FOYDALANISH 2018. Matematika. profil darajasi. Tenglama va tengsizliklarni yechish. Sadovnichiy Yu.V.

M.: 2018. - 96 b.

Ushbu kitob matematikadan yagona davlat imtihonining 15-topshirig'iga o'xshash vazifalarga bag'ishlangan (tenglamalar va tengsizliklarni echish). Bunday muammolarni hal qilishning turli usullari, shu jumladan, originallari ko'rib chiqiladi. Kitob o'rta maktab o'quvchilari, matematika o'qituvchilari, repetitorlar uchun foydali bo'ladi.

Format: pdf

Hajmi: 860 Kb

Ko'ring, yuklab oling:drive.google

MUNDARIJA
KIRISH 4
1-BOB. Tengsizliklarni yechishning INTERVAL USULI 6.
uchun vazifalar mustaqil qaror 10
2-BOB. TENGLAMALAR VA TENGSIZLIKLARDAGI MODULLARDAN ROZ ETISH 13
Mustaqil hal qilish uchun topshiriqlar 23
3-BOB. IRRATIONAL TENGLAMALAR VA TENGSIZLIKLAR 25
Mustaqil hal qilish uchun topshiriqlar 33
4-BOB. EKSPONENTSIAL VA LOGARIY TENGLAMALAR VA TENGSIZLIKLAR 35.
4.1. Asosiy formulalar va eng oddiy tenglamalar va tengsizliklarni yechish 35
4.2. Logarifmlar yig‘indisi va ayirmasini o‘zgartirish 36
Mustaqil hal qilish uchun topshiriqlar 41
4.3. O'zgaruvchan almashtirish usuli 42
Mustaqil hal qilish uchun topshiriqlar 47
4.4. Tengsizliklarni ajratish 49
Mustaqil hal qilish uchun topshiriqlar 55
4.5. Yangi bazaga o'tish 56
Mustaqil hal qilish uchun vazifalar 60
61-BOB.
Mustaqil hal qilish uchun topshiriqlar 68
6-BOB
Mustaqil hal qilish uchun topshiriqlar 75
7-BOB. ALGEBRAIK TENGLAMALAR VA TENGSIZLIKLAR TIZIMLARI 76.
Mustaqil hal qilish uchun topshiriqlar 84
MUSTAQIL YECHISH BO‘YICHA VAZIFALARGA JAVOBLAR 88

Ushbu kitob 15-muammoga o'xshash muammolarga bag'ishlangan profil imtihoni matematikada (tenglamalar va tengsizliklar). Kitob mavzu bo'yicha boblarga bo'lingan, har bir bobdagi materiallar "oddiydan murakkabgacha" taqdim etilgan.
Sir emaski, 16-19-masalalar (planimetriya, so‘zli masala, parametr masalasi, butun sonli masala) bitiruvchilarning katta qismi uchun qiyin. o'rta maktab. 14-masala (stereometriya) haqida ham shunday deyish mumkin. Shuning uchun hal qilingan 15-topshiriq (13-topshiriq bilan birga) USE bo'yicha ballingizni yaxshi darajaga oshirish imkoniyatidir.
Birinchi uchta bob tayyorgarlik bo'lib, ular tengsizliklarni intervalli usulda yechish, modulli tenglamalar va tengsizliklar, irratsional tenglamalar va tengsizliklarni o'z ichiga oladi.
To'rtinchi bob ushbu kitobning asosiy qismidir, chunki undagi vazifalar matematikadan 15-profil imtihonining haqiqiy vazifasiga eng yaqin. Ushbu bob bir nechta bo'limlarga bo'lingan, ularning har biri bunday muammoni hal qilishning ba'zi usullarini o'rganadi.

Ushbu video darslikda men matematika bo'yicha yagona davlat imtihonining 15-sonli jiddiy topshirig'ini batafsil tahlil qildim, unda ham logarifmik, ham kasrli ratsional tengsizlik. Bezout teoremasiga (ko‘phadning ildizlarini topish uchun), shuningdek, ko‘phadlarni burchakka bo‘lish usuliga (faktoring uchun) alohida e’tibor beriladi.

Ushbu darsda biz matematikada USE dan ikkita tengsizlik tizimini tahlil qilamiz:

⎧⎩⎨⎪⎪ jurnal7-2x(x+6) ≤0x− x−3x+6−x2 +27x+90x2 +8x+12≤−1 \left\( \begin(align)& ((\log )_(7-2x))\left(x+6 \right)\le 0 \\& x-\frac(x-3)(x+6 )-\frac(((x)^(2))+27x+90)(((x)^(2))+8x+12)\le -1 \\\end(align) \o‘ng.

