Paraan ng koordinasyon sa distansya ng linya sa linya. Distansya mula sa punto hanggang sa tuwid na linya sa kalawakan - teorya, halimbawa, solusyon. Ituro ang mga coordinate at distansya ng projection

Formula para sa pagkalkula ng distansya mula sa isang punto hanggang sa isang tuwid na linya sa isang eroplano

Kung ang equation ng tuwid na linya Axe + Ni + C \u003d 0 ay ibinigay, pagkatapos ang distansya mula sa puntong M (M x, M y) hanggang sa tuwid na linya ay maaaring matagpuan gamit ang sumusunod na pormula

Mga halimbawa ng mga gawain para sa pagkalkula ng distansya mula sa isang punto hanggang sa isang tuwid na linya sa isang eroplano

Halimbawa 1.

Hanapin ang distansya sa pagitan ng linya na 3x + 4y - 6 \u003d 0 at ang puntong M (-1, 3).

Desisyon. Kapalit sa pormula ang mga coefficients ng linya at ang mga coordinate ng punto

Sagot: ang distansya mula sa isang punto sa isang tuwid na linya ay 0.6.

equation ng isang eroplano na dumadaan sa mga puntos na patayo sa isang vector Pangkalahatang equation ng isang eroplano

Ang isang nonzero vector na patayo sa isang naibigay na eroplano ay tinawag normal na vector (o, sa madaling salita, normal ) para sa eroplano na ito.

Hayaang maibigay ang espasyo ng coordinate (sa isang hugis-parihaba na sistema ng coordinate):

tuldok ;

b) nonzero vector (Larawan 4.8, a).

Kinakailangan upang gumuhit ng isang equation ng isang eroplano na dumadaan sa isang punto patayo sa vector Pagtatapos ng patunay.

Isaalang-alang natin ngayon ang iba't ibang mga uri ng mga equation ng isang linya sa isang eroplano.

1) Pangkalahatang equation ng eroplanoP .

Sumusunod ito mula sa paghango ng equation na sabay A, B at C hindi katumbas ng 0 (ipaliwanag kung bakit).

Ang punto ay pagmamay-ari ng eroplano P lamang kung ang mga coordinate nito ay nasiyahan ang equation equation. Nakasalalay sa mga logro A, B, C at Deroplano P sumasakop sa isang posisyon o iba pa:

- ang eroplano ay dumadaan sa pinagmulan ng coordinate system, - ang eroplano ay hindi dumaan sa pinagmulan ng coordinate system,

- ang eroplano ay kahanay sa axis X,

X,

- ang eroplano ay kahanay sa axis Y,

- ang eroplano ay hindi parallel sa axis Y,

- ang eroplano ay kahanay sa axis Z,

- ang eroplano ay hindi parallel sa axis Z.

Patunayan mo mismo ang mga pahayag na ito.

Ang Equation (6) ay madaling makuha mula sa equation (5). Sa katunayan, hayaan ang punto na nakasalalay sa eroplano P... Pagkatapos ang mga coordinate nito ay nasiyahan ang equation na Pagbawas ng equation (7) mula sa equation (5) at pagpapangkat ng mga term, nakakakuha kami ng equation (6). Isaalang-alang ngayon ang dalawang mga vector na may mga coordinate ayon sa pagkakabanggit. Mula sa pormula (6) sumusunod na ang kanilang scalar na produkto ay katumbas ng zero. Samakatuwid, ang vector ay patayo sa vector. Ang simula at ang pagtatapos ng huling vector ay ayon sa mga puntos na kabilang sa eroplano P... Samakatuwid, ang vector ay patayo sa eroplano P... Distansya mula sa punto hanggang sa eroplano P, ang pangkalahatang equation na kung saan ay natutukoy ng pormula Ang patunay ng pormulang ito ay ganap na magkatulad sa patunay ng pormula para sa distansya sa pagitan ng isang punto at isang linya (tingnan ang Larawan 2).
Larawan: 2. Sa hango ng pormula para sa distansya sa pagitan ng isang eroplano at isang tuwid na linya.

Sa totoo lang, ang layo d sa pagitan ng isang tuwid na linya at isang eroplano ay

kung saan ay isang punto nakahiga sa isang eroplano. Samakatuwid, tulad ng sa panayam blg. 11, ang pormula sa itaas ay nakuha. Dalawang eroplano ang kahanay kung ang kanilang mga normal na vector ay magkatulad. Mula dito nakukuha natin ang kundisyon para sa parallelism ng dalawang eroplano Ang mga coefficients ba ng pangkalahatang mga equation ng mga eroplano. Dalawang eroplano ay patayo kung ang kanilang normal na mga vector ay patayo, samakatuwid nakukuha namin ang kondisyon ng perpendicularity ng dalawang eroplano, kung ang kanilang pangkalahatang mga equation ay kilala

Anggulo f sa pagitan ng dalawang eroplano ay katumbas ng anggulo sa pagitan ng kanilang normal na mga vector (tingnan ang Larawan 3) at maaari, samakatuwid, makalkula ng pormula
Pagtukoy ng anggulo sa pagitan ng mga eroplano.

(11)

Distansya mula sa punto hanggang sa eroplano at mga paraan upang hanapin ito

Distansya mula sa punto hanggang eroplano - ang haba ng patayo ay bumaba mula sa isang punto papunta sa eroplano na ito. Mayroong hindi bababa sa dalawang paraan upang mahanap ang distansya mula sa isang punto patungo sa isang eroplano: geometriko at algebraic.

Gamit ang pamamaraang geometriko dapat mo munang maunawaan kung paano matatagpuan ang patayo mula sa punto hanggang sa eroplano: marahil ito ay nakalagay sa ilang maginhawang eroplano, ang taas sa ilang maginhawang (o hindi ganon) tatsulok, o marahil ang patayo na ito ay karaniwang taas sa ilang piramide.

Matapos ang una at pinakamahirap na yugto na ito, ang gawain ay nahahati sa maraming mga tiyak na gawain sa planimetric (marahil sa iba't ibang mga eroplano).

Sa algebraic na paraan upang mahanap ang distansya mula sa isang punto patungo sa isang eroplano, kailangan mong magpasok ng isang sistema ng coordinate, hanapin ang mga coordinate ng punto at ang equation ng eroplano, at pagkatapos ay ilapat ang formula para sa distansya mula sa isang punto sa isang eroplano.

Isaalang-alang ang aplikasyon ng mga nasuri na pamamaraan upang makita ang distansya mula sa isang naibigay na punto sa isang naibigay na tuwid na linya sa isang eroplano kapag nilulutas ang isang halimbawa.

Hanapin ang distansya mula sa isang punto patungo sa isang tuwid na linya:

Una, malutas natin ang problema sa unang paraan.

Sa pahayag ng problema, binibigyan kami ng isang pangkalahatang equation ng tuwid na linya a ng form:

Hanapin natin ang pangkalahatang equation ng tuwid na linya b, na dumaan sa isang naibigay na puntong patayo sa tuwid na linya:

Dahil ang linya b ay patayo sa linya a, ang direksyon na vector ng linya b ay ang normal na vector ng isang naibigay na linya:

iyon ay, ang direksyon ng vector ng tuwid na linya b ay may mga coordinate. Ngayon ay maaari naming isulat ang canonical equation ng tuwid na linya b sa eroplano, dahil alam namin ang mga coordinate ng point M 1 kung saan dumadaan ang tuwid na linya b, at ang mga koordinasyon ng direksyon na vector ng tuwid na linya b:

Mula sa nakuhang canonical equation ng tuwid na linya b, pumasa kami sa pangkalahatang equation ng tuwid na linya:

Ngayon ay mahahanap natin ang mga koordinasyon ng punto ng intersection ng mga tuwid na linya a at b (ipaalam natin ito sa pamamagitan ng H 1) sa pamamagitan ng paglutas ng system ng mga equation na binubuo ng pangkalahatang mga equation ng mga tuwid na linya a at b (kung kinakailangan, sumangguni sa mga sistema ng paglutas ng artikulo linear na equation):

Kaya, ang puntong H 1 ay may mga coordinate.

Ito ay mananatiling upang makalkula ang kinakailangang distansya mula sa point M 1 sa linya a bilang ang distansya sa pagitan ng mga puntos at:

Ang pangalawang paraan upang malutas ang problema.

Nakukuha namin ang normal na equation ng ibinigay na linya. Upang magawa ito, kinakalkula namin ang halaga ng normalizing factor at i-multiply nito sa magkabilang panig ng orihinal na pangkalahatang equation ng tuwid na linya:

(Pinag-usapan namin ito sa seksyon sa pagbawas ng pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya sa normal na form).

Ang normalizing factor ay

pagkatapos ang normal na equation ng linya ay may form:

Kinukuha namin ang expression sa kaliwang bahagi ng nagresultang normal na equation ng tuwid na linya, at kinakalkula ang halaga nito sa:

Ang kinakailangang distansya mula sa isang naibigay na punto sa isang naibigay na tuwid na linya:

pantay ganap na halaga ang nakuha na halaga, iyon ay, limang ().

distansya mula sa punto hanggang sa linya:

Malinaw na, ang bentahe ng pamamaraan para sa paghahanap ng distansya mula sa isang punto hanggang sa isang tuwid na linya sa isang eroplano, batay sa paggamit ng normal na equation ng isang tuwid na linya, ay isang medyo maliit na halaga ng computational work. Kaugnay nito, ang unang pamamaraan ng paghahanap ng distansya mula sa isang punto hanggang sa isang tuwid na linya ay madaling maunawaan at nakikilala sa pamamagitan ng pagkakapare-pareho at pagkakapare-pareho.

Ang isang hugis-parihaba na coordinate system na Oxy ay naayos sa eroplano, isang point at isang tuwid na linya ang tinukoy:

Hanapin ang distansya mula sa isang naibigay na punto sa isang naibigay na tuwid na linya.

Unang paraan.

Maaari kang pumunta mula sa isang naibigay na equation ng isang tuwid na linya na may isang slope sa pangkalahatang equation ng tuwid na linya na ito at magpatuloy sa parehong paraan tulad ng sa halimbawang tinalakay sa itaas.

Ngunit maaari mong gawin kung hindi man.

Alam namin na ang produkto ng mga dalisdis ng mga patayo na linya ay 1 (tingnan ang artikulo na patayo sa linya, patayo linya). Samakatuwid, ang slope ng isang tuwid na linya na patayo sa isang naibigay na tuwid na linya:

ay katumbas ng 2. Kung gayon ang equation ng isang linya patayo sa isang naibigay na linya at pagdaan sa isang punto ay may form:

Ngayon hanapin natin ang mga koordinasyon ng puntong H 1 - ang mga puntos ng intersection ng mga linya:

Kaya, ang kinakailangang distansya mula sa isang punto hanggang sa isang tuwid na linya:

ay katumbas ng distansya sa pagitan ng mga puntos at:

Pangalawang paraan.

Dumadaan kami mula sa ibinigay na equation ng isang tuwid na linya na may isang slope sa normal na equation ng tuwid na linya na ito:

ang normalizing factor ay:

samakatuwid, ang normal na equation ng isang naibigay na linya ay may form:

Ngayon kinakalkula namin ang kinakailangang distansya mula sa isang punto hanggang sa isang linya:

Kalkulahin ang distansya mula sa isang punto patungo sa isang linya:

at sa tuwid na linya:

Nakukuha namin ang normal na equation ng linya:

Kalkulahin natin ngayon ang distansya mula sa isang punto hanggang sa isang linya:

Normalizing factor para sa isang straight line equation:

ay katumbas ng 1. Kung gayon ang normal na equation ng linyang ito ay may form:

Maaari na nating kalkulahin ang distansya mula sa isang punto patungo sa isang linya:

pantay ito

Sagot: at 5.

Bilang konklusyon, magkahiwalay naming isinasaalang-alang kung paano ang distansya mula sa isang naibigay na punto ng eroplano patungo sa mga linya ng coordinate na matatagpuan ang Ox at Oy.

Sa hugis-parihaba na sistema ng coordinate na Oxy, ang linya ng coordinate na Oy ay ibinibigay ng hindi kumpletong pangkalahatang equation ng linya x \u003d 0, at ang linya ng coordinate na Ox ay ibinibigay ng equation y \u003d 0. Ang mga equation na ito ay normal na mga equation ang mga linya ng Oy at Ox, samakatuwid, ang distansya mula sa isang punto sa mga linyang ito ay kinakalkula ng mga formula:

ayon sa pagkakabanggit.

Larawan 5

Ang rektangular na sistema ng coordinate na Oxy ay ipinakilala sa eroplano. Hanapin ang mga distansya mula sa punto hanggang sa mga linya ng coordinate.

Ang distansya mula sa isang naibigay na puntong M 1 sa linya ng coordinate Ox (ibinigay ito sa pamamagitan ng equation y \u003d 0) ay katumbas ng modulus ng ordinate ng point M 1, iyon ay ,.

Ang distansya mula sa isang naibigay na puntong M 1 sa linya ng coordinate Oy (tumutugma ito sa equation x \u003d 0) ay katumbas ng ganap na halaga ng abscissa ng point M 1:.

Sagot: ang distansya mula sa point М 1 hanggang linya ng Ox ay 6, at ang distansya mula sa isang naibigay na punto upang i-coordinate ang linya Oy ay katumbas ng.

Hayaan ang isang hugis-parihaba na coordinate system na maayos sa three-dimensional space Oxyz, naibigay na punto, tuwid a at kinakailangan upang hanapin ang distansya mula sa punto AT sa tuwid a.

Ipapakita namin ang dalawang paraan upang makalkula ang distansya mula sa isang punto hanggang sa isang tuwid na linya sa espasyo. Sa unang kaso, ang paghahanap ng distansya mula sa punto M 1 sa tuwid a kumukulo sa paghahanap ng distansya mula sa isang punto M 1 sa punto H 1 kung saan H 1 - ang base ng patayo ay bumaba mula sa punto M 1 sa isang tuwid na linya a... Sa pangalawang kaso, ang distansya mula sa punto hanggang sa eroplano ay matatagpuan bilang taas ng parallelogram.

Kaya't magsimula tayo.

Ang unang paraan upang mahanap ang distansya mula sa punto hanggang sa linya a sa puwang.

Dahil sa pamamagitan ng kahulugan ang distansya mula sa punto M 1 sa tuwid a Ay ang haba ng patayo M 1 H 1 , pagkatapos, natukoy ang mga coordinate ng punto H 1 , makakalkula namin ang kinakailangang distansya bilang distansya sa pagitan ng mga puntos at ayon sa pormula.

Kaya, ang problema ay nabawasan sa paghahanap ng mga coordinate ng base ng patayo na itinayo mula sa punto M 1 sa tuwid a... Ito ay sapat na madali: point H 1 Ay ang intersection point ng tuwid na linya a na may sasakyang panghimpapawid na dumadaan sa punto M 1 patayo sa tuwid na linya a.

Samakatuwid, algorithm para sa pagtukoy ng distansya mula sa isang punto sa tuwida sa kalawakanito ba:

Pinapayagan ka ng pangalawang pamamaraan na hanapin ang distansya mula sa isang punto hanggang sa isang tuwid na linya a sa puwang.

Dahil sa pahayag ng problema binibigyan kami ng isang tuwid na linya a, pagkatapos ay maaari nating tukuyin ang direksyon ng vector at mga coordinate ng ilang mga punto M 3 nakahiga sa isang tuwid na linya a... Pagkatapos ang mga coordinate ng mga puntos at maaari nating kalkulahin ang mga coordinate ng isang vector: (kung kinakailangan, sumangguni sa mga artikulo sa mga coordinate ng isang vector sa pamamagitan ng mga coordinate ng mga panimula at pagtatapos na puntos)

Itabi ang mga vector at mula sa punto M 3 at bumuo ng isang parallelogram sa kanila. Sa parallelogram na ito iginuhit namin ang taas M 1 H 1 .

Malinaw na ang taas M 1 H 1 ng mga itinakdang parallelogram ay katumbas ng kinakailangang distansya mula sa punto M 1 sa tuwid a... Mahahanap natin ito.

Sa isang banda, ang lugar ng parallelogram (ipinapahiwatig namin ito S) ay matatagpuan sa mga tuntunin ng produktong vector ng mga vector at sa pamamagitan ng pormula ... Sa kabilang banda, ang lugar ng isang parallelogram ay katumbas ng produkto ng haba ng panig nito sa taas, iyon ay, kung saan - haba ng vector katumbas ng haba ng gilid ng parallelogram na isinasaalang-alang. Samakatuwid, ang distansya mula sa isang naibigay na punto M 1 sa isang naibigay na tuwid na linya a maaaring matagpuan mula sa pagkakapantay-pantay bilang .

Kaya, upang mahanap ang distansya mula sa isang punto sa tuwida sa kalawakan na kailangan mo

Paglutas ng mga problema upang mahanap ang distansya mula sa isang naibigay na punto sa isang naibigay na tuwid na linya sa puwang.

Isaalang-alang natin ang solusyon ng isang halimbawa.

Halimbawa.

Hanapin ang distansya mula sa punto sa tuwid .

Desisyon.

Unang paraan.

Isulat natin ang equation ng eroplano na dumadaan sa punto M 1 patayo sa isang naibigay na tuwid na linya:

Hanapin ang mga coordinate ng punto H 1 - mga punto ng intersection ng eroplano at isang naibigay na tuwid na linya. Upang gawin ito, ginagawa namin ang paglipat mula sa mga canonical equation ng tuwid na linya sa mga equation ng dalawang intersecting planes

pagkatapos nito ay malulutas namin ang sistema ng mga linear equation paraan ng Cramer:

Sa ganitong paraan, .

Nananatili ito upang makalkula ang kinakailangang distansya mula sa isang punto hanggang sa isang tuwid na linya bilang ang distansya sa pagitan ng mga puntos at:

Pangalawang paraan.

Ang mga numero sa mga denominator ng mga praksiyon sa mga canonical equation ng isang tuwid na linya ay kumakatawan sa mga kaukulang koordinasyon ng direksyon na vector ng tuwid na linya na ito, iyon ay, - pagdidirekta ng vector ng isang tuwid na linya ... Kalkulahin natin ang haba nito: .

Malinaw na, ang tuwid na linya dumaan sa punto , pagkatapos ang vector ay nagsisimula sa punto at magtatapos sa punto meron ... Hanapin ang produktong vector ng mga vector at :
pagkatapos ang haba ng cross product na ito ay .

Ngayon mayroon kaming lahat ng data upang magamit ang formula upang makalkula ang distansya mula sa isang naibigay na punto sa isang naibigay na eroplano: .

Sagot:

Mutual na pag-aayos ng mga tuwid na linya sa kalawakan

OoooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooSamakatuwid, magpapatuloy kami sa unang seksyon, inaasahan kong, sa pagtatapos ng artikulo, mananatili akong masayahin.

Ang kamag-anak na posisyon ng dalawang tuwid na linya

Ang kaso kapag ang madla ay umaawit kasama ang koro. Maaari ang dalawang tuwid na linya:

1) tugma;

2) maging parallel:;

3) o intersect sa isang solong point:.

Tulong para sa mga Dummy : mangyaring tandaan ang matematiko na tanda ng intersection, ito ay magiging napaka-karaniwan. Ipinapahiwatig ng notasyon na ang linya ay tumatawid sa linya sa isang punto.

Paano matutukoy ang kamag-anak na posisyon ng dalawang tuwid na linya?

Magsimula tayo sa unang kaso:

Dalawang tuwid na linya ang nag-tutugma kung at kung ang kanilang mga kaukulang koepisyent ay proporsyonal, iyon ay, mayroong isang bilang na "lambda" na ang mga pagkakapantay-pantay

Isaalang-alang ang mga tuwid na linya at bumuo ng tatlong mga equation mula sa mga kaukulang koepisyent:. Sinusundan ito mula sa bawat equation na, samakatuwid, ang mga linyang ito ay nag-tutugma.

Sa katunayan, kung ang lahat ng mga coefficients ng equation i-multiply ng –1 (baguhin ang mga palatandaan), at bawasan ang lahat ng mga coefficients ng equation ng 2, nakukuha mo ang parehong equation:.

Ang pangalawang kaso, kapag ang mga linya ay parallel:

Ang dalawang tuwid na linya ay magkapareho kung at kung ang kanilang mga coefficients para sa mga variable ay proporsyonal: pero.

Bilang halimbawa, isaalang-alang ang dalawang linya. Sinusuri namin ang proporsyonalidad ng mga kaukulang koepisyent para sa mga variable:

Gayunpaman, ito ay lubos na malinaw na.

At ang pangatlong kaso, kapag ang mga linya ay lumusot:

Dalawang tuwid na linya ang lumusot kung at kung ang kanilang mga coefficients para sa mga variable ay HINDI proporsyonal, iyon ay, WALANG tulad na "lambda" na halaga upang gawin ang mga pagkakapantay-pantay

Kaya, para sa mga tuwid na linya ay bubuo kami ng system:

Mula sa unang equation sumusunod ito, at mula sa pangalawang equation :, samakatuwid, ang sistema ay hindi naaayon (walang mga solusyon). Kaya, ang mga coefficients ng mga variable ay hindi proporsyonal.

Konklusyon: ang mga linya ay lumusot

Sa mga praktikal na problema, maaari mong gamitin ang scheme ng solusyon na isinasaalang-alang lamang. Sa pamamagitan ng paraan, ito ay halos kapareho sa algorithm para sa pag-check ng mga vector para sa collinearity, na isinasaalang-alang namin sa aralin Ang konsepto ng linear (non) pagpapakandili ng mga vector. Batayan ng Vector... Ngunit mayroong isang mas sibilisadong packaging:

Halimbawa 1

Upang malaman kaayusan sa isa't isa idirekta:

Desisyon batay sa pag-aaral ng mga direksyon ng mga vector ng mga tuwid na linya:

a) Mula sa mga equation nakikita namin ang mga direksyon ng mga vector ng mga tuwid na linya: .

, kaya't ang mga vector ay hindi collinear at ang mga linya ay lumusot.

Kung sakali, maglalagay ako ng isang bato na may mga pahiwatig sa mga sangang daan:

Ang natitira ay tumalon sa bato at sumunod, dumiretso sa Kashchei the Immortal \u003d)

b) Hanapin ang mga direksyon ng mga vector ng mga tuwid na linya:

Ang mga linya ay may parehong vector vector, na nangangahulugang pareho ang mga ito o magkakasabay. Hindi na kailangang bilangin ang tumutukoy dito.

Ito ay malinaw na ang mga coefficients para sa mga hindi kilalang proporsyonal, habang.

Alamin natin kung totoo ang pagkakapantay-pantay:

Sa ganitong paraan,

c) Hanapin ang mga direksyon ng mga vector ng mga tuwid na linya:

Kalkulahin natin ang determinant na binubuo ng mga coordinate ng mga vector na ito:
samakatuwid ang direksyon ng mga vector ay collinear. Ang mga linya ay maaaring parallel o magkasabay.

Ang proportionality coefficient na "lambda" ay hindi mahirap makita nang direkta mula sa ratio ng mga vector ng direksyon ng collinear. Gayunpaman, maaari rin itong matagpuan sa pamamagitan ng mga coefficients ng mga equation mismo: .

Ngayon alamin natin kung totoo ang pagkakapantay-pantay. Ang parehong mga libreng termino ay zero, kaya:

Ang nagresultang halaga ay nasisiyahan ang equation na ito (anumang bilang sa pangkalahatan ay nasiyahan ito).

Kaya, magkatugma ang mga linya.

Sagot:

Sa lalong madaling panahon malalaman mo (o kahit na natutunan na) upang malutas ang isinasaalang-alang na problema nang pasalita sa loob lamang ng ilang segundo. Kaugnay nito, wala akong nakitang dahilan upang magmungkahi ng isang bagay para sa isang independiyenteng solusyon, mas mahusay na maglagay ng isa pang mahalagang brick sa geometric na pundasyon:

Paano bumuo ng isang tuwid na linya na kahanay sa isang naibigay?

Para sa kamangmangan sa pinakasimpleng gawain na ito, ang Nightingale the Robber ay mahigpit na pinarusahan.

Halimbawa 2

Ang tuwid na linya ay ibinibigay ng equation. Pantayin ang isang parallel na linya na dumadaan sa isang punto.

Desisyon: Tukuyin natin ang hindi kilalang direktang liham. Ano ang sinasabi ng kundisyon tungkol sa kanya? Ang tuwid na linya ay dumadaan sa punto. At kung ang mga tuwid na linya ay parallel, kung gayon ay halata na ang nagdidirektang vector ng tuwid na linya na "tse" ay angkop din para sa pagbuo ng tuwid na linya na "de".

Inilabas namin ang vector ng direksyon mula sa equation:

Sagot:

Ang geometry ng halimbawa ay mukhang simple:

Ang pag-verify ng analitikal ay binubuo ng mga sumusunod na hakbang:

1) Suriin na ang mga tuwid na linya ay may parehong direksyon na vector (kung ang equation ng tuwid na linya ay hindi pinasimple nang maayos, kung gayon ang mga vector ay magiging collinear).

2) Suriin kung ang punto ay nasiyahan ang nakuha na equation.

Ang pagsusuri ng pagsusuri ay sa karamihan ng mga kaso madaling gawin nang pasalita. Tingnan ang dalawang mga equation at marami sa iyo ay mabilis na malaman ang parallelism ng mga tuwid na linya nang walang anumang pagguhit.

Ang mga halimbawa para sa self-solution ngayon ay magiging malikhain. Dahil kailangan mo pang makipagkumpetensya sa Baba Yaga, at siya, alam mo, ay mahilig sa lahat ng uri ng mga bugtong.

Halimbawa 3

Gumawa ng isang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang punto na parallel sa isang tuwid na linya kung

Mayroong isang makatuwiran at hindi masyadong makatuwiran na solusyon. Ang pinakamaikling paraan ay sa pagtatapos ng aralin.

Natapos namin ang kaunting trabaho sa mga parallel na linya at babalik kami sa kanila sa paglaon. Ang kaso ng pagsabay sa tuwid na mga linya ay hindi gaanong interes, kaya isaalang-alang ang isang problema na alam mo mula sa kurikulum sa paaralan:

Paano makahanap ng intersection point ng dalawang linya?

Kung diretso intersect sa isang punto, pagkatapos ang mga coordinate nito ang solusyon mga sistema ng mga linear equation

Paano mahahanap ang punto ng intersection ng mga linya? Malutas ang system.

Sobra para sayo geometriko kahulugan ng isang sistema ng dalawang mga linear equation sa dalawang hindi alam Ay dalawang intersecting (madalas) tuwid na mga linya sa isang eroplano.

Halimbawa 4

Hanapin ang punto ng intersection ng mga linya

Desisyon: Mayroong dalawang paraan ng paglutas - graphic at analitikal.

Ang grapikong paraan ay upang iguhit lamang ang mga linya ng data at alamin ang intersection point nang direkta mula sa pagguhit:

Narito ang aming punto: Upang suriin ito, dapat mong palitan ang mga coordinate nito sa bawat equation ng tuwid na linya, dapat silang magkasya pareho doon at doon. Sa madaling salita, ang mga coordinate ng isang punto ay ang solusyon ng system. Talaga, tiningnan namin ang isang grapikong paraan upang malutas mga sistema ng mga linear equation na may dalawang equation, dalawang hindi alam.

Ang grapikong pamamaraan, siyempre, ay hindi masama, ngunit may mga kapansin-pansin na mga kawalan. Hindi, ang punto ay hindi ang pang-pitong grader ang magpapasya sa gayon, ang punto ay magtatagal ng oras upang makakuha ng isang wasto at Eksaktong pagguhit. Bilang karagdagan, ang ilang mga tuwid na linya ay hindi gaanong madaling maitayo, at ang intersection point mismo ay maaaring matatagpuan sa isang lugar sa tatlumpung kaharian sa labas ng sheet ng notebook.

Samakatuwid, mas kapaki-pakinabang na maghanap para sa intersection point gamit ang pamamaraang analytical. Solusyunan natin ang system:

Upang malutas ang system, ginamit ang paraan ng pagdaragdag ng mga equation sa bawat panahon. Bisitahin ang aralin upang makabuo ng mga kaugnay na kasanayan. Paano malutas ang isang sistema ng mga equation?

Sagot:

Ang tseke ay walang halaga - ang mga coordinate ng intersection point ay dapat masiyahan ang bawat equation sa system.

Halimbawa 5

Hanapin ang intersection point ng mga linya kung sumalubong ang mga ito.

Ito ay isang halimbawa para sa isang solusyon na gawin sa sarili. Maginhawa upang hatiin ang gawain sa maraming mga yugto. Ang pagtatasa ng kundisyon ay nagpapahiwatig kung ano ang kinakailangan:
1) Gawin ang equation ng tuwid na linya.
2) Gawin ang equation ng tuwid na linya.
3) Alamin ang kamag-anak na posisyon ng mga tuwid na linya.
4) Kung ang mga linya ay lumusot, pagkatapos hanapin ang intersection point.

Ang pagbuo ng isang algorithm ng mga aksyon ay tipikal para sa maraming mga problema sa geometriko, at paulit-ulit kong ituon ito.

Kumpletong solusyon at ang sagot sa pagtatapos ng tutorial:

Ang isang pares ng sapatos ay hindi pa napapagod, nang makarating kami sa ikalawang seksyon ng aralin:

Perpendikular na tuwid na mga linya. Distansya mula sa punto hanggang linya.
Angle sa pagitan ng mga tuwid na linya

Magsimula tayo sa isang tipikal at napakahalagang gawain. Sa unang bahagi, natutunan namin kung paano bumuo ng isang tuwid na linya na parallel sa isang ito, at ngayon ang kubo sa mga binti ng manok ay magiging 90 degree:

Paano bumuo ng isang linya patayo sa isang naibigay?

Halimbawa 6

Ang tuwid na linya ay ibinibigay ng equation. Pantayin ang isang patayo na linya sa pamamagitan ng isang punto.

Desisyon: Sa kundisyon nalalaman ito. Masarap na makahanap ng direksyon ng vector ng tuwid na linya. Dahil ang mga linya ay patayo, ang bilis ng kamay ay simple:

Mula sa equation na "alisin" ang normal na vector :, na magiging direksyon ng vector ng tuwid na linya.

Bumuo tayo ng equation ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng isang punto at isang direksyon na vector:

Sagot:

Palawakin natin ang geometric sketch:

Hmmm ... Orange sky, orange sea, orange camel.

Analytical verification ng solusyon:

1) Ilabas ang mga direksyon ng mga vector mula sa mga equation at sa tulong tuldok na produkto ng mga vector nakarating kami sa konklusyon na ang mga tuwid na linya ay talagang patayo:.

Sa pamamagitan ng paraan, maaari kang gumamit ng mga normal na vector, mas madali ito.

2) Suriin kung ang punto ay nasiyahan ang nakuha na equation .

Ang tseke ay, muli, madaling gawin nang pasalita.

Halimbawa 7

Hanapin ang punto ng intersection ng mga patayo na linya kung kilala ang equation at point.

Ito ay isang halimbawa para sa isang solusyon na gawin sa sarili. Mayroong maraming mga pagkilos sa gawain, kaya't maginhawa upang iguhit ang solusyon point ayon sa punto.

Nagpapatuloy ang aming nakagaganyak na paglalakbay:

Distansya mula sa punto hanggang linya

Bago sa amin ay isang tuwid na hubad ng ilog at ang aming gawain ay maabot ito sa pamamagitan ng pinakamaikling ruta. Walang mga hadlang, at ang pinaka-optimal na ruta ay ang paggalaw kasama ang patayo. Iyon ay, ang distansya mula sa isang punto hanggang sa isang tuwid na linya ay ang haba ng isang patayo na linya.

Ang distansya sa geometry ay ayon sa kaugalian na tinukoy ng titik na Griyego na "ro", halimbawa: - ang distansya mula sa puntong "em" hanggang sa tuwid na linya na "de".

Distansya mula sa punto hanggang linya ipinahayag ng pormula

Halimbawa 8

Hanapin ang distansya mula sa punto hanggang sa linya

Desisyon: ang kailangan mo lang ay maingat na mai-plug ang mga numero sa formula at isagawa ang mga kalkulasyon:

Sagot:

Isagawa natin ang pagguhit:

Ang distansya mula sa punto sa linya na natagpuan ay eksaktong haba ng pulang linya. Kung gumuhit ka ng isang guhit sa checkered na papel sa isang sukat na 1 yunit. \u003d 1 cm (2 cells), kung gayon ang distansya ay maaaring masukat sa isang ordinaryong pinuno.

Isaalang-alang ang isa pang gawain para sa parehong blueprint:

Ang gawain ay upang hanapin ang mga coordinate ng isang punto na simetriko sa isang punto na may paggalang sa isang tuwid na linya ... Iminumungkahi kong isagawa ang mga pagkilos nang mag-isa, ngunit ibabalangkas ko ang solusyon sa algorithm na may mga intermediate na resulta:

1) Humanap ng isang linya na patayo sa linya.

2) Hanapin ang punto ng intersection ng mga linya: .

Ang parehong mga pagkilos ay detalyado sa araling ito.

3) Ang punto ay ang midpoint ng segment ng linya. Alam namin ang mga coordinate ng gitna at isa sa mga dulo. Ni mga formula para sa mga coordinate ng midpoint ng segment nahahanap namin

Hindi ito magiging kalabisan upang suriin na ang distansya ay 2.2 unit din.

Ang mga kahirapan dito ay maaaring lumitaw sa mga kalkulasyon, ngunit sa tower, ang isang micro calculator ay makakatulong nang mahusay, na nagbibigay-daan sa iyo upang mabilang ang mga ordinaryong praksiyon. Paulit-ulit na pinayuhan, magpapayo at muli.

Paano makahanap ng distansya sa pagitan ng dalawang magkatulad na linya?

Halimbawa 9

Hanapin ang distansya sa pagitan ng dalawang magkatulad na linya

Ito ay isa pang halimbawa para sa isang malayang solusyon. Hayaan akong bigyan ka ng kaunting pahiwatig: maraming mga paraan upang malutas ito. Ang pagdidiskubre sa pagtatapos ng aralin, ngunit mas mahusay na subukang hulaan para sa iyong sarili, sa palagay ko nakaya mo nang paalisin nang husto ang iyong talino.

Angle sa pagitan ng dalawang tuwid na linya

Ang bawat anggulo ay isang jamb:


Sa geometry, ang anggulo sa pagitan ng dalawang tuwid na linya ay kinukuha bilang PINAKAMALIIT na anggulo, na awtomatikong nagpapahiwatig na hindi ito maaaring maging mapang-akit. Sa figure, ang anggulo na ipinahiwatig ng pulang arko ay hindi isinasaalang-alang ang anggulo sa pagitan ng intersecting tuwid na mga linya. At ang kanyang "berde" na kapit-bahay ay itinuturing na tulad, o salungat sa oriented Sulok ng "Crimson".

Kung ang mga tuwid na linya ay patayo, kung gayon ang alinman sa 4 na mga anggulo ay maaaring makuha bilang angulo sa pagitan nila.

Paano magkakaiba ang mga anggulo? Oryentasyon Una, ang direksyon ng sulok na "pag-scroll" ay may pangunahing kahalagahan. Pangalawa, ang isang anggulong negatibong oriented ay nakasulat na may isang minus sign, halimbawa, kung.

Bakit ko nasabi to? Mukhang maaari mong gawin sa karaniwang konsepto ng isang anggulo. Ang totoo ay sa mga formula na malalaman namin ang mga anggulo, madali kang makakakuha ng isang negatibong resulta, at hindi ka ito sorpresahin. Ang isang anggulo na may isang minus sign ay hindi mas masahol, at may isang napaka-tukoy na geometric na kahulugan. Sa pagguhit, para sa isang negatibong anggulo, tiyaking ipahiwatig ang oryentasyon nito gamit ang isang arrow (pakanan.

Paano mahahanap ang anggulo sa pagitan ng dalawang tuwid na linya? Mayroong dalawang gumaganang mga formula:

Halimbawa 10

Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya

Desisyon at Paraan ng isa

Isaalang-alang ang dalawang tuwid na linya na ibinigay ng mga equation sa pangkalahatang form:

Kung diretso hindi patayotapos nakatuon ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay maaaring kalkulahin gamit ang formula:

Bigyang pansin natin ang denominator - eksakto ito produkto ng scalar direksyon ng mga vector ng mga tuwid na linya:

Kung, kung gayon ang denominator ng formula ay nawala, at ang mga vector ay magiging orthogonal at tuwid na mga linya ay patayo. Iyon ang dahilan kung bakit nagawa ang isang pagpapareserba tungkol sa hindi perpendikularidad ng mga tuwid na linya sa pagbabalangkas.

Batay sa naunang nabanggit, maginhawa upang ayusin ang isang solusyon sa dalawang hakbang:

1) Kalkulahin produkto ng scalar direksyon ng mga vector ng mga tuwid na linya:
, kaya ang mga tuwid na linya ay hindi patayo.

2) Ang anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya ay natagpuan ng pormula:

Sa pamamagitan ng kabaligtaran function ang sulok mismo ay madaling hanapin. Sa kasong ito, ginagamit namin ang kakatwa ng arctangent (tingnan. Mga graphic at katangian ng mga pagpapaandar sa elementarya):

Sagot:

Sa sagot, ipinapahiwatig namin ang eksaktong halaga, pati na rin ang tinatayang halaga (mas mabuti kapwa sa mga degree at sa mga radian), na kinakalkula gamit ang isang calculator.

Well, minus, so minus, okay lang yan. Narito ang isang geometric na paglalarawan:

Hindi nakakagulat na ang anggulo ay naging negatibong oryentasyon, sapagkat sa pahayag ng problema ang unang numero ay isang tuwid na linya at ang "pag-ikot" ng anggulo ay nagsimula dito.

Kung talagang nais mong makakuha ng isang positibong anggulo, kailangan mong palitan ang mga tuwid na linya, iyon ay, kunin ang mga coefficients mula sa ikalawang equation , at ang mga coefficients ay kinuha mula sa unang equation. Sa madaling salita, dapat kang magsimula sa isang tuwid na linya .

Coordinate method (distansya sa pagitan ng point at eroplano, sa pagitan ng mga tuwid na linya)

Distansya sa pagitan ng punto at eroplano.

Distansya sa pagitan ng punto at linya.

Distansya sa pagitan ng dalawang tuwid na linya.

Ang unang bagay na kapaki-pakinabang na malaman ay kung paano makahanap ng distansya mula sa isang punto patungo sa isang eroplano:

Mga Halaga ng A, B, C, D - mga koepisyent ng eroplano

x, y, z - mga coordinate ng point

Isang gawain. Hanapin ang distansya sa pagitan ng puntong A \u003d (3; 7; −2) at ng eroplanong 4x + 3y + 13z - 20 \u003d 0.

Ibinigay ang lahat, agad mong mapapalitan ang mga halaga sa equation:

Isang gawain. Hanapin ang distansya mula sa puntong K \u003d (1; −2; 7) hanggang sa tuwid na linya na dumadaan sa mga puntong V \u003d (8; 6; −13) at T \u003d (−1; −6; 7).

1. Hanapin ang vector ng isang tuwid na linya.
2. Kinakalkula namin ang vector na dumadaan sa nais na punto at anumang punto sa linya.
   
3. Itinakda namin ang matrix at hanapin ang tumutukoy para sa dalawang nakuha na mga vector sa ika-1 at ika-2 na puntos.
4. Nakukuha natin ang distansya kapag pang-ugat na ugat mula sa kabuuan ng mga parisukat ng mga coefficients ng matrix, hinati namin ang haba ng vector na tumutukoy sa tuwid na linya(Sa palagay ko hindi ito malinaw, kaya't magpatuloy tayo sa isang tukoy na halimbawa).

1) TV \u003d (8 - (- 1); 6 - (- 6); -13-7) \u003d (9; 12; −20)

2) Ang vector ay matatagpuan sa pamamagitan ng mga puntong K at T, kahit na maaari rin itong dumaan sa K at V o anumang iba pang punto sa linyang ito.

TK \u003d (1 - (- 1); −2 - (- 6); 7-7) \u003d (2; 4; 0)

3) Nakukuha namin ang isang m matrix nang walang koepisyent D (narito hindi kinakailangan para sa solusyon):

4) Ang eroplano ay naka-out sa mga coefficients A \u003d 80, B \u003d 40, C \u003d 12,

ang x, y, z ay ang mga coordinate ng line vector, sa kasong ito, ang vector TV ay may mga coordinate (9; 12; -20)

Isang gawain. Hanapin ang distansya sa pagitan ng tuwid na linya na dumadaan sa mga puntong Е \u003d (1; 0; −2), G \u003d (2; 2; −1), at ang tuwid na linya na dumadaan sa mga puntong M \u003d (4; −1; 4), L \u003d ( −2; 3; 0).

1. Itinakda namin ang mga vector ng parehong linya.
2. Hanapin ang vector sa pamamagitan ng pagkuha ng isang punto mula sa bawat linya.
3. Isusulat namin ang isang matrix ng 3 mga vector (dalawang linya mula sa ika-1 na item, isang linya mula sa ika-2) at hanapin ang tumutukoy sa bilang.
4. Nagtakda kami ng isang matrix ng unang dalawang mga vector (sa hakbang 1). Ang unang linya ay itinakda bilang x, y, z.
5. Nakukuha namin ang distansya kapag hinati namin ang nagresultang halaga mula sa point 3 modulo ng square square ng kabuuan ng mga parisukat ng point 4.

Lumipat tayo sa mga numero.