Mga equation. Mga pagbabago sa pagkakakilanlan Pagbabago ng mga ekspresyon. buod at mga pangunahing pormula

“Mga pagkakakilanlan. Pagbabago ng pagkakakilanlan ng mga ekspresyon”.

Mga Layunin ng Aralin

Pang-edukasyon:

upang kilalanin at paunang pagsama-samahin ang mga konsepto ng "magkaparehong pantay na mga ekspresyon", "pagkakakilanlan", "magkaparehong pagbabago";

upang isaalang-alang ang mga paraan ng pagpapatunay ng mga pagkakakilanlan, upang itaguyod ang pagbuo ng mga kasanayan para sa pagpapatunay ng mga pagkakakilanlan;

upang suriin ang asimilasyon ng pinag-aralan na materyal ng mga mag-aaral, upang mabuo ang mga kasanayan sa paglalapat ng pinag-aralan para sa pang-unawa ng bago.

Pang-edukasyon : bumuo ng pag-iisip, pagsasalita ng mga mag-aaral.

Pang-edukasyon : upang linangin ang kasipagan, kawastuhan, kawastuhan ng pagtatala ng solusyon ng mga pagsasanay.

Uri ng aralin: pag-aaral ng bagong materyal

Kagamitan : Multimedia board, pisara, aklat-aralin, workbook.

P lan aralin

Saglit ng organisasyon (upang tunguhin ang mga mag-aaral sa aralin)

Pagsusuri ng takdang-aralin (pagwawasto ng error)

mga pagsasanay sa bibig

Ang pag-aaral ng bagong materyal (Panimula at pangunahing pagsasama-sama ng mga konsepto ng "pagkakakilanlan", "magkaparehong pagbabago").

Mga pagsasanay sa pagsasanay(Pagbuo ng mga konsepto ng "pagkakakilanlan", "magkaparehong pagbabago").

Pagbubuod ng aralin (Ibuod ang teoretikal na impormasyong nakuha sa aralin).

Mensahe sa takdang-aralin (Ipaliwanag ang nilalaman ng takdang-aralin)

Sa panahon ng mga klase

I. Pansamahang sandali.

Sinusuri ang takdang-aralin.

Mga tanong sa takdang-aralin.

Debriefing sa pisara.

Kailangan ng math
Imposible kung wala siya
Nagtuturo kami, nagtuturo kami, mga kaibigan,
Ano ang naaalala natin sa umaga?

II . mga pagsasanay sa bibig.

Mag workout tayo.

Resulta ng karagdagan. (Sum)

Ilang numero ang alam mo? (sampu)

Daan-daan ng isang numero. (Porsyento)

resulta ng paghahati? (Pribado)

Ang pinakamaliit na natural na numero? (isa)

Posible ba kapag naghahati natural na mga numero makakuha ng zero? (Hindi)

Ano ang kabuuan ng mga numero mula -200 hanggang 200? (0)

Ano ang pinakamalaking negatibong integer. (-isa)

Anong numero ang hindi maaaring hatiin? (0)

Resulta ng pagpaparami? (Trabaho)

Pinakamalaking dalawang digit na numero? (99)

Ano ang produkto mula -200 hanggang 200? (0)

Ang resulta ng pagbabawas. (Pagkakaiba)

Ilang gramo sa isang kilo? (1000)

Commutative na pag-aari ng karagdagan. (Ang kabuuan ay hindi nagbabago mula sa muling pagsasaayos ng mga lugar ng mga termino)

Commutative property ng multiplikasyon. (Ang produkto ay hindi nagbabago mula sa permutasyon ng mga lugar ng mga kadahilanan)

Kaakibat na ari-arian ng karagdagan. (Upang magdagdag ng numero sa kabuuan ng dalawang numero, maaari mong idagdag ang kabuuan ng pangalawa at pangatlo sa unang numero)

Kaugnay na pag-aari ng multiplikasyon. (upang i-multiply ang produkto ng dalawang numero sa ikatlong numero, maaari mong i-multiply ang unang numero sa produkto ng pangalawa at pangatlo)

pamamahagi ng ari-arian. (Upang i-multiply ang isang numero sa kabuuan ng dalawang numero, maaari mong i-multiply ang numerong ito sa bawat termino at idagdag ang mga resulta)

III . Pag-aaral ng bagong materyal .

Guro. Hanapin ang halaga ng mga expression sa x=5 at y=4

3(x+y)=3(5+4)=3*9=27

3x+3y=3*5+3*4=27

Nakuha namin ang parehong resulta. Ito ay sumusunod mula sa distributive property na, sa pangkalahatan, para sa anumang mga halaga ng mga variable, ang mga halaga ng mga expression na 3(x + y) at 3x + 3y ay pantay.

Isaalang-alang ngayon ang mga expression na 2x + y at 2xy. Para sa x=1 at y=2 ay kinukuha nila pantay na halaga:

2x+y=2*1+2=4

2xy=2*1*2=4

Gayunpaman, maaari mong tukuyin ang mga halaga ng x at y upang ang mga halaga ng mga expression na ito ay hindi pantay. Halimbawa, kung x=3, y=4, kung gayon

2x+y=2*3+4=10

2xy=2*3*4=24

Kahulugan: Dalawang expression na ang mga halaga ay pantay para sa anumang mga halaga ng mga variable ay sinasabing magkaparehong pantay.

Ang mga expression na 3(x+y) at 3x+3y ay magkapareho, ngunit ang mga expression na 2x+y at 2xy ay hindi magkapareho.

Ang pagkakapantay-pantay na 3(x + y) at 3x + 3y ay totoo para sa anumang mga halaga ng x at y. Ang ganitong mga pagkakapantay-pantay ay tinatawag na pagkakakilanlan.

Kahulugan: Ang pagkakapantay-pantay na totoo para sa anumang mga halaga ng mga variable ay tinatawag na pagkakakilanlan.

Itinuturing ding mga pagkakakilanlan ang tunay na pagkakapantay-pantay ng numero. Nakilala na namin ang mga pagkakakilanlan. Ang mga pagkakakilanlan ay mga pagkakapantay-pantay na nagpapahayag ng mga pangunahing katangian ng mga aksyon sa mga numero (Magkokomento ang mga mag-aaral sa bawat ari-arian sa pamamagitan ng pagbigkas nito).

a + b = b + a ab=ba (a + b) + c = a + (b + c) (ab)c = a(bc) a(b + c) = ab + ac

Maaaring ibigay ang iba pang mga halimbawa ng pagkakakilanlan (Nagkokomento ang mga mag-aaral sa bawat ari-arian, binibigkas ito).

a + 0 = a

a * 1 = a

a + (-a) = 0

isang * (- b ) = - ab

a - b = a + (- b )

(- a ) * (- b ) = ab

Kahulugan: Ang pagpapalit ng isang ekspresyon ng isa pa, na kapareho nito, ay tinatawag na magkaparehong pagbabago o simpleng pagbabago ng isang ekspresyon.