Tengsizliklar sistemasini yechish

Ko'rib turganingizdek, tizim logarifmik tengsizlikdan, shuningdek, klassik kasrli ratsional tengsizlikdan iborat, ammo yechish jarayonida biz bu tengsizlik birinchi qarashda ko'rinadigan darajada oddiy emasligini bilib olamiz. Logarifmikdan boshlaylik. Buning uchun uni alohida yozing:

jurnal7-2x(x+6) ≤ 0

((\log )_(7-2x))\left(x+6 \o'ng)\le \text( )0

Har qanday kabi logarifmik tengsizlik, bu konstruksiya ga kamayadi kanonik shakl, ya'ni chap tomonda biz hamma narsani o'zgarishsiz qoldiramiz, lekin o'ng tomonda biz quyidagicha yozamiz:

jurnal7-2x(x+6) ≤ jurnal7-2x 1

((\log )_(7-2x))\left(x+6 \o'ng)\le ((\log )_(7-2x))1

Ratsionalizatsiya usulidan qanday foydalanish kerak

Endi biz ratsionalizatsiya usulidan foydalanamiz. Shuni eslatib o'tamanki, agar bizda shaklning tengsizligi bo'lsa

jurnalk (x) f(x) ⋃ jurnalk (x) g(x),

((\log )_(k\left(x \o'ng)))f\left(x \o'ng)\bigcup ((\log )_(k\left(x \o'ng)))g\chap(x \ o'ng),

keyin shunga o'xshash narsaga o'tishimiz mumkin:

(f (x) −g(x) )(k (x) -1)⋃0

\left(f\left(x \right)-g\left(x \right) \right)\left(k\left(x \right)-1 \right)\bigcup 0

Albatta, bu tengsizlik logarifm sohasini hisobga olmaydi:

f (x) >0

f\left(x\right)>0

g (x) >0

g\left(x\right)>0

1≠k (x) >0

1\ne k\left(x\right)>0

Shunday qilib, rolda f (x) f\left(x \right) bu chiziqli funksiya x+6 x+6 va rolda g (x) g\left(x \right) oddiygina 1. Shuning uchun logarifmik tizim tengsizligini quyidagicha qayta yozamiz:

(x+6−1) (7−2x−1)

\left(x+6-1 \o'ng)\chap(7-2x-1 \o'ng)

Oxirgi 1 - bitta x−1 x-1, ikkinchi qavs ichida. Bularning barchasi 0 dan kichik yoki teng. Ushbu transformatsiyani amalga oshirishda tengsizlik belgisi saqlanib qoladi. Mana, har bir qavs ichida o'xshashlar:

(x+5) (6−2x) ≤0

\left(x+5 \o'ng)\left(6-2x \o'ng)\le 0

Interval usulini qo'llash

Shubhasiz, bizda eng oddiy tengsizlik mavjud bo'lib, u intervalli usul bilan osongina yechiladi. Har bir qavsni 0 ga qo'ying:

(+5) =0→= −5

\left(+5 \right)=0\to =-5

6−2=0→2=6

x=3

Biz bu nuqtalarning barchasini (ikkita shunday nuqta bor) koordinata chizig'ida belgilaymiz. E'tibor bering, ular soyali:

Belgilarga e'tibor bering. Buning uchun 3 dan katta har qanday raqamni oling. Birinchisi "minus" bo'ladi. Keyin belgilar hamma joyda almashinadi, chunki hatto ko'plikning ildizlari yo'q. Bizni kamroq yoki teng belgisi, ya'ni minus belgisi qiziqtiradi. Biz kerakli joylarni bo'yab qo'yamiz. Shuni eslatib o'tamanki, tengsizliklarni interval usuli yordamida yechishda biz tenglamalarga o'tishdan oldin olingan oxirgi ifodadagi 1 milliardni almashtiramiz.

Shunday qilib, biz to'plamlarni topdik. Lekin, siz tushunganingizdek, bu hali tengsizlikka yechim emas. Endi bizdan logarifm sohasini topish talab qilinadi. Buning uchun biz quyidagi funktsiyalarni yozamiz:

Tenglama tuzilmalarini noto'g'ri joylashtirish

\left[ \begin(align)& x+6>0 \\& 7-2x>0 \\& 7-2x\ne 1 \\\end(align) \right.=>\left[ \begin(hizalash) )& x>-6 \\& 7>2x \\& 6\ne 2x \\\end(tuzalash) \o'ng.=>\left[ \begin(align)& \\& x<\text{ }3,5 \\& x\ne \text{ }3 \\\end{align} \right.

Shunday qilib, biz bir vaqtning o'zida uchta talabni oldik, ya'ni bu tengsizliklarning barchasi bir vaqtning o'zida bajarilishi kerak. Keling, javob nomzodimizga parallel chiziq chizamiz:

Biz tizimning birinchi elementi uchun yakuniy javobni oldik:

(−6;−5] ⋃(3;3,5)

\left(-6;-5 \right]\bigcup \left(3;3,5 \right). Shu oʻrinda koʻpchilik oʻquvchilarda savol tugʻiladi. Qarang, bir tomoni 3 tasi oʻyilgan, boshqa tomondan. , bu xuddi shu nuqta to'ldiriladi. Xo'sh, buni qanday qilib natija sifatida belgilash kerak? Ushbu muammoni to'g'ri va bir marta va umuman hal qilish uchun bitta oddiy qoidani eslang.

To'plamlarning kesishishi nimani anglatadi? Bu bir vaqtning o'zida birinchi to'plamga ham, ikkinchisiga ham kiradigan to'plamdir. Boshqacha qilib aytganda, quyidagi rasmni to'ldirib, biz bir vaqtning o'zida birinchi va ikkinchi qatorga tegishli bo'lgan nuqtalarni qidiramiz. Shuning uchun, agar biron bir nuqta ushbu chiziqlarning kamida bittasiga tegishli bo'lmasa, ikkinchi chiziqda qanday ko'rinmasin, u bizga mos kelmaydi. Va, xususan, 3 bilan, aynan shu voqea sodir bo'ladi: bir tomondan, javob uchun nomzodlar uchun 3-band bizga mos keladi, chunki u bo'yalgan, lekin boshqa tomondan, 3 domen tufayli teshilgan. logarifm, va shuning uchun yakuniy to'plamda bu nuqtani teshib qo'yish kerak. Hamma narsa, tizimning birinchi logarifmik tengsizligiga javob to'liq oqlanadi. Xavfsiz bo'lish uchun uni yana takrorlayman:

(−6;−5] ⋃(3;3,5)

\left(-6;-5 \right]\bigcup \left(3;3,5 \o'ng)

Kasr-ratsional tengsizlikni yechish

x− x−3x+6−x2 +27x+90x2 +8x+12≤−1 x-\frac(x-3)(x+6)-\frac(((x)^(2))+27x+90)((x)^(2))+8x+12)\le - 1

Endi -1 ni chapga siljiting:

x+1− x−3x+6−x2 +27x+90(x+6) (x+2)≤0 x+1-\frac(x-3)(x+6)-\frac(((x)^(2))+27x+90)(\left(x+6 \o'ng)\chap(x+2) \o'ng))\le 0

x+1 1 −x−3x+6−x2 +27x+90(x+6) (x+2)≤0 \frac(x+1)(1)-\frac(x-3)(x+6)-\frac((x)^(2))+27x+90)(\left(x+6 \o'ng) )\left(x+2 \o'ng))\le 0

Biz butun tuzilmani umumiy maxrajga keltiramiz:

(x+1) (x+6) (x+2) −(x−3) (x+2) − (x2 +27x+90)(x+6) (x+2)≤0 \ frac (\ chap (x + 1 \ o'ng) \ chap (x + 6 \ o'ng) \ chap (x + 2 \ o'ng) - \ chap (x-3 \ o'ng) \ chap (x + 2 \ o'ng) - \left(((x)^(2))+27x+90 \o'ng))(\left(x+6 \o'ng)\left(x+2 \o'ng))\le 0

Qavslarni kengaytiramiz:

(x+2) ( (x+1) (x+6) −(x−3) )−x2 −27x−90(x+6) (x+2)≤0 \ frac (\ chap (x + 2 \ o'ng) \ chap (\ chap (x + 1 \ o'ng) \ chap (x + 6 \ o'ng)) - \ chap (x-3 \ o'ng) \ o'ng) - ((x )^(2))-27x-90)(\left(x+6 \o'ng)\left(x+2 \o'ng))\le 0

x3 +6x2 +9x+2 x2 +12x+18− x2 −27x−90(x+6) (x+2)≤0 \frac(((x)^(3))+6((x)^(2))+9x+2((x)^(2))+12x+18-((x)^(2)) -27x-90)(\left(x+6 \o'ng)\left(x+2 \o'ng))\le 0

x3 +7x2 −6x−72(x+6) (x+2)≤0 \frac(((x)^(3))+7((x)^(2))-6x-72)(\left(x+6 \o'ng)\left(x+2 \o'ng))\le 0

