denklemler. Kimlik dönüşümleri İfadelerin dönüşümü. özet ve temel formüller

“Kimlikler. İfadelerin kimlik dönüşümü”.

Dersin Hedefleri

eğitici:

"özdeş olarak eşit ifadeler", "özdeşlik", "özdeş dönüşümler" kavramlarını tanımak ve başlangıçta pekiştirmek;

kimlikleri kanıtlamanın yollarını düşünmek, kimlik kanıtlama becerilerinin geliştirilmesine katkıda bulunmak;

öğrencilerin kapsanan materyali özümsemelerini kontrol etmek, yeni algı için çalışılanları uygulama becerilerini oluşturmak.

eğitici : düşünme geliştirmek, öğrencilerin konuşması.

eğitici : çalışkanlığı, doğruluğu, alıştırmaların çözümünü kaydetmenin doğruluğunu geliştirmek.

Ders türü: yeni materyal öğrenmek

Teçhizat : Multimedya tahtası, yazı tahtası, ders kitabı, çalışma kitabı.

P lan ders

Organizasyonel an (öğrencileri derse yönlendirmek için)

Ödevi kontrol etme (hata düzeltme)

sözlü egzersizler

Yeni materyal çalışması ("kimlik", "özdeş dönüşümler" kavramlarının tanıtımı ve birincil konsolidasyonu).

Eğitim egzersizleri("Kimlik", "özdeş dönüşümler" kavramlarının oluşumu).

Dersi özetleme (Derste elde edilen teorik bilgileri özetleyin).

Ödev mesajı (Ödevin içeriğini açıklayın)

Dersler sırasında

I. Organizasyonel an.

Ev ödevi kontrol ediliyor.

Ev ödevi ile ilgili sorular.

Tahtada bilgilendirme.

Matematik gerekli
O olmadan imkansız
Öğretiyoruz, öğretiyoruz, arkadaşlar,
Sabahları ne hatırlıyoruz?

II . sözlü egzersizler

Bir egzersiz yapalım.

Toplama sonucu. (Toplam)

Kaç numara biliyorsun? (On)

Yüzde bir sayı. (Yüzde)

bölme sonucu? (Özel)

En küçük doğal sayı? (1)

Bölerken mümkün mü doğal sayılar sıfır al? (Numara)

-200 ile 200 arasındaki sayıların toplamı kaçtır? (0)

En büyük negatif tam sayı nedir? (-1)

Hangi sayı bölünemez? (0)

Çarpma sonucu? (Çalışmak)

En büyük iki basamaklı sayı? (99)

-200'den 200'e kadar olan ürün nedir? (0)

Çıkarmanın sonucu. (Fark)

Bir kilogramda kaç gram? (1000)

Toplamanın değişmeli özelliği. (Terimlerin yerlerinin yeniden düzenlenmesinden toplam değişmemektedir)

Çarpmanın değişmeli özelliği. (Faktörlerin yerlerinin permütasyonundan ürün değişmez)

Toplamanın birleştirici özelliği. (İki sayının toplamına bir sayı eklemek için birinci sayıya ikinci ve üçüncünün toplamını ekleyebilirsiniz)

Çarpmanın birleştirici özelliği. (iki sayının çarpımını üçüncü sayı ile çarpmak için birinci sayıyı ikinci ve üçüncünün çarpımı ile çarpabilirsiniz)

dağıtım özelliği. (Bir sayıyı iki sayının toplamı ile çarpmak için bu sayıyı her terimle çarpıp sonuçları toplayabilirsiniz)

III . Yeni materyal öğrenmek .

Öğretmen. x=5 ve y=4'teki ifadelerin değerini bulun

3(x+y)=3(5+4)=3*9=27

3x+3y=3*5+3*4=27

Aynı sonucu aldık. Dağılım özelliğinden, genel olarak, değişkenlerin herhangi bir değeri için, 3(x + y) ve 3x + 3y ifadelerinin değerlerinin eşit olduğu sonucu çıkar.

Şimdi 2x + y ve 2xy ifadelerini düşünün. x=1 ve y=2 için eşit değerler alırlar:

2x+y=2*1+2=4

2xy=2*1*2=4

Ancak x ve y değerlerini bu ifadelerin değerleri eşit olmayacak şekilde belirtebilirsiniz. Örneğin, x=3, y=4 ise, o zaman

2x+y=2*3+4=10

2xy=2*3*4=24

Tanım: Değişkenlerin herhangi bir değeri için değerleri eşit olan iki ifadenin aynı olduğu söylenir.

3(x+y) ve 3x+3y ifadeleri aynı şekilde eşittir, ancak 2x+y ve 2xy ifadeleri aynı şekilde eşit değildir.

3(x + y) ve 3x + 3y eşitliği, herhangi bir x ve y değeri için geçerlidir. Bu tür eşitliklere kimlik denir.

Tanım: Değişkenlerin herhangi bir değeri için doğru olan bir eşitliğe kimlik denir.

Gerçek sayısal eşitlikler de özdeşlik olarak kabul edilir. Biz zaten kimliklerle tanıştık. Kimlikler, sayılar üzerindeki eylemlerin temel özelliklerini ifade eden eşitliklerdir (Öğrenciler her bir özelliği telaffuz ederek yorum yaparlar).

a + b = b + bir ab=ba (a + b) + c = a + (b + c) (ab)c = a(bc) a(b + c) = ab + ac

Diğer kimlik örnekleri verilebilir (Öğrenciler her bir özellik hakkında yorum yaparak bunu telaffuz ederler).

bir + 0 = bir

bir * 1 = bir

bir + (-a) = 0

fakat * (- B ) = - ab

a - B = a + (- B )

(- a ) * (- B ) = ab

Tanım: Bir ifadenin, ona eşit olarak başka bir ifadeyle değiştirilmesine özdeş dönüşüm veya basitçe bir ifadenin dönüşümü denir.