Guro:

Ang mga magkatulad na pagbabagong-anyo ng mga expression na may mga variable ay ginagawa batay sa mga katangian ng mga operasyon sa mga numero.

Ang mga pagbabago sa pagkakakilanlan ng mga expression ay malawakang ginagamit sa pagkalkula ng mga halaga ng mga expression at paglutas ng iba pang mga problema. Kinailangan mo nang magsagawa ng ilang magkaparehong pagbabago, halimbawa, pagbabawas ng mga katulad na termino, pagpapalawak ng mga bracket. Alalahanin ang mga patakaran para sa mga pagbabagong ito:

Mga mag-aaral:

Upang magdala ng mga katulad na termino, kinakailangang idagdag ang kanilang mga coefficient at i-multiply ang resulta sa karaniwang bahagi ng titik;

Kung may plus sign sa harap ng mga bracket, maaaring tanggalin ang mga bracket, na pinapanatili ang sign ng bawat termino na nakapaloob sa mga bracket;

Kung mayroong minus sign bago ang mga bracket, maaaring tanggalin ang mga bracket sa pamamagitan ng pagpapalit ng sign ng bawat termino na nakapaloob sa mga bracket.

Guro:

Halimbawa 1. Nagpapakita kami ng mga katulad na termino

5x + 2x-3x=x(5+2-3)=4x

Anong panuntunan ang ginamit natin?

Mag-aaral:

Ginamit namin ang panuntunan ng pagbabawas ng mga katulad na termino. Ang pagbabagong ito ay batay sa distributive property ng multiplication.

Guro:

Halimbawa 2. Palawakin ang mga bracket sa expression na 2a + (b-3 c) = 2 a + b – 3 c

Inilapat namin ang panuntunan ng pagbubukas ng mga bracket na pinangungunahan ng isang plus sign.

Mag-aaral:

Ang isinagawang pagbabago ay batay sa nauugnay na pag-aari ng karagdagan.

Guro:

Halimbawa 3. Buksan natin ang mga bracket sa expression na a - (4b- c) =a – 4 b + c

Ginamit namin ang panuntunan ng pagbubukas ng mga bracket, na pinangungunahan ng isang minus sign.

Saang pag-aari ang pagbabatayan ng pagbabagong ito?

Mag-aaral:

Ang ginawang pagbabago ay nakabatay sa distributive property ng multiplication at sa associative property ng karagdagan.

IV . Mga pagsasanay sa pagsasanay

(Bago magsimula, gumawa kami ng pisikal na aktibidad

Mabilis silang bumangon at ngumiti.

Hinila pataas ng pataas.

Halika, ituwid mo ang iyong mga balikat

Itaas, ibaba.

Kumanan, kumaliwa

Umupo ka, bumangon ka. Umupo ka, bumangon ka.

At tumakbo sila sa lugar.

(Magaling, maupo).

Mag-mini tayo pansariling gawain- pagsunod, At ang mga naniniwala na ang paksa ay mahusay na naiintindihan - nagpasya online - pagsubok.

1) 5 (3x -2) - (4x + 9) A) 5-10: x

2) 5x-4 (2x-5) + 5 B) 11x -19

3) (5x-10): x B) 3x + 25

4) 11x-4 (x - 3) + 5x D) -3x + 25

E) 12x +12

V . Pagbubuod ng aralin .

Nagtatanong ang guro, at sinasagot ito ng mga mag-aaral ayon sa gusto nila.

Anong dalawang expression ang tinatawag na magkaparehong pantay? Magbigay ng halimbawa.

Anong pagkakapantay-pantay ang tinatawag na pagkakakilanlan? Magbigay ng halimbawa.

Anong magkaparehong pagbabago ang alam mo?

VI . Takdang aralin . p.5, maghanap ng mga lumang magkaparehong expression gamit ang Internet

Ang mga conversion ng pagkakakilanlan ay ang gawaing ginagawa namin sa mga numeric at alphabetic na expression, pati na rin sa mga expression na naglalaman ng mga variable. Isinasagawa namin ang lahat ng mga pagbabagong ito upang dalhin ang orihinal na expression sa isang form na magiging maginhawa para sa paglutas ng problema. Isasaalang-alang namin ang mga pangunahing uri ng magkaparehong pagbabago sa paksang ito.

Pagbabago ng pagkakakilanlan ng isang ekspresyon. Ano ito?

Sa unang pagkakataon ay nakilala natin ang konsepto ng identical transformed namin sa mga aralin sa algebra sa grade 7. Pagkatapos ay kilalanin muna natin ang konsepto ng magkaparehong pantay na mga expression. Pag-usapan natin ang mga konsepto at kahulugan upang mapadali ang asimilasyon ng paksa.

Kahulugan 1

Pagbabago ng pagkakakilanlan ng isang ekspresyon ay mga pagkilos na ginagawa upang palitan ang orihinal na expression ng isang expression na magiging kapareho ng orihinal.

Kadalasan ang kahulugan na ito ay ginagamit sa isang pinaikling anyo, kung saan ang salitang "magkapareho" ay tinanggal. Ipinapalagay na sa anumang kaso isinasagawa namin ang pagbabago ng ekspresyon sa paraang makakuha ng ekspresyong kapareho ng orihinal, at hindi ito kailangang bigyang-diin nang hiwalay.

Ilarawan depinisyon na ito mga halimbawa.

Halimbawa 1

Kung papalitan natin ang expression x + 3 - 2 sa magkatulad na pagpapahayag x+1, pagkatapos ay isinasagawa namin ang magkatulad na pagbabago ng expression x + 3 - 2.

Halimbawa 2

Pinapalitan ang expression 2 a 6 ng expression a 3 ay ang pagbabago ng pagkakakilanlan, habang ang kapalit ng expression x sa pagpapahayag x2 ay hindi isang magkatulad na pagbabago, dahil ang mga expression x at x2 ay hindi magkapareho.

Iginuhit namin ang iyong pansin sa anyo ng pagsulat ng mga ekspresyon kapag nagsasagawa ng magkatulad na pagbabago. Karaniwan naming isinusulat ang orihinal na expression at ang resultang expression bilang isang pagkakapantay-pantay. Kaya, ang pagsulat ng x + 1 + 2 = x + 3 ay nangangahulugan na ang expression na x + 1 + 2 ay nabawasan sa anyong x + 3 .

Ang sunud-sunod na pagpapatupad ng mga aksyon ay humahantong sa amin sa isang hanay ng mga pagkakapantay-pantay, na kung saan ay ilang magkakasunod na magkakaparehong pagbabago. Kaya, naiintindihan namin ang notasyon x + 1 + 2 = x + 3 = 3 + x bilang isang sunud-sunod na pagpapatupad ng dalawang pagbabagong-anyo: una, ang expression na x + 1 + 2 ay binawasan sa anyo na x + 3, at ito ay nabawasan sa ang form 3 + x.

Mga pagbabago sa pagkakakilanlan at ODZ

Ang ilang mga expression na sinimulan nating pag-aralan sa grade 8 ay walang kahulugan para sa anumang mga halaga ng mga variable. Ang pagsasagawa ng magkatulad na pagbabago sa mga kasong ito ay nangangailangan sa amin na bigyang pansin ang rehiyon ng mga tinatanggap na halaga ng mga variable (ODV). Ang pagsasagawa ng magkatulad na mga pagbabago ay maaaring iwanang ang ODZ ay hindi nagbabago o paliitin ito.

Halimbawa 3

Kapag nagsasagawa ng paglipat mula sa expression a + (−b) sa pagpapahayag a-b hanay ng mga pinapayagang halaga ng mga variable a at b nananatiling pareho.

Halimbawa 4

Transition mula sa expression x hanggang expression x 2 x humahantong sa pagpapaliit ng saklaw ng mga katanggap-tanggap na halaga ng variable x mula sa hanay ng lahat ng tunay na numero hanggang sa hanay ng lahat ng tunay na numero, kung saan ang zero ay hindi kasama.

Halimbawa 5

Pagbabago ng pagkakakilanlan ng isang ekspresyon x 2 x Ang expression na x ay humahantong sa pagpapalawak ng hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga ng variable x mula sa hanay ng lahat ng tunay na numero maliban sa zero hanggang sa hanay ng lahat ng tunay na numero.

Ang pagpapaliit o pagpapalawak ng saklaw ng mga pinahihintulutang halaga ng mga variable kapag nagsasagawa ng magkatulad na mga pagbabago ay mahalaga sa paglutas ng mga problema, dahil maaari itong makaapekto sa katumpakan ng mga kalkulasyon at humantong sa mga pagkakamali.

Mga pangunahing pagbabago sa pagkakakilanlan

Tingnan natin ngayon kung ano ang magkaparehong mga pagbabagong-anyo at kung paano ito ginaganap. Isa-isahin natin ang mga uri ng magkatulad na pagbabagong iyon na madalas nating harapin sa pangunahing grupo.

Bilang karagdagan sa mga pangunahing pagbabago sa pagkakakilanlan, mayroong ilang mga pagbabagong nauugnay sa mga ekspresyon ng isang partikular na uri. Para sa mga fraction, ito ay mga paraan ng pagbabawas at pagbabawas sa isang bagong denominator. Para sa mga expression na may mga ugat at kapangyarihan, lahat ng mga aksyon na ginagawa batay sa mga katangian ng mga ugat at kapangyarihan. Para sa mga logarithmic expression, mga aksyon na ginagawa batay sa mga katangian ng logarithms. Para sa trigonometriko expression lahat ng mga aksyon gamit mga formula ng trigonometriko. Ang lahat ng partikular na pagbabagong ito ay tinalakay nang detalyado sa magkakahiwalay na paksa na makikita sa aming mapagkukunan. Para sa kadahilanang ito, hindi namin tatalakayin ang mga ito sa artikulong ito.

Magpatuloy tayo sa pagsasaalang-alang ng mga pangunahing magkaparehong pagbabago.

Muling pagsasaayos ng mga termino, mga kadahilanan

Magsimula tayo sa muling pagsasaayos ng mga tuntunin. Madalas nating hinarap ang magkatulad na pagbabagong ito. At ang sumusunod na pahayag ay maaaring ituring na pangunahing panuntunan dito: sa anumang kabuuan, ang muling pagsasaayos ng mga termino sa mga lugar ay hindi nakakaapekto sa resulta.

Ang panuntunang ito ay batay sa commutative at associative na katangian ng karagdagan. Ang mga katangiang ito ay nagbibigay-daan sa amin na muling ayusin ang mga termino sa mga lugar at sa parehong oras ay makakuha ng mga expression na kapareho ng mga orihinal. Iyon ang dahilan kung bakit ang muling pagsasaayos ng mga termino sa mga lugar sa kabuuan ay isang magkaparehong pagbabago.

Halimbawa 6

Mayroon kaming kabuuan ng tatlong termino 3 + 5 + 7 . Kung palitan natin ang mga termino 3 at 5, ang expression ay kukuha ng form 5 + 3 + 7. Mayroong ilang mga opsyon para sa muling pagsasaayos ng mga tuntunin sa kasong ito. Ang lahat ng mga ito ay humahantong sa pagkuha ng mga expression na magkapareho sa orihinal.

Hindi lamang mga numero, kundi pati na rin ang mga expression ay maaaring kumilos bilang mga termino sa kabuuan. Ang mga ito, tulad ng mga numero, ay maaaring muling ayusin nang hindi naaapektuhan ang huling resulta ng mga kalkulasyon.

Halimbawa 7

Sa kabuuan ng tatlong termino 1 a + b, a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 at - 12 a ng form 1 a + b + a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 + ( - 12) ang isang termino ay maaaring muling ayusin, halimbawa, tulad nito (- 12) a + 1 a + b + a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 . Sa turn, maaari mong muling ayusin ang mga termino sa denominator ng fraction 1 a + b, habang ang fraction ay kukuha ng form na 1 b + a. At ang expression sa ilalim ng root sign isang 2 + 2 a + 5 ay isa ring kabuuan kung saan maaaring palitan ang mga termino.

Sa parehong paraan tulad ng mga termino, sa orihinal na mga expression ay maaaring palitan ng isa ang mga kadahilanan at makakuha ng magkaparehong tamang mga equation. Ang pagkilos na ito ay pinamamahalaan ng sumusunod na panuntunan:

Kahulugan 2

Sa produkto, ang muling pagsasaayos ng mga salik sa mga lugar ay hindi makakaapekto sa resulta ng pagkalkula.

Ang panuntunang ito ay batay sa commutative at associative na katangian ng multiplikasyon, na nagpapatunay sa kawastuhan ng magkatulad na pagbabago.

Halimbawa 8

Trabaho 3 5 7 Ang permutasyon ng mga salik ay maaaring katawanin sa isa sa mga sumusunod na anyo: 5 3 7 , 5 7 3 , 7 3 5 , 7 5 3 o 3 7 5.

Halimbawa 9

Ang pag-permute ng mga salik sa produkto x + 1 x 2 - x + 1 x ay magbibigay ng x 2 - x + 1 x x + 1

Pagpapalawak ng bracket

Ang mga panaklong ay maaaring maglaman ng mga entry ng mga numeric na expression at expression na may mga variable. Ang mga expression na ito ay maaaring mabago sa magkatulad na mga expression, kung saan walang mga panaklong sa lahat o magkakaroon ng mas kaunti sa mga ito kaysa sa orihinal na mga expression. Ang ganitong paraan ng pag-convert ng mga expression ay tinatawag na parenthesis expansion.

Halimbawa 10

Magsagawa tayo ng mga aksyon na may mga bracket sa isang expression ng form 3 + x − 1 x upang makuha ang magkatulad na tunay na pagpapahayag 3 + x − 1 x.

Ang expression na 3 · x - 1 + - 1 + x 1 - x ay maaaring i-convert sa magkaparehong expression na walang mga bracket 3 · x - 3-1 + x 1 - x .

Tinalakay namin nang detalyado ang mga patakaran para sa pag-convert ng mga expression na may mga bracket sa paksang "Pagpapalawak ng bracket", na naka-post sa aming mapagkukunan.

Pagpapangkat ng mga termino, mga kadahilanan

Sa mga kaso kung saan nakikitungo tayo sa tatlo o higit pang termino, maaari tayong gumamit ng ganoong uri ng magkaparehong pagbabago bilang isang pagpapangkat ng mga termino. Ang paraan ng pagbabagong ito ay nangangahulugan ng pagsasama ng ilang termino sa isang pangkat sa pamamagitan ng muling pagsasaayos ng mga ito at paglalagay sa mga ito sa mga bracket.

Kapag nagpapangkat, ang mga termino ay pinapalitan sa paraang ang mga nakagrupong termino ay nasa talaan ng expression sa tabi ng bawat isa. Pagkatapos nito, maaari silang ilakip sa mga bracket.

Halimbawa 11

Kunin ang ekspresyon 5 + 7 + 1 . Kung papangkatin natin ang unang termino sa pangatlo, makukuha natin (5 + 1) + 7 .

Ang pagpapangkat ng mga salik ay isinasagawa nang katulad ng pagpapangkat ng mga termino.

Halimbawa 12

Nasa trabaho 2 3 4 5 posibleng igrupo ang unang salik sa pangatlo, at ang pangalawang salik sa ikaapat, sa kasong ito ay nakarating tayo sa expression (2 4) (3 5). At kung pinagsama-sama natin ang una, ikalawa at ikaapat na salik, makukuha natin ang ekspresyon (2 3 5) 4.

Ang mga termino at salik na nakapangkat ay maaaring katawanin bilang mga pangunahing numero, pati na rin ang mga expression. Ang mga panuntunan sa pagpapangkat ay tinalakay nang detalyado sa paksang "Pagpapangkat ng mga tuntunin at mga kadahilanan".

Pinapalitan ang mga pagkakaiba sa pamamagitan ng mga kabuuan, bahagyang mga produkto at kabaliktaran

Ang pagpapalit ng mga pagkakaiba sa pamamagitan ng mga kabuuan ay naging posible salamat sa aming kakilala sa magkasalungat na mga numero. Ngayon pagbabawas mula sa isang numero a numero b ay makikita bilang karagdagan sa bilang a numero −b. Pagkakapantay-pantay a − b = a + (− b) maaaring ituring na patas at, sa batayan nito, isagawa ang pagpapalit ng mga pagkakaiba sa pamamagitan ng mga kabuuan.

Halimbawa 13

Kunin ang ekspresyon 4 + 3 − 2 , kung saan ang pagkakaiba ng mga numero 3 − 2 maaari nating isulat bilang kabuuan 3 + (− 2) . Kunin 4 + 3 + (− 2) .

Halimbawa 14

Lahat ng pagkakaiba sa pagpapahayag 5 + 2 x - x 2 - 3 x 3 - 0, 2 maaaring mapalitan ng mga sums like 5 + 2 x + (− x 2) + (− 3 x 3) + (− 0 , 2).

Maaari tayong magpatuloy sa mga kabuuan mula sa anumang pagkakaiba. Katulad nito, maaari tayong gumawa ng reverse substitution.

Ang pagpapalit ng dibisyon sa pamamagitan ng multiplikasyon ng kapalit ng divisor ay ginawang posible sa pamamagitan ng konsepto ng reciprocal na mga numero. Ang pagbabagong ito ay maaaring isulat bilang a: b = a (b − 1).

Ang panuntunang ito ay naging batayan ng panuntunan para sa paghahati ng mga ordinaryong fraction.

Halimbawa 15

Pribado 1 2: 3 5 maaaring mapalitan ng isang produkto ng anyo 1 2 5 3.

Katulad nito, sa pamamagitan ng pagkakatulad, ang paghahati ay maaaring mapalitan ng multiplikasyon.

Halimbawa 16

Sa kaso ng pagpapahayag 1+5:x:(x+3) palitan ang paghahati ng x maaaring paramihin ng 1 x. Dibisyon sa pamamagitan ng x + 3 maaari nating palitan sa pamamagitan ng pagpaparami ng 1 x + 3. Ang pagbabagong-anyo ay nagpapahintulot sa amin na makakuha ng isang expression na kapareho ng orihinal: 1 + 5 1 x 1 x + 3 .

Ang pagpapalit ng multiplikasyon sa pamamagitan ng dibisyon ay isinasagawa ayon sa pamamaraan a b = a: (b − 1).

Halimbawa 17

Sa expression na 5 x x 2 + 1 - 3, ang multiplikasyon ay maaaring palitan ng dibisyon bilang 5: x 2 + 1 x - 3.

Nagsasagawa ng mga aksyon na may mga numero

Ang pagsasagawa ng mga operasyon na may mga numero ay napapailalim sa tuntunin ng pagkakasunud-sunod ng mga operasyon. Una, ang mga operasyon ay isinasagawa gamit ang mga kapangyarihan ng mga numero at mga ugat ng mga numero. Pagkatapos nito, pinapalitan namin ang mga logarithms, trigonometriko at iba pang mga function sa kanilang mga halaga. Pagkatapos ay isinasagawa ang mga aksyon sa panaklong. At pagkatapos ay maaari mo nang isagawa ang lahat ng iba pang mga aksyon mula kaliwa hanggang kanan. Mahalagang tandaan na ang pagpaparami at paghahati ay isinasagawa bago ang pagdaragdag at pagbabawas.

Binibigyang-daan ka ng mga operasyong may mga numero na ibahin ang anyo ng orihinal na expression sa isang kaparehong katumbas nito.

Halimbawa 18

Ibahin natin ang ekspresyong 3 · 2 3 - 1 · a + 4 · x 2 + 5 · x sa pamamagitan ng pagsasagawa ng lahat ng posibleng operasyon na may mga numero.

Desisyon

Una, tingnan natin ang antas 2 3 at ugat 4 at kalkulahin ang kanilang mga halaga: 2 3 = 8 at 4 = 2 2 = 2 .

Palitan ang mga nakuhang halaga sa orihinal na expression at makuha ang: 3 (8 - 1) a + 2 (x 2 + 5 x) .

Ngayon gawin natin ang mga panaklong: 8 − 1 = 7 . At lumipat tayo sa expression 3 7 a + 2 (x 2 + 5 x) .

Kailangan lang nating gawin ang multiplication 3 at 7 . Nakukuha namin ang: 21 a + 2 (x 2 + 5 x) .

Sagot: 3 2 3 - 1 a + 4 x 2 + 5 x = 21 a + 2 (x 2 + 5 x)

Ang mga operasyong may mga numero ay maaaring unahan ng iba pang mga uri ng magkatulad na pagbabago, gaya ng pagpapangkat ng mga numero o pagpapalawak ng mga panaklong.

Halimbawa 19

Kunin ang ekspresyon 3 + 2 (6: 3) x (y 3 4) − 2 + 11.

Desisyon

Una sa lahat, babaguhin natin ang quotient sa panaklong 6: 3 sa kahulugan nito 2 . Nakukuha natin ang: 3 + 2 2 x (y 3 4) − 2 + 11 .

Palawakin natin ang mga bracket: 3 + 2 2 x (y 3 4) − 2 + 11 = 3 + 2 2 x y 3 4 − 2 + 11.

Ipangkat natin ang mga numerical na salik sa produkto, pati na rin ang mga termino na mga numero: (3 − 2 + 11) + (2 2 4) x y 3.

Gawin natin ang mga panaklong: (3 − 2 + 11) + (2 2 4) x y 3 = 12 + 16 x y 3

Sagot:3 + 2 (6: 3) x (y 3 4) − 2 + 11 = 12 + 16 x y 3

Kung gagawa tayo ng mga numerical expression, ang layunin ng ating trabaho ay mahanap ang halaga ng expression. Kung babaguhin natin ang mga expression na may mga variable, ang layunin ng ating mga aksyon ay gawing simple ang expression.

Pag-bracket sa Karaniwang Salik

Sa mga kaso kung saan ang mga termino sa expression ay may parehong salik, maaari nating alisin ang karaniwang salik na ito sa mga bracket. Upang gawin ito, kailangan muna nating katawanin ang orihinal na expression bilang produkto ng isang karaniwang kadahilanan at isang expression sa mga bracket, na binubuo ng mga orihinal na termino na walang karaniwang kadahilanan.

Halimbawa 20

Bilang numero 2 7 + 2 3 maaari nating alisin ang karaniwang kadahilanan 2 sa labas ng mga bracket at makakuha ng magkaparehong tamang pagpapahayag ng form 2 (7 + 3).

Maaari mong i-refresh ang memorya ng mga panuntunan para sa paglalagay ng karaniwang kadahilanan sa labas ng mga bracket sa kaukulang seksyon ng aming mapagkukunan. Detalyadong tinatalakay ng materyal ang mga panuntunan para sa pagkuha ng karaniwang salik sa mga bracket at nagbibigay ng maraming halimbawa.

Pagbawas ng mga katulad na termino

Ngayon ay lumipat tayo sa mga kabuuan na naglalaman ng mga katulad na termino. Dalawang opsyon ang posible dito: mga kabuuan na naglalaman ng parehong mga termino, at mga kabuuan na ang mga termino ay naiiba sa pamamagitan ng isang numerical coefficient. Ang mga operasyon na may mga kabuuan na naglalaman ng mga katulad na termino ay tinatawag na pagbabawas ng mga katulad na termino. Isinasagawa ito bilang mga sumusunod: inilalagay namin ang karaniwang bahagi ng titik sa labas ng mga bracket at kinakalkula ang kabuuan ng mga numerical coefficient sa mga bracket.

Halimbawa 21

Isaalang-alang ang expression 1 + 4 x − 2 x. Maaari nating kunin ang literal na bahagi ng x sa mga bracket at makuha ang expression 1 + x (4 − 2). Kalkulahin natin ang halaga ng expression sa mga bracket at kunin ang kabuuan ng form 1 + x · 2 .

Pinapalitan ang mga numero at expression ng magkaparehong expression

Ang mga numero at expression na bumubuo sa orihinal na expression ay maaaring mapalitan ng mga expression na kapareho ng mga ito. Ang ganitong pagbabago ng orihinal na expression ay humahantong sa isang expression na kapareho nito.

Halimbawa 22 Halimbawa 23

Isaalang-alang ang expression 1 + a5, kung saan maaari nating palitan ang degree a 5 ng isang produkto na kapareho nito, halimbawa, ng anyo a 4. Ito ang magbibigay sa atin ng ekspresyon 1 + a 4.

Ang pagbabagong ginawa ay artipisyal. Makatuwiran lamang ito bilang paghahanda para sa iba pang pagbabago.

Halimbawa 24

Isaalang-alang ang pagbabago ng kabuuan 4 x 3 + 2 x 2. Narito ang termino 4x3 maaari tayong kumatawan bilang isang produkto 2 x 2 x 2 x. Bilang resulta, ang orihinal na expression ay tumatagal ng anyo 2 x 2 2 x + 2 x 2. Ngayon ay maaari nating ihiwalay ang karaniwang kadahilanan 2x2 at alisin ito sa mga bracket: 2 x 2 (2 x + 1).

Pagdaragdag at pagbabawas ng parehong numero

Ang pagdaragdag at pagbabawas ng parehong numero o expression sa parehong oras ay isang artipisyal na paraan ng pagbabago ng expression.

Halimbawa 25

Isaalang-alang ang expression x 2 + 2 x. Maaari tayong magdagdag o magbawas ng isa mula dito, na magbibigay-daan sa atin na magsagawa ng isa pang magkaparehong pagbabago - upang piliin ang parisukat ng binomial: x 2 + 2 x = x 2 + 2 x + 1 - 1 = (x + 1) 2 - 1.

Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter

Hayaang magbigay ng dalawang algebraic expression:

Gumawa tayo ng talahanayan ng mga halaga ng bawat isa sa mga expression na ito para sa iba't ibang mga numerical na halaga ng titik x.

Nakikita namin na para sa lahat ng mga halaga na ibinigay sa titik x, ang mga halaga ng parehong mga expression ay naging pantay. Ang parehong ay totoo para sa anumang iba pang halaga ng x.

Para ma-verify ito, binago namin ang unang expression. Batay sa batas ng pamamahagi, isinulat namin:

Nang maisagawa ang ipinahiwatig na mga operasyon sa mga numero, nakukuha namin:

Kaya, ang unang expression, pagkatapos ng pagpapasimple nito, ay naging eksaktong kapareho ng pangalawang expression.

Ngayon ay malinaw na para sa anumang halaga ng x, ang mga halaga ng parehong mga expression ay pantay.

Ang mga expression na ang mga halaga ay pantay para sa anumang mga halaga ng mga titik na kasama sa kanila ay tinatawag na magkapareho o magkapareho.

Samakatuwid, ang mga ito ay magkaparehong mga ekspresyon.

Gumawa tayo ng isang mahalagang komento. Kumuha tayo ng mga expression:

Ang pagkakaroon ng pag-compile ng isang talahanayan na katulad ng nauna, sisiguraduhin namin na ang parehong mga expression, para sa anumang halaga ng x, maliban sa may pantay na mga numerical na halaga. Kapag ang pangalawang expression ay katumbas ng 6, at ang una ay nawala ang kahulugan nito, dahil ang denominator ay zero. (Alalahanin na hindi mo maaaring hatiin sa zero.) Masasabi ba natin na ang mga expression na ito ay magkapareho?

Sumang-ayon kami nang mas maaga na ang bawat expression ay isasaalang-alang lamang para sa mga tinatanggap na halaga ng mga titik, iyon ay, para sa mga halaga kung saan ang expression ay hindi nawawala ang kahulugan nito. Nangangahulugan ito na dito, kapag naghahambing ng dalawang expression, isinasaalang-alang lamang namin ang mga halaga ng titik na wasto para sa parehong mga expression. Samakatuwid, dapat nating ibukod ang halaga. At dahil para sa lahat ng iba pang mga halaga ng x ang parehong mga expression ay may parehong numerical na halaga, may karapatan kaming isaalang-alang ang mga ito na magkapareho.

Batay sa sinabi, ibinibigay namin ang sumusunod na kahulugan ng magkatulad na mga expression:

1. Ang mga expression ay tinatawag na magkapareho kung mayroon silang parehong mga numerical na halaga para sa lahat ng mga tinatanggap na halaga ng mga titik na kasama sa kanila.

Kung dalawa magkaparehong ekspresyon kumonekta sa isang pantay na tanda, nakakakuha tayo ng pagkakakilanlan. Ibig sabihin:

2. Ang pagkakakilanlan ay isang pagkakapantay-pantay na totoo para sa lahat ng mga tinatanggap na halaga ng mga titik na kasama dito.

Naka-encounter na kami ng mga identity dati. Kaya, halimbawa, ang lahat ng pagkakapantay-pantay ay mga pagkakakilanlan, kung saan ipinahayag namin ang mga pangunahing batas ng pagdaragdag at pagpaparami.

Halimbawa, ang mga pagkakapantay-pantay na nagpapahayag ng commutative law ng karagdagan

at ang nag-uugnay na batas ng pagpaparami

ay may bisa para sa anumang mga halaga ng mga titik. Samakatuwid, ang mga pagkakapantay-pantay na ito ay pagkakakilanlan.

Ang lahat ng tunay na pagkakapantay-pantay ng arithmetic ay itinuturing ding mga pagkakakilanlan, halimbawa:

Sa algebra, madalas na kailangang palitan ng isa ang isang expression ng isa pa na kapareho nito. Hayaan, halimbawa, ito ay kinakailangan upang mahanap ang halaga ng expression

Lubos naming mapadali ang mga kalkulasyon kung papalitan namin ang ibinigay na expression ng isang expression na kapareho nito. Batay sa batas ng pamamahagi, maaari nating isulat:

Ngunit ang mga numero sa mga bracket ay nagdaragdag ng hanggang 100. Kaya, mayroon tayong pagkakakilanlan:

Ang pagpapalit ng 6.53 sa halip na a sa kanang bahagi nito, agad nating (sa isip) nahanap numerical value(653) ng ekspresyong ito.

Ang pagpapalit ng isang ekspresyon sa isa pa, na kapareho nito, ay tinatawag na magkaparehong pagbabago ng ekspresyong ito.

Alalahanin na ang anumang algebraic expression para sa anumang tinatanggap na mga halaga ng mga titik ay ilan

numero. Ito ay nagpapahiwatig na ang lahat ng mga batas at katangian ay nalalapat sa mga algebraic na expression mga operasyon sa aritmetika na ipinakita sa nakaraang kabanata. Kaya, ang paggamit ng mga batas at katangian ng mga pagpapatakbo ng aritmetika ay nagbabago ng isang ibinigay na algebraic na expression sa isang expression na kapareho nito.

Kasama ng pag-aaral ng mga operasyon at ang kanilang mga katangian sa algebra, pinag-aaralan nila ang mga konsepto tulad ng expression, equation, hindi pagkakapantay-pantay . Ang unang pagkakakilala sa kanila ay nangyayari sa paunang kurso ng matematika. Ang mga ito ay ipinakilala, bilang isang patakaran, nang walang mahigpit na mga kahulugan, kadalasang ostensively, na nangangailangan ng guro na hindi lamang maging maingat sa paggamit ng mga terminong nagsasaad ng mga konseptong ito, ngunit din upang malaman ang isang bilang ng kanilang mga katangian. Samakatuwid, ang pangunahing gawain na itinakda namin kapag sinimulan naming pag-aralan ang materyal ng talatang ito ay linawin at palalimin ang kaalaman tungkol sa mga expression (numerical at may mga variable), numerical equalities at numerical inequalities, equation at inequalities.

Ang pag-aaral ng mga konseptong ito ay nauugnay sa paggamit ng isang wikang matematika, ito ay tumutukoy sa mga artipisyal na wika na nilikha at binuo kasama ng isang partikular na agham. Tulad ng iba pang wikang matematika, mayroon itong sariling alpabeto. Sa aming kurso, ito ay ipapakita nang bahagya, dahil sa pangangailangang bigyang-pansin ang kaugnayan sa pagitan ng algebra at arithmetic. Kasama sa alpabeto na ito ang:

1) mga numero 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; sa kanilang tulong, ang mga numero ay nakasulat ayon sa mga espesyal na patakaran;

2) mga palatandaan ng mga operasyon +, -, , :;

3) mga palatandaan ng relasyon<, >, =, M;

4) maliliit na titik ng alpabetong Latin, ginagamit ang mga ito upang magtalaga ng mga numero;

5) mga bracket (bilog, kulot, atbp.), Tinatawag silang mga teknikal na palatandaan.

Gamit ang alpabeto na ito, ang mga salita ay nabuo sa algebra, na tinatawag silang mga expression, at ang mga pangungusap ay nakuha mula sa mga salita - mga pagkakapantay-pantay ng numero, mga hindi pagkakapantay-pantay ng numero, mga equation, mga hindi pagkakapantay-pantay na may mga variable.

Tulad ng alam mo, naitala ang 3 + 7, 24: 8, 3 × 2 - 4, (25 + 3)× 2-17 ang tawag mga numerical expression. Ang mga ito ay nabuo mula sa mga numero, mga palatandaan ng pagkilos, mga bracket. Kung gagawin namin ang lahat ng mga aksyon na ipinahiwatig sa expression, makakakuha kami ng isang numero na tinatawag ang halaga ng isang numeric na expression . Kaya, ang halaga ng numeric na expression ay 3 × Ang 2 - 4 ay katumbas ng 2.

May mga numeric na expression na ang mga halaga ay hindi mahanap. Ang mga ganyang ekspresyon daw walang saysay .

