero na ang sukat ay tumutugma sa isang random na variable. Upang gawin ito, kunin ang square root ng dispersion. Ang resultang halaga ay tinatawag karaniwang lihis random variable. Ipatukoy natin ito bilang a: a = l / w.

Para sa isang hindi negatibong CB?, minsan ito ay ginagamit bilang isang katangian ang koepisyent ng pagkakaiba-iba, katumbas ng ratio ng standard deviation sa mathematical expectation:

Ang pag-alam sa pag-asa sa matematika at karaniwang paglihis ng isang random na variable, makakakuha ng isang tinatayang ideya ng saklaw ng mga posibleng halaga nito. Sa maraming mga kaso, maaari nating ipagpalagay na ang mga halaga ng random variable % ay paminsan-minsan lamang na lumalampas sa pagitan ng M; ± Para sa. Ang panuntunang ito para sa normal na pamamahagi, na ating bibigyang-katwiran sa ibang pagkakataon, ay tinatawag tatlong sigma na panuntunan.

Ang inaasahan at pagkakaiba sa matematika ay ang pinakakaraniwang ginagamit na mga katangiang pang-numero ng isang random na variable. Mula sa kahulugan ng mathematical expectation at variance, sumusunod ang ilang simple at medyo halatang katangian ng mga numerical na katangiang ito.

Protozoakatangian ng pag-asa at pagpapakalat ng matematika.

1. Mathematical na inaasahan ng isang di-random na variable kasama katumbas ng halaga ng c: M(s) = s.

Sa katunayan, dahil ang halaga kasama tumatagal lamang ng isang halaga na may posibilidad na 1, pagkatapos ay М(с) = kasama 1 = s.

2. Ang pagkakaiba ng di-random na variable c ay katumbas ng zero, i.e. D(c) = 0.

Talaga, Dc \u003d M (s - Ms) 2 \u003d M (s- c) 2 = M( 0) = 0.

3. Maaaring alisin ang isang non-random multiplier mula sa expectation sign: M(c^) = c M(?,).

Ipakita natin ang bisa ng property na ito sa halimbawa ng discrete RV.

Hayaang ibigay ang RV ng serye ng pamamahagi

Pagkatapos

Kaya naman,

Ang ari-arian ay napatunayang katulad para sa isang tuluy-tuloy na random na variable.

4. Maaaring kunin ang isang non-random multiplier mula sa squared variance sign:

Ang mas maraming sandali ng isang random na variable ay kilala, ang mas detalyadong ideya ng batas ng pamamahagi na mayroon tayo.

Sa probability theory at mga aplikasyon nito, dalawa pang numerical na katangian ng isang random na variable ang ginagamit, batay sa mga gitnang sandali ng ika-3 at ika-4 na order, ang asymmetry coefficient, o m x .

Para sa mga discrete random variable inaasahang halaga :

Ang kabuuan ng mga halaga ng kaukulang halaga sa pamamagitan ng posibilidad ng mga random na variable.

Fashion (Mod) ng isang random na variable X ay tinatawag na pinakamalamang na halaga nito.

Para sa isang discrete random variable. Para sa tuluy-tuloy na random variable.

Unimodal na pamamahagi

Multi modal distribution

Sa pangkalahatan, Mod at inaasahang halaga hindi

tugma.

Median (Med) ng isang random na variable X ay isang halaga kung saan ang posibilidad na ang P(X Med). Ang anumang pamamahagi ng Med ay maaari lamang magkaroon ng isa.

Hinahati ng Med ang lugar sa ilalim ng kurba sa 2 pantay na bahagi. Sa kaso ng unimodal at simetriko na pamamahagi

Mga sandali.

Kadalasan, dalawang uri ng mga sandali ang ginagamit sa pagsasanay: una at sentral.

Panimulang sandali. Ang ika-order ng isang discrete random variable X ay isang kabuuan ng form:

Para sa isang tuluy-tuloy na random na variable X, ang paunang sandali ng pagkakasunud-sunod ay ang integral , ito ay malinaw na ang matematikal na inaasahan ng isang random na variable ay ang unang unang sandali.

Gamit ang sign (operator) M, ang paunang sandali ng -th order ay maaaring ilarawan bilang isang banig. inaasahan ng ika-kapangyarihan ng ilang random variable.

Nakasentro ang random variable ng kaukulang random variable X ay ang deviation ng random variable X mula sa mathematical expectation nito:

Ang inaasahan sa matematika ng isang nakasentro na random na variable ay 0.

Para sa mga discrete random variable mayroon kaming:

Ang mga sandali ng isang nakasentro na random variable ay tinatawag Mga sentral na sandali

Gitnang sandali ng pagkakasunud-sunod Ang random variable X ay tinatawag na mathematical expectation ng th power ng kaukulang centered random variable.

Para sa mga discrete random variable:

Para sa tuluy-tuloy na random na mga variable:

Relasyon sa pagitan ng sentral at paunang sandali ng iba't ibang mga order

Sa lahat ng mga sandali, ang unang sandali (math. expectation) at ang pangalawang gitnang sandali ay kadalasang ginagamit bilang isang katangian ng isang random na variable.

Ang pangalawang sentral na sandali ay tinatawag pagpapakalat random variable. Mayroon itong pagtatalaga:

Sa pamamagitan ng kahulugan

Para sa isang discrete random variable:

Para sa tuluy-tuloy na random na variable:

Ang dispersion ng isang random variable ay isang katangian ng dispersion (scattering) ng random variables X sa paligid ng mathematical expectation nito.

Pagpapakalat nangangahulugan ng pagkalat. Ang pagkakaiba ay may sukat ng parisukat ng isang random na variable.

Para sa isang visual na characterization ng dispersion, mas maginhawang gamitin ang value m y kapareho ng dimensyon ng random variable. Para sa layuning ito, ang isang ugat ay kinuha mula sa pagpapakalat at isang halaga ay nakuha, na tinatawag na - karaniwang paglihis (RMS) random variable X, habang ipinapakilala ang pagtatalaga: