Mga istatistika ng matematika at ang mga pamamaraan nito. Mga istatistika ng matematika para sa mga dalubhasa sa iba't ibang larangan. Ang serye ng pagkakaiba-iba para sa viborka ay mayroong form

Mga pamamaraan ng istatistika ng matematika

1. Panimula

Ang mga istatistika ng matematika ay isang agham na bumubuo ng mga pamamaraan para sa pagkuha, paglalarawan at pagproseso ng pang-eksperimentong data upang mapag-aralan ang mga pattern ng mga random na phenomena ng masa.

Sa mga istatistika ng matematika, ang dalawang mga lugar ay maaaring makilala: mapaglarawang istatistika at inductive na istatistika (paghihinuha sa istatistika). Ang naglalarawang istatistika ay nababahala sa akumulasyon, sistematisasyon at paglalahad ng pang-eksperimentong data sa isang maginhawang form. Ang mga inductive na istatistika batay sa data na ito ay nagpapahintulot sa isa na kumuha ng ilang mga konklusyon tungkol sa mga bagay tungkol sa kung aling data ang nakolekta, o mga pagtatantya ng kanilang mga parameter.

Karaniwang mga lugar ng istatistika ng matematika ay:

1) teoryang sampling;

2) teorya ng mga pagtatantya;

3) pagsubok ng mga istatistika na hipotesis;

4) pagsusuri sa pagbabalik;

5) pagtatasa ng pagkakaiba-iba.

Ang mga istatistika ng matematika ay batay sa isang bilang ng mga pangunahing konsepto nang walang kung saan imposibleng pag-aralan ang mga modernong pamamaraan ng pagproseso ng pang-eksperimentong data. Kabilang sa una sa kanila ay ang konsepto ng pangkalahatang populasyon at sample.

Sa malawakang pang-industriya na produksyon, madalas na kinakailangan, nang hindi sinusuri ang bawat produktong gawa, upang maitaguyod kung ang kalidad ng produkto ay nakakatugon sa mga pamantayan. Dahil ang bilang ng mga produktong gawa ay napakalaki o ang pagpapatunay ng mga produkto ay nauugnay sa pagbibigay nito na hindi magagamit, isang maliit na bilang ng mga produkto ang nasuri. Batay sa tseke na ito, dapat gawin ang isang konklusyon sa buong serye ng produkto. Siyempre, hindi masasabi ng isa na ang lahat ng mga transistor mula sa isang batch ng 1 milyong piraso ay mabuti o masama sa pamamagitan ng pag-check sa isa sa mga ito. Sa kabilang banda, dahil ang proseso ng pag-sample para sa pagsubok at ang pagsubok mismo ay maaaring tumagal ng oras at magastos, ang saklaw ng pag-verify ng produkto ay dapat na magbigay ng isang maaasahang representasyon ng buong pangkat ng mga produkto, habang pinapanatili ang isang minimum na sukat. Para sa hangaring ito, ipakikilala namin ang isang bilang ng mga konsepto.

Ang buong hanay ng mga pinag-aralan na bagay o pang-eksperimentong data ay tinatawag na pangkalahatang populasyon. Isasaad namin sa pamamagitan ng N ang bilang ng mga bagay o ang dami ng data na bumubuo sa pangkalahatang populasyon. Ang halagang N ay tinatawag na dami ng pangkalahatang populasyon. Kung ang N \u003e\u003e 1, iyon ay, ang N ay napakalaki, kung gayon ang N \u003d ¥ ay karaniwang isinasaalang-alang.

Ang isang random na sample o simpleng isang sample ay isang bahagi ng pangkalahatang populasyon, na sapalarang pinili mula rito. Ang salitang "sapal" ay nangangahulugang ang mga posibilidad na pumili ng anumang bagay mula sa pangkalahatang populasyon ay pareho. Ito ay isang mahalagang palagay, gayunpaman, madalas na mahirap itong subukan sa pagsasagawa.

Ang laki ng sample ay ang bilang ng mga bagay o ang dami ng data na bumubuo sa sample, at ay n ... Sa mga sumusunod, ipalagay namin na ang mga elemento ng sample ay maaaring italaga, ayon sa pagkakabanggit, mga halagang bilang ayon sa bilang na x 1, x 2, ... x n. Halimbawa, sa proseso ng kontrol sa kalidad ng mga panindang bipolar transistors, maaari itong pagsukat sa kanilang nakuha sa DC.

2. Bilang ng bilang ng sample

2.1 Halimbawa ng halimbawa

Para sa isang tukoy na sample ng laki n, ibig sabihin ng sample nito

ay natutukoy ng ratio

kung saan ang x i ay ang halaga ng mga sample na elemento. Karaniwan, nais mong ilarawan ang mga katangiang pang-istatistika ng mga random na sample, at hindi isa sa mga ito. Nangangahulugan ito na isinasaalang-alang ang isang modelo ng matematika, na ipinapalagay ang sapat na bilang ng mga sample ng laki n. Sa kasong ito, ang mga sample na elemento ay isinasaalang-alang bilang mga random na variable X i, kumukuha ng mga halaga x i na may density density f (x), na kung saan ay ang density ng posibilidad ng pangkalahatang populasyon. Pagkatapos ang sample na ibig sabihin ay isa ring random variable

pantay

Tulad ng dati, isasaad namin ang mga random na variable sa pamamagitan ng malalaking titik, at halaga ng mga random na variable - ng mga maliliit.

Ang average na halaga ng pangkalahatang populasyon na kung saan ginawa ang sample ay tatawaging pangkalahatang average at isinaad ng m x. Maaaring asahan na kung ang sukat ng sample ay makabuluhan, kung gayon ang sample na halimbawa ay hindi magkakaiba nang malaki mula sa pangkalahatang ibig sabihin. Dahil ang halimbawang ibig sabihin ay isang random variable, ang matematika na inaasahan ay matatagpuan para dito:

Kaya, ang inaasahan sa matematika ng halimbawa ng sample ay katumbas ng pangkalahatang ibig sabihin. Sa kasong ito, ang halimbawa ng sample ay sinasabing walang kinikilingan na pagtantiya ng pangkalahatang ibig sabihin. Babalik kami sa term na ito mamaya. Dahil ang halimbawang mean ay isang random variable na nagbabagu-bago sa paligid ng pangkalahatang ibig sabihin, kanais-nais na tantyahin ang pagbabagu-bago na ito gamit ang pagkakaiba-iba ng sample na ibig sabihin. Isaalang-alang ang isang sample na ang laki n ay makabuluhang mas mababa kaysa sa laki ng pangkalahatang populasyon N (n<< N). Предположим, что при формировании выборки характеристики генеральной совокупности не меняются, что эквивалентно предположению N = ¥. Тогда

Ang mga random na variable na X i at X j (i¹j) ay maaaring maituring na malaya, samakatuwid,

Palitan ang resulta na ito sa formula ng pagkakaiba-iba:

kung saan ang s 2 ay ang pagkakaiba-iba ng pangkalahatang populasyon.

Sinusundan ito mula sa pormulang ito na sa pagtaas ng laki ng sample, ang mga pagbabagu-bago ng sample ay nangangahulugang sa paligid ng pangkalahatang average na pagbaba bilang s 2 / n. Ilarawan natin ito sa isang halimbawa. Hayaan ang pagkakaroon ng isang random na signal na may pag-asa sa matematika at pagkakaiba-iba, ayon sa pagkakabanggit, katumbas ng m x \u003d 10, s 2 \u003d 9.

Ang mga sample ng signal ay kinukuha sa equidistant beses t 1, t 2, ...,

X (t)
X 1

t 1 t 2. ... ... t n t

Dahil ang mga sample ay mga random na variable, isasaad namin ang mga ito sa pamamagitan ng X (t 1), X (t 2),. ... ... , X (t n).

Tukuyin natin ang bilang ng mga bilang upang ang karaniwang paglihis ng pagtatantya ng inaasahan sa matematika ng signal ay hindi lalampas sa 1% ng inaasahan nitong matematika. Dahil m x \u003d 10, kinakailangan na

Sa kabilang banda, samakatuwid, o Mula dito makukuha natin na ³ 900 na mga sample.

2.2 Sampol na pagkakaiba-iba

Para sa sample na data, mahalagang malaman hindi lamang ang sample mean, kundi pati na rin ang pagkalat ng mga halimbawang halimbawang paligid ng sample na hal. Kung ang halimbawang ibig sabihin ay isang pagtatantya ng pangkalahatang ibig sabihin, kung gayon ang sample na pagkakaiba-iba ay dapat na isang pagtatantya ng pangkalahatang pagkakaiba-iba. Sampol na pagkakaiba-iba

para sa isang sample na binubuo ng mga random variable ay natutukoy tulad ng sumusunod

Gamit ang representasyong ito ng sample na pagkakaiba-iba, nakita namin ang inaasahan sa matematika

(E.P. Vrublevsky, O.E. Likhachev, L.G. Vrublevskaya)

Paglalapat ng ilang mga pamamaraan sa pag-aaral, sa huli ang eksperimento ay tumatanggap ng isang mas malaki o mas maliit na hanay ng iba't ibang mga tagapagpahiwatig na bilang na idinisenyo upang makilala ang hindi pangkaraniwang bagay na pinag-aaralan. Ngunit nang walang systematization at wastong pagproseso ng mga resulta na nakuha, nang walang malalim at komprehensibong pagsusuri ng mga katotohanan, imposibleng makuha ang impormasyong nilalaman sa kanila, upang matuklasan ang mga pattern, upang makabuo ng maayos na konklusyon. Ang pinaka elementarya at medyo naa-access na pamamaraan ng pagproseso ng matematika ng mga resulta na ibinigay sa teksto ay isang likas na demonstrasyon. Nangangahulugan ito na ang mga halimbawa ay naglalarawan ng aplikasyon ng isa o ibang pamamaraang matematika at pang-istatistika, at hindi ibibigay ang detalyadong interpretasyon nito.

Average na mga halaga at tagapagpahiwatig ng pagkakaiba-ibaBago makipag-usap tungkol sa mas mahahalagang bagay, kinakailangang maunawaan ang mga konseptong pang-istatistiko bilang pangkalahatan at halimbawang populasyon. Ang isang pangkat ng mga bilang na nagkakaisa ng anumang pag-sign ay tinatawag na isang koleksyon . Ang mga pagmamasid na isinasagawa sa ilang mga bagay ay maaaring masakop ang lahat ng mga kasapi ng napag-aralan na populasyon, nang walang pagbubukod, o limitado sa pagsusuri lamang sa isang tiyak na bahagi nito. Sa unang kaso, ang pagmamasid ay tatawaging tuluy-tuloy, o kumpleto, sa pangalawa - bahagyang, o pumipili. Ang isang kumpletong survey ay napaka bihirang natupad, dahil para sa isang bilang ng mga kadahilanan ito ay praktikal na alinman sa hindi praktikal o hindi praktikal. Kaya, imposible, halimbawa, upang suriin ang lahat ng mga master ng palakasan sa palakasan. Samakatuwid, sa napakaraming kaso, sa halip na patuloy na pagmamasid, ang ilang bahagi ng surveyed na populasyon ay napailalim sa pag-aaral, ayon sa kung saan ang kalagayan nito bilang isang buo ay hinuhusgahan.

Ang populasyon na kung saan ang isang bahagi ng mga miyembro nito ay napili para sa magkasamang pag-aaral ay tinatawag na pangkalahatang populasyon, at ang bahagi ng populasyon na ito na napili sa isang paraan o sa iba pa ay tinatawag na sample na populasyon o simpleng sample. Dapat linawin na ang konsepto ng pangkalahatang populasyon ay kamag-anak. Sa isang kaso, ito ang lahat ng mga atleta, at sa iba pa - mga lungsod, unibersidad. Kaya, halimbawa, ang pangkalahatang populasyon ay maaaring maging lahat ng mga mag-aaral sa unibersidad, at ang sample ay maaaring mag-aaral ng pagdadalubhasa ng football. Ang bilang ng mga bagay sa anumang populasyon ay tinatawag na dami (ang laki ng pangkalahatang populasyon ay tinukoy ng N, at ang laki ng sample ay n).

Ipinapalagay na ang sample na may angkop na pagiging maaasahan ay kumakatawan lamang sa pangkalahatang populasyon kung ang mga elemento nito ay napili mula sa pangkalahatang populasyon sa isang hindi gawi. Mayroong maraming mga paraan upang magawa ito: pagpili ng isang sample alinsunod sa isang talahanayan ng mga random na numero, na hinahati ang pangkalahatang populasyon sa isang bilang ng mga hindi nagsasapawan na mga pangkat, kapag ang isang tiyak na bilang ng mga bagay ay napili mula sa bawat isa, atbp.

Tulad ng para sa laki ng sample, alinsunod sa pangunahing mga probisyon ng mga istatistika ng matematika, ang sample ay mas kinatawan (mas kinatawan), mas kumpleto ito. Ang isang mananaliksik, na nagsusumikap para sa kakayahang kumita ng kanyang trabaho, ay interesado sa isang minimum na laki ng sample, at sa ganoong sitwasyon ang bilang ng mga bagay na napili sa sample ay resulta ng isang solusyon sa kompromiso. Upang malaman kung hanggang saan ang sample ay sapat na maaasahan upang kumatawan sa pangkalahatang populasyon, kinakailangan upang matukoy ang isang bilang ng mga tagapagpahiwatig (mga parameter).

Kinakalkula ang ibig sabihin ng arithmeticAng ibig sabihin ng arithmetic na halimbawa ng average na antas ng mga halaga ng napag-aralan na random variable sa mga naobserbahang kaso at kinakalkula sa pamamagitan ng paghahati ng kabuuan ng mga indibidwal na halaga ng napag-aralang katangian ng kabuuang bilang ng mga obserbasyon:

, (1)

saan x ako - variant ng hilera;

n ang dami ng populasyon.

Ginagamit ang kabuuan to upang tukuyin ang buod ng mga datos na nasa kanan nito. Ang mas mababa at itaas na mga indeks Σ ipahiwatig kung anong bilang ang dapat magsimula ng karagdagan at kung anong mga tagapagpahiwatig upang matapos ito. Kaya, nangangahulugan na kinakailangan upang idagdag ang lahat ng x pagkakaroon ng mga ordinal na numero mula 1 hanggang p... Ipinapakita ng pag-sign ang pagbubuod ng lahat ng x mula sa una hanggang sa huling tagapagpahiwatig.

Kaya, ang mga kalkulasyon ayon sa pormula (1) ay ipinapalagay ang sumusunod na pamamaraan:

1. Ibigay ang lahat ng natanggap x i, iyon ay,

2. Natagpuan na halaga - nahahati sa laki ng populasyon p.

Para sa kaginhawaan at kalinawan ng trabaho sa mga tagapagpahiwatig, kinakailangan upang gumuhit ng isang talahanayan, dahil napapailalim sila sa karagdagan x i umulit mula sa una hanggang sa huling numero.

Halimbawa, ang ibig sabihin ng arithmetic ay natutukoy ng pormula:

Ang mga resulta ng pagsukat ay ipinapakita sa Talahanayan 1.

Talahanayan 1

Mga resulta sa pagsubok ng atleta

Ang data na nakuha bilang isang resulta ng eksperimento ay nailalarawan sa pamamagitan ng pagkakaiba-iba, na maaaring sanhi ng isang random na error: ang error ng pagsukat aparato, ang heterogeneity ng mga sample, atbp. Matapos isagawa ang isang malaking halaga ng magkakatulad na data, kailangang iproseso ng eksperimento ang mga ito upang makuha ang pinaka tumpak na impormasyon tungkol sa isinasaalang-alang na halaga. Para sa pagproseso ng malalaking mga arrays ng data ng pagsukat, mga obserbasyon, atbp., Na maaaring makuha sa panahon ng isang eksperimento, maginhawa itong gamitin pamamaraan ng istatistika ng matematika.

Ang mga istatistika ng matematika ay hindi maiuugnay na nauugnay sa teorya ng posibilidad, ngunit may isang makabuluhang pagkakaiba sa pagitan ng mga agham na ito. Gumagamit ang teorya ng probabilidad ng mga kilalang pamamahagi ng mga random variable, batay sa kung saan kinakalkula ang mga posibilidad ng mga kaganapan, ang inaasahan sa matematika, atbp. Ang problema ng mga istatistika ng matematika - upang makuha ang pinaka maaasahang impormasyon tungkol sa pamamahagi ng isang random variable batay sa pang-eksperimentong data.

Tipikal mga direksyon istatistika ng matematika:

• teoryang sampling;
• teorya ng mga pagtatantya;
• pagsubok ng mga istatistika na pang-istatistika;
• pagsusuri sa pag-urong;
• pagsusuri ng pagkakaiba-iba.

Mga pamamaraan ng istatistika ng matematika

Ang mga pamamaraan para sa pagsusuri at pagsubok ng mga pagpapalagay ay batay sa mga probabilistic at hyper-random na modelo ng mga pinagmulan ng data.

Sinusuri ng mga istatistika ng matematika ang mga parameter at pag-andar mula sa kanila, na kumakatawan sa mahahalagang katangian ng mga pamamahagi (panggitna, pag-asa sa matematika, karaniwang paglihis, dami, atbp.), Mga function ng density at pamamahagi, atbp. Ginagamit ang mga pagtatantya ng point at agwat.

Naglalaman ang mga modernong istatistika ng matematika ng isang malaking seksyon - pagsusuri sa sunud-sunod na istatistika, kung saan pinapayagan na bumuo ng isang hanay ng mga obserbasyon ng isang array.

Naglalaman din ang mga istatistika ng matematika bilang pangkalahatan teorya ng pagsubok sa hipotesis at isang malaking bilang ng mga pamamaraan para sa pagsubok ng tiyak na mga pagpapalagay (halimbawa, tungkol sa simetrya ng pamamahagi, tungkol sa mga halaga ng mga parameter at katangian, tungkol sa kasunduan ng empirical na pagpapaandar na pamamahagi na may isang ibinigay na pagpapaandar na pamamahagi, ang teorya para sa pagsubok ng homogeneity (nagkataon ng mga katangian o pamamahagi ng mga pag-andar sa dalawang mga sample), atbp.).

Sa pamamagitan ng pagsasagawa halimbawang mga surveyna may kaugnayan sa pagbuo ng sapat na mga pamamaraan para sa pagsusuri at pagsubok ng mga pag-iisip, na may mga katangian ng iba't ibang mga scheme ng pag-sample, ang seksyon ng mga istatistika ng matematika ay may malaking kahalagahan. Ang mga pamamaraan ng istatistika ng matematika ay direktang gumagamit ng mga sumusunod na pangunahing konsepto.

Halimbawang

Kahulugan 1

Sampol ang data na nakuha sa panahon ng eksperimento ay tinatawag.

Halimbawa, ang mga resulta ng saklaw ng isang bala kapag nagpaputok ng pareho o isang pangkat ng parehong uri ng mga baril.

Pag-andar ng pamamahagi ng empirical

Pangungusap 1

Pag-andar ng pamamahagi ginagawang posible upang ipahayag ang lahat ng pinakamahalagang katangian ng isang random variable.

Sa istatistika ng matematika mayroong isang konsepto teoretikal (hindi alam nang maaga) at empirical mga pagpapaandar sa pamamahagi.

Ang empirical function ay natutukoy mula sa data ng karanasan (empirical data), ibig sabihin sa pamamagitan ng sample.

bar graph

Ginagamit ang mga histogram para sa isang visual, ngunit sa halip ay tinatayang, representasyon ng isang hindi kilalang pamamahagi.

bar graph ay isang grapikong representasyon ng pamamahagi ng data.

Upang makakuha ng isang de-kalidad na histogram, sumunod sa mga sumusunod panuntunan:

• Ang bilang ng mga elemento sa sample ay dapat na makabuluhang mas mababa kaysa sa laki ng sample.
• Ang mga split interval ay dapat maglaman ng sapat na bilang ng mga sample na item.

Kung ang sample ay napakalaki, ang agwat ng mga elemento ng sample ay madalas na nahahati sa pantay na mga bahagi.

Halimbawa ng sample at pagkakaiba-iba ng sample

Sa tulong ng mga konseptong ito, posible na makakuha ng isang pagtatantya ng kinakailangang mga numerong katangian ng isang hindi kilalang pamamahagi nang hindi gumagamit ng pagbuo ng isang function ng pamamahagi, isang histogram, atbp.

MGA HALAGA NG RANDOM AT BATAS NG KANILANG PAGLAHI.

Random ay tinawag tulad ng isang halaga na tumatagal ng mga halaga depende sa pagkakataon ng mga random na pangyayari. Makilala discrete at sapalaran tuloy-tuloy magnitude.

Discreteang isang dami ay tinatawag kung kukuha ng isang mabibilang na hanay ng mga halaga. ( Halimbawa:ang bilang ng mga pasyente sa appointment ng doktor, ang bilang ng mga titik sa pahina, ang bilang ng mga molekula sa isang naibigay na dami).

Tuloy-tuloyay isang dami na maaaring tumagal ng mga halaga sa loob ng isang tiyak na agwat. ( Halimbawa: temperatura ng hangin, bigat ng katawan, taas ng tao, atbp.)

Batas sa pamamahagi Ang isang random variable ay isang hanay ng mga posibleng halaga ng dami na ito at, naaayon sa mga halagang ito, mga posibilidad (o mga dalas ng paglitaw).

PRI ako R:

x	x 1	x 2	x 3	x 4	...	x n
p	p 1	p 2	p 3	p 4	...	p n

x	x 1	x 2	x 3	x 4	...	x n
m	m 1	m 2	m 3	m 4	...	m n

Mga Numero na KATANGIAN NG HALAGANG HALAGA.

Sa maraming mga kaso, kasama ang pamamahagi ng isang random variable o sa halip na ito, ang impormasyon tungkol sa mga dami na ito ay maaaring ibigay ng mga numerong parameter, na tinatawag na mga katangian ng bilang ng isang random variable ... Ang pinakakaraniwan:

1 .Inaasahang halaga - (average na halaga) ng isang random na variable ay ang kabuuan ng mga produkto ng lahat ng mga posibleng halaga ng mga posibilidad ng mga halagang ito:

2 .Pagkalat random variable:

3 .Ang ibig sabihin ay square deviation :

Panuntunan sa "TATLONG SIGMA" - kung ang isang random variable ay ipinamamahagi ayon sa normal na batas, kung gayon ang paglihis ng halagang ito mula sa average na halaga sa ganap na halaga ay hindi lalampas sa tatlong beses sa karaniwang paglihis

BATAS NG GAUSS - BATAS NA BATAS NG PAGBABAHALA

Kadalasan may mga dami na naipamahagi normal na batas (Batas ni Gauss). pangunahing tampok : ito ay isang batas na naglilimita kung saan lalapit ang iba pang mga batas sa pamamahagi.

Ang isang random variable ay ipinamamahagi ayon sa normal na batas kung nito density ng posibilidad parang:

M (X)- Pag-asa sa matematika ng isang random variable;

say ang karaniwang paglihis.

Ang kapal ng posibilidad Ipinapakita ng (function ng pamamahagi) kung paano nagbabago ang posibilidad na may kaugnayan sa agwat dx isang random variable, depende sa halaga ng dami mismo:

PANGUNAHING KONSEPTO NG MATHEMATICAL STATISTICS

Mga istatistika ng matematika - isang seksyon ng inilapat na matematika na direktang nauugnay sa teorya ng posibilidad. Ang pangunahing pagkakaiba sa pagitan ng mga istatistika ng matematika at teorya ng posibilidad ay sa mga istatistika ng matematika, hindi ito mga pagkilos sa mga batas sa pamamahagi at mga katangian na bilang ng mga random na variable na isinasaalang-alang, ngunit ang tinatayang mga pamamaraan para sa paghahanap ng mga batas na ito at mga numerong katangian batay sa mga resulta ng mga eksperimento.

Pangunahing konsepto ang mga istatistika ng matematika ay:

1. Pangkalahatang populasyon;

2. sample;

3. saklaw ng pagkakaiba-iba;

4. fashion;

5. panggitna;

6. porsyento,

7. dalas ng polygon,

8. bar graph.

Pangkalahatang populasyon- isang malaking populasyon ng istatistika, kung saan ang ilan sa mga bagay ay napili para sa pagsasaliksik

(Halimbawa: ang buong populasyon ng rehiyon, mga mag-aaral ng unibersidad ng isang naibigay na lungsod, atbp.)

Sample (sample na populasyon) - isang hanay ng mga bagay na napili mula sa pangkalahatang populasyon.

Serye ng pagkakaiba-iba- Pamamahagi ng istatistika, na binubuo ng isang variant (mga halaga ng isang random variable) at mga kaukulang frequency.

Halimbawa:

X, kg

m

x - halaga ng isang random variable (bigat ng mga batang babae na may edad na 10 taon);

m- dalas ng paglitaw.

Fashion - ang halaga ng isang random variable, na tumutugma sa pinakamataas na dalas ng paglitaw. (Sa halimbawa sa itaas, ang mod ay tumutugma sa halaga ng 24 kg, ito ay mas karaniwan kaysa sa iba: m \u003d 20).

Median - ang halaga ng isang random variable na hinahati ang pamamahagi sa kalahati: kalahati ng mga halaga ay matatagpuan sa kanan ng panggitna, kalahati (wala na) - sa kaliwa.

Halimbawa:

1, 1, 1, 1, 1. 1, 2, 2, 2, 3 , 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7 , 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8 , 8, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10

Sa halimbawa, sinusunod namin ang 40 halaga ng isang random variable. Ang lahat ng mga halaga ay nakaayos sa pataas na pagkakasunud-sunod batay sa kanilang dalas ng paglitaw. Maaari mong makita na ang 20 (kalahati) ng 40 na halaga ay matatagpuan sa kanan ng naka-highlight na halaga 7. Samakatuwid, 7 ang panggitna.

Upang makilala ang pagkalat, nakita namin ang mga halagang hindi lumampas sa 25 at 75% ng mga resulta sa pagsukat. Ang mga halagang ito ay tinawag na ika-25 at ika-75 porsyento ... Kung ang median ay naghahati ng pamamahagi, pagkatapos ang ika-25 at ika-75 porsyento ay pinutol ng isang isang-kapat. (Ang median mismo, sa pamamagitan ng paraan, ay maaaring isaalang-alang ang ika-50 porsyento.) Tulad ng nakikita mo mula sa halimbawa, ang ika-25 at ika-75 porsyento ay katumbas ng 3 at 8, ayon sa pagkakabanggit.

Gamitin discrete (point) pamamahagi ng istatistika at tuloy-tuloy (agwat) pamamahagi ng istatistika.

Para sa kalinawan, ang mga pamamahagi ng istatistika ay inilalarawan nang grapiko sa form dalas ng polygon o - histograms .

Polygon ng dalas- polyline, mga segment na kumokonekta ng mga puntos sa mga coordinate ( x 1, m 1), (x 2, m 2), ..., o para sa polygon ng mga kamag-anak na frequency - may mga coordinate ( x 1, p * 1), (x 2, p * 2), ... (Larawan 1).

m m i / n f (x)

Fig. 1 Larawan 2

Histogram ng dalas- isang hanay ng mga katabing rektanggulo na itinayo sa isang tuwid na linya (Larawan 2), ang mga base ng mga parihaba ay pareho at pantay dx , at ang taas ay katumbas ng ratio ng dalas sa dx , o r * sa dx (density ng posibilidad).

Halimbawa:

x, kg	2,7	2,8	2,9	3,0	3,1	3,2	3,3	3,4	3,5	3,6	3,7	3,8	3,9	4,0	4,1	4,2	4,3	4,4
m

Polygon ng dalas

Ang ratio ng kamag-anak na dalas sa lapad ng agwat ay tinatawag ang density density f (x) \u003d m i / n dx \u003d p * i / dx

Isang halimbawa ng pagbuo ng isang histogram .

Gamitin natin ang data mula sa nakaraang halimbawa.

1. Pagkalkula ng bilang ng mga agwat ng klase

kung saan n - bilang ng mga obserbasyon. Sa kaso natin n = 100 ... Samakatuwid:

2. Pagkalkula ng lapad ng agwat dx :

,

3. Pagguhit ng isang serye ng agwat:

dx	2.7-2.9	2.9-3.1	3.1-3.3	3.3-3.5	3.5-3.7	3.7-3.9	3.9-4.1	4.1-4.3	4.3-4.5
m
f (x)	0.3	0.75	1.25	0.85	0.55	0.6	0.4	0.25	0.05

bar graph

Ang mga pamamaraan ng istatistika ng matematika ay ginagamit, bilang isang panuntunan, sa lahat ng mga yugto ng pagtatasa ng mga materyales sa pagsasaliksik para sa pagpili ng isang diskarte para sa paglutas ng mga problema batay sa tiyak na data ng sample, sinusuri ang mga resulta. Ginamit ang mga pamamaraan ng istatistika ng matematika upang maproseso ang materyal. Pinapayagan ka ng pagproseso ng matematika ng mga materyales na malinaw mong kilalanin at suriin ang dami ng mga parameter ng layunin na impormasyon, pag-aralan at ipakita ang mga ito sa iba't ibang mga ratios at dependency. Pinapayagan ka nilang matukoy ang sukat ng pagkakaiba-iba ng mga halaga sa mga nakolektang materyales na naglalaman ng dami ng impormasyon tungkol sa isang tiyak na hanay ng mga kaso, na ang ilan ay kumpirmahin ang sinasabing mga link, at ang ilan ay hindi isiwalat ang mga ito, kalkulahin ang pagiging maaasahan ng mga pagkakaiba-iba ng dami sa pagitan ng mga napiling hanay ng mga kaso, at kumuha ng iba pang mga katangian ng matematika na kinakailangan para sa wastong interpretasyon ng mga katotohanan. ... Ang pagiging maaasahan ng mga pagkakaiba na nakuha sa panahon ng pag-aaral ay natutukoy ng t-test ng Mag-aaral.

Ang mga sumusunod na halaga ay kinakalkula.

1. Ang ibig sabihin ng arithmetic ng sample.

Nailalarawan ang average na halaga ng populasyon na isinasaalang-alang. Markahan natin ang mga resulta ng mga sukat. Pagkatapos:

kung saan ang Y ay kabuuan ng lahat ng mga halaga kapag ang kasalukuyang index ay nagbabago ako mula 1 hanggang n.

2. Ang karaniwang paglihis (karaniwang paglihis) na nagpapakilala sa pagpapakalat, ang pagpapakalat ng itinuturing na populasyon na nauugnay sa ibig sabihin ng arithmetic.

\u003d (x max - x min) / k

nasaan ang karaniwang paglihis

ang хmaх ay ang maximum na halaga ng talahanayan;

ang minmin ay ang minimum na halaga ng talahanayan;

k - koepisyent

3. Karaniwang error ng arithmetic mean o error ng representativeness (m). Ang karaniwang error ng arithmetic na nangangahulugang nagpapakilala sa antas ng paglihis ng sample na arithmetic na ibig sabihin mula sa ibig sabihin ng arithmetic ng pangkalahatang populasyon.

Ang karaniwang error ng ibig sabihin ng arithmetic ay kinakalkula ng formula:

kung saan ang karaniwang paglihis ng mga resulta ng pagsukat,

n ang laki ng sample. Ang mas maliit na m, mas mataas ang katatagan at pagpapanatili ng mga resulta.

4. Kraytirya ng mag-aaral.

(ang numerator ay ang pagkakaiba sa pagitan ng mga paraan ng dalawang pangkat, ang denominator ay ang square root ng kabuuan ng mga parisukat ng karaniwang mga error ng mga paraan na ito).

Kapag pinoproseso ang mga resulta ng pag-aaral, ginamit ang isang computer program na may isang pakete ng Excel.

Organisasyon ng pananaliksik

Ang pananaliksik ay isinagawa namin ayon sa pangkalahatang tinatanggap na mga patakaran, at isinagawa sa 3 yugto.

Sa unang yugto, ang nakuha na materyal sa isinasaalang-alang na problema sa pananaliksik ay nakolekta at sinuri. Ang paksa ng siyentipikong pagsasaliksik ay nabuo. Ang pagsusuri ng panitikan sa yugtong ito ay naging posible upang tukuyin ang layunin at layunin ng pag-aaral. Ang pangunahing pagsubok ng pamamaraan ng pagtakbo sa 30 metro ay natupad.<... class="gads_sm">

Sa ikatlong yugto, ang materyal na nakuha bilang isang resulta ng pang-agham na pagsasaliksik ay sistematado, ang lahat ng magagamit na impormasyon tungkol sa problema sa pananaliksik ay naisaayos.

Ang pang-eksperimentong pag-aaral ay isinasagawa batay sa State Educational Institution na "Lyakhovichi Secondary School", sa kabuuan, ang sample ay binubuo ng 20 mag-aaral sa mga grade 6 (11-12 taong gulang).

Kabanata 3. Pagsusuri sa mga resulta ng pagsasaliksik

Bilang resulta ng eksperimento ng pedagogical, nakilala namin ang paunang antas ng 30 m na diskarteng tumatakbo sa mga mag-aaral sa control at mga pang-eksperimentong grupo (Mga Appendice 1-2). Ang pagproseso ng istatistika ng mga resulta na nakuha na posible upang makuha ang sumusunod na data (talahanayan 6).

Talahanayan 6. Paunang antas ng kalidad ng pagpapatakbo

Tulad ng makikita mula sa Talahanayan 6, ang average na bilang ng mga puntos sa mga atleta sa control at mga pangkat na pang-eksperimento ay hindi naiiba ayon sa istatistika; sa pangkat ng eksperimentong, ang average na iskor ay 3.6 puntos, at sa control group, 3.7 puntos. T-test sa parehong pangkat na temp \u003d 0.3; P? 0.05, sa tcrit \u003d 2.1; Ang mga resulta ng paunang pagsubok ay ipinakita na ang mga tagapagpahiwatig ay malaya sa pagsasanay at likas na random. Ayon sa paunang pagsubok, ang mga nagpapatakbo ng mga tagapagpahiwatig ng kalidad sa control group ay bahagyang mas mataas kaysa sa mga nasa pang-eksperimentong pangkat. Ngunit walang makabuluhang pagkakaiba-iba sa istatistika sa mga pangkat, na kung saan ay katibayan ng pagkakakilanlan ng mga mag-aaral sa control at mga pang-eksperimentong grupo sa pamamaraan ng pagpapatakbo ng 30m.

Sa panahon ng eksperimento sa parehong mga pangkat, ang mga tagapagpahiwatig na naglalarawan sa pagiging epektibo ng tumatakbo na diskarte ay napabuti. Gayunpaman, ang pagpapabuti na ito ay naiiba sa iba't ibang mga pangkat ng mga kalahok sa eksperimento. Bilang isang resulta ng pagsasanay, ang isang regular na maliit na pagtaas ng mga tagapagpahiwatig sa control group ay nagsiwalat (3.8 puntos). Tulad ng makikita mula sa Appendix 2, isang malaking pagtaas ng mga tagapagpahiwatig ang isiniwalat sa pangkat na pang-eksperimento. Nag-aral ang mga mag-aaral alinsunod sa program na aming iminungkahi, na makabuluhang nagpapabuti sa mga tagapagpahiwatig.

Talahanayan 7. Mga pagbabago sa kalidad ng pagpapatakbo sa mga paksang pang-eksperimentong pangkat

Sa panahon ng eksperimento, nalaman namin na ang tumaas na pag-load sa pangkat ng eksperimentong nagbigay ng mga makabuluhang pagpapabuti sa pagpapaunlad ng bilis kaysa sa control group.

Sa pagbibinata, ipinapayong mabuo ang bilis sa pamamagitan ng nangingibabaw na paggamit ng mga tool sa pisikal na edukasyon na naglalayong dagdagan ang dalas ng mga paggalaw. Sa edad na 12-15, tumataas ang mga kakayahan sa bilis, bilang isang resulta ng paggamit ng higit sa lahat na lakas ng lakas at lakas, na ginamit namin sa proseso ng pagsasagawa ng mga aralin sa pisikal na kultura at mga ekstrakurikular na aktibidad sa seksyon ng palakasan ng basketball at atletics.

Sa panahon ng mga aralin sa pang-eksperimentong pangkat, natupad ang mahigpit na yugto ng komplikasyon at karanasan sa motor. Ang mga error ay naitama sa isang napapanahong paraan. Tulad ng ipinakita ang pagtatasa ng aktwal na data, ang pang-eksperimentong pamamaraan ng pagtuturo ay may isang makabuluhang pagbabago sa kalidad ng tumatakbo na diskarte (temp \u003d 2.4). Ang pagtatasa ng mga resulta na nakuha sa pang-eksperimentong grupo at ang kanilang paghahambing sa data na nakuha sa control group gamit ang pangkalahatang tinatanggap na pamamaraan ng pagtuturo ay nagbibigay ng batayan upang igiit na ang pamamaraan na iminungkahi ng amin ay magpapataas ng kahusayan sa pag-aaral.

Kaya, sa yugto ng pagpapabuti ng 30m na \u200b\u200btumatakbo na pamamaraan sa paaralan, isiniwalat namin ang dynamics ng mga pagbabago sa mga tagapagpahiwatig ng pagsubok sa mga pangkat na pang-eksperimento at kontrol. Matapos ang eksperimento, ang kalidad ng pamamaraan ay tumaas sa pang-eksperimentong pangkat sa 4.9 na puntos (t \u003d 3.3; P? 0.05). Sa pagtatapos ng eksperimento, ang kalidad ng diskarteng tumatakbo sa pang-eksperimentong pangkat ay mas mataas kaysa sa control group.