Öğretmen:

kimlik dönüşümleri değişkenli ifadeler, sayılar üzerindeki işlemlerin özelliklerine göre yürütülür.

İfadelerin kimlik dönüşümleri, ifadelerin değerlerinin hesaplanmasında ve diğer problemlerin çözümünde yaygın olarak kullanılmaktadır. Halihazırda bazı özdeş dönüşümler yapmak zorundaydınız, örneğin benzer terimlerin azaltılması, parantezlerin genişletilmesi. Bu dönüşümler için kuralları hatırlayın:

öğrenciler:

Benzer terimleri getirmek için katsayılarını toplamak ve sonucu ortak harf kısmı ile çarpmak gerekir;

Parantezlerin önünde bir artı işareti varsa, parantez içindeki her terimin işareti korunarak parantezler çıkarılabilir;

Parantezlerden önce eksi işareti varsa, parantez içindeki her terimin işareti değiştirilerek parantezler çıkarılabilir.

Öğretmen:

Örnek 1. Benzer terimler sunuyoruz

5x + 2x-3x=x(5+2-3)=4x

Hangi kuralı kullandık?

Öğrenci:

Benzer terimlerin indirgenmesi kuralını kullandık. Bu dönüşüm, çarpmanın dağılma özelliğine dayanmaktadır.

Öğretmen:

Örnek 2. 2a + ( ifadesindeki parantezleri genişletinB-3 C) = 2 a + B – 3 C

Artı işaretinin önüne parantez açma kuralını uyguladık.

Öğrenci:

Gerçekleştirilen dönüşüm, toplamanın birleştirici özelliğine dayanır.

Öğretmen:

Örnek 3. a - (4 ) ifadesindeki parantezleri açalım.B- c) =a – 4 B + C

Önünde eksi işareti bulunan parantez açma kuralını kullandık.

Bu dönüşüm hangi özelliğe dayanmaktadır?

Öğrenci:

Gerçekleştirilen dönüşüm, çarpmanın dağıtma özelliğine ve toplamanın birleştirici özelliğine dayanmaktadır.

IV . Eğitim egzersizleri

(Başlamadan önce fiziksel bir aktivite yaparız.

Hemen ayağa kalkıp gülümsediler.

Daha yükseğe ve daha yükseğe çekti.

Hadi, omuzlarını düzelt

Yükselt, alçal.

Sağa dön sola dön

Otur, kalk. Otur, kalk.

Ve olay yerinde koştular.

(Aferin, oturun).

hadi bir minicik bağımsız iş- Uyum, Ve konunun iyi anlaşıldığına inananlar - çevrimiçi karar verir - test eder.

1) 5 (3x -2) - (4x + 9) A) 5-10: x

2) 5x-4 (2x-5) + 5 B) 11x -19

3) (5x-10): x B) 3x + 25

4) 11x-4 (x - 3) + 5x D) -3x + 25

E) 12x +12

V . Dersi özetlemek .

Öğretmen sorular sorar ve öğrenciler istedikleri gibi cevaplar.

Hangi iki ifadeye özdeş olarak eşit denir? Örnekler ver.

Hangi eşitliğe kimlik denir? Örnek vermek.

Hangi özdeş dönüşümleri biliyorsunuz?

VI . Ödev . s.5, İnterneti kullanarak eski özdeş ifadeleri bulun

Kimlik dönüştürmeleri, sayısal ve alfabetik ifadelerin yanı sıra değişkenler içeren ifadelerle yaptığımız iştir. Tüm bu dönüşümleri, orijinal ifadeyi problemin çözümüne uygun olacak bir forma getirmek için yapıyoruz. Bu konudaki ana özdeş dönüşüm türlerini ele alacağız.

Bir ifadenin kimlik dönüşümü. Ne olduğunu?

Özdeş dönüştürülmüş biz kavramıyla ilk kez 7. sınıf cebir derslerinde karşılaşıyoruz. Sonra önce özdeş eşit ifadeler kavramıyla tanışırız. Konunun özümsenmesini kolaylaştırmak için kavram ve tanımları ele alalım.

tanım 1

Bir ifadenin kimlik dönüşümü orijinal ifadeyi orijinal ifadeye eşit olacak bir ifadeyle değiştirmek için gerçekleştirilen eylemlerdir.

Genellikle bu tanım, "özdeş" kelimesinin çıkarıldığı kısaltılmış bir biçimde kullanılır. Her halükarda, ifadenin dönüşümünü, aslına özdeş bir ifade elde edecek şekilde yaptığımız varsayılır ve bunun ayrıca vurgulanmasına gerek yoktur.

Gözünde canlandırmak bu tanımörnekler.

örnek 1

ifadeyi değiştirirsek x + 3 - 2özdeş eşit ifadeye x+1, sonra ifadenin özdeş dönüşümünü gerçekleştiririz x + 3 - 2.

Örnek 2

2 a 6 ifadesinin ifadeyle değiştirilmesi 3 ifadenin yerini alırken kimlik dönüşümüdür x ifadeye x2özdeş bir dönüşüm değildir, çünkü ifadeler x Ve x2özdeş olarak eşit değildir.

Özdeş dönüşümler gerçekleştirirken dikkatinizi yazı ifadelerine çekiyoruz. Genellikle orijinal ifadeyi ve ortaya çıkan ifadeyi bir eşitlik olarak yazarız. Yani x + 1 + 2 = x + 3 yazmak, x + 1 + 2 ifadesinin x + 3 biçimine indirgendiği anlamına gelir.

Eylemlerin sıralı yürütülmesi, bizi birkaç ardışık özdeş dönüşüm olan bir eşitlikler zincirine götürür. Böylece, x + 1 + 2 = x + 3 = 3 + x gösterimini iki dönüşümün sıralı bir uygulaması olarak anlıyoruz: ilk olarak, x + 1 + 2 ifadesi x + 3 biçimine indirgendi ve 3 + x şeklinde.