Halimbawa, ang expression 8: (4 - 4) ay hindi makatwiran, dahil ang halaga nito ay hindi mahanap: 4 - 4 = 0, at ang paghahati sa zero ay imposible. Ang expression na 7-9 ay hindi rin makatwiran kung isasaalang-alang natin ito sa hanay ng mga natural na numero, dahil ang mga halaga ng expression na 7-9 ay hindi matatagpuan sa set na ito.

Isaalang-alang ang notasyon 2a + 3. Ito ay nabuo mula sa mga numero, mga palatandaan ng aksyon at ang titik a. Kung sa halip na papalitan namin ang mga numero, magkakaibang mga numerical expression ang makukuha:

kung a = 7, pagkatapos ay 2 × 7 + 3;

kung a = 0, pagkatapos ay 2 × 0 + 3;

kung a = - 4, pagkatapos ay 2 × (- 4) + 3.

Sa notasyon 2a + 3, ang naturang titik a ay tinatawag variable , at ang entry mismo 2a + 3 - variable na pagpapahayag.

Ang isang variable sa matematika, bilang panuntunan, ay tinutukoy ng anumang maliit na titik ng alpabetong Latin. AT mababang Paaralan upang tukuyin ang isang variable, bukod sa mga titik, iba pang mga palatandaan ay ginagamit, halimbawa, œ. Pagkatapos ang expression na may variable ay may anyo: 2ל + 3.

Ang bawat expression na may isang variable ay tumutugma sa isang hanay ng mga numero, na pinapalitan na nagreresulta sa isang numerical na expression na may katuturan. Ang set na ito ay tinatawag na saklaw ng pagpapahayag .

Halimbawa, ang domain ng expression 5: (x - 7) ay binubuo ng lahat ng tunay na numero, maliban sa numero 7, dahil para sa x = 7 ang expression 5: (7 - 7) ay walang kahulugan.

Sa matematika, ang mga expression ay itinuturing na naglalaman ng isa, dalawa o higit pang mga variable.

Halimbawa, Ang 2a + 3 ay isang isang-variable na expression, at (3x + 8y) × Ang 2 ay isang expression na may tatlong variable. Upang makakuha ng numeric na expression mula sa isang expression na may tatlong variable, sa halip ng bawat variable, palitan ang mga numero na kabilang sa saklaw ng expression.

Kaya, nalaman namin kung paano nabuo ang mga numerical na expression at expression na may mga variable mula sa alpabeto ng wikang matematika. Kung gumuhit tayo ng isang pagkakatulad sa wikang Ruso, kung gayon ang mga expression ay ang mga salita ng wikang matematika.

Ngunit, gamit ang alpabeto ng wikang matematika, posible na bumuo ng tulad, halimbawa, mga talaan: (3 + 2)) - × 12 o 3x - y: +) 8, na hindi matatawag na numeric na expression o expression na may variable. Ang mga halimbawang ito ay nagpapahiwatig na ang paglalarawan - kung saan nabuo ang mga character ng alpabeto ng mga expression ng wikang matematika, numerical at may mga variable, ay hindi isang kahulugan ng mga konseptong ito. Magbigay tayo ng kahulugan ng isang numeric na expression (isang expression na may mga variable ay tinukoy nang katulad).

Kahulugan.Kung ang f at q ay mga numeric na expression, kung gayon (Ang f) + (q), (f) - (q), (f) × (q), (f) (q) ay mga numerical na expression. Ang bawat numero ay itinuturing na isang numeric na expression.

Kung eksaktong sinusunod ang kahulugang ito, kakailanganing magsulat ng napakaraming bracket, halimbawa, (7) + (5) o (6): (2). Upang paikliin ang notasyon, sumang-ayon kaming hindi magsulat ng mga bracket kung maraming expression ang idinaragdag o ibinabawas, at ang mga operasyong ito ay isinasagawa mula kaliwa hanggang kanan. Sa parehong paraan, ang mga bracket ay hindi isinusulat kapag ang ilang mga numero ay pinarami o hinati, at ang mga operasyong ito ay isinasagawa sa pagkakasunud-sunod mula kaliwa hanggang kanan.

Halimbawa, sumusulat sila ng ganito: 37 - 12 + 62 - 17 + 13 o 120:15-7:12.

Bilang karagdagan, napagkasunduan naming gawin muna ang mga aksyon ng pangalawang yugto (pagpaparami at paghahati), at pagkatapos ay ang mga aksyon ng unang yugto (pagdaragdag at pagbabawas). Samakatuwid, ang pananalitang (12-4:3) + (5-8:2-7) ay isinulat tulad ng sumusunod: 12 - 4: 3 + 5 - 8: 2 - 7.

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression na 3x (x - 2) + 4(x - 2) para sa x = 6.

Desisyon

1 paraan. Palitan ang numero 6 sa halip na isang variable sa expression na ito: 3 × 6-(6 - 2) + 4 × (6 - 2). Upang mahanap ang halaga ng resultang numerical expression, ginagawa namin ang lahat ng ipinahiwatig na mga aksyon: 3 × 6 × (6 - 2) + 4 × (6-2) = 18 × 4 + 4 × 4 = 72 + 16 = 88. Samakatuwid , kailan X= 6 ang halaga ng expression na 3x(x-2) + 4(x-2) ay 88.

2 paraan. Bago palitan ang numero 6 sa expression na ito, pasimplehin natin ito: Zx (x - 2) + 4 (x - 2) = (X - 2)(3x + 4). At pagkatapos, pagpapalit sa resultang expression sa halip na X numero 6, gawin ang sumusunod: (6 - 2) × (3 × 6 + 4) = 4x (18 + 4) = 4x22 = 88.

Bigyang-pansin natin ang mga sumusunod: pareho sa unang paraan ng paglutas ng problema, at sa pangalawa, pinalitan natin ang isang expression ng isa pa.

Halimbawa, ang expression na 18 × 4 + 4 × 4 ay pinalitan ng expression na 72 + 16, at ang expression na 3x (x - 2) + 4(x - 2) - ng expression (X - 2)(3x + 4), at ang mga pagpapalit na ito ay humahantong sa parehong resulta. Sa matematika, na naglalarawan sa solusyon ng problemang ito, sinasabi nila na kami ay gumanap magkatulad na pagbabago mga ekspresyon.

Kahulugan.Ang dalawang expression ay sinasabing magkapareho kung, para sa anumang mga halaga ng mga variable mula sa domain ng mga expression, ang kanilang mga katumbas na halaga ay pantay.

Ang mga halimbawa ng magkaparehong pantay na expression ay ang mga expression na 5(x + 2) at 5x+ 10, dahil para sa anumang tunay na halaga X ang kanilang mga halaga ay pantay.

Kung ang dalawang expression na magkapareho sa isang tiyak na set ay pinagsama ng isang pantay na tanda, pagkatapos ay makakakuha tayo ng isang pangungusap na tinatawag pagkakakilanlan sa set na ito.