Olingan tengsizlik haqida nima deyish mumkin? Birinchidan, u kasr jihatdan oqilona va maxraj allaqachon faktorlarga ajratilgan. Shuning uchun eng yaxshi variant bu tengsizlikni intervalli usul bilan yechish bo'ladi. Biroq, uni interval usuli bilan yechish uchun payni koeffitsientga ajratish ham kerak. Bu asosiy qiyinchilik, chunki hisoblagich uchinchi darajali ko'phaddir. Uchinchi darajali ildizlarning formulasini kim eslaydi? Shaxsan men eslay olmayman. Ammo bu bizga kerak bo'lmaydi.

Bizga kerak bo'lgan narsa - Bezout teoremasi, aniqrog'i, teoremaning o'zi emas, balki uning eng muhim xulosalaridan biri bo'lib, u quyidagilarni bildiradi: agar butun koeffitsientli ko'phadning ildizi bo'lsa. x1 ((x) _ (1)) va u butun son bo'lsa, u holda erkin koeffitsient (bizning holatimizda 72) majburiy ravishda quyidagilarga bo'linadi. x1 ((x)_(1)). Boshqacha qilib aytganda, agar biz ushbu kub tenglamaning ildizlarini topmoqchi bo'lsak, unda biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa 72 raqami parchalanadigan omillarni "qazish".

72 sonini tub ko‘paytiruvchilarga ajratamiz:

72=8⋅9=2⋅2⋅2⋅3⋅3

72=8\cdot 9=2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3

Shunday qilib, kubik ifodamizning kamida bitta ildizini olish uchun biz ikkita va uchlikning barcha kombinatsiyalaridan o'tishimiz kerak. Bir qarashda, bu kombinatsion vazifa bo'lib tuyulishi mumkin, lekin aslida hamma narsa unchalik qo'rqinchli emas. Minimal raqamdan boshlaylik:

x=2

Keling, javob 2 ekanligini tekshiramiz. Buning uchun ildiz nima ekanligini eslang. Bu ko'phadga almashtirilganda uni 0 ga aylantiradigan son. Keling, almashtiramiz:

(2) =8+28−12−72<0

\left(2\right)=8+28-12-72<0

Biz buni tushunamiz x−2 x-2 mos emas. Davom etishga ruxsat. Keling, 4 tasini olaylik:

(4) =64+112−24−72>0

\left(4\right)=64+112-24-72>0

x=4 x = 4 ham bizning qurilishimizning ildizi emas.

Davom etishga ruxsat. Keyingisi nima x x tahlil qilamiz? Bu savolga javob berish uchun qiziqarli faktga e'tibor qaratamiz: qachon x−2 x-2 polinomimiz manfiy edi va for x=4 x=4 u allaqachon ijobiy bo'lib chiqdi. Bu shuni anglatadiki, 2 va 4 nuqtalar orasida bizning polinomimiz o'qni kesib o'tadi x x. Boshqacha qilib aytganda, bu segmentning biron bir joyida bizniki 0 ga aylanadi. Bu shuni anglatadiki, bu nuqta kerakli raqam bo'ladi. Keling, 4 va 2 orasida qanday butun son borligi haqida o'ylab ko'raylik. Shubhasiz, kengaytmada faqat 3 va 3 mavjud, shuning uchun u bizning ifodamizning ildizi bo'lishi mumkin. Ushbu variantni ko'rib chiqing:

x=3

(3) =27+63−18−72=90−90=0

\left(3\right)=27+63-18-72=90-90=0

Ajoyib, bizning farazimiz tasdiqlandi. Haqiqatan ham, x=3 x=3 konstruksiyamizning ildizidir. Lekin bu qanday qilib bizga berilgan polinomni hisobga olishda yordam beradi? Juda oddiy. Hammasi bir xil Bezout teoremasidan kelib chiqadiki, agar x1 ((x)_(1)) polinomning ildizi p (x) p\left(x \right), ya'ni biz quyidagilarni yozishimiz mumkin:

x1 :p(x)=Q(x) (x− x1 )

((x)_(1)):p\left(x \o'ng)=Q\chap(x \o'ng)\chap(x-((x)_(1)) \o'ng)

Boshqacha aytganda, bilish x1 ((x)_(1)) ifodamizni faktorlashtirishda albatta omil boʻlishini taʼkidlashimiz mumkin. x1 ((x)_(1)). Bizning holatimizda, bizning ko'phadimiz, albatta, uning kengayishida omilga ega ekanligini yozishimiz mumkin (x−3)\left(x-3 \right), chunki 3 uning ildizidir.

x3 +7x2 −6x−72x−3=x2 +10x+24\frac(((x)^(3))+7((x)^(2))-6x-72)(x-3)=((x)^(2))+10x+24

Boshqacha qilib aytganda, tizimdan tengsizligimizni quyidagicha qayta yozishimiz mumkin:

(x+3) (x2 +10x+24)(x+6) (x+2)≤0 \frac(\left(x+3 \o'ng)\left(((x)^(2))+10x+24 \o'ng))(\left(x+6 \o'ng)\left(x+2 \o'ng) ))\le 0

E'tibor bering, hisoblagichning ikkinchi qavsida kvadrat trinomial mavjud bo'lib, u ham juda oddiy faktorlarga ajratiladi, biz quyidagilarni olamiz:

(x+3) (x+6) (x+4)(x+6) (x+2)≤0 \ frac (\ chap (x + 3 \ o'ng) \ chap (x + 6 \ o'ng) \ chap (x + 4 \ o'ng)) (\ chap (x + 6 \ o'ng) \ chap (x + 2 \ o'ng)) )\le 0

Hammasi shu, faqat ildizlarni yozish uchun qoladi:

x=3

≠−6(2k)

\ne -6\chap(2k\o'ng)

=−4

≠−2

Tizimning yechimi bo'lishi mumkin bo'lgan barcha bu nuqtalarni koordinata chizig'ida belgilaymiz x x:

Belgilarni aniqlash uchun biz har qanday 3 dan katta raqamni olamiz, bu qavslarning har biriga almashtiramiz va beshta musbat sonni olamiz, ya'ni 3 ning o'ng tomonida ortiqcha belgisi mavjud. Keyin belgilar hamma joyda o'zgaradi, lekin -6 da hech narsa o'zgarmaydi, chunki -6 ikkinchi ko'plikning ildizidir. Biz funktsiya belgisi salbiy bo'lgan joylarga qiziqamiz, shuning uchun biz "minuslar" ni soya qilamiz.

Umuman olganda, biz asl tengsizligimizning yechimini yozishimiz mumkin - u quyidagicha bo'ladi:

(−∞;−6) ⋃(−6;−4] ⋃(−2;3]

\left(-\infty ;-6 \right)\bigcup \left(-6;-4 \right]\bigcup \left(-2;3 \right)

Yakuniy qadamlar

Biz tizimimizning ikkinchi tengsizligini yechdik, endi esa sistemaning o‘zini yechish, ya’ni olingan to‘plamlarni kesishish qoldi. Buning uchun men tizimdan logarifmik tengsizlik uchun javob beradigan ikkita eski chiziqqa parallel ravishda yana bir chiziq qurishni taklif qilaman:

Tengsizliklar tizimining ikkinchi elementining yakuniy javobini yozishimiz mumkin: (−6;−5] \left(-6;-5 \right]. Endi biz tizimimizga qaytib, yakuniy to'plamni yozishimiz mumkin:

x∈ (−6; −5]

x\in \left(-6;\text( )-5 \right]

Asosiy fikrlar

Ushbu vazifada bir vaqtning o'zida bir nechta asosiy fikrlar mavjud:

1. Logarifmik tengsizliklarni kanonik shaklga o'tish orqali yecha olish kerak.
2. Kasrli ratsional tengsizliklar bilan ishlashni bilishingiz kerak. Bu odatda 8-9-sinflar uchun materialdir, shuning uchun agar siz logarifmlar bilan ishlasangiz, unda kasrli ratsional tengsizliklarni tushunasiz.
3. Bezout teoremasi. Bu teoremaning eng muhim natijasi butun koeffitsientli ko'phadning ildizlari uning erkin hadining bo'luvchilari ekanligidir.

Aks holda, bu tenglamalar tizimini echish uchun oddiy, ammo juda katta vazifadir. Tizimni yechishda ma'lum qiyinchiliklar barcha to'plamlarning kesishmasida ham paydo bo'lishi mumkin, ayniqsa, 3-band bilan bog'liq. Bu erda hamma narsa juda oddiy: shunchaki esda tutingki, kesishish barcha tengsizliklarni bir vaqtning o'zida bajarish talabini bildiradi, ya'ni kerakli nuqtani to'ldirish kerak. barcha uch o'qda. Agar hech bo'lmaganda bitta o'qda u to'ldirilmasa yoki teshilgan bo'lmasa, unda bunday nuqta javobning bir qismi bo'lishi mumkin emas.