Kimlik dönüşümleri ve ODZ

8. sınıfta çalışmaya başladığımız bir takım ifadeler, herhangi bir değişken değeri için anlam ifade etmiyor. Bu durumlarda aynı dönüşümleri gerçekleştirmek, kabul edilebilir değişken değerlerinin (ODV) bölgesine dikkat etmemizi gerektirir. Özdeş dönüşümlerin gerçekleştirilmesi ODZ'yi değiştirmeden bırakabilir veya daraltabilir.

Örnek 3

İfadeden bir geçiş gerçekleştirirken bir + (−b) ifadeye a-b değişkenlerin izin verilen değer aralığı a Ve B aynı kalır.

Örnek 4

x ifadesinden ifadeye geçiş x 2 x x değişkeninin kabul edilebilir değer aralığının tüm gerçek sayılar kümesinden sıfırın hariç tutulduğu tüm gerçek sayılar kümesine daralmasına yol açar.

Örnek 5

Bir ifadenin kimlik dönüşümü x 2 x x ifadesi, x değişkeninin kabul edilebilir değer aralığının sıfır hariç tüm gerçek sayılar kümesinden tüm gerçek sayılar kümesine genişlemesine yol açar.

Aynı dönüşümleri gerçekleştirirken değişkenlerin izin verilen değer aralığını daraltmak veya genişletmek, hesaplamaların doğruluğunu etkileyebileceği ve hatalara yol açabileceği için problem çözmede önemlidir.

Temel kimlik dönüşümleri

Şimdi özdeş dönüşümlerin ne olduğunu ve nasıl yapıldığını görelim. En sık ele almamız gereken bu tür özdeş dönüşümleri ana gruba ayıralım.

Temel kimlik dönüşümlerine ek olarak, belirli bir türdeki ifadelerle ilgili bir dizi dönüşüm vardır. Kesirler için bunlar indirgeme ve yeni bir paydaya indirgeme yöntemleridir. Kökleri ve kuvvetleri olan ifadeler için, köklerin ve kuvvetlerin özelliklerine göre gerçekleştirilen tüm eylemler. Logaritmik ifadeler için, logaritmaların özelliklerine göre gerçekleştirilen eylemler. İçin trigonometrik ifadeler kullanan tüm eylemler trigonometrik formüller. Tüm bu özel dönüşümler, kaynağımızda bulunabilecek ayrı başlıklarda ayrıntılı olarak tartışılmaktadır. Bu sebeple bu yazıda bunlara değinmeyeceğiz.

Ana özdeş dönüşümlerin değerlendirilmesine geçelim.

Terimlerin yeniden düzenlenmesi, faktörler

Terimleri yeniden düzenleyerek başlayalım. Bu özdeş dönüşümle en sık uğraşıyoruz. Ve aşağıdaki ifade burada ana kural olarak kabul edilebilir: herhangi bir toplamda, terimlerin yerlerde yeniden düzenlenmesi sonucu etkilemez.

Bu kural, toplama işleminin değişmeli ve birleştirici özelliklerine dayanmaktadır. Bu özellikler, terimleri yerlerde yeniden düzenlememize ve aynı zamanda orijinal ifadelere özdeş ifadeler elde etmemize izin verir. Bu nedenle, toplamdaki yerlerde terimlerin yeniden düzenlenmesi özdeş bir dönüşümdür.

Örnek 6

3 + 5 + 7 terimlerinin toplamı elimizde. 3 ve 5 terimlerini yer değiştirirsek, ifade 5 + 3 + 7 şeklini alacaktır. Bu durumda terimleri yeniden düzenlemek için birkaç seçenek vardır. Hepsi, orijinaline aynı şekilde eşit ifadelerin elde edilmesine yol açar.

Yalnızca sayılar değil, ifadeler de toplamda terim işlevi görebilir. Tıpkı sayılar gibi, hesaplamaların nihai sonucunu etkilemeden yeniden düzenlenebilirler.

Örnek 7

Üç terimin toplamında 1 a + b, a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 ve - 12 a formu 1 a + b + a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 + ( - 12) a terimleri örneğin şu şekilde yeniden düzenlenebilir (- 12) a + 1 a + b + a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 . Buna karşılık, 1 a + b fraksiyonunun paydasındaki terimleri yeniden düzenleyebilirsiniz, fraksiyon ise 1 b + a şeklini alacaktır. Ve kök işaretinin altındaki ifade 2 + 2 bir + 5 ayrıca terimlerin değiştirilebileceği bir toplamdır.

Terimlerde olduğu gibi, orijinal ifadelerde de faktörler yer değiştirebilir ve aynı derecede doğru denklemler elde edilebilir. Bu işlem aşağıdaki kurala tabidir:

tanım 2

Üründe yer alan faktörlerin yeniden düzenlenmesi hesaplama sonucunu etkilemez.

Bu kural, aynı dönüşümün doğruluğunu teyit eden çarpmanın değişmeli ve birleştirici özelliklerine dayanmaktadır.

Örnek 8

Çalışmak 3 5 7 faktörlerin permütasyonu şu şekillerde gösterilebilir: 5 3 7 , 5 7 3 , 7 3 5 , 7 5 3 veya 3 7 5.

Örnek 9

x + 1 x 2 - x + 1 x çarpımındaki çarpanlara izin vermek x 2 - x + 1 x x + 1 verir

Braket genişletme

Parantezler, sayısal ifadelerin girişlerini ve değişkenli ifadeleri içerebilir. Bu ifadeler, orijinal ifadelerdekinden daha az parantez içermeyen veya hiç parantez içermeyen aynı eşit ifadelere dönüştürülebilir. İfadeleri dönüştürmenin bu yoluna parantez açılımı denir.

Örnek 10

Formun bir ifadesinde parantez ile eylemler gerçekleştirelim 3 + x - 1 x aynı doğru ifadeyi elde etmek için 3 + x - 1 x.