Halimbawa, 5(x + 2) = 5x + Ang 10 ay isang pagkakakilanlan sa hanay ng mga tunay na numero, dahil para sa lahat ng tunay na numero ang mga halaga ng expression na 5(x + 2) at 5x + 10 ay pareho. Gamit ang pangkalahatang notasyon ng quantifier, ang pagkakakilanlang ito ay maaaring isulat tulad ng sumusunod: (" x н R) 5(x + 2) = 5x + 10. Ang tunay na pagkakapantay-pantay ng numero ay itinuturing din na mga pagkakakilanlan.

Ang pagpapalit ng expression ng isa pa na kapareho nito sa ilang set ay tinatawag ang magkaparehong pagbabago ng ibinigay na expression sa set na ito.

Kaya, pinapalitan ang expression na 5(x + 2) ng expression na 5x + 10, na magkaparehong katumbas nito, ginawa namin ang magkaparehong pagbabago ng unang expression. Ngunit paano, na binigyan ng dalawang expression, upang malaman kung sila ay magkapareho o hindi? Hanapin ang mga katumbas na halaga ng mga expression sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga tiyak na numero para sa mga variable? Mahaba at hindi laging posible. Ngunit ano ang mga patakaran na dapat sundin kapag nagsasagawa ng magkaparehong pagbabago ng mga expression? Marami sa mga panuntunang ito, kasama ng mga ito ang mga katangian ng algebraic operations.

Gawain. I-factor ang expression na ax - bx + ab - b 2 .

Desisyon. Igrupo natin ang mga miyembro ng expression na ito sa dalawa (ang una kasama ang pangalawa, ang pangatlo kasama ang ikaapat): ax - bx + ab - b 2 \u003d (ax-bx) + (ab-b 2). Posible ang pagbabagong ito batay sa katangian ng pagkakaugnay ng pagdaragdag ng mga tunay na numero.

Kinukuha namin ang karaniwang kadahilanan sa nagresultang expression mula sa bawat bracket: (ax - bx) + (ab - b 2) \u003d x (a - b) + b (a - b) - posible ang pagbabagong ito batay sa distributive pag-aari ng multiplikasyon na may paggalang sa pagbabawas ng mga tunay na numero.

Sa resultang expression, ang mga termino ay may isang karaniwang kadahilanan, kinuha namin ito sa mga bracket: x (a - b) + b (a - b) \u003d (a - b) (x - b). Ang batayan ng isinagawang pagbabago ay ang distributive property ng multiplikasyon na may paggalang sa karagdagan.

Kaya, ax - bx + ab - b 2 \u003d (a - b) (x - b).

Sa paunang kurso ng matematika, bilang panuntunan, ang mga magkatulad na pagbabagong-anyo lamang ng mga numerical na expression ay ginaganap. Batayang teoretikal Ang ganitong mga pagbabago ay ang mga katangian ng pagdaragdag at pagpaparami, iba't ibang mga patakaran: pagdaragdag ng isang kabuuan sa isang numero, isang numero sa isang kabuuan, pagbabawas ng isang numero mula sa isang kabuuan, atbp.

Halimbawa, upang mahanap ang produkto ng 35 × 4, kailangan mong magsagawa ng mga pagbabagong-anyo: 35 × 4 = (30 + 5) × 4 = 30 × 4 + 5 × 4 = 120 + 20 = 140. Ang mga ginawang pagbabago ay batay sa: ang distributive property ng multiplication na may kinalaman sa karagdagan; ang prinsipyo ng pagsulat ng mga numero sa sistema ng decimal na numero (35 = 30 + 5); mga panuntunan para sa pagpaparami at pagdaragdag ng mga natural na numero.

Ang mga numero at expression na bumubuo sa orihinal na expression ay maaaring mapalitan ng mga expression na kapareho ng mga ito. Ang ganitong pagbabago ng orihinal na expression ay humahantong sa isang expression na kapareho nito.

Halimbawa, sa expression na 3+x, ang numero 3 ay maaaring palitan ng sum 1+2 , na nagreresulta sa expression na (1+2)+x , na kaparehong katumbas ng orihinal na expression. Isa pang halimbawa: sa expression na 1+a 5 ang antas ng isang 5 ay maaaring mapalitan ng isang produkto na kapareho nito, halimbawa, ng anyong a·a 4 . Bibigyan tayo nito ng expression na 1+a·a 4 .

Ang pagbabagong ito ay walang alinlangan na artipisyal, at kadalasan ay isang paghahanda para sa ilang karagdagang pagbabago. Halimbawa, sa kabuuan na 4·x 3 +2·x 2 , na isinasaalang-alang ang mga katangian ng degree, ang terminong 4·x 3 ay maaaring katawanin bilang isang produkto 2·x 2 ·2·x . Pagkatapos ng naturang pagbabago, ang orihinal na expression ay magkakaroon ng anyong 2·x 2 ·2·x+2·x 2 . Malinaw, ang mga termino sa resultang kabuuan ay may isang karaniwang kadahilanan na 2 x 2, upang maisagawa namin ang sumusunod na pagbabago - mga panaklong. Pagkatapos nito, pupunta tayo sa expression: 2 x 2 (2 x+1) .

Pagdaragdag at pagbabawas ng parehong numero

Iba pa artipisyal na pagbabago Ang expression ay ang pagdaragdag at sabay-sabay na pagbabawas ng parehong numero o expression. Ang ganitong pagbabago ay magkapareho, dahil ito ay, sa katunayan, katumbas ng pagdaragdag ng zero, at ang pagdaragdag ng zero ay hindi nagbabago sa halaga.

Isaalang-alang ang isang halimbawa. Kunin natin ang expression na x 2 +2 x . Kung magdagdag ka ng isa dito at ibawas ang isa, kung gayon ito ay magpapahintulot sa iyo na magsagawa ng isa pang magkaparehong pagbabago sa hinaharap - piliin ang parisukat ng binomial: x 2 +2 x=x 2 +2 x+1−1=(x+1) 2 −1.

Bibliograpiya.

• Algebra: aklat-aralin para sa 7 mga cell. Pangkalahatang edukasyon institusyon / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teleyakovsky. - ika-17 na ed. - M. : Edukasyon, 2008. - 240 p. : may sakit. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Algebra: aklat-aralin para sa 8 mga cell. Pangkalahatang edukasyon institusyon / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teleyakovsky. - ika-16 na ed. - M. : Edukasyon, 2008. - 271 p. : may sakit. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A. G. Algebra. ika-7 baitang. Sa 2 pm Bahagi 1. Isang aklat-aralin para sa mga mag-aaral ng mga institusyong pang-edukasyon / A. G. Mordkovich. - 17th ed., idagdag. - M.: Mnemozina, 2013. - 175 p.: may sakit. ISBN 978-5-346-02432-3.