3 · x - 1 + - 1 + x 1 - x ifadesi, 3 · x - 3 - 1 + x 1 - x köşeli ayraçlar olmadan aynı eşit ifadeye dönüştürülebilir.

Kaynağımızda yayınlanan "Braket genişletme" konusunda parantezli ifadeleri dönüştürme kurallarını ayrıntılı olarak tartıştık.

Gruplandırma terimleri, faktörler

Üç veya daha fazla terimle uğraştığımız durumlarda, terimlerin gruplandırılması gibi bu tür özdeş dönüşümlere başvurabiliriz. Bu dönüştürme yöntemiyle, birkaç terimin yeniden düzenlenerek ve parantez içine alınarak bir grup halinde birleştirilmesi kastedilmektedir.

Gruplama yapılırken terimler, gruplanan terimler ifade kaydında yan yana olacak şekilde değiştirilir. Bundan sonra, parantez içine alınabilirler.

Örnek 11

ifadeyi al 5 + 7 + 1 . İlk terimi üçüncü ile gruplandırırsak, (5 + 1) + 7 .

Faktörlerin gruplandırılması, terimlerin gruplandırılmasına benzer şekilde gerçekleştirilir.

Örnek 12

İşte 2 3 4 5 birinci faktörü üçüncü, ikinci faktörü dördüncü ile gruplamak mümkündür, bu durumda ifadeye varıyoruz (2 4) (3 5). Birinci, ikinci ve dördüncü faktörleri gruplandırırsak, şu ifadeyi alırız: (2 3 5) 4.

Gruplandırılmış terimler ve faktörler hem asal sayılarla hem de ifadelerle temsil edilebilir. Gruplama kuralları, "Gruplama terimleri ve faktörleri" konusunda ayrıntılı olarak tartışıldı.

Farklılıkları toplamlar, kısmi ürünler ve tersi ile değiştirme

Zıt sayılarla tanışmamız sayesinde farkların toplamlarla değiştirilmesi mümkün oldu. Şimdi bir sayıdan çıkarma a sayılar B sayıya ek olarak görülebilir a sayılar -b. eşitlik a − b = a + (− b) adil olarak kabul edilebilir ve temelinde, farkların meblağlarla değiştirilmesini gerçekleştirir.

Örnek 13

ifadeyi al 4 + 3 − 2 , hangi sayıların farkı 3 − 2 toplamı olarak yazabiliriz 3 + (− 2) . Elde etmek 4 + 3 + (− 2) .

Örnek 14

İfadedeki tüm farklılıklar 5 + 2 x - x 2 - 3 x 3 - 0, 2 gibi toplamlarla değiştirilebilir 5 + 2 x + (− x 2) + (− 3 x 3) + (− 0 , 2).

Herhangi bir farklılıktan toplamlara devam edebiliriz. Benzer şekilde, ters bir ikame yapabiliriz.

Bölmenin, bölenin tersiyle çarpma yoluyla değiştirilmesi, karşılıklı sayılar kavramıyla mümkün olur. Bu dönüşüm şu şekilde yazılabilir: a: b = bir (b − 1).

Bu kural, adi kesirleri bölme kuralının temeliydi.

Örnek 15

Özel 1 2: 3 5 formun bir ürünü ile değiştirilebilir 1 2 5 3.

Benzer şekilde, benzetme yoluyla bölme, çarpma ile değiştirilebilir.

Örnek 16

ifade durumunda 1+5:x:(x+3) bölmeyi şununla değiştir x ile çarpılabilir 1 adet. Bölme x + 3 ile çarparak değiştirebiliriz. 1 x + 3. Dönüşüm, orijinal ifadeyle aynı olan bir ifade elde etmemizi sağlar: 1 + 5 1 x 1 x + 3 .

Çarpma ile bölmenin değiştirilmesi şemaya göre gerçekleştirilir. bir b = a: (b − 1).

Örnek 17

5 x x 2 + 1 - 3 ifadesinde çarpma işlemi 5: x 2 + 1 x - 3 şeklinde bölme ile değiştirilebilir.

Rakamlarla işlem yapma

Rakamlarla işlem yapmak işlem sırası kuralına tabidir. İlk olarak, sayıların kuvvetleri ve sayıların kökleri ile işlemler yapılır. Bundan sonra logaritma, trigonometrik ve diğer fonksiyonları değerleriyle değiştiriyoruz. Daha sonra parantez içindeki işlemler gerçekleştirilir. Ve sonra diğer tüm eylemleri soldan sağa yapabilirsiniz. Çarpma ve bölmenin toplama ve çıkarmadan önce yapıldığını unutmamak önemlidir.

Sayılarla yapılan işlemler, orijinal ifadeyi ona eşit bir özdeş ifadeye dönüştürmenize izin verir.

Örnek 18

Sayılarla yapılabilecek tüm işlemleri yaparak 3 · 2 3 - 1 · a + 4 · x 2 + 5 · x ifadesini dönüştürelim.

Çözüm

Önce dereceye bakalım 2 3 ve kök 4 ve değerlerini hesaplayın: 2 3 = 8 ve 4 = 2 2 = 2 .

Elde edilen değerleri orijinal ifadeyle değiştirin ve şunu elde edin: 3 (8 - 1) a + 2 (x 2 + 5 x) .

Şimdi parantezleri yapalım: 8 − 1 = 7 . Ve 3 7 a + 2 (x 2 + 5 x) ifadesine geçelim.

sadece çarpma işlemini yapmalıyız 3 Ve 7 . Şunu elde ederiz: 21 a + 2 (x 2 + 5 x) .

Yanıt vermek: 3 2 3 - 1 a + 4 x 2 + 5 x = 21 a + 2 (x 2 + 5 x)

Sayılarla yapılan işlemlerden önce, sayı gruplandırma veya parantez genişletme gibi diğer türdeki kimlik dönüşümleri gelebilir.

Örnek 19

ifadeyi al 3 + 2 (6: 3) x (y 3 4) − 2 + 11.

Çözüm

Her şeyden önce, parantez içindeki bölümü değiştireceğiz 6: 3 anlamı üzerine 2 . Şunu elde ederiz: 3 + 2 2 x (y 3 4) − 2 + 11 .

Parantezleri genişletelim: 3 + 2 2 x (y 3 4) − 2 + 11 = 3 + 2 2 x y 3 4 − 2 + 11.

Çarpımdaki sayısal faktörleri ve sayı olan terimleri gruplandıralım: (3 − 2 + 11) + (2 2 4) x y 3.

Parantezleri yapalım: (3 − 2 + 11) + (2 2 4) x y 3 = 12 + 16 x y 3

Yanıt vermek:3 + 2 (6: 3) x (y 3 4) − 2 + 11 = 12 + 16 x y 3

Sayısal ifadelerle çalışırsak çalışmamızın amacı ifadenin değerini bulmak olacaktır. İfadeleri değişkenlerle dönüştürürsek, eylemlerimizin amacı ifadeyi basitleştirmek olacaktır.

Ortak Faktörü Basamaklama

İfadedeki terimlerin çarpanlarının aynı olduğu durumlarda bu ortak çarpanı parantez içinden alabiliriz. Bunu yapmak için önce orijinal ifadeyi ortak bir çarpanın ürünü olarak ve ortak çarpanı olmayan orijinal terimlerden oluşan parantez içindeki bir ifadeyi göstermemiz gerekir.

Örnek 20

sayısal olarak 2 7 + 2 3 ortak faktörü çıkarabiliriz 2 parantezlerin dışında ve formun aynı şekilde doğru bir ifadesini alın 2 (7 + 3).

Ortak faktörü parantezlerin dışına çıkarmak için kuralların hafızasını kaynağımızın ilgili bölümünde yenileyebilirsiniz. Materyal, ortak çarpanı parantezlerden çıkarmak için kuralları ayrıntılı olarak tartışır ve çok sayıda örnek sunar.

Benzer terimlerin azaltılması

Şimdi benzer terimleri içeren toplamlara geçelim. Burada iki seçenek mümkündür: aynı terimleri içeren toplamlar ve terimleri sayısal bir katsayı ile farklılık gösteren toplamlar. Toplamları benzer terimler içeren işlemlere benzer terimlerin indirgenmesi denir. Şu şekilde gerçekleştirilir: parantez içindeki ortak harf kısmını çıkarır ve parantez içindeki sayısal katsayıların toplamını hesaplarız.

Örnek 21

ifadeyi düşünün 1 + 4 x - 2 x. x'in gerçek kısmını parantezlerden çıkarıp ifadeyi alabiliriz. 1 + x (4 − 2). Parantez içindeki ifadenin değerini hesaplayalım ve 1 + x · 2 formunun toplamını alalım.

Sayıları ve ifadeleri aynı eşit ifadelerle değiştirme

Orijinal ifadeyi oluşturan sayılar ve ifadeler, kendilerine eşit olan ifadelerle değiştirilebilir. Orijinal ifadenin böyle bir dönüşümü, ona özdeş bir ifadeye yol açar.

Örnek 22 Örnek 23

ifadeyi düşünün 1 + a5 a 5 derecesini, örneğin formun aynısına eşit bir ürünle değiştirebileceğimiz 4. Bu bize ifadeyi verecek 1 + 4.

Yapılan dönüşüm yapaydır. Sadece diğer dönüşümlere hazırlanırken anlamlıdır.

Örnek 24

Toplamın dönüşümünü düşünün 4x3 + 2x2. burada terim 4x3 bir ürün olarak temsil edebiliriz 2x2x2x. Sonuç olarak, orijinal ifade şu şekli alır: 2 x 2 2 x + 2 x 2. Şimdi ortak faktörü izole edebiliriz 2x2 ve parantezlerden çıkarın: 2x2 (2x+1).

Aynı sayıyı toplama ve çıkarma

Aynı sayıyı veya ifadeyi aynı anda toplama ve çıkarma, yapay bir ifade dönüştürme tekniğidir.

Örnek 25

ifadeyi düşünün x 2 + 2 x. Bundan bir tane ekleyebilir veya çıkartabiliriz, bu da daha sonra başka bir özdeş dönüşümü gerçekleştirmemize izin verecek - binomun karesini seçmek için: x 2 + 2 x = x 2 + 2 x + 1 - 1 = (x + 1) 2 - 1.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

İki cebirsel ifade verilsin:

x harfinin farklı sayısal değerleri için bu ifadelerin her birinin değerlerinin bir tablosunu yapalım.

X harfine verilen tüm bu değerler için her iki ifadenin de değerlerinin eşit olduğunu görüyoruz. Aynısı, x'in diğer herhangi bir değeri için de geçerli olacaktır.

Bunu doğrulamak için ilk ifadeyi dönüştürüyoruz. Dağıtım yasasına dayanarak şunu yazıyoruz:

Rakamlar üzerinde belirtilen işlemleri yaptıktan sonra şunları elde ederiz:

Böylece, ilk ifade sadeleştirildikten sonra ikinci ifadeyle tamamen aynı çıktı.

Artık herhangi bir x değeri için her iki ifadenin değerlerinin eşit olduğu açıktır.

İçlerinde yer alan harflerin herhangi bir değeri için değerleri eşit olan ifadelere özdeş veya özdeş denir.

Bu nedenle, bunlar özdeş ifadelerdir.

Önemli bir açıklama yapalım. ifadeleri alalım:

Bir öncekine benzer bir tablo derledikten sonra, herhangi bir x değeri için her iki ifadenin de eşit sayısal değerlere sahip olduğundan emin olacağız. Sadece ikinci ifade 6'ya eşit olduğunda ve payda sıfır olduğu için birincisi anlamını yitirdiğinde. (Sıfıra bölemeyeceğinizi hatırlayın.) Bu ifadelerin özdeş olduğunu söyleyebilir miyiz?

Daha önce, her ifadenin yalnızca kabul edilebilir harf değerleri için, yani ifadenin anlamını kaybetmediği değerler için dikkate alınacağını kabul ettik. Bu, burada iki ifadeyi karşılaştırırken sadece her iki ifade için de geçerli olan harf değerlerini dikkate aldığımız anlamına gelir. Bu nedenle, değeri hariç tutmalıyız. Ve x'in diğer tüm değerleri için her iki ifade de aynı sayısal değere sahip olduğundan, onları aynı kabul etme hakkına sahibiz.

Söylenenlere dayanarak, özdeş ifadelerin aşağıdaki tanımını veriyoruz:

1. İfadeler, içerdikleri harflerin tüm kabul edilebilir değerleri için aynı sayısal değerlere sahiplerse özdeş olarak adlandırılır.

İki özdeş ifadeyi eşittir işaretiyle birleştirirsek, bir özdeşlik elde ederiz. Anlamına geliyor:

2. Bir özdeşlik, içinde yer alan harflerin tüm kabul edilebilir değerleri için geçerli olan bir eşitliktir.

Daha önce de kimliklerle karşılaşmıştık. Örneğin, tüm eşitlikler, temel toplama ve çarpma yasalarını ifade ettiğimiz özdeşliklerdir.

Örneğin, değişmeli toplama yasasını ifade eden eşitlikler

ve birleştirici çarpma yasası

herhangi bir harf değeri için geçerlidir. Dolayısıyla bu eşitlikler özdeşliklerdir.

Tüm gerçek aritmetik eşitlikler de özdeşlik olarak kabul edilir, örneğin:

Cebirde, genellikle bir ifadeyi, onunla aynı olan başka bir ifadeyle değiştirmek gerekir. Örneğin, ifadenin değerini bulmamız istensin.

Verilen ifadeyi buna benzer bir ifadeyle değiştirirsek, hesaplamaları büyük ölçüde kolaylaştırmış oluruz. Dağıtım yasasına dayanarak şunu yazabiliriz:

Ancak parantez içindeki sayıların toplamı 100'dür. Yani bir kimliğimiz var:

Sağ tarafına a yerine 6,53 koyarsak hemen (aklımızda) bu ifadenin sayısal değerini (653) buluruz.

Bir ifadenin aynısı olan başka bir ifadeyle değiştirilmesine bu ifadenin özdeş dönüşümü denir.

Kabul edilebilir herhangi bir harf değeri için herhangi bir cebirsel ifadenin bazı olduğunu hatırlayın.

numara. Bundan, önceki bölümde verilen aritmetik işlemlerin tüm yasalarının ve özelliklerinin cebirsel ifadelere uygulanabilir olduğu sonucu çıkar. Böylece, aritmetik işlemlerin yasalarının ve özelliklerinin uygulanması, verilen bir cebirsel ifadeyi, onunla aynı olan bir ifadeye dönüştürür.

Cebirdeki işlemler ve özellikleri ile birlikte, aşağıdaki gibi kavramları da incelerler. ifade, denklem, eşitsizlik . Onlarla ilk tanışma, matematiğin ilk dersinde gerçekleşir. Kural olarak, katı tanımlar olmadan, çoğu zaman görünüşte tanıtılırlar, bu da öğretmenin sadece bu kavramları ifade eden terimlerin kullanımında çok dikkatli olmasını değil, aynı zamanda bir takım özelliklerini de bilmesini gerektirir. Bu nedenle, bu paragrafın materyalini incelemeye başlarken belirlediğimiz ana görev, ifadeler (sayısal ve değişkenli), sayısal eşitlikler ve sayısal eşitsizlikler, denklemler ve eşitsizlikler hakkındaki bilgileri netleştirmek ve derinleştirmektir.

Bu kavramların incelenmesi, matematiksel bir dilin kullanımı ile ilişkilidir, belirli bir bilimle birlikte oluşturulan ve geliştirilen yapay dilleri ifade eder. Diğer matematik dilleri gibi, kendi alfabesine sahiptir. Cebir ve aritmetik arasındaki ilişkiye daha fazla dikkat edilmesi gerektiğinden, dersimizde kısmen sunulacaktır. Bu alfabe şunları içerir:

1) sayılar 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; onların yardımıyla sayılar özel kurallara göre yazılır;

2) operasyon işaretleri +, -, , :;

3) ilişki işaretleri<, >, =, M;

4) Latin alfabesinin küçük harfleri, sayıları belirtmek için kullanılır;

5) parantezler (yuvarlak, kıvırcık vb.), bunlara teknik işaretler denir.

Bu alfabeyi kullanarak, cebirde kelimeler oluşturulur, bunlara ifadeler denir ve cümleler kelimelerden elde edilir - sayısal eşitlikler, sayısal eşitsizlikler, denklemler, değişkenli eşitsizlikler.

Bildiğiniz gibi kayıtlar 3+7, 24:8,3 × 2 - 4, (25 + 3)× 2-17 denir sayısal ifadeler. Sayılardan, eylem işaretlerinden, parantezlerden oluşurlar. İfadede belirtilen tüm eylemleri gerçekleştirirsek, denilen bir numara alırız. sayısal bir ifadenin değeri . Yani sayısal ifadenin değeri 3'tür. × 2 - 4, 2'ye eşittir.

Değerleri bulunamayan sayısal ifadeler vardır. Bu tür ifadelerin olduğu söylenir. mantıklı değil .

Örneğin, 8: (4 - 4) ifadesi mantıklı değil, çünkü değeri bulunamıyor: 4 - 4 = 0 ve sıfıra bölme imkansız. 7-9 ifadesi de doğal sayılar kümesi üzerinde düşünürsek bir anlam ifade etmez, çünkü 7-9 ifadesinin değerleri bu kümede bulunamaz.

2a + 3 gösterimini ele alalım. Sayılardan, eylem işaretlerinden ve a harfinden oluşur. a yerine sayıları değiştirirsek, farklı sayısal ifadeler elde edilir:

a = 7 ise 2 × 7 + 3;

a = 0 ise, o zaman 2 × 0 + 3;

a = - 4 ise, o zaman 2 × (- 4) + 3.

2a + 3 gösteriminde, böyle bir a harfine denir değişken , ve girişin kendisi 2a + 3 - değişken ifade.

Matematikte bir değişken, kural olarak, Latin alfabesinin herhangi bir küçük harfi ile gösterilir. İÇİNDE ilkokul bir değişkeni belirtmek için harflerin yanı sıra başka işaretler de kullanılır, örneğin œ. Sonra değişkenli ifade şu şekildedir: 2ל + 3.

Değişken içeren her ifade, bir dizi sayıya karşılık gelir ve bu, anlamlı bir sayısal ifadeyle sonuçlanır. Bu kümeye denir ifade kapsamı .

Örneğin, 5: (x - 7) ifadesinin alanı, 7 sayısı hariç tüm gerçek sayılardan oluşur, çünkü x = 7 için 5: (7 - 7) ifadesinin bir anlamı yoktur.

Matematikte bir, iki veya daha fazla değişken içeren ifadeler kabul edilir.

Örneğin, 2a + 3 tek değişkenli bir ifadedir ve (3x + 8y) × 2, üç değişkenli bir ifadedir. Üç değişkenli bir ifadeden sayısal bir ifade elde etmek için her değişken yerine ifadenin kapsamına ait sayıları yazınız.

Böylece matematik dilinin alfabesinden sayısal ifadelerin ve değişkenli ifadelerin nasıl oluştuğunu öğrendik. Rus dili ile bir benzetme yaparsak, ifadeler matematik dilinin kelimeleridir.

Ancak, matematik dilinin alfabesini kullanarak, örneğin kayıtları oluşturmak mümkündür: (3 + 2)) - × 12 veya 3x - y: +) 8, sayısal ifade veya değişkenli ifade olarak adlandırılamaz. Bu örnekler, matematiksel dil ifadelerinin alfabesinin hangi karakterlerinden oluşturulduğu, sayısal ve değişkenli açıklamanın bu kavramların bir tanımı olmadığını göstermektedir. Sayısal bir ifadenin tanımını verelim (değişkenli bir ifade benzer şekilde tanımlanır).

Tanım.f ve q sayısal ifadeler ise, o zaman (f) + (q), (f) - (q), (f) × (q), (f) (q) sayısal ifadelerdir. Her sayı sayısal bir ifade olarak kabul edilir.

Bu tanım aynen uygulansaydı, çok fazla parantez yazmak zorunda kalırdı, örneğin (7) + (5) veya (6): (2). Notasyonu kısaltmak için birden fazla ifade eklendiğinde veya çıkarıldığında parantez yazmama konusunda anlaştık ve bu işlemler soldan sağa doğru yapılıyor. Aynı şekilde birkaç sayı çarpıldığında veya bölündüğünde parantezler yazılmaz ve bu işlemler soldan sağa doğru sırayla yapılır.

Örneğin, şöyle yazarlar: 37 - 12 + 62 - 17 + 13 veya 120:15-7:12.

Ayrıca, önce ikinci aşamanın (çarpma ve bölme) işlemlerini, ardından ilk aşamanın işlemlerini (toplama ve çıkarma) gerçekleştirme konusunda anlaştık. Bu nedenle (12-4:3) + (5-8:2-7) ifadesi şu şekilde yazılır: 12 - 4: 3 + 5 - 8: 2 - 7.

Bir görev. x = 6 için 3x (x - 2) + 4(x - 2) ifadesinin değerini bulun.

Çözüm

1 yol. Bu ifadede bir değişken yerine 6 sayısını değiştirin: 3 × 6-(6 - 2) + 4 × (6 - 2). Ortaya çıkan sayısal ifadenin değerini bulmak için belirtilen tüm eylemleri gerçekleştiriyoruz: 3 × 6 × (6 - 2) + 4 × (6-2) = 18 × 4 + 4 × 4 = 72 + 16 = 88. Bu nedenle , ne zaman x= 6 3x(x-2) + 4(x-2) ifadesinin değeri 88'dir.

2 yol. Bu ifadede 6 sayısını yerine koymadan önce sadeleştirelim: Zx (x - 2) + 4 (x - 2) = (X - 2)(3x + 4). Ve sonra, ortaya çıkan ifadede yerine x 6 numara, aşağıdakileri yapın: (6 - 2) × (3 × 6 + 4) = 4x (18 + 4) = 4x22 = 88.

Şuna dikkat edelim: hem ilk problem çözme yönteminde hem de ikincisinde bir ifadeyi diğeriyle değiştirdik.

Örneğin, 18 × 4 + 4 × 4 ifadesi 72 + 16 ifadesi ve 3x (x - 2) + 4(x - 2) - ifadesi ile değiştirildi (X - 2)(3x + 4) ve bu ikameler aynı sonuca yol açar. Matematikte bu problemin çözümünü anlatırken, bizim yaptığımızı söylüyorlar. özdeş dönüşümler ifade.

Tanım.İfadelerin etki alanındaki değişkenlerin herhangi bir değeri için karşılık gelen değerleri eşitse, iki ifadenin aynı olduğu söylenir.

Özdeş olarak eşit ifadelerin örnekleri, 5(x + 2) ifadeleridir ve 5x+ 10, çünkü herhangi bir gerçek değer için x değerleri eşittir.

Belirli bir kümede özdeş olarak eşit olan iki ifade eşittir işaretiyle birleştirilirse, şu şekilde adlandırılan bir cümle elde ederiz: Kimlik bu sette.

Örneğin, 5(x + 2) = 5x + 10, gerçek sayılar kümesindeki bir özdeşliktir, çünkü tüm gerçek sayılar için 5(x + 2) ve 5x + 10 ifadesinin değerleri aynıdır. Genel niceleyici gösterimi kullanılarak bu özdeşlik şu şekilde yazılabilir: (" x н R) 5(x + 2) = 5x + 10. Gerçek sayısal eşitlikler de özdeşlik olarak kabul edilir.

Bir ifadenin bir kümede kendisine eşit olan başka bir ifadeyle değiştirilmesine denir. Bu kümede verilen ifadenin özdeş dönüşümü.

Böylece, 5(x + 2) ifadesini, kendisine eşit olan 5x + 10 ifadesi ile değiştirerek, ilk ifadenin aynı dönüşümünü gerçekleştirdik. Ancak, iki ifade verildiğinde, bunların özdeş olup olmadıklarını nasıl öğrenebiliriz? Değişkenler için belirli sayıları değiştirerek karşılık gelen ifade değerlerini bulun? Uzun ve her zaman mümkün değil. Peki, aynı ifade dönüşümlerini gerçekleştirirken uyulması gereken kurallar nelerdir? Bu kuralların birçoğu vardır, aralarında cebirsel işlemlerin özellikleri de vardır.

Bir görev. ax - bx + ab - b 2 ifadesini çarpanlarına ayırın .

Çözüm. Bu ifadenin üyelerini ikiye ayıralım (birincisi ikincisi, üçüncüsü dördüncüsü): ax - bx + ab - b 2 \u003d (ax-bx) + (ab-b 2). Bu dönüşüm, reel sayıların toplanmasının birleşim özelliği ile mümkündür.

Her bir parantezden elde edilen ifadedeki ortak faktörü çıkarırız: (ax - bx) + (ab - b 2) \u003d x (a - b) + b (a - b) - bu dönüşüm dağılıma dayalı olarak mümkündür gerçek sayıların çıkarılmasına göre çarpma özelliği.

Ortaya çıkan ifadede, terimlerin ortak bir faktörü vardır, onu parantezlerden çıkarırız: x (a - b) + b (a - b) \u003d (a - b) (x - b). Gerçekleştirilen dönüşümün temeli, çarpmanın toplamaya göre dağılma özelliğidir.

Yani, ax - bx + ab - b 2 \u003d (a - b) (x - b).

Matematiğin ilk dersinde, kural olarak, sayısal ifadelerin yalnızca özdeş dönüşümleri gerçekleştirilir. teorik temel Bu tür dönüşümler, toplama ve çarpmanın özellikleridir, çeşitli kurallardır: bir sayıya bir toplam ekleme, bir toplama bir sayı, bir toplamdan bir sayı çıkarma, vb.

Örneğin, 35 × 4 ürününü bulmak için dönüşümler yapmanız gerekir: 35 × 4 = (30 + 5) × 4 = 30 × 4 + 5 × 4 = 120 + 20 = 140. Gerçekleştirilen dönüşümler şunlara dayanır: toplamaya göre çarpmanın dağılma özelliği; ondalık sayı sisteminde sayıların yazılması ilkesi (35 = 30 + 5); Doğal sayılarda çarpma ve toplama kuralları.

Orijinal ifadeyi oluşturan sayılar ve ifadeler, kendilerine eşit olan ifadelerle değiştirilebilir. Orijinal ifadenin böyle bir dönüşümü, ona özdeş bir ifadeye yol açar.

Örneğin, 3+x ifadesinde, 3 sayısı 1+2 toplamı ile değiştirilebilir; bu, orijinal ifadeyle aynı olan (1+2)+x ifadesiyle sonuçlanır. Başka bir örnek: 1+a 5 ifadesinde, a 5'in derecesi, buna eşit, örneğin a·a 4 biçimindeki bir ürünle değiştirilebilir. Bu bize 1+a·a 4 ifadesini verecektir.

Bu dönüşüm kuşkusuz yapaydır ve genellikle daha ileri bir dönüşüm için bir hazırlıktır. Örneğin, 4·x 3 +2·x 2 toplamında, derecenin özellikleri dikkate alınarak, 4·x 3 terimi 2·x 2 ·2·x çarpımı olarak gösterilebilir. Böyle bir dönüşümden sonra, orijinal ifade 2·x 2 ·2·x+2·x 2 biçimini alacaktır. Açıkçası, sonuçtaki toplamdaki terimler 2 x 2 ortak faktörüne sahiptir, bu nedenle aşağıdaki dönüşümü - parantezleri gerçekleştirebiliriz. Ondan sonra şu ifadeye geleceğiz: 2 x 2 (2 x+1) .

Aynı sayıyı toplama ve çıkarma

Diğer yapay dönüşüm ifade, aynı sayı veya ifadenin toplanması ve aynı anda çıkarılmasıdır. Böyle bir dönüşüm özdeştir, çünkü aslında sıfır eklemeye eşdeğerdir ve sıfır eklemek değeri değiştirmez.

Bir örnek düşünün. x 2 +2 x ifadesini alalım. Buna bir tane ekler ve bir tane çıkarırsanız, bu gelecekte başka bir özdeş dönüşüm gerçekleştirmenize izin verecektir - binomun karesini seçin: x 2 +2 x=x 2 +2 x+1−1=(x+1) 2 −1.

Bibliyografya.

• Cebir: ders kitabı 7 hücre için. Genel Eğitim kurumlar / [Y. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; ed. S.A. Telyakovsky. - 17. baskı. - E. : Eğitim, 2008. - 240 s. : hasta. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Cebir: ders kitabı 8 hücre için. Genel Eğitim kurumlar / [Y. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; ed. S.A. Telyakovsky. - 16. baskı. - E. : Eğitim, 2008. - 271 s. : hasta. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A.G. Cebir. 7. sınıf. 2 de Bölüm 1. Eğitim kurumlarının öğrencileri için bir ders kitabı / A. G. Mordkovich. - 17. baskı, ekleyin. - E.: Mnemozina, 2013. - 175 s.: hasta. ISBN 978-5-346-02432-3.